WWW.KNIGA.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Книги, пособия, учебники, издания, публикации

 

Pages:   || 2 | 3 | 4 |

«А.И. Цаплин, И.Л. Никулин МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ И ОБЪЕКТОВ В МЕТАЛЛУРГИИ Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного ...»

-- [ Страница 1 ] --

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Пермский государственный технический университет»

А.И. Цаплин, И.Л. Никулин

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

И ОБЪЕКТОВ В МЕТАЛЛУРГИИ

Утверждено

Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия Издательство Пермского государственного технического университета 2011 1 УДК 53(0758) ББК 22.3 Ц17 Рецензенты:

доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Прикладная математика и информатика» Е.Л. Тарунин (Пермский государственный университет);

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Общая физика» Г.Н. Вотинов (Пермский государственный технический университет) Цаплин, А.И.

Ц17 Моделирование теплофизических процессов и объектов в металлургии: учеб. пособие / А.И. Цаплин, И.Л. Никулин. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2011. – 299 с.

ISBN 978-5-398-00575- Рассмотрены основы моделирования, необходимые для изучения дисциплин в техническом вузе при подготовке бакалавров по направлению «Металлургия». Дана математическая формулировка задач стохастического моделирования, сложного теплообмена, в том числе при фазовых переходах, рассмотрены основы теории подобия, а также основы вычислительного компьютерного эксперимента с применением нейтральных разностных схем. Представлен цикл лабораторных работ и заданий для самостоятельного изучения.

Предназначено для студентов технических вузов. Может быть полезным для аспирантов и преподавателей вузов.

УДК 53(0758) ББК 22.

ГОУ ВПО

ISBN 978-5-398-00575- «Пермский государственный технический университет»,

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие

Введение

Часть I. Теоретические основы математического моделирования

1. Основные понятия и определения моделирования...... 1.1. Объекты математического моделирования в металлургии

1.2. Классификация моделей

1.3. Классификация математических моделей............. 1.4. Этапы разработки математических моделей......... 1.5. Вопросы для самоконтроля




2. Основные понятия стохастического моделирования...... 2.1. Моделирование в условиях неопределенности..... 2.2. Функция распределения и плотность распределения случайной величины

2.3. Меры положения и рассеяния кривой распределения

2.4. Теоретические законы распределения

2.5. Начальные и центральные моменты

2.6. Квантили распределения

2.7. Интервальные оценки истинного значения........... 2.8. Представление параметров распределения

2.9. Основы корреляционного и регрессионного анализа

2.10. Вопросы для самоконтроля

3. Математические модели теплофизики металлургических процессов с детерминированными структурами

3.1.Законы конвективного тепломассообмена............. 3.2. Уравнения конвективного тепломассообмена...... 3.3. Приближение Буссинеска в задачах свободной тепловой конвекции

3.4. Постановка задачи тепловой конвекции в динамических переменных

3.5. Постановка задачи тепловой конвекции 3.7. Безразмерная формулировка краевой задачи теплопроводности

3.9. Метод регулярного теплового режима расчета нагрева(охлаждения) тел

3.10. Теплопроводность при плавлении-затвердевании металла

3.11. Метод сквозного счета в задачах теплопроводности при структурных 3.12. Приближенный учет конвекции 3.13. Законы теплообмена излучением

3.14. Эффективное излучение

3.15. Экранирование как способ защиты от теплового излучения

3.16. Сложный (радиационно-конвективный) теплообмен

3.17. Вопросы для самоконтроля

4. Основы теории подобия и моделирования в металлургии

4.1. Подобие физических явлений

4.3. Теплообмен при вынужденном движении теплоносителя в каналах

4.4. Теплообмен при свободной конвекции в неограниченном объеме

4.5. Теплообмен при свободной конвекции в ограниченном объеме

4.6. Вопросы для самоконтроля

5. Вычислительный эксперимент в задачах тепломассопереноса

5.1. Основы метода сеток

5.2. Схемы аппроксимации уравнения теплопроводности

5.3. Анализ ошибок

5.5. Аппроксимация граничных условий

5.6. Методы решения сеточных уравнений

5.7. Алгоритм решения сопряженных уравнений теплообмена

5.8. Вопросы для самоконтроля

Часть II. Лабораторный практикум

Лабораторная работа № 1. Статистическая обработка массива случайных данных

Лабораторная работа № 2. Метод наименьших квадратов для уравнения линейной регрессии

Лабораторная работа № 3. Метод прогонки решения сеточных уравнений





Лабораторная работа № 4. Метод последовательной линейной верхней релаксации решения сеточных уравнений

Лабораторная работа № 5. Расчет времени охлаждения плоского слоя

Лабораторная работа № 6. Расчет времени охлаждения блюмса

Лабораторная работа № 7. Расчет времени Лабораторная работа № 8. Расчет времени затвердевания Часть III. Материалы для самостоятельной работы.............. 1. Методические указания для самостоятельного изучения курса

2. Методические указания к решению задач

3. О приближенных вычислениях

4. Примеры решения задач

4.1. Стохастическое моделирование

4.2. Конвективный теплообмен

4.3. Теплопроводность

4.4. Теплообмен излучением

4.6. Основы метода сеток

5. Контрольная работа

6. Тест для проверки уровня обученности

Список литературы

ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебное пособие предназначено студентам младших курсов технических вузов, изучающих моделирование процессов и объектов в металлургии по направлению бакалаврской подготовки «Металлургия». Оптимизация технологических процессов в металлургии, связанных с переносом и использованием тепловой энергии, предъявляет все более сложные требования к расчету тепломассообмена. Для технологических схем, например, получения литого металла, в которых необходимость отвода или перераспределения тепла раньше вообще не принималась во внимание или учитывалась упрощенно с использованием эмпирических соотношений теории подобия, теперь требуется применение достаточно точных методов теплового расчета.

Детальное описание стохастических процессов, тепломассообмена, обеспечивающее надежное совпадение расчетных данных с результатами экспериментов, возможно на основе моделирования и современного вычислительного эксперимента на компьютере.

Основная идея решения на компьютере неравновесных задач тепломассообмена заключается в замене исходных дифференциальных уравнений и краевых условий, описывающих теплообмен, конечно-разностными аналогами и в последующем решении алгебраических уравнений с неизвестными значениями определяемых функций в узлах сетки.

Однако численные методы только кажутся простыми и оптимистичными, их применение порождает новые требования и проблемы. Одной из таких проблем является спектр неизбежных ошибок округления, аппроксимации, схемных ошибок, которые искажают решение, сглаживая неоднородности, проявляясь в виде фиктивных источников, стоков и т.д. Уменьшение этих ошибок – непростая задача. Так, например, сгущение конечно-разностной сетки, приводящее к снижению ошибок аппроксимации, одновременно может приводить к возрастанию ошибок округления и схемных ошибок. Применение нейтральных (по отношению к спектру ошибок) конечноразностных схем к уравнениям тепломассопереноса позволяет не только удовлетворять требованиям адекватности вычислительного эксперимента, но и повышать устойчивость счета, эффективность вычислительного алгоритма.

Проведение теплофизических расчетов предполагает знание законов тепломассообмена, инженерных методов расчета, основанных на теории подобия и моделирования. Поэтому в учебном пособии последовательно излагаются в соответствии с существующим образовательным стандартом подготовки бакалавров по направлению «Металлургия» законы теплопроводности, диффузии, конвективного теплообмена и теплообмена излучением. Рассмотрены различные постановки задач теплофизики формирования слитка с учетом фазовых и структурных переходов.

Значительное внимание уделяется выработке практических навыков вычислительного эксперимента. Рассматривается общий алгоритм решения задач тепломассообмена, обсуждаются проблемы аппроксимации, устойчивости. Описаны эффективные методы решения сеточных уравнений, а также даны прошедшие практическую проверку Паскаль-программы их реализации.

Основная задача учебного пособия состоит в том, чтобы в рамках курса моделирования не только познакомить студентов технического университета с основами предмета, но и пробудить у них интерес к методам вычислительного эксперимента на компьютере, к пониманию и умению оценки спектра ошибок, применяя известный программный продукт и разрабатывая собственные программы для решения конкретных задач.

Учебное пособие состоит из трех частей. Первая часть содержит теоретические основы математического моделирования, вторая часть – лабораторный практикум, в третьей части представлены материалы для самостоятельной работы и контроля уровня обученности. Нумерация параграфов в каждой главе начинается заново, при этом первая цифра параграфа соответствует номеру главы. Номера формул и рисунков в главе имеют сквозную нумерацию (первая цифра соответствует номеру главы). В каждой главе своя нумерация примеров.

Небольшой объем учебного пособия обусловил ограничения при изложении обширных вопросов моделирования в металлургии и заставил прибегнуть к физическому уровню строгости изложения. Сознательный уход от подробного математического обоснования позволил акцентировать внимание на постановке задач и основных проблемах практического решения. Углубленное изучение предмета можно продолжить, пользуясь приведенным списком литературы.

ВВЕДЕНИЕ

Моделирование представляет собой метод исследования свойств одного объекта посредством изучения свойств другого объекта, более удобного для исследования и находящегося в определенном соответствии с первым объектом, т.е. при моделировании экспериментируют не с самим объектом, а с его заменителем, который называют моделью.

Методы моделирования применяются практически во всех областях деятельности человека – при решении научно-технических задач, для изучения социальных, экономических, медицинских, военных или экологических проблем.

Моделями человек начал пользоваться с незапамятных времен. Исторически первыми моделями как заместителями некоторых объектов были, видимо, символические условные модели.

Это языковые знаки, которые в ходе развития составили разговорный язык. Применение символических условных моделей другого типа связано, вероятно, с возникновением обмена: сначала предметы раскладывали в два ряда, друг напротив друга, чем и добивались однозначного соответствия, потом было установлено, что соответствия объектов одного рода объектам второго рода можно добиться, сравнивая их с объектами третьего рода, сначала с естественными объектами – пальцы рук и ног, затем с искусственными – специально изготовленными палочками. Эти первые логические условные модели постепенно привели к формированию понятию числа.

Следующий этап развития логического моделирования – возникновение знаковых числовых обозначений.

В глубокой древности возник и получил развитие метод распространения свойств одних объектов на другие, который теперь называется умозаключением по аналогии.

Дальнейшее развитие логических знаковых моделей связано с возникновением письменности и математической символики, а это относится примерно к 2000 г. до н. э. – времени расцвета цивилизаций Египта и Вавилона. Некоторые данные позволяют полагать, что вавилоняне уже пользовались таким важным для моделирования понятием, как подобие в форме элементарного геометрического подобия прямоугольных треугольников.

Развитие моделирование получает в Древней Греции в V – III вв. до н. э. В Греции была создана геометрическая модель Солнечной системы, греческий врач Гиппократ для изучения глаза человека пользовался глазом быка, его физической аналогичной моделью, математик Евклид построил учение о геометрическом подобии.

Более 400 лет назад, в середине XV в., обоснованием методов моделирования занимался Леонардо да Винчи. Он пользуется аналогиями: сравнение полета птицы и плавания под водой. Им ставится актуальный до сих пор вопрос о соответствии практики и теории, о необходимости проверки и обобщения результатов опыта и его роли в познании.

Вопросы подобия в связи с созданием различных конструкций и их моделированием часто возникают в XVI – XVII вв. О том, что подобию стали уделять много внимания в XVII в., пишет Г. Галилей в своем сочинении «Разговоры о двух новых науках». Например, при постройке в Венеции галеры с увеличенными размерами подпорки с сечениями, выбранными исходя из гео- Г. Галилей метрического подобия, оказались недостаточно прочными, и размеры их пришлось корректировать на основе физических соотношений. Галилей констатировал, что «прочность подобных тел не сохраняет того же отношения, которое существует между величиной тел».

Первые строгие научные формулировки условий подобия и уточнения этого понятия были даны применительно к механическому движению в конце XVII в. И. Ньютоном в работе «Математические начала натуральной философии». В работе рассматриваются движения материальных тел и устанавливаются законы их подобия. Основами современного учения о подобии являются сформулированные указаны свойства подобных механических систем и критерии, характеризующие движения систем, подобие которых обеспечено. И. Ньютон открыл пути применения подобия и моделирования для обоснования теоретических положений. Им построена объяснения световых явлений (корпускулярная теория света), математическая модель для объяснения явления тяготения и мн. др.

Работы И. Ньютона по теории подобия и моделирования долгое время не получали развития, хотя в начале XVIII в. во Франции и других странах проводились многочисленные опыты на моделях арок и проверялись различные гипотезы работы их свода.

Одним из первых теоретически обоснованно применил статическое подобие И.П. Кулибин при разработке проекта арочного моста пролетом 300 м. Исследования он проводил на деревянных моделях в 1/10 натуральной величины. В них было впервые учтено, что увеличение линейных размеров в k раз меняет собственный вес в k3 раз, а площади поперечных сечений элементов – в k раз. И.П. Кулибин установил, что обеспечение подобия влияния собственного веса в модели возможно при некоторой дополнительной нагрузке. Предложенный метод моделирования собственного веса конструкции соответствует современному способу «догрузки» моделей в центрифугах.

В 1822 г. появились работа Ж. Фурье «Аналитическая теория теплопроводности», в которой было показано, что члены уравнений, описывающих физические явления, всегда имеют одинаковую размерность, это свойство получило название правила Фурье или правила размерной однородности уравнений математической физики. В 1848 г. Ж.Л.Ф. Бертран, пользуясь методом подобных преобразований, установил наиболее общие свойства подобных механических движений и указал способы осуществления подобия сложного механического движения, четко сформулировав положение о наличии критериев подобия. Вскоре появился ряд работ, посвященных приложению теории подобия к различным механическим явлениям. Например, законы звуковых явлений в геометрически подобных телах из уравнения движения упругих тел; условия подобия гидродинамических явлений. Появились работы в области строительной механики, в области упругости.

Однако практическое применение теории подобия и моделирования зачастую встречало серьезные препятствия, трагическим примером чему служит история с английским броненосцем «Кэптен». Этот корабль построили в 1870 г. В то же время английские ученые-кораблестроители Фруд и Рид создали теорию моделирования кораблей; исследование модели броненосца показало, что он должен опрокинуться даже при небольшом волнении. Специалисты Адмиралтейства не придали значения опытам ученых с «игрушечной» моделью, в результате при выходе в море «Кэптен» перевернулся и 523 моряка погибли.

Примером удачного использования методов моделирования является их применение Д.И. Журавским при сооружении железнодорожных мостов. Ранее для определения размеров составных частей ферм мостов применялись упрощенные приемы, и все раскосы и тяжи каждой фермы моста делались одного и того же размера. Выводы о том, что их нагрузки неодинаковы, сначала казались неправдоподобными и были проверены на модели из металлической проволоки. На этой модели оказалось возможным, проводя смычком от скрипки по проволокам, по высоте тона получаемого звука определить степень натяжения проволок, т.е. элементов крепления моста.

Развитие учения о подобии долгое время шло путем определения частных условий подобия для явлений только определенной физической природы. Наконец, в 1909–1914 гг. в результате работ Н.Е. Жуковского, Д. Рэлея, Ф. Букингема была сформулирована в первой редакции теорема, позволившая установить условия подобия явлений любой физической природы. Начиная с этого времени метод подобия становится основным методом экстраполяции характеристик модели в характеристики оригинала при физическом моделировании.

Параллельно с развитием физического моделирования шло развитие логического моделирования в знаковой форме.

История развития знакового моделирования – это прежде всего история развитие математики. В конце XVI в. Д. Непер ввёл понятие логарифма, в XVII в. И. Ньютон и Г. Лейбниц создали дифференциальное исчисление. Наряду с аналитическими методами получают развитие численные методы решения различных задач. Все это привело к распространению учения о подобии на величины и процессы различной физической природы, имеющие при этом определенную аналогию или хотя бы какое-то математическое соответствие. При этом стали различать подобие математическое и аналоговое. Постепенно моделирование стало охватывать все большие области научной и технической деятельности человека. Например, для отработки анти-сейсмичности конструкций зданий модели иногда имели довольно внушительные размеры площадью до 20 м2 и массой до 30 т. Гидроэнергетические объекты, такие как плотины, каналы, гидротурбины для таких станций, как Волжская, Братская, Асуанская ГЭС, исследовались на физических моделях, изображающих в уменьшенном масштабе эти сооружения.

Широко распространены специальные модели, сочетающие в себе физическую и математическую модели с натурными приборами. Эти модели применяются для наладки приборов управления и тренировки персонала, в первом случае такие модели стали называться испытательными стендами, во втором – тренажерами.

Физическое моделирование основано на изучении явлений на моделях одной физической природы с оригиналом. При физическом моделировании сохраняют особенности поведения объекта исследования, что существенно облегчает получение требуемых результатов, так как для модели выбирают наиболее удобные геометрические размеры и диапазоны изменения физических величин.

Метод физического моделирования имеет очень большое значение, когда в комплекс явлений, характеризующих исследуемый процесс, входят такие явления, которые не поддаются математическому описанию. Одним из примеров физического моделирования является исследование переходных процессов в энергетических системах на моделях этих систем, где мощные генераторы и трансформаторы заменены малогабаритными электрическими машинами и трансформаторами, а дальние линии электропередачи – соответствующими эквивалентами. Однако во многих случаях использование метода физического моделирования приводит к необходимости изготовления дорогостоящих моделей, пригодных для решения ограниченного круга задач.

Математическое моделирование основано на идентичности дифференциальных уравнений, описывающих явление в оригинале и модели, отличающихся по своей природе. Главное преимущество математического моделирования перед физическим заключается в возможности исследовать явления природы, трудно поддающиеся изучению, используя хорошо изученные явления. При математическом моделировании более наглядно, чем при физическом моделировании, осуществляется индикация и регистрация результатов исследований. Здесь можно просто варьировать в широких пределах исходные данные задачи для выбора оптимальных (по заданному критерию) параметров исследуемой системы. Время решения задачи, по желанию исследователя, может быть изменено в широких пределах.

История математического моделирования в металлургии имеет богатые традиции в России. Назовем несколько имен российских ученых из области новейшей истории металлургии.

Выпускник Петербургского горного института В.Е. ГрумГржимайло родился в 1864 г., профессор, член-корреспондент АН СССР, преподавал в вузах Петербурга, Екатеринбурга, 800 печей, разработанный им атлас печей на всемирном конгресВ.Е. Грум-Гржимайло возглавлял кафедры в Свердловске, позднее – в Московском институте стали и сплавов. По его лено несколько поколений инженеров. М.А. Глинков уделял значительное внимание теплофизике, автоматизации и экологии промышленных печей, созданию сталеплавильных агрегатов непрерывного действия.

Дальнейшие достижения металлургов-теплофизиков связаны с именем Б.И. Китаева (1908–1983 гг.). Б.И. Китаев родился в Санкт-Петербурге, получил образование в Свердловске, работал начальником мартеновского цеха в г. Чермоз Пермской области, позднее возглавлял кафедру «Металлургических печей» в Уральском политехническом институте. Им разработаны основы теории слоевых металлургических процессов, теплообмена в доменных печах, его учебники переведены за рубежом. Б.И. Китаев был экспертом ЮНЕСКО по вопросам меБ.И. Китаев таллургии.

С именем профессора Ю.А. Самойловича (род. в 1933 г.) связаны первые систематические вычислительные эксперименты на компьютере по моделированию теплофизики кристаллизующихся слитков на основе математических моделей. Он исследовал закономерности электромагнитного воздействия на кристаллизующиеся слитки для управления структурой формирующегося металла. В возглавляемой им лаборатории во Всесоюзном институте металлургической теплотехники (г. Свердловск) на основе математического моделирования решены многие практические проблемы металлургии.

Примером эффективного применения результатов математического моделирования в разработке металлургических агрегатов является деятельность главного конструктора Уралмаша, доктора технических наук В.М. Нисковских (род. в 1925 г.). Им впервые показана возможность активного деформирования стального В.М. Нисковских слитка в двухфазном состоянии. Под его руководством разработаны высокопроизводительные машины непрерывного литья заготовок криволинейного типа, которые победили в остром конкурентном соперничестве и были закуплены ведущими металлургическими странами (Японией, Австрией, Канадой, США и др.) Математическое моделирование в металлургии позволяет ускоренно находить оптимальные решения при планировании производства и управления им. Применение автоматизированных систем управления технологическим процессом (АСУ ТП), основанных на применении адекватных математических моделей, приводит к росту производительности труда, повышению качества продукции, снижению ее себестоимости, повышению культуры производства.

Для металлургии как отрасли хозяйствования характерны две особенности. Во-первых, масштабы производства металлов и сплавов вывели металлургию по потреблению энергетических ресурсов на одно из первых мест среди других отраслей. Вовторых, технологические процессы в металлургии, связанные с переработкой сырья и получению конечных продуктов, протекают при повышенных температурах. Инженеру-металлургу приходится решать широкий спектр задач – от подготовки шихты, выплавки металла, получения качественной готовой продукции до решения экологических проблем снижения уровня теплового и химического загрязнения окружающей среды.

ЧАСТЬ I

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

1. Основные понятия моделирования 1.1. Объекты математического моделирования Характеристики объекта управления На рис. 1.1. показана схема технологического объекта управления (ТОУ), где U – вектор контролируемых управляющих входов (расходы сырых материалов, энергии, топлива и т.д.); V – вектор контролируемых возмущений (качественные показатели сырья, параметры состояния оборудования, простои и т.д.); Z – вектор неконтролируемых возмущений (параметры внешней по отношению к АСУ ТП среды); Y – вектор выходов объекта [показатели состояния технологического процесса (температура, давление, состав вещества), качественные и количественные показатели промежуточных (литейная форма) или конечных (отливка) продуктов, технико-экономические показатели производства];

Рис. 1.1. Технологический объект управления Математическая модель ТОУ представляет собой зависимость при известном виде функции f, которая в общем случае может зависеть от времени t (в динамических моделях), и существующих ограничениях на переменные ui ; yi.

Стохастическая математическая модель строится в условиях неполноты знаний о ТОУ или его стадиях, в ней связи между входами и выходами ТОУ имеют вероятностный характер.

Детерминированная математическая модель представляет совокупность алгебраических или дифференциальных уравнений, характеризующих причинно-следственные связи между входами и выходами ТОУ на основании известных законов сохранения массы, энергии, химических превращений и др.

В комбинированных математических моделях сочетаются признаки стохастического и детерминированного моделирования, например процесс кристаллизации отливки описывается детерминированной моделью, а входящие в эту модель коэффициенты определяются стохастическими методами.

Математическая модель оптимального управления технологическим процессом литейного производства включает целевую функцию. В основе целевой функции могут быть различные технико-экономические критерии, например, минимальное время регулирования, ограничения на температурные градиенты в отливке, вызывающие ее растрескивание в процессе кристаллизации, минимальная себестоимость получения отливки и др.

Задача оптимального управления производством отливок в целом подразделяется на ряд подзадач:

• шихтовка;

• плавка;

• смесеприготовление;

• формовка;

• разливка;

• охрана окружающей среды.

При формировании и загрузке плавильной шихты возникают две задачи:

1) расчет оптимального состава шихты, обеспечивающего требуемые пределы содержания в ней отдельных химических элементов с учетом их угара и минимальную стоимость при имеющихся ресурсах;

2) автоматическое управление механизмами дозирования компонентов шихты и подачи их в плавильные печи.

Принцип действия дозатора основан на изменении грузоподъемности электромагнита в зависимости от намагничивающего тока. Дозатор (рис. 1.2) состоит из подъемного электромагнита (ПЭ), датчика массы (ДМ), измерительного прибора (ИП), цифрового устройства (ЦУ) и коммутатора (К).

Электромагнит питается от генератора постоянного тока (Г), управляемого оператором с помощью регулятора тока (РТ).

электромагнитного кранового дозатора шихты Плавление металла осуществляется в печах различного типа: вагранках, дуговых, индукционных печах.

Вагранки являются агрегатами непрерывного действия и применяются для плавки чугуна. Дуговые и индукционные печи являются агрегатами периодического действия.

Дуговые печи (рис. 1.3) имеют высокую электрическую мощность и включают держатели электродов 1, электроды 2, ванну с жидким металлом 4. Источником тепла является дуга между электродами и ванной с расплавом.

Рис. 1.3. Схема трехфазной дуговой плавильной печи Использование математических моделей электрических, тепловых и технологических процессов позволяет прогнозировать ход плавки и вырабатывать оптимальные управляющие воздействия.

Материал литейной оснастки – формы, стержни и другие – является многокомпонентным; от точности рецептуры смесей, получаемых в дозаторах (рис. 1.4), зависит качество продукции. Целевая функция АСУ ТП смесеприготовления представляется как поддержание рецептуры смесей и режимов их получения, обеспечивающих минимальные затраты на производство заданного вида и количества отливок при известной технологии литья. Математическая модель может описывать характер влияния состава смеси на качество отливок. Поддержание оптимальной рецептуры смесей снижает брак литья на 2–3 %, а при отклонении от оптимума он линейно зависит от квадрата этого отклонения.

Рис. 1.4. Схема многокомпонентного дозатора:

1, 2, 3 – бункеры; 4, 5, 6 – дозаторы; 7 – транспортер Смеси для изготовления литейных форм подлежат специальному уплотнению, обеспечивающему поверхностную твердость, газонепроницаемость. При уплотнении прессованием и встряхиванием степень уплотнения существенно зависит от давления сжатого воздуха в пневмоприводе встряхивающей машины, частоты встряхиваний, условий сушки форм и стержней и т.д. Схема оборудования представлена на рис. 1.5.

Рис. 1.5. Схема оборудования для изготовления форм и стержней Математические модели позволяют прогнозировать оптимальные условия формовки, время прохождения формы через сушильную камеру и т.д.

Одной из важнейших целей является получение качественного слитка. Именно при затвердевании происходит формирование кристаллической структуры слитка, возникновение в нем физической и химической неоднородности и других дефектов, переходящих в готовые изделия. Проблемами, возникающими в процессе разливки в литейные формы, являются дозирование расплава и регулирование скорости его подачи.

Стабилизация химического состава расплава, его чистота, простота дозирования достигаются при магнитодинамическом (МГД) способе (МГД-насосы, МГД-дозаторы).

электромагнитных сил вызыРис. 1.6. Схема магнитодинамического вает движение расплава чеспособа подачи расплава рез выходной металлопровод По сравнению с разливкой в изложницы значительно повысить производительность и выход годной продукции позволяет переход к непрерывному литью металлов. Технология производства слитков на машинах непрерывного литья заготовок (МНЛЗ) состоит в том (рис. 1.7), что расплав из промежуточного ковша подается в верхнюю часть кристаллизатора, где при интенсивном первичном охлаждении затвердевают лишь поверхностные слои металла, поэтому вытягиваемый слиток имеет под кристаллизатором незатвердевшую часть (жидкое ядро) и высокую температуру поверхности. Сформировавшаяся твердая корка слитка, способная выдержать статическое давление столба жидкой стали высотой 1–1,5 м, имеет толщину на выходе из кристаллизатора 2–4 см. Затвердевающий слиток непрерывно извлекается из кристаллизатора при помощи тянущих роликов и поступает в протяженную зону вторичного охлаждения, где формирование слитка заканчивается. Отвод тепла на этом этапе осуществляют подачей через форсунки воды или водовоздушной смеси на поверхность слитка и элементов оборудования. После завершения кристаллизации по всему сечению слитка он разрезается на мерные заготовки, поступающие в дальнейший передел. Для слитков прямоугольного поперечного сечения (слябов) 2401800 мм глубина жидкого ядра достигает 15–20 м при скорости вытягивания 0,8– 1 м/мин.

Стремление к увеличению производительности и уменьшению высоты машин привело к созданию МНЛЗ криволинейного типа (рис. 1.8). Особенностью этой технологии является разгиб слитка в двухфазном состоянии при помощи правильных валков, после чего слиток перемещается в горизонтальной плоскости, разрезается на мерные заготовки и поступает в дальнейший передел.

Процессы формирования стального слитка протекают при высоких температурах, при больших градиентах температур как в самом слитке, так и в элементах технологического оборудования, сопровождаются фазовыми и структурными превращениями, появлением температурных напряжений, которые приводят к появлению трещин и других дефектов.

На рис. 1.9 показано температурное поле и возникающие в твердой фазе термоуп- вертикального типа ругие напряжения в растущем плоском слое, моделирующем затвердевание стального сляба от его поверхности до плоскости симметрии. При температуре выше изотермы ликвидуса (1773 К) металл находится в жидком состоянии.

В интервале температур ликвидуса и солидуса (1703 К) – двухфазное состояние стали.

При температуре ниже солидуса металл находится в твердом состоянии. На расстоянии 6,5 м по технологической линии непрерывного слитка затвердевание завершается, однако температурное поле остается неоднородным. Видно, что в слитке с неизотермической поверхностью у границы затвердевания (изотерма солидуса) появляются сжимающие температурные напряжения, которые компенсируются растяжением поверхностных слоев слитка. После окончания затвердевания в процессе остывания слитка напряжения перераспределяются: растянутой становится его центральная часть и сжатой – поверхность. Появление растягивающих напряжений в осевой зоне после окончания кристаллизации типично для непрерывных слитков и приводит на практике к возникновению центральных (паукообразных) трещин, которые не залечиваются при дальнейшей обработке слитка давлением.

Рис. 1.8. Схема МНЛЗ криволинейного типа Температурные градиенты и напряжения в твердой фазе уменьшают не только выбором рациональных режимов охлаждения поверхности слитка, но и увеличением теплоотдачи на фронте кристаллизации от жидкого ядра. На рис. 1.10 показана схема перемешивания жидкого ядра слитка в кристаллизаторе специальным рабочим телом – вращающимся активатором, вводимым в расплав. Охлаждение погруженного в расплав активатора приводит к образованию на его поверхности гарнисажа – тонкой корки затвердевшего металла. Тепловая эрозия гарнисажа струей подаваемого расплава приводит к уменьшению перегрева последнего и образованию из обломков дендритов новых центров кристаллизации неориентированно растущих кристаллов. Циркуляция расплава в жидком ядре в виде торообразных вихрей (вихри Тейлора) приводит к снижению температурных градиентов.

Рис. 1.9. Изотермы (слева) и термоупругие напряжения при кристаллизации и остывании плоского слитка Потоки расплава в жидком ядре приводят не только к уменьшению температурных градиентов, но и к переносу легирующих компонентов примесей по всему объему слитка. Явление неоднородного распределения примесей в объеме слитка называется сегрегацией примеси. На рис. 1.11 показан пример неоднородного распределения примеси в жидком ядре непрерывного горизонтального слитка. Полый слиток вытягивается из неподвижного кристаллизатора длиной L2 и дорна длиной L1 с постоянной скоростью W. Течение в жидком ядре слитка симметрично относительно вертикального диаметра. Частицы расплава, охлаждаясь у границ затвердевания, опускаются в нижнюю часть слитка, образуя зоны нисходящих потоков. Восходящие потоки имеют место в центральной части жидкой фазы. Свободная конвекция приводит к искривлению изотерм: более теплые слои расплава скапливаются в верхней части слитка, а холодные – в нижней с образованием здесь застойной зоны.

Рис. 1.10. Схема механического перемешивания жидкого ядра слитка (слева), линии тока (в центре) и поле температур в формирующемся слитке Потоки расплава вызывают и неосесимметричное распределение примеси: обогащенные примесью слои расплава опускаются в нижнюю часть жидкого ядра. Нерастворимая в твердой фазе примесь (в данном случае углерода) вытесняется в расплав, что приводит к возникновению у границ затвердевания диффузионных погранслоев, обогащенных примесью.

Вращение слитка в процессе его вытягивания позволяет достичь положительных металлургических эффектов.

Рис. 1.11. Схема получения горизонтального слитка (слева), поля функции тока и окружной скорости (в центре), концентрации примеси и температуры Дальнейший прогресс в производстве качественной металлопродукции связан с разработкой агрегатов, в которых совмещены МНЛЗ и устройства дальнейшего передела слитка – прокатные станы. Такие совмещенные агрегаты позволяют значительно экономить тепловую энергию за счет сокращения промежуточных подогревов слитка в прокатных станах.

В современных технологических процессах бесслитковой прокатки корочки металла намораживают из расплава непосредственно на валках-кристаллизаторах и обрабатывают давлением. Этим достигается дальнейшая минимизация тепловых потерь и энергоресурсов.

Для активного воздействия на процесс кристаллизации слитка применяют электромагнитное перемешивание (ЭП) его жидкого ядра. Вводимая извне энергия электромагнитного поля расходуется на измельчение первичного литого зерна, повышение степени физической и химической неоднородности слитков, улучшение их поверхности. Устройства электромагнитного перемешивания разнообразны как по виду применяемых электромагнитных полей (бегущих, вращающихся, пульсирующих), так и по способу конкретной технической реализации. Перспективными с точки зрения экономии вводимой в тело слитка энергии следует признать резонансные режимы перемешивания, при которых частота электромагнитного поля совпадает с частотой собственных колебаний жидкого ядра слитка. Применение ЭП дает положительные металлургические эффекты повышения качества слитка (рис. 1.12).

На рис. 1.13 показаны варианты математического моделирования теплофизики деформирования твердой фазы кристаллизующегося слитка. Видно, что во всех вариантах охлаждения у фронта кристаллизации в температурном интервале хрупкости стали появляются участки, на которых эквивалентные температурные напряжения ( 1) превышают предел прочности и возможно образование трещин.

Рис. 1.13. Зоны относительных напряжений в поперечном сечении кристаллизующегося сляба на расстояРис. 1.12. Макроструктура продоль- нии 4 м от мениска металла при ваных темплетов сляба трубной стали рьировании интенсивности теплоотдачи на узкой грани без ЭП (вверху) и с ЭП (внизу) Переход к интенсивному форсуночному охлаждению на узкой грани сляба (вариант 4) снижает локальное растрескивание, но одновременно повышается вероятность образования трещин у широкой грани сляба.

Математическое моделирование теплофизики деформирования позволяет ускоренно спроектировать режимы охлаждения слитка в конкретных технологических условиях.

Процесс непрерывного литья автоматически регулируется системой управления, включающей приборы (рис. 1.14):

Рис. 1.14. Схема автоматизации процесса непрерывного литья 1) уровнемер расплава в кристаллизаторе;

2) уровнемер глубины лунки;

3) яркостный пирометр;

4) термометр измерения температуры воды на выходе из кристаллизатора;

5) дифманометр для определения расхода воды через кристаллизатор;

6) манометр для измерения давления воды в кристаллизаторе;

7) манометр для измерения давления воды в зоне вторичного охлаждения;

8) дифманометр для определения расхода воды в зоне вторичного охлаждения.

Металлургическое производство связано со значительными масштабами выбросов вредных веществ в окружающую среду.

Например, при изготовлении и сушке 1 кг стержневой смеси в воздух поступает до 7,5 г различных углеводородов (фенола, формальдегида, метанола, ацетона и др.). При этом воздух рабочей зоны может содержать до 2,7 мг/м3 фенола, 0,9 мг/м3 формальдегида, 2,1 мг/м3 метанола. Сточные воды литейных производств характеризуются высоким значением водородного показателя (рН = 10…11), содержат до 10 г/л шлама в виде взвешенных частиц размером 100–200 мкм. Электродуговые печи выделяют в атмосферу в расчете на 1 т металла до 12 кг пыли, 1,2– 1,6 кг СО, 0,24–0,32 NO и NO2.

Возникают проблемы охраны окружающей среды, которые решаются методами контроля и применением устройств, позволяющих эффективно утилизировать вредные выбросы. Дымовые газы перед выбросом их в атмосферу очищают от пыли и примесей, пропуская через фильтры. При этом перед фильтрами их предварительно охлаждают в теплообменниках от температуры 1600 оС до 100 оС.

Математическое моделирование процессов тепло- и массопереноса в этом случае позволяет прогнозировать оптимальные режимы и конструкции теплообменника для охлаждения дымовых газов, центрифуги для сбора пыли.

Масштабы и характер металлургических процессов производства слитков неразрывно связаны с необходимостью постоянного совершенствования конструкций металлургических агрегатов, режимов их работы, повышения качества продукции и снижения расхода подводимой энергии.

В решении этих задач особая роль принадлежит моделированию процессов и объектов в металлургии, позволяющему прогнозировать оптимальные условия производства и охраны окружающей среды.

Моделирование относится к общенаучным методам познания, его использование на эмпирическом и теоретическом уровнях приводит к условному делению моделей на материальные и идеальные (рис. 1.16).

Идеальное моделирование – основано на идеальной (мыслимой) аналогии и всегда носит теоретический характер.

Идеальное моделирование подразделяют на два типа: интуитивное и научное.

Интуитивное моделирование основано на собственном опыте без объяснения причин наблюдаемого явления.

Научное моделирование логически обосновано, использует минимальное число гипотез.

Идеальное моделирование всегда является первичным по отношению к материальному (вначале в сознании человека формируется идеальная модель, а затем на ее основании Рис. 1.16. Виды моделирования строится материальная).

Знаковое моделирование использует в качестве моделей схемы, знаки, буквы, чертежи и т.д.

Материальное моделирование объекта выполняется с использованием его материального аналога (макета, образца и т.д.).

При натурном моделировании реальному объекту ставится в соответствие его увеличенный или уменьшенный материальный аналог с последующим применением теории подобия.

Аналоговое моделирование основано на аналогии процессов и явлений, имеющих различную физическую природу, но одинаково описываемых формально (например, электротепловая аналогия).

При наблюдении за объектом в голове исследователя формируется мысленный образ объекта, который принято называть когнитивной моделью (мысленной, способствующей познанию) (рис. 1.17).

Представление когнитивной модели на естественном языке называется содержательной моделью. В технике содержательную модель часто называют технической постановкой проблемы.

По функциональному признаку и целям содержательные модели подразделяются на описательные, объяснительные и предсказательные.

Концептуальной моделью принято называть содержательную модель, при формулировке которой используются понятия и представления предметных областей знания, занимающихся изучением объекта моделирования.

Концептуальные модели базируются на определенной концепции или точке зрения и подразделяются на три вида:

логико-семантические, структурно-функциональные и причинно-следственные.

Логико-семантическая модель является описанием объекта в терминах соответствующей области знаний с логически непротиворечивыми утверждениями и фактами.

При построении структурно-функциональной модели объект рассматривается как целостная система, расчлененная на отдельные подсистемы и элементы.

Причинно-следственная модель используется для прогнозирования поведения объекта.

Формальная модель является представлением концептуальной модели с помощью одного или нескольких формальных языков (языков математических теорий, алгоритмов).

Математическая модель – это идеальная научная знаковая формальная модель, в которой описание объекта осуществляется на языке математики, а исследование модели проводится с использованием тех или иных математических методов.

Информационные модели получили распространение с развитием вычислительной техники и представляют по существу информационные справочники, реализованные с помощью систем управления базами данных. Они не могут генерировать новые знания, отсутствующие в базе данных.

1.3. Классификация математических моделей Параметры математических моделей могут иметь различную «математическую природу»: могут быть постоянными величинами, функциями, скалярами, векторами, тензорами различных рангов и т.д.

Варианты описания неопределенных параметров (рис. 1.18):

1) детерминированное – каждому параметру модели соответствует конкретное целое, вещественное, комплексное число, либо функция;

2) стохастическое – значения отдельных параметров определяются случайными величинами, заданными плотностями вероятностей;

3) случайное – значения отдельных параметров модели устанавливаются случайными величинами, полученными в результате обработки экспериментальной выборки данных параметров;

4) интервальное – отдельные параметры задаются интервальными величинами от минимального до максимального значений;

5) нечеткое – параметры модели описываются функциями принадлежности нечеткому множеству («много больше пяти», «около нуля» и т.д.). Разделение моделей на одномерные, двухмерные, трехмерные зависит от координат пространства; увеличение размерности усложняет модель и предполагает использование многопроцессорных компьютеров с использованием языков параллельных вычислений.

По отношению ко времени:

1) в квазистатических процессах скорость изменения внешних воздействий на объект моделирования существенно меньше скорости релаксации;

2) в динамических процессах скорость изменения внешних воздействий на объект моделирования велика по сравнению со скоростью релаксации;

3) в стационарных процессах значения параметров в фиксированной точке модели не зависят от времени;

4) в нестационарных процессах время является существенной независимой переменной.

Методы реализации математических моделей подразделяются на аналитические и алгоритмические (рис. 1.19).

Рис. 1.18. Классификация математических моделей Рис. 1.19. Классификация в зависимости от методов реализации Примеры аналитических выражений:

e x = 1 + + + +... – приближенное (точность 10– обеспечивают 6 членов разложения, точность 10-8 – 10 членов).

Аналитические методы получили новый виток в развитии с появлением пакетов символьных вычислений (Derive, MatLab, Mathcad, Maple, Mathematica и др.).

При численном подходе совокупность математических соотношений модели заменяется конечноразностным аналогом и последующим приближенным решением алгебраических уравнений. Разработка и использование численных методов является предметом вычислительной математики.

При имитационном моделировании на отдельные элементы разбивается сам объект исследования, система математических соотношений заменяется некоторым алгоритмом, моделирующим взаимодействие друг с другом моделей отдельных элементов системы.

1.4. Этапы разработки математических моделей Процесс разработки математических моделей трудоемок, длителен, связан с использованием труда различных специалистов и может быть представлен последовательностью этапов (рис. 1.20).

Рис. 1.20. Этапы построения математической модели 1. Какова роль процессов тепломассообмена в металлургии?

2. Какими технологиями в металлургии достигается минимизация тепловых потерь и энергоресурсов?

3. Что такое модель и моделирование?

4. Назовите примеры из истории моделирования в металлургии.

5. Цели моделирования на различных этапах производства слитков: шихтовке, плавке, смесеприготовлении, формовке, разливке, охране окружающей среды.

6. Цели моделирования при производстве слитков.

7. По каким классификационным признакам можно различать модели?

8. Какие существуют типы моделирования?

9. Назовите характерные особенности аналоговых моделей.

10. Что такое когнитивная модель, содержательная модель?

11. Каковы особенности детерминированного и неопределенного моделирования?

12. Перечислите этапы построения математических моделей.

стохастического моделирования 2.1. Моделирование в условия неопределенности Известные закономерности, описывающие объекты в металлургии, можно условно разделить на две группы:

1) детерминированные (однозначно определенные);

2) находящиеся в условиях неопределенности.

Граница, отделяющая случайное событие от неслучайного, очень размытая. В чистом виде однозначно определенных процессов, по-видимому, нет. При описании достаточно сложных процессов закономерности всегда носят стохастический характер.

Причины появления неопределенности:

• показатели объекта зависят от большого количества факторов, часть которых может быть неизвестна исследователю;

• при построении модели обычно ограничиваются отбором наиболее существенных (по мнению субъекта или в силу объективных обстоятельств) переменных, что приводит к огрублению модели;

• математические погрешности, возникающие при линеаризации модели или использовании разложения в ряд при ограничении на число членов ряда; ошибки измерений, погрешности при проведении эксперимента и т.д.

В зависимости от полноты описания неопределенность можно разбить на три основные группы: неизвестность, недостоверность и неоднозначность (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Виды описания неопределенности Неизвестность – это начальная стадия описания неопределенности, при которой информация полностью отсутствует.

Недостоверность – это вторая стадия описания неопределенности, которая для различных этапов сбора информации может классифицироваться как неполнота, недостаточность, недоопределенность и неадекватность. Неполнота характеризуется тем, что собрана не вся возможная информация; недостаточность – собрана не вся необходимая информация. Недоопределенность – для некоторых элементов определены не их точные описания, а лишь множества, которым эти описания принадлежат; неадекватность – когда имеет место описание, не всегда удовлетворяющее целям исследования.

Неоднозначность – это конечная (по полноте возможного описания) степень неопределенности, когда вся возможная информация собрана, но полностью необходимое описание не получилось.

Математически неопределенность может быть описана стохастически, статистически, с позиций теории нечетких множеств, а также интервально (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Формы описания неопределенности Стохастическое описание используется тогда, когда неопределенные параметры имеют вероятностный (случайный) характер, при этом необходимо, чтобы был определен закон распределения таких случайных параметров.

Статистическое описание является, по существу, частным случаем стохастического описания. Эту форму описания применяют, когда заданы только выборочные оценки какихлибо характеристик случайной величины.

При описании с позиций нечетких множеств неопределенный параметр задается некоторым множеством возможных его значений, характеризующих принадлежность (с помощью функции принадлежности) объекту. Функция принадлежности может принимать значение от 1 (полная принадлежность) до (полная непринадлежность).

Интервальное описание можно использовать, когда неопределенные параметры заданы только диапазонами возможных значений (верхней и нижней границами), причем параметр может принимать любое значение внутри интервала и ему нельзя приписать никакой вероятностной меры.

и плотность распределения случайной величины Опыт – это осуществление какого-нибудь комплекса условий, который может быть воспроизведен много раз.

Под событием понимается результат опыта или наблюдения. События могут быть элементарными (неразложимыми) и составными (разложимыми).

Элементарное событие происходит в результате единичного опыта. Составное событие – это совокупность элементарных событий.

Пример 1. Игральный кубик подбрасывается 2 раза. Пусть составное событие определено следующим образом: «сумма выпавших цифр равна 6». Тогда элементарными будут события «5 + 1», «4 + 2», «3 + 3», «2 + 4» и «1 + 5». Любые другие сочетания не относятся к рассматриваемому составному событию.

Генеральной совокупностью называют совокупность событий, которые могут быть реализованы в результате бесконечного числа однотипных опытов. Выборочной совокупностью, или выборкой, называют совокупность случайно отобранных событий из генеральной совокупности.

Объемом совокупности называют число событий N этой совокупности.

Случайной величиной называют переменную величину, которая в результате опыта может принимать различные значения. Случайные величины обычно обозначают большими буквами, например Х. Значения случайной величины, которые она принимает в результате опыта, обозначают малыми буквами x1, x2,..., xn. При массовых испытаниях каждое из возможных значений случайной величины x1, x2,..., xn может встретиться m1, m2, …, mn раз. Эти числа называют частотами.

Весь набор значений случайной величины образует генеральную совокупность Nx. Отсеянные из генеральной совокупности Nx значения грубых ошибок образуют выборку объемом N. Если всего было проведено Nx опытов, то в результате выборки или относительной частотой.

Вероятность некоторого события – это мера его «благоприятствия». События называются равновозможными, если мера их «благоприятствия» одинакова. В этом случае частотность W события A – W(A) – определяется формулой:

Вероятность р(А) произвольного события А изменяется от 0 до 1. При этом нулевая вероятность соответствует невозможному событию (которое никогда произойти не может), а единичная – достоверному событию (которое обязательно произойдет). При больших выборках вероятность события равна его частости:

Для независимых событий вероятность произведения равна произведению их вероятностей (теорема умножения):

Пример 2. В литейном цехе появление брака в отливках связано с различными элементами технологического процесса:

из-за низкого качества литейной формы (песчаные раковины, обвалы, ужимины и др.); вследствие нарушения технологического процесса плавки и внепечной обработки металла (неметаллические включения, газовые раковины, пористость и др.);

из-за нарушения режима заливки формы (шлаковые включения, корольки, спаи и др.). Каждый из указанных элементов процесса независимо от другого может быть причиной окончательного брака в отливке.

Пусть вероятность получения качественной отливки без дефектов «по вине» формы р(ф) = 0,98; по вине металла р(м) = 0,93;

по вине заливки р(з) = 0,99. Необходимо оценить надежность технологического процесса в целом, т.е. определить вероятность получения бездефектной отливки р(фмз).

Решение. По формуле (2.3) находим:

р(фмз) = р(ф) р(м) р(з) = 0,98 0,93 0,99 = 0,90.

Для несовместных событий (они не могут наступить одновременно) справедлива теорема сложения вероятностей:

Из этой теоремы вытекают два следствия:

1. Для полной группы несовместных событий сумма их вероятностей равна единице:

2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Пример 3. В партии поковок доля брака составляет 3 % (р(А) = = 0,03). Здесь событие А состоит в выборе дефектной детали.

Противоположное ему событие, состоящее в выборе годной детали, будет. По формуле (2.6) находим p ( A ) = 1 p ( A ) = 1 0,03 = = 0,97, т.е. партия поковок содержит 97 % годных деталей.

Законом распределения случайной величины называют любое правило (таблицу, функцию), позволяющее находить вероятности всевозможных событий.

Случайные величины бывают дискретными и непрерывными.

Дискретными случайными величинами называют такие, которые могут принимать конечное и счетное множество возможных значений.

Непрерывными случайными величинами называют такие, которые в некотором интервале могут принимать любое значение.

Число бракованных поковок в различных выборках из генеральной совокупности есть дискретная случайная величина, а размер этих изделий – непрерывная случайная величина.

Всякую непрерывную случайную величину можно задать в виде дискретной, если все возможные ее значения разбить на интервалы и задать вероятности появления этих интервалов (из-за ограниченности измерительных средств все замеры непрерывных величин задаются в дискретном виде). Случайные величины характеризуются функциями распределения вероятностей.

Интегральной функцией распределения F(xi) случайной величины X называется вероятность того, что случайная величина примет значения, не превосходящие хi, т.е. попадет в интервал (–, хi):

Задание F(xi) и определяет закон распределения случайной величины Х (рис. 2.3).

В большинстве практически важных случаев распределение случайных величин может быть задано с помощью введения функции плотности вероятностей f (x) (дифференциальной функции распределения). Здесь х – вектор, компонентами которого являются величины хi.

Рис. 2.3. Интегральная функция распределения Характерной особенностью случайной величины является то, что заранее неизвестно, какое из значений она примет. Возможность принятия случайной величиной Х значения из интервала (х1, х2) количественно оценивается вероятностью:

где р(x1 X x2) – вероятность указанного события (x1 X x2);

f (х) плотность распределения случайной величины; x2= x1 + dх.

Плотность вероятности удовлетворяет двум условиям: она неотрицательна и интеграл от нее в полных пределах изменения аргумента х равен единице:

Функция распределения F(х) выражается через плотность f(х):

С другой стороны, если плотность f(х) непрерывна в точке х, то её значение в этой точке равно производной от функции F(х):

Функция распределения F(x) является первообразной для плотности f(x), поэтому Свойства функции распределения: она неотрицательна, возрастающая и равна 0 и 1 при значении аргумента – и :

График плотности распределения f(x) называется кривой распределения случайной величины (рис. 2.4). Исходя из геометрической интерпретации интеграла как площади соответствующей криволинейной трапеции заключаем, что для произвольного х0 + число F(x0) равно площади под кривой распределения, лежащей левее прямой X = х0. Аналогично интерпретируется вероятность р(x1 x x2).

Рис. 2.4. Плотность распределения случайной величины Случайная величина x, для которой существует плотность распределения f(x), называется непрерывной.

Если под случайной величиной x понимать продолжительность безотказной работы объекта, то произведение f(х)dх есть вероятность отказа объекта в интервале времени (х1, х2). Значение функции распределения F(х) равно вероятности отказа объекта до момента х. В теории надежности часто употребляют такое понятие, как вероятность безотказной работы р(х), которое является дополнительным понятием к функции распределения F(x).

Значение вероятности безотказной работы в точке х равно вероятности того, что случайная величина X превысит х, т.е.

изделие будет работать безотказно в течение времени x:

Функция Р(х) называется также функцией надежности.

Примерные графики функции распределения F(х) и функции надежности Р(х) изображены на рис. 2.5.

Рис. 2.5. Графики функции распределения F(x) Кривая распределения плотностей вероятностей случайной величины характеризуется своим положением на оси абсцисс и рассеиванием случайной величины. Для оценки положения и рассеяния кривой распределения вводятся соответствующие критерии, или меры.

К мерам положения относятся: мода, математическое ожидание и медиана случайной величины.

К мерам рассеяния относятся: дисперсия, стандартное отклонение и размах.

Модой распределения (Mо) называется наиболее вероятное значение случайной величины X. Плотность вероятности f(х) принимает максимальное значение в окрестности моды. Функция распределения плотности вероятностей может иметь одно или несколько максимальных значений в разных местах области (рис. 2.6).

Рис. 2.6. Кривые распределения случайной величины X:

а – одномодальная; б – двухмодальная; в – антимодальная Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений:

Математическое ожидание случайной величины X, имеющей плотность распределения f(х), вычисляется по формуле:

Статистической оценкой математического ожидания является среднее арифметическое значение случайной величины:

где п – количество значений х; mi –частота появления результата хi.

Математическое ожидание (среднее арифметическое значение) случайной величины называют часто центром рассеяния или центром группирования случайной величины. Математическое ожидание является оценкой истинного значения измеряемой величины.

Пример 4. Найти математическое ожидание и моду случайной величины, заданной таблицей значений:

Медианой случайной величины (Ме) называется такое ее значение х, для которого вероятность появления случайной величины меньшей, чем медиана, или большей, чем медиана, одинакова:

Геометрическая медиана – это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам (рис. 2.7):

Для непрерывной случайной величины определяется по формуле:

Другая мера рассеяния – дисперсия (дисперсия и означает рассеивание) характеризует разброс значений случайной величины относительно ее математического ожидания. Дисперсия увеличивается с увеличением рассеяния результатов наблюдения. Дисперсия определяется по формуле:

где хi дискретная случайная величина, и по формуле:

где хi – непрерывная случайная величина.

Свойства дисперсии:

• Д х (С) = 0 для С = const (дисперсия неслучайной величины равна нулю);

• Д (СХ) = С2·Дх – неслучайную величину можно выносить за знак дисперсии, возведя ее в квадрат;

• Дх = Мx(X 2) – (Мх)2 – дисперсия равна математическому ожиданию квадрата случайной величины минус квадрат ее математического ожидания;

• Д(Х+Y) = Дх + Дy + 2 cov(XY), где cov(XY) – ковариация, характеризующая связь между случайными величинами X и Y cov(XY) = M[ (X –MX)(Y–MY) ] = M(XY) – MXMY.

Ковариация независимых случайных величин равна нулю.

Для характеристики тесноты линейной связи между двумя случайными величинами служит коэффициент корреляции, вычисляемый по формуле:

Коэффициент корреляции меняется в пределах от –1 до +1.

Когда |(ХY)| близок к 1, это указывает на сильную зависимость между X и Y, а когда |(ХY)| близок к 0 – на слабую. Если Х и Y независимы, то ( XY ) = 0.

Размах случайной величины R определяется как разность между наибольшим и наименьшим значениями случайной величины:

2.4. Теоретические законы распределения Закон нормального распределения (закон Гаусса) Этот закон является одним из наиболее распространенных законов распределения погрешностей. Уравнение кривой нормального распределения имеет следующий вид:

Функция распределения имеет вид:

График плотности нормального распределения называется нормальной кривой или кривой Гаусса (рис. 2.8). Отметим смысл характеристик этой кривой:

• – характеризует кучность распределения погрешностей около x ; чем меньше, тем кучнее распределяются случайные величины около x (рис. 2.9).

Рис. 2.9. Нормальное распределение случайных погрешностей Кривая Гаусса имеет следующие особенности:

1. Кривая симметрична относительно х.

2. При xi = x кривая имеет максимум:

3. На расстоянии ± от вершины кривая имеет две точки перегиба А и Б, координаты которых равны:

4. На расстоянии ± 3 от вершины кривой ее ветви так близки к оси абсцисс, что в пределах ± 3 99,7 % всей площади ограничивается кривой. Принято считать, что на расстоянии ± 3 от вершины кривой ее ветви пересекаются с осью абсцисс, и в этих пределах заключена вся площадь кривой, т.е.

100,0 %. Погрешность в этом случае составляет 0,3 %, что допустимо при решении многих задач производства.

5. – это мера рассеяния, мера точности. На основании п. 4 справедливо утверждение, что разброс 6.

С использованием закона Гаусса вероятный процент брака вычисляется следующим образом (считаем, что все детали партии имеют действительные размеры в пределах поля рассеяния):

где xmax, xmin – максимальное и минимальное значения параметра (размера). При этом площадь, ограниченная кривой нормального распределения и осью абсцисс, равна единице и определяет 100 % заготовок партии. Площадь заштрихованных на рис. 2.10 участков представляет собой количество деталей, выходящих по своим размерам за пределы допуска.

Рис. 2.10. К определению количества годных деталей Для определения количества годных деталей необходимо найти площадь, ограниченную кривой и осью абсцисс на длине, равной допуску. При симметричном расположении поля рассеяния относительно поля допуска следует найти значение интервала, определяющего половину площади, ограниченной кривой Гаусса и абсциссой х1 (х2).

Функция распределения для нормального закона имеет вид (рис. 2.11):

Рис. 2.11. Функция распределения F(x) и функция Лапласа Ф(x) Для случая когда x = 0, = 1, распределение называют стандартным и функция распределения имеет следующий вид:

Таким образом, если случайная величина Х следует закону нормального распределения, то вероятность появления случайной погрешности определяется площадью, ограниченной кривой f (x) и ее частью и осью абсцисс:

Подынтегральное значение есть элемент вероятности, равный площади прямоугольника с основанием dx и абсциссами x и x2, называемыми квантилями.

Произведем замену переменной: t = x /, dx = dt:

Представим правую часть в виде суммы двух интегралов:

носит название нормальной функции Лапласа. Значения этого интеграла сведены в таблицу (см. приложение). Таким образом, указанная вероятность (2.28) сводится к разности нормальных функций Лапласа:

Расчет количества годных деталей сводится к установлению величины t и определению Ф(t) с последующим пересчетом полученных величин в проценты или в число изделий.

В общем случае, когда x 0, имеем следующую вероятность появления случайных погрешностей:

Отметим свойства функции Лапласа: Ф(0) = 0; Ф(–х) = = –Ф(х) (функция нечетная); Ф( ) = 1/2. Из рис. 2.11 видно, что кривые F(х) и Ф(x) эквидистантны.

Пример 5. На металлургическом заводе проведено контрольное определение твердости по Шору рабочего слоя большой партии однотипных листопрокатных валков. Установлено, что твердость (случайная величина x) распределена нормально с математическим ожиданием 60 ед. по Шору и средним квадратическим отклонением 5 ед. по Шору. Необходимо найти вероятность того, что значение твердости валков заключено в пределах 57–65 ед. Шора, оговоренных ГОСТом.

Решение. Используем формулу (2.29). По условию задачи x1 = 57; x2 = 65; M x = 60; = 5, следовательно, По таблице функции Лапласа находим: Ф(1,0) = 0,3413;

Ф(0,6) = 0,2257. Отсюда искомая вероятность Во многих практических задачах требуется вычислить вероятность того, что абсолютное отклонение X нормально распределенной случайной величины X от математического ожидания меньше заданного положительного числа, т.е.

требуется найти вероятность выполнения неравенства На основании нечетности функции Лапласа справедливо соотношение:

Аналогично для нормированной случайной величины Если t = 3 и, соответственно, x t = 3 x, то Вероятность того, что абсолютное отклонение будет меньше утроенного стандартного отклонения, равна 0,9973, и большие отклонения практически невозможны. В этом состоит «правило трех сигм»: при нормальном распределении случайной величины абсолютная величина её отклонения от математического ожидания не превышает утроенного стандартного отклонения.

Это правило применяют для проверки нормальности распределения изучаемой величины и для выявления грубых ошибок (промахов) в экспериментальных данных.

Пример 6. Величина отбеленного рабочего слоя валов после чистовой обработки является нормально распределенной случайной величиной со средним квадратичным отклонением x = 1 мм. Необходимо определить вероятность брака валов по причине малого и большого отбела, если бракуются валы, отбел которых отклоняется от требований технических условий более, чем на 2 мм.

Решение. Используем формулу (2.32). По условию задачи = 2 мм; x = 1 мм, следовательно, вероятность получения годной продукции Вероятность получения брака равна вероятности противоположного события:

Экспоненциальное распределение Экспоненциальное распределение характерно для внезапных отказов элементов и систем. Плотность вероятности экспоненциального распределения задается уравнением:

где параметр распределения, являющийся строго положительной константой.

Среднее значение x и стандартное отклонение экспоненциального распределения совпадают и равны обратному значению параметра x = = 1/. Графики функций F(х) и f(x) приведены на рис. 2.12.

Рис. 2.12. Графики плотности f(x), интенсивности отказов (x) (а) и функции F(x) экспоненциального распределения (б) Свойства экспоненциального распределения:

• интенсивность отказов (х) постоянна, т.e. не зависит от аргумента (значения случайной величины).

• вероятность безотказной работы на данном интервале не зависит от времени предшествующей работы, а зависит от длины интервала. Это значит, что будущее поведение элемента не зависит от прошлого, если в данный момент он исправлен.

Если погрешность измерений с одинаковой вероятностью может принимать любые значения, не выходящие за некоторые границы, то такая погрешность описывается равномерным законом распределения. Распределение по закону равной вероятности встречается, когда наряду со случайными факторами, вызывающими рассеивание, действует доминирующий систематический фактор, непрерывно и равномерно изменяющий во времени положение центра группирования Mx. Графически такое распределение случайной величины отображается прямоугольником (рис. 2.13).

Рис. 2.13. Распределение случайной величины Если рассеяние размеров зависит только от переменных систематических погрешностей, от износа режущей кромки инструмента, то распределение действительных размеров партии деталей подчиняется закону равной вероятности.

Например, при установившемся износе режущего инструмента уменьшение его размеров во времени подчиняется прямолинейному закону, что соответственно увеличивает (при обработке валов) или уменьшает (при обработке отверстий) диаметры обрабатываемых заготовок. Тогда в момент времени t1 вал будет иметь размер а, в момент времени t2 b. Естественно, что изменение размеров обрабатываемых заготовок тоже происходит по закону прямой линии.

При изменении случайной величины X в интервале от a до b плотность f(x) постоянна и равна С; вне этого интервала она равна нулю. Так как площадь, ограниченная кривой распределения:

Плотность распределения f(x) имеет вид:

Функция распределения имеет вид (рис. 2.14):

Рис. 2.14. График функции F(x) равномерного распределения Вычислим математическое ожидание и дисперсию:

Определяем стандартное отклонение и разброс:

Равномерное распределение наиболее характерно для неисключенных систематических погрешностей (погрешность от трения в опорах электромеханических приборов, погрешность дискретности в цифровых приборах и др.). Если отсутствуют данные о виде распределения систематической погрешности, то они принимаются равномерными, так как оцениваются границами (пределами) допускаемых погрешностей.

2.5. Начальные и центральные моменты В общем случае момент дискретной случайной величины r-го порядка можно представить в виде:

где а – постоянная величина.

Если а = 0, то момент называют начальным, если а = Мх или а = x r – центральным. Нечетные центральные моменты указывают на симметрию распределения относительно математического ожидания. У всех симметричных распределений нечетные моменты относительно среднего значения равны нулю.

Первый начальный момент – математическое ожидание:

Второй центральный момент – стандартное отклонение :

Для более подробного описания распределения используются моменты более высоких порядков.

Третий центральный момент (М3) характеризует асимметрию распределения случайных погрешностей, т.е. скошенность (рис. 2.15). Коэффициент асимметрии:

Рис. 2.15. Асимметричные распределения Четвертый центральный момент (М4) характеризует форму (крутизну кривой), плосковершинность или островершинность распределения случайных погрешностей (рис. 2.16) и описывается с помощью эксцесса:

Число 3 вычитают потому, что для нормального распределения погрешностей M4 = 3, следовательно, Ek = 0, т.е. в качестве кривой с нулевым эксцессом принята кривая нормального распределения.

Выражение 1 / Ek называется контрэксцессом. Если Ek 0, то говорят, что имеется положительный эксцесс, т.е. вершина кривой находится выше кривой нормального распределения. Если Ek 0 – имеется отрицательный эксцесс и вершина кривой находится ниже вершины кривой нормального распределения.

Рис. 2.16. Плосковершинность и островершинность распределения случайных погрешностей В случаях когда значения случайной величины xi заданы трех- и более значимыми числами и объем выборки N 25, расчет параметров целесообразно вести путем введения случайной величины где xi – новая случайная величина; h – величина интервала; х0 – некоторое начальное значение (обычно принимают середину средних значений xi).

Пусть Х – непрерывный количественный случайный признак с функцией распределения F(x) и плотностью распределения f(х).

Квантилью порядка Р или Р-квантилью распределения F(x) называется величина xP, являющаяся решением уравнения Поскольку для непрерывного признака ее функция распределения F(x) непрерывная и монотонно возрастающая, решение уравнения (2.44) – единственно (рис. 2.17).

Квантиль порядка Р = 0, называется медианой распределения (рис. 2.18). Ордината Рис. 2.17. К определению квантиля медианы рассекает площадь между кривой плотности вероятности и осью абсцисс пополам. Для непрерывного признака ее функция распределения имеет вид:

где f (х) – плотность распреде- Рис. 2.18. Медиана распределения ления.

Квантиль xР удовлетворяет соотношению На рис. 2.19 площадь под заштрихованной фигурой равна Р, а оставшаяся площадь Рис. 2.19. К определению 2.7. Интервальные оценки истинного значения Рассмотренные ранее оценки результата измерения ( x, ), выраженного одним числом, называются точечными оценками. Более полным и надежным способом оценки случайных величин является определение интервальной оценки, которая с заданной степенью достоверности включает в себя значение оцениваемого параметра.

Вероятность того, что случайная погрешность не выйдет за пределы интервала [x1, x2], называется доверительной вероятностью, а сам интервал – доверительным:

где хmin = х – х1, хmax = х + х2 – нижняя и верхняя доверительные границы параметра х; – уровень значимости ( = р(хн х хв) = = 1– ).

Доверительный интервал характеризует степень воспроизводимости результатов измерений, причем при большом доверительном интервале наблюдается большая доверительная вероятность. Таким образом, доверительный интервал и доверительная вероятность – основные характеристики случайной погрешности.

Наиболее часто значения доверительных вероятностей принимают равными 0,90; 0,95; 0,99 или уровни значимости соответственно 0,10; 0,05; 0,01. В технических измерениях ограничиваются доверительной вероятностью = 0,95.

При нормальном законе распределения случайных погрешностей часто пользуются доверительным интервалом от +3 до –3, для которого доверительная вероятность равна 0,9973. Такая доверительная вероятность означает, что в среднем из 370 случайных погрешностей только одна по абсолютному значению будет больше 3.

Различного рода ошибки, влияющие на правильность принятия решения о техническом состоянии объекта, неизбежно возникают в процессе диагностирования. Основные причины ошибок диагностирования:

• неточное измерение и преобразование контролируемого параметра;

• неточное сравнение измеренного значения параметра с нижним и верхним допустимыми пределами;

• ненадежное функционирование средств контроля в процессе диагностирования.

При диагностировании могут возникнуть различные ошибки.

Будем считать состояние S1 исправным, а состояние S2 неисправным. Если при исправном состоянии объект диагностируется как неисправный, то это называется ошибкой первого рода (ложным отказом). Если неисправный объект при диагностике признан исправным, то это ошибка второго рода (пропуск дефекта).

В дальнейшем будем обозначать вероятность ошибки первого рода буквой 1, а вероятность ошибки второго рода – 2.

Ошибка, относящаяся к диагнозу S1 (принимается решение о наличии диагноза S2, когда в действительности объект принадлежит диагнозу S1), называется ошибкой первого рода.

Ошибка, относящаяся к диагнозу S2 (принимается решение в пользу диагноза S1, когда справедлив диагноз S2), называется ошибкой второго рода.

Поясним смысл вышеуказанных ошибок на конкретном примере. Пусть производится диагностирование объекта по одному параметру x. Задача состоит в выборе значения x0 параметра x таким образом, что при x x0 следует принимать решение о снятии объекта с эксплуатации, а при x x0 – допустить дальнейшую эксплуатацию.

С учетом ошибок диагностирования распределение значений параметра x для исправных и неисправных объектов показано на рис. 2.20. Из рисунка видно, что области исправного S и неисправного S2 состояний пересекаются, потому принципиально невозможно выбрать значение x0, при котором в результате технического диагностирования было бы принято безошибочное решение. Заштрихованные на рис. 2.20 площади под кривыми f (x|S1) и f (x|S2) характеризуют вероятности ошибочных решений при диагностировании объекта.

Вероятность исправного состояния (ошибка первого рода 1):

Рис. 2.20. Распределение плотности вероятности значений параметра x для исправного S1 и неисправного S2 состояний объекта Вероятность неисправного состояния (ошибка второго рода 2):

Значения ошибок характеризуют качество процесса диагностирования в целом, а это значит, что они должны учитываться при задании и определении показателей диагностирования. Это можно сделать следующим образом. Например, при измерении параметров во время диагностирования кривая рассеяния может занимать внутри поля допуска различные положения (рис. 2.21), и в этом случае нельзя определить, какому участку поля рассеяния они соответствуют. Так, например, точки А и В могут принадлежать кривым 1 и 2, расположение которых могут подтверждать годность объекта, но могут относиться к кривым 1а и 2а (ошибки второго рода), в значительной части выходящими за пределы допуска, показывая тем самым брак контролируемого объекта (заштрихованные участки).

Для исключения опасности появления ошибок второго рода при контроле в случае, когда поле допуска превышает поле рассеяния, т.е., необходимо с помощью настройки обеспечить расположение кривой фактического распределения размеров внутри поля допуска с таким расчетом, чтобы ее центр группирования (математическое ожидание Мx) отстоял от предельных размеров не менее, чем на 3.

Рис. 2.21. Возможные положения кривых распределения размеров Доверительная вероятность определяет область допустимых значений, а уровень значимости – критическую область, т.е. вероятность того, что х выйдет за пределы [ x1, x2 ]. Выбираемое значение должно быть достаточно малым, чтобы не была совершена ошибка первого рода, т.е. чтобы не была забракована правильная оценка. С другой стороны, слишком малое значение может привести к ошибке второго рода, когда будет принята ложная оценка. Уровень значимости лежит в пределах 0,02 0,1.

2.8. Представление параметров распределения Множество однотипных объектов из генеральной совокупности значений случайной величины X (x1, x2, …, xn) на практике характеризуется и представляется:

• эмпирической функцией распределения;

• полигоном частот;

• гистограммой частот.

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию FX(x), определяющую частоту того, что случайная величина X в результате испытания примет значение, меньшее x, т.е.

Таким образом, эмпирическая функция распределения выборки неубывающая и служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности.

Полигоном частот называю ломаную, отрезки которой соединяют точки (x1; n1), (x2; n2),…, (xk; nk), где ni, i = 1,…, k – частоты (число наблюдений), при которых отмечалось значение признака, равное xi. Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты xi, а на оси ординат – соответствующие им частоты ni. При этом сумма всех частот равна объему выборки.

Пример 1. Построить полигон частот (рис. 2.22) для следующего распределения:

Для построения гистограммы интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения непрерывного признака, разбивают на несколько частичных интервалов длиной h и находят для каждого частичного интервала ni – сумму частот вариантов, попавших в i-й интервал.

Гистограммой частот называют ступенчатую функцию, состоящую из прямоугольников, основанием которой служат частичные интервалы длиной h, а высоты равны отношению ni/h (плотность частоты).

Площадь i-го частичного прямоугольника hni / h = ni, т.е.

сумме частот i-го интервала. Следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки.

Пример 2. Построить гистограмму частот (рис. 2.23) по распределению выборки объемом n = 100 в соответствии с таблицей:

Целью моделирования любого технологического процесса является установление количественной зависимости выходного параметра от одного или группы входных параметров, которые могут изменяться случайно. В функциональной связи Y = f (X) каждому значению независимой переменной X отвечает одно вполне определенное значение зависимой переменной Y. Если независимой переменной соответствует несколько значений Y, то связь между переменными X и Y приобретает статистический характер и называется корреляционной.

Простейшей и распространенной зависимостью между величинами X и Y является линейная регрессия. Оценка тесноты или силы связи между величинами X и Y осуществляется методами корреляционного анализа.

Рассмотрим линейную регрессию от одного параметра (рис. 2.24). Пусть для произвольного фиксированного значения x получено несколько значений Y. Предполагается, что величина Y распределена нормально с математическим ожиданием и дисперсией 2, не зависящей от X. Примем, что случайная величина Y в среднем линейно зависит от фиксированного значения x, а параметры k, b и 2 являются неизвестными параy метрами генеральной совокупности.

Рис. 2.24. Корреляционное поле зависимости Y = f (х) с эмпирической (1) и теоретической (2) линиями регрессии Для оценки этих неизвестных величин по выборке объемом n сопряженных пар значений x1, y1; x2, y2; …; xn, yn в декартовой системе координат можно построить корреляционное поле, содержащее n точек. Если нанести на поле средние значения yi, соответствующие всем значениям переменной xi, то зависимость y от x станет более очевидной.

Ломаная линия, соединяющая точки yi, отнесенные к серединам интервалов xсрi, называется эмпирической линией регрессии. С увеличением числа опытов ломаная линия сглаживается и приближается к предельной линии – теоретической линии регрессии.

Для линейной зависимости линия регрессии задается уравнением прямой:

неизвестные коэффициенты которой определяются по методу наименьших квадратов. В соответствии с этим методом квадрат расстояния по вертикали между опытными точками с координатами xi, yi и соответствующими точками на линии регрессии должно быть минимальным:

Из уравнений для определения неизвестных коэффициентов k, b следует:

откуда С учетом обозначений x = Таким образом, уравнение линейной регрессии принимает вид:

Пример 1. Построить линейную зависимость регрессии по семи экспериментальным точкам:

Решение.

По формуле (2.57) получаем искомую зависимость:

Коэффициент корреляции является количественной мерой, учитывающей стохастическую долю колебаний yi относительно средней y под влиянием xi и вычисляется по формуле:

где x и y – стандартные отклонения:

Коэффициент корреляции не может быть использован для оценки технологической важности фактора. Его величина указывает только на тесноту связи между переменными, а знак – на характер влияния. Значения коэффициента корреляции находятся в пределах 1 r 1 :

при r 0 – увеличение x вызывает уменьшение y;

при r 0 – увеличение x вызывает увеличение y;

при | r | = 1 – связь между x и y линейная функциональная;

при | r | = 0 – корреляционной связи между x и y нет, или она нелинейная.

Если выражение (2.58) преобразовать к виду:

и подставить в формулу (2.56), то получим Отсюда видна непосредственная связь коэффициента корреляции r и коэффициента k в уравнении линейной регрессии, их знаки всегда совпадают.

Выражения (2.58), (2.59) выражают тесноту и вид связи между переменными x и y.

1. Сформулируйте основные причины появления неопределенностей. Какие из них являются субъективными, а какие – объективными?

2. Как описывается неопределенность математически?

3. Приведите примеры математического описания неопределенностей в металлургии.

4. Когда в задаче математического моделирования применяется стохастическое описание переменных?

5. Дайте определение функции и плотности распределения.

6. Меры положения и рассеяния кривой распределения.

Объясните различие между модой, медианой и математическим ожиданием.

7. Что характеризуют дисперсия, стандартное отклонение, коэффициент корреляции?

8. Дайте характеристики законам распределения: нормальному, экспоненциальному, равномерному.

9. Что характеризуют начальный и центральные моменты?

10. Квантили распределения.

11. Интервальные оценки, доверительные интервал и вероятность.

12. Ошибки диагностирования первого и второго рода, их значение.

13. Способы представления параметров распределения: эмпирическая функция распределения, полигон частот, гистограмма частот.

14. Что такое корреляционное поле, линии регрессии?

15. Метод наименьших квадратов для получения уравнения линейной регрессии.

16. Коэффициент корреляции, его смысл.

3. Математические модели теплофизики с детерминированными структурами 3.1. Законы конвективного тепломассообмена Процессы конвективного тепло- и массообмена происходят в результате движения теплоносителя (жидкости или газа) и всегда тесно связаны с соответствующими процессами молекулярного переноса (теплопроводностью и диффузией).

В зависимости от причины движения теплоносителя различают конвекцию вынужденную и свободную (естественную).



Pages:   || 2 | 3 | 4 |
Похожие работы:

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ А.М. ДЕНИСОВ, А.В. РАЗГУЛИН ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Часть 2 МОСКВА 2009 г. Пособие отражает содержание второй части лекционного курса Обыкновенные дифференциальные уравнения, читаемого студентам факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова в соответствии с программой по специальности Прикладная математика и информатика. c Факультет...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ОТЧЕТ по результатам самообследования соответствия государственному образовательному стандарту содержания и качества подготовки обучающихся федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Бирский филиал Башкирский государственный университет по...»

«Теоретические, организационные, учебно-методические и правовые проблемы ПРАВОВЫЕ ПРОБЛЕМЫ ИНФОРМАТИЗАЦИИ И ИНФОРМАЦИОННОЙ БЕЗОПАСНОСТИ Д.ю.н., профессор А.В.Морозов, Т.А.Полякова (Департамент правовой информатизации и научнотехнического обеспечения Минюста России) Развитие общества в настоящее время характеризуется возрастающей ролью информационной сферы. В Окинавской Хартии Глобального информационного Общества, подписанной главами “восьмерки” 22 июля 2000 г., государства провозглашают...»

«  Древние языки и культуры  Международный консорциум Электронный университет Московский государственный университет экономики, статистики и информатики Евразийский открытый институт В.М. Заболотный ДРЕВНИЕ ЯЗЫКИ  И КУЛЬТУРЫ  Учебно-методический комплекс Москва, 2009 1   Древние языки и культуры  УДК 81 ББК 81 З 125 Научный редактор: д.ф.н., проф. С.С. Хромов Заболотный, В.М. ДРЕВНИЕ ЯЗЫКИ И КУЛЬТУРЫ. – М.: Изд. центр З 125 ЕАОИ, 2009. – 308 с. ISBN 978-5-374-00262-1 УДК ББК © Заболотный В.М., ©...»

«МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ НОВОСИБИРСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ, НГУ) Кафедра систем информатики Иван Валентинович Гурлев Пространственный анализ амплитуд отраженных продольных волн в азимутально-анизотропных средах МАГИСТЕРСКАЯ ДИССЕРТАЦИЯ по направлению высшего профессионального образования 230100.68 ИНФОРМАТИКА И...»

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В.ЛОМОНОСОВА ХИМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА ОРГАНИЧЕСКОЙ ХИМИИ И.Э.НИФАНТЬЕВ, П.В.ИВЧЕНКО ПРАКТИКУМ ПО ОРГАНИЧЕСКОЙ ХИМИИ Методическая разработка для студентов факультета биоинженерии и биоинформатики Москва 2006 г. Введение Настоящее пособи предназначено для изучающих органическую химию студентов второго курса факультета биоинженерии и биоинформатики МГУ им. М.В.Ломоносова. Оно состоит из двух частей. Первая часть знакомит студентов с основными...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УТВЕРЖДАЮ Заместитель Министра образования Российской Федерации В.Д. Шадриков 14 марта 2000 г. Номер государственной регистрации: 52 мжд / сп ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ СТАНДАРТ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Специальность 351400 ПРИКЛАДНАЯ ИНФОРМАТИКА (по областям) Квалификация информатик-(квалификация в области) В соответствии с приказом Министерства образования Российской Федерации от 04.12.2003 г. №4482 код данной специальности по...»

«Тесты по темам программы предмета Прикладная информатика Тема Основные устройства ПК. Их назначение Вопросы, соответствующие низкому уровню 1. Что из перечисленного не является носителем информации? а) Книга б) Географическая карта в) Дискета с играми г) Звуковая плата 2. Какое имя соответствует жесткому диску? а) А: б) B: в) С: г) Я: 3. Что необходимо делать в перерывах при работе за ЭВМ? а) Почитать книгу б) Посмотреть телевидение в) Гимнастику для глаз 4. Какое устройство оказывает вредное...»

«ДОКЛАДЫ БГУИР № 2 (14) АПРЕЛЬ–ИЮНЬ 2006 ЭКОНОМИКА И УПРАВЛЕНИЕ УДК 608. (075) ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ НЕМАТЕРИАЛЬНЫХ АКТИВОВ Т.Е. НАГАНОВА Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники П. Бровки, 6, Минск, 220013, Беларусь Поступила в редакцию 28 ноября 2005 Рассматриваются теоретические составляющие интеллектуальной собственности с целью формулировки подходов к совершенствованию патентно-лицензионной работы в Республике Беларусь. Ключевые слова: интеллектуальная...»

«Новые поступления. Январь 2012 - Общая методология. Научные и технические методы исследований Савельева, И.М. 1 001.8 С-128 Классическое наследие [Текст] / И. М. Савельева, А. В. Полетаев. - М. : ГУ ВШЭ, 2010. - 336 с. - (Социальная теория). экз. - ISBN 978-5-7598-0724-7 : 101-35. 1чз В монографии представлен науковедческий, социологический, библиометрический и семиотический анализ статуса классики в общественных науках XX века - экономике, социологии, психологии и истории. Синтез этих подходов...»

«МОСКОВСКИЙ ГОРОДСКОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Фундаментальная библиотека Отдел информационного обслуживания Бюллетень новых поступлений в Фундаментальную библиотеку март 2014 г. Москва 2014 1 Составители: Т.А. Сенченко В бюллетень вошла учебная, учебно-методическая, научная и художественная литература, поступившая в Фундаментальную библиотеку в марте 2014 г. Материал расположен в систематическом порядке по отраслям знаний, внутри разделов – в алфавитнохронологическом. Указано распределение по...»

«Научное обоснование развития сети особо охраняемых природных территорий в Республике Карелия Карельский научный центр Российской академии наук Научное обоснование развития сети особо охраняемых природных территорий в Республике Карелия Петрозаводск 2009 УДК 502.172 (470.22) ББК 20.18 (2Рос. Кар.) Н 34 Научное обоснование развития сети особо охраняемых природных территорий в Республике Карелия. Петрозаводск: Карельский научный центр РАН, 2009. 112 с.: ил. 14, табл. 6. Библиограф. 96 назв. ISBN...»

«Направление бакалавриата 210100 Электроника и наноэлектроника Профиль подготовки Электронные приборы и устройства СОДЕРЖАНИЕ ИСТОРИЯ ИНОСТРАННЫЙ ЯЗЫК ФИЛОСОФИЯ ЭКОНОМИКА И ОРГАНИЗАЦИЯ ПРОИЗВОДСТВА КУЛЬТУРОЛОГИЯ ПРАВОВЕДЕНИЕ ПОЛИТОЛОГИЯ СОЦИОЛОГИЯ МАТЕМАТИКА ФИЗИКА ХИМИЯ ЭКОЛОГИЯ ИНФОРМАТИКА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭМИССИОННОЙ ЭЛЕКТРОНИКИ И КАТОДЫ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ФИЗИКИ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ МАТЕМАТИКИ ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАДЁЖНОСТИ ТЕОРИЯ ИНЖЕНЕРНОГО...»

«Н. В. Максимов, Т. Л. Партыка, И. И. Попов АРХИТЕКТУРА ЭВМ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов учреждений среднего профессионального образования, обучающихся по группе специальностей 2200 Информатика и вычислительная техника Москва ФОРУМ - ИНФРА-М 2005 УДК 004.2(075.32) ББК 32.973-02я723 М17 Рецензенты: к т. н, доцент кафедры Проектирование АИС РЭА им. Г. В. Плеханова Ю. Г Бачинин, доктор экономических наук,...»

«МОСКОВСКИЕ УЧЕБНО-ТРЕНИРОВОЧНЫЕ СБОРЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ весна – 2006 Под редакцией В. М. Гуровица Москва Издательство МЦНМО 2007 УДК 519.671 ББК 22.18 ОГЛАВЛЕНИЕ М82 Московские учебно-тренировочные сборы по информатике. М82 Весна–2006 / Под ред. В. М. Гуровица М.: МЦНМО, Введение.......................................... 5 2007. 194 с.: ил. ISBN ?-?????-???-? I Задачи практических туров Книга предназначена для школьников, учителей информатики, студен-...»

«МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СТАВРОПОЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной и воспитательной работе И.В. Атанов _2014 г. ОТЧЕТ о самообследовании основной образовательной программы высшего образования 230700.62 Прикладная информатика (код, наименование специальности или направления подготовки) Ставрополь, СТРУКТУРА ОТЧЕТА О...»

«Государственный комитет по науке и технологиям Республики Беларусь ГУ Белорусский институт системного анализа и информационного обеспечения научно-технической сферы Молодежный инновационный форум ИНТРИ – 2010. Материалы секционных заседаний 29–30 ноября 2010 г. Минск 2010 УДК 001 (063)(042.3) ББК 72.4 М 34 Под общей редакцией д-ра техн. наук И. В. Войтова М 34 Материалы секционных заседаний. Молодежный инновационный форум ИНТРИ – 2010. — Минск: ГУ БелИСА, 2010. — с. ил., табл. с.: ISBN...»

«министерство образования российской федерации государственное образовательное учреждение московский государственный индустриальный университет информационно-вычислительный центр Информационные технологии и программирование Межвузовский сборник статей Выпуск 3 (8) Москва 2003 ББК 22.18 УДК 681.3 И74 Информационные технологии и программирование: Межвузов ский сборник статей. Вып. 3 (8) М.: МГИУ, 2003. 52 с. Редакционная коллегия: д.ф.-м.н. профессор В.А. Васенин, д.ф.-м.н. профессор А.А. Пярнпуу,...»

«Кучин Владимир О научно-религиозном предвидении Где двое или трое собраны во имя Мое, там и Я посреди них. Мф. 18:20 Официально информатику определяют как науку о способах сбора, хранения, поиска, преобразования, защиты и использования информации. В узких кругах ее также считают реальным строителем моста через пропасть, которая разделяет науку и религию. Кажется, еще чуть-чуть и отличить информатику от религии станет практически невозможно. По всем существующим на сегодня критериям. Судите...»

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ СИСТЕМ ИНФОРМАТИКИ ИМ. А.П. ЕРШОВА НАУЧНЫЙ СОВЕТ ПО МУЗЕЯМ И.А. Крайнева, Н.А. Черемных Путь программиста Ответственный редактор доктор физико-математических наук, профессор А. Г. Марчук Новосибирск 2011 УДК 007(092) ББК 32.81 Е 80 Путь программиста / И.А Крайнева., Н.А. Черемных. Новосибирск: Нонпарель, 2011. 222 с. ISBN 978-5-93089-033-4 Биография выдающегося ученого, математика, программиста, создателя Сибирской школы программирования...»





Загрузка...



 
© 2014 www.kniga.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Книги, пособия, учебники, издания, публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.