WWW.KNIGA.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Книги, пособия, учебники, издания, публикации

 

Министерство образования и науки РФ

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

«Тобольская государственная социально-педагогическая академия им.

Д.И. Менделеева»

Физико-математический факультет

Кафедра информатики, теории и методики обучения информатики

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ПО

ДИСЦИПЛИНЕ «МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ»

Направление «010200.62 – Математика. Прикладная математика»

Степень (квалификация) – бакалавр математики Составитель: к.п.н., доцент кафедры О.С. Зайцева Тобольск-2011 Министерство образования и науки РФ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тобольская государственная социально-педагогическая академия им.

Д.И. Менделеева»

Физико-математический факультет Кафедра информатики, теории и методики обучения информатики Утверждена на заседании кафедры №2 от 22.09.2011 г.

Зав. кафедрой _ Зайцева О.С.

ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Направление «010200.62 – Математика. Прикладная математика»

Степень (квалификация) – бакалавр математики Программу составила:

к.п.н. О.С. Зайцева Тобольск – Программа дисциплины «Методы вычислений» федерального компонента цикла СД составлена в соответствии с государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по направлению ««010200.62 – Математика. Прикладная математика».

I. Организационно-методический раздел 1. Цель курса.

Ознакомление, расширение и закрепление у студентов знаний и умений, направленных на формирование профессиональной компетентности будущего специалиста; овладение теоретическими основами и практическими навыками использования численных (приближенных) методов при решении научнопрактических задач.

2. Задачи курса.

Сформировать у студентов в систематизированной форме понятие о приближенных (численных) методах решения прикладных задач, методах математического моделирования, источниках ошибок и методах оценки точности результатов.




3. Место курса в профессиональной подготовке выпускника.

Дисциплина входит в цикл специальных дисциплин федерального компонента учебного плана подготовки бакалавра по направлению «010200.62 – Математика. Прикладная математика».

Дисциплина базируется на материале, излагаемом в курсах «Компьютерные науки», «Алгебра», «Компьютерная алгебра», «Математический анализ», «Технология программирования».

4. Требования к уровню освоения содержания дисциплины.

Обучаемый должен знать:

основы теории погрешностей и теории приближений;

методы численного решения дифференциальных уравнений;

методы решения нелинейных уравнений;

методы решения систем алгебраических уравнений;

методы интерполирования;

методы численного интегрирования;

методы решения дифференциальных и интегральных уравнений.

Обучаемый должен уметь:

численно решать уравнения, применяя для этого следствия из теоремы о сжимающих отображениях;

использовать основные понятия теории среднеквадратичных приближений для построения элемента наилучшего приближения;

интерполировать и оценить возникающую погрешность;

применять формулы численного дифференцирования и интегрирования;

применять методы численного решения дифференциальных уравнений.

Обучаемый должен владеть: навыками использования аппарата численных методов и программные средства (математические пакеты, табличные процессоры, интегрированные среды Turbo Pascal, Delphi) при решении практических задач.

II. Объем дисциплины и виды учебной работы обучающих программ и конспектирование контрольных работ, письменных и устных опросов.

III. Содержание курса 1. Разделы курса.

Численные методы анализа.

Решение нелинейных уравнений, систем алгебраических уравнений.

II.

III. Численные методы решения дифференциальных уравнений. Решение интегральных уравнений.

2. Темы и краткое содержание.

1. Основы теории погрешностей (9 ч.).

Источники погрешностей. Структура полной погрешности. Абсолютная и относительная погрешности. Верные значащие цифры в узком и широком смысле. Правило округления. Оценка погрешностей арифметических действий.

Оценка погрешностей вычислений, возникающих в ЭВМ.

2. Интерполирование функций (17 ч.).

Постановка задачи интерполяции. Задачи, приводящие к аппроксимации одной функции другой. Алгебраический интерполяционный многочлен:

единственность, форма Лагранжа, оценка погрешности интерполирования.

Разделенные разности. Первый и второй многочлены Ньютона. Связь разделенной разности и производной. Практическая оценка погрешности интерполирования. Обратное интерполирование. Практические схемы интерполирования на ЭВМ. Экстраполирование и субтабулирование.

Минимизация погрешности многочленной интерполяции путем специального выбора узлов интерполяции. Многочлен Чебышева.

3. Приближение функций (20 ч.).

Понятия невязки, суммы квадратов уклонений. Теорема о существовании элемента наилучшего приближения в линейном нормированном пространстве.





Тригонометрическая интерполяция. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Чебышевский альтернанс. Наилучшее равномерное приближение.

4. Численное интегрирование (22 ч.).

Постановка задачи приближенного вычисления определенного интеграла.

Оценки погрешности квадратуры. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.

Формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона. Ортогональные многочлены.

Процесс ортогонализации Шмидта. Запись многочлена в виде разложения по ортогональным многочленам. Квадратурные формулы Гаусса, их построение, положительность коэффициентов, сходимость. Многочлены Чебышева, Лежандра. Правило Рунге практической оценки погрешности. Интегрирование быстро осциллирующих функций. Вычисления интегралов в нерегулярных случаях.

5. Численное дифференцирование (20 ч.) Постановка задачи численного дифференцирования. Численное дифференцирование на основе интерполяционных многочленов. Оценка погрешности численного дифференцирования в точке, не лежащей внутри отрезка интерполирования. Численное вычисление первой производной во внутреннем узле таблицы. Общий случай вычисления производной произвольного порядка.

Неустранимая погрешность формул численного дифференцирования.

6. Решение нелинейных уравнений с одной переменной (18 ч.).

Постановка задачи численного нахождения корней уравнения. Способы отделения корней: графический и аналитический. Методы уточнения корней:

половинного деления, хорд, касательных, комбинированный. Метод простой итерации. Теорема о сходимости итерационной последовательности, необходимое и достаточное условие сходимости.

7. Численные методы решения систем линейных и нелинейных уравнений (22 ч.).

Точные и приближенные методы решения систем линейных уравнений.

Метод Гаусса. Понятие невязки. Полные метрические пространства. Теорема о сжимающих отображениях в полном метрическом пространстве и ее следствия.

Метод итераций для симметричных положительно определенных матриц.

Оптимизация параметра процесса. Метод Зейделя. Оценка погрешности решения системы линейных алгебраических уравнений. Метод наискорейшего градиентного спуска. Решение систем нелинейных уравнений методами итераций, Ньютона.

8. Методы решения дифференциальных уравнений (22 ч.).

Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод разложения в ряд Тейлора решения задачи Коши. Метод Эйлера. Модифицированные методы Эйлера. Метод Рунге—Кутта.

Конечно-разностные методы. Метод неопределенных коэффициентов.

Исследование свойств конечно-разностных методов на модельных задачах.

9. Методы решения краевых задач (18 ч.).

Аппроксимация, устойчивость, сходимость. Аппроксимация, устойчивость и сходимость для простейшей краевой задачи. Алгоритмы решения краевых задач для систем уравнений первого порядка (метод стрельбы). Решение краевой сеточной задачи (метод прогонки).

10. Методы решения уравнений в частных производных (18 ч.).

Метод конечных элементов. Классификация уравнений с частными производными. Простейшие разностные схемы для уравнения теплопроводности с одной пространственной переменной. Явная и неявная схемы. Схемы с весами.

Схема со вторым порядком аппроксимации. Разностная схема для уравнения Пуассона в прямоугольнике. Методы решения сеточной задачи Дирихле для уравнения Пуассона.

11. Методы решения интегральных уравнений (16 ч.).

Численные методы решения интегральных уравнений второго порядка.

Метод регуляризации решения интегральных уравнений первого порядка.

3. Перечень примерных контрольных вопросов и заданий для самостоятельной работы.

1. Абсолютная и относительная погрешности приближенного числа, границы погрешностей.

2. Правила округления и погрешность округления.

3. Представление в ЭВМ чисел с плавающей точкой; погрешность машинного округления.

4. Оптимизация распределения узлов составной квадратурной формулы трапеций.

5. Интегрирование быстроосциллирующих функций и функций с особенностями.

6. Точные методы решения систем линейных уравнений: матричный метод, метод Крамера.

7. Вычисление коэффициентов интерполяционного алгебраического многочлена с помощью решения системы линейных уравнений.

8. Решение задачи Коши для дифференциального уравнения 1-ого порядка с помощью одного из изученных способов численного решения.

9. Численное решение краевой задачи для дифференциального уравнения 2-ого порядка.

10. Численное решение линейного уравнения в частных производных с использованием разностных схем.

4. Примерная тематика рефератов, курсовых работ.

1. Интерполяционный многочлен Чебышева.

2. Многочлены Берштейна.

3. Квадратурная формула Эйлера.

4. Приближенное вычисление двумерных интегралов.

5. Пример расходящегося интерполяционного процесса.

6. Сходящийся интерполяционный процесс Фейера.

7. Ортогональная система Хаара.

8. Кубические сплайны.

9. Метод сеток.

5. Примерный перечень вопросов к экзамену по всему курсу.

1. Погрешность. Виды погрешностей. Правила записи приближенных чисел.

2. Интерполяционный многочлен Лагранжа.

3. Конечные разности. Интерполяционные многочлены Ньютона.

4. Минимизация погрешности многочленной интерполяции путем специального выбора узлов интерполяции.

5. Наилучшее приближение.

6. Тригонометрическая интерполяция.

7. Постановка задачи приближенного вычисления определенного интеграла.

Формула Ньютона-Котеса. Формула трапеций.

8. Формула Симпсона.

9. Формулы прямоугольников. Учет погрешностей квадратурных формул методом двойного пересчета.

10. Вычисление интегралов по формуле Гаусса.

11. Постановка задачи численного дифференцирования. Численное дифференцирование на основе интерполяционного многочлена Лагранжа.

12. Методы отделения корней. Методы уточнения корней.

13. Решения уравнения методом простой итераций. Оценка погрешности.

14. Полные метрические пространства. Теорема о сжимающих отображениях в полном метрическом пространстве (теорема Банаха).

15. Метод итераций решения систем линейных алгебраических уравнений.

16. Решения систем линейных алгебраических уравнений методом Зейделя.

17. Решение систем нелинейных уравнений.

18. Метод Эйлера. Модифицированные методы Эйлера.

19. Метод Рунге-Кутта.

20..Конечно-разностные методы.

21. Аппроксимация, устойчивость и сходимость для простейшей краевой задачи.

22. Алгоритмы решения краевых задач для систем уравнений первого порядка.

23. Задача Дирихле. Уравнение Лапласа в конечных разностях.

III. Распределение часов курса по темам и видам работ Раздел 1.Численные методы анализа.

Раздел 2. Решение нелинейных уравнений, систем алгебраических Решение нелинейных уравнений с одной переменной.

Численные методы решение систем линейных и нелинейных уравнений.

Раздел 3. Численные методы решения дифференциальных уравнений.

Решение интегральных уравнений.

8 Методы решения дифференциальных уравнений.

10 Методы решения уравнений в частных производных.

11 Методы решения интегральных уравнений.

IV. Форма итогового контроля Зачет (6 семестр) Экзамен (7 семестр) V. Учебно-методическое обеспечение курса Рекомендуемая литература Основная:

1. Волков Е.А. Численные методы: Учеб. пособие. – Спб: Лань, 2008. – 256 с.

2. Киреев В.И. Численные методы в примерах и задачах: Учеб пособие. – М.:

Высш. шк., 2006. – 480 с.

3. Лапчик М.П. Численные методы: Учеб. пособие для студ. вузов / М.П. Лапчик, М.И. Рагулина, Е.К. Хеннер; Под ред. М.П. Лапчика. – 2-е изд., стер. – М.:

Издательский центр “Академия”, 2007. – 384 с.

4. Петров И.Б. Лекции по вычислительной математике: Учебное пособие / И.Б.Петров, А.И.Лобанов. – М.: Интернет-Университет Информационных технологий; БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. – 523с.

5. Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. – 400 с.

Дополнительная:

1. Абрамкин Г.П. Численные методы: Учеб. пособие. – Барнаул: БГПУ, 2005. – 2. Бахвалов Н.С. и др. Численные методы: учеб. пособие для вузов / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. – 632с.

3. Васильков Ю.В., Василькова Н.Н. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании: Учеб. пособие. – М.: Финансы и статистика, 2002.-256 с.

4. Вербжицкий В.М. Основы численных методов: Учебник для вузов / В.М.Вержбицкий. – М.: Высш. шк., 2002. – 840 с.

5. Джон Г. Матьюз, Куртис Д. Финк. Численные методы. – Вильямс, 2001. – 6. Дьяконов В.П. Компьютерная математика. Теория и практика. – М.: Номедж, 2001.– 1296 с.

7. Дьяконов В.П. Справочник по MathCAD PLUS 6.0 PRO. – М.:“СК Пресс”, 8. Зайцева О.С. Численные методы. Учебное пособие. Часть I. – Тобольск, ТГПИ им. Д.И.Менделеева, 2005 г. – 75 с.

9. Исаков В.Н. Элементы численных методов: Учеб. пособие для студ. высш.

пед. учеб. заведений. – М.: Издательский центр “Академия”, 2003. – 192 с.

10. Каганов В.И. Компьютерные вычисления в средах Excel и Mathcad. – М.:

Горячая линия – Телеком, 2003. – 328 с.

11. Лоусон Ч., Хенсон Р. Численные решения задач метода наименьших квадратов / Перевод с англ. Х.Д. Икрамова. – М.: Наука, 1986. – 230 с.

12. Очков В.Ф. Mathcad 7 Pro для студентов и инженеров. – М.: КомпьютерПресс, 13. Пирумов У.Г. Численные методы: Учеб. пособ. для студ. втузов.- М.: Дрофа, 14. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов: Учебное пособие. – 2-е изд. перераб. и доп. – М.:ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 304 с.

15. Шуп Терри Е. Прикладные численные методы в физике и технике.– М.:

Высшая Школа, 1990. – 254 с.

3. Средства обеспечения освоения дисциплины.

Программные средства.

Среды программирования Turbo Pascal, Delphi; табличный процессор Microsoft Excel; математический пакет MathCAD; программа для построения графиков функций Advanced Grapher.

Материально-техническое обеспечение дисциплины 1. Сетевой компьютерный класс с выходом в Интернет.

2. Мультимедийная лекционная аудитория с выходом в Интернет.

3. Учебный файловый сервер кафедры.

4. Почтовый сервер.

5. Внутренняя учебная сеть Вуза.

ТЕЗИСЫ ЛЕКЦИЙ

Этапы решения задачи: постановка проблемы; построение математической модели;

выбор метода решения задачи; программирование и алгоритмизация; исполнение программы;

анализ полученных результатов. Структура полной погрешности. Источники погрешности.

Погрешность, абсолютная и относительная погрешности. Значащая цифра. Верная значащая цифра в узком и широком смысле. Правила записи погрешности. Правила записи приближенных чисел.

Правило округления и погрешность округления. Оценка погрешностей арифметических действий.

Литература.

1. Бахвалов Н.С. и др. Численные методы: учеб. пособие для вузов / Н.С. Бахвалов, Н.П.

Жидков, Г.М. Кобельков. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. – 632с.

2. Исаков В.Н. Элементы численных методов: Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб.

заведений. – М.: Издательский центр “Академия”, 2003. – 192 с.

3. Лапчик М.П. Численные методы: Учеб. пособие для студ. вузов / М.П. Лапчик, М.И.

Рагулина, Е.К. Хеннер; Под ред. М.П. Лапчика. – М.: Издательский центр “Академия”, Задачи, приводящие к аппроксимации одной функции другой. Постановка задачи аппроксимации функций. Параболитическое интерполирование. Геометрическая интерпретация. Определитель Вандермонда. Существование и единственность интерполяционного многочлена.

Многочлен Лагранжа, вывод формулы. Вывод формулы Лагранжа для равноотстоящих узлов. Организация ручных вычислений по формуле Лагранжа. Конечные разности. Вывод первой интерполяционной формулы Ньютона. Вторая интерполяционная формула Ньютона.

Оценка погрешности. Решение задач методами интерполирования на ЭВМ.

Уплотнение таблиц функций (субтабулирование) на основе формулы Ньютона.

Экстраполирование на основе формулы Ньютона. Постановка и решение задачи обратного интерполирования. Решение задач на ЭВМ. Определение интерполяционного сплайна порядка m для функции f(x).

Минимизация погрешности многочленной интерполяции путем специального выбора узлов интерполяции. Многочлены Чебышева. Определения: корни многочлена Чебышева.

Литература.

1. Вербжицкий В.М. Основы численных методов: Учебник для вузов / В.М.Вержбицкий. – М.: Высш. шк., 2002. – 840 с.

2. Исаков В.Н. Элементы численных методов: Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб.

заведений. – М.: Издательский центр “Академия”, 2003. – 192 с.

3. Лапчик М.П. Численные методы: Учеб. пособие для студ. вузов / М.П. Лапчик, М.И.

Рагулина, Е.К. Хеннер; Под ред. М.П. Лапчика.– М.: Издательский центр “Академия”, 2005.

4. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов: Учебное пособие. – 2-е изд.

перераб. и доп. – М.:ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 304 с.

Постановка задачи. Понятие о приближении функции. Эмпирическая функция, формула.

Узлы интерполирования. Приемы нахождения эмпирической функции.

В качестве меры близости берут метрику и наилучшей функцией считается та, для которой метрика будет наименьшей.

Определения: уклонение измеряемых значений от вычисленных; среднеквадратичное уклонение.

В качестве эмпирической функции рассматривают многочлен Gk(x)=akxk+…+a1x+a0.

Возьмем функцию (a0,..., a k ) Нужно найти точек минимума, для этого найдем все частные производные функции Ф и приравняем их к нулю. Получим систему (1) из k-уравнений с k-неизвестными. Решая данную систему найдем значения a0,…, ak и тем самым вид эмпирической формулы.

Нахождение приближающей функции в виде линейной: g(x)=a1x+a0. Значения a1 и a находят решая систему (1) из 2-х уравнений с двумя неизвестными.

Нахождение приближающей функции в виде квадратичной: g(x)=a2x2+a1x+a0. Значения a2, a1 и a0 находят решая систему (1) из 3-х уравнений с тремя неизвестными.

Нахождение приближающей функции в виде функции: показательной, степенной, дробно-линейной, логарифмической, гиперболической. В данных случаях функции преобразуют к линейному виду.

Литература.

1. Вербжицкий В.М. Основы численных методов: Учебник для вузов / В.М.Вержбицкий. – М.: Высш. шк., 2002. – 840 с.

2. Лапчик М.П. Численные методы: Учеб. пособие для студ. вузов / М.П. Лапчик, М.И.

Рагулина, Е.К. Хеннер; Под ред. М.П. Лапчика.– М.: Издательский центр “Академия”, 2005.

3. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов: Учебное пособие. – 2-е изд.

перераб. и доп. – М.:ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 304 с.

Постановка задачи численного интегрирования. Случаи, когда формулу Ньютона – Лейбница использовать невозможно: первообразная функция F(x) не выражается через элементарные функции; аналитическое выражение функции f(x) настолько сложно, что применение формулы Ньютона– Лейбница затруднительно; аналитическое выражение функции f(x) не известно, а её значения заданы таблицей или графиком. Квадратурные формулы.

Заменяя подынтегральную функцию интерполяционным многочленом Лагранжа для равноотстоящих узлов получим формулу Ньютона – Котеса:

Вывод формула трапеций при n=1. На отрезке [x0, x1] интеграл равен:

( y 0 y1 ). Подынтегральная функция заменяется интерполяционным многочленом Лагранжа первой степени, т.е. линейной функцией. Геометрический смысл формулы трапеции заключается в том, что площадь криволинейной фигуры заменяется площадью трапеции. Вывод общей формулы трапеций:

Оценка погрешности формулы трапеций.

Вывод формула парабол (Симпсона) при n=2 на отрезках [x0, x2], [x0, x2m].

Оценка остаточного члена формулы парабол. Геометрический смысл метода парабол заключается в том, что исходную функцию f(x) заменяют интерполяционным многочленом 2-й степени, т.е. параболой, проходящей через точки M0(x0,y0), M1(x1,y1), M2(x2,y2).

Вывод формул левых, правых, средних прямоугольников. Геометрическая интерпретация. Оценка погрешности. Метод неопределенных коэффициентов.

Суть метода двойного пересчета (метода Рунге-Кутта). Общая формула двойного пересчета. Частные случаи – оценка остаточного члена для формул трапеций, парабол, прямоугольников. Алгоритм Ромберга.

Общий вид линейной квадратурной формулы. Вывод формулы Гаусса. Многочлен Лежандра. Вывод формулы Гаусса для n=3. Формула Чебышева. Узлы и весы квадратурной формулы Гаусса, Чебышева.

Литература.

1. Бахвалов Н.С. и др. Численные методы: учеб. пособие для вузов / Н.С. Бахвалов, Н.П.

Жидков, Г.М. Кобельков. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. – 632с.

2. Вербжицкий В.М. Основы численных методов: Учебник для вузов / В.М.Вержбицкий. – М.: Высш. шк., 2002. – 840 с.

3. Исаков В.Н. Элементы численных методов: Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб.

заведений. – М.: Издательский центр “Академия”, 2003. – 192 с.

4. Лапчик М.П. Численные методы: Учеб. пособие для студ. вузов / М.П. Лапчик, М.И.

Рагулина, Е.К. Хеннер; Под ред. М.П. Лапчика.– М.: Издательский центр “Академия”, 2005.

Постановка задачи численного дифференцирования. Некорректность задачи численного дифференцирования. Вывод формулы нахождение первой производной на основе многочлена Лагранжа.

Вывод формул нахождения первой и второй производных на основе многочлена Ньютона. Общий случай вычисления производной произвольного порядка. Оценка погрешности численного дифференцирования. Неустранимая погрешность формул численного дифференцирования. Левосторонняя и правостороння аппроксимация.

Литература.

1. Вербжицкий В.М. Основы численных методов: Учебник для вузов / В.М.Вержбицкий. – М.: Высш. шк., 2002. – 840 с.

2. Киреев В.И. Численные методы в примерах и задачах: Учеб пособие. – М.: Высш. шк., 2006.

3. Лапчик М.П. Численные методы: Учеб. пособие для студ. вузов / М.П. Лапчик, М.И.

Рагулина, Е.К. Хеннер; Под ред. М.П. Лапчика.– М.: Издательский центр “Академия”, 2005.

СИСТЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Лекция 6. Решение нелинейных уравнений с одной переменной.

Постановка задачи. Определение корня уравнения. Что значит решить уравнение. Этапы приближенного решения уравнения: отделение корней, уточнение корней. Понятие отрезка изоляции. Условия окончания процесса решения задачи.

Суть аналитического метода, геометрическая интерпретация.

Теорема о существование и единственности корня на отрезке. 1) Если непрерывная на отрезке [a,b] функция F(x) принимает на его концах значения разных знаков, т.е. F(a)*F(b)0, то уравнение имеет на этом отрезке по меньшей мере один корень. 2) Если функция F(x) строго монотонна, то корень на [a,b] единственный (F’(a)*F’(b)0).

Суть метода половинного деления, геометрическая интерпретация.

Суть метода хорд, геометрическая интерпретация. Вывод формулы хорд для случая x0=b.

Формула хорд для случая x0=a.

Суть метода касательных (Ньютона), геометрическая интерпретация, формула. Вывод формулы хорд для случая x0=a.

xn 1 xn последовательности. Геометрический смысл для случаев: сходящаяся последовательность, расходящая последовательность.

Утверждение. Если итерационная последовательность сходится, а функция (x) непрерывна, то предел итерационной последовательности является корнем уравнения x= (x).

Основная теорема метода итераций.

Пусть уравнение x = (x) имеет единственный корень на отрезке [a,b] и выполнены условия: 1) (x) – определена и дифференцируемая на [a,b];2) (x) [a, b] для всех x [a,b];3) q R, что q 1 для всех x [a,b], –тогда итерационная последовательность xn= (xn-1) сходится при любом начальном приближении x0.

Доказательство теоремы. Особенность метода итераций – самоисправляющийся метод.

Скорость сходимости итерационного процесса. Зависимость сходимости итерационной последовательности от значения q. Порядок сходимости. Условие окончание итерационного процесса.

, sign(k)=sign(F’(x)) на [a, b]. 2) (x)=x-mF(x), где mF’(x)1.

Литература.

1. Исаков В.Н. Элементы численных методов: Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб.

заведений. – М.: Издательский центр “Академия”, 2003. – 192 с.

2. Лапчик М.П. Численные методы: Учеб. пособие для студ. вузов / М.П. Лапчик, М.И.

Рагулина, Е.К. Хеннер; Под ред. М.П. Лапчика.– М.: Издательский центр “Академия”, 2005.

3. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов: Учебное пособие. – 2-е изд.

перераб. и доп. – М.:ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 304 с.

Лекция 5. Численные методы решение систем линейных и нелинейных уравнений Постановка задачи. Точные и приближенные методы. Понятия: решение системы, совместная система линейных уравнений, невырожденная матрица.

Суть метода Гаусса. Прямой, обратный ход. Схема единственного деления. Невязка.

Столбцы контрольной суммы, строчной.

Теорема Банаха (принцип сжимающих отображений).

Пусть отображение F является сжимающим на полном метрическом пространстве с коэффициентом сжатия 0q1. Тогда: 1) на X существует одно и только одно решение x* уравнения x=F(x) (единственная неподвижная точка отображения F); 2) решение x* равно пределу итерационной последовательности {xn}, определяемой рекуррентно формулой xn+1=F(xn) (n=0, 1, …), x0 – произвольная точка множества X ; 3) справедливо неравенство Суть метода итераций решения систем линейных алгебраических уравнений. Построение итерационной последовательности. Достаточные условия сходимости итерационного процесса.

Схема решения системы линейных алгебраических уравнений методом итераций. Практическая схема преобразования исходной системы, гарантирующая сходимость итерационного процесса.

Условие окончания итерационного процесса. Оценка погрешности.

Суть метода Зейделя. Построение итерационной последовательности методом Зейделя.

Отличия метода Зейделя от метода итераций.

Особенности решения систем нелинейных уравнений. Суть метода итераций.

Приведение уравнения к итерационному виду. Условия, при выполнении которых итерационная последовательность сходится. Недостатки метода итераций.

Суть метода Ньютона решения систем нелинейных алгебраических уравнений. Матрица Якоби. Решение системы 2x2 методом Ньютона. Условие окончания итерационного процесса.

Литература.

1. Вербжицкий В.М. Основы численных методов: Учебник для вузов / В.М.Вержбицкий. – М.: Высш. шк., 2002. – 840 с.

2. Исаков В.Н. Элементы численных методов: Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб.

заведений. – М.: Издательский центр “Академия”, 2003. – 192 с.

3. Лапчик М.П. Численные методы: Учеб. пособие для студ. вузов / М.П. Лапчик, М.И.

Рагулина, Е.К. Хеннер; Под ред. М.П. Лапчика.– М.: Издательский центр “Академия”, 2005.

4. Пирумов У.Г. Численные методы: Учеб. пособ. для студ. втузов.- М.: Дрофа, 2003. – 224 с.

5. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов: Учебное пособие. – 2-е изд.

перераб. и доп. – М.:ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 304 с.

Раздел 3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ. РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Лекция 8. Методы решения дифференциальных уравнений.

Постановка задачи. Классификация методов решения дифференциальных уравнений:

приближенно-аналитические, графические, численные. Определение решения уравнения y’=f(x,y). Общее и частное решение дифференциального уравнения. Задача Коши.

Геометрический смысл задачи Коши.

Теорема Пикара. Метод последовательных приближений Пикара. Условия сходимости итерационного процесса по методу Пикара. Метод Эйлера. Вывод формулы Эйлера на основе геометрической интерпретации. Вывод формулы Эйлера на основе формулы Тейлора. Оценка погрешности. Сравнительная характеристика метода Пикара и Эйлера.

Метод Эйлера-Коши: вывод формулы, геометрическая интерпретация. Обратный метод Эйлера.

Характеристика семейства методов Рунге-Кутта. Вывод формулы первого порядка q= (формула Эйлера). Формулы второго и четвертого порядка. Оценка погрешности.

Литература.

1. Вербжицкий В.М. Основы численных методов: Учебник для вузов / В.М.Вержбицкий. – М.: Высш. шк., 2002. – 840 с.

2. Киреев В.И. Численные методы в примерах и задачах: Учеб пособие. – М.: Высш. шк., 2006.

3. Лапчик М.П. Численные методы: Учеб. пособие для студ. вузов / М.П. Лапчик, М.И.

Рагулина, Е.К. Хеннер; Под ред. М.П. Лапчика.– М.: Издательский центр “Академия”, 2005.

Аппроксимация, устойчивость, сходимость. Аппроксимация, устойчивость и сходимость для простейшей краевой задачи. Алгоритмы решения краевых задач для систем уравнений первого порядка (метод стрельбы). Решение краевой сеточной задачи (метод прогонки).

Литература.

1. Вербжицкий В.М. Основы численных методов: Учебник для вузов / В.М.Вержбицкий. – М.: Высш. шк., 2002. – 840 с.

2. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов: Учебное пособие. – 2-е изд.

перераб. и доп. – М.:ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 304 с.

Лекция 10. Численные методы решения дифференциальных уравнений в частных Понятие о численных методах решения дифференциальных уравнений в частных производных. Классификация уравнений в частных производных. Уравнения Лапласа, Пуассона, Фурье (теплопроводности).

Метод сеток. Задача Дирихле. Этапы решения: 1) Область G с границей Г заменяется приближенной сеточной областью Gh с границей Гh. 2) Уравнение Лапласа заменяется разностными схемами. 3) Решение системы сеточных уравнений. Реализация методов с помощью ЭВМ.

Литература.

1. Вербжицкий В.М. Основы численных методов: Учебник для вузов / В.М.Вержбицкий. – М.:

Высш. шк., 2002. – 840 с.

2. Лапчик М.П. Численные методы: Учеб. пособие для студ. вузов / М.П. Лапчик, М.И.

Рагулина, Е.К. Хеннер; Под ред. М.П. Лапчика.– М.: Издательский центр “Академия”, 2005.

3. Пирумов У.Г. Численные методы: Учеб. пособ. для студ. втузов.- М.: Дрофа, 2003. – 224 с.

Лекция 11. Методы решения интегральных уравнений Численные методы решения интегральных уравнений второго порядка. Метод регуляризации решения интегральных уравнений первого порядка.

Литература.

1. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов: Учебное пособие. – 2-е изд.

перераб. и доп. – М.:ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 304 с.

СОДЕРЖАНИЕ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

На практических занятиях закрепляется теоретический материал и приобретаются навыки решения задач. Практические занятия должны проводиться в компьютерном классе с проектором. Целесообразно с учащимися на занятиях рассматривать кроме традиционных задач по численным методам и практико-ориентированные задачи, решаемые с помощью приближенных методов.

Методические указания. При подготовке к практическим занятиям студенты должны ознакомиться с теоретическим материалом по теме. Необходимые теоретические сведения приведены в соответствующих лабораторных работах, которые под документ можно взять на кафедре.

Тема 1. Основы теория погрешностей.

Примерные задачи, решаемые на занятии.

Задача 1. Оценить погрешность округления числа e=2,7182818… до 3-х значащих цифр.

Задача 2. Укажите границы, в которых находится точное число D, если его приближенное значение d=42,36 найдено с точностью а) 0,7; б) 0,01.

Задача 3. Округлите до верных значащих цифр: а)72,353 0,026; б) 1,345 0,001.

Задача 4. Известно, что все цифры чисел верные в узком смысле. Определите абсолютную погрешность чисел: а)3,2; б) 3,20.

Задача 5. Округлите заданные числа до верных значащих цифр а) в узком смысле; б) в широком смысле.

Задача 6. Дано выражение z=sin(x)+y2. Числа x и y приближенные числа с верными в строгом смысле значащими цифрами: x=2,03; y=0,504. Найти значение z, её абсолютную и относительную погрешность.

Тема 2. Интерполирование функций.

Оборудование. Табличный процессор MS Excel, математический пакет MathCad, среда программирование TurboPascal или Delphi.

Примерные задачи.

Задача 1. Функция задана таблично. Найти значение функции в указанной точке, построив интерполяционный многочлен Лагранжа. Оценить погрешность интерполирования. Задача выполняется в среде MS Excel.

Задача 2. Функция задана таблично, расстояние между узлами постоянно. Найти значения функции в указанных точках, используя первый и второй интерполяционные многочлены Ньютона. Оценить погрешность интерполирования.

а) Используя MS Excel.

б) Составив программу на языке программирования.

Задача 3. Функция задана таблично, расстояние между узлами постоянно. Уплотнить на указанном отрезке функцию с заданным шагом.

а) Используя MS Excel.

б) Составив программу на языке программирования.

Задача 4. Функция задана таблично. Используя обратное интерполирование найти значение x, если известно значение y.

а) Используя MS Excel.

б) Составив программу на языке программирования.

Тема 3. Приближение функций Оборудование. Табличный процессор MS Excel, математический пакет MathCad.

Примерные задачи.

Задача 1. Функция задано таблично. Установить линейную зависимость. Задача выполняется в среде MathCad.

Задача 2. Для функции заданной таблично в MS Excel установить линейную аппроксимацию.

Задача 3. Для функции заданной таблично в MS Excel установить квадратичную аппроксимацию.

Задача 4. Функция задано таблично. Установить квадратичную зависимость. Задача выполняется в среде MathCad.

Тема 4. Численное интегрирование.

Оборудование. Табличный процессор MS Excel, математический пакет MathCad, среда программирование TurboPascal или Delphi.

Примерные задачи.

Задача 1. Вычислить интеграл dx при n=4 по формуле трапеций. Оценить погрешность интегрирования методом двойного пересчета.

а) Используя MS Excel.

б) Составив программу на языке программирования.

Задача 2. Вычислить интеграл dx при n=4 по формуле Симпсона.

а) Используя MS Excel.

б) Составив программу на языке программирования.

Оценить погрешность интегрирования по формуле строгой оценки погрешности в среде MathCad.

Задача 3. Вычислить интеграл по формулам левых, средних и правых прямоугольников в среде MS Excel. Оценить погрешность интегрирования по формулам строгой оценки погрешности.

Задача 4.Составить программу, реализующую алгоритмы вычислить интегралов по формулам левых, средних и правых прямоугольников. Оценить погрешности методом двойного пересчета.

Задача 5. Дана функция f(x)=sin(x)+cos(5,6x), a=0, b=7, n=60. Используя приближенное интегрирование найти на [a,b] такую точку c, чтобы “промежуточная” криволинейная трапеция имела наибольшую площадь.

Задача 6. Вычислить интеграл по формуле Гаусса при n=4.

а) Используя MS Excel.

б) Составив программу на языке программирования.

Задача 7. Вычислить интеграл по формуле Чебышева при n=4.

а) Используя MS Excel.

б) Составив программу на языке программирования.

Тема 5. Численное дифференцирование.

Оборудование. Табличный процессор MS Excel, математический пакет MathCad, среда программирование TurboPascal или Delphi.

Примерные задачи.

Задача 1. Функция задана таблично, расстояние между узлами постоянно. Найти значение первой и второй производной в указанной точке, используя интерполяционный многочлен Лагранжа. Задача выполняется в MathCad.

Задача 2. Функция задана таблично, расстояние между узлами постоянно. Найти значение первой и второй производной в указанных точках, используя интерполяционные многочлены Ньютона.

а) Используя MS Excel.

б) Составив программу на языке программирования.

Раздел 2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ, СИСТЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ

УРАВНЕНИЙ

Тема 6. Решение нелинейных уравнений с одной переменной.

Оборудование. Табличный процессор MS Excel, математический пакет MathCad, среда программирование TurboPascal или Delphi.

Примерные задачи, решаемые на занятии.

Задача 1. Решить уравнение arctgx 0 на [-0,8;-0,7] в Mathcad, используя функцию root.

Точность e=0,001.

root( f(х1, x2, …), х1, a, b ) – возвращает значение х1, принадлежащее отрезку [a, b], при котором выражение или функция f(х) обращается в 0. Оба аргумента этой функции должны быть скалярами. Функция возвращает скаляр.

Задача 2. Реализовать метод половинного деления в Mathcad.

Задача 3. Составить программу на языке программирования, реализующий метод половинного деления.

Задача 4. Уточнить корень уравнения arctgx 0 на [-0,8;-0,7] методом хорд в MS Excel с точностью e=0,0001.

Задача 5. Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них методом итераций.

а) x-sin(x)=0, б) x3+2x2+7x+3= Тема 7. Численные методы решение систем линейных и нелинейных уравнений.

Оборудование. Табличный процессор MS Excel, математический пакет MathCad.

Примерные задачи.

Задача 1. Решить систему уравнений методом Гаусса в MS Excel.

Задача 2. Решить систему уравнений методом Крамера в MathCad.

0,14 x1 0,24 x 2 0,84 x3 1, 0,64 x1 0,43x 2 0,38 x3 0, Задача 3. Решить систему уравнений методом итераций с точностью e=0,0001.

Задача 4. Решить систему уравнений методом Зейделя с точностью e=0,0001.

0,14 x1 0,24 x 2 0,84 x3 1, 0,64 x1 0,43x 2 0,38 x3 0, Задача 5. Решить систему нелинейных уравнений методом итераций с точностью e=0,001 в MS Excel.

sin( x 1) y 1, Задача 6. Решить систему нелинейных уравнений из задачи 1 методом итераций, составив программу на языке программирования.

Задача 3. Решить систему нелинейных уравнений методом Ньютона с точностью e=0,001 в MS Excel.

Задача 7. Решить систему нелинейных уравнений из задачи 3 методом Ньютона с точностью e=0,001, составив программу на языке программирования.

Раздел 3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.

РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Тема 8. Методы решения дифференциальных уравнений Оборудование. Табличный процессор MS Excel, среда программирование TurboPascal или Delphi.

Примерные задачи.

Задача 1. Методом последовательных приближений Пикара решить уравнение y’=x2+3y, y(0)=2, x0=0, y0=2.

Задача 2. Решить методом Эйлера уравнение y’=cos(y)+3x на [0,1] c шагом h=0,2. Начальное условие y(0)=1,3.

а) Используя MS Excel.

б) Составив программу на языке программирования.

Задача 3. Решить методом Эйлера-Коши уравнение y’=2x2+2y на [0,1] c шагом h=0,1. Начальное условие y(x0)=1.

а) Используя MS Excel.

б) Составив программу на языке программирования.

Задача 4. Решить методом Рунге-Кутта уравнение y’=2x2+2y на [0,1] c шагом h=0,2. Начальное условие y(0)=1.

а) Используя MS Excel.

б) Составив программу на языке программирования.

Тема 9. Методы решения краевых задач Оборудование. Табличный процессор MS Excel, математический пакет MathCad.

Примерные задачи.

Задача 1. Методом стрельбы найти приближённое решение ОДУ 2 порядка:

Задача 2. Методом стрельбы найти приближённое решение ОДУ 2 порядка:

Тема 10. Методы решение уравнений в частных производных.

Оборудование. Табличный процессор MS Excel.

Примерные задачи.

Задача 1. Используя метод сеток, составить решение дифференциального уравнения Лапласа x2 y шагом по пространственной сетке x=0,2.

Начальное условие краевые условия u(0,t)=5, u(1,t)=-5.

Тема 11. Методы решения интегральных уравнений.

Оборудование. Табличный процессор MS Excel, математический пакет MathCad.

Примерные задачи.

Задача 1. Используя формулу Симпсона при n=2, найти приближенное решение интегрального уравнения y ( x) Задача 2. Используя формулу Гаусса при n=2, найти приближенное решение интегрального уравнения

СОДЕРЖАНИЕ ЛАБОРАТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ

Тема 1. Интерполирование функций (2 ч.).

Оборудование. Табличный процессор MS Excel, среда программирования Turbo Pascal или Delphi.

Примерный план занятий.

1. Письменный опрос по теме “ Интерполирование функций”.

2. Выполнение ЛР “ Интерполирование функций”. Студенты выполняют задания.

Задание. Используя формулу Лагранжа найти приближенное значение функции в точке М:

а) применяя табличный процессор MS Excel;

б) составив программу на языке программирования.

Оценить погрешность интерполирования.

Задание. Используя первую или вторую интерполяционную формулу Ньютона вычислить приближенное значение функции в точке М:

а) применяя табличный процессор MS Excel;

б) составив программу на языке программирования.

Оценить погрешность интерполирования.

Тема 2. Приближение табличных функций методом наименьших квадратов (4 ч).

Оборудование. Табличный процессор MS Excel, математический пакет MathCad.

Задание 1. Для исходных данных, установить линейную зависимость: y=ax+b.

Задание 2. Для данных, установить квадратичную зависимость: y=ax2+bx+c.

Задание 3. Построить точечный график исходной функции (заданной таблично) и графики найденных приближенных функций.

Задание 4. Для найденных приближенных функций найти уклонения и среднеквадратичные уклонения. Определить, какая приближенная функция из двух найденных является Тема 3. Численное интегрирование (4 ч).

Оборудование. Табличный процессор MS Excel, математические пакет MathCad, среда программирования Turbo Pascal или Delphi.

Примерный план занятий.

1. Письменный опрос по теме “Вычисление интегралов”.

2. Выполнение заданий из ЛР “Приближенное вычисление определенных интегралов”.

Задание. Вычислить интеграл по формуле трапеций при n=8:

а) используя табличный процессор MS Excel;

б) составив программу на языке программирования.

Оценить погрешность результата по формуле строгой оценки погрешностей.

Задание. Вычислить интеграл по формуле Гаусса при n=4 и n=8, используя табличный процессор MS Excel. Оценить погрешность результата J8 методом двойного пересчета.

Тема 5. Дифференцирование функций (4 ч).

Оборудование. Табличный процессор MS Excel, математические пакет MathCad, среда программирования Turbo Pascal или Delphi.

Примерный план занятий.

1. Письменный опрос по теме “Численное дифференцирование”.

2. Выполнение задания из ЛР “Численное дифференцирование” Задание. Найти значение первой производной, используя интерполяционный многочлен Лагранжа для равноотстающих узлов. Задание выполняется в среде MathCad.

Раздел 2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ, СИСТЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ

УРАВНЕНИЙ

Тема 6. Решение нелинейных уравнений с одной переменной (4 ч).

Оборудование. Редактор построения графиков Advanced Grapher, табличный процессор MS Excel, среда программирование TurboPascal или Delphi.

Занятие 1 (2 ч) Примерный план занятий.

1. Изучение функциональных возможностей Advanced Grapher на примере решения задачи 1.

2. Решение задачи 2 в среде MS Excel.

3. Решение задачи 3 в среде MS Excel.

4. Письменный опрос по теме “Методы решения нелинейных уравнений”.

5. Выполнение ЛР “Методы решения нелинейных уравнений”, задания 1, 2б, 2в, 3б, 3в.

Задача 1. Отделить графически корни уравнения arctgx 0. Доказать существование и единственность корней на полученных отрезках.

Задача 2. Отделить корни уравнения arctgx 0 на [-1;-0,1] аналитическим способом с h=0,1.

Задача 3. Уточнить корень уравнения arctgx 0 на [-0,8;-0,7] методом половинного деления с e=0,000001.

Занятие 2 (2 ч) Примерный план занятий.

1. Письменный опрос по теме “Решение нелинейных уравнений методом простой итерации”.

2. Выполнение ЛР “Решения нелинейных уравнений методом простой итерации”.

Задание 1. Отделить графически один из корней уравнения. Доказать существование и единственность корня на полученном отрезке (таблица 1).

Задание 2. Уточнить корень уравнения методом простой итерации с точностью =0,000001:

а) используя табличный процессор MS Excel;

б) составив программу на языке программирования.

Тема 7. Численные методы решения систем линейных и нелинейных уравнений (2 ч).

Оборудование. Табличный процессор MS Excel, математический пакет MathCad.

Примерный план занятий.

Задача 1. Методом Ньютона приближенно найти положительное решение системы уравнений исходя из начального приближения x0 = y0 = z0 =0,5.

Задача 2. Приближенно найти положительные решения системы нелинейных уравнений методом Ньютона.

Задача 3. Преобразовать нелинейные уравнения системы к виду f1(x) = y и f2 (y)= x. Построить их графики и определить начальное приближение решения.

а) с помощью функции Minerr б) методом Ньютона.

Задача 4. Символьно решить системы уравнений:

Раздел 3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.

РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНЙ

Тема 8. Методы решения дифференциальных уравнений (4 ч).

Оборудование. Табличный процессор MS Excel, среда программирования Turbo Pascal или Delphi, математический пакет MathCad.

Примерный план занятий.

Задача 1. Решить дифференциальное уравнение x 2, y 0 1,3 методом Эйлера, составив программу в MathCad.

Задача 2. Решить дифференциальное уравнение 1,3 методом Рунге-Кутта четвертого порядка, составив программу в MathCad.

Задача 3. Дано дифференциальное уравнение y’=cos(x+y)+0,5(x-y) с начальным условием y(0)=0. Используя метод Адамса со вторыми разностями, составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения. Начальный отрезок определить методом Рунге-Кутта.

Тема 9. Методы решения краевых задач (2 ч.) Оборудование. Математический пакет MathCad.

Примерный план занятий.

Студенты выполняют ЛР “Методы решения краевых задач”, по вариантам.

Задание 1. Решите краевую задачу методом стрельбы в математическом пакете MathCad, постройте график функции.

Тема 10. Методы решения уравнений в частных производных (4 ч).

Оборудование. Математический пакет MathCad.

В ходе занятий учащиеся решают задачи.

Примерные задачи.

Задача 1. Решить задачу Дирихле уравнения Лапласа u xx 0, где u x, u x, Задача 2. Решить краевую задачу уравнения теплопроводности. Начальные и граничные условия: t=0..29, x=1..49, f0,x=0, f0,0=0, f0,50=0, f0,25=1.

Тема 11. Методы решения интегральных уравнений (4 ч).

Оборудование. Табличный процессор MS Excel, среда программирования Turbo Pascal или Delphi, математический пакет MathCad.

Примерные задачи.

Задача 1. Используя формулу Симпсона при n=4, найти приближенное решение интегрального уравнения Задача 2. Используя формулу Гаусса при n=4, найти приближенное решение интегрального уравнения Вопросы к зачету по дисциплине «Методы вычислений»

3 курс ФМФ (направление “Математика. Прикладная математика”), Погрешность. Виды погрешностей. Правила записи приближенных чисел.

Интерполяционный многочлен Лагранжа.

Конечные разности. Интерполяционные многочлены Ньютона.

Минимизация погрешности многочленной интерполяции путем специального выбора узлов интерполяции.

Наилучшее приближение.

Постановка задачи приближенного вычисления определенного интеграла. Формула Ньютона-Котеса. Формула трапеций.

Формула Симпсона.

Формулы прямоугольников. Учет погрешностей квадратурных формул методом двойного пересчета.

Вычисление интегралов по формуле Гаусса.

Постановка задачи численного дифференцирования. Численное дифференцирование на 10.

основе интерполяционного многочлена Лагранжа.

Методы отделения корней. Методы уточнения корней.

11.

Решения уравнения методом простой итераций. Оценка погрешности.

12.

Вопросы к экзамену по дисциплине «Методы вычислений»

Теоретическая часть 1. Погрешность. Виды погрешностей. Правила записи приближенных чисел.

2. Интерполяционный многочлен Лагранжа.

3. Конечные разности. Интерполяционные многочлены Ньютона.

4. Постановка задачи приближенного вычисления определенного интеграла. Формула Ньютона-Котеса. Формула трапеций.

5. Формула Симпсона.

6. Формулы прямоугольников. Учет погрешностей квадратурных формул методом двойного пересчета.

7. Вычисление интегралов по формуле Гаусса.

8. Постановка задачи численного дифференцирования. Численное дифференцирование на основе интерполяционного многочлена Лагранжа.

9. Методы отделения корней. Методы уточнения корней.

10. Решения уравнения методом простой итераций. Оценка погрешности.

11. Метод итераций решения систем линейных алгебраических уравнений.

12. Решения систем линейных алгебраических уравнений методом Зейделя.

13. Решение систем нелинейных уравнений.

14. Метод Эйлера. Модифицированные методы Эйлера.

15. Метод Рунге-Кутта.

16. Решение краевых задач для систем уравнений первого порядка.

17. Задача Дирихле. Уравнение Лапласа в конечных разностях.

Практическая часть 1. Отделить корни уравнения графическим способом.

2. Отделить корни уравнения аналитическим способом.

3. Уточнить корни уравнения методом половинного деления.

4. Уточнить корни уравнения методом хорд.

5. Уточнить корни уравнения методом касательных.

6. Отделить графически один из корней уравнения и уточнить методом простой итерации.

7. Найти значение функции в точке, используя интерполяционный многочлен Лагранжа.

8. Найти значение функции в точке, используя интерполяционный многочлен Ньютона.

9. Уплотнить таблицу на заданном отрезке, используя первый интерполяционный многочлен Ньютона.

10. Для данных, заданных в таблице, установить линейную и квадратичную зависимость:

y=ax+b, y=ax2+bx+c.

11. Вычислить первую производную функции, заданной таблично, используя интерполяционный многочлен Лагранжа.

12. Вычислить первую производную функции, заданной таблично, используя интерполяционный многочлен Ньютона.

13. Вычислить интеграл по формуле трапеций. Оценить погрешность по формуле строгой оценки погрешностей.

14. Вычислить интеграл по формуле парабол.

15. Вычислить интеграл по формулам левых, правых, средних прямоугольников. Оценить погрешность результата методом двойного пересчета.

16. Решить дифференциальное уравнение методом Эйлера на [a,b].

Основная:

1. Волков Е.А. Численные методы: Учеб. пособие. – Спб: Лань, 2008. – 256 с.

2. Киреев В.И. Численные методы в примерах и задачах: Учеб пособие. – М.: Высш. шк., 2006.

3. Лапчик М.П. Численные методы: Учеб. пособие для студ. вузов / М.П. Лапчик, М.И.

Рагулина, Е.К. Хеннер; Под ред. М.П. Лапчика. – 2-е изд., стер. – М.: Издательский центр “Академия”, 2007. – 384 с.

4. Петров И.Б. Лекции по вычислительной математике: Учебное пособие / И.Б.Петров, А.И.Лобанов. – М.: Интернет-Университет Информационных технологий; БИНОМ.

Лаборатория знаний, 2006. – 523с.

5. Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. – 400 с.

Дополнительная:

1. Абрамкин Г.П. Численные методы: Учеб. пособие. – Барнаул: БГПУ, 2005. – 218 с.

2. Бахвалов Н.С. и др. Численные методы: учеб. пособие для вузов / Н.С. Бахвалов, Н.П.

Жидков, Г.М. Кобельков. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. – 632с.

3. Васильков Ю.В., Василькова Н.Н. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании: Учеб. пособие. – М.: Финансы и статистика, 2002.-256 с.

4. Вербжицкий В.М. Основы численных методов: Учебник для вузов / В.М.Вержбицкий. – М.: Высш. шк., 2002. – 840 с.

5. Джон Г. Матьюз, Куртис Д. Финк. Численные методы. – Вильямс, 2001. – 720 с.

6. Дьяконов В.П. Компьютерная математика. Теория и практика. – М.: Номедж, 2001.– 1296 с.

7. Дьяконов В.П. Справочник по MathCAD PLUS 6.0 PRO. – М.:“СК Пресс”, 1997 г. – 336 с.

8. Зайцева О.С. Численные методы. Учебное пособие. Часть I. – Тобольск, ТГПИ им.

Д.И.Менделеева, 2005 г. – 75 с.

9. Исаков В.Н. Элементы численных методов: Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб.

заведений. – М.: Издательский центр “Академия”, 2003. – 192 с.

10. Каганов В.И. Компьютерные вычисления в средах Excel и Mathcad. – М.: Горячая линия – Телеком, 2003. – 328 с.

11. Лоусон Ч., Хенсон Р. Численные решения задач метода наименьших квадратов / Перевод с англ. Х.Д. Икрамова. – М.: Наука, 1986. – 230 с.

12. Очков В.Ф. Mathcad 7 Pro для студентов и инженеров. – М.: КомпьютерПресс, 1998. – 384 с.

13. Пирумов У.Г. Численные методы: Учеб. пособ. для студ. втузов.- М.: Дрофа, 2003. – 224 с.

14. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов: Учебное пособие. – 2-е изд.

перераб. и доп. – М.:ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 304 с.

15. Шуп Терри Е. Прикладные численные методы в физике и технике.– М.: Высшая Школа,

 
Похожие работы:

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования РОССИЙСКИЙ гОСУДАРСТВЕННыЙ гУМАНИТАРНыЙ УНИВЕРСИТЕТ DIES ACADEMICUS 2011/2012 ИтогИ Москва 2012 ББК 74.58 И93 © Российский государственный гуманитарный университет, 2012 Содержание Предисловие Общие сведения Учебно-методическая работа Повышение квалификации и профессиональная переподготовка специалистов Довузовское образование в РггУ...»

«НГМА № 9 (136) октябрь 2009 г. РЕктоР НижГМА – Во ГЛАВЕ Наши юбиляры ЗАкоНотВоРЧЕСкоГо СоВЕтА В октябре отмечают юбилейный день рождения: При законодательном собрании нижегородской области С.Г. Габинет – заведующий учебной ла­ создан научно­координационный совет для рецензирова­ бораторией кафедры медицинской ния проектов законов нижегородской области. Совет яв­ физики и информатики (03.10). ляется консультативным органом, цель его работы – улуч­ Е.Н. Звонилова – уборщик служебных шать качество...»

«Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ РУКОВОДЯЩИЙ РД ПГУТИ ДОКУМЕНТ 2.64.7-2013 Система управления качеством образования ПОРЯДОК ПЕРЕВОДА, ОТЧИСЛЕНИЯ И ВОССТАНОВЛЕНИЯ СТУДЕНТОВ В ПГУТИ Положение Самара 2013 РД ПГУТИ 2.64.7 – 2013 ПОРЯДОК ПЕРЕВОДА, ОТЧИСЛЕНИЯ И ВОССТАНОВЛЕНИЯ СТУДЕНТОВ В ПГУТИ Положение Предисловие 1 РАЗРАБОТАН Отделом качества образования ПГУТИ...»

«Акт контроля за деятельностью ГБУК Белгородская государственная универсальная научная библиотека по итогам плановой проверки, проведенной лицами, уполномоченными на проведение проверки Настоящий акт составлен в том, что комиссией в составе представителей управления культуры Белгородской области: Андросовой Н.О., заместителя начальника управления культуры области - начальника отдела развития социально-культурной деятельности, библиотечного дела и взаимодействия с органами местного...»

«1 Общие положения Полное наименование вуза на русском языке: федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тихоокеанский государственный университет. Сокращенные наименования вуза на русском языке: Тихоокеанский государственный университет, ФГБОУ ВПО ТОГУ, ТОГУ. Полное наименование на английском языке: Pacific National University. Сокращенное наименование на английском языке: PNU. Место нахождения вуза: 680035, г. Хабаровск, ул....»

«МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СТАВРОПОЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной и воспитательной работе И.В. Атанов _2014 г. ОТЧЕТ о самообследовании основной образовательной программы высшего образования 230700.62 Прикладная информатика (код, наименование специальности или направления подготовки) Ставрополь, СТРУКТУРА ОТЧЕТА О...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Кемеровский государственный университет в г. Анжеро-Судженске 1 марта 2013 г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по дисциплине Математический анализ (ЕН.Ф.1) для специальности 080116.65 Математические методы в экономике факультет информатики, экономики и математики курс: 1, 2, 3 экзамен: 2, 3, 5 семестры семестр: 2, 3, 4, 5 зачет:2, 3, 4 семестры...»

«О.В.Иванов СТАТИСТИКА учебный курс для социологов и менеджеров Часть 2 Доверительные интервалы Проверка гипотез Методы и их применение Москва 2005 Иванов О.В. Статистика / Учебный курс для социологов и менеджеров. Часть 2. Доверительные интервалы. Проверка гипотез. Методы и их применение. – М. 2005. – 220 с. Учебный курс подготовлен для преподавания студентамсоциологам и менеджерам в составе цикла математических дисциплин. Соответствует Государственному образовательному стандарту высшего...»

«Федеральное агентство по образованию АМУРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГОУ ВПО АмГУ УТВЕРЖДАЮ Зав. кафедрой ОМиИ Г. В. Литовка __2007 г. МАТЕМАТИКА Часть 4 УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ПО ДИСЦИПЛИНЕ для специальностей: 080109, 080105, 080102, 080507, 080502, 080504, 080111 Составители: Г. Н. Торопчина, Г. П. Вохминцева Благовещенск 2007 г. Печатается по решению редакционно-издательского совета факультета математики и информатики Амурского государственного университета Г. Н. Торопчина, Г.П....»

«ТЕОРИЯ И МЕТОДОЛОГИЯ УДК 336.722.112:316 Т. А. Аймалетдинов О ПОДХОДАХ К ИССЛЕДОВАНИЮ ЛОЯЛЬНОСТИ КЛИЕНТОВ В БАНКОВСКОЙ СФЕРЕ АЙМАЛЕТДИНОВ Тимур Алиевич - директор по исследованиям ЗАО НАФИ, кандидат социологических наук, доцент кафедры социальной и педагогической информатики РГСУ. Email: aimaletdinov@nacfin.ru Аннотация. В статье приводится обзор классических и современных подходов к теоретической интерпретации и эмпирическим исследованиям лояльности клиентов к банкам. На основе анализа...»

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ГЕОФИЗИКИ ИЗ ИСТОРИИ КИБЕРНЕТИКИ Ответственный редактор академик А.С. Алексеев Редактор-составитель д.т.н. Я.И. Фет НОВОСИБИРСК 2006 УДК 681.3 ББК 22.18 И32 Из истории кибернетики / Редактор-составитель Я.И. Фет. – Новосибирск: Академическое издательство Гео, 2006.– 339 с. – ISBN 5-9747-0038-4 Герои и авторы публикуемых очерков – выдающиеся ученые разных стран, пионеры кибернетики. Они делятся...»

«УДК 37 ББК 74 М57 Автор: Витторио Мидоро (Институт образовательных технологий Национального исследовательского совета, Италия) Консультант: Нил Батчер (эксперт ЮНЕСКО, ЮАР) Научный редактор: Александр Хорошилов (ИИТО ЮНЕСКО) Руководство по адаптации Рамочных рекомендаций ЮНЕСКО по структуре ИКТ-компетентности М57 учителей (методологический подход к локализации UNESCO ICT-CFT). –М.: ИИЦ Статистика России– 2013. – 72 с. ISBN 978-5-4269-0043-1 Предлагаемое Руководство содержит описание...»

«Содержание 1 Организационно-правовое обеспечение образовательной деятельности 2 Структура подготовки магистров 3 Содержание подготовки магистров 3.1. Анализ рабочего учебного плана и рабочих учебных программ 3.2 Организация учебного процесса 3.3 Информационно-методическое обеспечение учебного процесса 3.4 Воспитательная работа 4 Качество подготовки магистров 4.1 Анализ качества знаний студентов по результатам текущей и промежуточной аттестации. 15 4.2 Анализ качества знаний по результатам...»

«Международный консорциум Электронный университет Московский государственный университет экономики, статистики и информатики Евразийский открытый институт С.А. Орехов В.А. Селезнев Теория корпоративного управления Учебно-методический комплекс (издание 4-е, переработанное и дополненное) Москва 2008 1 УДК 65 ББК 65.290-2 О 654 Орехов С.А., Селезнев В.А. ТЕОРИЯ КОРПОРАТИВНОГО УПРАВЛЕНИЯ: Учебно-методический комплекс. – М.: Изд. центр ЕАОИ, 2008. – 216 с. ISBN 978-5-374-00139-6 © Орехов С.А., 2008 ©...»

«Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НОРМАТИВНЫЕ ДОКУМЕНТЫ САМАРСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ Выпуск 1 Издательство Универс-групп 2005 Печатается по решению Редакционно-издательского совета Самарского государственного университета Нормативные документы Самарского государственного университета. Информационные технологии. Выпуск 1. / Составители:...»

«Предисловие Раздел 1. Общие вопросы методики преподавания  информатики и ИКТ в школе Глава 1. Предмет информатики в школе 1.1. Информатика как наука и как учебный предмет 1.2. История введения предмета информатика в отечественной  школе 1.3. Цели и задачи школьного курса информатики Контрольные вопросы и задания Глава 2. Содержание школьного курса информатики и ИКТ 36   2.1. Общедидактические подходы к определению содержания курса  информатики...»

«Э.А. Соснин, Б.Н. Пойзнер УНИВЕРСИТЕТ КАК СОЦИАЛЬНОЕ ИЗОБРЕТЕНИЕ: РОЖДЕНИЕ, ЭВОЛЮЦИЯ, НЕУСТОЙЧИВОСТЬ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э.А. Соснин, Б.Н. Пойзнер УНИВЕРСИТЕТ КАК СОЦИАЛЬНОЕ ИЗОБРЕТЕНИЕ: РОЖДЕНИЕ, ЭВОЛЮЦИЯ, НЕУСТОЙЧИВОСТЬ Издательство Томского университета 2004 2 УДК 007 + 101+ 316+502 + 519 + 612 ББК 60.5 + 22.18 + 88 + 72. C Соснин Э.А., Пойзнер Б.Н. C54 Университет как социальное...»

«ГБУК Брянская областная научная универсальная библиотека им. Ф.И. Тютчева МУНИЦИПАЛЬНЫЕ БИБЛИОТЕКИ БРЯНСКОЙ ОБЛАСТИ Аналитический обзор 2013 Муниципальные библиотеки Брянской области в 2013 году: аналитический обзор / ГБУК Брянская областная научная универсальная библиотека им. Ф.И. Тютчева; ред.-сост. О.Ю. Куликова. – Брянск, 2014. с. 2 Содержание Дедюля С.С. Итоги работы муниципальных библиотек Брянской 4 области за 2013 год.. Бондарева Л. Г. Анализ кадрового состава библиотек области. 13...»

«И.М.Лифиц СТАНДАРТИЗАЦИЯ, МЕТРОЛОГИЯ И СЕРТИФИКАЦИЯ УЧЕБНИК Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальностям Коммерция, Маркетинг, Товароведение и экспертиза товаров 5-е издание, переработанное и дополненное МОСКВА • ЮРАЙТ • 2005 УДК 389 ББК 30.10ц; 65.2/4-80я73 Л64 Рецензенты: М.А. Николаева — доктор технических наук, профессор, действительный член Международной академии информатизации: Г.Н....»

«Международный консорциум Электронный университет Московский государственный университет экономики, статистики и информатики Евразийский открытый институт С.А.Орехов, В.А.Селезнев Менеджмент финансово-промышленных групп (учебно-практическое пособие) Москва 2005 1 УДК 334.7 ББК 65.292 О 654 Орехов С.А., Селезнев В.А. МЕНЕДЖМЕНТ ФИНАНСОВО-ПРОМЫШЛЕННЫХ ГРУПП: Учебно-практическое пособие / Московский государственный университет экономики, статистики и информатики. — М.: МЭСИ, 2005. — 176 с. ISBN...»





Загрузка...



 
© 2014 www.kniga.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Книги, пособия, учебники, издания, публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.