WWW.KNIGA.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Книги, пособия, учебники, издания, публикации

 


Pages:   || 2 |

«М.Ю. Андреев, И.Г. Поспелов ПРИНЦИП РАЦИОНАЛЬНЫХ ОЖИДАНИЙ: ОБЗОР КОНЦЕПЦИЙ И ПРИМЕРЫ МОДЕЛЕЙ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР им. А.А. ДОРОДНИЦЫНА РАН МОСКВА 2008 1 УДК 519.86 ...»

-- [ Страница 1 ] --

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР

им. А.А.ДОРОДНИЦЫНА

_

СООБЩЕНИЯ ПО ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКЕ

М.Ю. Андреев, И.Г. Поспелов

ПРИНЦИП РАЦИОНАЛЬНЫХ

ОЖИДАНИЙ: ОБЗОР КОНЦЕПЦИЙ И

ПРИМЕРЫ МОДЕЛЕЙ

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР им. А.А. ДОРОДНИЦЫНА РАН

МОСКВА 2008 1 УДК 519.86

ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР

академик РАН А.А. Петров Принцип рациональных ожиданий лежит в основе современной экономической теории. В работе рассматриваются существующие формализации этого принципа и приводятся некоторые специфические примеры применения этой концепции.

Работа выполнена при финансовой поддержке:

– РФФИ (проект № 07-01-00563);

– РГНФ (проект № 07-02-00362);

– РФФИофи (проект № 07-01-12032);

– гранта Президента РФ по государственной поддержке ведущих научных школ (проект № НШ– 2982.2008.1);

– ПФИ РАН №14 – проект 111;

– ПФИ ОМН РАН №3 – проект 314.

Рецензенты: И.С. Меньшиков, Г.Г. Канторович Научное издание Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН, Введение Слово «модель» у специалистов по информатике и прикладной математике обычно ассоциируется с представлением о динамической системе (марковском процессе, программе), которая дает прогноз, рассчитывая последовательные изменения состояния по рекуррентным формулам, отражающим причинные связи в моделируемой системе (задача Коши).

При моделировании поведения разумного существа (ЛПР), возникает управляемая динамическая система. В ней часть переменных (управления) определяются не причинными связями, а неким принципом оптимальности. Этот принцип обычно требует «заглядывать в будущее», но наилучшей формой решения задачи оптимального управления справедливо признается синтез управления (обратная связь), т.е. определение значений управлений как функций наблюдаемых состояний и возмущений. Таким образом, мы снова приходим к обычной динамической системе.



При таком подходе молчаливо предполагается, что исследователь операции обладает более широкими знаниями и более мощными средствами анализа, нежели все имеющие отношение к делу ЛПР, вместе взятые. Во многих случаях дело так и обстоит, что и обусловило успех практических приложений исследования операций. Но чем обширнее часть общественной системы, которую мы хотим смоделировать, тем разительнее оказывается разрыв между сложностью системы и возможностями ее детального формализованного описания. Соответственно, способность автора модели «думать за всех и лучше всех» становится все более сомнительной.

Между тем, «в недрах» теории игр и математической экономики незаметно для окружающих научных дисциплин уже довольно давно и широко развиваются модели иного типа, которые можно назвать моделями согласования рациональных ожиданий. Эти модели базируются на особом стиле аргументации, предполагающем, своего рода, равноправие исследователя и исследуемого субъекта, и описывают эволюцию системы решениями краевых задач, а не задач Коши.

При беглом взгляде рассуждения, обосновывающие эти модели, могут произвести впечатление некоторой схоластической вычурности и даже «обмана». И применяются эти модели в основном для анализа довольно абстрактных проблем экономической теории [38]. Однако недавно мы обнаружили, что модели этого типа могут количественно верно описывать движение современной российской экономики, причем описывать даже более точно, чем это делали наши прежние модели, имевшие форму обычных динамических систем [47]. Для иллюстрации приведем здесь только два графика из последних расчетов по модели, подробно описанной в [41].

ВВП, млрд. руб. 2000г. в квартал инфляция, в квартал 4000 0. 3500 0. 0. 2000 0. -0. 0 -0. 123412341234123412341234 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2003 2004 2005 2006 Рис.1. Основные макроэкономические показатели: серая линия – статистика, черная – расчет по модели В связи с этим мы сейчас рассматриваем модели согласования рациональных ожиданий как самый перспективный аппарат моделирования экономических процессов. Цель настоящей работы – обратить внимание коллег из смежных областей на факт существования моделей непривычного типа, на их особенности, возможности и трудности.

Динамические модели межвременного Детерминированная модель Эрроу-Дебре без Хотя данная работа не является систематическим изложением предмета, начать придется с несколько упрощенного представления признанной основы современных математических моделей замкнутой децентрализованной экономики – модели, предложенной в 1950х годах К. Эрроу и Д. Дебре [13].

Модель Эрроу-Дебре описывает мгновенный процесс производства, распределения и потребления конечного набора продуктов T конечным числом агентов, независимо принимающих решения в пределах своей компетенции. Агенты делятся на потребителей и производителей, причем потребители трактуются как физические лица, а производители – как юридические лица (фирмы), находящиеся в долевой собственности потребителей.

Производители m M занимаются тем, что преобразуют одни продукты в другие. Для этого одни продукты производитель приобретает, а другие отдает в обмен на приобретенные. Разница отданного и приобретенного продукта назыm вается чистыми продажами yT. Производитель m M характеризуется множеством допустимых чистых продаж Y m.





Свою деятельность каждый производитель планирует так, чтобы максимизировать прибыль от чистых продаж в известных всем агентам ценах p Потребитель n N приобретает и потребляет продукn товый набор cT, который приносит ему «удовольствие», измеряемое функцией полезности U n. Кроме функций полезности потребители различаются между собой начальными запасами продукта wn и долями участия nm 0, nm дающими часть прибыли фирмы m M, которая принадлежит n -у потребителю. Стоимость потребленного продуктового набора не должна превышать его доходов от продажи запаса и причитающейся ему прибыли фирм В детерминированной задаче это бюджетное ограничение одно, и потребитель выбирает продуктовый набор cT из бюджетного множества наилучший в смысле величины его полезности U n cT.

Равновесием в модели называется набор cT, yT, pT удовлетворяющий условиям:

Последнее неравенство – условие равновесия спроса на продукт и предложения продукта – неявно определяет равновесные цены pT.

Главное упрощение описанной выше модели по сравнению с исходной [13] – отсутствие ресурсов. Ресурсы – особого рода блага, начальные запасы которых имеются только у потребителей и влияют на полезность их потребления. С другой стороны ресурсы необходимы производителям для создания продукта. Ресурсы продаются по своим ценам, причем оплачивает их использование производитель, а выручка от продажи идет их владельцу, потребителю. Цены на ресурсы определяются из равновесия спроса и предложения на ресурсы. Содержательно ресурсы интерпретируются, чаще всего, как труд и капитал, причем капитал понимается в смысле основных производственных фондов. Считается, что основные фонды принадлежат потребителям-собственникам, которые предоставляют их производителям, например, на правах аренды.

Однако в современных условиях кажется более естественным, что собственники не знают состава основных производственных фондов на принадлежащих им предприятиях.

Скорее, собственники управляют фирмами на уровне финансовых операций, тогда как основные фонды принадлежат и управляются самими предприятиям. Тогда капитал выражает не стоимость основных фондов, а оценку стоимости прав собственника на получение части прибыли производителя.

Вариант модели равновесия, при котором управление фирмой осуществляется на уровне финансов, изложен ниже в разд. 1.4 и 3. Именно поэтому в качестве базового описания взята модель Эрроу-Дебре без ресурсов.

Отметим еще, что и в модели Эрроу-Дебре, и во всех описываемых ниже не авторских моделях в исходных формулировках фигурирует не функция полезности, а отношение предпочтения. Для сокращения текста мы всюду используем функцию полезности, но подчеркиваем, что все обсуждаемые ниже результаты не предполагают возможности сравнивать величины полезности различных агентов между собой.

1.2 Эффективность равновесия и закон Вальраса Равновесие в модели Эрроу-Дебре при определенных предположениях о регулярности модели существует и, как правило, единственно с точностью до произвольной нормировки цен. Это равновесие обладает важнейшим свойством эффективности: объемы производства и потребления в равновесии оказываются такими же, как в решении задачи благосостояния – централизованной максимизации взвешенной с некими весами суммы полезности потребителей при ограничениях материального баланса (1.4). При этом равновесные цены оказываются пропорциональными множителям Лагранжа при ограничениях (1.4) в задаче (1.5), а весовые коэффициенты a n определяются начальными запасами wn и долями участия nm.

В равновесии (1.2) и (1.4) обращаются в равенства, и система этих равенств оказывается зависимой (закон Вальраса). В результате цены определяются только с точностью до множителя, что, как мы увидим, создает большие трудности для стохастических обобщений модели (см. разд. 2.5).

Автор концепции общего экономического равновесия Л. Вальрас [44] отметил, что стоимости спроса и предложения в замкнутой экономике равны друг другу, поскольку доходы агентов образуются из расходов других агентов и наоборот1.

В более общем случае, когда рассматриваются возможности кредитования, заимствования и эмиссии, закон Вальраса оказывается следствием фундаментального свойства замкнуНо Л. Вальрас не учел, что это тождество делает условия равенства спроса и предложения на отдельные товары зависимыми («ошибка Вальраса»).

тости финансовых потоков [49], и свобода масштабирования цен в какой-то форме сохраняется при всех усложнениях модели равновесия. Поэтому даже при самом либеральном подходе к организации экономики в ней остается возможность и необходимость монетарного регулирования. В экономической теории эту степень свободы часто ассоциируют со свободой назначения учетной ставки Центральным банком.

Рациональные ожидания как принцип Равновесие (1.3) - (1.4) – статическое. Оно описывает поведение агентов в какой-то изолированный момент времени или в строго стационарном процессе, когда цены не только не изменяются со временем, но и самая возможность их изменения агентами не рассматривается. В таком ограниченном смысле конструкция не вызывает нареканий. Если же попытаться построить по схеме Эрроу-Дебре динамическую модель, то немедленно возникнет одна из главных проблем построения динамических моделей экономики вообще. В динамической модели целевая функция агента должна зависеть от будущих результатов его деятельности. Но, чтобы планировать эту деятельность, агент должен прогнозировать будущие цены. Возникает парадокс: с практической точки зрения модели строятся для того, чтобы помочь агентам прогнозировать цены, а оказывается, что для построения модели нужно знать, как агенты делают эти прогнозы.

Для радикального преодоления указанного парадокса был предложен принцип рациональных ожиданий [19, 24].

Считается, что первым, кто сформулировал гипотезы, лежащие в его основе, был J. Muth [30]. Его идея была подхвачена и применена к большому спектру моделей Р. Лукасом. В 1970-1980х существовавшие ранее формальные схемы описания экономических равновесий наполнились новым содержанием и подверглись глубокому исследованию [24, 53], в результате чего принцип рациональных ожиданий стал уже признанной теоретической основой новых исследований. Сформировалось несколько вариантов понятия рациональных ожиданий – в сильной, слабой форме и форме полного предвидения.

Обозначим через It,h информационное множество, доступное агенту h в конце периода t. Информационное множество образуют известные (наблюдаемые) агенту значения экономических показателей. Пусть Et,hut k – субъективное ожидание (прогноз), сформированное агентом h относительно значения, которое примет переменная u в периk, k 1. Пусть также E ut ное, т.е. вычисленное в силу модели, связывающей, в конечном счете, решения всех агентов, ожидание значения ut k при условии It,h (через E здесь обозначен оператор математического ожидания). Объективное и субъективное ожидания могут не совпадать ввиду ошибки наблюдения или преднамеренного отказа агента от полного использования It,h в силу каких-либо причин. Говорят, что агент h обладает рациональными ожиданиями в слабой форме в отношении ut k, если Агент обладает рациональными ожиданиями в сильной форме, если агент обладает рациональными ожиданиям в слабой форме и его информационное множество на конец периода t содержит следующую информацию:

Подлинную структуру уравнений и классификацию переменных модели, включая правила принятия решения всех других агентов, применяемые для определения действий и формирования ожиданий Подлинные значения всех детерминированных экзогенных переменных модели Распределение вероятностей всех экзогенных случайных величин Реализовавшиеся значения всех эндогенных величин, наблюдаемых в модели на конец периода t По сути дела, речь идет о том, что агент может провести расчеты по модели, делая различные предположения о ненаблюдаемых переменных (например, переменных состояниях других агентов). Сопоставив результаты расчетов со значениями наблюдаемых переменными (например, рыночными ценами) и отобрав согласующиеся с ними гипотезы о ненаблюдаемых переменных, агент должен получить однозначный прогноз тех переменных (информационных), которые в рамках модели влияют на его решение, без систематической ошибки (см. (1.6)).

Это, конечно, очень сильное требование к модели. Поэтому вводится еще один уровень «рациональности ожиданий».

Агент обладает полным предвидением, если он обладает рациональными ожиданиями в сильной форме и Насколько можно судить, при пунктуальном следовании этой классификации, модель сначала изучают в предположении полного предвидения, которое обычно предполагает знание всех параметров, необходимых для полного расчета, а затем доказывают, что модель является моделью рациональных ожиданий в сильной форме. Т.е. наблюдения текущих значений информационных переменных, доступных агенту, согласно модели достаточно для принятия того решения, которое получается в предположении полного предвидения [37].

Впрочем, такая пунктуальность проявляется редко, да и сами приведенные выше определения не слишком строги и исчерпывающи. Обычно, ссылаясь на принцип рациональных ожиданий, предполагают просто, что агенты обладают точным прогнозом всех необходимых им информационных переменных на тот период, на который они планируют деятельность. Ниже мы так и будем рассуждать.

Здесь, правда, важно обратить внимание на пункт о знании модели и о согласии с ней. Если в модели агент поставлен в положение агента, принимающего цены как данность (в условия свободной конкуренции), то расчет в предположении полного предвидения он должен вести, не пытаясь управлять ценой как монополист, знающий намерения контрагентов. Это самоограничение может показаться чистой софистикой, и оно действительно будет таковой, когда речь идет о взаимодействии двух-трех лиц. Но показатели экономической конъюнктуры определяются действиями макроагентов [41], т. е.

группами из миллионов субъектов, исполняющих сходные роли в экономики, не подозревающих даже о существовании друг друга. Макроагенты не обладают рефлексией, и для одного из составляющих их субъектов, рассчитывающего прогноз по модели, положение «все знает, но повлиять не может» очень естественно.

Принцип рациональных ожиданий подразумевает, что экономический агент может и должен наиболее эффективно использовать имеющуюся у него информацию, поэтому нельзя считать, что реально действующие в экономике агенты глупее тех, кто строит модели прогнозирования экономики.

Почему агенты в своих прогнозах должны пользоваться моделями, в которых предсказанные агентами значения не совпадут с реализующимися в равновесии? Если агентам представить модель, в которой прогнозируемое значение совпадает с реализовавшимся в равновесии, то, увидев ее эффективность, он станет ее использовать. Поэтому, как следствие принятия принципа рациональных ожиданий в самой сильной форме (полное предвидение), необходимо также принять предположение о самосогласованности прогнозов агентов, т.е. в равновесии устанавливаются такие значения информационных переменных, какие и ожидали увидеть агенты.

Можно предложить и менее строгую, но более короткую формулировку: агенты в модели используют для прогноза ту самую модель, которую мы строим.

Как отмечают критики принципа рациональных ожиданий, в случае рациональных ожиданий в сильной форме каждый агент настолько много знает об экономике, сколько порою не под силу знать эксперту, составляющему модель. Поэтому нужно отметить, что сам Р. Лукас не предполагал, что в реальности агенты способны предвидеть все возможные сценарии развития экономики, т.е., что они обладают всеми теми обширными знаниями, перечисленными в определении принципа рациональных ожиданий. Он лишь говорит о том, что, возможно, есть некоторые механизмы, обучающие правила, которыми пользуются агенты, и результатом чего является принцип рациональных ожиданий. Исследованию таких механизмов посвящена обширная литература, например [35].

Здесь еще раз уместно вспомнить об упомянутых выше макроагентах. В этих больших группах субъектов действуют механизмы конкуренции, специализации и подражания, которые могут выработать у группы в целом поведение более рациональное, чем у каждого из составляющих ее индивидов [50].

Далее мы рассмотрим типовые и авторские модели, базирующиеся на принципе рациональных ожиданий, и покажем особенности этих моделей.

Детерминированная модель межвременного равновесия с управлением капиталом Как только мы принимаем принцип рациональных ожиданий, формальное распространение модели Эрроу-Дебре на описание экономической динамики на конечном числе последовательных периодов времени T становится сравнительно простым. Нужно просто считать один и тот же продукт, произведенный или потребленный в разные периоды времени, разными продуктами, а хранение продукта – производственным процессом, превращающим сегодняшний продукт в завтрашний. В результате получается модель межвременного равновесия [52, 46]. При этом все формулировки представленные в разд. 1.1. остаются в силе. Нужно только считать T множеством периодов времени, а переменные модели cT, yT, pT – векторами, компоненты которых соответствуют различным видам продуктов. Множества Y m становятся множествами допустимых траекторий развития производства, включающих описание возможностей и результатов инвестиций в основные и оборотные фонды. «Начальные запасы» wn описывают теперь спонтанное поступление продукта из внешней среды (например, манны небесной).

Впрочем, и после такой переинтерпретации, модель остается статичной. Мы не можем продвигаться в ней по времени шаг за шагом, поскольку конец равновесной траектории, отвечающей концу временного интервала t,..., T T, не является равновесием никакой аналогичной задачи. Подход к преобразованию модели межвременного равновесия ЭрроуДебре в динамическую конструкцию был предложен И.Г. Поспеловым в [51].

Предположим, что дивиденды nm m потребителю поступают частями, разделенными во времени Тогда изменение чистых сбережений агентов t можно описать уравнениями Сбережения потребителей растут за счет дивидендов и уменьшаются при покупке потребляемого продукта ctn. У производителя сбережения растут за счет чистых проnm ложительность чистых сбережений «по дороге» не предполагается, но требуется их неотрицательность в конце. Отрицательные чистые сбережения выражают долг агента перед другими агентами.

Дивиденды tnm можно представить как доход от операций с акциями фирмы, которыми позволено торговать. Если суммарное количество акций каждой фирмы не меняется, а рынки этих акций находятся в равновесии, то, как показано в [41, 51], дело сводится к тому, что собственники определяют временную пропорцию поступления дивидендов от фирм, а фирмы – сумму этих дивидендов. Формально поток дивидендов можно описать как уменьшение вложений tnm собственника n N в капитал фирмы m M, оцененное по не зависящему от времени курсу Сама же модель межвременного равновесия ЭрроуДебре сводится к следующей модели равновесия с управлением капиталом (подробнее см. [51, 41]).

Потребитель n N максимизирует полезность потребления U n cT и кредитоспособности стоянной цене капитала и заданном (правильном) прогнозе цен pt.

при ограничениях финансового баланса и кредитоспособности ном) прогнозе цен pt.

Цены на продукты pt определяются условием выполнения материального баланса В [51] показано, что при определенных условиях регулярности модели2 равновесие существует и эффективно.

Равновесные траектории натуральных показателей – производства и потребления – те же, что и в модели межвременного равновесия Эрроу-Дебре. Но введенные дополнительно финансовые показатели tm и tnm играют роль переменных состояния. Если их задать, то можно вычислить конец равновесной траектории как равновесие в «усеченной» модели3.

Тем не менее, состояние не определяет цены в следующий период. Задача на всех шагах остается краевой задачей межвременного равновесия, существенно опирающейся на терминальные условия (1.8), (1.10) (которые в равновесии с необходимостью обращаются в равенства).

Следует подчеркнуть то, что в модели управления капиталом потребитель-собственник управляет фирмой на уровне финансовых потоков. Фирма же самостоятельно принимает решение о выборе производственного плана, неявно включающего и план капитальных затрат.

Собственник в рамках модели просто не имеет представления о производственных мощностях, технологиях и т. д. Капиталовложения оказываются чисто финансовой величиной и не имеют ничего общего с основными фондами, часто также именующимися «капиталом». Во многих моделях это не так: например, в популярной модели [36] именно собственники принимают решение относительно реальных инвестиций.

В частности, необходимо, чтобы в начале каждый должник имел кредитора:

представляет собой эквивалент закона Вальраса.

Требуется еще динамическая параметризация множеств допустимых траекторий чистых продаж Y (см. пример в разд. 3.2.1), но это вопрос описания технологических процессов, при моделировании которых, в отличие от экономических отношений, применимость обычных динамических схем не вызывает сомнений.

Именно описанная выше схема была использована в упомянутой во Введении модели современной российской экономики [41] для описания взаимодействия собственников с производственным и финансовым секторами экономики.

Однако детерминированная модель с управлением капиталом демонстрирует и недостатки, которыми обладают детерминированные модели, основанные на принципе рациональных ожиданий.

Во-первых, цена капитала 0 остается постоянной во времени. Казалось бы, самая естественная интерпретация цены капитала это курс акций, который является весьма волатильным показателем. Следует заметить, что, если в балансе (1.9) во втором слагаемом в правой части поставить не постоянную цену капитала 0, а зависящую от времени tm, то на равновесной траектории все равно окажется, что 0 для всех t T. Поэтому, написав в постановке поt стоянную цену капитала, мы лишь воспользовались свойством решения.

Вторым недостатком оказывается то, что капиталовложения tnm и сбережения t определяются в равновесии существенно неоднозначно. Собственник может вложить свои сбережения в одну фирму, может вложить в другую, а может вообще сохранить их в денежной форме – ему все равно ввиду одинаковой доходности операций. При этом та часть решения задачи, которая отвечает натуральным показателям, остается неизменной. В упомянутой модели экономики России неоднозначность была частично снята дополнительными ограничениями на движение капитала и феноменологическими связями между финансовыми и реальными показателями (ограничениями ликвидности, (см. разд. 2.5)). Однако на вопрос, почему при выборе схожих инструментов, например, различных акций на одной торговой площадке, не возникает безразличие, детерминированная модель не отвечает.

Чтобы придать естественную динамику курсу, можно обратиться к стохастическому аналогу модели. Оказывается, что обобщение задачи на стохастический случай выявляет значительные теоретические трудности, которым в литературе, по мнению авторов, уделяется совершенно недостаточно внимания.

Стохастические динамические модели межвременного равновесия 2.1 Стохастическая модель чистого обмена Переход к стохастической постановке задачи равновесия обнаруживает совершенно новые качественные особенности задачи. Чтобы их проиллюстрировать, достаточно рассмотреть простейший частный случай модели Эрроу-Дебре – модель чистого обмена. В этой модели нет производителей, и потребители просто перераспределяют между собой спонтанно возникающие у них запасы продуктов. При этом оказывается возможным обойтись всего одним продуктом. Обмен им может иметь смысл, если, например, одни потребители хотят съесть, хоть немного, но пораньше, а другие готовы ждать дольше, чтобы съесть больше.

Запасы продуктов wtn считаем положительными случайными величинами, распределения которых известны всем агентам, а значение становится известным к моменту t. Точнее, предполагается, что wtn wn ( st ) 0, где st – отрезок s1,..., st последовательности случайных «состояний среды», каждое из которых зависит от предыстории. Возможные реализации будущего для потребителей, планирующих свою деятельность в начальный период времени t 0, можно представить конечным деревом исходов (рис.2).

Рис.2. Дерево исходов: возможные варианты реализации будущего потребителей Узлы дерева назовем позициями. Всем нетерминальным позициям st s1,..., st отвечает своя случайная величина st 1, реализация которой однозначно определяет ветвь дальнейшего движения. Случайные величины, отвечающие разным узлам, независимы, поэтому процесс перехода по дереву – марковский. Дерево сценариев задает частичный порядок на множестве позиций, который будем обозначать как st st ( st – начальный отрезок пути к позиции st ). Множество всех позиций st, включая корень дерева, обозначается через S, а множество терминальных позиций – sT (i ), i I. Наиболее длинную реализацию назовем длиною дерева: T max T i.

В позиции st потребитель n N может продать или купить продукт по ожидаемой в этой позиции цене p(st ). Он планирует объемы потребления cn ( st ) в каждой позиции st так, чтобы максимизировать ожидаемую полезность потребления где E – оператор математического ожидания по реализациям процесса st, и U n – гладкая функция полезности такая, что Потребитель ограничен в своем выборе межвременными бюджетными ограничениями В отличие от детерминированной модели здесь бюджетных ограничений много – столько, сколько реализаций у случайного процесса.

Равновесием (собственным) в модели чистого обмена назовем набор положительных цен p и объемов потребления cn, n N такие, что:

вектор потреблений c n максимизирует функционал (2.1) при бюджетных ограничениях (2.3);

выполнены условия материального баланса Оказывается, что в модели чистого обмена существует очень много таких равновесий. Рассмотрим конкретную реализацию sT (i ), i I. Как и в детерминированном случае, бюджетные ограничения (2.3) и материальные балансы (2.4) в ту же величину, что сложение (2.3) по n N, так что последwn ( sT ( i ) ) c n ( sT ( i ) ) тождественно следует из ний баланс остальных при любых значениях терминальной цены p( sT (i ) ).

Как показано в [40], собственное равновесие в стохастической модели чистого обмена существует при любом наборе положительных терминальных цен.

Но дело не только в том, что в детерминированном случае степень свободы в выборе цены одна, а в стохастическом их много. В детерминированном случае единственная степень свободы в определении цены сводится к произволу в нормировке цен, которая не влияет на решения агентов относительно производства и потребления ввиду линейной однородности функционалов (1.1) и ограничений (1.2).

В стохастическом случае потребление агента в позиции st существенно зависит от ожидаемого соотношения цен в ны результаты расчета равновесий для (простейшей) модели Для обоих графиков взяты одни и те же суммарные запасы продукта ( wn ( ) const ), но распределены суммарn 1, ные запасы между двумя потребителями по-разному.

Рис. 3. Множества собственных равновесий двух различных стохастических моделей чистого обмена (кресты) и решения задачи благосостояния (окружности) Кружками в верхнем правом углу обозначены решения задачи благосостояния – максимизации взвешенной полезности агентов при ограничениях (2.4) и различных значениях взвешивающих коэффициентов a n 0. Ясно, что эти значения ожидаемой полезности агентов не могут быть превзойдены на равновесных траекториях.

Заметим, что множество равновесий не замкнуто и, порою, у него нет Парето границы (рис. 3б). Предельные точки, изображенные окружностями, можно интерпретировать как несобственные равновесия с актуально бесконечно большими ценами. Их траектории интересны тем, что при реализации определенных событий на них происходит дефолт – все сбережения и долги агентов обесцениваются [40].

Таким образом, главное отличие стохастических моделей равновесия от детерминированных в том, что в стохастических моделях равновесий много, и, как правило, они не эффективны. Первое не позволяет использовать эти модели как дескриптивные, а второе – как нормативные.

Эти свойства были, видимо, замечены давно, и основное дальнейшее развитие теории стохастических равновесий было связано с идеей ввести в модель возможность страхования рисков, причем так, чтобы бюджетное ограничение снова осталось единственным. Об основных результатах, достигнутых в этом направлении, рассказано в следующих двух разделах.

Условные товары и стохастическая модель Идея страхования состоит в торговле условным контрактом: «я сделаю то-то, если случится то-то». Наиболее полное и формально наиболее простое распространение этой идеи на описание рискованных товарных рынков было дано в одной из первых стохастических моделей равновесия, предложенной К. Эрроу в 1950х [13, 1, 19:Ch.20]. В ее основе лежит понятие условного товара.

Снова рассмотрим модель чистого обмена4 с конечными множествами потребителей n N, и товаров l L 1,..., L. Рассматриваются только два момента времени: t 0 – «до», и t 1 – «после» реализации случайности.

Случайность вводится в модель предположением о том, что запасы продуктов у потребителей, а быть может, и их полезности зависят от состояния среды. Состояние среды это с точки зрения теории вероятностей – элементарный исход.

Набор элементарных исходов должен быть достаточно обширным, чтобы реализующиеся состояния среды взаимно исТолько для легкости сравнения с предыдущей моделью. Фактически модель Эрроу служит стохастическим обобщением полной модели Эрроу-Дебре ключали друг друга. Предполагается, что исчерпывающий перечень состояний среды s S 1,...,V задан. Состоянию Для любого товара l L и состояния среды s S единицей условного товара ls называется право получить единицу товара l в том и только том случае, если реализуется состояние среды s. Вектор условных товаров описывает совокупность прав получить набор товаров c,..., c что в начальный момент ни запасов, ни потребления нет.

В терминах условных товаров описываются все характеристики экономических агентов и цены. Начальные запасы потребителей – это вектор условных товаров который описывает образование набора запасов w1s,..., wLs у потребителя n N в случае реализации s. Предпочтения потребителей определены на множестве векторов условных товаров и задаются функциями полезности U n.

Далее делается очень сильное предположение о том, что для каждого условного товара ls существует свой рынок для торговли. Этот рынок открывается в начальный момент времени t 0 до того, как произошла реализация s. Цены а покупка условного товара означает право получить товар l при реализации состояния s. Все возможные поставки оплачиваются заранее (безусловно), хотя фактически реализуется только одна из поставок.

Существенным предположением данной модели является то, что все агенты способны распознать все состояния среды s и, более того, не спорить относительно того, какое состояние реализовалось в целях получения дополнительной выгоды.

Равновесием в модели Эрроу называется набор c, p, где p – вектор цен на условный товар, такой, что Для потребителя n на бюджетном множестве Выполнен материальный баланс C помощью леммы Гейла [42] показывается, что равновесие Эрроу-Дебре существует [2, 12, 13]. Более того, оно оказывается, как правило, единственным и всегда эффективным (см. например, [51]). Ключевым фактом для доказательства эффективности является то, что бюджетное ограничение потребителя (2.6) состоит лишь из одного неравенства.

Равновесие Раднера в модели со спот-рынками и ограниченным числом условных товаров В модели Эрроу легко доказывается существование и эффективность равновесия, но, к сожалению, эта модель нереалистична. Действительно, в модели Эрроу вся торговля осуществляется мгновенно в начальный момент времени еще до того, как реализовалось какое-то состояние среды. В действительности же мы видим, что торговля осуществляется в каждый момент времени.

Будем рассматривать ту же самую ситуацию, что и в предыдущем подразделе, но предположим, что помимо рынка условных товаров в момент времени t 0 (форвардный рынок) в момент времени t 1 открываются рынки для торговли товарами (спот-рынки). Эти рынки функционируют после того, как стало известно состояние среды s, но еще до того, как потреблен доставленный с условного рынка товаров набор продуктов c1s,..., cLs. Возникнет ли желание у потребителей торговать продуктом на спот-рынках? Ответ – нет, не возникнет. Это следует из свойства эффективности равновесия.

Ситуация меняется, если не все LV рынков условных товаров открываются в момент t 0. Тогда эффективное равновесие, которое было достижимо при наличии всех форвардных рынков, может перестать быть достижимым, и возникнет побуждение к торговле при t 1.

Если не все из LV рынков условных товаров доступны в момент t 0, то, как заметил еще Эрроу [1], при некоторых условиях возможность торговли в момент t 1 может обеспечить свойство эффективности равновесия. Для этого, оказывается, достаточно, чтобы существовала возможность торговли одним выделенным условным товаром в момент t на форвардном рынке, и цены спот-рынков в момент t правильно предугадывались агентами в момент t 0 (принцип рациональных ожиданий).

Итак, будем обозначать через ps R L вектор цен на спот-рынке. Через q q1,..., qV единственного товара l 1 L, представленного на форвардном рынке V условными товарами 1s. Тогда, зная цены все возможные реализации s.

Пусть предпочтения потребителей заданы функцией полезности U n.

Равновесием в модели Раднера [31, 19:Ch.20] называется набор q, pS, z N, cS, состоящий из векторов цен на усN при условии выполнения ограничений Выполнены балансы В отличие от равновесия Эрроу-Дебре, в равновесии Раднера торговля происходит не только в начальный период времени, но и в остальные моменты времени при реализации любого состояния среды s. В связи с этим агенты сталкиваются уже не с одним, а со многими бюджетными ограничениями.

Тем не менее, показано, что равновесие в модели Раднера эффективно, более того, натуральная часть равновесия cS оказывается такой же, что и в равновесии модели Эрроу [31, 28:Ch.19]. Т.е. с точки зрения натуральных показателей эти равновесия эквивалентны.

Равновесие Раднера уменьшает количество торгуемых условных товаров до V по сравнению с равновесием ЭрроуДебре, где их LV штук. Тем не менее, условный товар остается объектом, аналогию которому в реальности найти тяжело. Даже опционы не являются, по сути, примером условных товаров: факт исполнения опциона зависит от соотношения оговоренной заранее цены исполнения и стоимости ценной бумаги на момент исполнения, т.е. основание для исполнения опциона является производной величиной от равновесия на отдельном рынке (товарном или рынке ценных бумаг), а не некоторым независимым событием, каковыми считаются состояния среды s. Наверное, поэтому модели с условными товарами нашли свое применение лишь в теоретических конструкциях. Однако следует отметить, что модель равновесия Раднера отражает решающий для стохастических моделей момент: если номенклатура торгуемых активов, связывающих последовательные периоды времени, не меньше, чем число случайных исходов, то реализующееся равновесие эффективно. (В модели Раднера число условных товаров 1s, s S равно числу состояний среды s ). Этот момент исследуется в теории полных и неполных рынков, строящихся на базе модели с активами.

2.4 Полные и неполные рынки Поднятые в предыдущих разделах вопросы удобно изучать на абстрактных моделях равновесия, в которых речь идет о торговле активами. Активом называют право получения какого-то количества либо товара, либо денег в момент t 1. Количество получаемого товара или денег, т.е. доход, может зависеть от состояния среды s. Если доход по активам выплачивается в натуральной форме, то актив называют реальным. Если доход выплачиваются в форме денег, то актив финансовый.

Приведем простейшую модель, в которой будут рассматриваться реальные активы, выплаты по которым производятся однородным продуктом.

Единицей актива или ценной бумагой будем называть право получить количество rs продукта l 1 в момент времени t 1, если реализуется состояние s. Тогда актив полноr (1),..., r (V ) R V.

стью характеризуется вектором дохода r 1,..., K. Вектор цен на активы, торгуемые в момент вреK ство соответствующего актива, принадлежащего потребителю n N по окончанию торговли в момент времени t 0.

В момент t 1, когда реализуется случайное состояние среды s S, у потребителей появляются запасы wn (s), которые он может продать на спот-рынке по цене p ( s ), чтобы купить потребление c n ( s ). Обозначим c n c n (1),..., c n (V ) RV, Равновесием в модели с активами называется набор при бюджетных ограничениях Выполнены балансы В модели с активами матрицей активов будем называть V K матрицу, k -я колонка которой является вектором дохода k -го актива:

Рынок (структура активов) называется полным, если Rg R V, т.е. если среди активов K найдутся V штук таких, независимы. Иначе рынок считается неполным [26, 28:Ch.19].

Оказывается, что, если рынок полный, то в модели с активами реализуется эффективное равновесие (например, [28:Ch.1]). В этом равновесии натуральные показатели, потребления c N, опять же совпадают с потреблениями, реализующимися в модели Эрроу. Между остальными элементами равновесия модели с активами и модели Эрроу устанавливается определенная связь. Если же рынок неполный, то равновесие может не существовать [21], а если и существует, то в случае общего положения неэффективно [16, 19:Ch.30].

Для полноты рынков существенно не количество активов, а размерность линейной оболочки векторов выплат r k.

Именно ее размерность, а не просто число активов, должна быть не меньше, чем число случайных исходов.

Если же векторы выплат какой-то подсистемы активов K K уже имеют линейную оболочку размерности V, то оказывается, что цену qi любого актива i K \ K можно представить как В связи с этим часто говорят, что добавление нового актива не изменяет равновесия на полном рынке. Однако это не совсем корректно. Если добавляется реальный актив, то изменяется суммарный продукт в экономике, а это изменяет равновесие.

Условия (2.9)-(2.8) содержательно означают, что потребителю достаточно выбирать портфель среди определенного набора бумаг. Если же активов больше, чем достаточно для полноты рынка, то потребитель начинает выбирать портфель в рамках поля безразличия, которое тем больше, чем больше число активов. Также это означает, что, если число активов K больше числа, достаточного для полноты, то существует достаточно большое количество наборов K K, векторы доходов которых образуют линейные оболочки размерности V, а остальные активы K \ K «раскладываются» по выбранным активам.

В заключение следует отметить, что понятие полноты и неполноты рынков меняется от модели к модели. Нет общепринятого определения полноты так же, как и нет единого стандарта модели с активами. Понятие полного рынка, как представляется, связывается с некоторым хорошим свойством равновесия, чаще всего – эффективностью, которое появляется благодаря некой полноте.

Проблема неоднозначности и множественности Вопрос о количестве равновесий волновал экономистов давно, а первые значимые результаты для детерминированных моделей были получены в 1970 Д. Дебре [14]. Но до середины 90х годов факту существования множества равновесий в стохастических задачах ввиду произвольности терминальных цен (как в модели чистого обмена из раздела 2.1) не уделялось должного внимания, а модели зачастую формулировались для фиксированных терминальных цен, предполагая, что от терминальных цен ничего не зависит, что не всегда соответствует действительности.

Однако после примера, приведенного в [7], строгого разбора общего случая и доказательств, данных в [17], ситуация стала более ясной. Авторы указали существенные различия между равновесиями моделей с реальными активами и равновесиями моделей с финансовыми (номинальными) активами. Как уже упоминалось, реальные активы приносят доход и покупаются за единицы потребляемого продукта, номинальные – за денежные единицы.

В моделях и с реальными активами, и с номинальными, в первую очередь, проводится тест Вальраса [19:Ch.30:Sect.3] на соотнесение количества неизвестных модели и линейнонезависимых уравнений. И в тех, и в других моделях, как правило, выполняется тождество (закон) Вальраса в каждом периоде и при каждом состоянии среды. В приведенной выше модели с активами это означает выполнение тождественно V 1 уравнения, а значит, и неизвестных на V 1 больше, чем уравнений.

Как показано в [18], в модели с реальными активами степень свободы V 1 переменной никак не влияет на равновесие. Вне зависимости от полноты или неполноты рынков в моделях с реальными активами существует конечное число равновесий.

Совсем иначе обстоит дело с номинальными активами – равновесия определяются неоднозначно. Проблема неоднозначного определения получила название indeterminacy (неоднозначность5). Номинальной неоднозначностью называется такая степень свободы в определении элементов равновесия (как правило, терминальных цен), что изменение данных элементов не приводит к изменению равновесного потребления c N ( ), а может приводить к изменению лишь остальных элементов (цен p( ), стоимостей активов q и др.). Реальная неоднозначность – степень свободы, существенно влияющая на равновесное распределение потребления между агентами.

В модели с номинальными активами в случае, когда рынки полны, наличие финансовых активов приводит лишь к номинальной неоднозначности степени V 1. В случае неполных рынков, как показано в [17], V 1 степень свободы в определении равновесия сводится к двум степеням свободы номинальной неоднозначности и V 1 степеням свободы реальной неоднозначности.

Следует отметить, что даже чисто номинальная неоднозначность стохастических равновесий представляет определенную концептуальную трудность с точки зрения принципа рациональных ожиданий. Для корректного определения равновесия мы должны считать, что все агенты прогнозируют цены одинаково. Прогнозы агентов мы описываем, исходя из принципа рациональных ожиданий, который утверждает, что правила поведения агентов определяются объективно существующими ограничениями экономики. Но если цены в равновесии определяются неоднозначно, то в рамках модели нет объективных ограничений, позволяющих агентам сделать Неоднозначность равновесий не следует путать с множественностью (multiplicity).

Последняя означает существование нескольких равновесий, при одних и тех же терминальных ценах и обусловлена существованием нескольких решений у одной системы уравнений *14+.

согласованный выбор одного из наборов терминальных цен.

Таким образом, неоднозначность равновесия, даже чисто номинальная, нарушает принцип самосогласованности прогнозов агентов.

2.6 Модель обмена с ограничением ликвидности Преодолеть неопределенность цен оказывается возможным, если явно описать в модели движение денег как средства платежа. Это подход был реализован, например, в [25]. Речь в этой модели идет о многостадийном процессе обмена товаром, в который вовлечено конечное число потребителей и государство, как регулирующий орган. Экономика живет два периода: после начального периода, обозначаемого как состояние s 0, реализуется одно из s 1,..., V состояний среды. Чтобы разделить действия, связанные с обменом товаров на деньги (продажей) и обменом денег на товары (покупкой), каждое состояние s 0,1,..., V было разделено на три стадии: s1, s2, s3. В первой стадии начального пеn риода 01 агенты обменивают свои начальные запасы w0 на сумму денег p0 w0 на центральной (государственной) бирже.

Общая сумма денег, которую они при этом получают, составляет фиксированную государством величину M 0. На второй стадии 02 каждый потребитель покупает у других потребителей по цене q портфель z n ценных бумаг k K, который гарантирует получение на второй стадии второго пеzk N k. Операции с ценными бумагами риода суммы денег k K – это обобщенное описание заимствования и одалживания потребителями средств друг у друга, чистый спрос на бумаги – нулевой. На третей стадии 03 потребители выкупают продукт с биржи по новой цене p0 и определяют величину своих чистых сбережений z0, которую они вернут на третей стадии второго периода. На стадиях второго периода все происходит аналогичным образом с той лишь разницей, что теперь потребители не покупают активы, а получают по ним выплаты. Государство на стадии s1 закупает товары wsn по цене ps на сумму M s.

Бюджетные ограничения потребителей имеют вид Условие равновесие спроса на деньги и предложения денег выражено следующими соотношениями:

В результате преобразований эти выражения приобретают форму количественной теории денег:

дели. Суммарное предложение денег M s это решение государства, объявленное агентам заранее. Выбором M s однозначно определяются все рыночные цены [25]. Таким способом преодолевается проблема неоднозначности.

Примеры динамических стохастических моделей с полными рынками: ценообразование активов Здесь мы рассмотрим примеры стохастических моделей, затрагивающих тематику ценообразования активов. В одной из них – стохастической модели с капиталом – также возникает множество равновесий при разных терминальных ценах на продукты. Однако в отличие от модели чистого обмена из раздела 2.1 будет рассмотрен случай полных рынков.

3.1 CAPM и CCAPM модели Модели формирования цены капитала CAPM (Capital Asset Pricing Model) получили распространение, в первую очередь, благодаря работам В. Шарпа [33] и Ф. Блэка [5] (последний распространил модель на случай отсутствия безрискового актива). Основная роль данных моделей – дать оценку текущей стоимости ценных бумаг (активов в терминах разд. 2.4), учитывая возможности торговли и неопределенность относительно будущего.

Рассмотрим уже описанную в разд. 2.4 модель с реальными активами и одним продуктом. Конечное число активов K 1,..., K, как и ранее, характеризуются векторами доходов r k r k (1),..., r k (V ) RV, s S 1,...,V, выраженных в единицах продукта. Предполагается, что функции полезности U n определены на множестве векторов c n c n (1),..., c n (V ), строго монотонны и строго вогнуты.

В этой модели, согласно разделу 2.5, возникает неоднозначность равновесий: есть степень свободы в определении терминальных цен на единственный продукт. Но при реальных активах эта неоднозначность номинальная, т.е. не влияет на равновесие. Воспользуемся этим и устраним неоднозначность, считая, что цена единственного товара при любом исходе s S одна и та же6: p ( s ) 1.

Обозначим через Z конус, натянутый на множество векторов доходов r k, k K, и предположим, во-первых, что все реализации запасов не выходят за пределы этого конуса Также предположим, что в равновесии цены активов q являются риск-нейтральными, т. е. существует константа A такая, что для всех k K верно qk AEs r k (s).

Если выполнены данные два условия, то для любого активами существуют константы A и a такие, что для всех мер, в [10].

Формула (3.1) является CAPM-моделью в ценовой форме. Более известна -форма CAPM-модели.

Такое устранение неоднозначности цен ассоциируется с использованием натуральных денег (золота, меди, раковин и т. п.) в противоположность используемым в настоящее время кредитным деньгам (обязательствам). Предлагаемый иногда возврат к натуральным деньгам представляется неразумным, поскольку колебания относительных цен нынешних «кандидатов в натуральные деньги» (золота, нефти, электроэнергии) столь сильны, что цены, измеренные в любом из этих продуктов, были бы гораздо менее стабильны, чем цены, измеренные в кредитных деньгах.

портфеля z с ненулевой рыночной стоимостью q z n следующим образом:

Согласно первому из предположенных условий, найдетm RK портфель.

Предположим также третье условие, что стоимость рыночного портфеля ненулевая qm 0 и var Rm 0. При данном предположении можно определить показатель любоn го портфеля z по следующей формуле:

Тогда при сделанных трх предположениях существует портфель b (базовый актив) с ненулевой рыночной стоимостью и b 0, и для любого портфеля z n с ненулевой рыночной стоимостью верно Из (3.2) следует, что для безрискового актива 0, поэтому, если безрисковый актив с ненулевой рыночной стоимостью существует, то он может быть взят в качестве портфеля b. Формула (3.3) легко интерпретируется: премия инвестора за риск растет пропорционально -коэффициенту выбранного портфеля. Сам -коэффициент в теории оценки ценных бумаг, при предположении, что аналоги всех возможных будущих событий уже когда-то происходили в прошлом, понимается как мера рыночного риска портфеля, отражающая изменчивость доходности портфеля по отношению к доходности рынка в среднем.

В модели CCAPM (Consumption-based Capital Asset Pricing Model) делается упор на выявлении роли предпочтений потребителей, выраженных функцией полезности, в определении стоимости активов посредством формул вида (3.1) и (3.3). Модели CCAPM часто строятся в непрерывном времени [6, 19:Ch.31:Sect. 4.4], опираясь на обширные результаты теории случайных процессов с рядом соответствующих нетривиальных теорем, или в дискретном времени, но с непрерывными случайными величинами [23]. Изложим наипростейший случай с дискретными периодами времени и дискретными случайными величинами [20].

Помимо потребления и запасов во второй момент времени необходимо ввести также потребление и запас в начальный момент времени. Бюджетные ограничения в простейшем варианте данной модели выглядят следующим образом:

Из условий первого порядка задачи потребителя n N получается, что что рассматривается случай полных рынков, откуда следует эффективность равновесия и свойство равенства отношений Т.е. выражение (3.6) фактически не зависит от индекса n. Из (3.6) следует, что Если существует безрисковый актив, то для него подставляя последнее выражение в (3.7), получаем главную формулу CCAPM в ценовой форме Согласно (3.8), стоимость любого актива равна приведенной ожидаемой стоимости будущих поступлений по активу плюс премия за риск. Из выполняющегося свойства равенства отношений предельных полезностей потребления по поwsn csn и самой формулы (3.8) требителям, равенства следует, что актив имеет большую цену, если выплаты r k по нему отрицательно коррелируют с общим потреблением wsn. Это кажется естественным, поскольку такой актив страхует потребителей в случаях плохих исходов s, когда запасы в экономике низки.

Аналогично формуле (3.3) выглядит -форма модели CCAPM с той разницей, что в качестве рыночного портфеля m берется актив с выплатами во втором периоде, равными Выражения для стоимости активов являются одним из тех, можно сказать, прикладных конечных результатов, которые могут быть получены из моделей общего равновесия, основанных на принципе рациональных ожиданий. Дальнейшие исследования, основанные на CCAPM, простираются от теории рыночного портфеля ценных бумаг до исследования более узких проблем, таких как проблема высокой наблюдаемой премии за риск и низких наблюдаемых безрисковых ставок процента [29, 11].

Далее покажем, как раскрывается вопрос ценообразования активов, и как выглядит выражение, аналогичное (3.8), в более последовательной модели, разработанной авторами.

Стохастическая модель с управлением

ФОРМУЛИРОВКА МОДЕЛИ

Рассмотрим стохастическое обобщение модели с управлением капиталом, представленной в раздел 1.4. Целью его разработки было стремление преодолеть указанные в разд. 1.4 недостатки детерминированной постановки, сохранив эффективность равновесия, но обойдясь без введения страхующих ценных бумаг, поскольку, как представляется, в России они до сих пор не играют существенной роли. Полученное обобщение подробно представлено вместе со всеми доказательствами в диссертационной работе М.Ю. Андреева [39].

В стохастической модели с управлением капиталом будем представлять время в виде той же древовидной структуры, что и в разделе 2.1 (рис.2). Обозначения оставим теми же, но для простоты сделаем некоторые упрощения.

В экономике производится единственный продукт, который используется как для потребления, так и для капитальных затрат, обеспечивающих производство в следующие периоды.

В дереве сценариев все ветви имеют одинаковую длину, т.е. экономика функционирует конечное число периодов, 1,,..., T, в каждый из которых происходит реализация случайной величины st.

Случайные величины в разные моменты времени считаем одинаково распределенными, независимыми, и принимающими конечное число значений st 1,...,V.

Рассмотрение случайных величин, распределенных поразному, неоднородного дерева сценариев и многих продуктов не привносит в модель ничего существенно нового и интересного.

В экономике действуют конечное число агентов двух типов: потребители-собственники и фирмыnN производители m M. Агенты принимают решения, зная позицию, в которой находится процесс и вероятности дальнейшего развития процесса.

Потребители максимизирует ожидаемую полезность потребления по объемам потребления c n ( sT ) 0, чистым сбережениям и вложениям K nM ( sT ) 0 потребителя n N в капиT тал фирм m M при финансовых ограничениях Ограничения финансового баланса (3.11) и кредитоспособности (3.12) имеют тот же вид и смысл, что и (1.7), (1.8), за тем лишь исключением, что цены капитала фирм m ( st ) считаются теперь не постоянными, а зависящими от позиции (случайными). Зависимость цен продукта и капитала от позиции, согласно принципу рациональных ожиданий, считается потребителю известной.

Фирмы выпускают продукт и делают капитальные затраm (s ) ты I. Выпуск продукта фирмой m M определяется как произведение случайной эффективности производства m ( st ) 0 на производственную мощность, которая считается равной сумме предшествующих капитальных затрат. Величина чистых продаж фирмы y m ( st ) не может превосходить разницу выпуска и капитальных затрат. Все эти предположения мы записываем как одно технологическое ограничение которое служит явным описанием допустимого множества чистых продаж Y m (см. разд. 1.1, 1.4). Источником всей случайности в модели служат колебания эффективности производства m ( st ) 0.

Фирма максимизирует капитализацию в первый момент времени тальным затратам I m ( sT ) 0 при технологическом ограничении (3.13), финансовых ограничениях по форме и смыслу аналогичных ограничениям (1.9), (1.10) и еще одном важном ограничении ((3.17)), отсутствующем в детерминированной модели, но имеющем точные аналогии в задачах финансового анализа: текущая стоимость актива равна приведенной будущей стоимости.

При одних только ограничениях (3.13), (3.15), (3.16) задача (3.14) оказывается неразрешимой – фирма будет в некоторых позициях завышать цену своего капитала m ( st ) до бесконечности. Мы предполагаем, что таким заявкам остальные участники рынка просто не поверят, и фирмы вынуждены давать оценки своего капитала «в рамках приличий», ориентируясь на некий общий стохастический тренд изменения этих оценок f ( st 1) Тренд f ( st 1 ) по смыслу аналогичен биржевым индексам, типа индекса Доу-Джонса. В рамках модели он определяется условиями равновесия (выражения приведены в разд. 3.2.3). В [39] показано, что в более сложной модели величина f ( st 1 ) 1 1 может быть также интерпретирована как банковская процентная ставка.

Может показаться странным, что здесь и выше в разд. 1.4 мы предлагаем новые постановки в такой, казалось бы, «исхоженной» области, как описание поведения фирмы.

Дело в том, что, как ни странно, но единой общепринятой теории поведения фирмы до сих пор не существует. В 1954г.

Эрроу и Дебре в своей статье [2] определили цель поведения фирмы как максимизацию ее рыночной стоимости. Под рыночной стоимостью фирмы подразумевалась стоимость текущих и будущих чистых продаж. В случае полных рынков все собственники фирмы единогласно поддерживают данную цель фирмы, поскольку преследование данной цели фирмой соответствует максимально широкому бюджетному множеству собственников. В случае с неполными рынками единодушие (unanimity) среди собственников в выборе производственного плана проявляется только при определенных условиях, как, например, в моделях [15] и [27].

В модели с управлением капиталом собственники управляют фирмой на уровне финансовых потоков. Поэтому проблемы единодушия собственников не возникает.

Равновесие в стохастической модели с управлением капиталом – это набор такой, что собственника (3.10) - (3.12) цены неотрицательны p( sT ) 0, и выполнен материальный баланс.

Саму задачу (3.10)- (3.18) назовем задачей равновесия.

Равновесия модели с управлением капиталом будем сравнивать с решениями задачи благосостояния. Под задачей благосостояния, как и прежде, понимается задача управления всеми ресурсами из единого центра, т.е. максимизация функционала (2.5) при ограничениях (3.13) и (3.18). Решения задачи благосостояния обозначим через где p( sT ) – множители Лагранжа к ограничению (3.18). Каждому набору взвешивающих коэффициентов aN (см. (2.5)) соответствует свое (иногда, не единственное) решение задачи благосостояния.

Если компоненты какого-то решения задачи благосостояния совпадают с соответствующими компонентами равновесия модели с управлением капиталом, то последнее называется эффективным равновесием.

ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ

РАВНОВЕСИЯ В РЕГУЛЯРНОЙ МОДЕЛИ

Сформулируем достаточное условие существования равновесий при упрощающих предположениях о модели. Некоторые из них вводятся для облегчения доказательства, а некоторые по существу нужны для того, чтобы обеспечить эффективность равновесий. Все эти дополнительные ограничения на модель будем для краткости называть условиями регулярности модели.

1. Процесс изменения эффективности производства m ( st ) считаем стационарным и независимым: m ( st ) m (st ) (значение эффективности производства зависит не от всей предыстории реализации случайных величин, а лишь от текущей). Напомним, что сами случайные величины st считаются независимыми и одинаково распределенными.

2. Вложения в капиталы фирм в модели являются для собственников альтернативными видами рискованных сбережений. Как следует из теории неполных рынков, для эффективности равновесия нужно потребовать достаточного разнообразия этих форм вложений, а также определенных гарантий их доходности. Выполнение этих требований в рамках данного подхода обеспечивается следующими тремя соотношениями:

a. число фирм M равно7 числу случайных исходов:

Главное, чтобы не меньше. Строгое равенство вводится для упрощения рассуждений b. квадратная матрица эффективностей производства не вырождена:

c. существует хотя бы одна фирма m M, эффективность производства которой при всех исходах не меньm 3. Функции полезности потребителей U n ( ) считаем монотонными, вогнутыми и удовлетворяющими условиям (2.2).

шение выражает тот факт, что каждый должник в рассматриваемой системе имеет кредитора. Как показано в [51], без этого предположения трудно ожидать существования равновесий.

Частным случаем этой модели является стохастическая модель чистого обмена (разд. 2.1), в которой существует много равновесий, и они не эффективны. Поэтому следует ожидать, что без условий регулярности в модели с управлением капиталом ситуация была бы аналогична: существовало бы множество неэффективных равновесий. Однако условия регулярности модели гарантируют существование множества равновесий, которые эффективны.

Ключевым моментом снова оказывается выбор терминальных цен продуктов, которые в силу Закона Вальраса условиями равновесия не определяются. Назовем терминальные цены p(sT ) согласованными с начальными условиями K0, 0, M M 0 и такие, что Верно следующее утверждение: если выполнено условие согласованности (3.21)-(3.22), то в регулярной модели существует равновесие, и это равновесие эффективно [39].

Если выполнено условие согласованности (следовательно, равновесие существует), то m это не что иное, как цена капитала ( ). Поэтому смысл условия (3.21) состоит в том, что начальные сбережения 0 фирмы m M должны быть не слишком большими по модулю отрицательными числами (не слишком большой долг), чтобы приведенная будущая прибыль от чистых продаж печить положительную стоимость фирмы вие (3.22) означает, что долги потребителя n N долж- ны быть не слишком большими, чтобы его начальное благоm состояние 0 могло обеспечить положительное потребление.

Немаловажно, что верна вторая теорема теории благосостояния: любое решение задачи благосостояния можно реализовать как некоторое равновесие регулярной модели с управлением капиталом, подобрав соответNM N M ствующим образом начальные условия K0, 0, 0.

СВОЙСТВА РАВНОВЕСИЙ РЕГУЛЯРНОЙ МОДЕЛИ

Множество равновесий модели для фиксированных наNM N M чальных условий K0, 0, 0 при достаточно произвольных терминальных ценах p(sT ) таких, что выполнено условие согласованности, изображено на рис. 4. Это множество равновесий занимает целую область эффективной кривой.

Рис.4. Качественное изображение множества равновесий в стохастической задаче с капиталом (жирная кривая) и эффективное множество (тонкая кривая) Если условие согласованности выполнено, и, следовательно, равновесие регулярной модели существует, то такое равновесие обладает рядом свойств:

1. В конце траектории чистые сбережения и вложения капиталов производителей обнуляются 2. До конца траектории суммарные вложения капиталов в каждую фирму и цены капитала фирмы положительны 3. Цена продукта выражается в виде через терминальные цены и множители Лагранжа p( st ) из решения той задачи благосостояния, для которой выполнены условия (3.21), (3.22).

4. Стохастический тренд цен капитала имеет вид Из (3.24) в частности следует, что в среднем тренд цены капитала отсутствует В следующем разделе нам понадобится другое эквивалентное выражение тренда. В равновесии решения задач потребителя (3.10) - (3.12) и производителя (3.14)-(3.17) удовлетворяют достаточным условиям оптимальности из теоремы Куна-Таккера с единичными множителями Лагранжа при целевых функциях. Если обозначить через n ( st ) множители Лагранжа при ограничениях финансового баланса (3.11), то тренд f ( st ) можно выразить как

ЦЕНЫ АКТИВОВ

Вследствие (3.20) рынок, как система активов, в стохастической модели с управлением капиталом полный. Содержательно это означает, что имеющийся набор фирм достаточно разнообразен, чтобы диверсификация вложений капитала между ними страховала сбережения собственников от случайных потерь не хуже, чем идеальная всеобъемлющая система условных контрактов, описанная в разд. 2.2.

Цена капитала фирмы m ( st ) в нетерминальной позиции связана с будущей ценой капитала выражением (3.17):

По определению ковариации из (3.26) следует Данное выражение интерпретируется так же, как и в модели CCAPM (см. разд. 3.1): текущая цена капитала равна приведенной ожидаемой будущей цене капитала плюс премия за риск. Премия за риск – это ковариация между ценой капитала и трендом цены капитала.

Тренд f (st 1 ) в равновесии может быть представлен в форме (3.25). С другой стороны, в модели CCAPM в ковариации вместо тренда f (st 1 ) стоит просто производная функции что означает, что стоимость актива больше, если доходность актива отрицательно коррелирует с потреблением. Этот вывод выглядит естественным: если в плохих состояниях системы, т.е. при малом суммарном выпуске продукта, какой-то актив дает больший доход, то и ценится он больше. Однако выражения (3.27),(3.25) в совокупности несут другую зависимость: если во второй момент времени происходит общий рост чистых продаж, то 1) отношение производных функций полезности падает, 2) падает также цена на продукт во второй момент времени (эти два вывода – следствия (3.23) и свойств решения задачи благосостояния, которые достаточно очевидны). Эти две тенденции приводят к уничтожению эффекта, проявляющемуся в CCAPM. Поэтому, в отличие от модели CCAPM, в модели с управлением капиталом нельзя связать высокую текущую стоимость актива с отрицательной ковариацией суммарного потребления и будущей стоимости актива.

Следовательно, смысл второго члена в (3.27) иной. Чтобы его выявить, обратим внимание на первое равенство в (3.25). Множители Лагранжа n ( st ) соответствуют бюджетным ограничениям потребителей (3.11), а значит, величина n ( st ) показывает насколько сильно при тех или иных обстоятельствах потребитель нуждается в деньгах. Поэтому (3.27) интерпретируется следующим образом: текущая стоимость того актива больше, у которого будущая стоимость сильнее коррелирует с потребностью агентов в деньгах.

Причины различия выражений (3.27) и (3.7) и их интерпретаций для модели с управлением капитала и CCAPMмодели в том, что CCAPM-модель оперирует реальными активами и балансами (3.4),(3.5) в натуральных величинах, а не в финансовых (3.11).

Кого-то может смутить тот факт, что выражение (3.17) на связь цен капитала, из которого получено основное выражение (3.27), присутствует в формулировке модели, а не выводится из модели. На это следует заметить, что, во-первых, выражение (3.17) является распространенным в моделировании финансовых рынков: текущая стоимость актива равна приведенной стоимости будущей стоимости. Во-вторых, модель с управлением капиталом можно сформулировать подругому, изменив в формулировке модели с управлением капитала следующее:

1. исключить из формулировки условие связи цен капитала (3.17);

2. потребители по-прежнему управляют спросом на капитал K nm ( sT ), а фирмы больше не управляют ценой капитала ( st ), но зато управляют предложением капитала K m ( st ) ;

3. цена капитала определяется не фирмой, а на рынке капитала из равновесия спроса и предложения капитаK nm ( st ) K m ( st ).

ла:

В такой стохастической модели с рынком капитала продолжают существовать содержательно вс те же равновесия, а условие (3.17) теперь выполняется как условие оптимальности, причем (3.24) остается в силе. В этом отношении модель с рынком капитала кажется более логичной. Однако в ней есть свои трудности: функционал производителя становится (3.14) не зависящим от управлений производителя.

Модели с sunspot-равновесиями: общие В рассмотренных выше моделях случайность показателей экономической среды, таких как начальные запасы, производственные множества, является внутренней случайностью. Таким образом, стохастическая модель общего равновесия Эрроу [1] и е производные дают представление о том, как изменчивость показателей среды распространяется в экономике, приводя к подвижности цен и натуральных величин.

Но внутренняя случайность8 это не единственный возможный источник случайности в экономической среде.

Экономика с торговлей это социальная система, и поэтому, пытаясь оптимизировать свои действия, агенты могут пытаться предсказывать действия других агентов. Агент A, Часто различают понятие случайности и неопределенности, понимая под первым объективно существующие случайные величины, а под вторым нехватку информации агентов о будущем. Во всех рассматриваемых здесь моделях неопределенность сводится к случайности.

пытаясь спрогнозировать стратегию поведения агента B, должен спрогнозировать прогнозы агента B относительно других агентов, включая самого A. Для агента действия других являются неопределенными, так же как и его действия являются неопределенными для других. Можно предположить, что подобный процесс может генерировать случайность в действиях агентов даже тогда, когда показатели среды не случайны. Такая случайность может генерироваться рынком внутри экономики или может быть взята извне экономики в целях координации планов агентов. Эта случайность называется внешней.

В первую очередь, здесь имеется в ввиду «самооправдывающийся прогноз». Если, например, все верят в примету, что пятна на Солнце (sunspot) появляются перед биржевым крахом, то при появлении пятен все начинают избавляться от акций, и в результате крах действительно наступает, поддерживая в дальнейшем веру в примету. Общее понятие sunspot было впервые четко определено в [34].

Модели с sunspot-равновесиями это практически всегда модели общего равновесия с рациональными ожиданиям агентов в форме полного предвидения, которые предоставляют объяснение факта избыточной волатильности (дисперсии) показателей экономики. Разумеется, это не единственные модели, объясняющие избыточную волатильность, но единственные в классе моделей с рациональными ожиданиями. Обычно вопрос ставится следующим образом: высокочастотные колебания цен на фондовых рынках являются результатом постоянных шоков, которые испытывает экономика, или результат сигналов sunspot? На sunspot-моделях показывается, что всплески и резкие падения, т.е. избыточная волатильность, это результат реакции трейдеров на «состояния ума», а не состояния среды.

Следует также отметить, что понятие sunspotравновесий важно как единственный способ оправдания существования равновесия в стохастических моделях с управлением капиталом и чистого обмена, рассмотренных в разделах 2.1 и 3.2, в которых терминальные цены произвольны и являются согласованным объектом веры субъектов экономики. Если отвергнуть предположение, что терминальные цены – согласованный объект веры агентов, то оказывается, что равновесия не существуют уже в самой простейшей стохастической задаче – задаче чистого обмена.

Рассмотрим понятие sunspot-равновесия на простейшей модели. Пусть есть конечное число потребителей n N и конечное число товаров l L 1,..., L. Потребители наделены детерминированной величиной начальных запасов wn R L, а их предпочтения задаются функцией полезности U n. Экономика существует только один период, который разбит на три стадии: 0,1, 2. На стадии 0 рынки открываются, и заключаются соглашения на будущие поставки товаров. На стадии 1 наблюдается реализация экзогенной случайной величины x. На стадии 2 совершаются сделки согласно контрактам, заключенным на стадии 0.

Случайная величина x, наблюдаемая при 1, называется экзогенной, поскольку не влияет ни на начальные запасы, ни на предпочтения (ни на технологии в более общих моделях). Случайная величина x принимает конечное число значений x X 1,..., K с вероятностями 1,..., K, которые известны всем агентам. Величину x будем называть sunspot-сигналом.

Сравним два способа поведения агентов: первый, когда все агенты игнорируют сигналы x, второй – наоборот, когда сигналы x принимаются во внимание.

В первом случае мы получаем обычную детерминированную модель чистого обмена, где потребления определяются из условия максимизации полезности при бюджетном ограничении а цены – из условия материального баланса Во втором случае случайности следует учитывать с помощью модели Эрроу с условными товарами. Тогда цены считаются зависящими от сигналов p( x) R L, x X, и потребления также зависят от сигналов cn ( x) R L, x X, n N.

Задача потребителя это максимизация ожидаемой полезности при условии Также должен быть выполнен материальный баланс при каждом исходе x :

Принципиальный вопрос заключается в следующем:

влияет ли sunspot-сигнал x на равновесие в задаче (4.3)Под влиянием sunspot-сигнала понимается то, что cn ( x1 ) cn ( x2 ) для некоторого n N и x1 x2. Если сигнал не влияет на решение, то решение задачи (4.3)-(4.5) совпадает с решением задачи (4.1)-(4.2) с той лишь разницей, что В ряде публикаций, в том числе в [8], показывается, что, если в модели рынок полный (как в данной модели Эрроу), то sunspot-сигнал не влияет на равновесие.

Влияние sunspot-сигнала на равновесие проявляется при определенных условиях. В частности, когда рынки не полны [3], когда наложены ограничения на возможности торговли некоторых агентов на определенных рынках [4], а также, например, в моделях с перекрывающимися поколениями на бесконечном горизонте времени даже в случаях с полными рынками [9].

В случае неполных рынков sunspot-сигнал влияет на равновесие, т.е. среди множества возникающих в этом случае равновесий существуют равновесия подверженные sunspotсигналу, но, как правило, одновременно есть и равновесия без предрассудков, которые sunspot-сигналы игнорируют.

При этом равновесия без предрассудков доминируют подверженные sunspot-сигналу равновесия. Проиллюстрируем это на простейшей модели с неполными рынками – модели чистого обмена.

Пусть в модели чистого обмена (раздел 2.1) запасы от случайных величин не зависят, т.е. wn ( st ) wtn. Будем считать, что собственники по-прежнему согласованно ориентируются на случайную конечную цену p( sT ( I ) ), хотя объективных случайных процессов в физической среде, окружающей участников обмена, не происходит (именно поэтому мы имеем право назвать эти равновесия sunspot-равновесиями). В данном случае равновесия существенно зависят от сигнала p( sT ( I ) ) - их множество (рис.5).

Рис.5. Множество sunspot-равновесий в стохастической модели чистого обмена (кресты) и эффективная кривая (окружности) Среди множества всех этих равновесий можно выделить одно равновесие, которое не зависит от случайностей (является детерминированным). Это равновесие без предрассудков эффективно и доминирует все остальные.

Sunspot-равновесия в модели с перекрывающимися поколениями

ОПИСАНИЕ МОДЕЛИ

Описанные выше трудности с лишними степенями свободы возникают на конце горизонта планирования и в этом смысле родственны давней проблеме математической экономики, связанной с постановкой терминальных условий на конечном горизонте планирования [42]. Переход к бесконечному горизонту (см., например, [43]) или попытки выделить некие естественные терминальные условия (см., например, [48, 54]) помогают далеко не всегда. По этой причине в последние десятилетия большую популярность приобрели модели с перекрывающимися поколениями (OLG). В этих моделях отдельные агенты имеют конечный горизонт планирования, по истечении которого они исчезают из модели, но экономика продолжает функционировать за счет того, что исчезнувшие агенты замещаются новыми. Причем новые агенты появляются еще при жизни старых, так что поколения агентов не только сменяют друг друга, но и взаимодействуют на рынках.

Сразу заметим, что буквальная трактовка таких моделей как моделей исторического процесса смены поколений представляется неудовлетворительной, поскольку самые интересные свойства этих моделей проявляются в асимптотике на больших временах, а вся история индустриального общества насчитывает максимум 8-10 поколений. Тем не менее, свойства этих моделей столь любопытны, что их стоит изучать в расчете на более приемлемую интерпретацию.

Рассмотрим одну очень простую стохастическую модель с перекрывающимися поколениями. Будем считать, что экономика функционирует неопределнно долго в дискретном времени t T. Эта экономика состоит из однотипных агентов, каждый из которых живет два периода. В первом периоде, когда агент молодой, он нехотя работает, производя продукт y. Этот продукт он продает на рынке по текущей цене p и получает за это деньги. Во втором периоде, когда агент старый, он тратит все эти деньги на покупку потребительского продукта c и с удовольствием его потребляет. В совокупности старые потребляют все, что произвели в этом периоде молодые.

Агентов будем считать идентичными, а их число – одинаковым в каждом поколении. Тогда без ограничения общности можно считать, что в каждом периоде есть ровно один старый и один молодой агент.

Хотя рассуждения могут быть проведены в общем случае, для наглядности используем сразу конкретный вид функции полезности где все коэффициенты положительны. Убывающая зависимость от y выражает «отвращение» агента к труду. Что же касается зависимости от c, то использован будет только растущий отрезок параболы.

Предложение продукта yt определяется молодым агентом, максимизирующим ожидаемое значение полезности U ct 1, yt при балансовом ограничении pt yt ct 1 pt 1, т.е.

ожидаемое значение величины Пусть в какой-то момент в далеком прошлом старый агент обладал суммой денег M. Очевидно, что эта сумма переходит от поколения к поколению, не изменяясь, поэтому совокупный спрос на продукт всегда составляет ct M pt.

Фиксация денежной массы, как и в модели разд. 2.6, избавит нас от неоднозначности цен.

Условие равновесия должно, грубо говоря, дать связь между текущей и будущей ценой. Чтобы сделать это точно, надо определить, что такое ожидаемая полезность.

Предполагается, что из окружающего мира агентам поступает случайный сигнал st, представляющий собой стационарный марковский процесс с конечным множеством состояний S и переходной матрицей s, z. Физически этот сигнал на возможности агентов никак не влияет, но они могут верить, что конъюнктура рынка pt зависит от последовательности состояний st.

Исходя из принципа рациональных ожиданий, считаем, что все агенты знают вс о процессе st (но, разумеется, не о его реализации). А именно, все агенты знают множество состояний мира S, текущее состояние st, условные вероятности перехода состояния s в состояние z за один период, а также, что процесс смены состояний не зависит от функционирования экономики и не влияет на их потребности и возможности, за исключением возможного влияния на pt. При этом будем изучать только стационарные процессы изменения pt.

ВОЗМОЖНЫЙ ХАРАКТЕР ПРЕДРАССУДКОВ

Рассмотрим вопрос о том, как в принципе могут быть устроены такие «стационарные веры» у рационально мыслящих агентов9. В самом общем случае, совместимом с вероятностными представлениями, каждое pt может зависеть от ционарности требует только, чтобы Значение yt агент должен определить в момент t, наблюдая цену pt и зная предысторию st, независимо от s t 1, т.е. одинаково для всех возможных s t 1. Таким образом, задача максимизации ожидаемой полезности (4.7) дает выражение Агенты здесь «сдвинуты по времени», поэтому простые априорные предположения, использованные ранее, не выглядят ни убедительными, ни исчерпывающими.

Но фундаментальное свойство марковского процесса состоит в том, что будущее не зависит от прошлого при фиксированном настоящем, поэтому условные ожидания в (4.9) зависят только от текущего состояния st, а не от всей предыстории.

Следовательно, yt y( pt, st ).

Подставляя этот вид зависимости в условие равновесия (4.8), обнаруживаем, что в получившемся уравнении для pt в качестве параметров остается только текущее состояние st. Следовательно, мы вместе с рациональным и знающим модель агентом приходим к выводу, что цена может зависеть только от текущего состояния Дальше, однако, редукцию провести не удается. Нетривиальная зависимость вида (4.10) возможна и, как будет показано ниже, в данной модели не может быть отвергнута даже с нормативных позиций максимизации благосостояния агентов.

Соотношение (4.9) дает следующие выражение для предложения продукта а величина ожидаемой полезности (4.7) составляет Из условия материального баланса (4.8) получается уравнение для равновесной цены, как функции состояния процесса имеет положительное решение, не зависящее от s Это – равновесие без предрассудков, существование которого естественно ожидать ввиду сказанного в разд. 4.1. Однако уравнение (4.12) имеет и зависящие от s решения.

Поскольку сравнение равновесий с точки зрения благосостояния агентов в стохастической модели с перекрывающимися поколениями не вполне однозначно [22], рассмотрим сначала простейший детерминированный случай.

ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ РАВНОВЕСИЯ С ДВУМЯ

СОСТОЯНИЯМИ

Детерминированный марковский процесс это процесс, в котором состояния сменяют друг друга закономерно. Каждая строка ( s, ) переходной матрицы ( s, z ) такого процесса состоит из нулей и единственной единицы, отвечающей тому состоянию, которое закономерно сменяет s.

Невозвратные состояния [45] нас не интересуют, поскольку они не возникают в стационарном процессе. Если их исключить, то, как легко понять, матрица ( s, z ) станет матрицей перестановок, у которой в каждом столбце и в каждой строке имеется ровно одна 1. Такая матрица получается из единичной перестановкой строк и столбцов.

Перестановка однозначно разлагается в циклические перестановки. Это означает, что система (4.12) распадается на несвязанные подсистемы, в каждой из которых происходит циклическая смена состояний.

Таким образом, с точки зрения решения вопроса о существовании детерминированных sunspot-равновесий, единственной достойной изучения матрицей является матрица циклической перестановки, в которой все состояния проходятся по очереди. (Можно считать, что в порядке возрастания номеров.) Тогда из (4.12) получается система Формально это алгебраическая система порядка 2 S (после замены x( s) ), у которой мы знаем два решения:

0, которое не отвечает никакому равновесию, и решеp( s) ние без предрассудков (4.13).

Ограничимся рассмотрением случая двух состояний S 2. Тогда детерминированные равновесия могут быть только двухпериодными циклами.

Система сводится к уравнению четвертого порядка, у которого мы уже знаем два корня. Оставшиеся два корня имеют вид Таким образом, согласно (4.14), если 3 4, то существует только равновесие без предрассудков (4.13). Если же 1, то наряду с равновесием без предрассудков, существует еще два симметричных sunspot-равновесия, в которых цены (4.14) последовательно сменяют друг друга, т.е.

Меньшая цена p1 соответствует меньшему заработку молодого агента и, следовательно, меньшему потреблению данного агента, когда он станет старым. Т.е. агентов в зависимости от четности и выбора равновесия (4.15) можно поделить на бедных и богатых.

Сравним полезности потребления бедных и богатых агентов с полезностью потребления в равновесии без предрассудков (рис.6).

Рис.6. Зависимость ожидаемой полезности потребления в равновесии от параметра. Непрерывная линия – полезность в равновесие без предрассудков, пунктирная и точечная линии – полезность богатых и бедных в sunspot-равновесии В детерминированном двухпериодном sunspotравновесии поколения одной четности получают полезность большую, чем в равновесии без предрассудков, а поколения другой четности – меньшую. Кто именно получит больше, зависит от выбора конкретного из симметричных sunspot-равновесий (4.15), т.е. от предрассудков агентов. Однако в равновесии без предрассудков агенты получают больше, чем в среднем получают агенты в sunspotравновесии.

СТОХАСТИЧЕСКИЕ РАВНОВЕСИЯ С ДВУМЯ

СОСТОЯНИЯМИ

В этом разделе мы рассмотрим марковский процесс, в котором два состояния сменяют друг друга не закономерно, а с некоторой вероятностью. Будем считать, что все четыре элементы матрицы (, ) положительны. Величины q и r это вероятности смены первого и второго состояния. Возможные sunspot-равновесия в эргодическом марковском процессе с двумя состояниями и матрицей переходов (4.16) определяются решениями системы (4.12). Решения системы в конечном счете определяется квадратным уравнением в виде Чтобы sunspot-равновесие существовало, уравнение (4.17) должно иметь два действительных решения, и по крайней мере одно из них должно давать положительные значения p1, p2 из (4.18).

Поскольку выражение (4.17) оказалось довольно громоздким, были рассмотрены два частных случая:

1) в случае редких событий q, r 1, 1 состояние 2 возникает редко и держится недолго;

2) в симметричном случае q r, вероятность событий одинакова. Этот случай приближается к детерминированному при частой смене состояний, когда q r 1.

Оказывается, что sunspot-равновесия в случае редких событий при квадратичной функции полезности существовать не могут.

В симметричном случае sunspot-равновесия существуют и определяются решениями (4.17) при условиях Как и ранее, это означает, что существуют два симметричных sunspot-равновесия Легко проверить, что при q 1 эти равновесия превращаются в рассмотренные выше детерминированные двухпериодные равновесия (4.14).

Сравним полученные равновесия. Разумно сравнивать ожидаемые полезности поколений, родившихся в том или в другом состоянии. Сравнивать их нужно между собой и с равновесием без предрассудков:

a) для любого агента в равновесия без предрассудков б) для агента, родившегося при состоянии 1 в sunspotравновесии в) для агента, родившегося при состоянии 2 в sunspotравновесии Рис.7. Ожидаемые полезности потребления при различных q в равновесии без предрассудков (жирная сплошная линия) и в стохастическом равновесии для агентов, родившихся в разных состояниях (пунктирная и точечная линии) Средняя по агентам полезность в sunspot-равновесиях (как полусумма ожидаемых полезностей агентов, родившихся в состояниях 1 и 2, ввиду одинаковой частоты их появления в экономике) оказывается снова не выше, и, как правило, ниже полезности в равновесии без предрассудков (рис.7) при любых значениях q и из (4.19). Однако при любом значении q будет существовать интервал значений, уменьшающийся при q 0.5, при которых ожидаемая полезность одного из поколений все же выше, чем полезность в равновесии без предрассудков.

ВЫВОДЫ

Итак, в моделях с перекрывающимися поколениями, в отличие от обычных, рассмотренных в разд. 4.1, равновесие без предрассудков не обязательно доминирует sunspotравновесия.

Редкие события, во всяком случае, для квадратичной полезности (4.6), не закрепляются в циклах конъюнктуры как значимые сигналы, но частые случайные события и периодическая смена состояний среды могут служить значимыми sunspot-сигналами для смены конъюнктуры.

Кроме этого требуется еще большое значение величины, составленной из коэффициентов функции полезbd ности (4.6). Параметр b характеризует быстроту насыщения материальных потребностей, а параметр d – отвращение к труду. Поэтому малое значение должно быть у индивидуумов, которые высоко ценят свой труд, но имеют ненасытные материальные потребности, а большое у тех, кто готов работать весь день за чашку риса.

Исторических аналогий этому, похоже, нет. Во всяком случае, авторы не смогли здесь придти к единому мнению.

Принцип рациональных ожиданий был введен, чтобы из множества субъективно убедительных прогнозов выбрать один, выделяющийся согласованностью и ориентацией на объективную среду экономики. Но разобранные выше примеры, показали, что в большинстве случаев этот подход не решает вопрос разнобоя и произвола прогнозов вследствие существования проблемы неоднозначности равновесий. Как тогда относиться к моделям с неоднозначностью равновесий?

Как представляется авторам работы, возможны три подхода к решению данной проблемы.



Pages:   || 2 |
 


Похожие работы:

«И.И.Елисеева, М.М.Юзбашев ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СТАТИСТИКИ Под редакцией члена-корреспондента Российской Академии наук И.И.Елисеевой ПЯТОЕ ИЗДАНИЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению и специальности Статистика Москва Финансы и статистика 2004 УДК 311(075.8) ББК 60.6я73 Е51 РЕЦЕНЗЕНТЫ: Кафедра общей теории статистики Московского государственного университета...»

«Отечественный и зарубежный опыт 5. Заключение Вышеизложенное позволяет сформулировать следующие основные выводы. • Использование коллекций ЦОР и ЭОР нового поколения на базе внедрения современных информационных технологий в сфере образовательных услуг является одним из главных показателей развития информационного общества в нашей стране, а их разработка – коренной проблемой информатизации российского образования. • Коллекции ЦОР и ЭОР нового поколения – важный инструмент для повышения качества...»

«Научные исследования подавателей факультета I математики и информатики 70-летию университета посвящается УДК 517.977 Е.А. Наумович ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ КАФЕДРЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ (1979-2009 гг.) В статье приводятся краткие сведения из истории создания и развития кафедры дифференциальных уравнений и оптимального управления. Сформулированы основные научные направления и наиболее важные результаты, полученные сотрудниками кафедры. Приведена информации...»

«Направление подготовки: 010300.68 Фундаментальная информатика и информационные технологии (очная, очно-заочная) Объектами профессиональной деятельности магистра фундаментальной информатики и информационных технологий являются научно-исследовательские и опытноконструкторские проекты, математические, информационные, имитационные модели систем и процессов; программное и информационное обеспечение компьютерных средств, информационных систем; языки программирования, языки описания информационных...»

«министерство образования российской федерации государственное образовательное учреждение московский государственный индустриальный университет информационно-вычислительный центр Информационные технологии и программирование Межвузовский сборник статей Выпуск 3 (8) Москва 2003 ББК 22.18 УДК 681.3 И74 Информационные технологии и программирование: Межвузов ский сборник статей. Вып. 3 (8) М.: МГИУ, 2003. 52 с. Редакционная коллегия: д.ф.-м.н. профессор В.А. Васенин, д.ф.-м.н. профессор А.А. Пярнпуу,...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра информационных систем в экономике ДОПУСТИТЬ К ЗАЩИТЕ Заведующий кафедрой информационных систем в экономике Халин В. Г. “_”_2006 г. ДИПЛОМНЫЙ ПРОЕКТ По специальности 351400 “Прикладная информатика в экономике” На тему Проблемы формирования налоговой политики РФ в сфере IT-индустрии Студента Кошелевой Екатерины Алексеевны...»

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ А.М. ДЕНИСОВ, А.В. РАЗГУЛИН ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Часть 2 МОСКВА 2009 г. Пособие отражает содержание второй части лекционного курса Обыкновенные дифференциальные уравнения, читаемого студентам факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова в соответствии с программой по специальности Прикладная математика и информатика. c Факультет...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Владивостокский государственный университет экономики и сервиса _ М.А. ПЕРВУХИН А.А. СТЕПАНОВА ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА И ТЕОРИЯ КОДИРОВАНИЯ (Комбинаторика) Практикум Владивосток Издательство ВГУЭС 2010 ББК 22.11 П 26 Рецензенты: Г.К. Пак, канд. физ.-мат. наук, заведующий кафедрой алгебры и логики ДВГУ; А.А. Ушаков, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры математического моделирования и информатики ДВГТУ Работа выполнена при поддержке гранта...»

«Новые поступления. Январь 2012 - Общая методология. Научные и технические методы исследований Савельева, И.М. 1 001.8 С-128 Классическое наследие [Текст] / И. М. Савельева, А. В. Полетаев. - М. : ГУ ВШЭ, 2010. - 336 с. - (Социальная теория). экз. - ISBN 978-5-7598-0724-7 : 101-35. 1чз В монографии представлен науковедческий, социологический, библиометрический и семиотический анализ статуса классики в общественных науках XX века - экономике, социологии, психологии и истории. Синтез этих подходов...»

«СРГ ПДООС ПРЕДЛАГАЕМАЯ СИСТЕМА СТАНДАРТОВ КАЧЕСТВА ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОД ДЛЯ МОЛДОВЫ: Технический доклад (сокращенная версия, без приложений) Настоящий доклад подготовлен Полом Бяусом (Нидерланды) и Кармен Тоадер (Румыния) для Секретариата СРГ ПДООС/ОЭСР в рамках проекта Содействие сближению со стандартами качества воды ЕС в Молдове. Финансовую поддержку проекту оказывает DEFRA (Соединенное Королевство). За дополнительной информацией просьба обращаться к Евгению Мазуру, руководителю проекта в ОЭСР,...»

«Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ РУКОВОДЯЩИЙ РД ПГУТИ ДОКУМЕНТ 2.64.7-2013 Система управления качеством образования ПОРЯДОК ПЕРЕВОДА, ОТЧИСЛЕНИЯ И ВОССТАНОВЛЕНИЯ СТУДЕНТОВ В ПГУТИ Положение Самара 2013 РД ПГУТИ 2.64.7 – 2013 ПОРЯДОК ПЕРЕВОДА, ОТЧИСЛЕНИЯ И ВОССТАНОВЛЕНИЯ СТУДЕНТОВ В ПГУТИ Положение Предисловие 1 РАЗРАБОТАН Отделом качества образования ПГУТИ...»

«АНАЛИЗ РАБОТЫ ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ МОСКОВСКАЯ МЕЖДУНАРОДНАЯ ГИМНАЗИЯ ЗА 2011/2012 УЧЕБНЫЙ ГОД ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ КАДРЫ ГИМНАЗИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ КАДРЫ ГИМНАЗИИ В 2011/2012 учебном году в педагогический состав гимназии входило 122 человека. С целью улучшения научно-методического обеспечения учебно-воспитательного процесса в гимназии работали следующие кафедры: · Кафедра иностранного языка (зав.кафедрой – Сальникова Л.Т.) - 23 человека (19%). Из них...»

«ДОКЛАДЫ БГУИР №2 ЯНВАРЬ–МАРТ 2004 УДК 538.945 НАНОЭЛЕКТРОНИКА И НАНОТЕХНОЛОГИЯ В БЕЛОРУССКОМ ГОСУДАРСТВЕННОМ УНИВЕРСИТЕТЕ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ: ОТ ПЕРВЫХ ШАГОВ ДО СЕГОДНЯШНЕГО ДНЯ В.Е. БОРИСЕНКО Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники П. Бровки, 6, Минск, 220013, Беларусь Поступила в редакцию 19 ноября 2003 Представлены основные этапы развития работ по наноэлектронике и нанотехнологии в БГУИР. Показаны организационная структура научных исследований и...»

«МЕЖДУНАРОДНЫЙ КОНГРЕСС ПО ИНФОРМАТИКЕ: ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ И ТЕХНОЛОГИИ Материалы международного научного конгресса Республика Беларусь, Минск, 31 октября – 3 ноября 2011 года INTERNATIONAL CONGRESS ON COMPUTER SCIENCE: INFORMATION SYSTEMS AND TECHNOLOGIES Proceedings of the International Congress Republic of Belarus, Minsk, October' 31 – November' 3, 2011 В ДВУХ ЧАСТЯХ Часть 2 МИНСК БГУ УДК 37:004(06) ББК 74р.я М Р е д а к ц и о н н а я к о л л е г и я: С. В. Абламейко (отв. редактор), В....»

«Содержание 1 Организационно-правовое обеспечение образовательной деятельности 2 Структура подготовки магистров 3 Содержание подготовки магистров 3.1. Анализ рабочего учебного плана и рабочих учебных программ 3.2 Организация учебного процесса 3.3 Информационно-методическое обеспечение учебного процесса 3.4 Воспитательная работа 4 Качество подготовки магистров 4.1 Анализ качества знаний студентов по результатам текущей и промежуточной аттестации. 15 4.2 Анализ качества знаний по результатам...»

«СБОРНИК РАБОЧИХ ПРОГРАММ Профиль бакалавриата : Математическое моделирование Содержание Страница Б.1.1 Иностранный язык 2 Б.1.2 История 18 Б.1.3 Философия 36 Б.1.4 Экономика 47 Б.1.5 Социология 57 Б.1.6 Культурология 71 Б.1.7 Правоведение 82 Б.1.8.1 Политология 90 Б.1.8.2 Мировые цивилизации, философии и культуры 105 Б.2.1 Алгебра и геометрия Б.2.2 Математический анализ Б.2.3 Комплексный анализ Б.2.4 Функциональный анализ Б.2.5, Б.2.12, Б.2.13.2 Физика Б.2.6 Основы информатики Б.2.7 Архитектура...»

«Зарегистрировано в Минюсте РФ 16 декабря 2009 г. N 15640 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПРИКАЗ от 9 ноября 2009 г. N 553 ОБ УТВЕРЖДЕНИИ И ВВЕДЕНИИ В ДЕЙСТВИЕ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СТАНДАРТА ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ ПОДГОТОВКИ 230100 ИНФОРМАТИКА И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА (КВАЛИФИКАЦИЯ (СТЕПЕНЬ) БАКАЛАВР) (в ред. Приказов Минобрнауки РФ от 18.05.2011 N 1657, от 31.05.2011 N 1975) КонсультантПлюс: примечание. Постановление...»

«Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НОРМАТИВНЫЕ ДОКУМЕНТЫ САМАРСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ Выпуск 1 Издательство Универс-групп 2005 Печатается по решению Редакционно-издательского совета Самарского государственного университета Нормативные документы Самарского государственного университета. Информационные технологии. Выпуск 1. / Составители:...»

«ІІ. ІСТОРІЯ ФІЛОСОФІЇ Клаус Вигерлинг (Германия)1 К ЖИЗНЕННОЙ ЗНАЧИМОСТИ ФИЛОСОФИИ – ПО ПОВОДУ ОДНОГО СТАРОГО ФИЛОСОФСКОГО ВОПРОСА В статье производится ревизия современного состояния философии, анализируется её значение на основании философского анализа умозаключений, сделанных Гуссерлем, Хёсле. Данная статья подготовлена на основе двух докладов, которые были сделаны в университете Баня-Лука (Босния-Герцоговина). Ключевые слова: философия, жизненный мир, первоосновы, современное состояние...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ОТЧЕТ по результатам самообследования соответствия государственному образовательному стандарту содержания и качества подготовки обучающихся федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Бирский филиал Башкирский государственный университет по...»






 
© 2014 www.kniga.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Книги, пособия, учебники, издания, публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.