WWW.KNIGA.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Книги, пособия, учебники, издания, публикации

 

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Амурский государственный университет»

Кафедра математического анализа и моделирования

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Основной образовательной программы по специальности 160400.65 – Проектирование, производство и эксплуатация ракет и ракетно-космических комплексов Благовещенск 2012 г.

УМКД разработан канд. физ.-мат. наук, доцентом Масловской Анной Геннадьевной Рассмотрен и рекомендован на заседании кафедры Протокол заседания кафедры от «11» января 2012 г. №_ Зав. кафедрой В.В.Сельвинский

УТВЕРЖДЕН

Протокол заседания учебно-методического совета специальности 160400.65 – Проектирование, производство и эксплуатация ракет и ракетно-космических комплексов от «_» _ 2012 г. №_ Председатель УМСС

СОДЕРЖАНИЕ

Рабочая программа учебной дисциплины 1 1.1 Цели и задачи освоения дисциплины 1.2 Место дисциплины в структуре ООП ВПО 1.3 Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисцип- лины 1.4 Структура и содержание дисциплины «Численные методы» 1.5 Содержание разделов и тем дисциплины 1.6 Самостоятельная работа 1.7 Матрица компетенций учебной дисциплины 1.8 Образовательные технологии 1.9 Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточ- ной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов 1.10 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины «Чис- ленные методы»

1.11 Материально-техническое обеспечение дисциплины 1.12 Рейтинговая оценка знаний студентов по дисциплине Краткое изложение программного материала 2 Методические указания 3 3.1 Методические указания к практическим занятиям 3.2 Методические по самостоятельной работе студентов Контроль знаний 4 4.1 Текущий контроль знаний 4.2 Итоговый контроль Интерактивные технологии и инновационные методы, используемые в образовательном процессе 1 Рабочая программа учебной дисциплины

1.1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

Численные методы занимают важное место в системе прикладного математического образования.

Цель преподавания дисциплины Изучение численных методов решения задач алгебры, математического анализа и дифференциальных уравнений, а также освоение методологических подходов разработки численных вычислений и изучение основных методов для решения задач исследовательского и прикладного характера.

Задачи изучения курса Освоение методов вычислительной математики: правил приближенных вычислений, численных методов решения нелинейных уравнений и систем, систем линейных уравнений, теории интерполирования, численного дифференцирования и интегрирования, использование численных методов для обработки экспериментальных данных, численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений в постановке задач Коши и краевых задач, численных методов решения уравнений с частными производными, численных методов решения интегральных уравнений.

1.2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ООП ВПО

Дисциплина «Численные методы» включена в базовую часть математического и естественно-научного цикла дисциплин (С2.Б.5). Данная дисциплина базируется на ранее изученных дисциплинах: «Математический анализ», «Линейная алгебра и аналитическая геометрия», «Обыкновенные дифференциальные уравнения».

1.3. КОМПЕТЕНЦИИ ОБУЧАЮЩЕГОСЯ, ФОРМИРУЕМЫЕ В РЕЗУЛЬТАТЕ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций.

Профессиональные компетенции (ПК):

-способность использовать в профессиональной деятельности знания и методы, полученные при изучении математических и естественно-научных дисциплин (ПК-1), - владением культурой мышления и знанием его общих законов, пониманием особенности инженерно-технического подхода к профессиональным проблемам (ПК-3) -пониманием роли математических и естественнонаучных наук и способностью к приобретению новых математических и естественнонаучных знаний, с использованием современных образовательных и информационных технологий (ПК-4), -способность работать в информационно-коммуникационном пространстве, проводить твердотельное компьютерное моделирование, прочностные, динамические и тепловые расчеты с использованием программных средств общего назначения (ПК-6).

В результате изучения дисциплины студент должен:

– способы численного решения типовых математических задач, включая нелинейные уравнения, системы линейных алгебраических уравнений, дифференциальных уравнений;

– основные положения информатики;

– методы составления алгоритмов;

– применять на практике методы численного анализа; иметь четкое представление о видах математических моделей, основанных на численных методах, о способах их построений, о численных методах реализации математических моделей;

– реализовать численный алгоритм программно с помощью инструментальных средств и прикладных программ; анализировать полученные результаты;

– оценивать погрешность вычислений;

– находить численными методами производные нескольких переменных;

– численно вычислять интегралы;

– решать обыкновенные дифференциальные уравнения различных видов;

– методологией и навыками применения численных методов для решения прикладных задач, самостоятельно осуществлять выбор методики решения и построения алгоритма той или иной задачи, давать полный анализ результатов решения и оценивать границы применимости выбранного метода;

– методами численного дифференцирования и интегрирования функций одной или нескольких переменных;

– методами численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядков;

– методами составления программ для решения задач на ЭВМ, работы над методами составления и решения задач, описывающих физические и химические процессы.

1.4.СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ «ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»

Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетные единицы, 144 часа.

интегрирование Самостоятельная работа по теме зачет работ чальных задач РГР «Приближенное решение на- лабораторной работ, краевых задач РГР «Краевые задачи для обыкно- лабораторной работ, ний с частными Итоговая контрольная работа. лабораторной работ, производными Подготовка к контрольной работе зачет работ, контрольв форме контрольного тестирова- ное тестирование.

1.5. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ И ТЕМ ДИСЦИПЛИНЫ

Тема №1. Введение в предмет «Численные методы». Точность вычислительного эксперимента (лекция 1, практическое занятие 1).

Предмет вычислительной математики. Методы вычислительной математики. Численные методы как раздел вычислительной математики. Общие сведения о моделировании.

Применение численных методов в математическом моделировании. Классификация математических моделей и основные этапы моделирования.

Правила приближенных вычислений и элементы теории погрешностей. Приближенные числа, абсолютные и относительные погрешности. Арифметические действия над приближенными числами. Виды и источники погрешностей. Устойчивость. Корректность. Сходимость.

Тема №2. Численные методы решения нелинейных алгебраических уравнени. (лекции 2-3, практическое занятие 2).

Метод половинного деления. Метод хорд. Метод Ньютона. Метод простых итераций.

Метод релаксаций. Метод Чебышева третьего порядка. Геометрическая интерпретация рассмотренных методов.

Тема №3. Численные методы линейной алгебры (лекции 4-5, практическое занятие 3).

Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. Основные понятия.

Прямые и итерационные методы. Метод Гаусса. Схема Гаусса с выбором главного элемента.

Метод прогонки для решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод выражений. Компактная схема метода Гаусса или схема Халецкого. Применение метода Гаусса к вычислению определителей и к обращению матриц. Метод квадратных корней. Метод LUразложения. Метод простой итерации. Метод Якоби и метод Зейделя. Вычисление определителей. Задачи на собственные значения. Метод Крылова для нахождения собственных чисел и векторов матриц. Нормы и обусловленность матриц. Теорема о достаточном условии сходимости. Теорема о достаточном условии сходимости методов Якоби и метода Зейделя.

Тема №4. Численное решение систем нелинейных уравнений. (лекция 6) Метод Ньютона. Метод простой итерации. Метод градиентного спуска. Варианты итерационных схем.

Тема №5. Аппроксимация функций и обработка экспериментальных данных (лекции 7-9, практическое занятие 4-5) Постановка задачи аппроксимации функций. Виды аппроксимаций. Использование рядов. Многочлены Чебышева и наилучшие равномерные приближения. Интерполирование функций. Постановка задачи интерполяции. Линейная и квадратичная интерполяции. Интерполяционные сплайны. Полиномиальная интерполяция. Интерполяционные формулы Ньютона для равноотстоящих узлов. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Схема Эйткена.

Интерполяционные формулы Гаусса, Стирлинга, Бесселя. Нахождение корней уравнения методом обратного интерполирования. Подбор эмпирических формул. Поиск параметров формул. Подбор эмпирических формул. Эмпирические формулы. Определение параметров эмпирической зависимости. Метод наименьших квадратов. Локальное сглаживание данных.

Нахождение приближающей функции в виде линейной функции и квадратичного трехчлена.

Аппроксимация функцией произвольного вида.

Тема №6. Численное дифференцирование. Численное интегрирование (лекция 10) Аппроксимация производных. Погрешности, возникающие при численном дифференцировании. Выбор оптимального шага. Аппроксимация производных интерполяционными многочленами с постоянным и переменным шагом. Метод неопределенных коэффициентов.

Улучшение аппроксимации методом Рунге. Аппроксимация частных производных.

Квадратурные формулы. Выбор шага интегрирования. Интегрирование с помощью степенных рядов. Интегралы от разрывных функций. Метод Гаусса. Интегралы с бесконечными пределами. Кратные интегралы. Метод повторного интегрирования. Метод Диткина.

Метод Монте-Карло. Вычисление интегралов в нерегулярных случаях.

Тема №7. Приближенное решение начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений (лекция 11-12, практическое занятие 6) Основные понятия и методы решения. Задача Коши. Одношаговые методы. Метод последовательных приближений. Метод Эйлера. Модификации метода Эйлера. Метод РунгеКутта. Многошаговые методы. Метод Адамса. Метод Милна. Аппроксимация, устойчивость, сходимость численного решения задач для дифференциального уравнения.

Тема №8. Численные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений (лекции 13-14, практическое занятие 7).

Постановка задачи. Метод конечных разностей для линейных и нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. Метод прогонки. Метод Галеркина. Метод коллокации.

Тема №9. Численное решение уравнений с частными производными (лекция 15-17, практическое занятие 8) Классификация дифференциальных уравнений с частными производными. Начальные и краевые условия. Задача Коши. Смешанная задача. Метод сеток для уравнений эллиптического типа. Метод сеток для уравнений параболического и гиперболического типа.

При выполнении практических работ по данному курсу студенты должны продемонстрировать умение решать прикладные задачи.

Практическая работа выполняется строго в соответствии с выданным преподавателем заданием и вариантом. Завершающим этапом выполнения работы является оформление отчета. Отчет содержит: титульный лист, лист задания, раздел, содержащий теоретические основы соответствующего раздела курса, включая расчетные формулы основного метода и расчет погрешности метода, раздел, содержащий описание реализации, раздел, содержащий описание результатов, список использованной литературы.

1.6. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА Самостоятельная работа – 94 часа. По данному курсу в рамках самостоятельной работы студента предполагается подготовка к устной защите практических работ, текущая подготовка по темам лекционных занятий, подготовка к контрольному тестированию и итоговому контролю в конце семестра.

дисциплины Самостоятельная работа по теме практического занятия «Теория погрешностей»

Самостоятельная работа по теме практического занятия «Численные методы решения нелинейных алгебраических уравнений»

Самостоятельная работа по теме практического занятия «Численное решение систем линейных уравнений»

Самостоятельная работа по теме практического занятия «Численное решение систем линейных уравнений»

Самостоятельная работа по теме практического занятия «Интерполирование функций»

Самостоятельная работа по теме лабораторной работы «Численное дифференцирование и интегрирование»

Самостоятельная работа по теме лабораторной работы «Приближенное решение начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений»

8 8 боты «Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений»

1.7. МАТРИЦА КОМПЕТЕНЦИЙ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

1.8. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ При преподавании дисциплины «Численные методы» используются как традиционные (лекция, проблемная лекция, лекция-семинар), так и инновационные технологии (применение мультимедийного проектора, семинар-дискуссия, «мозговой штурм», использование ресурсов сети Internet и электронных учебников).

Лекционные занятия проводятся с использованием традиционной, активной и интерактивной форм обучения. Практические занятия проводятся с использованием активных и интерактивных форм обучения.

Распределение образовательных технологий соответствует проведению занятий в интерактивной форме в объеме не менее 30% от аудиторных занятий – 15 часов.

Интерактивные формы обучения используются на лекционных и практических занятиях, темы которых приведены в таблице:

1. Введение в предмет «Численные методы». Точность вычислительно- 2 - го эксперимента (проблемная лекция) 2. Численные методы решения нелинейных алгебраических уравнений 2 2 (проблемная лекция, метод группового решения задач, мозговой штурм).

3. Численные методы решения систем линейных алгебраических урав- 2 2 нений (проблемная лекция, метод группового решения задач, мозговой штурм).

5. Аппроксимация функций и обработка экспериментальных данных 2 2 (проблемная лекция, метод группового решения задач).

7. Приближенное решение начальных задач для обыкновенных диффе- 2 2 ренциальных уравнений (проблемная лекция, метод группового решения задач, мозговой штурм).

8. Численные методы решения краевых задач для обыкновенных диф- 2 2 ференциальных уравнений (проблемная лекция, метод группового решения задач, мозговой штурм).

1.9. ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ,

ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ И

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

СТУДЕНТОВ

Оценочные средства для текущего контроля успеваемости и для промежуточной аттестации: балльно-рейтинговая система оценки знаний учащихся.

Текущий контроль за аудиторной и самостоятельной работой обучаемых осуществляется во время проведения занятий посредством устного опроса по контрольным вопросам соответствующего раздела, а также проверки отчетов по практическим работам. Каждый вид работ, включая посещение лекционных занятий, оценивается определенным количеством баллов (п.12).

Итоговый контроль осуществляется после успешного прохождения студентами текущего и промежуточного контроля в виде зачета. Для итоговой аттестации студента по дисциплине также используется балльно-рейтинговая система оценки знаний.

Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов: основная и дополнительная литература, официальные ресурсы сети Internet, установленное в вузе программное обеспечение.

Перечень теоретических вопросов к зачету по курсу: «Численные методы»:

1. Классификация погрешностей. Приближенные числа, их абсолютные и относительные погрешности. Верные знаки числа. Арифметические действия над приближенными числами.

2. Правила приближенных вычислений. Погрешности вычисления значений функции.

3. Устойчивость. Корректность. Сходимость итерационных последовательностей.

4. ЧМ решения нелинейных уравнений. Локализация корней. Методы Дихотомии.

5. ЧМ решения нелинейных уравнений. Локализация корней. Метод Ньютона. Теорема об оценках погрешности метода Ньютона.

6. ЧМ решения нелинейных уравнений. Локализация корней. Модификации метода Ньютона.

7. ЧМ решения нелинейных уравнений. Локализация корней. Метод простой итерации.

8. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. Прямые методы. Метод Гаусса. Схема Гаусса с выбором главного элемента.

9. Метод прогонки. Контроль точности при реализации прямых методов решения СЛАУ.

10. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. Итерационные методы. Метод простой итерации. Метод Зейделя. Теорема об оценках погрешностей.

11. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. Итерационные методы. Метод Якоби и модификация. Теорема об оценках погрешностей.

12. ЧМ решения систем нелинейных уравнений. Метод простых итераций.

13. ЧМ решения систем нелинейных уравнений. Метод Ньютона и его модификации.

14. Аппроксимация функций. Интерполирование функций. Полиномиальная интерполяция.

Интерполяционные формулы Ньютона для равноотстоящих узлов.

15. Аппроксимация функций. Интерполирование функций. Полиномиальная интерполяция.

Интерполяционные формулы Гаусса, Бесселя и Стирлинга для интерполирования в середине таблицы.

16. Аппроксимация функций. Интерполяционный многочлен Лагранжа.

17. Аппроксимация функций. Подбор эмпирических формул. Метод наименьших квадратов.

18. Численное дифференцирование. Аппроксимация производных. Использование интерполяционных формул.

19. Численное интегрирование. Квадратурные формулы. Выбор шага интегрирования.

20. Численное интегрирование. Квадратурные формулы Гаусса.

21. Численное интегрирование. Метод Монте-Карло.

22. Численные методы решения начальных задач для ОДУ. Постановка задачи. Классификация методов. Метод Пикара.

23. Численные методы решения начальных задач для ОДУ. Метод Эйлера и его модификации.

24. Численные методы решения начальных задач для ОДУ. Семейство методов РунгеКутты.

25. Линейные многошаговые методы решения задач Коши для ОДУ. Метода АдамсаБашфорта.

26. Линейные многошаговые методы решения задач Коши для ОДУ. Методы АдамсаМоултона.

27. Линейные многошаговые методы решения задач Коши для ОДУ. Предикткоррек5торные схемы метода Адамса.

28. Численные методы решения краевых задач для ОДУ. Постановка краевой задачи. Классификация методов.

29. Численные методы решения краевых задач для ОДУ. Метод конечных разностей.

30. Численные методы решения краевых задач для ОДУ. Метод коллокации.

31. Численные методы решения краевых задач для ОДУ. Метод Галеркина.

32. Численные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными. Классификация. Начальные и краевые условия. Задача Коши. Смешанная задача.

33. Численные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными. Конечно-разностные аппроксимации производных. Метод сеток для решения задач эллиптического типа.

34. Метод сеток для решения задач эллиптического типа. Решение задач для криволинейных областей. Аппроксимация производных.

35. Численные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными. Классификация. Начальные и краевые условия. Задача Коши. ЧМ решения задач параболического типа.

36. Численные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными. Классификация. Начальные и краевые условия. Задача Коши. ЧМ решения задач гиперболического типа.

1.10. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ «ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»

а) Перечень обязательной (основной) литературы Бахвалов, Н. С. Численные методы: учеб. пособие: рек. Мин. обр. РФ / Н. С.

Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. - 6-е изд. - М. : БИНОМ. Лаб. знаний, 2008. - 637 с.

Самарский А.А. Введение в численные методы : учеб. пособие/ А. А. Самарский. -3-е изд., стер. -СПб.: Лань, 2005. -288 с.

Формалев В.Ф. Численные методы : учеб. пособие: рек. НМС Мин. обр.

РФ/ В. Ф. Формалев, Д. Л. Ревизников ; под ред. А. И. Кибзуна. -2-е изд., испр. и доп.. -М.:

Физматлит, 2006. -399 с.

б) Перечень дополнительной литературы 1.10.4. Вержбицкий, В. М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения): учеб. пособие для вузов: рек. Мин. обр. РФ / В. М. Вержбицкий. - М. : Высш. шк., 2000. - 268 с.

1.10.5. Вержбицкий, В. М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения): учеб. пособие для вузов / В. М. Вержбицкий. - М. :

Высш. шк., 2001. - 382с.

1.10.6. Волков Е.А. Численные методы : учеб. пособие/ Е. А. Волков. -4-е изд., стер.. СПб.: Лань, 2007. -249 с.

1.10.7. Киреев В.И. Численные методы в примерах и задачах : учеб. пособие : рек.

УМО/ В. И. Киреев, А. В. Пантелеев. -3-е изд., стер.. -М.: Высш. шк., 2008. -480 с.

1.10.8. Лапчик М.П. Численные методы : учеб. пособие: рек. Мин. обр. РФ/ М. П.

Лапчик, М. И. Рагулина, Е. К. Хеннер; под ред. М. П. Лапчика. -2-е изд., стер.. -М.: Академия, 2005. -384 с.

1.10.9. Масловская, А. Г. Методы вычислений: реализация алгоритмов в MATLAB:

практикум / А. Г. Масловская, Т. К. Барабаш, Л. В. Чепак ; АмГУ, ФМиИ. - Благовещенск :

Изд-во Амур. гос. ун-та, 2010. - 204 с.

Масловская, А. Г. Основные принципы работы и конструирование интерфейса в MATLAB: практикум / А. Г. Масловская, А. В. Рыженко ; АмГУ, ФМиИ. - Благовещенск : Изд-во Амур. гос. ун-та, 2008. - 103 с.

Марчук Г.И. Методы вычислительной математики: учеб. пособие / Г.И.

Марчук. – 4-е изд., стер. – СПб.: Лань, 2009. – 608 с.

Плохотников К.Э. Вычислительные методы. Теория и практика в среде Matlab : курс лекций: учеб. Пособие: рек. УМО / К.Э. Плохотников. – М.: Горячая линия – Телеком, 2009. – 496 с.

Журнал “Russian journal of numerical analysis and mathematical modeling”.

г) Программное обеспечение и Интернет-ресурсы

1.11. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Лекции и практические занятия проводятся в стандартных аудиториях, оснащенных в соответствии с требованиями преподавания теоретических дисциплин.

1.12. РЕЙТИНГОВАЯ ОЦЕНКА ЗНАНИЙ СТУДЕНТОВ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

Рейтинговая оценка знаний студентов проводится в соответствии с положением о балльно-рейтинговой системе оценки знаний студентов АмГУ и положением кафедры МАиМ по дисциплине.

Текущий контроль включает в себя проверку практических работ, итоговое тестирование, зачет.

БАЛЛЬНАЯ СТРУКТУРА ОЦЕНКИ ЗА 4 СЕМЕСТР

линейных уравнений. Численные методы линейной алгебры»

чальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений»

2 Краткое изложение программного материала Семестр обучения: Название темы: «Введение в предмет «Численные методы». Точность вычислительного эксперимента (тема №1).

План лекции. Предмет вычислительной математики. Методы вычислительной математики. Численные методы как раздел вычислительной математики. Общие сведения о моделировании. Применение численных методов в математическом моделировании. Классификация математических моделей и основные этапы моделирования. Пакеты прикладных программ, используемые для решения прикладных задач.

Общая формула для оценки главной части погрешности. Погрешность задачи. Погрешность метода (устранимая или условная). Погрешность округлений (погрешность действий). Полная погрешность результата решения задачи. Приближенные числа, их абсолютные и относительные погрешности. Предельные погрешности. Сложение и вычитание приближенных чисел. Умножение и деление приближенных чисел. Погрешности вычисления значения функции. Функции одной переменной. Функции нескольких переменных. Определение допустимой погрешности аргументов по допустимой погрешности функции. Примеры.

Статистический и технический подходы к учету погрешностей действий. Статистические законы формирования погрешностей результатов действий. правило Чеботарева. Принцип Л. Н. Крылова.

Понятие о погрешностях машинной арифметики. Два способа для представления вещественных чисел в ЭВМ: с фиксированной и с плавающей запятой (точкой). Оценки абсолютных и относительных погрешностей.

Устойчивость. Корректность. Примеры неустойчивых задач.

Обусловленной линейных алгебраических задач. Число (мера) обусловленности матрицы. Спектральный радиус матрицы.

Цели, задачи: Ввести студентов в дисциплину «Численные методы», обозначить структуру курса, содержание практического и лабораторного практикума по основным разделам, предусмотренным Государственным образовательным стандартом, озвучить междисциплинарные связи, правила организации аудиторной и самостоятельной работы студентов, дать методические рекомендации по изучению дисциплины, указать список основной и дополнительной литературы, рекомендуемой студентам, ознакомить студентов с формами текущего и итогового контроля по дисциплине.

Дать обучающимся целостные и взаимосвязанные знания по темам «Правила приближенных вычислений», «Устойчивость. Корректность», обеспечить творческую работу студентов совместно с преподавателем.

1) сформулируйте схему вычислительного эксперимента, 2) какое место занимают вычислительные методы среди методов решения прикладных задач? 3) привести примеры задач, которые не могут быть решены аналитическими методами.

1) Какая погрешность считается неустранимой и почему? 2) Как определить верные знаки числа по его абсолютной и относительной погрешностям? 3) В чем заключается особенность определения погрешности результата сложения или вычитания приближенных чисел? 4) Какова особенность определения погрешности результата операций деления или умножения приближенных чисел? 5) Как определяется относительная погрешность вычисления значения функции? 6) Дайте понятие корректно-поставленной задачи.

Ссылки на литературные источники:

1.10.1-1.10.2, 1.10.7-1.10.9, 1.10. Выводы по теме: Численные методы занимают важное место в системе прикладного математического образования. Этот курс тесно связан с основными математическими дисциплинами: линейная алгебра, математический анализ, дифференциальные уравнения, алгоритмические языки, практикум на ЭВМ. Разделы, изучение которых предусмотрено Государственным образовательным стандартом, – основы теории погрешностей, численные методы решения нелинейных уравнений и их систем, систем линейных уравнений, теория интерполирования, численное дифференцирование и интегрирование, применение численных методов для обработки экспериментальных данных, численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных и интегральных уравнений. Одним из основных направлений дисциплины является обретение навыков: определения верного подхода к решению поставленной задачи, алгоритмизация и программирование численных методов, оценка границ применимости метода и погрешности найденного решения.

Методики приближенных вычислений, понимание проблем точности расчетов, способы и подходы к оценке погрешностей машинной арифметики, а также методы анализа задач на предмет корректности постановки являются важными компонентами решения практически любой прикладной задачи и требуют качественного теоретического и практического освоения.

Название темы: «Численные методы решения нелинейных алгебраических уравнений».

Постановка задачи нахождения корня нелинейного скалярного уравнения.

Локализация корней. Графический способ локализации корней. Аналитический способ отделения корней. Примеры. Метод перебора организации машинной процедуры отделения корней.

Методы дихотомии. Метод половинного деления. Метод хорд. Сходимость итерационных последовательностей. Геометрические интерпретации методов.

Линейно сходящийся итерационный процесс, итерационный процесс, сходящийся с порядком p. Локально и глобально сходящиеся итерационные методы. Скорость сходимости итерационного процесса.

Метод Ньютона. Алгоритм нахождение корня методом касательных. Геометрическая интерпретация метода. Теорема об априорной и апостериорной оценках погрешностей метода Ньютона. Модификации метода Ньютона.

Метод простой итерации. Пример сходящейся последовательности. Пример расходящейся последовательности. Достаточное условие построения сходящейся итерационной последовательности для решения нелинейного уравнения методом простой итерации. Примеры.

Цели, задачи: глубокое разъяснение и системное изложение учебного материала по теме «Численные методы решения нелинейных алгебраических уравнений».

Ключевые вопросы: 1) В чем заключается задача изоляции корней? 2) В чем суть графического метода отделения корней? 3) Какие свойства функции одной переменной используются для проверки правильности локализации корня и его единственности на отрезке? 4) Поясните геометрический смысл методов: половинного деления, секущих, касательных. 5) Назовите основную сущность итерационных методов. 6) Какова последовательность действий при решении уравнения методом простых итераций? 7) Почему в методе касательных начальное приближение x0 a, b целесообразно выбирать из условия f ( x0 ) f " ( x0 ) 0 ? 8) Чему равны порядки сходимости рассмотренных методов? 9) Поясните, почему метод секущих можно считать частным случаем метода Ньютона, а метод Ньютона – частным случаем метода Чебышева?

Ссылки на литературные источники:

1.10.1-1.10.3, 1.10.4, 1.10.7-1.8. Выводы по теме: Практическое решение задач в постановке нелинейных одномерных скалярных уравнений требует оптимального выбора метода реализации, алгоритмизации численного метода решения задачи, а также оценки погрешности получаемого решения.

Название темы: «Численные методы линейной алгебры».

Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. Постановка задачи и основные понятия. Прямые и итерационные методы.

Метод Гаусса. Схема Гаусса с выбором главного элемента. Метод прогонки для решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод выражений. Компактная схема метода Гаусса или схема Халецкого. Применение метода Гаусса к вычислению определителей и к обращению матриц. Метод квадратных корней. Метод LU-разложения. Итерационное уточнение корней уравнений. Численные примеры.

Метод простой итерации. Метод Якоби и метод Зейделя. Численные примеры.

Вычисление определителей. Задачи на собственные значения. Метод Крылова для нахождения собственных чисел и векторов матриц. Нормы и обусловленность матриц. Теорема о достаточном условии сходимости. Теорема о достаточном условии сходимости методов Якоби и метода Зейделя.

Цели, задачи: системное изложение теоретических и практических аспектов темы «Численные методы линейной алгебры».

Ключевые вопросы: 1) В чем заключается основное преимущество метода Гаусса с выбором главного элемента? 2) Почему схемы Гаусса с выбором главного элемента дают более точный результат, нежели простая схема Гаусса? 3) Для каких специфических систем линейных алгебраических уравнений применим метод прогонки? 4) На чем основана более высокая эффективность метода прогонки по сравнению с методом Гаусса? 5) В чем заключаются этапы прямой и обратной прогонки? 6) Какие существуют способы приведения исходной матрицы к виду, пригодному для решения методом простой итерации? 7) Каким образом может быть выбран вектор начальных приближений? 8) Назовите достаточное условие сходимости итерационных методов. 9) В чем заключается преимущество метода Зейделя при программировании?

Ссылки на литературные источники:

1.10.1-1.10.3, 1.10.4, 1.10.6-1.10. Выводы по теме: Вычислительный аппарат линейной алгебры включает широкий спектр методов применительно к решению различных практических задач: решению систем линейных алгебраических уравнений, вычислению определителей, обращению матриц, решению задач на собственные значения.

Название темы: «Численное решение систем нелинейных уравнений».

Постановка задачи нахождения решения системы нелинейных уравнений. Задача в векторной форме о нулях нелинейного отображения F : Rn Rn. Метод простых итераций.

Метод покоординатных итераций.

Метод Ньютона и его модификации. Явная и неявная формулы метода Ньютона. Матрица Якоби. Модифицированный метод Ньютона. Рекурсивный метод Ньютона. Модификация в виде двухступенчатого процесса метода Ньютона. Разностный метод Ньютона. Численные примеры.

Расчетные формулы метода Брауна в двумерном случае. Сходимость метода Брауна.

Метод скорейшего спуска. Метод градиентного спуска. Направление минимизации.

Условие релаксации. Геометрическая интерпретация метода. Сходимость метода скорейшего спуска. Комбинации итерационных схем.

Цели, задачи: формирование ориентировочной основы для последующего усвоения и практического применения математического аппарата по теме «Численное решение систем нелинейных уравнений».

Ключевые вопросы: 1) Как выбор начального приближения влияет на сходимость метода Ньютона? 2) Почему рассмотренные методы являются итерационными? 3) Каким образом выбираются начальные приближения в рассмотренных методах? 4) Поясните геометрический смысл методов спуска. Что произойдет, если в окрестности решения нелинейной системы функция будет иметь несколько минимумов? 5) В каком случае целесообразным представляется применение метода Брауна для решения систем нелинейных уравнений.

Ссылки на литературные источники:

1.10.1-1.10.3, 1.10.4, 1.10.6-1.10. Выводы по теме: В настоящее время разработан широкий ряд методик, направленных на решение задач в постановке систем нелинейных уравнений. Общий подход к решению таких задач на основе идей, применяемых для решения СЛАУ, оказывается непригодным.

Качественное решение задачи требует тщательного анализа постановки задачи, комплексного подхода, состоящего в использовании комбинированных методов (обеспечивающих глобальную быструю сходимость решения и локальное уточнение в направлении оптимального поиска).

Название темы: «Аппроксимация функций и обработка экспериментальных данных».

Постановка задачи аппроксимации функций. Виды аппроксимаций. Использование рядов. Многочлены Чебышева и наилучшие равномерные приближения.

Интерполирование функций. Постановка задачи интерполяции. Линейная и квадратичная интерполяции. Интерполяционные сплайны. Полиномиальная интерполяция. Интерполяционные формулы Ньютона для равноотстоящих узлов. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Интерполяционные формулы Гаусса, Стирлинга, Бесселя.

Определение параметров эмпирической зависимости. Метод наименьших квадратов.

Локальное сглаживание данных.

Цели, задачи: Формирование устойчивых знаний по теме «Аппроксимация функций и обработка экспериментальных данных», мотивация студентов к самостоятельной работе по практическим вопросам применения данной темы к обработке экспериментальных данных.

Ключевые вопросы: 1) В каких практических случаях может потребоваться аппроксимация функции? 2) В какой форме строится интерполяционный многочлен Лагранжа? 3) Как используется при выводе формулы Лагранжа требование совпадения его значений со значениями исходной функции в узлах? 4) Какие точки называются узлами интерполяции?

Какие узлы называются равноотстоящими? 5) При решении каких задач используются интерполяционные формулы Ньютона, Гаусса, Бесселя, Стирлинга? 6) В каких случаях применяется сплайн-интерполяция? Какой недостаток «кусочно-непрерывного» интерполирования с помощью многочленов Лагранжа или Ньютона устраняется при интерполяции сплайнами?

7) В чем суть приближения таблично заданной функции по методу наименьших квадратов?

8) Чем этот метод отличается от метода интерполяции? 9) Какие элементарные функции чаще всего используются в качестве приближающих? 10) Как можно добиться повышения качества приближения? 11) Какая ошибка является среднеквадратической? 12) Какое из двух приближений одной и той же таблично заданной функции считается лучшим? 13) Каким образом построение приближающих функций в виде различных элементарных функций сводится к случаю линейной функции? 14) За счет чего возникает полиномиальное раскачивание?

Ссылки на литературные источники:

1.10.1-1.10.3, 1.10.4, 1.10.6, 1.10.9, 1.10.11-1.10.12, 1.10.13-1.10. Выводы по теме: Многие практические задачи обработки данных вычислительного и физического экспериментов требуют применения методов аппроксимации. Успех аппроксимации определяется, во многом, детальным анализом постановки задачи, выбором подходящей методики и умением использовать современные программные средства для решения прикладных задач.

Название темы: «Численное дифференцирование и интегрирование».

Аппроксимация производных. Погрешности, возникающие при численном дифференцировании. Выбор оптимального шага.

Аппроксимация производных интерполяционными многочленами с постоянным и переменным шагом. Пример численной реализации.

Квадратурные формулы. Выбор шага интегрирования. Интегрирование с помощью степенных рядов. Интегралы от разрывных функций. Примеры численных реализаций.

Метод Гаусса. Пример численной реализации.

Метод Монте-Карло.

Вычисление интегралов в нерегулярных случаях.

Цели, задачи: рассмотреть базовые подходы к построению формул численного дифференцирования, сформировать четкие знания у студентов по этой теме, нацелить на решение практических задач. Формирование базовых знаний у студентов и системное изложение учебного материала по теме «Численное интегрирование».

Ключевые вопросы:

1) Каким образом можно повысить точность численного дифференцирования? 2) В чем заключается особенность построения формул численной аппроксимации частных производных? 3) Дайте геометрическую интерпретацию аппроксимации формул производной первого порядка от функции одной переменной.

1) В чем основные преимущества формулы трапеций по сравнению с методом прямоугольников? 2) Как выбирается шаг интегрирования? 3) Чему равен порядок погрешности формулы Симпсона для двумерной подынтегральной функции? 4) Какие условия обязательно должны выполняться в методе трех восьмых и почему? 5) В чем состоит суть метода Монте-Карло для численного интегрирования. Сформулируйте, в чем заключается его преимущество и недостаток по сравнению с квадратурными формулами численного интегрирования.

Ссылки на литературные источники:

1.10.1-1.10.3, 1.10.5, 1.10.9, 1.10.10-1.10. Выводы по теме: Вопросы численной аппроксимации производной играют важную роль в формировании прикладных математических знаний у студентов, в частности, при рассмотрении одного из базовых приемов математического моделирования – переходе от непрерывной, континуальной, постановки задачи к дискретной. Задачи интегрирования функций, первообразные которых не вычисляются в квадратурах, требуют применения численных алгоритмов, детальный выбор которого определяется требуемой точностью, размерностью задачи, техническими возможностями проведения высокоточных вычислений.

Название темы: «Приближенное решение начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений».

Постановка задачи и классификация приближенных методов решения задач Коши.

Одношаговые методы. Метод последовательных приближений (метод Пикара). Вывод итерационной формулы. Геометрическая интерпретация метода. Оценка погрешности метода. Пример численной реализации.

Метод Эйлера. Явный и неявный методы Эйлера. Геометрическая интерпретация метода. Оценка погрешности метода. Пример. Распространение метода Эйлера на системы дифференциальных уравнений и на дифференциальные уравнения высших порядков. Пример численной реализации.

Модификации метода Эйлера. Усовершенствованный метод Эйлера-Коши. Метод Эйлера с итерационной обработкой. Метод 2-го порядка точности – исправленный метод Эйлера.

Метод Рунге-Кутта. Идея построения явных методов Рунге-Кутты p-го порядка. Построение методов Рунге-Кутты для p = 2 (метод Хойна, метод средней точки). Метод РунгеКутты четвертого порядкаПример численной реализации.

Линейные многошаговые методы. Экстраполяционные формулы Адамса (методы Адамса-Башфорта первого, второго, третьего порядка точности). Интерполяционные формулы Адамса-Моултона (методы Адамса-Моултона первого, второго, третьего порядка точности). Предикт-корректорные методы Адамса.

Аппроксимация, устойчивость, сходимость численного решения задач для дифференциального уравнения.

Цели, задачи: формирование фундаментальных и прикладных знаний по методам вычислительной математики для решения задач Коши в постановке обыкновенных дифференциальных уравнений.

Ключевые вопросы: 1) В чем заключается основная особенность метода Пикара? 2) Поясните геометрический смысл метода Эйлера для решения обыкновенных дифференциальных уравнений. 3) Что можно сказать о динамике погрешности в пошаговом методе Эйлера? 4) Как определяется порядок точности метода Рунге-Кутты? 5) В чем состоят принципиальные различия между одношаговыми и многошаговыми методами? 6) Чем отличаются явные и неявные многошаговые методы? 7) Каким образом можно организовать начальный этап работы при использовании многошаговых методов?

Ссылки на литературные источники:

1.10.1-1.10.3, 1.10.5, 1.10.7-1.10. Выводы по теме: Практически важная область вычислительной математики – методы решения задач Коши для ОДУ, требует детального изучения как с точки зрения теории (алгоритмы, оценки погрешностей), так и с практической стороны (выбор метода решения, выбор шага интегрирования дифференциального уравнения, особенности программной реализации и т.д.).

Название темы: «Численные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений».

Постановка задачи и классификация приближенных методов решения краевых задач для ОДУ.

Метод конечных разностей для линейных и нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. Типичные конечно-разностные аппроксимации. Решение СЛАУ методом прогонки. Пример численной реализации.

Метод коллокации. Приближенно-аналитический подход, выбор базисных функций.

Пример численной реализации.

Метод Галеркина. Проекционный подход. Пример численной реализации.

Цели, задачи: Формирование устойчивых знаний по теме «Численные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений», мотивация студентов к самостоятельной работе по практическим вопросам применения данной темы к решению прикладных задач.

Ключевые вопросы: 1) Какое ограничение в применении имеют методы сведения краевых задач к задачам Коши? 2) В чем заключается суть метода конечных разностей? 3) В чем состоит особенность подбора коэффициентов ci в методе коллокации? 4) Почему метод Галеркина относится к группе проекционных методов?

Ссылки на литературные источники:

1.10.1-1.10.3, 1.10.5-1.10. Выводы по теме: Аналитическое решение краевых задач вызывает большие трудности по сравнению с решением задачи Коши. Большое разнообразие развитых численных методов решения таких задач требует выбора оптимального, в каждом из случаев, метода решения.

Методы решения краевых задач в постановке ОДУ занимают особое место в широком классе прикладных задач, описываемых детерминированными математическими моделями.

Название темы: «Численное решение уравнений с частными производными».

Классификация дифференциальных уравнений с частными производными. Начальные и краевые условия. Задача Коши. Смешанная задача. Классификация приближенных методов решения задач в постановке УЧП.

Краевая задача для уравнения эллиптического типа. Первая краевая задача, вторая краевая задача, третья краевая задача. Уравнения Лапласа и Пуассона. Задача Дирихле. Задача Неймана.

Решение уравнений эллиптического типа методом конечных разностей. Конечноразностные аппроксимации частных производных, КР-аппроксимация оператора Лапласа.

Погрешность аппроксимации оператора Лапласа. Конечно-разностные шаблоны. Решение краевых задач для уравнений эллиптического типа методом сеток. Решение краевых задач для криволинейных областей. Процесс Либмана. Примеры.

Метод сеток для уравнений параболического типа. Решение уравнения теплопроводности. Явная конечно-разностная схема. Условие устойчивости схемы. Неявная схема, схема Кранка-Николсона. Примеры.

Метод сеток для уравнений гиперболического типа. Уравнение свободных колебаний однородной ограниченной струны. Конечно-разностный шаблон, используемый для аппроксимации уравнения гиперболического типа. Примеры.

Использование метода Монте-Карло для решения уравнений математической физики.

Решение задачи Дирихле методом Монте-Карло. Пример.

Цели, задачи: дать обучающимся целостные и взаимосвязанные знания по численным методам решения задач математической физики в постановке уравнений в частных производных, а также обеспечить творческую работу студентов совместно с преподавателем.

Ключевые вопросы: 1) Какие узлы называются граничными узлами первого и второго рода? 2) Из чего складывается погрешность приближенного решения, полученного разностным методом? 3) Выполнение какого условия необходимо для устойчивости явной разностной схемы для уравнений параболического типа? 4) В чем состоит особенность применения метода сеток для уравнений гиперболического типа?

Ссылки на литературные источники:

1.10.3, 1.10.5, 1.10.8-1.10.10, 1.10.12-1.10. Выводы по теме: методики построения приближенных решений уравнений с частными производными, особенности программных реализаций изучаемых алгоритмов, способы и подходы к оценке погрешностей полученного решения являются важными компонентами реализации широкого класса детерминированных математических моделей и требуют качественного теоретического и практического освоения.

3. Методические указания Для оптимальной организации изучения дисциплины студентам рекомендуется следовать следующим методическим указаниям.

Студенты очной формы обучения обязаны присутствовать на занятиях и выполнять все предусмотренные учебно-методическим комплексом дисциплины формы учебной работы; проходить промежуточный и итоговый контроль в виде защит практических работ, аттестации в форме тестового контроля знаний; сдачи зачета в предлагаемой преподавателем форме.

Дисциплина «Численные методы» изучается студентами в 4 семестре обучения, который включает 34 часа лекционных занятий, 16 часов практических занятий, и заканчивается зачетом. На самостоятельную работу студентов отводится 94 часа.

Теоретическая часть курса включает следующие темы (в скобках указан объем каждой лекции в часах).

Тема №1. Введение в предмет «Численные методы». Точность вычислительного эксперимента (2 часа) Тема №2. Численные методы решения нелинейных алгебраических уравнений (4 часа) Тема №3. Численные методы линейной алгебры (4 часа) Тема №4. Численное решение систем нелинейных уравнений (2 часа) Тема №5. Аппроксимация функций и обработка экспериментальных данных (6 часов) Тема №6. Численное дифференцирование. Численное интегрирование (2 часа) Тема №7. Приближенное решение начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений (4 часа) Тема №8. Численные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений (4 часа) Тема №9. Численное решение уравнений с частными производными (6 часов) Каждая лекция содержит необходимый объем теоретического материала, изучение которого предусмотрено федеральным государственным образовательным стандартом специальности, а также некоторые дополнительные главы, необходимые для дальнейшего изучения прикладных математических дисциплин. В дополнение к лекционному материалу, студентам рекомендуется использовать основную и дополнительную литературу согласно перечню, приведенному в п.1.10.

Студенты в рамках аудиторных занятий должны, в целом, владеть понятийным аппаратом, основанном на ранее изученных дисциплинах, воспринимать теоретический материал основного содержания лекции, видеть причинно-логические связи в лекции, понимать схему решения примеров, приводимых в лекции. Для освоения темы каждой лекции на более глубоком уровне требуется дополнительная работа с теоретическим материалом в форме прочтения и изучения основной и дополнительной литературы, самостоятельной работы с лекцией.

Практические работы направлены на закрепление теоретического материала на практическом уровне и предусматривают реализацию алгоритмов численных методов по вариантам индивидуальных заданий. Допускается работа в подгруппах, состоящих из 2 студентов, с выполнением одного варианта. Отчет в этом случае оформляется каждым студентом отдельно. Опрос проводится независимо от личного вклада в результат выполнения работы. Для выполнения практической работы необходимо освоить теоретические основы соответствующего раздела, составить блок-схему реализации задачи, выполнить реализацию, протестировать задачу на примере, для которого известно аналитическое решение, оценить погрешность результата, оформить отчет по работе. При возникновении проблемных ситуаций в ходе решения практических задач (неясен алгоритм, непонятна ошибка программной среды при реализации метода, появились затруднения, связанные с тестированием алгоритма и пр.) или освоения теоретического материала преподавателем приветствуется любой диалог или дискуссия (возможно, с участием других студентов), направленные на решение проблемы, при необходимости отведения дополнительного и/или индивидуального времени – в рамках консультаций во внеаудиторное время.

3.1 Методические указания к практическим занятиям Практический курс предусматривает практические занятия по следующим темам (в скобках указан объем в часах, отводимый на выполнение каждой работы).

Тема №2. Численные методы решения нелинейных алгебраических уравнений Темы №6. Численное дифференцирование и интегрирование Тема №8. Приближенное решение начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений Тема №9. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений Практическая часть курса методически поддержана пособием, указанном в п.1.10.9. В практикуме изложены методы численного анализа: элементы теории погрешностей, численные методы решения нелинейных уравнений и систем, систем линейных уравнений, теория интерполирования, численное дифференцирование и интегрирование, использование численных методов для обработки экспериментальных данных, численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений с частными производными, интегральных уравнений. Все методы иллюстрируются примерами, в которых используются программы, реализованные в пакете Matlab. Приводятся варианты индивидуальных заданий к практикуму на ЭВМ.

Кроме методического пособия, студентам рекомендуется использовать также основную и дополнительную литературу согласно перечню, приведенному в п.1.10, при этом обращая внимание на практические аспекты использования алгоритмов и реализацию методов.

Индивидуальное задание (типовой расчет или практическая работа) выполняется строго в соответствии с выданным преподавателем заданием и вариантом. Оформлять работу следует четко и аккуратно, придерживаясь основных правил оформления отчетных работ:

титульный лист (содержит: ФИО, №группы, курс, дисциплина, тема расчета и т. д.), лист задания (содержит перечень предложенных заданий), раздел, содержащий теоретические основы соответствующего раздела курса (включая подробный алгоритм основного метода), раздел, содержащий описание реализации, раздел, содержащий расчеты 2-3 итераций каждого из реализуемых методов.

Практическая работа считается выполненной с отметкой «зачтено», если:

1) работа выполнена полностью и в соответствии с заданием;

2) студент отвечает на основные теоретические вопросы по соответствующему разделу;

3) работа оформлена в соответствии с указанными требованиями.

Сроки сдачи работ ограничены отведенным на выполнение практикума аудиторным временем – 16 час. практических занятий. Рекомендуется выполнять и сдавать на проверку отчеты по практическим работам по мере изложения лекционного материала и выдачи заданий преподавателем. Необходимым условием допуска студента на экзамен является сдача всех практических работ.

3.2 Методические по самостоятельной работе студентов На самостоятельную работу студента по дисциплине «Численные методы» отводится 94 часов.

Схема самостоятельной работы студентов, перечень тем, рекомендации по работе с литературой, рекомендации по подготовке к аттестации:

Семестр Введение в предмет «Численные методы». Точность вычисли- тельного эксперимента. Самостоятельная работа по темам практических занятий (решение задач). Изучение теоретических основ метода и алгоритма рекомендуется с использованием лекций по этой теме и литературных источников 1.10.1указанных в перечне основной и дополнительной литературы. Вопросы практической реализации методов рекомендуется рассматривать с помощью литературных источников 1.10.8, 1.10.9.

Численные методы решения нелинейных алгебраических 2- уравнений. Самостоятельная работа по темам практических занятий (реализация модификаций метода Ньютона, метода Чебышева, метода простых итераций). Изучение теоретических основ метода и алгоритма рекомендуется с использованием лекций по этой теме и литературных источников 1.10.1указанных в перечне основной и дополнительной литературы. Вопросы практической реализации методов рекомендуется рассматривать с помощью литературных источников 1.10.9. и 1.10.10.

Численные методы решения систем линейных алгебраических 4- уравнений. Самостоятельная работа по темам практических занятий (реализация прямых и итерационных методов решения СЛАУ). Изучение теоретических основ метода и алгоритма рекомендуется с использованием лекций по этой теме и литературных источников 1.10.1-1.10.2, 1.10.5, 1.10.6, 1.10.12, указанных в перечне основной и дополнительной литературы.

Вопросы практической реализации методов рекомендуется рассматривать с помощью литературных источников 1.10.7. и Аппроксимация функций и обработка экспериментальных данных. Самостоятельная работа по темам практических занятий (реализация сплайн-интерполяции, обработка данных методом наименьших квадратов). Изучение теоретических основ метода и алгоритма рекомендуется с использованием лекций по этой теме и литературных источников 1.10.1-1.10.2, 1.10.4, 1.10.5, 1.10.11, указанных в перечне основной и дополнительной литературы. Вопросы практической реализации методов рекомендуется рассматривать с помощью литературных источников 1.10.7, 1.10.8, 1.10. Численное дифференцирование и интегрирование. Самостоятельная работа по теме лабораторной работы (реализация квадратурной формулы метода Гаусса, метода Монте-Карло).

Изучение теоретических основ метода и алгоритма рекомендуется с использованием лекций по этой теме и литературных источников 1.10.1-1.10.2, 1.10.4, 1.10.5, 1.10.12, указанных в перечне основной и дополнительной литературы. Вопросы практической реализации методов рекомендуется рассматривать с помощью литературных источников 1.10.8, 1.10. Приближенное решение начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Самостоятельная работа по теме лабораторной работы (реализация предикт-корректорной схемы метода Адамса, неявных методов для решения задач Коши для ОДУ). Изучение теоретических основ метода и алгоритма рекомендуется с использованием лекций по этой теме и литературных источников 1.10.1-1.10.3, 1.10.5, 1.10.6, 1.10.12, указанных в перечне основной и дополнительной литературы. Вопросы практической реализации методов рекомендуется рассматривать с помощью литературных источников 1.10.8. и 1.10.9.

Численные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Самостоятельная работа по теме лабораторной работы (реализация метода коллокации и метода Галеркина для решения краевых задач для ОДУ). Изучение теоретических основ метода и алгоритма рекомендуется с использованием лекций по этой теме и литературных источников 1.10.1-1.10.3, 1.10.5-1.10.7, указанных в перечне основной и дополнительной литературы. Вопросы практической реализации методов рекомендуется рассматривать с помощью литературных источников 1.10.7 и 1.10.8.

Подготовка к итоговому тестированию и устному зачету (повторение и закрепление теоретического материала по всему курсу, решение тест-задач, подготовка к блиц-опросу) 4.1 Текущий контроль знаний Оценочные средства для текущего контроля успеваемости и для промежуточной аттестации: зачетная система оценки знаний учащихся.

Текущий контроль за аудиторной и самостоятельной работой обучаемых осуществляется во время проведения практических занятий посредством устного опроса по контрольным вопросам соответствующего раздела, а также проверки отчетов по практическим и лабораторным работам. Промежуточный контроль осуществляется два раза в семестр в виде анализа итоговых отчетов на аттестационные вопросы. Для заключительной аттестации студентов в конце семестра обучения проводится контрольное тестирование по вариантам (которое является составной частью зачета по практической части курса).

1. Определить количество верных цифр в числе a 0.235, если известна его относительная погрешность a 0.25 …(1 балл) 2. Относительная погрешность выражения r 1 2 n равна (1 балл) 3. Уравнение 8 x x 2 x 0.7 0 можно привести к виду, потенциально пригодному для реализации метода простой итерации уточнения корня, принадлежащего отрезку [0, 1] ( балла):

4. На рисунке изображена геометрическая интерпретация метода (1 балл):

Ньютона 5. Выполнить 2 итерации метода половинного деления для решения уравнения sin( x) x 2 0 с выполненной локализацией корня, приведенной на рисунке. Проверить, достигается ли точность 10 2 (3 балла).

6.Условием выбора начального приближения x0 в методе Ньютона является (2 балла):

7. Для использования метода прогонки уравнение должно иметь вид (1 балл) 1) двухточечного разностного уравнения второго порядка 2) трехточечного разностного уравнения второго порядка 3) двухточечного разностного уравнения первого порядка 4) трехточечного разностного уравнения первого порядка 8. Укажите, какой из следующих видов преобразований системы линейных алгебраических уравнений будет верным для реализации метода простых итераций (2 балла):

9. Первое приближение, найденное методом Зейделя (в модификации Якоби) для СЛАУ (записать решение) при начальном приближении x 0 равно (3 балла):

10. При решении некоторой СЛАУ итерационным методом получено два последовательных приближения x k 102 и почему? (1 балл) 11. Условия интерполяции таблично заданной функции xk, yk, k 0, n, функцией (x) ( балл):

12. Каким условиям должны удовлетворять элементы матрицы, чтобы процесс простых итераций сходился к точному решению системы x Cx f, при любом начальном векторе x (0 ) (2 балла):

13. Как будет выгладить матрица Якоби при решении системы двух уравнений методом Ньютона (2 балла):

14. Укажите верное определение сплайна и его дефекта (2 балла):

1) Сплайном S m (x) называется определенная на a, b функция, принадлежащая классу C e a, b, такая, что на промежутке xk 1, xk ( k 1, n ) – это функция m -ой степени.

Разность d m l называется дефектом сплайна.

2) Сплайном S m (x) называется определенная l раз непрерывно дифференцируемая на a, b функция такая, что на промежутке xk 1, xk ( k 1, n ) – это многочлен m-ой степени. Дефект сплайна – максимальная разность между степенью сплайна и его гладкостью.

3) Сплайном S m (x) называется определенная l раз непрерывно дифференцируемая на a, b функция такая, что на промежутке xk 1, xk ( k 1, n ) – многочлен m-ой степени.

Дефект сплайна – разность d m l.

4) Сплайном S m (x) называется определенная l раз непрерывно дифференцируемая на a, b функция. Дефектом сплайна называется разность между степенью функции и его гладкостью.

15. Построить интерполяционный член Лагранжа для таблично заданной функции и вычислить значение функции в точке x 16.0 … (2 балла):

16. Для следующей таблично заданной функции вычислить 2 y1 (2 балла) 17. Вычислить y3 для функции, заданной таблично (2 балла):

определяет формулу численного дифференцирования методом (2 балла):

19. Второе последовательное приближение решения уравнения y x 2 y 2 с начальным условием y 0 0 методом Пикара имеет вид (3 балла):

20. Решение дифференциального уравнения y y методом Эйлера и шагом h 0.2 и начальным условием y(0) 1, для x 0.2 будет иметь вид (2 балла):

21. Формула yi 1 yi 5 f i 1 8 f i fi 1 определяет следующий метод решения задачи Коши для ОДУ (3 балла):

1) неявный Адамса-Моултона III-го порядка точности 2) явный Адамса-Башфорта III-го порядка точности 3) неявный Адамса-Моултона II-го порядка точности 4) предикт-корректорную схему Адамса III-го порядка точности 22. Конечно-разностная аппроксимация для уравнения x 2 y xy 1 будет имеет вид (2 балла):

23. Какие функции можно выбрать в качестве базисных при решении задачи y (1 x 2 ) y 1 0 с краевыми условиями y 1 0, y 1 0 методом Галеркина (2 балла):

4.2 Итоговый контроль знаний Итоговый контроль осуществляется после успешного прохождения студентами текущего и промежуточного контроля в виде зачета.

Перечень теоретических вопросов к зачету по курсу: «Численные методы»:

37. Классификация погрешностей. Приближенные числа, их абсолютные и относительные погрешности. Верные знаки числа. Арифметические действия над приближенными числами.

38. Правила приближенных вычислений. Погрешности вычисления значений функции.

39. Устойчивость. Корректность. Сходимость итерационных последовательностей.

40. ЧМ решения нелинейных уравнений. Локализация корней. Методы Дихотомии.

41. ЧМ решения нелинейных уравнений. Локализация корней. Метод Ньютона. Теорема об оценках погрешности метода Ньютона.

42. ЧМ решения нелинейных уравнений. Локализация корней. Модификации метода Ньютона.

43. ЧМ решения нелинейных уравнений. Локализация корней. Метод простой итерации.

44. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. Прямые методы. Метод Гаусса. Схема Гаусса с выбором главного элемента.

45. Метод прогонки. Контроль точности при реализации прямых методов решения СЛАУ.

46. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. Итерационные методы. Метод простой итерации. Метод Зейделя. Теорема об оценках погрешностей.

47. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. Итерационные методы. Метод Якоби и модификация. Теорема об оценках погрешностей.

48. ЧМ решения систем нелинейных уравнений. Метод простых итераций.

49. ЧМ решения систем нелинейных уравнений. Метод Ньютона и его модификации.

50. Аппроксимация функций. Интерполирование функций. Полиномиальная интерполяция.

Интерполяционные формулы Ньютона для равноотстоящих узлов.

51. Аппроксимация функций. Интерполирование функций. Полиномиальная интерполяция.

Интерполяционные формулы Гаусса, Бесселя и Стирлинга для интерполирования в середине таблицы.

52. Аппроксимация функций. Интерполяционный многочлен Лагранжа.

53. Аппроксимация функций. Подбор эмпирических формул. Метод наименьших квадратов.

54. Численное дифференцирование. Аппроксимация производных. Использование интерполяционных формул.

55. Численное интегрирование. Квадратурные формулы. Выбор шага интегрирования.

56. Численное интегрирование. Квадратурные формулы Гаусса.

57. Численное интегрирование. Метод Монте-Карло.

58. Численные методы решения начальных задач для ОДУ. Постановка задачи. Классификация методов. Метод Пикара.

59. Численные методы решения начальных задач для ОДУ. Метод Эйлера и его модификации.

60. Численные методы решения начальных задач для ОДУ. Семейство методов РунгеКутты.

61. Линейные многошаговые методы решения задач Коши для ОДУ. Метода АдамсаБашфорта.

62. Линейные многошаговые методы решения задач Коши для ОДУ. Методы АдамсаМоултона.

63. Линейные многошаговые методы решения задач Коши для ОДУ. Предикткоррек5торные схемы метода Адамса.

64. Численные методы решения краевых задач для ОДУ. Постановка краевой задачи. Классификация методов.

65. Численные методы решения краевых задач для ОДУ. Метод конечных разностей.

66. Численные методы решения краевых задач для ОДУ. Метод коллокации.

67. Численные методы решения краевых задач для ОДУ. Метод Галеркина.

68. Численные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными. Классификация. Начальные и краевые условия. Задача Коши. Смешанная задача.

69. Численные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными. Конечно-разностные аппроксимации производных. Метод сеток для решения задач эллиптического типа.

70. Метод сеток для решения задач эллиптического типа. Решение задач для криволинейных областей. Аппроксимация производных.

71. Численные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными. Классификация. Начальные и краевые условия. Задача Коши. ЧМ решения задач параболического типа.

72. Численные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными. Классификация. Начальные и краевые условия. Задача Коши. ЧМ решения задач гиперболического типа.

Зачет сдается в конце семестра. Форма сдачи зачета – устная. Необходимым условием допуска на зачет является сдача всех практических работ. Билет содержит два теоретических вопроса и три тест-задачи различной степени сложности. Зачет проходит в письменной форме с последующей индивидуальной беседой преподавателя с экзаменующимся. На письменную работу над билетом отводится 2 часа. Каждый пункт оценен определенным количеством баллов, билет содержит шкалу перевода баллов в традиционную пятибальную оценку и балльную оценку в соответствии со шкалой рейтинга по дисциплине (п. 1.12).

Пример набора вопросов и заданий, предлагаемых студенту на зачете:

1. Численные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод коллокации (3 балла).

2. Приближенные числа, их абсолютные и относительные погрешности. Верные знаки числа. Арифметические действия над приближенными числами (2 балла).

3. Решить задачу. Найти вещественные корни системы, используя метод Ньютона, с точностью 0.5 10 2 (привести к виду, пригодному для итерационного процесса Ньютона, выполнить 2-3 итерации метода, 2 балла):

4. Укажите, какой из следующих видов преобразований системы линейных алгебраических уравнений будет верным для реализации метода простых итераций (1 балл):

5. Найти решение дифференциального уравнения y y методом Эйлера и шагом h 0.2 и начальным условием y(0) 1 для x 1 (2 балла).

Итоговый зачет выставляется студенту в 4 семестре с учетом общего рейтинга по дисциплине и набранных за семестр баллов, включая суммарный итог баллов за итоговый устный опрос по вопросам дисциплины. Студент завершает курс 4 семестра с отметкой «зачтено», если суммарный итого баллов за семестр не менее 30.

5 Интерактивные технологии и инновационные методы, используемые в образовательном процессе При преподавании дисциплины «Численные методы» используются следующие инновационные технологии и методы: членение проблемных лекций, применение мультимедийного проектора при чтении лекций, «мозговой штурм», использование ресурсов сети Internet и электронных учебников при самостоятельной и аудиторной работе студентов, дискуссии в обсуждении проблемных ситуаций при программировании алгоритмов и обсуждении результатов моделирования. Детальная схема занятий, проводимых с использованием интерактивных методов обучения представлена в п. 1.8.



 


Похожие работы:

«ФРАГМЕНТ Константин Илиев ПОРАЖЕНИЕТО ХРОНИКА ОТ КРАТКОТО СТОЛЕТИЕ Тази книга има автобиографичен характер. Променени по обясними причини са почти всички имена, както и описанието на някои второстепенни обстоятелства. Мемоаристиката по думите на Йосиф Бродски е последната крепост на реализма. Това, че този достоен човек с не особена симпатия споменава този литературен термин, не можа да ме накара да се впусна в ненужни стилистични упражнения. Разбирам реалистичното писане единствено като...»

«Пьер Дюкан Я не умею худеть ПРЕДИСЛОВИЕ ДЛЯ ТЕХ, КТО ХОЧЕТ БЫТЬ ЗДОРОВЫМ 20 миллионов французов страдают проблемой излишнего веса, 35–40 тысяч людей умирают от этого каждый год. Но кого это беспокоит? ВАС! И вы не знаете, что делать? Я предлагаю вам свою методику. Не потому что она моя, а потому что на склоне жизни, после 35-летнего опыта ее ежедневного применения, я убедился, что она лучшая среди всех тех, о которых мне приходилось слышать! Вам нужны доказательства? Вот они: 1) 3 миллиона...»

«СОДЕРЖАНИЕ Стр. 1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 4 НОРМАТИВНЫЕ ДОКУМЕНТЫ ДЛЯ РАЗРАБОТКИ ООП 1.1. ПО НАПРАВЛЕНИЮ ПОДГОТОВКИ 4 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ООП 1.2. 6 МИССИЯ, ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ООП ВПО 1.3. 7 ТРЕБОВАНИЯ К АБИТУРИЕНТУ 1.4. 8 2. ХАРАКТЕРИСТИКА ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ВЫПУСКНИКА ПО НАПРАВЛЕНИЮ ПОДГОТОВКИ ОБЛАСТЬ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ 2.1. ВЫПУСКНИКА ОБЪЕКТЫ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ 2.2. ВЫПУСКНИКА ВИДЫ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ВЫПУСКНИКА ЗАДАЧИ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ВЫПУСКНИКА...»

«Liber кВНХ sub figura LXXXIV Книга Еноха под номером 84 Краткое изложение символической картины мира, выведенной доктором Джоном Ди при помощи духовидца сэра Эдварда Келли Вводное примечание редактора Таблицы из Книги Soyga, Мистическая Гептархия и та Книга Еноха, что известна под названием Liber Logaeth, в этих предварительных заметках не рассматриваются. Мы надеемся разобрать эти предметы достаточно подробно в одной из последующих статей1. 1 Книга Soyga, известная также под названием...»

«1 5-Я МЕЖДУНАРОДНАЯ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННАЯ ВЫСТАВКА-ФОРУМ ДОРОГА 13-15 октября 2014 г. ОФИЦИАЛЬНОЕ РУКОВОДСТВО УЧАСТНИКА Организатор: МВЦ Крокус Экспо Международный выставочный центр Крокус Экспо: 143402, Московская область, Красногорский район, г. Красногорск, ул. Международная, д. 16, а/я 92. 65-66 км МКАД (пересечение с Волоколамским шоссе). Ст. м. Мякинино. КОНТАКТЫ: Директор выставки Елена Владимировна Бегунова Старший менеджер Елена Юрьевна Крышина Тел./факс: +7 (495) 983- Моб. тел.: +7 (915)...»

«ДЕКОРАТИВНЫЕ ШТУКАТУРКИ И КРАСКИ КАТАЛОГ ОБШИРНАЯ БИБЛИОТЕКА ФАКТУР И КРАСОК РЕШЕНИЯ ДЛЯ ФАСАДОВ И ИНТЕРЬЕРОВ СОВЕРШЕННАЯ КОЛЕРОВОЧНАЯ СИСТЕМА СВЕРХТОЧНЫЕ КОЛЕРОВОЧНЫЕ АВТОМАТЫ КАЧЕСТВА НА ДОЛГИЕ ГОДЫ 110% Глубина цветов Ceresit в Ваших руках Издание 1 Содержание Колеровочная система Ceresit Color System (CCS) 3 Декоративные штукатурки Ceresit для фасадов и интерьеров 4 Тонкослойная гидрофобная штукатурка с зернистой фактурой (1,5 и 2,5 мм) 5 Тонкослойные гидрофобные штукатурки с бороздчатой...»

«Вестник МДС-ГРУПП Где единение, там и победа. Публилий Сир № 4 (71) 2013 г. ЕЖЕМЕСЯЧНОЕ КОРПОРАТИВНОЕ ИНФОРМАЦИОННОЕ ИЗДАНИЕ НОВОСТИ О дорогах и инновациях 4 и 5 апреля в Екатеринбурге проУважаемые коллеги! ходила IV межрегиональная конференция Модернизация дорожного 9 Мая — это день всенародной гордости хозяйства. Опыт и перспективы. В ней приняли участие специалисты и всенародной памяти, символ величия духа нашего народа. дорожной отрасли из Центральнолет мы живем под мирным небом, но для...»

«Информационные процессы, Том 4, № 3, стр. 221–240 © 2004 Кузнецов, Гитис. =============== ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ============== Сетевые аналитические ГИС в фундаментальных исследованиях Н.А.Кузнецов, В.Г.Гитис Институт проблем передачи информации, Российская академия наук, Москва, Россия Поступила в редколлегию 25.08.2004 Аннотация—Даны основы подхода к сетевому анализу пространственно-временной географической информации. Рассматриваются примеры применения сетевых ГИС ГеоПроцессор и КОМПАС в...»

«Водно-болотные угодья России, имеющие международное значение Wetlands of InternatIonal Importance in russia УДК [556.56 + 631.615] (470) ББК 26.222.7 + 40.6 С40 Водно-болотные угодья России, имеющие международное значение / Ред. А. А. Сирин. — M.: Российская программа Wetlands International, 2012. — 48 с., ил. Sirin, A. A. (ed.). 2012. Wetlands of International Importance in Russia. Moscow: Wetlands International Russia Programme Publication. 48 pp. Издание содержит информацию о 35 участках...»

«ОАО Минеральные удобрения | Годовой отчёт | 2011 Содержащиеся в Годовом отчете данные указаны по состоянию на 31.12.2011, если в тексте Годового отчета не указано иное. Открытое акционерное общество Минеральные удобрения Место нахождения: Российская Федерация, город Пермь, ул. Промышленная, 96 ПРЕДВАРИТЕЛЬНО УТВЕРЖДЕН УТВЕРЖДЕН Советом директоров Годовым общим собранием акционеров ОАО Минеральные удобрения ОАО Минеральные удобрения Протокол № б/н от 28.05.2012 г. Протокол № 47 от 28.06.2012 г....»

«ДРУГИ КНИГИ ОТ СЪЩИЯ АВТОР „ИЗПИТАНИЕТО” - номер 9 в класацията за най-продавани книги на седмицата „ЗЛАТНИЯТ ОРАКУЛ” - безспорният номер 1 в класацията по писма на читатели „ДЕМОНИТЕ В NBA” - номер 4 в класацията за най-продавани книги на седмицата „БОГОВЕТЕ НА ФУТБОЛА” - две поредни първи места и едно трето във вестникарските класации за най-продавани книги на седмицата и второ място в телевизионната класация. МНЕНИЕТО НА ЧИТАТЕЛИТЕ.Най-много ми харесват книгите на Майкъл Майндкрайм, защото...»

«БЮЛЛЕТЕНЬ № 1 ЕВРАЗИЯ 12 февраля 2009 г. СОДЕРЖАНИЕ 1. ПОЗДРАВЛЕНИЯ С НОВЫМИ РАНГАМИ 2. ПОБЕДИТЕЛИ GREAT ESCAPE 3. МЕЖДУНАРОДНАЯ КОНВЕНЦИЯ В ОРЛАНДО ILLUMINATE 09 4. ИНФОРМАЦИОННЫЕ СООБЩЕНИЯ 5. ВОПРОСЫ И ОТВЕТЫ 6. ДОСТОПРИМЕЧАТЕЛЬНОСТИ ОРЛАНДО ПОЗДРАВЛЕНИЯ С НОВЫМИ РАНГАМИ Президент Даймонд Эльвира Базарова Надежда Богомолова Сергей Борисов Виктор Дашков Людмила Меньшикова Ирина Соколова Квалифицированный Даймонд Татьяна Амирова Зоя Балаева Галина Борисова Валентина Генералова Ольга Конторина...»

«Книга рецептов Вы сможете приготовить в мультиварках WeissGauff как блюда для праздничного стола, так и блюда на каждый день. В книгу вошли популярные рецепты немецкой, австрийской, альпийской кухонь, самые известные национальные русские и украинские блюда, диетические и детские рецепты. Следуйте рецептуре при первом знакомстве с прибором. Освоившись, Вы сможете импровизировать — уникальная программа СВОЙ РЕЦЕПТ дает широкие возможности для творчества. Эта книга рецептов — своеобразный...»

«255 РЕЦЕНЗИИ Алексей Коровашко. Рец. на кн.: Ахметова М.В. Конец света в отдельно взятой стране: Религиозные сообщества постсоветской России и их эсхатологический миф Ахметова М. Конец света в одной отдельно взятой стране: Религиозные сообщества постсоветской России и их эсхатологический миф. М.: ОГИ; РГГУ, 2010. 336 с. Спи. Прощай. Пришел конец. За тобой пришел гонец. Книга Марии Ахметовой Конец света в отдельно взятой стране: Религиозные сообщества постсоветской России и их эсхатологический...»

«Подарки 1 VIEW HOME Previous Page NEXT pagE Подарочные карты Цум Подарочные карты Цум Классические подарочные карты. Подарочные карты на День рождения. от 3 000 руб. от 5 000 руб. до свободного номинала. до свободного номинала. Подарочные карты Цум Подарочные карты могут стать универсальным поздравлением, уместным для любого случая и даты. Новогодние подарочные карты. Специально для вас есть возможность разработать карты с необходимым номиналом, дизайном, соответствующим вашим пожеланиям. от 10...»

«соДерЖание Вступление................................. 5 GPS-навигатор к вашим услугам! 5 Меры предосторожности 7 Комплект поставки 11 Как использовать данное руководство по эксплуатации 13 использоВание.наВигатора.................... 14 Внешний вид изделия 15 Источник питания и зарядка навигатора 16 Источник питания 16 Зарядка с помощью блока питания 18 Зарядка с помощью автомобильного адаптера питания 18 Основные операции...»

«Издательство Вакифа Ихласа №: 3 КИТAБ-УС-СAЛAТ МОЛИТВЕННИК (Книra о Нaмaзе) Подrотовил ХAСAН ЯВAШ Вопросительный Адрес: HAKKAТ KТBЕV Darefeka Cad. No: 57 P. K. 35 34262 Tel: 90.212.523 45 56 – 532 58 43 Fax: 90.212.525 59 79 http://www.hakikatkitabevi.com e-mail: bilgi@hakikatkitabevi.com Fatih-STANBUL/TURKEY 1999 Bask: hls Gazetecilik A.. STANBUL Tel: 90.212.454 30 00 Припоминание: Миссионери трудятся расширять христианство, книгоиздальство “Хакикат” - правда – в Стамбуле – стремтся...»

«Обучение грамоте Пояснительная записка Рабочая программа по обучению грамоте для 1 класса разработана на основе Федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования, утверждённого приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от 6 октября 2009 года за № 373, Концепции духовно – нравственного развития и воспитания личности гражданина России, планируемых результатов начального общего образования, Концепции УМК Перспектива, авторской программы Л....»

«Книга ДЕНЕГ. Версия 1.3 Оглавление Оглавление Нужны ли Вам деньги? А Вы готовы рисковать? Gold Line Что такое Gold Line Как работает Gold Line Регистрация в Gold Line Активация Доход от участия в системе Приглашение новых участников Как выводить деньги из Gold Line Способ первый – PIN код Способ второй – OkPay OKPAY Регистрация в OkPay Верификация счёта Заработок с OkPay Дебетовая карта OKPAY Как получать деньги, раздавая эту книгу Как рекламироваться Книга ДЕНЕГ предназначена для свободного...»

«Dungeons&Dragons 3.5 edition Кормир: Разрыв Плетения (Cormyr: The Tearing of the Weave) 1 От переводчика При переводе я старался опираться на все доступные материалы на русском языке и здравый смысл. При переводе имен собственных – доступные транскрипции в комплитах и правила английского языка. Перевод некоторых спорных слов: – заклинание, чары или (в общем смысле) магия spell – накладывать, колдовать или читать cast – колдующий или заклинатель caster, spellcaster wizard - волшебник – колдун...»














 
© 2014 www.kniga.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Книги, пособия, учебники, издания, публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.