WWW.KNIGA.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Книги, пособия, учебники, издания, публикации

 

Министерство рбразования Республики Беларусь

Учреждение образования

Гродненский государственный университет имени Янки Купалы

УДК 517.925

Можджер Гражина Тадеушевна

ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОДНОГО КЛАССА

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

С РАЦИОНАЛЬНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ

01.01.02 – дифференциальные уравнения Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Гродно, 2005 Работа выполнена в Учреждении образования Гродненский государственный университет имени Янки Купалы Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор Мартынов И.П., Учреждение образования Гродненский государственный университет имени Янки Купалы, кафедра математического анализа Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Цегельник В.В., Белорусский государственный университет, информатики и радиоэлектроники, кафедра высшей математики кандидат физико-математических наук, доцент Мататов В.И., Белорусский государственный университет, кафедра дифференциальных уравнений Оппонирующая организация Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины Защита состоится 13 января 2006 г. в 12 часов на заседании совета по защите диссертаций при Учреждении образования Гродненский государственный университет имени Янки Купалы по адресу: 230023, г. Гродно, ул. Ожешко, 22, к. 220.

Тел. учного секретаря совета: (0152)44-24-77.

е С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждения образования Гродненский государственный университет имени Янки Купалы.

Автореферат разослан "" 200 года Ученый секретарь совета по защите диссертаций В.А.Пронько

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Одной из важных задач аналитической теории дифференциальных уравнений является задача исследования свойств решений дифференциальных уравнений.

Наличие первых интегралов у дифференциальных уравнений часто упрощает исследование этих свойств.

Теория интегралов в своих истоках связана с исследованиями А.Н. Коркина, В.П. Ермакова, Ф.Г. Миндинга, Б.М. Кояловича, Г. Дарбу, а затем развита Н.П. Еругиным, C.M. Cosgrove, Н.А. Кудряшовым, В.И. Мироненко, В.Н. Горбузовым и другими математиками.

В настоящее время теория интегралов дифференциальных уравнений и систем развивается благодаря тесным связям ее с механикой и естествознанием. Так, например, С.В. Ковалевская поставила себе задачу: найти все случаи, когда решения автономной системы дифференциальных уравнений, описывающей движение твердого тела вокруг неподвижной точки и состоящей из шести уравнений, представляет собой мероморфные решения на всей плоскости переменной t. При этом кроме известных ранее двух случаев найден новый третий случай, когда эта система имеет пять первых интегралов, что привело к полной интеграции рассматриваемой системы.

При исследовании проблемы Римана для систем второго порядка в случае наличия трех особых точек в правых частях Н.П. Еругин получил систему из пяти обыкновенных дифференциальных уравнений, для которых нашел три стационарных интеграла, что позволило ему решить указанную проблему.

В исследованиях В.И. Мироненко для обыкновенных дифференциальных систем была решена задача о наличии стационарных интегралов. Методы построения первых интегралов по конечному числу частных интегралов для обыкновенных дифференциальных систем и систем уравнений в полных дифференциалах активно развивается в работах В.Н. Горбузова и его учеников. В работах И.П. Мартынова решается задача нахождения необходимых и достаточных условий наличия первых интегралов у дифференциальных уравнений на основе анализа состава корней резонансного уравнения.

Всякий прогресс в развитии теории интегралов важен не только с математической точки зрения, но и с точки зрения прикладных задач. Актуальность и недостаточная разрешенность вышеуказанного вопроса и предопределили выбор темы диссертации.

Связь работы с крупными научными программами, темами. Диссертационная работа выполнена на кафедре математического анализа Гродненского государственного университета им. Я. Купалы и является составной частью госбюджетной научноисследовательской темы "Аналитические свойства нелинейных дифференциальных систем"(ГР № 20014844), предусмотренной республиканской программой "Математические структуры" и выполняемой на кафедре математического анализа Гродненского государственного университета с 2001 г.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования является автономное дифференциальное уравнение вида где f полином от y, y,..., y (n), все слагаемые которого имеют одинаковый вес p = 2n + 2. Это число будем называть весом дифференциального уравнения. Предметом исследования являются первые интегралы уравнения (1), имеющие вид где K произвольная постоянная интегрирования, P полином, зависящий от y (n),..., y и целой степени y.

Цель и задачи исследования. Целью настоящей работы является нахождение достаточных, а также необходимых и достаточных условий существования первых интегралов (2) для дифференциальных уравнений вида (1) при n = 1, 2, 3.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1. Проведение анализа структуры корней резонансного уравнения, соответствующего уравнению (1), установление взаимосвязи между весом дифференциального уравнения и составом корней соответствующего ему резонансного уравнения и получение необходимых условий для наличия резонансов определенного вида.

2. Построение интегрирующих множителей для дифференциальных уравнений (1) в зависимости от вида резонансов и получение первых интегралов для рассматриваемых дифференциальных уравнений в выделенных случаях.

Методология и методы проведенного исследования. В диссертационной работе для нахождения достаточных условий наличия первых интегралов у исследуемых уравнений используется метод резонансов; для доказательства необходимости полученных условий применяется метод неопределенных коэффициентов.

Научная новизна и значимость полученных результатов.

1. Проведен анализ структуры корней резонансного уравнения, соответствующего дифференциальному уравнению где ai постоянные, kji целые числа.

2. Найдены достаточные условия наличия первых интегралов вида (2) у дифференциальных уравнений 3. Найдены необходимые условия наличия первых интегралов вида (2) у дифференциального уравнения (5), а в некоторых случаях и уравнения (7).

Все результаты диссертации являются новыми.

Полученные результаты являются непосредственным вкладом в развитие аналитической теории дифференциальных уравнений.

Практическая значимость полученных результатов. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы не только в аналитической теории дифференциальных уравнений, но и в различных отраслях естествознания, где используются процессы природы с применением математических моделей, являющихся дифференциальными уравнениями и системами, а также при чтении спецкурсов по аналитической теории дифференциальных уравнений.

Основные положения выносимые на защиту.

1. Необходимые и достаточные условия наличия первых интегралов вида (2) у дифференциальных уравнений (4) и (5).

2. Достаточные условия существования первых интегралов вида (2) у дифференциальных уравнений (6).

3. Достаточные, необходимые и достаточные условия наличия первых интегралов вида (2) у дифференциального уравнения (7).

Личный вклад соискателя. В диссертацию включены результаты, которые получены лично соискателем. Роль научного руководителя с которым написаны 4 статьи, состояла в постановке задачи и анализе полученных результатов.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты диссертации были представлены и докладывались на:

– Международной математической конференции "Еругинские чтения-VIII" (Брест 2002);

– Международной математической конференции "Еругинские чтения-IX" (Витебск 2003);

– IX Белорусской математической конференции (Гродно 2004);

– Международной математической конференции "Еругинские чтения-X" (Могилев 2005);

– Международной математической конференции "Дифференциальные уравнения и системы компьютерной алгебры" (Брест 2005).

Опубликованность результатов. Основные результаты диссертации опубликованы в 11 печатных работах, среди которых статей в рецензируемых журналах, 1 статья и 4 публикации в виде тезисов докладов в материалах международных математических конференций. Общее количество страниц опубликованных материалов 39.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, четырех глав, заключения, списка использованных источников и приложения. Полный объем диссертации 163 страницы машинописного текста, из которых страниц занимает приложение и 12 страниц список использованных источников. Список использованных источников 154 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ

Работа посвящена нахождению первых интегралов у дифференциальных уравнений высших порядков вида (1). В ней исследуются структура корней резонансных уравнений, на основании которых строятся первые интегралы уравнений вида (1).

В первой главе приводится обзор литературы, относящейся к теме диссертации. Обоснована актуальность диссертационной работы. Изложены основные методы исследований, применяемые в диссертации.

Во второй главе рассматривается дифференциальное уравнение (3). Будем считать, что для (3) существует натуральное число s такое, что Будем называть µi размерностью одночлена, i его рангом, а p весом одночлена.

В случае когда не все µi равны между собой, то решение уравнения (3) будем искать в виде ряда Коэффициенты hk ряда (9) можно будет найти по рекуррентным формулам R(k)hk = Bk (h0, h1, h2,... hk1 ), k N, кроме резонансных коэффициентов hr. Если натуральное число r такое, что R(r) = 0, то hr будет произвольным, если Введем обозначения Будем считать, что j (s) = 0, j = 0, n 1, Алгебраические уравнения для нахождения h0 и резонансное уравнение для нахождения резонансов примут вид Лемма 2.1. Уравнение (12) имеет корнем число r = 1.

Лемма 2.2. Если r = 0, то h0 является кратным корнем уравнения (11).

В случае когда µi = µ, i =, i = 0, m, выражение (10) примет При h0 = 0 из уравнения (11) получим Из (13) найдем s ( s в этом случае не обязательно будет натуральным числом).

В уравнении (12) число r = 0 является одним из резонансов. Ему соответствует произвольное значение h0.

Пусть Q(w) является левой частью уравнения (3), причем имеет место (8), т.е. p является весом уравнения (3).

Рассмотрим далее уравнение где Qi (w) = ai w(n) 0i w(n1) 1i... wkni.

Для нахождения h0 и r имеют место соотношения A(h0 ) = 0, (rp)R(r) = 0, где A(h0 ) и R(r) взято соответственно из (11) и (12).

Доказана Теорема 2.1. Резонансное уравнение для (14) кроме всех корней уравнения (12) имеет также корень r = p, где p определяется условием (8).

Теорема 2.1 используется для нахождения первых интегралов уравнения (14), так как P (w) = 0 в рассматриваемом случае равносильно уравнению Q(w) = K, где K произвольная постоянная интегрирования. При этом вес каждого члена Q(w) будет равным p.

В третьей главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида (4), (5).

Решение уравнения (4) будем искать в виде ряда Подставляя (15) в (4), получим, что h0 и r будут удовлетворять уравнениям Считая, что уравнения (16) и (17) не имеют кратных корней. Рассмотрим следующие случаи:

Доказана Теорема 3.1. Дифференциальное уравнение (4) в случаях (18) имеет первые интегралы соответственно в виде где K произвольная постоянная интегрирования.

Предположим, что уравнение (4) имеет первый интеграл вида где A1, A2 постоянные коэффициенты, k N, K произвольная произвольная постоянная интегрирования.

Доказана следующая Теорема 3.2. 1) Пусть r = 2k резонансный корень уравнения (17) и a3 = 0. Чтобы уравнение (4) имело первый интеграл вида (19), необходимо a1 = 2 k, a2 = 0.

2) Пусть r = 2k резонансный корень уравнения (17) и a3 = 0, a2 = 0. Чтобы уравнение (4) имело первый интеграл вида (19), необходимо a1 = 2 k.

Предположим, что (17) имеет корень r = k.

Будем искать первый интеграл уравнения (4) в виде где Am постоянные коэффициенты, K произвольная постоянная интегрирования.

Доказана Теорема 3.3. Пусть r = k, = 3, 4,... резонансный корень уравнения (17). Тогда первый интеграл вида то первый интеграл уравнения (4) примет вид где K произвольная постоянная интегрирования.

Если нечетное, то уравнение (4) не имеет первых интегралов вида (20).

Рассмотрим автономное дифференциальное уравнение вида (5).

Решение уравнения (5) искать в виде ряда Подставляя (21) в (5), получим что h0 и r будут удовлетворять уравнениям где m = 62a1 a2, M = 7a1 +a3 h0, N = 3m+2(2a3 +a4 )h0 a5 h2.

В дальнейшем будем считать, что уравнения (22) и (23) не имеют кратных корней.

Рассмотрим следующие случаи:

Пусть a6 = 0.

1) Предположим, что уравнение (23) при всех h0i, i = 1, 3 найденных из (22), имеет корень r = 2k и a3 = 0. Из этого получим, что a5 = 0, a4 = a3 (k 2). Пусть pi, i = 1, 3, pi = 2k являются корнями уравнения (22), соответствующими взятым h0i из (23).

Если p1 + p2 + p3 = 9k, то имеет место соотношение Получим всевозможные целые значения p1, p2, p3, удовлетворяющие условию (24). При этом найдем, что Тогда уравнение (5) примет вид y = (7 5k) а его первый интеграл запишем так где K произвольная постоянная интегрирования.

2) Предположим, что уравнение (23) только при двух значениях h0i, i = 1, 2, найденных из (22), имеет корень r = 2k.

Тогда получим следующие случаи:

Тогда первый интеграл уравнения (5), примет вид где j = 2, 4 и K произвольная постоянная интегрирования.

Если j = 2, то = a5 ; если j = 3, то определено в a4 = a3 (k 2) +, где a4 произвольное; если j = 4, то =, где произвольное.

Из предыдущего следует, что уравнение (5) имеет первый интеграл вида где Am, Bm –постоянные коэффициенты, 2k корень уравнения (23), k N, K произвольная постоянная интегрирования.

3) Предположим, что уравнение (5) имеет первые интегралы вида (27). Получены условия, при которых это предположение имеет место.

Доказана следующая Теорема 3.4. Чтобы уравнение (5) при отсутствии кратных корней h0 у уравнения (22) имело первый интеграл вида (27), необходимо и достаточно, чтобы имели место условия:

Замечание 3.1. В указанных в теореме 3.4 случаях если j = 1, то первый интеграл (27) совпадет с (25), а если j = 2, 3, 4, то первый интеграл (27) совпадет с (26).

Замечание 3.2. Если a1 = 7 k, a3 = 0, k = 0, то уравнение (5) первых интегралов вида (27) не имеет.

В случае a6 = 0 получены необходимые условия наличия первых интегралов вида (27).

Доказана Теорема 3.5. Пусть в (5) будет a6 = 0. Тогда:

1) Если a1 = 7 3k, a2 = (k 2)(k 4), a3 = a4 = 0, то первый интеграл имеет вид то первый интеграл имеет вид интеграл имеет вид где K произвольная постоянная интегрирования.

Замечание 3.3. Если не выполнены условия теорем 3.4 и 3. (причем |a3 | + |a4 | + |a5 | + |a6 | = 0 ), то уравнение (5) не имеет первых интегралов вида (27).

Предположим, что уравнение (5) имеет первый интеграл вида где Am, Bm, Cm –постоянные коэффициенты, k N, K произвольная постоянная интегрирования.

Получено 104 класса уравнений (5), которые имеют первый интеграл вида (28). Все эти первые интегралы и их уравнения приведены в приложении.

В четвертой главе рассмотрено автономное дифференциальное уравнение вида (7). Упрощенным для уравнения (7) будет однородное уравнение (6).

Пусть решение уравнения (6) задано в виде ряда Подставляя (29) в (6), получим уравнения для нахождения s и r (a1 + a2 + a3 + a4 1)s3 + (3a1 + 2a2 + a3 6)s2 + (2a1 + a2 11)s 6 = 0, где M = 7+(4a1 )s, N = 18+(63a1 2a2 a3 )s2 +2(112a1 a2 )s.

Введем обозначение = 1.

Откуда найдем, что удовлетворяет уравнению Пусть,, различные корни уравнения (30).

При этом будем иметь Следовательно коэффициенты M, N запишем так Если p, q корни уравнения (30), отличные от 0 и 1, то можно Рассмотрим следующие случаи:

Доказана следующая Теорема 4.1. Пусть уравнение (6) имеет решение вида (29) и,, различные корни уравнения (30). Если имеют место услоиз (31), то первые интегралы уравнения (6) примут вия соответственно вид где K произвольная постоянная интегрирования.

Обозначим L = 24 6a1 4a2 2a3 a4 и будем считать, что коэффициенты a1, a2, a3, a4, имеют вид:

При этом L = 6( + 2)(( + 2)2 b( + 2));

При этом L = 6( + 2)( + 2)( + 2);

Рассмотрим автономное дифференциальное уравнение (7), решение которого представим в виде ряда (21).

Подставляя (21) в (7), получим, что h0 и r будут удовлетворять уравнениям где Считаем, что уравнения (33) и (34) не имеет кратных корней.

Имеют место Теорема 4.2. Пусть r = 4 + 8 является общим корнем уравнения (34) при i = 1, 4 (a11 = 0), что возможно при условиях из (32) и Тогда первый интеграл уравнения (7) имеет вид где K произвольная постоянная интегрирования.

Теорема 4.3. Если коэффициенты уравнения (7) подчинены условиям a9 = 6bk 2 + 12bc 2c( + 2)(3 + 4), a10 = 12bck, a11 = 6bc2, а коэффициенты a1, a2, a3 и a4 определены условием 20 из (32), то уравнение (7) имеет первый интеграл вида где K произвольная постоянная интегрирования. При этом r = 6 + 12 является корнем уравнения (34).

Теорема 4.4. Если коэффициенты уравнения (7) подчинены условиям а коэффициенты a1, a2, a3 и a4 определены условием 30 из (32), то уравнение (7) имеет первый интеграл вида где K произвольная постоянная интегрирования. При этом r = 6 + 12 является корнем уравнения (34).

Теорема 4.5. Пусть r = 3 + 6 является общим корнем уравнения (34) при i = 1, 3, что возможно при условиях 40 из (32) и a6 = a5 (3 + 3) + 2c, a7 = c(3 + 2), a9 = a8 (3 + 4), a10 = 0, a11 = 0.

Тогда первый интеграл уравнения (7) имеет вид где K произвольная постоянная интегрирования.

Теорема 4.6. Пусть коэффициенты a1, a2, a3 и a4 определены условием 40 из (32) и Тогда 1) если = 2, то первый интеграл уравнения (7) имеет вид 2) если b = 6 2a, то первый интеграл уравнения (7) имеет вид где K произвольная постоянная интегрирования.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие результаты:

1) Для дифференциальных уравнений высших порядков получены уравнения резонансов. Проведен анализ структуры корней резонансного уравнения. Установлена связь между корнями резонансного уравнения и весом каждого члена дифференциального уравнения высшего порядка [4].

2) Для неоднородного дифференциального уравнения третьего порядка найдены необходимые и достаточные условия наличия полиномиальных относительно производных первых интегралов [2, 3) Для однородного дифференциального уравнения четвертого порядка получены достаточные условия наличия полиномиальных относительно производных первых интегралов [1].

4) Для неоднородного дифференциального уравнения четвертого порядка получены достаточные, а в некоторых случаях и необходимые условия наличия полиномиальных относительно производных первых интегралов [3, 8].

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ

ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Здунек А.Г.,Мартынов И.П.,Можджер Г.Т. О первых интегралах одного уравнения четвертого порядка// Вестник ГрГУ. Сер 2.

2002. №2. С. 16 19.

2. Мартынов И.П.,Можджер Г.Т. О первых интегралах дифференциального уравнения третьего порядка// Вестник ГрГУ. Сер.2.

2005. №1. С. 59 66.

3. Мартынов И.П., Можджер Г.Т. О первых интегралах одного уравнения четвертого порядка// Дифференц. уравнения. 2004.

Т.40, №12. С. 1701 1704.

4. Мартынов И.П., Можджер Г.Т. О резонансах дифференциальных уравнений высших порядков// Докл. Нац. Акад. наук Беларуси 2005. Т.49, №4. С. 13 16.

5. Можджер Г.Т. О первых интегралах одного дифференциального уравнения третьего порядка// Вестник ГрГУ, Сер 2. 2005.

№2. С. 101 112.

6. Можджер Г.Т. О наличии первых интегралов у дифференциального уравнения третьего порядка// Известия ГГУ им. Ф. Скорины. 2005. №5(32). С. 156 157.

Тезисы докладов и материалы конференций 7. Можджер Г.Т. О первых интегралах дифференциального уравнения третьего порядка// Междунар. метем. конф. "Дифференциальные уравнения и системы компьютерной алгебры": материалы Междунар. конф., Брест, 5 – 8 октября 2005 г.: В 2 ч./ Мин-во образования Респ. Беларусь. Белорусский гос. ун-т. Ин-т матем-ки Нац. Акад. наук Беларуси. Ин-т матем-ки Нац. Акад. наук Украины.

Брестский гос. ун-т. Минск 2005. Ч.1. С. 176 182.

8. Можджер Г.Т. О первых интегралах одного уравнения четвертого порядка// Еругинские чтения VIII: Тез. докладов междунар.

мат. конф., Брест, 20 – 23 мая 2002 г./ БГУ. Ин-т матем-ки Нац.

Акад. наук Беларуси. Брестский гос. ун-т. Брест, 2002. C. 133.

9. Можджер Г.Т. Об одном уравнении третьего порядка с логорифмическими особенностями// Еругинские чтения IX: Тез. докладов междунар. мат. конф., Витебск, 20 – 22 мая 2003 г./ Мин-во образования Респ. Беларусь. Ин-т матем-ки Нац. Акад. наук Беларуси. УО "Витебский гос. ун-т им. П.М. Машерова". УО "Белорусский гос. ун-т". Витебск, 2003. C. 17.

10. Можджер Г.Т. О первых интегралах одного уравнения третьего порядка// Еругинские чтения X: Тез. докладов междунар. мат.

конф., Могилев, 24 – 26 мая 2005 г./ Мин-во образования Респ. Беларусь. Государственное научное учреждение "Ин-т матем-ки Нац.

Акад. наук Беларуси". УО "Могилевский гос. ун-т им. А.А. Кулешова". УО "Белорусский гос. ун-т". Могилев, 2005. C. 22 23.

11. Можджер Г.Т. О первых интегралах одного уравнения третьего порядка// IX Белорусская математическая конференция: Тез.

докладов междунар. мат. конф., Гродно, 3 – 6 ноября 2004 г.: В 3 ч./ Мин-во образования Респ. Беларусь. Белорус. матем. общество. Ин-т матем-ки Нац. Акад. наук Беларуси. БГУ. Гродненский гос. ун-т.

Гродно 2004. Ч.1. C. 157 159.

РЕЗЮМЕ

Первые интегралы одного класса дифференциальных уравнений высших порядков с рациональной правой Ключевые слова: дифференциальное уравнение, первый интеграл, промежуточный интеграл, резонансное уравнение, вес уравнения.

Объектом исследования является автономное дифференциальное уравнение, каждый член которого имеет одинаковый вес. Предметом исследования являются первые интегралы рассматриваемых уравнений.

Целью работы является нахождение достаточных, а также необходимых и достаточных условий существования первых интегралов автономного дифференциального уравнения. В диссертационной работе использовались классические методы аналитической теории дифференциальных уравнений.

В работе впервые получены необходимые, а в некоторых случаях необходимые и достаточные условия наличия первых интегралов автономных дифференциальных уравнений высших порядков. Результаты диссертации могут быть использованы в аналитической теории дифференциальных уравнений, а также при чтении соответствующего спецкурcа студентам математических специальностей.

РЭЗЮМЭ

Першыя iнтэгралы аднаго класа дыферэнцыяльных ураўненняў вышэйшых парадкаў з рацыянальный правай Ключавыя словы: дыферанцыяльнае ўраўненне, першы iнтеграл, прамежковы iнтеграл, рэзананснае ўраўненне, вага ўраўнення.

Аб’ектам даследавання з’яўляецца аўтаномнае дыфференцыяльнае ўраўненне, кожны член якога мае аднолькавую вагу.

Прадметам даследавання з’яўляюцца першыя iнтэгралы разглядаемых сiстэм.

Мэтай работы з’яўляецца знаходжанне дастатковых умоваў iснавання першых iнтэгралаў аўтаномнага дыференцыяльнага ўраўнення. У дысертацыйнай рабоце выкарыстоўвалiся класiчныя метады аналiтычнай тэорыi дыферэнцыяльных ўраўненняў.

У рабоце ў першыню атрыманы неабходныя, а ў некаторых выпадках неабходныя i дастатковыя ўмовы наяўнасцi першых iнтэгралаў аўтаномных дыференцыяльных ураўненняў вышэйшых парадкаў. Вынiкi дысертацыi могуць быць выкарастаны ў аналiтычнай тэорыi дыферэнцыяльных ураўненняў, а таксама пры чытаннi адпаведнага спецкурса студэнтам матэматычных спецыяльнасцяў.

SUMMARY

First integral of one class of higher order dierential equations with rational second member.

Key words: dierential equation, rst integral, intermediate integral, resonance equation, weight of equation.

The object of the research is autonomous dierential equation, every term of which has the same weight. The subject of the research is the rst integral of studied equations.

The purpose of the work is nding sucient, as well as necessary and sucient conditions for the existence of rst integrals of autonomous dierential equation. This thesis was made using classical approaches of analytic theory of dierential equations.

In the thesis sucient and, in some cases necessary and sucient, conditions of availability of rst integrals of higher order autonomous dierential equations were obtained for the rst time. The results of the research can be used in analytic theory of dierential equations and for delivering corresponding special courses for students of mathematical specialities.





Похожие работы:

«1 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ОРГАНИЗАЦИИ.5 2. ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ.15 3. НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ И МЕЖДУНАРОДНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ 4. ВНЕУЧЕБНАЯ И ВОСПИТАТЕЛЬНАЯ РАБОТЫ 5. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ВЫВОДЫ ПРИЛОЖЕНИЯ 2 ВВЕДЕНИЕ Самообследование деятельности Хакасского филиала федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ,...»

«О.В. Понукалина ТРУД И СВОБОДНОЕ ВРЕМЯ В ДИСКУРСЕ ПОТРЕБИТЕЛЬСКИХ ПРАКТИК В статье прослеживается, как в условиях общества постмодерна происходит стирание жестких границ континуума труд-досуг. Дискутируется вопрос о том, что сегодня досуг служит не столько целям наслаждения свободным временем, сколько целям заполнения потреблением непроизводственного времени. Наблюдаемый сдвиг ценностных ориентаций из сферы труда в сферу массового потребления, досуга и развлечений способствует росту числа...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ФГБОУ ВПО МГИУ) Кафедра информационных систем и технологий ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА по направлению 230100 Информатика и вычислительная техника на тему Разработка редактора сценариев и визуализатора отчетов для тестирования в рамках единой ERP системы ФГБОУ ВПО МГИУ Студент...»

«Международный консорциум Электронный университет Московский государственный университет экономики, статистики и информатики Евразийский открытый институт Г.Н. Ронова Т.В. Кузьмина ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА ОЦЕНОЧНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ Учебно-методический комплекс Москва 2008 УДК – 336 ББК – 65.231 Р – 715 Ронова Г.Н., Кузьмина Т.В. ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА ОЦЕНОЧНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ: Учебно-методический комплекс. – М.: Изд. центр ЕАОИ. 2008. – 253 с. Ронова Галина Николаевна, 2008 ISBN 978-5-374-00012-2 Кузьмина...»

«CОДЕРЖАНИЕ I. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ.. 3 -18 II. ПРИЕМ В УНИВЕРСИТЕТ И ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ УНИВЕРСИТЕТА. 19-24 III. НАУЧНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ УНИВЕРСИТЕТА. 25 -26 IV. УПРАВЛЕНИЕ УНИВЕРСИТЕТОМ. 26 -36 V. ОБУЧАЮЩИЕСЯ И РАБОТНИКИ УНИВЕРСИТЕТА.36 -44 VI. ПОДГОТОВКА НАУЧНО-ПЕДАГОПИЧЕСКИХ КАДРОВ, ПЕРЕПОДГОТОВКА И ПОВЫШЕНИЕ КВАЛИФИКАЦИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ, НАУЧНЫХ И ДРУГИХ КАДРОВ.45 -48 VII. ЭКОНОМИКА УНИВЕРСИТЕТА. 48-52 VIII. УЧЕТ, ОТЧЕТНОСТЬ И КОНТРОЛЬ В УНИВЕРСИТЕТЕ. 52 I X. МЕЖДУНАРОДНАЯ...»

«ИСТОРИЯ И МЕТОДОЛОГИЯ ИНФОРМАТИКИ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ Введение Цели, задачи, структура курса Целью изучения дисциплины История и методология информатики и вычислительной техники является: обобщение и систематизация знаний об истории развития информатики и вычислительной техники; анализ предпосылок формирования тенденций развития вычислительных и информационных ресурсов в историческом аспекте; формирование представления о методологии научных исследований; освоение методов...»

«АННОТАЦИИ РАБОЧИХ ПРОГРАММ ДИСЦИПЛИН НАПРАВЛЕНИЕ ПОДГОТОВКИ 080500.62 – БИЗНЕС ИНФОРМАТИКА ПРОФИЛЬ - ЭЛЕКТРОННЫЙ БИЗНЕС Аннотация рабочей программы дисциплины Философия Направление подготовки 080500.62 — Бизнес информатика Квалификация (степень) выпускника — бакалавр Профили — Электронный бизнес, Технологическое предпринимательство 1. Место дисциплины в основной образовательной программе Гуманитарный, социальный и экономический цикл, базовая часть (шифр дисциплины Б1.Б.1) Цели и задачи...»

«Принят и введен в действие Постановлением Госстандарта РФ от 10 октября 1994 г. N 242 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СИСТЕМЫ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ ДОКУМЕНТАЦИЯ ПОЛЬЗОВАТЕЛЯ И ИНФОРМАЦИЯ НА УПАКОВКЕ ДЛЯ ПОТРЕБИТЕЛЬСКИХ ПРОГРАММНЫХ ПАКЕТОВ Information processing systems. User documentation and cover information for consumer software packages ГОСТ Р ИСО 9127- Группа П ОКС 35080; ОКСТУ Дата введения 1 июля 1995 года Предисловие 1. Разработан Московским научно-исследовательским центром...»

«ЮСУПОВ ИЛЬНУР АНВАРОВИЧ ИССЛЕДОВАНИЕ И РАЗРАБОТКА ЭЛЕКТРОННЫХ ДИДАКТИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ ПРИ ИЗУЧЕНИИ КУРСА ЦИФРОВЫЕ СИСТЕМЫ КОММУТАЦИИ Специальность: 5А140901 – Проф. Образование (информатика и информационные технологии). ДИССЕРТАЦИЯ На соискание степени магистра Работа рассмотрена Научный руководитель и допускается к защите к.п.н., доц. Киличева Ф.Б. Зав.кафедрой Техник таълим...»

«ЭКОНОМИКА УДК 338:502.3 В.Н. Чупис, доктор физико-математических наук, АНО Научноисследовательский институт промышленной экологии, г. Саратов e-mail: v.chupis2112@yandex.ru А.Н. Маликов, кандидат экономических наук, профессор Саратовского института (филиала) РГТЭУ email: filsaratov@rsute.ru В.В. Мартынов, доктор технических наук, профессор Саратовского государственного технического университета им. Гагарина Ю.А. e-mail: filsaratov@rsute.ru П.Л. Бахрах, старший научный сотрудник АНО...»

«МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА дисциплины: Операционные системы, среды и оболочки для специальности 080801.65 Прикладная информатика (по областям) Факультет прикладной информатики Ведущая кафедра информационных систем Дневная форма обучения Вид учебной работы Курс, Всего часов семестр Лекции 2 курс, 4 семестр...»

«Ульяновский государственный технический университет П. И. Соснин Библиографический указатель трудов (к 60-летию) Ульяновск 2005 1 П. И. Соснин. Библиографический указатель трудов : (к 60-летию) / сост. С. Ю. Фролова. – Ульяновск: УлГТУ, 2005. – 39 с. Персональный библиографический указатель подготовлен к 60-летию доктора технических наук, профессора, зав. кафедрой “Вычислительная техника”, СОСНИНА Петра Ивановича и включает публикации, изданные за период с 1971 по 2005 годы. Материал...»

«Анатолий Иванович Китов Юрий Ревич Автор очерка приносит искреннюю благодарность Владимиру Анатольевичу Китову за предоставленные материалы, документы и фотографии из семейного архива. Цитаты, приведенные без указания источника, взяты из сборника В. А. 1 Долгова. Заседание Московского математического общества (ММО) в актовом зале Главного здания МГУ весной 1954 года началось при переполненной аудитории. Первое слово предоставили решительному человеку в военной форме. К изумлению собравшихся...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ АКАДЕМИЯ СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ЕДИНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА ПО ПРЕДМЕТАМ ПО ВЫБОРУ НА ТЕРРИТОРИИ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ В 2013 ГОДУ Сборник методических материалов АСОУ 2013 Анализ результатов единого государственного экзамена по предметам по выбору на территории Московской области в 2013 г.: Сборник методических материалов. – М.: АСОУ, 2013. – 178 с. Сборник содержит анализ результатов единого государственного экзамена 2013 г. на...»

«Коломенский государственный педагогический институт Кафедра информатики Учебно-методический комплекс по дисциплине Теория вероятностей и математическая статистика. 050204 – Химия и информатика Составитель – доц. Петров Е.Е. Коломна 2008 2 1. Пояснительная записка Курс освещает историю развития теории вероятностей и математической статистики, основные понятия и утверждения, применяемые в естествознании. Наряду с классическим и статистическим определениями вероятности даются геометрическое и...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Челябинский государственный педагогический университет ФГБОУ ВПО ЧГПУ Утнерждвю. В. В. Садыри ii ОТЧЕТ о результатах самообследования Челябинского государственного педагогического университета по основной образовательной программе по специальности 230202 - Информационные технологии в образовании Челябинск 2013 Содержание Введение 3 1....»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ЕЛЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. И.А. БУНИНА ЦЕНТР СВОБОДНОГО ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ НА БАЗЕ СВОБОДНОГО ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ МАТЕРИАЛЫ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКОГО СЕМИНАРА ЕЛЕЦ — 2009 УДК [681/3:Ч30/49](063) ББК 32.81+32.97 И 74 Печатается по решению редакционно-издательского совета Елецкого...»

«МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Направление 010400.62 ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА БАКАЛАВРИАТ АННОТАЦИЯ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ ИНОСТРАННЫЙ ЯЗЫК Уровень основной образовательной программы БАКАЛАВРИАТ Направление(я) подготовки (специальность) Прикладная математика и информатика 010400.62 Очная форма обучения Нормативный срок освоения ООП — 2 года Цель дисциплины: Формирование и развитие у студентов необходимого и достаточного уровня коммуникативных компетенций для решения профессиональных задач и...»

«| Это версия страницы http://www.rscf.ru/node/74 из кэша Google. Она представляет собой снимок страницы по состоянию на 14 июл 2014 01:19:55 GMT. Текущая страница за прошедшее время могла измениться. Подробнее Совет. Чтобы искать на странице, нажмите Ctrl+F или -F (для MacOS) и введите запрос в поле поиска. Полная версия Перейти к основному содержанию Форма поиска Поиск Российский научный фонд поддержка и развитие Главное меню Новости События и новости Фонда Интервью Новости науки О Фонде Общие...»

«МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СТАВРОПОЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной и воспитательной работе И. В. Атанов _2013 г. ОТЧЕТ о самообследовании основной образовательной программы высшего образования Направление подготовки: 230700.68 - Прикладная информатика Профиль: 230700.68.01 Системы корпоративного управления (код, наименование...»














 
© 2014 www.kniga.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Книги, пособия, учебники, издания, публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.