WWW.KNIGA.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Книги, пособия, учебники, издания, публикации

 

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Амурский государственный университет»

Кафедра математического анализа и моделирования

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ

Дифференциальная геометрия

Основной образовательной программы по направлению 010500.62 - прикладная математика и информатика Благовещенск 2012 УМКД разработал канд.физ.-мат.наук, доцент Сельвинский Владимир Владимирович Рассмотрен и рекомендован на заседании кафедры Протокол заседания кафедры от «11» января 2012 г. № 5 Зав. кафедрой / В.В. Сельвинский /

УТВЕРЖДЕН

Протокол заседания УМС по направлению 010500.62 - прикладная математика и информатика от «11 » января 2012 г. № Председатель УМСC / В.В. Сельвинский /

I. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Направление подготовки 010500.62 – Прикладная математика и информатика Квалификация выпускника – бакалавр прикладной математики и информатики Курс 3 Семестр Лекции 18 (час.) Экзамен (нет) Практические (семинарские) занятия 18 (час.) Зачет 5 семестр Самостоятельная работа 18 (час.) Общая трудоемкость дисциплины 54 (час.) Составители: В.В. Сельвинский, доцент; Т.К. Барабаш, ассистент

1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

Дисциплина "Дифференциальная геометрия" ставит своей целью ознакомление студентов с фундаментальными понятиями и методами исследования геометрических образов, в первую очередь кривых и поверхностей, или многообразий.

Цель преподавания дисциплины Обучить студентов методам исследования геометрических свойств объектов на плоскости и в пространстве, а также приложению этих методов для решения прикладных задач.

Задачи изучения курса В результате изучения курса студенты должны:

- освоить методы исследования математических моделей геометрических объектов (кривая, поверхность);

- изучить основные методов решения возникающих при этом математических задач;

- уметь выяснить смысл полученного решения.

2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ООП ВПО

Дисциплина «Дифференциальная геометрия» входит в цикл факультативных дисциплин для направления подготовки 010500.62 – «Прикладная математика и информатика» (ФДТ.4).

Дисциплина «Дифференциальная геометрия» в своей основе опирается на такие дисциплины как «Математический анализ», «Аналитическая геометрия», «Алгебра» и может служить базой для «Теоретической механики» и других естественнонаучных и технических дисциплин.

3. ПЕРЕЧЕНЬ ОСНОВНЫХ УМЕНИЙ И НАВЫКОВ, ПРИОБРЕТАЕМЫХ

ПРИ ИЗУЧЕНИИ ДИСЦИПЛИНЫ.

В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

знать: основные понятия, определения и свойства объектов дифференциальной геометрии, формулировки и доказательства утверждений, методы их доказательства, их связи и приложения в других областях математического знания и дисциплинах естественнонаучного содержания.

уметь: доказывать утверждения дифференциальной геометрии, решать задачи дифференциальной геометрии, уметь применять полученные навыки в других областях математического знания и дисциплинах естественнонаучного содержания.

владеть: аппаратом дифференциальной геометрии, методами доказательства утверждений, навыками применения этого в других областях математического знания и дисциплинах естественнонаучного содержания.

4.СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

Общая трудоемкость дисциплины составляет 54 часа.

5. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ И ТЕМ ДИСЦИПЛИНЫ

Лекция 1. Вектор-функция одного скалярного аргумента. Координаты векторфункции. Предел вектор-функции в точке. Непрерывность.

Лекция 2. Производная вектор-функции. Понятие кривой. Касательная и нормальная плоскость кривой. Длина дуги пространственной кривой.

Лекция 3. Натуральные уравнения кривой. Формулы Френе. Сопровождающий трехгранник кривой. Вывод уравнений его компонент.

Лекция 4. Кривизна и кручение кривой. Геометрический смысл кривизны и кручения.

Лекция 5. Вектор-функция от двух скалярных аргументов. Поверхность. Криволинейные координаты. Частные производные вектор-функции двух скалярных аргументов. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Лекция 6. Первая квадратичная форма. Вычисление длин дуг кривых, угла между кривыми и площади куска поверхности.

Лекция 7. Вторая квадратичная форма поверхности. Кривизна кривой на поверхности. Индикатриса кривизны. Классификация поверхностей по виду индикатрисы.

Лекция 8. Нормальная кривизна поверхности. Главные кривизны. Формула Эйлера. Гауссова и средняя кривизны поверхности.

Лекция 9. Внутренняя геометрия поверхности. Деривационные формулы. Геодезическая кривизна и геодезические линии на поверхности.

5.2. Практические занятия. При выполнении практических работ по данному курсу студенты должны продемонстрировать умение решать задачи по дифференциальной геометрии.

Занятие 1. Вектор-функция одного скалярного аргумента. Координаты векторфункции. Предел вектор-функции в точке. Непрерывность.

Занятие 2. Производная вектор-функции. Понятие кривой. Касательная и нормальная плоскость кривой. Длина дуги пространственной кривой.

Занятие 3. Натуральные уравнения кривой. Формулы Френе. Сопровождающий трехгранник кривой. Вывод уравнений его компонент.

Занятие 4. Кривизна и кручение кривой. Геометрический смысл кривизны и кручения.

Занятие 5. Вектор-функция от двух скалярных аргументов. Поверхность. Криволинейные координаты. Частные производные вектор-функции двух скалярных аргументов. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Занятие 6. Первая квадратичная форма. Вычисление длин дуг кривых, угла между кривыми и площади куска поверхности.

Занятие 7. Вторая квадратичная форма поверхности. Кривизна кривой на поверхности. Индикатриса кривизны. Классификация поверхностей по виду индикатрисы.

Занятие 8. Нормальная кривизна поверхности. Главные кривизны. Формула Эйлера. Гауссова и средняя кривизны поверхности.

Занятие 9. Контрольная работа

6. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

Самостоятельная работа – 18 часов. По данному курсу в рамках самостоятельной работы студента предполагается решение домашних задач, подготовка индивидуального задания, текущая подготовка по темам лекционных занятий, подготовка к итоговому контролю в конце семестра.

7.ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

При преподавании дисциплины «Дифференциальная геометрия» используются как традиционные (лекция, лекция-семинар), так и инновационные технологии (использование ресурсов сети Internet и электронных учебников).

8.ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ, ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ И УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ

Оценочные средства для текущего контроля успеваемости и для промежуточной аттестации: зачетная система оценки знаний учащихся.

Текущий контроль за аудиторной и самостоятельной работой обучаемых осуществляется во время проведения аудиторных занятий посредством устного опроса, проведения самостоятельных работ или осуществления лекции в форме диалога. Промежуточный контроль осуществляется два раза в семестр в виде анализа итоговых отчетов на аттестационные вопросы.

Зачет сдается в конце семестра. Форма сдачи зачета – устная. Необходимым условием допуска на зачет является сдача индивидуального задания и контрольной работы.

В предлагаемый билет входят два вопроса: основной и дополнительный. Студент должен дать развернутый ответ на основной вопрос, и краткий – на дополнительный. Развернутый ответ предполагает полное знание теории по данной части курса, свободную ориентацию в материале, краткий ответ – основных теоретических моментов: понятий и терминологии. При выполнении указанных требований ставится отметка «зачтено».

Перечень примерных теоретических вопросов к зачету:

1. Кривые и их способы задания.

2. Длина дуги кривой. Естественная параметризация кривой.

3. Касательная кривой.

4. Соприкасающаяся плоскость кривой.

5. Сопровождающий трхгранник кривой.

6. Кривизна кривой.

7. Кручение кривой.

8. Формулы Френе. Натуральные уравнения кривой.

9. Эволюта и эвольвента плоской кривой.

10.Поверхности и их способы задания.

11.Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

12.Первая квадратичная форма поверхности и связанные с ней вопросы.

13.Вторая квадратичная форма поверхности.

14.Кривизна кривой на поверхности. Теорема Менье.

15.Индикатриса Дюпена. Соприкасающийся параболоид. Классификация точек поверхности.

16. Асимптотические линии на поверхности. Сопряжнные сети на поверхности.

17.Главные направления на поверхности. Линии кривизны.

18.Формула Эйлера. Средняя и гауссова кривизны поверхности.

19.Деривационные формулы.

20.Формулы Гаусса – Петерсона – Кодацци.

21.Теорема Бонне.

22.Геодезическая кривизна кривой на поверхности.

23.Геодезические линии на поверхности.

24.Полугеодезическая параметризация поверхности.

25.Теорема Гаусса – Бонне. Поверхности постоянной гауссовой кривизны Пример варианта контрольной работы 1. Составить уравнение касательной к линии r t, t, e, параллельной плосt 2. Найти нормальную кривизну параболоида z ax by направлении линиями u v 0 и u v 0 в их общей точке.

9.УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

ДИСЦИПЛИНЫ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

а) Перечень обязательной (основной) литературы 1. Мищенко, А.С. Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии [электронный ресурс]: учеб. пособие. – М.: Физматлит, 2004. – 152 с. (ЭБС Университетская библиотека online).

2. Смирнов, В.И. Курс высшей математика: учеб.: в 2 т. / В.И. Смирнов. – 24-е изд. – СПб.: БХВ-Петербург, Т.2. – 2008. – 843 с.

3. Математика: сб. учеб. – М: Регулярная и хаотическая динамика, 2005. – (эл.

б-ка).

б) Перечень дополнительной литературы 4. Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии: учеб. пособ. / А.С. Мищенко, Ю.П. Соловьев, А.Т. Фоменко. – М.: изд-во МГУ, 1981. – 184 с.

5. Тайманов, И.А. Лекции по дифференциальной геометрии: учеб. пособ. В 2 т.

/ И.А. Тайманов. – Новосиборск: изд-во Новосибирского ун-та, 1998.

6. Мищенко, А.С. Курс дифференциальной геометрии и топологии: учеб. / А.С.

Мищенко, А.Т. Фоменко. – М.: Факториал пресс, 2000. – 448 с.

7. Гусейн-Заде, С.М. Дифференциальная геометрия: лекции / С.М.Гусейн-Заде.

– М.: МЦН МО, 2001. – 74 с.

8. Примаков, Д.А. Геометрия и топология: учеб. пособие / Д.А. Примаков, Р.Я.

Хамидуллин. – М.: Маркет ДС, 2008. – 268 с.

9. Шаров, Г.С. Задачи по курсу дифференциальной геометрии и топологии:

сборник задач / Г.С. Шаров, А.М. Шелехов, М.А. Шестакова. – М.: Изд-во Моск. Центра непрерывного мат. обр., 2005. – 112 с. (ЭБС Университетская библиотека online).

в) Периодические издания Журнал «Изв. РАН. Серия Математическая»

Журнал «Мехатроника, автоматизация, управление»

г) Программное обеспечение и Интернет-ресурсы 1 http://www.iqlib.ru на учебных материалах для Вузов по научногуманитарной тематике, а также содержит материалы по точным и естественным наукам

10. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Дисциплина «Математический анализ» входит в теоретический цикл фундаментальных дисциплин и не требует специального лабораторного оборудования.

Материальное обеспечение дисциплины предполагает наличие учебных аудиторий для проведения лекционных и практических занятий с возможностью использования мультимедийных средств (ауд. 338а, ауд. 519).

11. РЕЙТИНГОВАЯ ОЦЕНКА ЗНАНИЙ СТУДЕНТОВ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

Проводится в соответствии с положением о балльно-рейтинговой системе оценки знаний студентов АмГУ и положением кафедры МАиМ по дисциплине.

II. ГРАФИК САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ

ПО ДИСЦИПЛИНЕ НА КАЖДЫЙ СЕМЕСТР С УКАЗАНИЕМ ЕЕ СОДЕРЖАНИЯ, ОБЪЕМА В ЧАСАХ, СРОКОВ И ФОРМ КОНТРОЛЯ

График самостоятельной учебной работы студентов по дисциплине (с указанием ее содержания, объема в часах, сроков и форм контроля) приведен в рабочей программе дисциплины.

III. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРОВЕДЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ (РЕКОМЕНДУЕМАЯ ТЕМАТИКА И ВОПРОСЫ, ФОРМЫ

ПРОВЕДЕНИЯ), САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ

Форма проведения практического занятия: а) приветствие студентов, 1 мин.;

б) определение личного состава студенческой группы, 2 мин.; в) проверка выполнения заданий для самостоятельной работы, 5 мин; г) объявление тематики и основных типовых задач, 1 мин.; д) решение задач, 60 мин.; е) выдача заданий для самостоятельной работы студентов, 5 мин.; ж) подведение итогов практического занятия, 5 мин.

Форма проведения самостоятельной работы студентов: выдача упражнений и задач по вариантам; пояснение к условиям и форме выполнения задач; самостоятельное решение; проверка решений; подведение итогов самостоятельной работы.

Тематика практических занятий, задачи для самостоятельного работы студентов приведены в рабочей программе.

Перечень типовых задач приведен в приложении А.

IV. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРОВЕДЕНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ, ДЕЛОВЫХ ИГР, РАЗБОРУ СИТУАЦИЙ И Т. П. СПИСОК

РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ (ОСНОВНОЙ И ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ)

Проведение лабораторных занятий, деловых игр, разбор ситуаций и т. п. рабочей программой дисциплины не предусмотрены.

Список рекомендуемой литературы (основной и дополнительной) приведен в рабочей программе.

V. КРАТКИЙ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ (ПО КАЖДОЙ ТЕМЕ) ИЛИ ПЛАНКОНСПЕКТ

Используемые обозначения: Т. – тема.

Лекция №1 (Т1, Т2): Элементарная кривая. Простая кривая. Общая кривая. Гладкая кривая класса Ск. Способы аналитического задания кривой. Векторная функция скалярного аргумента. Длина дуги кривой. Естественная параметризация кривой. Касательная кривой.

Лекция №2 (Т2, Т3): Соприкасающаяся плоскость кривой. Соприкосновение кривых. Огибающая семейства кривых, зависящих от параметра. Репер Френе. Кривизна кривой.

Лекция №3 (Т3): Кручение кривой. Формулы Френе. Натуральные уравнения кривой. Эволюта и эвольвента плоских кривых.

Лекция №4 (Т4, Т5): Элементарная поверхность. Простая поверхность. Общая поверхность. Гладкая поверхность класса Ск. Способы задания поверхности. Координатные линии на поверхности. Касательная плоскость поверхности. Нормаль к поверхности. Соприкасающийся параболоид. Классификация точек поверхности.

Лекция №5 (Т6, Т7): Первая квадратичная форма поверхности. Длина кривой на поверхности. Угол между кривыми на поверхности. Площадь поверхности. Изометричные поверхности. Изгибание поверхностей. Вторая квадратичная форма поверхности.

Лекция №6 (Т7): Кривизна кривой на поверхности. Теорема Менье. Индикатриса Дюпена. Асимптотические линии. Сопряжнные сети на поверхности. Главные направления на поверхности. Линии кривизны. Формула Эйлера. Средняя и гауссова кривизна поверхности.

Лекция №7 (Т8, Т9): Деривационные формулы. Формулы Гаусса – Петерсона – Кодацци. Теорема Бонне. Геодезическая кривизна кривой на поверхности.

Лекция №8 ( Т9): Геодезические линии на поверхности. Полугеодезическая параметризация на поверхности. Теорема Гаусса – Бонне. Поверхности постоянной гауссовой кривизны.

Лекция №9 ( Т10): Проективное пространство. Аффинная карта проективного пространства. Модели проективных пространств малой размерности. Метрические группы.

VI. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КУРСОВЫХ

ПРОЕКТОВ (РАБОТ) Курсовой проект (работа) рабочей программой дисциплины не предусмотрен.

VII. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ (ПРАКТИКУМОВ)

Лабораторные занятия рабочей программой дисциплины не предусмотрены.

VIII. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ПРАКТИЧЕСКИМ (СЕМИНАРСКИМ) ЗАНЯТИЯМ

Для выполнения практических заданий студент должен изучить соответствующий теоретический материал, разобрать примеры решения типовых задач, самостоятельно решить предложенные упражнения и теоретические задания.

IX. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ДОМАШНИХ

ЗАДАНИЙ И КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Для выполнения домашних заданий и контрольных работ необходимо изучить лекцию и соответствующую дополнительную литературу, разобрать решения задач на практическом занятии.

При выполнении контрольных работ конспект лекций и примеры решения задач не использовать.

X. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ПРИМЕНЕНИЮ СОВРЕМЕННЫХ

ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ ДЛЯ ПРЕПОДАВАНИЯ УЧЕБНОЙ

ДИСЦИПЛИНЫ (В Т. Ч. РАЗРАБОТАННЫЕ ВЕДУЩИМИ ПРЕПОДАВАТЕЛЯМИ ФИЛИАЛА)

Применение современных информационных технологий для преподавания данной учебной дисциплины не требуется.

XI. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПРОФЕССОРСКО - ПРЕПОДАВАТЕЛЬСКОМУ СОСТАВУ ПО ОРГАНИЗАЦИИ МЕЖСЕССИОННОГО И ЭКЗАМЕНАЦИОННОГО КОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ СТУДЕНТОВ (МАТЕРИАЛЫ ПО

КОНТРОЛЮ КАЧЕСТВА ОБРАЗОВАНИЯ)

Преподаватель готовит контролирующие материалы в виде упражнений, математического диктанта, расчетно-графических работ и в другой форме. Во время проведения контроля знаний студентов преподаватель объясняет студентам правила работы с контролирующими материалами и выдат эти материалы студентам. После истечения установленного времени контролирующие материалы собираются и обрабатываются.

XII. КОМПЛЕКТЫ ЗАДАНИЙ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ, ДОМАШНИХ ЗАДАНИЙ

Задания и примеры решения типовых задач для практических работ приведены в приложении Б, задачи для домашней работы – в учебно-методической карте рабочей программы.

ХIII. ФОНД КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ ДЛЯ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА ЗНАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

Контрольные задания для оценки качества знаний по дисциплине составляются в соответствии с перечнем типовых задач, приведнных в приложении А.

Примеры вариантов контрольных работ:

зациями одной и той же линии.

2. Составьте уравнения касательной прямой, главной нормали и бинормали к криx t 2t, 3. Найдите кривизну и кручение кривой, заданной параметрическими уравненияx cos 3 t, 1. Докажите, что образ кривой, заданной векторной функцией r r0 tr1 t 2 r2, где t R, r0, r1, r2 - постоянные векторы, есть парабола, если векторы r1 и r2 не коллинеарны.

2. Составьте уравнения соприкасающейся плоскости, нормальной плоскости и 3. Составьте натуральные уравнения кривой, заданной параметрическими уравнеx a cht, 4. Найти площадь четырхугольника на поверхности y u sin v, ограниченного 1. Постройте образ кривой :

2. Найдите тройку базисных векторов к кривой, заданной уравнениями y sin 3t, 3. Доказать, что кривая : y, плоская.

4. Найдите угол между линиями v 2u и v 2u на поверхности, имеющей первую квадратичную форму I du 2 dv 1. Докажите, что векторы кривой, заданной уравнениями:

х t, y t 2, z t 3 в точке О(0,0,0) совпадают с единичными векторами координатных осей.

3. Найдите кривизну и кручение кривой : y 3t 2, 4. Найти угол между координатными линиями на поверхности 1. Составьте уравнения касательной прямой, главной нормали и бинормали к криx cos 3t, Найдите тройку базисных векторов к кривой, заданной уравнениями : y 1 cos t, в произвольной точке.

3. Доказать, что кривая является плоской тогда и только тогда, когда кручение е в каждой точке равно нулю (теорема о геометрическом смысле кручения).

4. Найти нормальную кривизну линии u v 3 0 в точке A(u 1, v 1) поверхноx u, 1. Докажите, что образ кривой, заданной векторной функцией r r0 cht r1 sht r2, где t R, r0, r1, r2 - постоянные векторы, есть ветвь гиперболы, если векторы r1 и r2 не коллинеарны.

2. Составьте уравнения соприкасающейся плоскости, нормальной плоскости и спрямляющей плоскости к кривой : y t, в точке t0=1.

Какая линия получается в пересечении касательных с плоскостью XOY.

3. Доказать, что кривая является прямой тогда и только тогда, когда кривизна е в каждой точке равна нулю (геометрический смысл кривизны).

4. Доказать, что каждая точка сферы является эллиптической.

1. Гладкая кривая задана в естественной параметризации r r (s), r (s) 0. Докажите, что векторы r (s), r (s) и r (s) r (s) образуют прямоугольный базис в каждой точке кривой. Справедливо ли это утверждение, если кривая задана произвольной параметризацией?

2. Найдите кривизну и кручение кривой : y 1 cos t, в произвольной точке.

3. Найдите длину дуги кривой 4. Вычислить единичный вектор нормали в точке М(1, 3, 4) поверхности

XIV. КОМПЛЕКТЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ БИЛЕТОВ ДЛЯ КАЖДОГО

ИЗ ПРЕДУСМОТРЕННЫХ ЭКЗАМЕНОВ ПО ДИСЦИПЛИНЕ И КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЗАЧЕТУ

Комплекты экзаменационных билетов составляются на основе перечня вопросов, приведенного в рабочей программе, по следующей форме.

«» 200г.

Заведующий кафедрой Утверждаю:

1. Сопровождающий трхгранник кривой.

2. Вторая квадратичная форма поверхности.

3. Вычислить кривизну кривой, заданной уравнениями y ln t, в точке (2,0,1).

XV. КАРТА ОБЕСПЕЧЕННОСТИ ДИСЦИПЛИНЫ КАДРАМИ ПРОФЕССОРСКО-ПРЕПОДАВАТЕЛЬСКОГО СОСТАВА

Дисциплину в полном объме ведт:

1. Фамилия, имя, отчество: Сельвинский Владимир Владимирович 2. Учное звание: доцент 3. Учная степень: канд. физ.-мат. наук

ПРИЛОЖЕНИЕ А

1. Переход от одного способа задания кривой к другому.

2. Составление уравнений кривой по определяющим е условиям.

3. Вычисление длины дуги при различных способах задания кривой.

4. Переход от произвольной параметризации кривой к естественной.

5. Составление уравнений элементов трхгранника Френе.

6. Нахождение базисных векторов трхгранника Френе.

7. Вычисление кривизны произвольной кривой для различных случаев задания этой кривой.

8. Вычисление радиуса кривизны кривой.

9. Вычисление кручения произвольной кривой для различных случаев задания этой кривой.

10. Составление натуральных уравнений кривой.

11. Составление уравнений поверхности.

12. Составление координатных линий на поверхности.

13. Составление уравнений касательной плоскости и нормали к поверхности.

14. Нахождение первой квадратичной формы поверхности.

15. Вычисление длины дуги на поверхности.

16. Вычисление угла между кривыми на поверхности.

17. Вычисление компактной области на поверхности.

18. Вычисление коэффициентов второй квадратичной формы для различных способов задания поверхности.

19. Вычисление нормальных кривизн поверхности.

20. Нахождение главных направлений поверхности в данной точке.

21. Вычисление главных нормальных кривизн поверхности.

22. Вычисление полной и средней кривизн поверхности.

23. Определение типа точки на поверхности.

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

Задача 1.Кривая задана пересечением цилиндрической поверхности x 2 y 2 1 с плоскостью x y z 1. Написать параметрические уравнения кривой.

Решение. Перейдм от неявного задания кривой к заданию параметричеx y z скими уравнениями. Введм параметр t, положив x cos t, y sin t, где 0 t.Тогда z 1 cos t sin t. Параметрические уравнения кривой имеют вид:

Задача 2. Показать, что кривая x 1 cos t, y sin t, z 2 sin(t / 2), 2 t 2 гладкая и лежит на сфере с центром в начале координат и радиусом 2 и на цилиндрической поверхности.

Решение. Найдм первые производные функций, определяющих кривую:

x' sin t, y' cos t, z' cos(t / 2). В промежутке 2 t 2 выполняется условие x' 2 y' 2 z' 2 1 cos 2 t / 2 0. Следовательно, кривая гладкая.

Перейдм от параметрических уравнений кривой к неявному е заданию, исключив параметр t из уравнений, определяющих кривую.

Имеем: (x-1)2 = cos2t, y2 = sin2t, z2 = 4sin2t/2.

Складывая левые и правые части первых двух уравнений системы, получим уравнение цилиндрической поверхности: (x-1)2+y2=1.

Из данных параметрических уравнений имеем следующую систему:

x2 = 1+2 cos t+cos2 t, y2 = sin2 t, z2 = 4 sin2 t. Отсюда получаем x2 + y2 + z2 = 4.

Таким образом, данная кривая лежит на сфере и цилиндрической поверхности.

Задача 3. Точка М движется в пространстве так, что е проекция на плоскость OXY равномерно движется по окружности x2 +y2 = a2 c угловой скоростью, а проекция на ось Оz движется равномерно со скоростью v. Кривая, которую описывает точка М называется винтовой линией. Составьте параметрические уравнения винтовой линии.

Решение. Пусть точка М (x, y, z ) – произвольная точка винтовой линии. Примем за параметр время t и выразим координаты точки М через t. Допустим, что в начальный момент t = 0 точка М имела координаты М0=(a, 0, 0). Точка М1 (x, y, 0), проекция точки М на плоскость OXY, движется равномерно по окружности с угловой скоростью, значит, угол ОМ0М1 = t. Из прямоугольного треугольника ОМ0М1 запишем x = a cos t, y = a sin t. Так как проекция точки на ось Оz движется равномерно со скоростью v, то z = v t.

Параметрические уравнения винтовой линии имеют вид: x = a cos t, y = a sin t, z = vt.

Задача 4. Запишите в естественной параметризации уравнения кривой, заданной уравнениями: x = et cos t, y = et sin t, z = et.

Решение. Выразим натуральный параметр s через произвольный t.

Векторное уравнение данной кривой имеет вид r e t cos t i e t sin t j e t k.

Найдм производную r (t ) :

Тогда Примем за начальную точку t0 = 0 и вычислим длину переменной дуги s(t):

Данные уравнения в естественной параметризации запишутся в виде:

Тема: Касательная прямая. Сопровождающий трхгранник кривой.

Задача 1. Написать уравнения касательной прямой к линии, заданной уравнениями Задача 2. Написать уравнения касательной прямой к винтовой линии y a sin t, в произвольной точке t и угол, образуемый ею с осью ОZ.

Задача 3. Написать уравнения касательной прямой к линии, заданной уравнениями Задача 4. Составить уравнения элементов сопровождающего трхгранника кривой, заx 2t, данной уравнениями y ln t, в точке t 1.

Задача 5. Найти базисные векторы трхгранника Френе к кривой, заданной уравнеx y 2, Задача 1. Доказать, что кривизна винтовой линии постоянна.

Задача 2. Вычислить кривизну кривой, заданной уравнениями y ln t, в точке ( 2,0,1 ).

Задача 3. Найти радиус кривизны эллипса : в одной из его вершин.

Задача 4. Найти кривизну кривой, заданной уравнениями y 1 cos t, в произt вольной точке.

Задача 4. Доказать, что линия является прямой тогда и только тогда, когда кривизна е в каждой точке равна нулю (теорема о геометрическом смысле кривизны).

Задача 5. Вычислить кручение винтовой линии.

Задача 6. Вычислить кручение кривой r (t ) e t i e t j 2tk и точке t0=2.

Задача 7. Доказать, что кривая r (t ) (t 2 1)i (t 2 1) j t 3 k плоская.

Задача 8. Составить натуральные уравнения кривой Задача 1. Образующие цилиндрической поверхности параллельны вектору а (1,3,2), а направляющей является линия r (u) cos u i sin u j. Написать параметрические уравнения поверхности и неявное уравнение поверхности.

Задача 2. Написать уравнения координатных линий на прямом геликоиде Задача 3. Показать, что функция r (u) cos u sin v i sin u sin v j cos v k, (0 u 2 ;0 v ) является параметризацией сферы радиуса R=1, однако она не является гладкой. Изменить область определения так, чтобы параметризация сферы оказалась С гладкой.

Задача 4. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к следующим поверхностям в указанных точках:

Задача 5. Показать, что нормали поверхности x (u) cos v, y (u) sin v, z (u) пересекают ось Оz.

Задача 6. Вычислить единичный вектор нормали в точке М(1, 3, 4) поверхности Задача 1. Доказать, что координатная сеть на поверхности ортогональна тогда и только тогда, когда коэффициент F первой квадратичной формы поверхности равен нулю.

Задача 2. Найти первую квадратичную форму кругового цилиндра.

Задача 3. Дана поверхность. y u 2 v 2 Вычислить длину дуги линии : v a u меz u v жду точками е пересечения с линиями u 1, u 2.

Задача 4. Найти угол между координатными линиями на поверхности Задача 5. Найти площадь четырхугольника на поверхности y u sin v, ограниченноz a v и связанные с ней вопросы.адача 1. Доказать, что если вторая квадратичная форма поверхности z f ( x, y) тождественно равна нулю, то поверхность является плоскостью Задача 2. Найти вторую квадратичную форму прямого геликоида.

Задача 3. Найти нормальную кривизну линии u v 3 0 в точке A(u 1, v 1) поверхx u, Задача 4. Найти главные направления прямого геликоида.

Задача 5. Вычислить главные кривизны поверхности Задача 1. Доказать, что плоскость является поверхностью постоянной нулевой полной кривизны.

Задача 2. Записать формулы для вычисления полной и средней кривизн поверхности, заданной явным уравнением z=f(x,y).

Задача 3. Вычислить полную и среднюю кривизны эллиптического параболоида Задача 4. Доказать, что каждая точка сферы является эллиптической.

СОДЕРЖАНИЕ

1.3. Перечень основных умений и навыков, приобретаемых при изучении 1.4. Структура и содержание дисциплины «Дифференциальная геометрия» 1.8. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебнометодическое обеспечение самостоятельной работы студентов 1.9. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины II. График самостоятельной учебной работы студентов по дисциплине на каждый семестр с указанием ее содержания, объема в часах, сроков и форм контроля III. Методические рекомендации по проведению семинарских и практических IV. Методические рекомендации по проведению лабораторных занятий, деловых игр, разбору ситуаций и т. п. список рекомендуемой литературы (основной и V. Краткий конспект лекций (по каждой теме) или план-конспект VI. Методические указания по выполнению курсовых проектов (работ) VII. Методические указания по выполнению лабораторных работ (практикумов) VIII. Методические указания к практическим (семинарским) занятиям IX. Методические указания по выполнению домашних заданий и контрольных X. Методические указания по применению современных информационных технологий для преподавания учебной дисциплины (в т. ч. разработанные ведущими преподавателями филиала) XI. Методические указания профессорско - преподавательскому составу по организации межсессионного и экзаменационного контроля знаний студентов XII. Комплекты заданий для лабораторных работ, контрольных работ, домашних XIV. Комплекты экзаменационных билетов для каждого из предусмотренных экзаменов по дисциплине и контрольные вопросы к зачету

 


Похожие работы:

«Направление подготовки: 010300.68 Фундаментальная информатика и информационные технологии (очная, очно-заочная) Объектами профессиональной деятельности магистра фундаментальной информатики и информационных технологий являются научно-исследовательские и опытноконструкторские проекты, математические, информационные, имитационные модели систем и процессов; программное и информационное обеспечение компьютерных средств, информационных систем; языки программирования, языки описания информационных...»

«Отечественный и зарубежный опыт 5. Заключение Вышеизложенное позволяет сформулировать следующие основные выводы. • Использование коллекций ЦОР и ЭОР нового поколения на базе внедрения современных информационных технологий в сфере образовательных услуг является одним из главных показателей развития информационного общества в нашей стране, а их разработка – коренной проблемой информатизации российского образования. • Коллекции ЦОР и ЭОР нового поколения – важный инструмент для повышения качества...»

«Московская городская педагогическая гимназия-лаборатория №1505 Курсы по выбору – одна из форм организации учебно-познавательной и учебноисследовательской деятельности гимназистов Сборник авторских программ педагогического коллектива гимназии Под ред. канд. пед. наук, ст.н.с. Кучер Т.В. Москва, 2005 г. Настоящий сборник представляет собой пятый выпуск, подготовленный коллективом Московской городской педагогической гимназии-лаборатории №1505 при поддержке. Его содержание – продолжение реализации...»

«АНАЛИЗ РАБОТЫ ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ МОСКОВСКАЯ МЕЖДУНАРОДНАЯ ГИМНАЗИЯ ЗА 2011/2012 УЧЕБНЫЙ ГОД ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ КАДРЫ ГИМНАЗИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ КАДРЫ ГИМНАЗИИ В 2011/2012 учебном году в педагогический состав гимназии входило 122 человека. С целью улучшения научно-методического обеспечения учебно-воспитательного процесса в гимназии работали следующие кафедры: · Кафедра иностранного языка (зав.кафедрой – Сальникова Л.Т.) - 23 человека (19%). Из них...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тобольский государственный педагогический институт им. Д.И.Менделеева Кафедра информатики и методики преподавания информатики УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ПО ДИСЦИПЛИНЕ КОМПЬЮТЕРНЫЕ НАУКИ направление 010200.62 – Математика. Прикладная математика специализация Компьютерная математика УМК составила: ст. преподаватель Оленькова...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ НОВОСИБИРСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ, НГУ) _ Кафедра общей информатики Анатолий Михайлович Полковников Разработка средств интеллектуальной поддержки пользователей медицинской информационной системы МАГИСТЕРСКАЯ ДИССЕРТАЦИЯ по направлению высшего профессионального...»

«МОСКОВСКИЙ ГОРОДСКОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Фундаментальная библиотека Отдел информационного обслуживания Бюллетень новых поступлений в Фундаментальную библиотеку март 2014 г. Москва 2014 1 Составители: Т.А. Сенченко В бюллетень вошла учебная, учебно-методическая, научная и художественная литература, поступившая в Фундаментальную библиотеку в марте 2014 г. Материал расположен в систематическом порядке по отраслям знаний, внутри разделов – в алфавитнохронологическом. Указано распределение по...»

«И.Ф. Астахова А.П. Толстобров В.М. Мельников В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ УДК 004.655.3(075.8) ББК 32.973.26-018.1я73 Оглавление А91 Рецензенты: Введение 8 доцент кафедры АСИТ Московского государственного университета Н.Д. Васюкова; Воронежское научно-производственное предприятие РЕЛЭКС; 1. Основные понятия и определения 10 кафедра информатики и МПМ Воронежского 1.1. Основные понятия реляционных баз данных государственного педагогического университета; 1.2. Отличие SQL от процедурных языков...»

«Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики УТВЕРЖДАЮ Проректор НИ _Бурдин В.А. подпись, Фамилия И.О. _31_ _августа 2011 г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ИСТОРИЯ И ФИЛОСОФИЯ НАУКИ по учебной дисциплине наименование учебной дисциплины (полное, сокращенное) 05.00.00 - Технические науки Научная отрасль 05.12.04 - Радиотехника, в т.ч. системы и устройства телеНаучная специальность видения; 05.12.07 -...»

«Дайджест публикаций на сайтах органов государственного управления в области информатизации стран СНГ Период формирования отчета: 01.04.2014 – 30.04.2014 Содержание Республика Беларусь 1. 1.1. Министр связи и информатизации принял участие в заседании Совета Палаты представителей Национального собрания Республики Беларусь. Дата новости: 10.04.2014. 1.2. Форум ТИБО-2014 открыт приветственным словом Премьер-министра Республики Беларусь Мясниковича М.В. Дата новости: 21.04.2014. 1.3. Форум ТИБО-2014...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Кемеровский государственный университет в г. Анжеро-Судженске 1 марта 2013 г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по дисциплине Отечественная история (ГСЭ.Ф.3) для специальности 080116.65 Математические методы в экономике факультет информатики, экономики и математики курс: 1 экзамен: 1 семестр семестр: 1 лекции: 36 часов практические занятия: 18...»

«ВЕСТНИК МОСКОВСКОГО ГОРОДСКОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА НаучНый журНал СЕРИя ЕстЕствЕННыЕ Науки № 2 (10) Издается с 2008 года Выходит 2 раза в год Москва 2012 VESTNIK MOSCOW CITY TEACHERS TRAINING UNIVERSITY Scientific Journal natural ScienceS № 2 (10) Published since 2008 Appears Twice a Year Moscow 2012 Редакционный совет: Кутузов А.Г. ректор ГБОУ ВПО МГПУ, председатель доктор педагогических наук, профессор Рябов В.В. президент ГБОУ ВПО МГПУ, заместитель председателя доктор исторических...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Амурский государственный университет Кафедра математического анализа и моделирования УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ В ЭКОНОМИКЕ Основной образовательной программы по направлению подготовки 010400.62 – Прикладная математика и информатика Благовещенск 2012 УМКД разработан канд. физ.-мат. наук, доцентом...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ ФАКУЛЬТЕТ БИЗНЕС-ИНФОРМАТИКИ ОТДЕЛЕНИЕ ПРОГРАММНОЙ ИНЖЕНЕРИИ УТВЕРЖДЕНО председатель комиссии по самообследованию ООП Авдошин С.М. 15 ноября 2013 г. протокол № ОТЧЕТ по результатам самообследования основной профессиональной образовательной программы высшего профессионального образования направления 231000.62 Программная...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Пятигорский государственный лингвистический университет УНИВЕРСИТЕТСКИЕ ЧТЕНИЯ – 2013 10-11 января 2013 г. ПРОГРАММА Пятигорск 2013 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Пятигорский государственный лингвистический университет ПРОГРАММА УНИВЕРСИТЕТСКИЕ ЧТЕНИЯ – 2013 10-11 января 2013 г. Пятигорск 2013 1 ПРОГРАММА РАБОТЫ УНИВЕРСИТЕТСКИХ ЧТЕНИЙ – 2013 900 – 10 января: Регистрация участников главный холл университета 1000 – I. Открытие Университетских чтений –...»

«МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ НОВОСИБИРСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ, НГУ) Кафедра систем информатики Иван Валентинович Гурлев Пространственный анализ амплитуд отраженных продольных волн в азимутально-анизотропных средах МАГИСТЕРСКАЯ ДИССЕРТАЦИЯ по направлению высшего профессионального образования 230100.68 ИНФОРМАТИКА И...»

«СБОРНИК РАБОЧИХ ПРОГРАММ Профиль бакалавриата : Математическое моделирование Содержание Страница Б.1.1 Иностранный язык 2 Б.1.2 История 18 Б.1.3 Философия 36 Б.1.4 Экономика 47 Б.1.5 Социология 57 Б.1.6 Культурология 71 Б.1.7 Правоведение 82 Б.1.8.1 Политология 90 Б.1.8.2 Мировые цивилизации, философии и культуры 105 Б.2.1 Алгебра и геометрия Б.2.2 Математический анализ Б.2.3 Комплексный анализ Б.2.4 Функциональный анализ Б.2.5, Б.2.12, Б.2.13.2 Физика Б.2.6 Основы информатики Б.2.7 Архитектура...»

«М. В. Руденко СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СОВРЕМЕННЫХ СРЕДСТВ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ С целью выбора инструмента для создания эффективного средства сопровождения учебного процесса по дисциплинам, включающим разделы информационные процессы, проводится анализ доступных программных средств. Для этого введены оригинальные шкалы, позволяющие сопоставить различные прикладные системы. Сделано аргументированное заключение о целесообразности использования для сформулированной цели...»

«Секция 2 Дистанционное обучение и Интернет Topic 2 Distant Learning and Internet New Computer Technology in Education Troitsk, June, 29-30, 2004 XV International Technology Institute TECHNOLOGICAL BASIS OF EDUCATION IN MODERN UNIVERSITY Andreev A. (andreev@openet.ru), Lednev V. (hsfm@mifp.ru), Rubin Y. (yrubin@mifp.ru) Moscow international institute of econometrics, informatics, finance and law Abstract The article is devoted to the structure, contents and organization of education with use of...»

«И.М.Лифиц СТАНДАРТИЗАЦИЯ, МЕТРОЛОГИЯ И СЕРТИФИКАЦИЯ УЧЕБНИК Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальностям Коммерция, Маркетинг, Товароведение и экспертиза товаров 5-е издание, переработанное и дополненное МОСКВА • ЮРАЙТ • 2005 УДК 389 ББК 30.10ц; 65.2/4-80я73 Л64 Рецензенты: М.А. Николаева — доктор технических наук, профессор, действительный член Международной академии информатизации: Г.Н....»














 
© 2014 www.kniga.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Книги, пособия, учебники, издания, публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.