WWW.KNIGA.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Книги, пособия, учебники, издания, публикации

 

Pages:   || 2 | 3 | 4 |

«Сборник аннотаций курсовых и квалификационных работ математического факультета Ярославль 2012 Сборник аннотаций курсовых и квалификационных работ математического ...»

-- [ Страница 1 ] --

Министерство образования и наук

и Российской Федерации

Ярославский государственный университет

им. П. Г. Демидова

Сборник аннотаций

курсовых и квалификационных работ

математического факультета

Ярославль 2012

Сборник аннотаций курсовых и квалификационных

работ математического факультета. Яросл. гос. ун-т

им. П. Г. Демидова. Ярославль: ЯрГУ, 2012.

Сборник содержит аннотации курсовых и квалификационных работ студентов и магистрантов математического факультета Ярославского государственного университета им. П. Г. Демидова по следующим специальностям и направлениям: специальность “Компьютерная безопасность” (090102.65), направление “Математика (бакалавр)” (010100.62), специальность “Математика” (010101.65), направление “Математика (магистр)” (010100.68), направление “Математика. Прикладная математика (010200.62)”, специальность “Прикладная математика и информатика” (010501.65).

c Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова, Оглавление Направление “Математика (магистр)” (010100.68) Аннотации магистерских диссертаций Кафедра общей математики................................ Астреина Маргарита Александровна........................ Белова Дарья Анатольевна............................. Миньков Эрик Игоревич............................... Кафедра математического анализа............................ Елисеев Дмитрий Андреевич............................. Переслегина Александра Алексеевна........................ Харлашин Юрий Александрович.......................... Специальность “Прикладная математика и информатика” (010501.65) Аннотации квалификационных работ Кафедра математического моделирования........................ Быкова Надежда Дмитриевна............................ Гусева Дарья Павловна......

.......................... Зайцева Елизавета Игоревна............................. Иванова Екатерина Викторовна........................... Кащенко Александра Андреевна........................... Коваленко Алена Александровна.......................... Кокурина Марина Евгеньевна............................ Кузнецова Евгения Михайловна........................... Морякова Алена Романовна............................. Пак Надежда Леонидовна.............................. Фёдоров Алексей Викторович............................ Филатов Александр Андреевич........................... Штерн Александра Геннадьевна........................... Кафедра дифференциальных уравнений......................... Бабакин Никита Сергеевич.............................. Бойматов Тимур Матекибович............................ Гасуль Марина Михайловна............................. Денисова Ксения Сергеевна............................. Зайцев Максим Викторович............................. Кошелева Татьяна Валерьевна............................ Лаврентьев Иван Викторович............................ Миронова Анна Сергеевна.............................. Молчанова Алиса Сергеевна............................. Петухова Надежда Николаевна........................... Сафонова Юлия Павловна.............................. Шаманов Николай Анатольевич........................... Шигина Светлана Викторовна............................ Шувалова Татьяна Николаевна........................... Кафедра теории функций................................. Баранков Илья Сергеевич.............................. Булатова Анна Сергеевна............................... Быстряков Сергей Романович............................ Лаптев Александр Вячеславович.......................... Маронов Роман Константинович........................... Новиков Иван Николаевич.............................. Работнов Никита Сергеевич............................. Радюк Эрик Валерьевич............................... Аннотации курсовых работ. 4 курс Кафедра математического моделирования........................ Бобкова Любовь Сергеевна.............................. Богаевская Виктория Григорьевна......................... Большакова Мария Викторовна........................... Лобачева Ольга Александровна........................... Сучкова Дарья Александровна............................ Штей Алексей Игоревич............................... Аннотации курсовых работ. 3 курс Кафедра математического моделирования........................ Вишнякова Полина Владимировна......................... Волкова Мария Александровна........................... Кольцова Татьяна Сергеевна............................. Трякин Роман Валерьевич.............................. Направление “Математика. Прикладная математика (бакалавр)” Направление “Математика (магистр)” Аннотации магистерских диссертаций Кафедра общей математики О некоторых задачах центральной аксонометрии Астреина Маргарита Александровна, 6-й курс

Научный руководитель: канд. физ.-мат. наук, доцент Медведева Л. Б.

Дипломная работа посвящена одному частному случаю следующей общей задачи центральной аксонометрии. В P n дана проективная система координат, состоящая из n + точек Ai (i = 1,..n + 2), общего положения. Ее называют оригиналом. В некотором k-мерном подпространстве пространства P n тоже задается система n + 2 точек общего положения образец. Задача состоит в том, чтобы выяснить существует ли центральное проектирование P n на P k, при котором оригинал спроектируется в систему точек, проективную образцу. Ответ на поставленный вопрос известен: таких проектирований существует бесконечно много и многообразие центров зависит от n k параметров. В дипломной работе многообразие центров исследуется в случаях проектирования P n на P n1 и P n на P n2. Рассматривается также вопрос о существовании таких центральных проек-тирований, при которых получаются изображения, аффинные образцу.

Каждому случаю посвящена отдельная глава данной работы. Рассуждения проводятся сначала для пространства размерности n = 3, а затем обобщаются на случай произвольного Для случая проецирования P n на P n1 получены следующие результаты. Если в пространстве P n заданы проективный репер из n + 2 точек (оригинал) и в некоторой гиперплоскости 0 P n система из n + 2 точек общего положения (образец), то:

1. Существует однопараметрическое семейство центральных проецирований, при которых оригинал отображается на некоторую гиперплоскость в изображение проективное образцу.

2. Центрами проецирования служат точки нормальной рациональной кривой степени n, проходящей через все точки оригинала, за исключением самих этих точек и точек пересечения кривой с плоскостью проекций.

3. За плоскость проекций может быть выбрана любая плоскость, не проходящая через центр проецировния.

4. Для всякого проективного отображения f пространства P n на гиперплоскость, при котором оригинал переходит в образец, существует единственное центральное проецирование из указанного выше семейства и невырожденное проективное преобразование g пространства 5. Существует пучок гиперплоскостей (за исключением одной гиперплоскости в нем), центральное проецирование оригинала на которые даст изображение, связанное с образцом аффинным преобразованием.

Более интересным является второй случай, так как там в качестве центров проецирования служат прямые. Исследование проецирования P 3 на P 1 приводит к следующим результатам.

Если в пространстве P 3 заданы проективный репер из пяти точек (оригинал) и на некоторой прямой 0 P 1 система из пяти точек общего положения (образец), то:

1. Существует двухпараметрическое семейство прямых центральных проецирований, из которых на прямую отображает оригинал в изображение проективное образцу.

2. Многообразие искомых центров проецирования составляет конгруэнцию бисекант нормальной рациональной кривой третьей степени, проходящей через все точки оригинала, за исключением прямолинейных образующих двух конических поверхностей.

3. Для всякого проективного отображения f, при котором оригинал переходит в образец, существует единственное центральное проецирование из указанного выше семейства и невырожденное проективное преобразование g пространства P 3, такие, что f = g.

4. Существует связка прямых, центральное проецирование на которые оригинала даст изображение, связанное с образцом аффинным преобразова-нием.

Проведенные рассуждения затем были обобщены на случай произвольного n. Результаты аналогичны только что сформулированным.

Если в пространстве P n заданы проективный репер из n + 2 точек (оригинал) и на некоторой прямой 0 P n2 система из n + 2 точек общего положения (образец), то:

1. Множество центров проецирования P n на P n2, при котором оригинал проецируется в изображение проективное образцу, составляет множество бисекант нормальной рациональной кривой степени n, за исключением тех бисекант, которые проходят через точки оригинала (нормальная ра-циональная кривая проходит через точки оригинала).

2. Для всякого проективного отображения f, при котором оригинал переходит в образец, существует единственное центральное проецирование из указанного выше семейства и невырожденное проективное преобразование g пространства P n, такие, что f = g.

3. Существует связка прямых, центральное проецирование на которые оригинала даст изображение, связанное с образцом аффинным преобразова-нием.

Следует отметить, что основу работы составляют две статьи В.А. Кузнецовой и Л.Б.

Медведевой.

Системы массового обслуживания с приоритетами Белова Дарья Анатольевна, 6-й курс Научный руководитель: канд. пед. наук, доцент Никулина Е. В.

В работе рассмотрены системы массового обслуживания с абсолютным и относительным приоритетом. В обоих случаях в системе имеется один обслуживающий прибор и два вида заявок: обычные и приоритетные. В системе с абсолютным приоритетом каждое требование, поступившее в момент, когда прибор свободен, начинает обслуживаться немедленно. Если приоритетное требование поступает в систему в тот момент, когда прибор занят, но обслуживает обычное требование, то прибор немедленно переключается на обслуживание вновь пришедшего требования высокого ранга, а для прерванной заявки возможны следующие ситуации:

1. После вытеснения с прибора, обычное требование может встать в очередь первым среди требований такого же приоритета.

1.1. В следующий раз, когда данное требование попадёт на прибор, оно будет обслуживаться с прерванного момента (дообслуживание);

1.2. В следующий раз данное требование будет обслуживаться заново.

2. После вытеснения с прибора, обычное требование может встать в очередь последним среди требований такого же приоритета.

2.1. Дообслуживание;

2.2. Обслуживание заново.

3. Вытесненное требование уходит из системы.

Приоритеты называются относительными, если они учитываются только в момент выбора заявки на обслуживание и не сказываются на работе системы в период обслуживания заявки любого класса. Относительность приоритета связана со следующим. После завершения обслуживания какой-либо заявки из очереди на обслуживание выбирается заявка класса с наиболее высоким приоритетом, поступившая ранее других заявок такого же приоритета.

Если в процессе её обслуживания в систему поступят заявки с более высоким приоритетом, то обслуживание рассматриваемой заявки не будет прекращено, и заявка будет обслужена до конца. Таким образом, приоритет относителен в том смысле, что он имеет место лишь в момент выбора заявок на обслуживание и отсутствует, если прибор занят обслуживанием какой-либо заявки.

Теоретическая часть работы посвящена получению формул для основных характеристик данных систем с приоритетами. Для системы с абсолютным приоритетом выведены формулы для расчета среднего числа заявок в очереди, среднего времени нахождения заявки в очереди, среднего времени нахождения заявки в системе, вероятности того, что обслуживание обычного требования будет прервано. Для системы с относительным приоритетом выведены формулы для расчета среднего времени нахождения заявки в очереди, среднего времени нахождения заявки в системе.

В работе был рассмотрен пример конкретной системы массового обслуживания, реализующейся в научно-образовательном центре "Центр коллективного пользования научным оборудованием "Диагностика микро- и наноструктур функционирующем на базе ЯрГУ и ЯФ ФТИАН. Данный пример показывает актуальность исследования систем с приоритетами.

В практической части работы представлены тексты программ, имитирующих работу абстрактных систем с приоритетами. С помощью написанных программ можно наблюдать, как обслуживается каждое конкретное требование и получить значения основных характеристик данных систем с приоритетами. Программы разработаны в среде Turbo Pascal.

Многофазные системы массового обслуживания Миньков Эрик Игоревич, 6-й курс Научный руководитель: канд. пед. наук, доцент Никулина Е. В.

В магистерской диссертации исследуются одноканальные многофазные системы массового обслуживания с отказами без приоритетов.

В теоретической части работы вводятся основные понятия и определения теории массового обслуживания, а так же необходимые теоремы (в частности, теорема Хинчина о суммарном потоке). Системы в работе рассматриваются с пуассоновским входным потоком и показательной длительностью обслуживания. Автором подробно исследуется двухфазная одноканальная система массового обслуживания без приоритетов, для которой самостоятельно построена таблица переходов состояний и записана соответствующая ей система дифференциальных уравнений.

Во второй части выпускной работы рассмотрен вопрос статистического моделирования систем массового обслуживания. В качестве практической реализации такого моделирования построен имитатор многофазной одноканальной системы массового обслуживания с потерями и без приоритетов на языке.Net F#. Программа работает в течение заданного времени и выводит следующую информацию: количество обслуженных и отброшенных заявок на каждой фазе и во всей системе в целом, интенсивности отказа и обслуживания и различные средние величины. Усреднение характеристик происходит по времени. Входными данными являются: интенсивность входящего потока, количество фаз, интенсивности обслуживания, размеры накопителей на каждой фазе и длительность интервала моделирования. Все результаты записываются в файл в табличном формате и далее могут анализироваться в табличных редакторах, например в Microsoft Excel.

Кафедра математического анализа Теоремы о неподвижной точке и сопутствующие алгоритмы Елисеев Дмитрий Андреевич, 6-й курс Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, профессор Климов В. С.

Теоретической базой работы стала теорема Брауэра о неподвижной точке, доказанная в начале прошлого века. В первой главе магистерской диссертации, сразу после основных определений, приводится комбинаторное доказательство этой теоремы, основанное на лемме Шпернера. Оказывается, лемма Шпернера не только позволяет доказать теорему Брауэра, но и подсказывает идею конкретных алгоритмов.

Вычислительная задача, ставшая основой работы, формулируется следующим образом.

Пусть f : S n S n непрерывное отображение стандартного симплекса в себя. Для любого 0 требуется указать точку с условием (x, f (x)). Эту задачу легко свести к чисто комбинаторной проблеме поиска пёстрого симплекса. Последний всегда может быть найден прямым перебором симплексов триангуляции, однако такой метод неэффективен. В работе рассмотрены некоторые алгоритмы, позволяющие находить пёстрый симплекс за сравнительно небольшое число шагов.

Самостоятельная часть работы носит практический характер и заключается в написании программ, иллюстрирующих работу алгоритмов. Показателем эффективности алгоритма считается число симплексов, к которым он обратился, прежде чем обнаружить пёстрый симплекс. В качестве тестирующего отображения выбрана линейная функция f : S n S n.

Все программы написаны для фиксированной размерности (n = 2), что значительно их упростило. Наряду с алгоритмами, реализован меетод перебора симплексов, в основном для того, чтобы показать целесообразность первых. Действительно, как показали результаты тестирования, если m2 число симплексов триангуляции, то перебор требует примерно m2 /2 шагов, в то время как рассмотренные алгоритмы линейное относительно m число шагов. Помимо этого, реализован алгоритм Ивза для многозначных отображений, основанный на теореме Какутани и приведены соответствующие вычисления.

В отдельной главе собраны некоторые применения теорем о неподвижной точке. В их числе теорема о максимальном элементе и теорема Нэша о равновесии. Кратко рассмотрено использование теоремы Брауэра в теории вариационных неравенств и в модели экономики обмена.

Актуарная математика. Математическая демография и теория финансирования пенсионных схем.

Переслегина Александра Алексеевна, 6-й курс Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, профессор Балабаев В. Е.

В данной магистерской диссертации рассмотрено применение математических методов и моделей в экономике, а именно, в теории пенсионного страхования. Использование математических моделей в актуарных расчетах способствует успешной работе и широко используется на предприятиях, что обуславливает актуальность работы.

Материал работы является важнейшей составной частью актуарной математики, которая наряду с соответствующими экономическими и юридическими дисциплинами образует теоретическую базу страхового дела.

В работе изучается непрерывная демографическая модель и динамика изучения населения, пожизненные ренты и теория финансирования пенсионных схем.

В работе рассмотрено несколько примеров решения задач на данную тематику.

Моделирование физики твердого тела в компьютерных играх Харлашин Юрий Александрович, 6-й курс Научный руководитель: канд. физ.-мат. наук, доцент Ухалов А. Ю

Работа посвящена изучению и реализации алгоритмов, применяемых при разработке физических движков для компьютерных игр. Физическим движком называют подсистему для моделирования физических процессов. При разработке компьютерных игр поведение объектов должно быть реалистичным, но точное моделирование процессов не требуется. Обычно физический движок включает в себя модули, реализующие следующие функции:

1. создание моделей тел и связей, 2. выявления столкновений, 3. разрешение столкновений.

Реализованная в данной работе модель тела выпуклый многогранник, вершины которого соединены пружинными связями. В такой модели подбор параметров сопротивления и жесткости связи позволяет моделировать как твердые, так и жидкие тела.

В работе рассмотрены методы выявления столкновений двух выпуклых тел и некоторые методы оптимизации выявления столкновений. Программно реализованы метод разделяющих осей и метод GJK(Gilbert Johnson Keerthi). Описаны и реализованы базовые методы разрешения столкновений: алгоритм EPA (Expanding Polytope Algorithm), определяющий вектор глубины проникновения двух тел друг в друга, метод нахождения точек контакта пересекающихся тел, использующий отсечение лишних точек.

Для демонстрации рассмотренных алгоритмов была написана программа на языке C++ с использованием графической библиотеки OpenGL.

Данные программные модули могут использоваться при разработке компьютерных игр, а также гоночных и космических симуляторов.

Специальность “Прикладная математика и информатика” (010501.65) Аннотации квалификационных работ Кафедра математического моделирования Квазинормальная форма одной сингулярно возмущенной задачи Быкова Надежда Дмитриевна, 5-й курс Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, профессор Глызин С. Д.

В работе рассматривается сингулярно возмущенное скалярное нелинейное дифференциально-разностное уравнение с двумя запаздываниями, предложенное в [1], моделирующее электрическую активность отдельного нейрона, Здесь u(t) мембранный потенциал нейрона, параметр 1/ 0 характеризует скорость протекания электрических процессов в системе и предполагается большим. Параметры h, a, b положительные и имеют порядок единицы.

При некоторых дополнительных условиях задача (1) сводится к сингулярно возмущенному уравнению специального вида Для (2) построена квазинормальная форма устойчивым состояниям равновесия с конечным числом ненулевых координат которой соответствуют устойчивые режимы задачи (2) с асимптотикой где функции vk определяются равенствами Для состояний равновесия с двумя и более ненулевыми компонентами доказана неустойчивость.

Список литературы 1. Глызин С.Д., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Явление буферности в нейродинамике// Доклады академии наук. 2012. Т. 443. № 2. с. 168-172.

Нейронные сети с пороговой функцией активации в задачах Гусева Дарья Павловна, 5-й курс Научный руководитель: канд. физ.-мат. наук, доцент Кащенко И. С.

В дипломной работе исследуется проблема распознавания растрового изображения на основе конечного набора изображений, подвергающихся различным видам искажений и зашумлений. Для решения задачи распознавания использовался нейросетевой подход, в ходе решения задачи была реализована программная часть искусственной нейронной сети, она была обучена на множестве эталонов, с последующим распознаванием предоставляемых образов.

Цель работы: изучить допустимость использования нейронной сети с пороговой функцией активации в задачах распознавания изображений.

Вспомогательная задача: для отождествления предоставляемых изображений (цифр) построена однослойная нейронная сеть, реализован алгоритм обучения сети по дельта-правилу.

Для корректного обучения сети создана подпрограмма, генерирующая изображения.

Основные результаты:

• Исследована зависимость качества распознавания от количества подаваемых образов при разных значениях параметров сети.

• Изучена закономерность изменения качества распознавания от числа циклов обучения для различных значений параметров сети.

Расчет центрального многообразия для дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом с применением пакетов Зайцева Елизавета Игоревна, 5-й курс Научный руководитель: канд. физ.-мат. наук, доцент Глызин Д. С.

Работа посвящена сравнению времени выполнения расчета центрального многообразия для дифференциального уравнения с запаздыванием в различных ППМП. Основной целью работы является изучение применимости ППМП для расчета центрального многообразия системы и сравнение времени вычисления поставленной задачи в пакетах. Работа состоит из трех частей. Первая теоретическая часть включает основные выкладки для расчета центрального многообразия системы с запаздыванием в общем виде, во второй части приводятся команды пакета Maple, используемые при расчете центрального многообразия для модели колебаний при бурении и основные резльтаты выполнения команд. Третья часть содержит в себе приложения, представляющие собой программный код в Maple, Mathematica и Matlab.

В качества объекта исследования выступает модель, описывающая колебания при бурении:

Эта модель в безразмерной форме, модель в физических переменных можно найти в [4].

Для начала уравнение приведено к виду функционального дифференциального уравнения:

где L : C Rk Rn - линейное отображение, определенное следующим образом:

и F : C Rk Rn - нелинейный функционал, определенный следующим образом:

Далее при помощи следующих команд получено характеристическое уравнение char_eq системы:

Delta:=evalm(lambda*ident-A0-exp(-lambda*tau)*A1);

char_eq:=collect(det(Delta),lambda);

Согласно [3] в точках µ = µc в пространстве параметров, где характеристическое уравнение имеет m корней с нулевой действительной частью, а остальные корни имеют отрицательные действительные части, m-размерное центральное многообразие существует в пространстве решений C для нелинейного функционального дифференциального уравнения (2).

Для линеаризованного вблизи нуля уравнения справедливо утверждение, что существует разложение пространства решений C = N S, где N - m-размерное подпространство, натянутое на решения линеаризованного уравнения, соответствующие собственным значениям с нулевой действительно частью, S - конечномерно.

Для данной модели в работе определен базис пространства N (t) = [1 (t)|2 (t)|...|m (t)], причем рассматривается пара чисто мнимых корней, и базис формально сопряженной к линеаризованной системы уравнений (t) = [1 (t)|2 (t)|...|m (t)]. Эти выкладки также описаны при помощи команд пакета Maple; они необходимы при построении центрального многообразия.

Для модели в окрестности нуля определено локальное центральное многообразие где (), [, 0] - базис N, описанного выше, u Rn, h(u) S и u достаточно мала.

Решения уравнения (2) на центральном многообразии, задающееся x(t) = xt (0), где xt () решение ФДУ, удовлетворяющее условию также определены.

В ходе исследования выявлено наличие бифуркации Андронова-Хопфа в модели.

Вычисления, содержащиеся в теоретической части работы, которые также описаны при помощи команд пакетов в практической, приводят к следующим результам. Система обыкновенных дифференциальных уравнений для u(t):

В предположении, что h(, u) может быть разложено в ряд по степеням u:

где h2 (, u) h2:=matrix([[h1_11(theta)*u1^2+h1_12(theta)*u1*u2+h1_22(theta)*u2^2], [h2_11(theta)*u1^2+h2_12(theta)*u1*u2+h2_22(theta)*u2^2]]) (более высокий порядок для h не рассматривался, т.к. в уравнении для u(t) необходимо было найти члены до порядка малости O( u 3 ) включительно) получено уравнение Из (8) путем приравнивания членов при одинаковых степенях u1,..., um получены линейные системы для hi (), для решений которых также найдены произвольные постоянные.

В практическую часть работы входит описание расчетов при помощи команд Maple с выводом наиболее зачимых результатов, конечный результат приведен в явном виде. Аналогичные расчеты выполнены и для Mathematica, и для Matlab; они содержатся в приложении.

Проведено сравнение времени выполнения программ в ППМП. В Mathematica расчеты производятся за 93.5 секунды, в Maple - за 5.547, в Matlab - за 45.7.

Список литературы 1. Faria T, Magalhaes L (1995b) Normal forms for retarded functional dierential equations with parameters and applications to Hopf bifurcation. Journal of Dierential Equations 122, 181Wischert W, Wunderlin A, Pelster A, Olivier M, Groslambert J (1994) Delayinduced instabilities in nonlinear feedback systems. Physical Review E 49 (1), 203- 3. Hale JK, Verduyn Lunel SM (1993) Introduction to Functional Dierential Equations.

Springer Verlag, New York 4. Stone E, Askari A (2002) Nonlinear models of chatter in drilling processes. Dynamical Systems 17 (1), 65- 5. Stone E, Campbell SA (2004) Stability and bifurcation analysis of a nonlinear DDE model for drilling. Journal of Nonlinear Science 14 (1), 27- 6. Глызин С.Д. Локальные методы анализа динамических систем: учебное пособие С.Д.

Глызин, А.Ю. Колесов; Яросл. гос. ун-т. Ярославль: ЯрГУ, 2006. 92с.

7. Guckenheimer J, Holmes PJ (1983) Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields. Springer-Verlag, New York Взаимодействие диффузии и запаздывания в модели Иванова Екатерина Викторовна, 5-й курс Научный руководитель: канд. физ.-мат. наук, доцент Глызин Д. С.

В данной выпускной квалификационной работе рассматриваются два вида потери устойчивости в нелинейных пространственно-распределенных динамических системах: неустойчивость Тьюринга и бифуркация Андронова-Хопфа и условия их возникновения в математических моделях с диффузией и запаздыванием. Вводятся понятия матриц, сильно устойчивых по отношению к диффузии, возбудимых по отношению к диффузии, сильно устойчивых по отношению к запаздыванию и возбудимых по отношению к запаздыванию. Для исследования используется модель популяционной динамики хищник-жертва с диффузией и запаздыванием в уравнении для хищника:

Написана программа на языке программирования C++ для многопроцессорных компьютеров(с использованием библиотеки MPI), решающая методом Дормана-Принса системы ОДУ c запаздыванием, полученные из систем уравнений в частных производных путем дискретизации по пространственным переменным. Изучены схемы вычислений, позволяющие создавать программы, решающие системы таких ОДУ более эффективно за счет особого способа хранения дискретизированного решения в памяти, рациональной работы с кэшпамятью и эффективного межпроцессорного взаимодействия. С помощью программы была изучена роль параметров диффузии и запаздывания в исходной системе и их взаимодействие между собой, условия, выполнение которых ведет к потере устойчивости, рождению пространственно-однородных и пространственно-неоднородных колебательных режимов.

Устойчивость простейших периодических решений в уравнении Стюарта-Ландау с большим запаздыванием Кащенко Александра Андреевна, 5-й курс Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, профессор Глызин С. Д.

Рассматривается уравнение Здесь u комплекснозначная функция, все параметры действительные, причем и T положительные, [0, 2). Основное предположение состоит в том, что запаздывание достаточно велико. Пусть = 1/T, тогда величина положительна и достаточно мала: 0 1.

Сделаем замену времени t t. Тогда уравнение примет вид Будем искать простейшие периодические решения данного уравнения в виде Задача состоит в изучении вопросов существования и устойчивости решений вида (2).

Пусть L(c,, ) множество точек (, 2 ), принадлежащих эллипсу и лежащих в полуплоскости 2 0.

Через = (, ) обозначим такое значение в полуинтервале [0, 2), для которого величина /+ является целым кратным 2. Далее через o(1) будем обозначать такие выражения, которые стремятся к нулю при 0.

Теорема 1. Для каждой точки (0, 2 ), принадлежащей L(c,, ), кроме, возможно, двух и для любого целого числа n существует такое вещественное значение из [0, 2), что уравнение (1) имеет решение в виде цикла (2), где вещественные функции R n = Rn () и n = n () таковы, что Rn () = 0 + o(1), n () = 0 / + + + 2n + o(1).

Далее исследовалась устойчивость простейших периодических решений (2). Был построен характеристический квазиполином линераризованной на периодическом решении (2) задачи (1). Он имеет вид Исследовалось расположение его корней. Важное место при исследовании корней характеристического квазиполинома имели система неравенств и уравнение 2 +2i(2 cos()(geit 1))+ 2 (geit 1)2 22 (geit 1)(cos()c sin()) = 0.

В частности, верны следующие результаты:

Теорема 3. Пусть хотя бы одно из неравенств (3) имеет обратный знак. Тогда существует 0 0, такое, что при всех (0, 0 ) решение (2) уравнения (1) неустойчиво.

Теорема 4. Пусть выполнена система неравенств (3), а уравнение (4) не имеет корней ни при каком значении пары (g, t) из (0, 1] [0, 2). Тогда существует 0 0 такое, что при всех (0, 0 ) решение (2) уравнения (1) устойчиво.

Исходя из этих условий устойчивости для конкретного решения, были сделаны выводы о геометрии областей зон устойчивости на эллипсе L(c,, ). В частности, аналитически было доказано, что при c = 0 область устойчивости односвязна. При c = 0 аналитически доказано, что выполнение системы неравенств (3) задает либо одну, либо две связных областей устойчивости. Численные расчеты не выявили корней у уравнения (4).

Выводы.

1. Доказано, что существует однопараметрическое семейство на плоскости (, 2 ) в виде эллипса, каждой точке которого соответствует счетное число простейших периодических решений. Найдена асимптотика этих решений при малых значениях параметра. Показано, что решения представляются в виде сходящихся рядов по степеням ( в случае вырождения), и коэффициенты рядов зависят от разрывной функции (, ).

2. Найдены достаточные условия устойчивости и неустойчивости простейших периодических решений. Задача усложняется тем, что имеется бесконечномерный критический случай, т.е. бесконечное число корней стремятся к мнимой оси при стремящемся к нулю.

3. Доказано, что на любом эллипсе обязательно есть хотя бы одна точка с устойчивыми решениями, и хотя бы одна с неустойчивыми.

4. В случае c = 0 аналитически показано, что область устойчивости односвязна.

5. В случае c = 0 сформирована гипотеза, что областей устойчивости не более двух.

Найдены примеры с одной и с двумя областями устойчивости.

К вопросу о собственных числах одномерного оператора Дирака с колебательно убывающим потенциалом Коваленко Алена Александровна, 5-й курс Научный руководитель: канд. физ.-мат. наук, доцент Нестеров П. Н.

В работе изучается одномерный оператор Дирака, действующий в пространстве L2 (0, ), C2 и порожденный дифференциальным выражением где Функции u1 (x) и u2 (x) предполагаются имеющими колебательно убывающую структуру:

Здесь 0 1, 0 1, а действительные непрерывные функции P (x) и Q(x) являются тригонометрическими многочленами вида Исследуется задача о поиске тех значений параметра, при которых у системы (1) имеются решения из класса L2 (0, ), C2. Метод исследования, который используется в работе, подробно изложен в [1,2].

Для упрощения построения асимптотики решений систем дифференциальных уравнений с колебательно убывающими коэффициентами мы воспользовались методом усреднения.

Усредненная система затем приводится к L-диагональному виду для последующего использования асимптотической теоремы Левинсона.

Запишем дифференциальное выражение (1) в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений:

В нашей работе мы исследовали лишь случай, когда спектральный параметр является действительным числом. Используя метод усреднения, мы получили усредненную систему вида Здесь A1, A2, A11,... постоянные матрицы, R(x) некоторая матрица из класса L1 [x0, ).

Поведение решений усредненной системы будет определяться главным в смысле асимптотики членом в (3).

В ходе исследования мы выяснили, что в случае и p0 = M [P (x)] = 0, где у системы (2) могут существовать решения из класса L2 (0, ), C2, если p0 0. У оператора Дирака (1) собственным числом в этом случае является любое R.

Если же p0 = 0, то возникают следующие случаи. Если то у системы (2) всегда существуют решения из класса L2 ((0, ), C 2 ). При этом собственными числами оператора Дирака (1) могут быть числа вида = 2j ( = 0). Если же то собственными числами оператора Дирака (1) могут быть числа вида В случае показано, что если собственные числа у оператора Дирака (1) при условии M [Q(x)e2ix ] = 0 и имеются, то они обязаны удовлетворять уравнению Также установлено, что = 0 может являться собственным значением оператора Дирака (1), если:

В данной работе мы получили явные выражения для тех, которые могут являться собственными числами оператора Дирака (1). Как и следовало ожидать, соответствующие числа определяются некоторыми комбинациями показателей Фурье функций P (x) и Q(x).

Кроме того, мы получили некоторые дополнительные условия, которым в этом случае должны удовлетворять собственные числа, а также функции P (x), Q(x) и параметры и. Эти условия позволяют, в частности, исключить те, которые заведомо не могут являться собственными числами оператора Дирака.

Список литературы 1. Бурд В.Ш., Нестеров П.Н. Системы дифференциальных и разностных уравнений: метод усреднения и асимптотика решений: учебное пособие. Ярославль:

ЯрГУ, 2008.

2. Нестеров П.Н. Метод усреднения в задаче асимптотического интегрирования систем с колебательно убывающими коэффициентами // Дифференциальные уравнения. 2007.

Т. 43, №6. С. 731–742.

Периодические решения одного уравнения второго порядка с Кокурина Марина Евгеньевна, 5-й курс Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, профессор Кубышкин Е. П.

Рассматривается дифференциально-разностное уравнение вида где 0 1, f (x), a 0 гладкая нелинейная функцияf (x) = f1 (x) + f3 x3 + o(|x|3 ) x0, f1 0, f3 0. Изучаются переодические решения уравнения (1), возникающие из нулевого состояния при изменении параметров и принадлежащие некоторой фиксированной окрестности нулевого решения.

Рассмотрим характерестическое уравнение линейной части уравнения (1), считая f1 = (1 + µ) где µ 0, Множество корней n (, µ), (n = ±1, ±3,...) уравнения (2) может быть получено посредством итерационных процессов где ln(z) = ln|z|+iarg(z). Итерацинный процесс строится с помощью программы, написанной на языке С++. В результате построена картина Dразбиения в плоскости параметров (, µ), определяющая расположение корней уравения (2) в комплексной плоскости.

Для построения переодических решений уравнения (1) использовался метод равномерной нормализации, предложенный в работе[1] и позволяющий сводить исследования поведений решений уравнения (1) в окрестности нулевого решения к исследованию поведения решений следующей счетной системы дифференциальных уравнений где 3 = {(n1, n2, n3 ) : n1 + n2 + n3 = n}, f3 = ±1, р - целое число, принимающее значение 1, 3, 6 в зависимости от количества соответсвующих резонансных соотношений[1].

Cиситема исследовалась численно с помощью программы Tracer3.71[2] в предположении zn 0, n = ±5, ±7,... В зависимости от значений параметров отмечена возможность существования одного или нескольких переодических решений.

Список литературы 1. Кубышкин Е. П. Построение асимптотики периодических решений RC-генератора с запаздывающей обратной связью. / Вестник Ярославского государственного университета им. П.Г.Демидова.: Серия "Естественные и технические науки". N2. 2011. с. 44-51.

2. Глызин. Д. С. Пакет программ для анализа систем "Tracer". Заявка N20086105 от 14.02.2008г. Свид. о гос. регистрации программы для ЭВМ N2008611464 от 24.03.2008г.

Динамика одной нелинейной импульсной системы Кузнецова Евгения Михайловна, 5-й курс Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, профессор Глызин С. Д.

В исследовании нейронов и нейронных сетей важную роль играет модель [1], относящаяся к классу феноменологических:

где u - мембранный потенциал, определяет скорость протекания процесса, обычно достаточно велика, fN a и fK - характеризуют ионные токи, соответствующие ионам N a и K.

В данной работе рассматривается кольцевая система нейронов:

где N 2, u0 = uN, uN +1 = u1. Здесь параметры, 0, имеющие порядок единицы, удовлетворяют неравенству С помощью замены перейдем к предельной системе с импульсным воздействием Система (4), (5) в случае цепочки имеет N экспоненциально устойчивых режимов. В [2] показано, что нулевое решение такой системы асимптотически устойчиво для любых d. Так же было доказано, что при любых фиксированных значениях,, удовлетворяющих (3), и при всех достаточно малых d 0 система имеет N экспоненциально устойчивых режимов. Численными методами было установлено, что в широкой области значений параметра d система с импульсным воздействием (4), (5) также имеет N устойчивых периодических режимов. Кроме того, в случае, когда N = 3, были найдены значения d, при которых число устойчивых сосуществующих режимов оказалось равно 6.

Список литературы 1. Кащенко С.А., Майоров В. В. “Модели волновой памяти” // М.: УРСС, 2009. - 288 с.

2. Глызин С.Д. Релаксационные колебания электрически связанных нейроподобных осцилляторов с запаздыванием // Моделирование и анализ информационных систем. – Т.17, № 2 (2010). – С. 28–47.

Бегущие волны в распределенных моделях популяционной Морякова Алена Романовна, 5-й курс Научный руководитель: канд. физ.-мат. наук, доцент Глызин Д. С.

В работе рассмотрены параллельные решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью итерационного метода Рунге-Кутта, созданного специально для параллельных вычислений. Приведен алгоритм, позволяющий максимально использовать все возможности параллелизма и теоремы, уменьшающие скорость проведения вычислений. На основе этого алгоритма написана программа для кластера ЯрГУ на языке С++ с помощью технологии Open MPI. Она позволяет менять размерность исходных систем, параметры и может быть применена для других классов задач. С помощью этой программы получены решения дискретизированного уравнения брюсселятора (рис. 1, рис. 2), описывающего химическую реакцию диффузии. Это уравнение представляет целый класс трудоемких задач большой размерности, эффективно решаемых с помощью параллельных вычислений. Рассмотрены распределенные модели популяционной динамики, а именно модели, описываемые уравнением Хатчинсона и для них получена динамика аттракторов типа "ведущий центр", "бегущие волны"рис. 3, рис. 4. Проведено сравнение времени выполнения обычной и параллельной программ для разного числа процессоров. На рис. 5 видно, что распределение вычислений между двумя процессорами уменьшает скорость выполнения брюсселятора более чем в 5 раз. Дальнейшее увеличение числа узлов также уменьшает время, но не так сильно из-за возрастания числа обменов данными между процессорами. Для уравнения Хатчинсона распараллеливание также показывает хорошие результаты, как показано на рис. 6(на левом графике представлены результаты для одного процессора, на правом- число осцилляторов равняется числу процессоров), скорость выполнения уменьшается более, чем в 10 раз.

Периодические решения уравнения Мэки-Гласса Пак Надежда Леонидовна, 5-й курс Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, профессор Кубышкин Е. П.

Рассматривается нелинейное дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом предложенное в [1] в качестве математической модели динамики численности белых кровяных телец (нейтрофилов). В (1),,, n 0 - некоторые физические параметры, x = x(t ) ( 0). Изучаются периодические решения уравнения (1), возникающие при изменении параметров в окрестности нулевого состояния равновесия.

Выполним в (1) замену t t/ и положим n = 2, = 1, = ( )1, / = (1 + µ). В результате получим следующее уравнение с запаздывающим аргументом где и µ параметры.

Устойчивость нулевого решения уравнения (2) определяется расположением корней хаРис. 6: Скорость выполнения для одного и нескольких процессоров для K=1,.., рактеристического уравнения Совокупность корней k (, µ) (k = 0, ±1,...) характеристического уравнения может быть получена посредством следующего итерационного процесса где lnz = ln|z| + iargz.

Итерационный процесс строился с помощью программы, написанной на C++. В результате получена картина D - разбиений в плоскости параметров (, µ), представляющая собой совокупность областей Dj. Dj характеризует область, при значении параметров из которой j корней характеристического уравнения (3) находятся в правой комплексной полуплоскости.

Для построения периодических решений уравнения (2) используется метод равномерной нормализации, предложенной в [2], позволяющий свести исследования поведения решений в окрестности нулевого решения уравнения (2) к анализу поведения решений счетной системы дифференциальных уравнений вида где dn1 n2 n3 ( ) = [ + (1 + µ)exp(n1 n2 n3 ( )) (exp(n1 n2 n3 ( ) n ( )))/(n1 n2 n3 ( ) n ( ))]1 · ·p(1 + µ)(exp(n1 n2 n3 ( ))(1 + + n )1/2 /((1 + + n1 )(1 + + n2 )(1 + + n3 ))1/2, где р - целое число, принимающее значение 1,3,6 в зависимости от количества соответсвующих резонансных соотношений [2].

zn = 0 (n = 0, ±1, ±2), zn 0 (n = ±3,...), т.е. пяти уравнений. Для численного анализа использовалась программа Tracer 3.70 [3]. Результаты численного анализа следующие:

в области D0 все решения стремятся к нулевому состоянию равновесия; в области D1 нулевое состояние равновесия теряет устойчивость, и все решения стремятся к двум другим состояниям равновесия; в областях D3 и D5 дополнительно существует устойчивый предельный цикл; в области D7 существуют два устойчивых состояния равновесия и два устойчивых предельных цикла.

Список литературы 1. Гласс Л., Мэки М. От часов к хаосу: Ритмы жизни: Пер. с англ.-М.:Мир, 1991.-248 с., ил. ISBN 5-03-001834-4.

2.Кубышкин Е. П. Построение асимптотики периодических решений RC - генератора с запаздывающей обратной связью./ Вестник Ярославского государственного университета им. П.Г.Демидова. Серия "Естественные и технические науки"№2.2011. с.44-51.

3.Глызин Д.С. Пакет программ для анализа систем "Tracer". Заявка №2008610548 от 14.02.2008 г. Свид. о госуд. регистр. программы для ЭВМ № 2008611464. от 24.03.2008 г.

Некоторые особенности поведения решений уравнения Хатчинсона Фёдоров Алексей Викторович, 5-й курс Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, профессор Кубышкин Е. П.

Рассматривается уравнение Хатчинсона Множество корней n (a) (n = ±1, ±2) характеристического уравнение линейной части уравнения (1) Может быть построено с использованием следующего итерационного процесса Итерационный процесс строится с помощью программы, написанной на C++. Исследование поведения решений уравнения (1) с начальными условиями из некоторой окрестности нулевого решения сводится к анализу поведения счетной системы дифференциальных уравнений вида в которой Fn,n1,n1 = a(4un (1)un1,n1 (1) + 4un1 (1)un,n1 (1) + 4un1 (1)un,n1 (1))/2!, Система уравнений (3) анализировалась численно в предположении zn = 0, n = ±1,..., ±9; zn = 0, n = ±10, 11,... для 1 a 20. Отмечено существование одного периодического решения.

Исследование нелинейной динамики системы дифференциальных уравнений с импульсным воздействием с использованием Филатов Александр Андреевич, 5-й курс Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, профессор Глызин С. Д.

В статье [1] рассматривается обобщенное уравнение Хатчинсона которое представляет собой хорошо известный модельный объект, который часто встречается в различных областях радиофизики и нелинейной оптики.

На основании этой модели можно построить сеть из N элементов вида:

где N 2, u0 = u1, uN +1 = uN. 0 большой параметр. С помощью замены перейдем к предельной системе с импульсным воздействием где моменты времени tk определяются формулами Система (3), (4) решалась численно с использованием технологии CUDA, которая позволяет распараллеливать вычисления. Были найдены условия возникновения и границы устойчивости N устойчивых сосуществующих периодических режимов.

Список литературы 1. Глызин С. Д, Колесов А. Ю, Розов Н. Х. “Экстремальная динамика обобщенного уравнения Хатчинсона”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 49:1 (2009), 76–89.

Цифровая фильтрация аудиоданных в обработке звука Штерн Александра Геннадьевна, 5-й курс Научный руководитель: канд. физ.-мат. наук, доцент Глызин Д. С.

В данной выпускной квалификационной работе рассмотрены вопросы представления звуковых сигналов и методы их математической обработки.

Изучены методы обработки цифровых сигналов: ряды Фурье, дискретное и быстрое преобразование Фурье, функции корреляции, автокорреляции и ряд других способов цифровой обработки сигналов.

Посредством изученного материала написана программа, представляющая собой библиотеку функций для визуализации и обработки звуковых сигналов. Библиотека может быть использована специалистами из различных технических областей в задачах связанных с воспроизведением, анализом, шумоподавлением и распознаванием звуковых сигналов.

Кафедра дифференциальных уравнений Прямое и обратное преобразование Радона Бабакин Никита Сергеевич, 5-й курс Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, профессор Бережной Е. И.

В дипломной работе рассматриваются вопросы дискретизации и обращения преобразования Радона, изучается вопрос корректности задачи обратного преобразования.

Дипломная работа состоит из введения, предварительной, основной и заключительной частей.

Введение содержит краткую историческую справку о проблеме прямого и обратного преобразования Радона и приложениях, раскрывает степень актуальности проблемы по состоянию на текущий момент. Здесь также содержится описание ключевых результатов проделанной работы.

Предварительная содержит в себе разделы Преобразование Радона на плоскости и Формула Пуассона для преобразования Радона и дискретное преобразование Радона, где рассмотрены основные результаты, полученные в работах Радона, а также связь преобразование Радона с преобразованием Фурье. Приведены различные формулы обращения преобразования Радона. Здесь же описывается вопрос дискретизации и единственности решения.

Основная часть включает результаты, полученные автором работы. Здесь рассматриваются общие схемы применяемые в компьютерной томографии и делается выбор схемы сканирования и ограничений накладываемых на объект сканирования. Представлена реализация дискретного преобразования Радона и реализация алгоритма Фурье-синтеза.

В основной части работы ставится задача восстановления изображения по проекциям, разбирается алгоритм Фурье-синтеза.

В приложении Б представлены реализации алгоритмов Фурье-синтеза и прямого преобразования Радона на языке С++.

Бойматов Тимур Матекибович, 5-й курс Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, профессор Бережной Е. И.

В данной выпускной квалификационной работе дается общее понятие о фракталах, и рассматривается алгоритм фрактального сжатия изображения. Этот алгоритм является одним из алгоритмов сжатия, которые проходят с потерями. Основой данного метода является разбиение исходного изображения на равные участки и нахождения среди них подобных при помощи аффинных преобразований. Информация обо всех этих участках сохраняется в массиве данных и выводится в новый файл, при помощи которого восстанавливается исходное изображение. По данному методу была разработана и протестированная программа, которая содержится в приложении к работе.

Построение вейвлет-множеств фрактальной структуры Гасуль Марина Михайловна, 5-й курс Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, профессор Бережной Е. И.

В данной выпускной квалификационной работе рассматривается процесс построения множества со свойствами вейвлет-множест и структурой множества Кантора. Рассмотрены свойства множества Кантора, выведена зависимость его построения от меры Хаусфорфа как основной характеристики. Помимо этого рассмотрена теория вейвлет-множеств, приведены иллюстративные примеры построения вейвлетов по заданным вейвлет-множествам, а так же примеры построения вейвлет-индуцированного изоморфизма, измеримой биекции на [0,1).

Результатом работы стал представленный алгоритм построения множества с заявленными свойствами, а так же приведен пример такого построения.

Бифуркация Андронова-Хопфа в одном трехмерном отображении Денисова Ксения Сергеевна, 5-й курс Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, профессор Колесов А. Ю.

Дискретный аналог уравнения Хатчинсона Рассматривается уравнение с запаздыванием, являющееся дискретным вариантом уравнения Хатчинсона. Изучается отображение, индуцируемое разностным уравнением. Анализ свидетельствует, о том, что в некоторой малой окрестности состояния равновесия отображение имеет экспоненциально устойчивую замкнутую инвариантную кривую. Большое внимание уделено алгоритмической части проблемы, связанной с вычислением коэффициентов нормальной формы, применена методика позволяющая сразу получить аппроксимирующее ее дифференциальное уравнение.

Бифуркации периодических решений в одной нелинейной краевой задаче теории упругой устойчивости Зайцев Максим Викторович, -й курс Научный руководитель: канд. физ.-мат. наук, доцент Куликов А. Н.

В дипломной работе рассматривается нелинейная краевая задача, которая встречается в ряде разделов теории упругой устойчивости.

В первой части, изучен вопрос об устойчивости нулевого решения.

Во второй части, исходная краевая задача рассмотрена при дополнительных ограничениях. Показано, что у этой задачи существуют периодические решения. Выписана их асимптотика. В конце этого раздела исследуется их устойчивость. Для этого был изучен вопрос о расположении характеристических показателей линеаризованной на данном периодическом решении краевой задачи.

При решении задачи используется метод квазинормальных форм.

Алгоритмы нахождения кратчайшего пути между двумя точками Кошелева Татьяна Валерьевна, 5-й курс Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, профессор Бережной Е. И.

В данной выпускной квалификационной работе рассматривается алгоритмы построения кратчайшего пути между двумя точками: алгоритм Дейкстра и алгоритм Флойда.

В приложении данной выпускной квалификационной работы приведена реализация данных алгоритмов с построение кратчайшего пути между двумя точками. С помощью программы рассмотрено несколько вариантов графов. Удалось выявить, что алгоритм Дейкстра превосходит алгоритм Флойда в связных графах, где количество ребер меньше количества вершин. Найден пример графа на котором алгоритм Дейкстра не оптимален для поиска кратчайшего пути между двумя точками. Таким образом, до конца выявить и определить класс графов, для которых данные алгоритмы будут оптимальны для нахождения кратчайшего пути между двумя точками, не удалось. Предложена идея по ускорению алгоритма Дейкстра за счет построение двух деревьев одновременно из начальной и конечной точки.

До тех пор, пока они не включат одну и ту же вершину.

Лаврентьев Иван Викторович, 5-й курс Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, профессор Бережной Е. И.

В дипломной работе рассматриваются вопросы оценки константы Штейница, существование которой следует из известной леммы Штейница1, а также вопросы компактного суммирования векторов в конечномерных векторных пространствах.

Дипломная работа состоит из введения, предварительной, основной и заключительной частей.

Введение содержит краткую историческую справку о проблеме компактного суммирования векторов и ее приложениях, раскрывает степень актуальности проблемы по состоянию на текущий момент. Здесь также содержится описание ключевых результатов проделанной работы, в том числе, полученных автором дипломного проекта.

Предварительная часть содержит в себе раздел Известные оценки константы Штейница, где рассмотрены ключевые результаты по проблеме компактного суммирования векторов, полученные Кадецом, Гринбергом и Севастьяновым. Приведенные в этой части работы Лемма [Штейниц]. Пусть задано некоторое конечное семейство векторов где C некоторая константа, зависящая лишь от размерности пространства m и вида нормы s.

результаты охватывают случаи различных видов норм и размерностей конечномерных векторных пространств. Здесь же описывается результат нижней оценки константы Штейница в случае пространства R2 с эвклидовой нормой 2, полученный автором 25. На основе работы Банащика [7], где им получена верхняя оценка 25 делается вывод о точном значении константы в указанном нормированном пространстве.

Основная часть включает результаты, полученные автором работы. Здесь рассматриваются задачи суммирования векторов на прямой, полосе на плоскости, в единичном шаре нормы на плоскости и в трехмерном пространстве.

Последняя часть содержит примеры задач теории расписаний и календарного планирования, в которых используются результаты о компактном суммировании векторов.

В основной части работы собраны и доказаны основные извстные на данный момент оценки константы Штейница. Среди них: верхняя оценка константы с экспоненциальной асимптотикой O(2m )(а точнее, ). Указаны основные результаты, полученные в работах Гринберга и Севастьянова: верхняя оценка линейного порядка (m 1 + m ) для произвольного вида нормы и нижняя оценка, построенная методом Севастьянова для норм вида Особое внимаение следует обратить на основную часть, где автором работы получены и доказаны следующие утверждения: результаты о точном значении константы для случая R с нормой 2, Теорема I, Теорема II, Теорема III, Лемма IV, Теорема V, Теорема VI.

Ниже кратко приведены формулировки этих утверждений.

Теорема I. Рассмотрим отрезок [1, 1] R1 и семейство чисел (одномерных векторов им соответствующих) x(1),..., x(n) = X [1, 1] такое, что X = 0 = (0) = 0. Тогда суммирование семейства X можно осуществить в отрезке [1, 1].

Теорема II. Полосой в R2 будем называть замкнутую область между двумя произвольными параллельными прямыми x1 + x2 + = 0 и x1 + x2 + = 0, где =. Пусть семейство векторов X = x(1),..., x(n) удовлетворяет условиям леммы Штейница. Более того, обе прямые мы можем считать симметричными относительно 0, то есть + = 0. Пусть, как и прежде, – некоторая перестановка Nn. Рассмотрим частичные суммы В указанных условиях ширина D универсальной полосы суммирования семейства X с указанными выше свойствами удовлетворяет оценкам Теорема III. Ширина минимальной универсальной полосы суммирования семейства векторов X R2, удовлетворяющего условиям леммы Штейница, допускает оценку Лемма IV. Пусть Bp [r] := x Rm : x p r, K[1,..., m ] := cl {x = (x1,..., xm ) Rm : sign xi = i }, i {1, 1}. Тогда для любого a K[1,..., m ] и b K[1,..., m ] таких, что a 1 и b 1 выполнено Теорема V. Находясь в условиях леммы Штейница с единичным шаром нормы в плоскости R2, можно осуществить суммирование векторов внутри этого шара.

Теорема VI. Находясь в условиях леммы Штейница с единичным шаром нормы в пространстве R3, можно осуществить суммирование векторов внутри шара B [2].

В третей части дипломной работы сформулированы две классические (не следует понимать это слово буквально), возникшие в середине XX века задачи: задача О размещении станков (логистическая оптимизационная задача) и задача Объемно-календарного планирования. В них, при оценке длительности процессов, приходится использовать результаты компактного суммирования векторов. Для задачи О размещении станков получен результат об оценке длительности процесса производства с использованием результатов о компактном суммировании векторов.

Список литературы 1. Гринберг, В.С., Севастьянов С.В. О величине константы Штейница// Функциональный анализ и его приложения, т.14, вып.2, с. 56-57, 1980.

2. Кадец, М. И., Об одном свойстве векторных ломаных в n-мерном пространстве// Успехи математических наук, т.VIII, вып.1(53), с. 139–141, 1953.

3. Кадец, В. М., Перестановки рядов в пространствах Банаха //В.М. Кадец, М.И. Кадец.

– Тарту: Типография ТГУ, 4. Севастьянов, С. В., Геометрические методы и эффективные алгоритмы в теории расписаний [

На правах рукописи

] // Новосибирск, 2000, с.74-76.

5. Севастьянов, С. В., Нестрогое суммирование векторов в задачах теории расписаний//Сибирский журнал исследования операций, т.1, N2, апрель-июнь 1994, с. 67-99.

6. Banaszczyk, W. The Steinitz Constant of the Plane // J. Reine und Angew. Math. 1987. v.

373. p. 218-220.

7. Banaszczyk, W. A note on the Steinitz Constant of the Euclidean Plane // C. R. Math.

Rep. Acad. Sci. Canada. 1990. V. 12, N. 4. P. 97-102.

8. Steiniz, E. Bedingt Konvergente Reihen und Convexe Systeme // J.Reine und Angew. Math. 1913. V.143. p.128-175.

Метод простых итераций с попеременно чередующимся шагом Миронова Анна Сергеевна, 5-й курс Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, профессор Бережной Е. И.

В данной выпускной квалификационной работе рассматривается явный итерационный метод с попеременно чередующимся шагом решения некорректных задач. Изученным методом могут быть решены обратная задача теории потенциала, обратная задача гравиметрии, задача об изучении спектрального состава светового излучения (задача спектроскопии), задача синтеза оптических систем, задача создания систем автоматической обработки результатов физического эксперимента.

В приложении данной выпускной квалификационной работы приведена реализация данного метода на примере решения модельной задачи, относящейся к обратным задачам теории потенциала.

Применение дифференциальных уравнений в экономических Молчанова Алиса Сергеевна, 5-й курс Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, профессор Бережной Е. И.

В данной выпускной квалифицированной работе было проведено исследование явления бифуркации. В частности, рассматривается бифуркация Хопфа. Для рассматриваемых моделей, были найдены неподвижные точки, их бифуркации для отображения и построена бифуркационная диаграмма. Рассмотрен ряд математических моделей цикла капиталистической экономики, построенных Гудвином. С помощью дифференциальных уравнений изучены 3 экономические модели. Первоначально была изложена грубая модель основанная на экстремальной политике капиталовложений. В ходе дальнейших модификаций были сняты предположения об ограничениях Задачи продемонстрировали существенно нелинейную динамику и наличие релаксационных колебаний. Устранение предположения о скачках и регуляризации задачи приводят нас к уравнению типа Рэлея в котором существует устойчивый предельный цикл.

Динамические процессы в живых системах на примере противоракового иммунного ответа Петухова Надежда Николаевна, 5-й курс Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, профессор Бережной Е. И.

В данной выпускной квалификационной работе рассматривается качественная модель, содержащая динамику активных клеток раковой опухоли и лимфоцитов-киллеров. С помощью системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений и качественных методов анализа выявлены важные динамические свойства противоракового иммунного ответа.

Описана задача о нахождении условия, при котором система имеет состояния равновесия.

Исследуется динамика системы в зависимости от параметров. В частности осуществляется поиск условий, при которых рост опухоли становится контролируемым, т.е система имеет асимптотически устойчивые решения.

Рассматриваемая модель удовлетворительно описывает ответ организма на опухоли: малые опухоли не выживают, средние элиминируются сильным иммунным ответом, большие неограниченно развиваются из-за ограничения производства лимфоцитов.

Сафонова Юлия Павловна, 5-й курс Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, профессор Колесов А. Ю.

Дискретный аналог уравнения Хатчинсона Рассматривается уравнение с запаздыванием, являющееся дискретным вариантом уравнения Хатчинсона. С помощью алгоритма нормализации отображений и буфуркационной теоремы Андронова-Хопфа, доказывается, что в некоторой достаточно малой окрестности состояния равновесия отображение, индуцированное разностным уравнением, имеет экспоненциально устойчивую замкнутую кривую. Большое внимание уделено алгоритмической части проблемы, связанной с вычислением коэффициентов нормальной формы, применена методика позволяющая сразу получить аппроксимирующее ее дифференциальное уравнение.

Список литературы 1. С.Д. Глызин, А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов. Конечномерные модели диффузионного хаоса:

Журнал вычислительной математики и математической физики, 2010, том 50, №5, с. 860-875.

Исследование устойчивости состояния равновесия пластины в сверхзвуковом потоке газа с учетом уменьшения скорости потока Шаманов Николай Анатольевич, -й курс Научный руководитель: канд. физ.-мат. наук, доцент Куликов А. Н.

В дипломной работе рассматривается задача об устойчивости пластины в сверхзвуковом потоке газа. Это приводит к рассмотрению краевой задачи если ограничиться линейной постановкой задачи. Здесь a(x) = c(1 x) – приведенная скорость набегающего потока, а g – нормированный коэффициент демпфирования.

На основании применения метода Галеркина (Бубнова-Галеркина) изучен вопрос об устойчивости состояния равновесия и сравнение результатов с классическими. В работе показано, что с увеличением величина критической скорости (скорости флаттера) также увеличивается.

В работе изучены два случая: как с учетом демпфирования, так и при его отсутствии. В первом показано, что существует такое c = c0 () 0, что при c [0, c0 ()) нулевое состояние равновесия устойчиво, при c c0 () теряет устойчивость.

При отсутствии демпфирования потеря устойчивости происходит при превышении скорости c = c1 () - нижней критической скорости флаттера. Соответствующее с выделяется условием, при котором у спектра устойчивости есть кратная пара чисто мнимых собственных значений (резонанс 1:1).

Также изучены варианты, когда реализуются резонансы 1:2, 1:3 собственных частот, и показано, что резонансы 1:4, 1:5 и т.д. при с 0 и достаточно малых не могут быть реализованы.

Состояния равновесия трубопровода и их устойчивость Шигина Светлана Викторовна, -й курс Научный руководитель: канд. физ.-мат. наук, доцент Куликов А. Н.

В работе рассмотрена нелинейная краевая задача, моделирующая колебания трубопровода под воздействием потока жидкости, протекающей внутри со скоростью U [1-2].

В первой части работы показано, что краевая задача при выполнении неравенства имеет m ненулевых состояний равновесия Sk, где k = 1, 2,..., m, вида Во второй части работы доказано, что устойчивым является лишь одно состояние равновесия соответствующее первой моде (k = 1), а остальные неустойчивые. При a = 0 для доказательства данного утверждения использовался метод Галеркина [3].

Список литературы 1. Томпсон Дж. М.Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике. Москва. Мир.

1985. 254 с.

2. Paidoassis M.P., Isid N.T. Dynamic stability of pipes conveying uid // Journal of sound 1974. v. 33. №3. pp 267 - 294.

3. Якубов С.Я. Разрешимость задачи Коши для абстрактных квазилинейных уравнений второго порядка и их приложения. Труды Московского математического общества. т. 23.

37-59. 1970.

Уравнение Ферхюльста в моделировании динамики численности Шувалова Татьяна Николаевна, 5-й курс Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, профессор Бережной Е. И.

В данной выпускной квалификационной работе затрагивается очень интересная область приложения математических наук - математическую биологию, целью которой является изучение биологических систем с помощью математических моделей. Хоть, по всеобщему признанию, с помощью математической теории в биологии не было построено ни одного фундаментального достижения, тем не менее, роль математического аппарата велика в интерпретации существующих явлений с помощью анализа адекватных математических моделей, позволяющих проводить как качественные, так и количественные оценки. Это и послужило причиной выбора данной темы для углубленного изучения. Задача моей работы заключается в том, изложить основные математические методы качественного анализа нелинейных систем, с помощью которого строятся разнообразные математические модели, описывающие биологические сообщества. Главной целью будет описание и исследование приложения математической модели к конкретной задаче, связанной с изучением динамики роста численности популяции в естественной экологической среде. Данная модель носит имя бельгийского математика Пьера Франсуа Ферхюльста, а также именуется логистическим уравнением.

Важной частью работы является та, которая посвящена изложению основ теории бифуркации. Совершенно очевидно, что существование любой биологической системы протекает в присутствии внешних факторов. Эти особенности выражаются в модели нелинейными соотношениями и содержанием параметров, значения которых либо неизвестны, либо их определение сопряжено со значительными трудностями. Особенно важным оказывается исследование поведения системы вблизи тех значений параметров, при которых возникают перестройки (возможно, и катастрофические) в поведении биологических сообществ. Этим и занимается теория бифуркаций, которая систематически изучает такие перестройки.

В целом математические модели можно грубо классифицировать на конечномерные с дискретным временем (разностные уравнения), конечномерные с непрерывным временем (системы обыкновенных дифференциальных уравнений) и бесконечномерные (уравнения в частных производных и интегро-дифференциальные уравнения). Все это - классы, отражающие последовательные стадии точного отображения биологической реальности. К ним также относятся модели, описываемые с помощью методов теории вероятностей и методов имитационного моделирования.

Многие математические модели стали классическими, войдя в золотой фонд математической биологии: например, модель Лотки-Вольтерры, модель Гаузе, модель распространения эпидемий Кермака-Маккендрика и многие другие. Модель Ферхюльста также входит в их число. Мы будем исследовать ее в контексте динамики дискретных отображений, то есть динамических систем с дискретным временем. Именно при таком подходе мы обнаружим на определенном этапе возникновение неожиданного характера поведения системы. Исследование такого поведения и будет представлять для нас особый интерес в рамках данной работы.

Чуть выше было сказано, что именно нелинейные соотношения в модели приближают ее к реальной ситуации. Реальный мир, окружающая нас природа и общество в своем развитии подчиняются нелинейным законам. Это значит, что основой моделирования является так называемая нелинейная динамика. Нелинейная динамика - это наука, изучающая структуру и свойства эволюционных процессов в нелинейных динамических системах. Именно в нелинейных системах присутствует возможность реализации в них множества различных режимов функционирования, которые зависят от начального состояния, параметров системы и внешних воздействий. В частности, в нелинейных системах возможны режимы детерминированного хаоса в виде незатухающих апериодических колебаний, напоминающих случайный процесс. Именно такие явления и происходят в модели Ферхюльста при нахождении параметра в определенной области значений.

Описание структуры работы. Начальная часть будет посвящена понятию динамической системы, которое в математическом смысле является основой моделирования, а, значит, и предсказания эволюции во времени. Задача предсказания будущего по известному настоящему является основной задачей науки вообще и задачей нелинейной динамики в частности.

Нелинейные системы обладают замечательным свойством: сменой режима их функционирования при изменении управляющих параметров. Как уже было сказано, на языке математики эти процессы описываются теорией устойчивости и бифуркации. Этому вопросу будет посвящена следующая часть работы. Однако, все дальнейшие рассуждения переносятся на конкретный вид динамических систем: дискретные динамические системы и на их прикладную роль в экологии. Для них будет дано важное понятие аттрактора как математического образа установившегося режима функционирования. И, наконец, ключевым моментом работы будет являться исследование конкретной экологической модели, на основе которой будет показано возникновение хаотических колебаний в детерминированных динамических системах (детерминированного хаоса).

Кафедра теории функций Алгоритм адаптивной кусочно-постоянной аппроксимации Баранков Илья Сергеевич, 5-й курс Научный руководитель: канд. физ.-мат. наук, доцент Невский М. В.

Объект исследования – алгоритм аппроксимации функции двух переменных, заданной на прямоугольнике, с помощью кусочно-постоянных функций.

В данной работе описывается алгоритм адаптивной кусочно-постоянной аппроксимации методом разбиения основного прямоугольника на меньшие прямоугольники. Вводятся свойства для аппроксимируемой функции, а так же ряд понятий и теорем.

В практической части работы была использована программа, написанная на языке C#, реализующая алгорим описаный выше. В тексте работы предсталены результаты тестов программы. В качестве исходных данных были взяты различные функции для одинаковых разбиений. Это позволило более наглядно сравнить адаптивность аппроксимации.

Практическая ценность дипломного проекта заключается в том, что разработанную программу и результаты анализа можно использовать в качестве основы для более глубокого изучения данного алгоритма.

О некоторых свойствах базисных и фундаментальных сплайнов Булатова Анна Сергеевна, 5-й курс Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, профессор Стрелков Н. А.

Работа посвящена изучению некоторых свойств так называемых базисных сплайнов Mn и фундаментальных сплайнов sn, играющих ключевую роль в теории сплайн-функций.

Каждая из этих двух функций класса C n1, сужения которых на любом из интервалов [k + (n 1)/2, k + (n + 1)/2] (k Z) являются алгебраическими полиномами степени n, однозначно определяется следующими условиями:

для всех (k Z).

В процессе работы были найдены образы Фурье данных сплайнов, исследованы и доказаны утверждения, описывающие поведение базисных и фундаментальных сплайнов в терминах полиномов Qn вида В частности, показано, что многочлены Qn могут трактоваться как производящие функции базисных сплайнов Mn.

Быстряков Сергей Романович, 5-й курс Научный руководитель: канд. физ.-мат. наук, доцент Иродова И. П.

Тема данной выпускной квалификационной работы - “Аппроксимации Паде”.

В данной работе рассматривается метод приближения аналитической функции рациональными дробями, который носит название: "Аппроксимации Паде". Компьютерные программы написаны на языке C# и протестированы на примере экспоненциальной функции.

В ходе работы были изучены:

• Метод аппроксимации Паде • Определитель Ганкеля • Теорема Jacobi 1846г.

• Свойства аппроксимаций Паде • Q.D. -алгоритм и проблема корней Целью работы является создание и реализация алгоритма метода аппроксимаций Паде.

В ходе работы был придуман алгоритм и написаны, и отлажены 2 программы на примере экспоненциальной функции. Анализ результатов работы которых показал, что поставленная задача успешно выполнена.

Данная дипломная работа состоит из 2 частей: теоретическая, практическая. В теоретической части рассматриваются основы теории аппроксимации Паде, приведен графический пример. В практической части разобрана экспоненциальная функция, на примере которой строился алгоритм, тестировались программы. Затем следует заключение и список используемой литературы. Работа содержит план построения алгоритма, тексты кода программ реализации алгоритма.

Лаптев Александр Вячеславович, 5-й курс Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, доцент Иродова И. П.

Объект исследования – метод наименьших квадратов, примененный ко сжатию данных, кодирующих изображение, а также некоторые его модификации. Данный алгоритм относится к алгоритмам сжатия данных с потерями.

Целью дипломного проекта является изучение эффективности упомянутого алгоритма.

В дипломе представлен теоретический материал, описывающий метод наименьших квадратов для случая непрерывной функции одного переменного, а также приведены все необходимые определения, даны пояснения и формулы для случаев функций двух переменных и функций, заданных на множестве дискретных точек. Кроме того, представлена информация об использованной в процессе изучения цветовой модели и метрике оценки качества сжатого изображения. Довольно подробно описаны все изучаемые модификации оригинального алгоритма, приведены соответствующие примеры, объяснены методы хранения и восстановления сжатых изображений. Отдельно стоит отметить модификацию метода алгоритмом склейки.

Описание этой модификации содержит всю необходимую теорию для одномерного и двумерного случая, теорему об обеспечиваемой скорости сходимости и примеры с наглядными графиками.

В практической части исследования(в которой собственно и устанавливалась эффективность метода) были использованы программы, написанные на языке C#. В тексте работы предсталены результаты прогонки программ(сжатые изображения и вся необходимая статистическая информация). Все результаты анализируются, все особенности поведения алгоритмов отмечаются и объясняются. В частности были отмечены влияние выбранной системы цветопредставления на результат сжатия, трудности возникающие при объективной оценке качества сжатого изображения. В качестве исходных данных для оригинального метода и четырех его модификаций используются одни и те же изображения. Это позволило более наглядно сравнить эффективности изучаемых алгоритмов. Часть результатов представлена лишь в виде статистических данных, для наиболее интересных результатов в текст работы включены и сами сжатые изображения(полноцветные иллюстрации 512 512 пикселей).

Алгоритм по разному проявляет себя при работе с различными типами изображений и допускает огромнейшее число модификаций и возможностей комбинирования с другими методами.

Практическая ценность дипломного проекта заключается в том, что разработанные программы и результаты анализа можно использовать в качестве основы для более глубокого изучения данного метода.

Алгоритмы интерполяции с помощью рациональных функций Маронов Роман Константинович, 5-й курс Научный руководитель: канд. физ.-мат. наук, доцент Невский М. В.

В дипломной работе рассматриваются два алгоритма рациональной интерполяции (алгоритм Якоби и алгоритм рациональной интерполяции с помощью ортогональных многочленов) и их реализация в виде программы, написанной на языке C.

Задача рациональной интерполяции состоит в том, что для набора из N + 1 = m + n + пар точек (xi, fi ) (0 i N ), строится рациональная функция rm,n (x) = pm (x)/qn (x) такая, что где xi отличны друг от друга, fi – значения функции f (x) в точках xi для всех i, pm (x) и qn (x) являются многочленами степени m и n соответственно.

Для заданной функции и множества из N + 1 точек программа вычисляет рациональный интерполянт rm,n (x), который дает наилучшее приближение. С этой целью программа строит интерполирующую рациональную функцию, используя выбранный алгоритм, для всех сочетаний m и n (m + n = N ) и считает погрешность для каждого варианта. В качестве результата программа выводит рациональный интерполянт с наименьшей погрешностью, величину погрешности и график. Анализ результатов программы построен на сравнении полиномиальной и рациональной интерполяций нескольких функций.

Приближение функций с помощью Алгоритма Ремеза Новиков Иван Николаевич, 5-й курс Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, доцент Иродова И.П.

В данной работе дается численная реализация некоторых методов приближения функции действительного переменного, а именно, пяти алгоритмов приближения функций, так же их математическое обоснование и машинная реализация. Компьютерные программы написаны на языке C# и протестированы на рассматриваемых примерах.

В ходе работы были изучены алгоритмы приближения:

• Алгоритм Ремеза • Модификация Алгоритма Ремеза • Алгоритм Ремеза с интерполированием • Приближение дискретных функций многочленами малых степеней • Приближение дискретных функций кусочно-полиномиальными функциями многочленов малых степеней Целью работы является машинная реализация некоторых алгоритмов приближения функции. В ходе работы были написаны и отлажены 3 основные программы и порядка вспомогательных на языке C#, анализ результатов работы которых показал, что поставленная задача успешно решается.

Опишем структуру работы. Данная дипломная работа состоит из 3 глав. В первой главе даются некоторые предварительные данные, необходимые для дальнейшего математического обоснования алгоритмов. Во главе 2 дается описание рассматриваемых алгоритмов. В третьей главе разобраны примеры, на которых тестировались программы и проведен сравнительный анализ. Затем следует заключение и список используемой литературы. Кроме того, работа содержит 3 приложения. В первом дано описание компьютерных программ, во втором - их тексты, третье иллюстрирует результаты работы.

Работнов Никита Сергеевич, 5-й курс Научный руководитель: канд. физ.-мат. наук, доцент Шалашов В. К.

В данной выпускной квалификационной работе приведено подробное доказательство утверждения Мортона о том, что некоторая коса на четырех нитях является неприводимой, но после замыканий становится тривиальным узлом.

Для демонстрации этого доказательства на компьютере была содана программа на языке С#. Также эта программа позволяет исследовать любые другие замыкания кос. В некоторых преобразованиях приведенных в доказательстве требуется проверка равенства кос, для этого в прогдамме реализован алгоритм Деорнуа.

Радюк Эрик Валерьевич, 5-й курс Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, доцент Иродова И. П.

Тема данной выпускной квалификационной работы, - “Сжатие изображений” - в рамках которой были изучены 2 алгоритма приближения изображений, а именно приближения кусочно-полиномиальными функциями с различными способами разбиения изображений.

А именно, адаптивное разбиение, при котором разбиению на более мелкие части поддаются только те области изображения, на которых приближающая функция не удовлетворяет входным данным, т.е. превышает допустимую погрешность приближения. И второй способ разбиения - равномерное разбиение, но с последующей адаптивной выборкой из него.

Целью работы было изучение алгоритмов сжатия, их практическая реализация применительно к изображениям. Поэтому в ходе работы была написана и отлажена программа на языке C#, в которой представлена машинная реализация адаптивных алгоритмов сжатия применительно к изображениям.

Данная дипломная работа состоит из 6 глав. Первая глава - Введение. Вторая глава Математическое описание методов приближения, в которой присутствует общая постановка задач приближения, дается определение многочлена наилучшего приближения. Также в этой главе описываются методы интерполирования, вводится многочлен Ньютона и дается описание интерполяции функции двух переменных. Третья глава - математическое описание алгоритма сжатия, в которой дается описание непосредственно алгоритма приближения кусочно-полиномиальными функциями с равномерным разбиением. В главе 4 содержится описание программы, описание проблем, с которыми пришлось столкнуться при написании программы, и их решений. Кроме этого в данной главе содержатся тестовые примеры работы программы и приводятся иллюстрации изображений, с которыми работает программа, и изображений, которые получаются на выходе программы. Далее приводится исходный код программы на языке C#. Глава 5 - это заключение. Представляет собой подведение общих итогов и результатов проделанной работы.

Кафедра математического моделирования Асимптотический анализ дискретного уравнения Шредингера в Бобкова Любовь Сергеевна, 4-й курс Научный руководитель: канд. физ.-мат. наук, доцент Нестеров П. Н.

В работе изучается разностное уравнение второго порядка Здесь параметр 1, а действительная функция p(n) является периодической или представляет собой дискретный тригонометрический многочлен. Рассматривается задача о построении асимптотики решений этого уравнения при n. Исходное уравнение запишем в виде системы где Заменой z(n) = Cw(n), где C 1 AC = J =, систему (2) приводим к виду С помощью подходящей усредняющей замены переменной (см. [1]) от системы (3) можно перейти к усредненной системе где Для построения асимптотики фундаментальной матрицы системы (4) необходимо привести эту систему к так называемой -диагональной формой и воспользоваться разностным аналогом теоремы Левинсона.

В ходе исследования нам потребовалось изучить два случая: p0 = 0 и p0 = 0. В каждом из указанных случаев строится асимптотика решений уравнения (1).

Список литературы 1. Бурд В.Ш. Системы дифференциальных и разностных уравнений: метод усреднения и асимптотика решений: учебное пособие / В.Ш. Бурд, П.Н. Нестеров. Ярославль: ЯрГУ, 2008.

Управление устойчивостью стационарных режимов Богаевская Виктория Григорьевна, 4-й курс Научный руководитель: канд. физ.-мат. наук, доцент Кащенко И. С.

Большое количество прикладных задач приводит к необходимости исследовать поведение решений уравнения вида Здесь u, вообще говоря, n-мерный вектор, F (u) нелинейная функция. Слагаемое k(u(tT )u) называют запаздывающим управлением. Параметры k (коэффициент запаздывающего управления) и T (время запаздывания) предполагаются положительными.

Такое уравнение, например, моделирует поведение системы, в которую извне приходит сигнал, равный состоянию системы некоторое время T назад. Наличие этого сигнала может быть обусловлено, например, эхом, зеркалом, искусственно введенной обратной связью (именно в этом случае принято говорить об управлении) и т. п. Типичным примером является световод, по которому поток фотонов, генерируемый лазером, опять подается на вход этого же лазера. Изменяя длину световода, мы легко можем изменять параметр T. Добавив в систему устройства, усиливающие сикнал, мы можем добиться изменения параметра k.

В ряде работ предполагалось, что система u = F (u) имеет решение u0 (t), и изучалось влияние слагаемого k (u (t T ) u (t)) на динамические свойства решений из окрестности u0 (t).

Известно, что при достаточно большом времени запаздывания T, а также при достаточно большом значении k, поведение системы может становиться крайне сложным проявляютя эффекты мультистабильности, гипермультистабильности, буферности.

Настоящая работа посвящена вопросам управления устойчивостью стационарных состояний уравнений второго порядка. Эти уравнения с одной стороны достаточно просты, чтобы проводить аналитические исследования, с другой стороны они часто встречаются в приложениях. Так например, полученные результаты могут быть применены для исследований хорошо известного автогенератора Ван-дер-Поля.

В работе рассматривается уравнение второго порядка с запаздывающим управлением Здесь u(t) скалярная функция, F (x, y) достаточно гладкая функция, k и T положительные постоянные.

Аналитическими методами определяются области параметров запаздывающего управления k и T, при которых состояние равновесия имеет иную устойчивость, чем в случае k = 0. Особенно отметим важность задачи стабилизации неустойчивого состояния равновесия. Такие задачи являются предметом активных исследований в физике, химии, биологии и медицине.

Было показано, что эти области таковы, что, если управление будет слишком слабым, то изменить качественно динамику в окрестности u0 не получится.

Если стояла задача сделать состояние равновесия неустойчивым, то необходимая нам область параметров является неогриниченной по обеим переменным. Если стояла задача стабилизации, то опять же необходимые значения T существуют при каждом достаточно большом k, но находятся в ограниченной области.

Формулы границ областей найдены в явном виде и проиллюстрированны с помощью численных методов.

Особенности численного решения уравнений с запаздыванием Большакова Мария Викторовна, 4-й курс Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, профессор Глызин С. Д.

Рассматривается начальная задача Коши для уравнений вида с одним и с двумя запаздываниями, с начальным условием y(x) = (x) при x [, 0].

Данная задача решается численным методом Рунге-Кутты порядка 4 с постоянной длиной шага для постоянного запаздывания Особое внимание уделяется обобщенному уравнению Хатчинсона Здесь N (t) – численность популяций в момент времени t, r 0 - коэффициент линейного роста, h и 1 – запаздывания, определяющие возрастную структуру популяции, K – средняя численность популяции, которая определяется ёмкостью среды обитания.

В ходе работы было создано приложение на языке C# на платформе Microsoft.NET 4.0, в котором был реализован метод (1) для уравнения (2).

Об одном свойстве решений дискретного уравнения Шредингера Лобачева Ольга Александровна, 4-й курс Научный руководитель: канд. физ.-мат. наук, доцент Нестеров П. Н.



Pages:   || 2 | 3 | 4 |
 





Похожие работы:

«Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ РУКОВОДЯЩИЙ РД ПГУТИ ДОКУМЕНТ 2.64.7-2013 Система управления качеством образования ПОРЯДОК ПЕРЕВОДА, ОТЧИСЛЕНИЯ И ВОССТАНОВЛЕНИЯ СТУДЕНТОВ В ПГУТИ Положение Самара 2013 РД ПГУТИ 2.64.7 – 2013 ПОРЯДОК ПЕРЕВОДА, ОТЧИСЛЕНИЯ И ВОССТАНОВЛЕНИЯ СТУДЕНТОВ В ПГУТИ Положение Предисловие 1 РАЗРАБОТАН Отделом качества образования ПГУТИ...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Амурский государственный университет Кафедра русского языка УЧЕБНО – МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ РИТОРИКА Основной образовательной программы по направлению подготовки 010500.62 Прикладная математика и информатика Благовещенск 2012 1 УМКД разработан канд. филол. наук, доцентом Куроедовой Мариной Алексеевной Рассмотрен и рекомендован на...»

«Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Амурский государственный университет (ГОУ ВПО АмГУ) УТВЕРЖДАЮ Зав. кафедрой ОМиИ _Г.В. Литовка _2009 г. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ В ГЕОЛОГИИ для специальности 130301 – геологическая съемка, поиск и разведка месторождений, полезных ископаемых Составитель: Н.А. Чалкина, к.п.н. Благовещенск, Печатается по решению...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УТВЕРЖДАЮ Заместитель Министра образования и науки Российской Федерации А.Г.Свинаренко 31 января 2005 г. Номер государственной регистрации № 661 пед/сп (новый) ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ СТАНДАРТ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Специальность 030100 Информатика Квалификация учитель информатики Вводится в действие с момента переутверждения вместо ранее утвержденного (14.04.2000 г., № 371пед/сп) Москва 1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Амурский государственный университет Кафедра математического анализа и моделирования УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ ВВЕДЕНИЕ В СПЕЦИАЛЬНОСТЬ Основной образовательной программы по специальности 010400.62 – Прикладная математика и информатика Благовещенск 2012 г. УМКД разработан канд. физ.-мат. наук, доцентом Масловской Анной...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Амурский государственный университет Кафедра Конструирования и технологии одежды УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ Информатика Специальности 260704.65 – Технология текстильных изделий 260901.65 – Технология швейных изделий 260902.65 – Конструирование швейных изделий Благовещенск 2012 УМКД разработан канд.техн.наук, доцентами кафедры...»

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ ОБРАЗОВАНИЯ ИНСТИТУТ ИНФОРМАТИЗАЦИИ ОБРАЗОВАНИЯ О.А. КОЗЛОВ ТЕОРЕТИКО-МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРЕТИКОИНФОРМАЦИ ИНФОРМАЦИОННОЙ ПОДГОТОВКИ КУРСАНТОВ ВОЕННО- ЗАВЕ ВОЕННО-УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ Монография Москва, 2010 Москва, 2010 Козлов О.А. Теоретико-методологические основы информационной подготовки курсантов военно-учебных заведений: Монография. – 3-е изд. – М.: ИИО РАО, 2010. – 326 с. В монографии излагаются основные результаты теоретико-методологического анализа проблемы...»

«Кучин Владимир О научно-религиозном предвидении Где двое или трое собраны во имя Мое, там и Я посреди них. Мф. 18:20 Официально информатику определяют как науку о способах сбора, хранения, поиска, преобразования, защиты и использования информации. В узких кругах ее также считают реальным строителем моста через пропасть, которая разделяет науку и религию. Кажется, еще чуть-чуть и отличить информатику от религии станет практически невозможно. По всем существующим на сегодня критериям. Судите...»

«PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com 2007 году МОУ Гимназия отмечает 20-летний юбилей. За эти годы в гимназии сформировался опытный, творческий педагогический коллектив единомышленников, увлеченных общим делом. Наши педагоги находятся в постоянном поиске нового. Идти вперед, жить завтрашним днем, новыми идеями, стремиться к новым вершинам, быть тем огнем, который зажигает звезды своих учеников, – этими словами можно выразить педагогическую концепцию коллектива гимназии....»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ Факультет Информационных технологий и программирования Направление Прикладная математика и информатика Специализация : Математическое и программное обеспечение вычислительных машин Академическая степень магистр математики Кафедра Компьютерных технологий Группа 6538 МАГИСТЕРСКАЯ ДИССЕРТАЦИЯ на тему Автоматный подход к реализации элементов графического...»

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ ИНФОРМАТИКИ А.В. ИЛЬИН, В.Д. ИЛЬИН СИМВОЛЬНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ИНФОРМАТИКЕ Москва ИПИ РАН 2011 Ильин Владимир Ильин Александр Дмитриевич Владимирович Доктор техн. наук, профессор. Кандидат техн. наук. Заведующий Старший научный сотрудник Лаб. Методологических основ информатизации в Институте проблем информатики РАН Автор более 100 трудов по Автор более 30 трудов по S-моделированию, S-моделированию, автоматизации конструированию программ и...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Владивостокский государственный университет экономики и сервиса _ М.А. ПЕРВУХИН А.А. СТЕПАНОВА ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА И ТЕОРИЯ КОДИРОВАНИЯ (Комбинаторика) Практикум Владивосток Издательство ВГУЭС 2010 ББК 22.11 П 26 Рецензенты: Г.К. Пак, канд. физ.-мат. наук, заведующий кафедрой алгебры и логики ДВГУ; А.А. Ушаков, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры математического моделирования и информатики ДВГТУ Работа выполнена при поддержке гранта...»

«МИР № 2 (октябрь 2010 г.) Оглавление Творческий отчёт учителя информатики и ИКТ Никитковой С.В. в рамках аттестации на 1 квалификационную категорию2 Разработка учебного проекта План проекта Методический паспорт проекта Поэтапная разработка проекта 1 МИР № 2 (октябрь 2010 г.) Творческий отчёт учителя информатики и ИКТ Никитковой С.В. в рамках аттестации на 1 квалификационную категорию Скажи мне, и я забуду. Покажи мне, - я смогу запомнить. Позволь мне это сделать самому, и это станет моим...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Кемеровский государственный университет в г. Анжеро-Судженске 1 марта 2013 г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по дисциплине Отечественная история (ГСЭ.Ф.3) для специальности 080116.65 Математические методы в экономике факультет информатики, экономики и математики курс: 1 экзамен: 1 семестр семестр: 1 лекции: 36 часов практические занятия: 18...»

«НГМА № 9 (136) октябрь 2009 г. РЕктоР НижГМА – Во ГЛАВЕ Наши юбиляры ЗАкоНотВоРЧЕСкоГо СоВЕтА В октябре отмечают юбилейный день рождения: При законодательном собрании нижегородской области С.Г. Габинет – заведующий учебной ла­ создан научно­координационный совет для рецензирова­ бораторией кафедры медицинской ния проектов законов нижегородской области. Совет яв­ физики и информатики (03.10). ляется консультативным органом, цель его работы – улуч­ Е.Н. Звонилова – уборщик служебных шать качество...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ (ФАКУЛЬТЕТ БИЗНЕС-ИНФОРМАТИКИ) УТВЕРЖДЕНО И.О. декана факультета С.В. Мальцева 24 октября 2013 г. ОТЧЕТ по результатам самообследования основной профессиональной образовательной программы высшего профессионального образования 080500.62. Бизнес-информатика. Бакалавр Основание для проведения самообследования: Приказ ректора от 28...»

«Департамент Образования города Москвы Северо-Западное окружное Управление образования Окружной методический центр Окружной ресурсный центр информационных технологий Пространственное моделирование и проектирование в программной среде Компас 3D LT Методические материалы дистанционных семинаров для учителей средней школы. Дистанционные обучающие олимпиады Разработчики: Третьяк Т.М., Фарафонов А.А. Москва 2003 2 Введение В данной работе представлены методические материалы дистанционных семинаров...»

«СБОРНИК РАБОЧИХ ПРОГРАММ Профиль бакалавриата : Математическое моделирование Содержание Страница Б.1.1 Иностранный язык 2 Б.1.2 История 18 Б.1.3 Философия 36 Б.1.4 Экономика 47 Б.1.5 Социология 57 Б.1.6 Культурология 71 Б.1.7 Правоведение 82 Б.1.8.1 Политология 90 Б.1.8.2 Мировые цивилизации, философии и культуры 105 Б.2.1 Алгебра и геометрия Б.2.2 Математический анализ Б.2.3 Комплексный анализ Б.2.4 Функциональный анализ Б.2.5, Б.2.12, Б.2.13.2 Физика Б.2.6 Основы информатики Б.2.7 Архитектура...»

«1 Общие положения Полное наименование вуза на русском языке: федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тихоокеанский государственный университет. Сокращенные наименования вуза на русском языке: Тихоокеанский государственный университет, ФГБОУ ВПО ТОГУ, ТОГУ. Полное наименование на английском языке: Pacific National University. Сокращенное наименование на английском языке: PNU. Место нахождения вуза: 680035, г. Хабаровск, ул....»

«МЭРИЯ НОВОСИБИРСКА УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ Информационный ВЕСТНИК ОБРАЗОВАНИЯ В следующем выпуске: Об_итогах деятельности муниципальной системы образования за 2004/2005 год и задачах на новый учебный год О_развитии государственно-общественного управления в образовательных учреждениях О_награждении педагогических и руководящих работников за 2004/2005 учебный год О_золотых медалистах 2005 г. О_победителях Всероссийской олимпиады школьников № 2 (май 2005) 1 Уважаемые руководители! Вы можете...»







 
© 2014 www.kniga.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Книги, пособия, учебники, издания, публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.