WWW.KNIGA.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Книги, пособия, учебники, издания, публикации

 

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

ДЛЯ ЭКОНОМИЧЕСКОГО

БАКАЛАВРИАТА

УЧЕБНИК И ПРАКТИКУМ

4-е издание, переработанное и дополненное

Под редакцией профессора Н. Ш. Кремера

Рекомендовано Министерством образования

Российской Федерации в качестве учебника

для студентов высших учебных заведений, обучающихся

по экономическим специальностям Рекомендовано УМО по образованию в области математических методов в экономике в качестве учебника для студентов, обучающихся по специальности 061800 «Математические методы в экономике» и другим экономическим специальностям Москва • Юрайт • 2012 УДК 51 ББК 22.1я73 Б БК79 Рецензенты:

Кафедра высшей математики Московского государственного университета экономики, статистики и информатики (заведующий кафедрой профессор В. А. Никишкин);

Солодовников А. С., заслуженный деятель науки РФ, доктор физико математических наук, профессор (Финансовая академия при Правительстве РФ).

Кремер, Н. Ш.

К79 Высшая математика для экономического бакалавриата :

учебник и практикум / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Тришин, М. Н. Фридман ; под ред. Н. Ш. Кремера. — 4 е изд., перераб. и доп. — М. : Издательство Юрайт ; ИД Юрайт, 2012. — 909 с. — Серия : Бакалавр.

ISBN 978-5-9916-1526-6 (Издательство Юрайт) ISBN 978-5-9692-1251-0 (ИД Юрайт) Эта книга — полноценное руководство к решению задач. Основные положения учебного материала дополняются задачами с решениями для самостоятельной работы, раскрывается экономический смысл математических понятий, приводятся простейшие приложения математики в экономике.

Существенным отличием книги является наличие в ней наряду с традиционными контрольными заданиями (60 вариантов, более 400 задач) тестовых заданий (27 тестов, более 400 тестовых заданий). Это позволяет эффективно использовать учебник при проведении контрольных работ, тестировании студентов, приеме зачетов и экзаменов, а также при самоконтроле.

Для бакалавров экономических специальностей и направлений вузов, а также магистров и аспирантов, экономистов, преподавателей и лиц, занимающихся самообразованием.

УДК ББК 22.1я © Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н., © Кремер Н. Ш., Путко Б. А., ISBN 978-5-9916-1526- Тришин И. М., Фридман М. Н., 2012, (Издательство Юрайт) с изменениями ISBN 978-5-9692-1251- (ИД Юрайт) © ООО «ИД Юрайт», Оглавление Предисловие

Введение

Раздел I

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА С ЭЛЕМЕНТАМИ

АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Глава 1. Матрицы и определители

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС

1.1. Основные сведения о матрицах

1.2. Операции над матрицами

1.3. Определители квадратных матриц

1.4. Свойства определителей

1.5. Обратная матрица

1.6. Ранг матрицы

ПРАКТИКУМ

1.7. Действия с матрицами

1.8. Определители квадратных матриц

1.9. Обратная матрица

1.10. Ранг матрицы

1.11. Задачи с экономическим содержанием

Контрольные задания по главе «Матрицы и определители»

Тест 1

Глава 2. Системы линейных уравнений

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС

2.1. Основные понятия и определения

2.2. Система n линейных уравнений с n переменными.

Метод обратной матрицы и формулы Крамера......... 4 Оглавление 2.3. Метод Гаусса

2.4. Система m линейных уравнений с n переменными

2.5. Системы линейных однородных уравнений.

2.6. Модель Леонтьева — модель многоотраслевой

ПРАКТИКУМ

2.7. Система n линейных уравнений с n переменными

2.8. Система m линейных уравнений с n переменными.

Метод Жордана — Гаусса. Фундаментальная система решений

2.9. Модель Леонтьева — модель многоотраслевой экономики

Контрольные задания по главе «Системы линейных уравнений»

Тест 2

Глава 3. Элементы матричного анализа

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС

3.1. Векторы на плоскости и в пространстве

3.2. Понятия n мерного вектора и векторного пространства

3.3. Размерность и базис векторного пространства........ 3.4. Переход к новому базису

3.5. Евклидово пространство

3.6. Линейные операторы

3.7. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора

3.8. Квадратичные формы

3.9. Линейная модель обмена

ПРАКТИКУМ

3.10. Векторы на плоскости и в пространстве

3.11. Понятия n мерного вектора и векторного пространства. Евклидово пространство

3.12. Линейные операторы

3.13. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы)

3.14. Квадратичные формы

Контрольные задания по главе «Элементы матричного анализа»

Тест 3

Глава 4. Уравнение линии. Прямая и плоскость..............

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС

4.1. Системы координат. Простейшие задачи.................. 4.2. Уравнение линии на плоскости

4.3. Уравнение прямой

4.4. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой

4.5. Окружность и эллипс

4.6. Гипербола и парабола

4.7. Полярные координаты

4.8. Плоскость и прямая в пространстве

ПРАКТИКУМ

4.9. Простейшие задачи. Уравнение прямой на плоскости

4.10. Кривые второго порядка

4.11. Полярные координаты

4.12. Плоскость и прямая в пространстве

Контрольные задания по главе «Уравнение линии. Прямая и плоскость»

Тест 4

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ И ТЕСТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ЛИНЕНАЯ

АЛГЕБРА С ЭЛЕМЕНТАМИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ»

Учебно тренировочные тесты по дисциплине «Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии» (разделу I)

Итоговые контрольные задания по дисциплине «Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии» (разделу I)

Итоговый тест ЛА

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

Глава 5. Функции одной переменной

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС

5.1. Понятие множества

5.2. Абсолютная величина действительного числа.

Окрестность точки

5.5. Элементарные функции. Классификация функций.

Преобразование графиков

5.7. Интерполирование функций. Основные правила приближенных вычислений

ПРАКТИКУМ

5.8. Функции и графики

Контрольные задания по главе 5 «Функции одной переменной»

Тест 5

Глава 6. Пределы и непрерывность

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС

6.3. Бесконечно малые величины

6.4. Бесконечно большие величины

6.5. Основные теоремы о пределах.

6.6. Замечательные пределы. Задача о непрерывном начислении процентов

6.7. Непрерывность функции

ПРАКТИКУМ

6.8. Вычисление пределов

6.9. Замечательные пределы. Применение эквивалентных бесконечно малых величин к вычислению пределов

6.10. Непрерывность функции и точки разрыва.............. Контрольные задания по главе 6 «Пределы и непрерывность»

Тест 6

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Глава 7. Производная и дифференциал

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС

7.1. Задачи, приводящиеся к понятию производной.... 7.2. Определение производной. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции

7.3. Схема вычисления производной.

Основные правила дифференцирования

7.4. Производная сложной и обратной функций............ 7.5. Производные основных элементарных функций

7.6. Производные неявной и параметрически заданной функций. Понятие производных высших порядков

7.7. Понятие дифференциала функции

7.8. Применение дифференциала в приближенных вычислениях

7.9. Понятие о дифференциалах высших порядков....... 7.10. Экономический смысл производной.

Использование понятия производной в экономике......

ПРАКТИКУМ

7.11. Вычисление производных

7.12. Геометрические и механические приложения производной

7.13. Дифференциал функции

7.14. Экономические приложения производной............... Контрольные задания по главе «Производная и дифференциал»

Тест 7

Глава 8. Приложения производной

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС

8.1. Основные теоремы дифференциального исчисления... 8.2. Правило Лопиталя

8.3. Возрастание и убывание функций

8.4. Экстремум функции

8.5. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке и интервале

8.6. Выпуклость функции. Точки перегиба

8.7. Асимптоты графика функции

8.8. Общая схема исследования функций и построения их графиков

8.9. Приложение производной в экономической теории

ПРАКТИКУМ

8.10. Основные теоремы дифференциального исчисления

8.11. Правило Лопиталя

8.12. Интервалы монотонности и экстремумы функции

8.13. Интервалы выпуклости функции.

Точки перегиба

8.14. Асимптоты. Исследование функций и построение их графиков

8.15. Применение производной в задачах Контрольные задания по главе «Приложения производной»

Тест 8

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ И ТЕСТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ», ЧАСТЬ 1 (РАЗДЕЛАМ II, III) Учебно тренировочные тесты по дисциплине «Мате матический анализ», часть 1 (разделам II, III)....... Итоговые контрольные задания по дисциплине «Математический анализ», часть (разделам II, III )

Итоговый тест МА.1

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Глава 9. Функции нескольких переменных

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС

9.1. Основные понятия

9.2. Предел и непрерывность

9.3. Частные производные

9.4. Дифференциал функции

9.10. Понятие об эмпирических формулах. Метод наименьших квадратов

9.11. Функции нескольких переменных в экономической теории

ПРАКТИКУМ

9.12. Основные понятия

9.13. Частные производные, градиент, дифференциал

9.14. Экстремум функции нескольких переменных.

Условный экстремум

9.15. Метод наименьших квадратов

9.16. Функции нескольких переменных в экономических задачах

Контрольные задания по главе 9 «Функции нескольких переменных»

Тест 9

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 10. Неопределенный интеграл

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС

10.1. Первообразная функция и неопределенный интеграл

10.2. Свойства неопределенного интеграла. Интегралы от основных элементарных функций

10.3. Метод замены переменной

10.4. Метод интегрирования по частям

10.5. Интегрирование простейших рациональных дробей

10.6. Интегрирование некоторых видов иррациональ ностей

10.7. Интегрирование тригонометрических функций..... 10.8. Об интегралах, «неберущихся» в элементарных функциях

ПРАКТИКУМ

10.9. Непосредственное интегрирование

10.10. Метод замены переменной

10.11. Метод интегрирования по частям

10.12. Интегрирование рациональных функций............. 10.13. Интегрирование некоторых видов иррацио нальностей

10.14. Интегрирование тригонометрических функций

Контрольные задания по главе 10 «Неопределенный интеграл»

Тест 10

Глава 11. Определенный интеграл

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС

11.1. Понятие определенного интеграла, его геомет рический и экономический смысл

11.2. Свойства определенного интеграла

11.3. Определенный интеграл как функция верхнего предела

11.4. Формула Ньютона — Лейбница

11.5. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле

11.6. Геометрические приложения определенного интеграла

11.7. Несобственные интегралы

11.8. Приближенное вычисление определенных интегралов

11.9. Применение понятия определенного интеграла в экономике

11.10. Понятие двойного интеграла

ПРАКТИКУМ

11.12. Геометрические приложения определенного интеграла

11.13. Несобственные интегралы

11.14. Приближенное вычисление определенного интеграла

11.15. Применение понятия определенного интеграла в экономике

11.16. Двойные интегралы

Контрольные задания по главе 11 «Определенный интеграл»

Тест 11

Глава 12. Дифференциальные уравнения

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС

12.1. Основные понятия

12.2. Дифференциальные уравнения первого порядка.

Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения

12.3. Элементы качественного анализа дифферен циальных уравнений первого порядка

12.4. Неполные дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

12.5. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

12.6. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

12.7. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка............. 12.8. Линейные дифференциальные уравнения вто рого порядка с постоянными коэффициентами...... 12.9. Использование дифференциальных уравнений в экономической динамике

12.10. Системы дифференциальных уравнений................

ПРАКТИКУМ

12.11. Основные понятия

12.12. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

12.13. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

12.14. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

12.15. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

12.16. Линейные дифференциальные уравнения вто рого порядка с постоянными коэффициентами..... 12.17. Использование дифференциальных уравнений в экономической динамике

12.18. Системы дифференциальных уравнений................ 12.19. Дополнительные задачи

Контрольные задания по главе 12 «Дифференциаль ные уравнения»

Тест 12

Глава 13. Числовые ряды

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС

13.1. Основные понятия. Сходимость ряда

13.2. Необходимый признак сходимости.

Гармонический ряд

13.3. Ряды с положительными членами

13.4. Ряды с членами произвольного знака

ПРАКТИКУМ

13.5. Сходимость ряда. Необходимый признак сходимости

13.6. Сходимость рядов с положительными членами..... 13.7. Сходимость рядов с членами произвольного знака.... Контрольные задания по главе 13 «Числовые ряды»...... Тест 13

Глава 14. Степенные ряды

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС

14.1. Область сходимости степенного ряда

14.2. Ряды Маклорена и Тейлора

14.3. Формула Тейлора

ПРАКТИКУМ

14.5. Ряды Маклорена и Тейлора

14.6. Применения рядов в приближенных вычислениях

Тест 14

ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ

Глава 15. Комплексные числа

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС

15.1. Арифметические операции над комплексными числами. Комплексная плоскость

15.2. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа

ПРАКТИКУМ

15.3. Действия над комплексными числами

Контрольные задания по главе 15 «Комплексные числа»

Тест 15

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ И ТЕСТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ», ЧАСТЬ 2 (РАЗДЕЛАМ IV—VII) Учебно тренировочные тесты по дисциплине «Математический анализ», часть (разделам IV—VII)

Итоговые контрольные задания по дисциплине «Математический анализ», часть (разделам IV—VII)

Итоговый тест МА.2

Приложение. Об использовании математических пакетов при изучении курса высшей математики........... Литература

Ответы

Предметный указатель

ПРЕДИСЛОВИЕ

Три предыдущих издания учебника выходили под названием «Высшая математика для экономических специальностей».

Переход всех экономических вузов и отделений, начиная с 2011/2012 учебного года, на двухуровневую систему подготовки «бакалавр-магистр», определил новое название учебника (4-ое издание): «Высшая математика для экономического бакалавриата».

Учебник написан в соответствии с требованиями федеральных государственных образовательных стандартов (ФГОС) по экономическим специальностям. Он соответствует Примерной программе дисциплины «Математика», утвержденной Минобразованием России, и содержит учебный материал по курсам «Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии» и «Математический анализ», включенным в ФГОСы по экономическим направлениям в виде отдельных математиче ских дисциплин.

При написании курса высшей математики для экономи ческих вузов авторы руководствовались принципом повышения уровня фундаментальной математической подготовки студентов с усилением ее прикладной экономической направ ленности. При введении основных понятий отдавалось предпочтение классическому подходу: так, например, понятие непрерывности функции вводится после рассмотрения понятия предела, определенный интеграл определяется как предел интегральной суммы и т.п. Там, где это возможно, даются геометрический и экономический смыслы математи ческих понятий (например, производной, интеграла и т.д.), приводятся математические формулировки ряда экономи ческих законов (закона убывающей доходности, принципа убывающей предельной полезности, условия оптимальности выпуска продукции), рассматриваются простейшие приложения высшей математики в экономике (балансовые модели, предельный анализ, эластичность функции, производственные функции, модели экономической динамики и т.п.). Такие приложения рассчитаны на уровень подготовки студентов первого курса и почти не требуют дополнительной (экономи ческой) информации.

Данный учебник подготовлен на основе учебника [2] и учебного пособия [18] тех же авторов. По сравнению с указанными книгами в него включен ряд дополнительных теорети ческих вопросов и задач (например, след матрицы, полярные координаты, системы дифференциальных уравнений, доста точное условие экстремума функции n переменных, признак сходимости Коши, применение математических пакетов при изучении курса высшей математики и др.). Главное отличие этого издания заключается в совмещении в одной книге и учеб ника, и полноценного практикума, что позволило, в частности, исключить неизбежные повторы учебного и справочного мате риала.

Известно, что изучение базовых математических дисцип лин в вузе осуществляется по апробированной многолетней практикой схеме: лекции — практические занятия — конт рольные работы (типовые расчеты, тестирование) — экза мен. Данный учебник написан в соответствии с этой схемой.

Каждая глава учебника содержит «Теоретический курс», в котором раскрывается основное содержание темы и приво дятся иллюстрирующие учебный материал решенные прак тические примеры и задачи, и «Практикум», в котором представлено достаточно большое число типовых и более сложных комплексных задач с решениями и для самостоя тельной работы.

В конце каждой главы по представленной в ней теме приводятся как традиционные контрольные задания (три варианта по пять — девять задач), так и тест (10—15 тесто вых заданий). Кроме того, в целом по дисциплине «Линей ная алгебра (с элементами аналитической геометрии)», по первой и второй частям дисциплины «Математический ана лиз»1 даются как традиционные итоговые контрольные за дания (пять вариантов по восемь задач), так и итоговые те сты (по 24 тестовых задания).

Приведенные контрольные задания и тесты могут быть эффективно использованы для аудиторных и домашних контрольных работ, типовых расчетов, собеседований, на за четах и экзаменах (в частности, письменных), при тестиро вании студентов (в том числе компьютерном), а также для самоконтроля по вузовскому общему курсу математики.

Такое построение книги потребовало сделать изложение теоретического материала более кратким, отказаться без су щественного ущерба от малозначащих, громоздких или по вторяющихся по своим идеям доказательств утверждений, 1 Разделение учебного материала дисциплины на части соответствует примерным срокам их изучения в экономическом вузе (соответственно в I и II семестрах).

отличающихся от ранее проведенных лишь техническими де талями. Вместе с тем авторы стремились к более тщательной проработке базовых понятий и доказательств положений, изу чение которых предусмотрено настоящим курсом. Для лучше го усвоения учебного материала приведены учебные алгорит мы (схемы) решения определенного круга задач.

Особенностью предлагаемого «Практикума» является то, что значительная часть задач и примеров имеет экономическое содержание. Наиболее экономически значимые задачи, пред ставляющие самостоятельный интерес, выделены в отдель ные параграфы.

Для оценки уровня подготовленности студентов в настоя щее время все шире используются методы тестирования, в частности, с применением современных компьютерных техно логий. Существенным отличием данной книги от имеющих ся на книжном рынке изданий является то, что наряду с тра диционными контрольными заданиями (60 вариантов, более 400 задач) в нем предлагается достаточно большое число тес товых заданий (27 тестов, более 400 тестовых заданий).

При подготовке тестовых заданий авторы ориентирова лись в основном на открытую форму, когда тестируемый сам получает ответ в виде произвольного числа (целого или записанного в виде десятичной дроби) — одного или нескольких, допускаемых при компьютерном тестирова нии. Такая форма заданий исключает возможность угады вания правильного ответа, подсказок для его получения.

Приведены также задания в закрытой форме, когда тести руемый должен выбрать один или несколько вариантов отве та, предложенных на выбор. При этом авторы отказались от альтернативных тестовых заданий (с двумя вариантами отве та) из за высокой (0,5) вероятности угадывания правильного ответа. В ряде тестов использовались тестовые задания на вы явление соответствия между элементами двух групп с ответа ми в виде соответствующих пар «число — буква», характери зующих порядковые номера элементов в каждой группе.

В отдельных случаях применялись тестовые задания на установление правильной последовательности элемен тов с ответами в виде последовательности номеров этих элементов.

Для усвоения учебного материала каждой главы рекомен дуется вначале изучить теоретические основы с иллюстри рующими их решенными задачами и примерами, приведенны ми в «Теоретическом курсе», затем разобрать типовые и бо лее сложные задачи с решениями и решить часть задач для самостоятельной работы из «Практикума». А для проверки уровня подготовленности по материалам каждой главы и дисциплинам «Линейная алгебра» и «Математический ана лиз» в целом рекомендуется выполнить тематические и итоговые контрольные и тестовые задания.

При подготовке задач (а их в учебнике около 2700) были использованы различные пособия и методические материа лы. Часть задач и, в частности, тестовые задания составле ны специально для настоящего учебника. Наряду с автора ми в подготовке ряда задач для самостоятельной работы и тестовых заданий принимали также участие преподаватели кафедры высшей математики ВЗФЭИ: доценты Л. Р. Бори сова, А. С. Гулько, А. В. Потемкин, А. Ю. Шевелев, канд.

физ. мат. наук Е. М. Воробьева.

Ответы всех задач, контрольных и тестовых заданий по главам (кроме итоговых по дисциплинам) приводятся в кон це учебника. Нумерация задач (как с решениями, так и для самостоятельной работы) единая по каждой главе (начинает ся в «Теоретическом курсе» и продолжается в «Практику ме»). В конце книги дан развернутый предметный указатель.

Знаком o обозначается начало доказательства теоремы, знаком n — ее окончание, а знаком — окончание решения задачи.

В третье издание включены учебно тренировочные тес ты (девять тестов по 20 тестовых заданий), которые могут быть использованы для контроля (экспресс проверки) уров ня подготовленности студентов перед курсовыми экзамена ми (зачетами), для проверки остаточных знаний студентов при подготовке их к аттестации (аккредитации, комплекс ной проверке) вуза по циклу общих математических и естест веннонаучных дисциплин, при решении вопроса о переза чете дисциплин студентам, переводящимся в данный вуз из других учебных заведений, и т.п. Эти тесты по указанным выше дисциплинам (в целом) помещены вместе с их итого выми контрольными заданиями и тестами в отдельных раз делах, а тематические контрольные задания и тесты перене сены из этих разделов в соответствующие главы учебника.

Авторы выражают глубокую благодарность проф. В. А. Ни кишкину и проф. А. С. Солодовникову за рецензирование руко писи и сделанные ими замечания.

Н. Ш. Кремер, профессор (предисловие, введение, И. М. Тришин, профессор (гл. 10—12);

Б. А. Путко, доцент (гл. 8, 9, а также приложение М. Н. Фридман, доцент (гл. 1);

И. М. Эйсымонт, доцент (учебно тренировочные

ВВЕДЕНИЕ

Математика — наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. В нераз рывной связи с запросами науки и техники запас количе ственных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой, непрерывно расширяется, поэтому приведен ное определение необходимо понимать в самом общем смысле.

Академик А. Н. Колмогоров1 выделяет четыре периода развития математики2: зарождения математики, элемен тарной математики, математики переменных величин, со временной математики.

Понимание самостоятельного положения математики как особой науки стало возможным после накопления до статочно большого фактического материала и возникло впервые в Древней Греции в VI—V вв. до н.э. Это было на чалом периода элементарной математики.

В течение этого периода математические исследования базировались лишь на достаточно ограниченном количе стве основных понятий, возникших в связи с самыми про стыми запросами хозяйственной жизни. Вместе с тем уже на данном этапе происходит качественное совершенство вание математики как науки. На основе арифметики по степенно зарождается теория чисел. Появляется алгебра как буквенное исчисление. А созданная древними греками система изложения элементарной геометрии — геометрии Евклида — на два тысячелетия вперед стала образцом де дуктивного построения математической теории.

В XVII в. запросы естествознания и техники привели к созданию методов, позволяющих математически изучать движение, процессы изменения величин, преобразование 1 Колмогоров Андрей Николаевич (1903—1987) — российский мате матик.

2 Колмогоров, А. Н. Математика / А. Н. Колмогоров // Математичес кий энциклопедический словарь. М. : Советская энциклопедия, 1988.

геометрических фигур. С употребления переменных вели чин в аналитической геометрии и создания дифференци ального и интегрального исчислений начался период мате матики переменных величин.

На первый план выдвигается понятие функции, сыграв шее в дальнейшем такую же роль основного и самостоя тельного предмета изучения, как ранее понятия величины и числа. Изучение функции привело к формулированию основных понятий математического анализа: предела, про изводной, дифференциала, интеграла. Создание аналитиче ской геометрии позволило существенно расширить предмет изучения геометрии благодаря найденному универсально му способу перевода вопросов геометрии на язык алгебры и анализа — методу координат Р. Декарта. С другой сторо ны, открылась возможность геометрической интерпрета ции алгебраических и аналитических фактов.

Дальнейшее развитие математики привело в начале XIX в.

к постановке задачи изучения возможных типов количест венных отношений и пространственных форм с достаточно общей точки зрения. Связь математики и естествознания, оставаясь по существу не менее тесной, приобретает все бо лее сложные формы. Новые теории возникают не только в результате запросов естествознания и техники, но и вслед ствие внутренней потребности самой математики. Замеча тельным примером такой теории является «воображаемая»

геометрия Н. И. Лобачевского. Развитие подобного рода ис следований в математике XIX—XX вв. позволяет отнести ее к периоду современной математики.

Потребности развития самой математики, «математи зация» различных областей науки, проникновение мате матических методов во многие сферы практической дея тельности, прогресс вычислительной техники привели к появлению ряда новых математических дисциплин, на пример, исследование операций, теория игр, математиче ская экономика и др.

В основе построения математической теории лежит аксио матический метод, при котором в фундамент теории заклады ваются некоторые исходные положения, называемые аксиома ми теории, а все остальные предложения теории получаются как логические следствия аксиом. Примером применения ак сиоматического подхода является евклидова геометрия, в ко торой четко проведена идея получения основного содержа ния геометрической теории чисто дедуктивным путем из небольшого числа аксиом, истинность которых представля лась наглядно очевидной.

Основным методом в математических исследованиях яв ляются математические доказательства — строгие ло гические рассуждения. Член корреспондент РАН Л. Д. Куд рявцев указывает, что в силу объективной необходимости логические рассуждения (которые по своей природе, если они правильные, являются и строгими) представляют ме тод математики, без них математика немыслима1. Следу ет отметить, что математическое мышление не сводится лишь к логическим рассуждениям. Для правильной поста новки задачи, оценки ее данных, выделения существенных из них и выбора способа ее решения необходима еще мате матическая интуиция, позволяющая предвидеть нужный результат прежде, чем он будет получен, наметить путь ис следования с помощью правдоподобных рассуждений. Но справедливость рассматриваемого факта доказывается не проверкой ее на ряде примеров, не проведением серии экс периментов (что само по себе играет большую роль в мате матических исследованиях), а чисто логическим путем, по законам формальной логики.

Сказанное, естественно, не означает, что в предлагаемом курсе высшей математики нужно использовать только «строгие» доказательства, сводя все к аксиомам. Такой за дачи авторы не ставили, потому что это не только невоз можно в рамках вузовского курса (а тем более краткого курса в экономическом вузе), но часто и нецелесообразно с методической точки зрения, так как в процессе изучения дисциплины в ограниченные сроки необходимо уделять большое внимание разъяснению математических понятий (в том числе и на интуитивном уровне), их геометриче скому, физическому и экономическому смыслам, решению практических задач.

В математике изучаются математические модели. Это могут быть как непосредственно математические модели реальных явлений, так и объекты (структуры) для изуче ния этих моделей. Одна и та же математическая модель может описывать свойства далеких друг от друга по своему конкретному содержанию реальных явлений. Так, одно и то же дифференциальное уравнение может описывать 1 Кудрявцев, Л. Д. Современная математика и ее преподавание / Л. Д. Кудрявцев. — М. : Наука, 1985.

процессы роста населения и распада радиоактивного веще ства. Для математики важна не природа рассматриваемых объектов, а существующие между ними отношения.

В математике используются два вида умозаключений:

дедукция и индукция, позволяющие сделать выводы соот ветственно на основании общих знаний для конкретного случая и, наоборот, на основании частных случаев об об щих суждениях. Принцип математической индукции гла сит, что утверждение А(n), зависящее от натурального па раметра n, считается доказанным, если доказано А(1) и для любого натурального числа n из предположения, что верно А(n), доказано, что верно также А(n +1).

При формулировке математических утверждений часто используются необходимые и достаточные условия. Пусть рассматривается какое либо утверждение (положение) В в связи с некоторым утверждением (условием) А. Если из В следует А, т.е. В А, то А называется необходимым условием для В, если же из А следует В, т.е. А В, то А называется достаточным условием для В. Например, делимость числа на 2 — необходимое условие его делимости на 6 (делимость на 6 делимость на 2), а, скажем, делимость числа на 12 — достаточное условие его делимости на 6 (делимость на делимость на 6). Если одновременно верны утверждения В А и А В, т.е. А В, то А называется необходимым и достаточным условием для В. Например, для делимости числа на 6 необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 2 и 3, ибо «делимость на 2 и 3 делимость на 6».

Таким образом, необходимые условия — это такие усло вия, без которых рассматриваемое утверждение заведомо не может быть верным, а достаточные условия — это такие условия, при выполнении которых это утверждение заве домо верно. Выражение «необходимо и достаточно» можно заменить равносильными выражениями «тогда и только тогда», «если и только если», «в том и только в том слу чае». Необходимые и достаточные условия обладают в ма тематике большой познавательной ценностью.

Математика играет важную роль при проведении есте ственно научных, инженерно технических и гуманитарных исследований. Она стала для многих отраслей знаний не только орудием количественного расчета, но также мето дом точного исследования, средством предельно четкой формулировки понятий и проблем. Без современной мате матики с ее развитым логическим и вычислительным ап паратом был бы невозможен прогресс в различных облас тях человеческой деятельности.

Математика является не только мощным средством для решения прикладных задач и универсальным языком науки, но и элементом общей культуры. В связи с этим математическое образование следует рассматривать как важнейшую состав ляющую в системе фундаментальной подготовки современ ного экономиста.

Основы высшей математики были разработаны в трудах выдающихся ученых: математика и механика Древней Гре ции Архимеда (287—212 до н.э.); французского философа и математика Р. Декарта (1596—1650); английского физика и математика И. Ньютона (1643—1727); немецкого философа, математика и физика Г. Лейбница (1646—1716); математи ка, механика и физика Л. Эйлера (1707—1783); французско го математика и механика Ж. Лагранжа (1736—1813); не мецкого математика К. Гаусса (1777—1855); французского математика О. Коши (1789—1857) и многих других круп нейших ученых.

Большой вклад в развитие математики внесли выда ющиеся русские ученые Н. И. Лобачевский (1792—1856), М. В. Остроградский (1801—1861), П. Л. Чебышев (1821— 1894), А. А. Марков (1856—1922), А. М. Ляпунов (1857— 1918) и др.

Современная российская математическая школа зани мает передовое место в мировой математической науке благодаря трудам знаменитых математиков: А. Д. Алек сандрова, П. С. Александрова, В. И. Арнольда, С. Н. Берн штейна, Н. Н. Боголюбова, И. Н. Векуа, И. М. Виноградова, В. М. Глушкова, Л. В. Канторовича, М. В. Келдыша, А. Н. Колмогорова, М. А. Лаврентьева, Ю. В. Линника, А. И. Мальцева, П. С. Новикова, Ю. В. Прохорова, В. И. Смирнова, С. Л. Соболева, А. Н. Тихонова и др.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

С ЭЛЕМЕНТАМИ

АНАЛИТИЧЕСКОЙ

ГЕОМЕТРИИ

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС

Понятие матрицы и основанный на нем раздел матема тики — матричная алгебра — имеют чрезвычайно важное значение для экономистов. Объясняется это тем, что значи тельная часть математических моделей экономических объектов и процессов записывается в достаточно простой, а главное, компактной матричной форме.

Матрицей размера m n называется прямоугольная таб лица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, со ставляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Матрицы обозначаются прописными буквами латин ского алфавита, например А, В, С,..., а для обозначения элементов матрицы используются соответственно строч ные буквы с двойной индексацией: aij, bij, cij, …, где i — но мер строки, j — номер столбца.

Например, матрица или в сокращенной записи А = (aij); i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n.

Например, если т = 2, п = 3, то Наряду с круглыми скобками используются и другие обозначения матрицы: [ ], || ||.

Две матрицы А и В одного размера называются равны ми, если они совпадают поэлементно, т.е. аij = bij для любых i = 1, 2,..., m; j =1, 2,..., n.

С помощью матриц удобно записывать некоторые эко номические зависимости. Например, таблица распределе ния ресурсов, усл. ед., по отдельным отраслям экономики тические может быть записана в компактной форме в виде матрицы В этой записи, например, матричный элемент а11 = 5, показывает, сколько электроэнергии потребляет промыш ленность, а элемент а22 = 2,1 — сколько трудовых ресурсов требуется для сельского хозяйства.

Виды матриц. Матрица, состоящая из одной строки, на зывается матрицей(вектором) строкой, или просто строкой, а из одного столбца — матрицей(вектором) столбцом, или просто столбцом: А = ( а11 а12,..., а1n) — матрица строка;

Матрица называется квадратной n го порядка, если чис ло ее строк равно числу столбцов и равно n. Например, = 0 1 0 — квадратная матрица третьего порядка.

Элементы матрицы аij, у которых номер столбца равен номеру строки (i = j), называются диагональными и образу ют главную диагональ матрицы. Для квадратной матрицы главную диагональ образуют элементы а11, а22, …, аnn.

Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной1. Напри мер, = 0 1 0 — диагональная матрица третьего порядка.

Если у диагональной матрицы n го порядка все диаго нальные элементы равны единице, то матрица называется единичной матрицей n го порядка, она обозначается буквой Е, или En. Например, = 0 1 0 — единичная матрица третьего порядка.

Матрица любого размера называется нулевой, или нуль матрицей, если все ее элементы равны нулю:

Над матрицами, как и над числами, можно производить ряд операций, причем некоторые из них аналогичны опера циям над числами, а некоторые специфические.

1 Если все диагональные элементы диагональной матрицы одинако вы, то такая матрица называется скалярной.

1. Умножение матрицы на число. Произведением матри цы А на число называется матрица В = А, элементы кото рой bij = аij для i =1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n.

Следствие. Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы. Например, В частности, произведение матрицы А на число 0 есть нулевая матрица, т.е. 0. А = 0.

2. Сложение матриц. Суммой двух матриц А и В одина кового размера m n называется матрица С = А + В, эле менты которой cij = аij + bij для i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n (т.е. матрицы складываются поэлементно). Например, В частном случае А + 0 = А.

3. Вычитание матриц. Разность двух матриц одинако вого размера определяется через предыдущие операции «1» и «2»: А – В = А + (–1). В.

4. Умножение матриц. Операция умножения матрицы А на матрицу В определена, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй1. Тогда произведением матриц B называется такая матрица, каждый эле мент сij которой равен сумме произведений элементов i й строки матрицы А на соответствующие элементы j го столб ца матрицы В:

ij = ai1b1 j + ai 2b2 j + K + aikbk j = ais bsj ; i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n.

Пример 1.1. Вычислить произведение матриц АВ, где 1 В этом случае матрица А называется согласованной с матрицей В.

Решение.

1. Найдем размер матрицы произведения (если умноже ние матриц возможно): =.

2. Вычислим элементы матрицы произведения С, умно жая элементы каждой строки матрицы А на соответству ющие элементы столбцов матрицы В, следующим образом:

Многие свойства, присущие операциям над числами, справедливы и для операций над матрицами (что следует из определений этих операций):

Однако имеются и специфические свойства матриц. Так, операция умножения матриц имеет некоторые отличия от умножения чисел.

а) Если произведение матриц АВ существует, то после перестановки сомножителей местами произведение мат риц ВА может и не существовать. Действительно, в приме ре 1.1 получили произведение матриц А23. В33, а произ ведения В33. А23 не существует, так как число столбцов первой матрицы не совпадает с числом строк второй.

б) Если даже произведения АВ и ВА существуют, то они могут быть матрицами разных размеров.

Пример 1.2. Найти произведения матриц АВ и ВА, где в) Если оба произведения АВ и ВА существуют и оба — матрицы одинакового размера (это возможно только при умножении квадратных матриц А и В одного порядка), коммутативный (переместительный) закон умножения, вообще говоря, не выполняется, т.е. А. В В. А.

Пример 1.3. Найти произведения матриц АВ и ВА, где Матрицы А и В, для которых выполняется коммутатив ный закон, называются перестановочными. Можно пока зать, что скалярные матрицы перестановочны с любыми квадратными матрицами того же порядка.

В частном случае коммутативным законом обладает про изведение любой квадратной матрицы А n го порядка на единичную матрицу Е того же порядка, причем это произве дение равно А:

.................

Таким образом, единичная матрица играет при умноже нии матриц ту же роль, что и число 1 при умножении чисел.

г) Произведение двух ненулевых матриц может рав няться нулевой матрице, т.е. из того, что АВ = 0, не следует, что А = 0 или В = 0. Например, д) Если АВ = АD, то из этого равенства еще не следует, что матрицы В и D равны. Например, 5. Возведение в степень. Целой положительной степе нью Аm (m 1) квадратной матрицы А называется произве дение m матриц, равных А, т.е.

Заметим, что операция возведения в степень определя ется только для квадратных матриц.

По определению полагают А0 = Е; А1 = А. Нетрудно пока зать, что Аm. Аk = Аm+k; (Am)k = Amk.

Однако равенство (А. В)m = Am. Bm справедливо только для перестановочных матриц.

Если матрица А диагональная с диагональными эле ментами аii (i = 1, 2,..., n), то для любого натурального т матрица Am тоже диагональная с диагональными элемен тами aii (следует из определения произведения матриц).

Например, где А и Е — соответственно квадратная и единичная матри цы одинакового порядка; 0, 1,K, m — числа, называет ся полиномом (многочленом) от матрицы. Он представляет собой матрицу, которую можно рассматривать как резуль тат подстановки матрицы вместо переменной х в обычный многочлен степени m:

Пример 1.5. Вычислить значение многочлена f(х) = 2x2 – Решение. Вместо х подставляем в функцию f(х) матрицу А, вместо числа 3 используем матрицу 3. Е, где Е — еди ничная матрица второго порядка, что и А.

Найдем Теперь Если при подстановке матрицы А вместо х в многочлен Р(х) получается нулевая матрица, т.е. Р(А) = 0, то матрица А называется корнем многочлена Р(х), а сам многочлен — аннулирующим многочленом для матрицы А.

Отметим также, что если Аm — нулевая матрица, то из этого не следует, что матрица А = 0. Например, 6. Транспонирование матрицы. Под этой операцией по нимают переход от матрицы А к матрице А, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением по рядка. Матрица А называется транспонированной относи тельно матрицы А:

Из определения следует, что если матрица А имеет раз мер m n, то транспонированная матрица А имеет размер n m. Например, В литературе встречаются и другие обозначения транс понированной матрицы, например Ат.

Свойства операции транспонирования:

Рекомендуем читателю доказать их самостоятельно.

Рассмотренные выше операции над матрицами позволя ют упростить решения некоторых экономических задач.

Пример 1.6. Предприятие выпускает продукцию трех ви дов: Р1, Р2, Р3 и использует сырье двух типов: S1 и S2. Нормы расхода сырья характеризуются матрицей = 5 2, где каждый элемент аij (i = 1, 2, 3; j = 1, 2) показывает, сколько единиц сырья j го типа расходуется на производство еди ницы продукции i го вида. План выпуска продукции задан матрицей строкой С = (100 80 130), а стоимость единицы каж дого типа сырья (ден. ед.) — матрицей столбцом =.

Определить затраты сырья, необходимые для планового выпуска продукции, и общую стоимость сырья.

Решение. Затраты первого сырья составляют S1 = 2. 100 + 130 = 980 ед., поэтому матрица строка затрат сырья S мо жет быть записана как произведение S = С. А = (100 80 130) 5 2 = (730 980). Тогда общая стоимость сырья Q = 30 + 980. 50 = 70 900 ден. ед. может быть записана в мат ричном виде Q = S. В = (СА)В = (70 900). Общую стоимость сырья можно вычислить и в другом порядке: вначале вы числим матрицу стоимостей затрат сырья на единицу тем общую стоимость сырья На данном примере мы убедились в выполнении свой ства 7 (см. с. 24) — ассоциативного закона произведения матриц: (СА)В = С(АВ).

Очевидно, что при транспонировании матрицы ее диа гональные элементы остаются на своих местах.

7. След матрицы. Следом квадратной матрицы А называ ется сумма ее диагональных элементов.

След обозначается trА (от англ. trace — след)1. Он играет важную роль в исследовании матриц и их приложениях (например, в эконометрике).

1 В технических приложениях встречается также обозначение следа матрицы spА от немец. spur — след.





Похожие работы:

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ Факультет_Информационных технологий и программирования Направление Прикладная математика и информатика_Специализация _ Математическое и программное обеспечение вычислительных машин. Академическая степень _магистр математики КафедраКомпьютерных технологий_Группа_6538 МАГИСТЕРСКАЯ ДИССЕРТАЦИЯ на тему ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОГРАММ, СОХРАНЯЮЩИЕ ПОВЕДЕНИЕ Автор: А.П....»

«Международный консорциум Электронный университет Московский государственный университет экономики, статистики и информатики Евразийский открытый институт Н.Н. Снетков Имитационное моделирование экономических процессов Учебно-практическое пособие Москва 2008 1 УДК 519.86 ББК 65.050 С 534 Снетков Н.Н. Имитационное моделирование экономических процессов: Учебно-практическое пособие. – М.: Изд. центр ЕАОИ, 2008. – 228 с. ISBN 978-5-374-00079-5 © Снетков Н.Н., 2008 © Евразийский открытый институт,...»

«Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Дальневосточный государственный университет путей сообщения Институт управления, автоматики и телекоммуникаций полное наименование института/факультета УТВЕРЖДАЮ Заведующий кафедрой Чехонин К.А. подпись, Ф.И.О. 20_г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА дисциплины ИНФОРМАТИКА полное наименование дисциплины для направления подготовки (специальности) 210700.62 Инфокоммуникационные технологии системы связи код и...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Амурский государственный университет Кафедра Конструирования и технологии одежды УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ Информатика Специальности 260704.65 – Технология текстильных изделий 260901.65 – Технология швейных изделий 260902.65 – Конструирование швейных изделий Благовещенск 2012 УМКД разработан канд.техн.наук, доцентами кафедры...»

«ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ КОНСОРЦИУМ ОТКРЫТОЕ ОБРАЗОВАНИЕ Московский международный институт эконометрики, информатики, финансов и права Ю.Б. Рубин Теория и практика предпринимательской конкуренции Москва 2003 УДК 39.137 ББК 67.412.2 Р 823 Р 823 Рубин Ю.Б. Теория и практика предпринимательской конкуренции: Учебник / Московский международный институт эконометрики, информатики, финансов и права. – М., 2003 – 584 с. © Рубин Юрий Борисович, 2003 © Московский международный институт эконометрики, информатики,...»

«1 Общие положения Полное наименование вуза на русском языке: федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тихоокеанский государственный университет. Сокращенные наименования вуза на русском языке: Тихоокеанский государственный университет, ФГБОУ ВПО ТОГУ, ТОГУ. Полное наименование на английском языке: Pacific National University. Сокращенное наименование на английском языке: PNU. Место нахождения вуза: 680035, г. Хабаровск, ул....»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тверской государственный университет Математический факультет Кафедра компьютерной безопасности и математических методов управления Утверждаю: Деканф-та _ __ 2012_г. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС Информатика 1 курс 1 семестр (наименование дисциплины, курс) 030700.62 Международные отношения Направление подготовки 030700.62 Международные отношения, 1 курс, 1...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Амурский государственный университет Кафедра математического анализа и моделирования УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ В ЭКОНОМИКЕ Основной образовательной программы по направлению подготовки 010400.62 – Прикладная математика и информатика Благовещенск 2012 УМКД разработан канд. физ.-мат. наук, доцентом...»

«УТВЕРЖДЕН ученым советом Государственного университета – Высшей школы экономики Протокол от 02.07.2010 г. № 15 ПРАВИТЕЛЬСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ СТАНДАРТ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО БЮДЖЕТНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ - ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ, в отношении которого установлена категория национальный исследовательский университет по направлению подготовки 080500.62 БИЗНЕС-ИНФОРМАТИКА Уровень подготовки: Бакалавр Москва...»

«Математическая биология и биоинформатика. 2012. Т. 7. № 2. С. 508–528. URL: http://www.matbio.org/2012/Makarov_7_508.pdf ================== МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ================= УДК: 51-76, 576 Математическое моделирование электронтранспортной цепи в тилакоидной мембране с учетом пространственной гетерогенности мембраны 1* 1 2 ©2012 С.С. Макаров, Е.А. Грачев, Т.К. Антал 1 Россия 119991, Москва, Ленинские горы 1, корп. 2, МГУ, Физический факультет, кафедра компьютерных методов физики...»

«Современная гуманитарная академия КАЧЕСТВО ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ Под редакцией М.П. Карпенко Москва 2012 УДК 378.01 ББК 74.58 К 30 Качество высшего образования / Под ред. М.П. Карпенко. М.: Изд-во СГУ, 2012. 291 с. ISBN 978-5-8323-0824-1 В данной монографии приведено исследование проблем качества высшего образования с учетом современных кардинальных изменений запросов социума и возможностей, предоставляемых развитием высоких технологий. Это исследование опирается на когнитивнотехнологические...»

«АБРАМОВ Игорь Иванович (род. 11 августа 1954 г.) — доктор физико-математических наук, профессор кафедры микро- и наноэлектроники Белорусского государственного университета информатики и радиоэлектроники (БГУИР), заведующий научно-исследовательской лабораторией Физика приборов микро- и наноэлектроники БГУИР. В 1976 г. окончил физический факультет Белорусского государственного университета по специальности Радиофизика и электроника, в 1982 году защитил кандидатскую, в 1993 — докторскую...»

«СБОРНИК РАБОЧИХ ПРОГРАММ Профиль бакалавриата : Математическое моделирование Содержание Страница Б.1.1 Иностранный язык 2 Б.1.2 История 18 Б.1.3 Философия 36 Б.1.4 Экономика 47 Б.1.5 Социология 57 Б.1.6 Культурология 71 Б.1.7 Правоведение 82 Б.1.8.1 Политология 90 Б.1.8.2 Мировые цивилизации, философии и культуры 105 Б.2.1 Алгебра и геометрия Б.2.2 Математический анализ Б.2.3 Комплексный анализ Б.2.4 Функциональный анализ Б.2.5, Б.2.12, Б.2.13.2 Физика Б.2.6 Основы информатики Б.2.7 Архитектура...»

«Управление большими системами. Специальный выпуск 44: Наукометрия и экспертиза в управлении наук ой УДК 001.94 + 519.24 ББК 72.4 + 78.5 ЧТО МОЖНО УЛУЧШИТЬ В НАУКОМЕТРИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ – УЧЕТ НАЛИЧИЯ ДУБЛИКАТОВ И ЗАИМСТВОВАНИЙ В НАУЧНЫХ ПУБЛИКАЦИЯХ Дербенёв Н. В.1, Толчеев В. О.2 (Национальный исследовательский университет Московский энергетический институт, Москва) Дается общая характеристика наукометрических методов, отмечаются их недостатки, анализируются возможности применения и...»

«Аракелян, Н. Р. Управление интеллектуальной собственностью в условиях информатизации инновационной деятельности предприятий Оглавление диссертации кандидат экономических наук Аракелян, Нарине Робертовна ВВЕДЕНИЕ: ГЛАВА 1. ЭКОНОМИЧЕСКАЯ СУЩНОСТЬ ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНОЙ СОБСТВЕННОСТИ И ЕЕ РОЛЬ В ИННОВАЦИОННОМ РАЗВИТИИ ЭКОНОМИКИ. 1.1 Эволюция становления экономической сущности интеллектуальной собственности и развитие системы охраны прав на результаты творческой деятельности. 1.2 Роль интеллектуальной...»

«1. Титульный лист (скан-копия) 2. Технологическая карта дисциплины Информатика 2.1. Общие сведения о дисциплине. Название дисциплины – Информатика Факультет, на котором преподается данная дисциплина – математический Направление подготовки – Информационные системы и технологии Квалификация (степень) выпускника – бакалавр Цикл дисциплин – естественно-научный Часть цикла – базовая Курс – 1 Семестры – 1 Всего зачетных единиц – 5 Всего часов – 180 Аудиторные занятия 90 часов (из них лекции – 36...»

«МИР № 2 (октябрь 2010 г.) Оглавление Творческий отчёт учителя информатики и ИКТ Никитковой С.В. в рамках аттестации на 1 квалификационную категорию2 Разработка учебного проекта План проекта Методический паспорт проекта Поэтапная разработка проекта 1 МИР № 2 (октябрь 2010 г.) Творческий отчёт учителя информатики и ИКТ Никитковой С.В. в рамках аттестации на 1 квалификационную категорию Скажи мне, и я забуду. Покажи мне, - я смогу запомнить. Позволь мне это сделать самому, и это станет моим...»

«МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СТАВРОПОЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УТВЕРЖДАЮ: Проректор по учебной и воспитательной работе _ И.В.Атанов _2013 г. ОТЧЕТ о самообследовании основной образовательной программы высшего образования 080800.62 Прикладная информатика (код, наименование специальности или направления подготовки) Ставрополь, 2014 г. СТРУКТУРА ОТЧЕТА О...»

«ТЕХНОЛОГИЯ СОЗДАНИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ СРЕДСТВ ОБУЧЕНИЯ Авторы: Беляев М.И., Гриншкун В.В., Краснова Г.А. 30.08.2007 11:01 | Н.А.Савченко ВВЕДЕНИЕ Тема 1. ЭЛЕКТРОННЫЕ СРЕДСТВА ОБУЧЕНИЯ И ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ В ПОДГОТОВКЕ ШКОЛЬНИКОВ 1.1. Виды электронных средств обучения. Электронные средства обучения. Образовательные электронные издания и ресурсы. Классификация электронных средств обучения 1.2. Преимущества использования электронных средств в обучении. Информатизация образования. Средства информатизации...»

«Российская академия наук Cибирское отделение Институт систем информатики имени А.П.Ершова СО РАН Отчет о деятельности в 2007 году Новосибирск 2008 Институт систем информатики имени А.П.Ершова СО РАН 630090, г. Новосибирск, пр. Лаврентьева, 6 e-mail: iis@iis.nsk.su http: www.iis.nsk.su тел: (383) 330-86-52 факс: (383) 332-34-94 Директор д.ф.-м.н. Марчук Александр Гурьевич e-mail: mag@iis.nsk.su http: www.iis.nsk.su тел: (383) 330-86- Заместитель директора по науке д.ф.-м.н. Яхно Татьяна...»














 
© 2014 www.kniga.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Книги, пособия, учебники, издания, публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.