WWW.KNIGA.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Книги, пособия, учебники, издания, публикации

 

Pages:     | 1 || 3 | 4 |

«УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ПО ДИСЦИПЛИНЕ ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ Специальность 050202.00– информатика с дополнительной специальностью Пенза-2007 2 ...»

-- [ Страница 2 ] --

Далее доказывается, что производная определенного интеграла с переменным верхним пределом равна значению подинтегральной функции от верхнего предела. Вводится понятие первообразной, неопределенного интеграла и получают формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла. Заканчивают изложение применением интегрального исчисления к решению задач.

II подход. Сначала вводят понятие первообразной функции, неопределенного интеграла, изучаются его свойства и теоремы существования (без доказательства), устанавливают связь первообразной с площадью под графиком функции. Затем вводят понятие определенного интеграла (или как предела интегральных сумм, или как приращения первообразной), в конце – применение интеграла.

Школьный вариант расположен между ними, но ближе ко II подходу.

Достоинства I подхода – всестороннее выяснение идейного смысла определенного интеграла. Вначале изучения интегрального исчисления при решении различных задач учащиеся овладевают искусством перехода от равномерных процессов к неравномерным, составлением интегральных сумм, перехода от нее к интегралу.

Недостатки: Неоправданно большой разрыв во времени между введением понятия интеграла и его вычислением. Учащиеся сначала изучают задачи, приводящие к понятию интеграла, его свойства, интегрированием. Это приводит к тому, что у них теряется интерес к изучению теории, а это влияет на отработку навыков решения задач.

Достоинства II подхода: 1) Ранее ознакомление школьников с основной задачей интегрального исчисления – нахождением по данной функции f (х) ее первообразной F(х) и овладение аппаратом для решения. 2) Обеспечение возможности вычислять интегралы, следовательно, прививать им навыки интегрирования в ходе изучения темы. 3) Результатом является лучшая подготовленность к решению задач геометрии и физики.

Недостатки: Определение определенного интеграла как приращения первообразной не позволяет полно раскрыть идейную сторону.

3. Перед изучением темы в 11 классе необходимо повторить предел функции, непрерывность и производную, физический и геометрический смысл производной. Целесообразно обратиться к таблице, в которой записаны функции и их производные, чтобы воспользоваться ею для отыскания функции, производная которой задана. Изучение новой темы можно начать с решения конкретных задач, в которых показывается, что произвольная постоянная имеет реальный смысл, учащиеся подводятся к определению первообразной, заполняется таблица первообразных. На первых порах правильность решения проверяется дифференцированием. Затем изучают основное свойство первообразной. Рассматриваются три правила нахождения первообразных, которые легко доказываются, опираясь на определение первообразной.

Следующим важным вопросом в данной теме является понятие криволинейной трапеции и нахождение ее площади. Перед его рассмотрением необходимо вспомнить все о площадях из геометрии и поставить проблему, как можно найти площадь произвольной фигуры Ф. Этот вопрос решается двояко: 1. Доказывается теорема о площади криволинейной трапеции: сначала вводится функция, затем доказывается, что она является первообразной. 2) Второй подход к нахождению площади криволинейной трапеции, образованный графиком непрерывной и неотрицательной функции и прямыми.

4. Применение интегралов рассматриваются при решении задач:

на нахождение площади плоской фигуры; на вычисление пройденного пути за данный промежуток времени, на нахождение силы давления жидкости, работы переменной силы, на нахождение объемов тел.

Наиболее трудным является вопрос об объеме пирамиды.

Возможны различные варианты: 1) по учебнику А.В. Погорелова сначала доказываем равновеликость треугольных пирамид с равновеликими основаниями и равными высотами, затем доказываем, что наклонная треугольная призма состоит из трех равновеликих пирамид. В учебнике Киселева А.П. подход аналогичен «Погореловскому» но при этом еще показывается, что за объем пирамиды принимается число, которое больше суммы объемов входящих призм и меньше суммы объемов выходящих призм. В учебном пособии Н.А. Глаголева – находится предел последовательности сумм объемов входящих призм при бесконечном возрастании их числа, этот предел и принимают за объем пирамиды.

2) изложение этого вопроса с использованием интегрального исчисления. Этот подход можно использовать и при выводе объема пирамиды, считая, что объем пирамиды существует и нужно доказать, что он является первообразной для функции S(х). Методическая особенность такого подхода состоит в том, что вывод объема пирамиды является базовым доказательством, оно обслуживает и объемы фигур вращения.

Как указывалось выше, ряд тем вынесено на самостоятельное изучение. Для ориентации студентов дается подробный план их изучения.

Тема 1. Тождественные преобразования в курсе математики 1. Тождественные преобразования выражений – одна из основных линий школьного курса математики. Цели их изучения.

2. Основной понятийный аппарат. Логико-математический анализ.

3. Место выражений и их преобразований в школьной программе.

4. Методические особенности изучения преобразований числовых выражений в 5-6 классах.

5. Пропедевтика изучения алгебраических целых выражений в 5-6 классах.

6. Методика введения основных понятий в алгебре 7 класса.

7. Методика изучения преобразований целых алгебраических выражений. Что лежит в их основе?

8. Методика изучения преобразований дробно-рациональных выражений.

9. Изучение преобразований выражений, содержащих радикалы. На чем основаны эти преобразования?

10. Методика изучения преобразований выражений, содержащих тригонометрические функции.

11. Методика изучения преобразований выражений, содержащих логарифмы.

12. Основные типы упражнений при изучении преобразований алгебраических выражений.

13. Привести примеры использования тождественных преобразований выражений при решении уравнений, неравенств, при изучении функций.

Тема 2. Тригонометрические функции и методика их 1. Логико-математический анализ основных понятий.

2. Цели изучения тригонометрических функций в средней школе. Роль и место в школьной программе.

3. Сравнительный анализ действующих школьных учебников.

4. Различные подходы в изучении тригонометрических функций.

5. Методика изучения основных понятий в курсе геометрии.

6. Изучение тригонометрических функций в курсе 9 класса алгебры.

7. Методика изучения тригонометрических функций и их свойств в курсе алгебры и начал анализа в 10 классе.

8. Применение свойств тригонометрических функций к решению тригонометрических уравнений и неравенств.

методика геометрии: планиметрии и Тема 1. Логическое строение школьного курса геометрии.

1. Цели изучения и структура школьного курса геометрии.

2. Содержание пропедевтического курса геометрии в 5- классах.

3. Различные подходы к построению школьного курса геометрии (логическое строение).

Изучение геометрии в школе преследует все цели обучения математике (обучающие, воспитательные, развивающие), но при этом выделяются некоторые специфические цели:

1) ознакомление учащихся с основными геометрическими фигурами и их свойствами;

2) показ практического приложения изучаемого материала к реальной действительности;

3) развитие логического мышления и пространственного воображения;

инструментов и развитие способности к техническому творчеству.

1 ступень (1-4 классы) – изучение отдельных элементов геометрии.

2 ступень (5-6 классы) – пропедевтический курс геометрии.

3 ступень (7-9 классы) – систематический курс планиметрии.

4 ступень (10-11 классы) – систематический курс стереометрии.

На второй ступени в пропедевтическом курсе математики 5- класса доля геометрического материала составляет приблизительно 1/3 часть курса.

В 5 классе основное внимание отводится рассмотрению элементарных геометрических фигур, вводимых преимущественно через наглядное их описание: отрезок и его длина; прямая; луч; угол;

многоугольник; ломанная; прямоугольный параллелепипед; куб и их объем.

В 6 классе ведущая роль отводится элементарным геометрическим построениям: построение треугольника по трем данным элементам; построение окружности; параллельных и перпендикулярных прямых с помощью треугольника и линейки;

построение фигур, симметричных относительно точки, относительно прямой. Также рассматривают круг и шар. Без доказательства вводят формулы длины окружности, площади круга.

Традиционный курс геометрии в школе сложился на основе «Начал Евклида» в то же время претерпевает постоянные изменения в отношении объема, так и в отношении содержания, так как реализация традиционного строго дедуктивного изложения курса на основе той или иной аксиоматики все время находится в диалектическом противоречии с принципом доступности обучения.

До 1968 года школьный курс геометрии (учебники Киселева, Глаголева, Никитина) был изложен на основе аксиоматики Гильберта.

Но она была представлена неполно: в наиболее полном виде рассматривались аксиомы принадлежности и параллельности. Вообще не были представлены аксиомы конгруэнтности и порядка (на интуитивном уровне).

В соответствии с требованиями в 1968 году в процессе коренной реорганизации математического образования была поставлена задача разработки такой аксиоматики, которая была бы немногочисленной, доступной для учащихся, наглядной и в то же время логически строгой. При том должна учитываться как сама логика построения курса на основании выделенной аксиоматики, так и возможности осознания учащимися идем такого построения.

Были предложены несколько путей.

1. Изложение, приближенное к алгебре (на основе метода координат, векторного аппарата). При этом курс планиметрии строился на традиционной основе, а стереометрии – на основе аксиоматики Вейля.

предложенное А.Н. Колмогоровым. Основным аппаратом решения задач является аппарат геометрических преобразований. Система аксиом геометрических преобразований. Система аксиом немногочисленна, достаточно наглядна для учащихся.

3. Аксиоматика, построенная на основе аксиоматики ЕвклидаГильберта, но более полная по отношению к предложенному курсу.

Система аксиом представлена в явном виде уже в начале курса (§1).

Данный подход предложен А.В. Погорелов; но он не стыковался с принятой теоретико-множественной основой.

(завести тетрадь для самостоятельной работы или продолжить 1) Выделить основные особенности становления и развития российского геометрического образования:

а) с древних времен до 17 века; б) в 17 веке; в) в 18 веке; г) в веке, д) в 20 веке по учебному пособию «Методика обучения геометрии» /В.А. Гусев, В.В. Орлов, и др., М.: Академия, 2004. (с.8- – а, б, в, г; с. 31-58 – д).

2) Выделить основные тенденции эволюции зарубежного геометрического образования по этому же учебному пособию (с.58Вопросы для самопроверки:

1) Сформулируйте основные цели изучения школьного курса геометрии?

2) Какова структура курса геометрии, изучаемого в средней школе?

3) Каковы особенности содержания пропедевтического курса геометрии в 5-6 классах?

4) В чем суть подходов к построению курса геометрии в основных действующих школьных учебниках?

Литература: 4, 6, 14, Тема 2. Изучение взаимного расположения прямых на Параллельность и перпендикулярность прямых.

1. Цели изучения параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.

2. Методика изучения параллельности прямых на плоскости в школьном курсе.

3. Изучение перпендикулярности прямых в курсе планиметрии и стереометрии.

1. Выделим следующие основные цели изучения параллельности и перпендикулярности прямых в школьном курсе:

1) через аксиому параллельных в школьный курс вводится евклидова геометрия;

2) материал о параллельности и перпендикулярности необходим в дальнейшем для изучения тем «Четырехугольники», «Координаты», «Векторы», «Геометрические преобразования» и др.

3) позволяет более глубоко осознать роль аксиом при построении курса геометрии;

4) большое практическое значение (самостоятельно привести примеры).

2. В настоящее время практикуются два варианта изложения вопросов о параллельности и перпендикулярности.

1 вариант (учебник Л.С. Атанасяна – 7 класс).

Вначале рассматривается частный случай пересечения прямых – перпендикулярность прямых, затем в отдельную главу вынесен материал о параллельных.

2 вариант (учебник А.В. Погорелова).

Вопросы о параллельности и перпендикулярности прямых рассматриваются вперемежку друг с другом:

а) аксиома параллельных (§1), б) перпендикулярные прямые (§2), в) параллельные прямые, признаки параллельности прямых, свойства параллельных прямых, сумма углов треугольника (§4), г) существование и единственность перпендикуляра к прямой (§4), д) построение перпендикулярной прямой (§5), е) 8 класс, тема «Четырехугольники» (§6), параллельный перенос – в теме «Движение» (§9).

При любом варианте изложения данного материала следует начать с вопроса о взаимном расположении двух прямых на плоскости. Это можно осуществить в виде эвристической беседы:

1. Могут ли две прямые иметь одну общую точку?

2. Могут ли две прямые иметь две общие точки?

3. Могут ли иметь бесконечное множество общих точек?

4. Могут ли не иметь общих точек?

Само определение параллельных прямых встречается в двух вариантах:

1) А.Н. Колмогоров: прямые параллельны, если они не пересекаются либо совпадают.

Погорелов, Атанасян: прямые параллельны, если они не пересекаются. После введения определения необходимо доказать существование параллельных прямых. В различных учебниках теорема существования рассматривается по-разному.

Колмогоров: после введения параллельных прямых доказывается теорема: «Центрально-симметричные прямые параллельны», а затем – аксиома параллельных.

Погорелов: в §4, сумма углов треугольника после признаков параллельности, сопоставляя утверждение задачи 8, решение которой рассматривается в учебнике и аксиомы IХ (акс. параллельных), приходят к выводу: «через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести параллельную ей прямую, и только одну».

В задаче 8 даны «прямая АВ и точка С, не лежащая на этой прямой. Докажите, что через точку С можно провести прямую, параллельную прямой АВ».

Атанасян: В вопросе о перпендикулярных прямых до аксиомы параллельности рассматривается важное следствие: «две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, не пересекаются». Таким образом, доказывается существование параллельных прямых.

Аксиома параллельных также формулируется по-разному. Если у Погорелова – «через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной», а затем доказывается, что такая прямая есть, то у Атанасяна сразу принимается за аксиому, что через точку можно провести единственную прямую, параллельную данной, что является более целесообразным вариантом, поскольку это интуитивно и так понятно.

Методика изучения признаков параллельности прямых.

Вначале целесообразно выяснить вопрос: зачем нужны признаки параллельности? Дело в том, что определение не дает возможности проверки (установления) параллельности прямых.

Невозможно на бесконечности проверить пересекаются ли прямые или нет. Поэтому и нужны специальные признаки, по которым можно судить о параллельности.

Первый признак – две прямые, параллельные третьей, параллельны» не вызывает сложностей у школьников.

Вспомнив необходимый материал, учащиеся решают задачу на построение двух прямых b и с, параллельных данной прямой а.

выясняется, как соотносятся между собой прямые b и с.

предположение противного сразу приводят к противоречию с аксиомой параллельных.

Следующие признаки связаны с рассмотрением углов, получаемых при пересечении двух прямых третьей.

После доказательства одного из признаков формулируются все остальные в виде самостоятельного задания для школьников (или устно).

Задачный материал по теме «Признаки параллельности прямых»

целесообразно дополнить поисковыми заданиями без заранее данного чертежа, смысл которых состоит в правильности представления той или иной конфигурации, взгляд на проблему «со стороны». Их выполнение может быть осуществлено в виде лабораторной работы.

Например, задача.

быть параллельными? Ответ объяснить.

Внутренние односторонние углы при двух прямых а и b и секущей с равны и 180. Могут ли а и b быть параллельны?

ВСD ?

Возможно использование более свободных по характеру выполнения заданий на составление задач по чертежу.

Например: используя рисунок, составьте несколько задач.

По рис.2: а) СЕ=ЕD, ВЕ=ЕF; ВСЕ FDЕ перпендикулярных прямых в школьном курсе планиметрии?

2. С чего целесообразно начинать изучение этого материала в школьном курсе геометрии?

3. Какие варианты определения параллельных прямых встречаются в школьных учебниках?

4. Как решается вопрос о существовании параллельных прямых в действующих школьных учебниках геометрии?

5. Какие идеи лежат в основе доказательства признака параллельности прямых (через равенство накрест лежащих углов) в школьных учебниках?

Литература: 4, 6, 7, 14, 16, Изучение параллельности и перпендикулярности прямых и I. Изучение параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в курсе стереометрии может осуществляться в различной последовательности (сначала перпендикулярность, а затем параллельность и наоборот).

В настоящее время их изучение в школе начинается с аффинной ее части – с параллельности. Это дает возможность пораньше познакомить учащихся с изображением пространственных фигур на плоскости, позволяет показать роль аксиом при изложении этого раздела, развивать конструктивные навыки учащихся в процессе решения позиционных задач. Тема играет важную роль в процессе формирования пространственных представлений учащихся, обобщаются известные из планиметрии сведения о параллельности и перпендикулярности прямых. Основная цель изучения – дать учащимся систематические знания о параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве.

II. Всю тему «параллельность в пространстве» можно разделить на 4 блока:

1) параллельность прямых в пространстве;

2) параллельность прямой и плоскости;

3) параллельность плоскостей в пространстве;

4) параллельная проекция и ее свойства. Изображение пространственных фигур на плоскости.

Для новых трех блоков можно выделить общий план изучения:

1) определение;

2) признак;

3) вопрос существования и единственности;

4) свойства (для параллельных плоскостей).

Всю тему «перпендикулярность в пространстве» можно условно разделить на три части:

1) перпендикулярность прямых в пространстве;

2) перпендикулярность прямой и плоскости;

3) перпендикулярность плоскостей.

Содержание темы:

1) перпендикулярность прямых;

2) перпендикулярность прямой и плоскости, признак перпендикулярности прямой и плоскости; перпендикуляр, наклонная, проекция наклонной на плоскость; расстояние точки до плоскости, теоремы о параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости;

3) перпендикулярность плоскостей; теоремы о параллельности и перпендикулярности плоскостей; расстояние от прямой до параллельной ей плоскости; расстояние между параллельными плоскостями.

I. 1. При изучении взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве широко используются стереометрический ящик, геометрия «классной комнаты», «подручные» средства (журнал, книга, ручка, мел и т.д.), аналогия с планиметрией.

1. При изучении понятий данной темы можно придерживаться следующей методологической схемы:

1) формулировка определения учителем;

2) иллюстрация понятия на модели куба (параллелепипеда), геометрии «классной комнаты»;

3) логический анализ формулировки определения;

4) упражнения на распознавание понятия; приведение примеров из окружающей обстановки с соответствующим обоснованием.

3. При изучении теорем, выражающих признаки параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей, целесообразно придерживаться такой методической схемы:

1) мотивация изучения признака;

2) раскрытие содержания теоремы на стереометрическом ящике, на реальных объектах;

3) формулировка признака;

4) сообщение идеи доказательства, совместное составление плана доказательства;

5) оформление доказательства в соответствии с принятыми требованиями;

6) показ применимости признака на простейшей модели;

7) закрепление при решении задач.

4. Остановимся на роли задач при изучении вопросов параллельности и перпендикулярности в пространстве.

перпендикулярность (параллельность), затем рассматривается вопрос о существовании такого расположения, тесно связанный с признаками перпендикулярности (параллельности) и конструктивными задачи, т.е.

воображаемыми построениями перпендикулярных (параллельных) прямых и плоскостей. Эти построения весьма разнообразны.

5.Со второй половины темы «перпендикулярность в пространстве» акцент делается уже на практические стереометрические задачи. Это обусловлено тем, что введено понятие перпендикулярности, понятие «расстояние» и рассмотрена теорема о трех перпендикулярах, дающая основную конфигурацию – классический прямоугольный треугольник (перпендикуляр, наклонная, проекция наклонной).

параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в курсе стереометрии?

о параллельности прямых и плоскостей в пространстве, перпендикулярности прямых и плоскостей.

понятий этой темы можно использовать?

предложить для изучения теорем, выражающих признаки параллельности (перпендикулярности) прямых и плоскостей?

изучении данной темы?

Литература: 4, 6, 7, 14, 16.

Тема 3. Методика изучения многоугольников в школьном 1. Роль материала о многоугольниках в обучении математике.

2. Обзор содержания материала о многоугольниках в школьном курсе математики.

3. Методические рекомендации по изучению многоугольников.

Роль темы «Многоугольники» в обучении обусловлена следующим:

1. Многоугольники и их свойства непосредственно являются основным объектом изучения геометрии, позволяющим развить воображение учащихся.

2. Знания, умения и навыки, связанные с данной темой, необходимы для изучения смежных дисциплин (физики, черчения, труда и других) и в реальной жизни.

3. Учение о многоугольниках дает основу для использования соответствующего аппарата решения задач и доказательства теорем школьного курса стереометрии и естественным образом способствует развитию логического мышления.

4. Многоугольники являются полигоном для раскрытия материала о декартовых координатах, геометрических преобразованиях, векторах и др.

5. Материал важен в мировоззренческом аспекте, в историческом и прикладном ракурсах.

многоугольниках можно разбить на 3 основных блока.

1. Учение о треугольниках (7-8 классы) является базовым материалом всей темы, поскольку дальнейшее ее изучение основывается на применении различных свойств треугольников (в частности используются цепочки равных треугольников для доказательства равенства каких либо отрезков, углов при изучении многоугольников. К этому блоку относится следующий материал:

1) определение треугольника, сопутствующих понятий, 2) равнобедренный треугольник, 3) равенство треугольников, аксиома существования треугольника, равного данному, 4) зависимость между элементами треугольника, 5) подобие треугольников, 6) площадь треугольника, 7) комбинации треугольника с окружностью.

2. Учение о четырехугольниках (8 класс):

1) определение четырехугольника и сопутствующих понятий, 2) частные виды четырехугольников и их свойства (параллелограмм и его виды: прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция), 3) площади четырехугольников.

3. Учение о многоугольниках (9 класс).

1) общее понятие о многоугольниках, 2) правильные многоугольники и их построение, 3) комбинации правильных многоугольников с окружностью.

В учебнике А.В. Погорелов: сначала треугольники (7 класс), четырехугольники (8 класс), многоугольники (9 класс). Происходит постепенное обобщение материала, позволяющее учащимся последовательно установить естественные взаимосвязи между предыдущим и последующими темами.

В учебнике Л.С. Атанасяна смешанный подход: треугольники ( класс), многоугольники (обзор, 8 класс), четырехугольники, правильные многоугольники (9 класс).

Само определение многоугольника (и его частных видов) производится в основном с двух позиций:

а) как одномерного объекта – простая замкнутая ломанная, б) как двумерного объекта – плоского многоугольника, включающего в себя кроме простого многоугольника его внутреннюю область.

Оба подхода имеют как достоинства, и так и недостатки. Если мы вводим понятие многоугольника как одномерного объекта, то здесь имеем возможность вывести данное определение из основных понятий – точек и отрезков прямой, то есть четко показать преемственность вводимых понятий. Определяя же многоугольник как плоский, мы имеем возможность в дальнейшем рассмотреть сопутствующие элементы – медиану, высоту и биссектрису треугольника как объекты, принадлежащие треугольнику, а так же ввести понятие площади многоугольника.

Методические особенности изучения многоугольников рассмотрим на примере наиболее характерной темы данного материала «Четырехугольники»

Схема изучения данной темы:

1. Определение четырехугольника и выделение различных их видов.

2. Доказательства существования каждого вида.

3. Свойства и признаки каждого вида.

4. В конце изучения – классификация.

Изучение признаков и свойств параллелограмма связано с формулировкой необходимого и достаточного условия того, что четырехугольник является параллелограммом. Данный материал в учебнике А.В. Погорелова изучается вперемежку, по учебнику Л.С.

Атанасяна сначала рассматриваются свойства, а затем признаки, как обратные теоремы. Свойства параллелограмма обычно вводятся с параллелограммов, измерить противолежащие стороны и углы.

Сделать вывод.

В конце изучения темы целесообразно провести классификацию выпуклых четырехугольников, изучаемых в школе. Данная классификация зависит от того, как определить трапецию. Возможны два подхода:

1) трапеция, есть четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие непараллельны (Киселев, Погорелов, Атанасян). Здесь понятия трапеции и параллелограмма – несовместимы (объемы этих понятий не пересекаются) 2) трапеция, есть четырехугольник, у которого две стороны параллельны (Бескин Н.М.). здесь параллелограмм является одним из видов трапеции. Первое определение не позволяет последовательно рассмотреть цепочку частных видов четырехугольников, классификация четырехугольников при этом менее четкая логически.

При изучении материала о многоугольниках важное место занимает теорема о сумме углов выпуклого n – угольника.

В действующих школьных учебниках при доказательстве предлагают обычно разбить данный многоугольник на треугольники, соединив диагоналями одну из вершин (фиксированную) со всеми остальными вершинами.

Учитель может предложит другой способ разбиения n – угольника на треугольники, взяв точку О внутри многоугольника и соединив ее со всеми вершинами многоугольника.

Методически оправданы такие подходы при доказательстве теорем, которые отличны от подходов, используемых в действующих школьных учебниках.

1. Каково значение темы «Многоугольники» в школьном курсе геометрии?

2. Какие три содержательных блока можно выделить в данной теме?

3. Какие подходы к определению понятия «многоугольник»

существуют в учебно-методической литературе?

«Четырехугольники» можно составить?

5. Каковы методические особенности изучения признаков и свойств параллелограмма?

6. Приведите различные доказательства теоремы о сумме углов n – угольника и обоснуйте методическую ценность каждого из доказательств.

Литература: 4, 6, 7, 10, 14, 16, 17.

Методика изучения многогранников, фигур вращения в I. Темы «Многогранники» и «Тела и вращения» являются центральными в курсе стереометрии средней школы.

1) В процессе их изучения систематизируются знания учащихся их планиметрии: о многоугольниках, окружностях и круге, вписанном и описанном многоугольниках и их основных свойствах, а также знания о взаимном расположении прямых и плоскостей в пространстве из курса стереометрии 10-го класса.

2) В процессе изучения многогранников и тел вращения продолжается работа по дальнейшему развитию пространственных представлений и воображение учащихся.

3) Знакомство с многогранниками и телами вращения играет важную роль в подготовке учащихся к практической жизни, к труду (например, многие детали машин, приборов, архитектурные сооружения, предметы быта имеют форму тел вращения).

4) Дальнейшие развитие получает при изучении этого материала логическое мышление учащихся (вводится много новых понятий, теорем) Основная цель – дать учащимся систематические сведения об основных видах многогранников, познакомить с простейшими телами вращения и их свойствами.

II. Тему «Многогранники» можно разделить на следующие части:

1. Многогранник. Элементы многогранника. Выпуклый многогранник.

2. Призмы. Параллелепипеды.

3. Пирамиды. Усеченные пирамиды.

4. Правильные многогранники.

5. Объемы многогранников.

Последовательность изложения и место этих вопросов в действующих учебниках А.В. Погорелова и Л.С. Атанасяна (раздел о сечениях.).

Весь круг вопросов по теме «Тела вращения» можно условно разделить на 2 группы:

1. Цилиндр и конус: а) определение, поверхность, симметрия, касательная плоскость, сечение осевое и перпендикулярное оси, вписанные и описанные многогранники; б) объем; в) площадь боковой поверхности.

2. Шар и сфера: а) определение, симметрия, сечение, касательная плоскость; б) объем шара; в) площадь сферы.

III. Рассмотрим некоторые методические особенности изучения геометрических тел в школьном курсе стереометрии:

введения понятия многогранника. Существуют различные подходы к его определению. Чаще многогранник трактуется как ограниченное геометрическое тело с определенными характерными свойствами (Погорелов, Клопский, Скопец; Александров и др.). (Например, в учебнике А.В. Погорелова – многогранник – это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.) В учебнике Атанасяна многогранник рассматривается как поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело. Правда, в дальнейшем добавлено, что «тело, ограниченное многогранником, часто называют также многогранником».

Руководясь принципом педагогической целесообразности, понятие многогранника можно вводить без предварительного введения формально-логических определений понятий «геометрического тела», «поверхности», считая их интуитивно ясными для учащихся из их опыта и наглядных представлений.

2. Изложение материала о каждом геометрическом теле осуществляется по единому плану:

1) Определение, сопутствующие элементы и некоторые простейшие свойства, вытекающие сразу из определения.

2) Через построение изображения тела показывается его существование. (Предупреждать возможные ошибки в изображениях пространственных фигур).

3) Рассматриваются сечения многогранника или тела вращения (начинать с наглядных пособий, кодограмм).

4) Частные виды, их свойства и классификация (для многогранников).

5) Рассмотрение площади поверхности и объема данного тела.

3. При изучении большинства вопросов необходима постоянная актуализация ранее изученного материала, широкое использование пространственно-плоскостного аналога.

параллелепипеда, площадь прямоугольника – объем прямоугольного параллелепипеда и т.д.

4. Широко используются модели геометрических тел и другие средства наглядности. Легко организовать работу учащихся по их изготовлению во внеурочное время. Помимо положительного влияния на усвоение курса математики такая работа содействует развитию творческих способностей учащихся, расширяет кругозор, содействует повышению эффективности урока.

К 11 классу уже нельзя злоупотреблять демонстрацией наглядных пособий.

5. Большинство задач по данным темам – вычислительного характера, решение которых сводится к последовательному решению цикла элементарных планиметрических задач. Активно используются свойства треугольника, четырехугольника, комбинации треугольников с окружностью.

Можно выделить следующие виды задач:

– на нахождение элементов геометрических тел (длин отрезков, углов) – построение сечений геометрических тел и нахождение площади сечения.

многогранников и тел вращения.

6. Наиболее сложным является материал (задачи) о комбинациях многогранников и тел вращения. Теоретический материал в основном рассматриваются на наглядно-интуитивном уровне, не ставится задача обучения школьников построению изображения комбинаций.

Поэтому необходимо больше использовать готовые чертежи той или иной комбинации и соответствующие модели. На основе их анализа учащиеся должны уметь выделять необходимые для решения сечения данной комбинации и строить их на «выносном» чертеже. Часто вместо комбинаций геометрических тел получаем на таком чертеже известные планиметрические комбинации (треугольник вписанный или описанный около окружности, прямоугольник вписанный или описанный около окружности и т.д.) 1. Какова роль материала о геометрических телах в школьном курсе геометрии?

2. Основная цель изучения этого материала.

3. Какие вопросы рассматриваются в действующих школьных учебниках?

4. Какие подходы к определению понятия «многогранник»

можно выделить?

5. По какому единому плану осуществляется изложение материала о каждом геометрическом теле?

6. Выделить основные виды задач, имеющиеся в школьных учебниках по данной теме?

Литература: 4, 6, 7, 14, 16, 17.

Тема 4. Геометрические преобразования и векторы в 1. Общая характеристика материала. Различные подходы к изучению геометрических преобразований в школе.

2. Методические особенности изложения отдельных вопросов.

3. Метод геометрических преобразований и возможности его использования при решении задач.

1. Применение преобразований (а частности, движений) к установлению геометрических фактов связывают с именем Фалеса Милетского. Фалес с помощью перегибаний и поворотов чертежа показал справедливость таких фактов, как равенство вертикальных углов, равенство вписанного угла, опирающегося на диаметр окружности, прямому углу и т.д.

преобразований, дал немецкий математик Феликс Клейн в своей Эрлангенской программе. По Клейну предмет геометрии составляет теория инвариантов некоторой группы геометрических преобразований каждой из которых соответствует своя ветвь геометрии.

преобразований подобия, и является предметом изучения в средней школе.

Впервые значительное внимание этому материалу было уделено известным отечественным математиком и методистом А.Н.

Колмогоровым. В его курсе геометрии (1968-1980) преобразования занимали центральное место и служили основой доказательства многих теорем.

В учебниках Погорелова и Атанасяна движения и преобразования подобия стали рассматриваться скорее как объект изучения, чем универсальный аппарат для решения задач.

Роль материала:

1) Введение в школьный курс линии геометрических преобразований позволило дать «аппаратное», «рабочее»

истолкование равенства и подобия фигур. Если в учебнике Погорелова первоначально вводятся равные треугольники через равные элементы, то аналогичное определение равенства (подобия) для произвольных фигур ввести затруднительно – нужны геометрические преобразования. По Атанасяну же равенство вводилось через наложение, что не давало эффективного аппарата для решения задач на построение.

2) Геометрические преобразования позволили ввести в школьный курс динамику, преодолеть некоторую статичность традиционного синтетического подхода. При этом появилась возможность уделить особое внимание развитию определенных сторон пространственного воображения школьников.

эффективный метод решения задач, позволяющий во многих случаях облегчить доказательство теорем и решения задач.

реализации внутрипредметных связей с алгеброй (функциональная зависимость, преобразования графиков функций), межпредметных –с физикой (механическое поступательное движение и т.д.). отметим, что в физике исследуется в основном сам процесс движения, в геометрии – фиксированные положения фигуры, подвергшейся движению (исходное, конечное и иногда промежуточное).

5) Геометрические преобразования привносят в школьную математику эстетику, изящество. Идея симметрии – орнаменты, снежинки, архитектурные сооружения являются воплощением этой идеи, являясь одним из важнейших средств гуманитаризации обучения математике.

Теория геометрических преобразований в школе может быть построена традиционным – синтетическим, а так же аналитическим методами. Наибольшее распространение получил смешенный:

аналитико-синтетический подход, использующийся в действующих учебниках. Это позволяет упростить изложение, а так же формировать у школьников представление о возможности использования различных способов задания геометрических преобразований.

В учебнике Погорелова (теоретико-групповой подход) материал представлен в виде двух отдельных тем: «Движения» (8 кл.) и «Преобразования подобия» (9 кл.). Обе темы начинаются с общих вопросов: вводится общее понятие, дается два общих групповых свойства, рассматриваются свойства этих видов преобразований, их виды и специфические свойства каждого вида.

Учебник Атанасяна (реально-практический подход) предусматривает вначале описательное знакомство с симметрией ( кл.). В конце 9 класса рассматривается общее понятие движения и его свойства, затем отдельно изучаются параллельный перенос и поворот.

2. Рассмотрение частных видов движений осуществляется по следующему примерному плану:

1. Выполняется построение и одновременно проговаривается определение того или иного вида движений (определение – генетическое); вводятся сопутствующие понятия.

2. Предлагаются задания на построение фигур, полученных путем, воздействия движением на данные фигуры.

3. Неявно вводится тождественное преобразование как преобразование, переводящее фигуру саму в себя.

4. Упражнения на распознавание.

5. Доказательство того, что данное преобразование является движением (преобразованием подобия) обычно предваряется задачей на построение и последующее измерение или вычисление расстояний.

6. Доказательство специфических свойств данного вида преобразований.

При изучении преобразований подобия и признаков подобия треугольников можно порекомендовать использование аналогии с движениями. Это можно реализовать на вводной лекции введения понятия преобразования подобия и гомотетии. Одновременно повторяя пройденный материал по теме «Движения» и «Признаки равенства треугольников», учащиеся формулируют соответствующие утверждения, относящиеся к теме «Подобие». Все сведения заносятся в таблицу, и соответствующие факты затем доказываются.

С материалом о геометрических преобразованиях тесно связано рассмотрение признаков подобия треугольников, являющихся основой для решения большого количества задач в синтетической геометрии. Формулировка признаков подобия аналогична формулировке признаков равенства и может быть дана самими учениками в процессе выполнения соответствующих заданий исследовательского характера.

По учебнику Погорелова доказательство признаков подобия треугольников основывается на свойствах гомотетии и допускает использование одного и того же чертежа. Работа по доказательству всех признаков может осуществляться относительно единовременно, крупноблочно, со значительным участием самих учеников.

Доказательство признаков подобия треугольников осуществляется последовательно (один признак вытекает из другого).

В частности, выписав соответствующие формулы для всех углов, получим пропорциональность соответствующих сторон.

Еще один подход, в соответствии с которым признаки подобия могут быть доказаны на основе теорем косинусов и синусов.

3. Геометрические преобразования лежат в основе мощного метода, значительно упрощающего решение многих задач планиметрии и стереометрии. Овладение этим методом предполагает сформированность у учащихся умений выполнять ряд специфических действий.

1) Строить образы фигур при том или ином геометрическом преобразовании.

2) Распознавание точек и фигур, определяющих это преобразование.

3) Использование свойств преобразований для обоснования наличия определенного соотношения между рассматриваемыми геометрическими фигурами.

4) Выбор вида преобразования, который целесообразно использовать при решении данной конкретной задачи.

Овладение методом геометрических преобразований предусматривает несколько этапов:

1) подготовительный, 2) ознакомительный, 3) формирующий;

4) совершенствующий.

Задания для самостоятельной работы:

1) Обоснуйте выбор геометрического преобразования для решения следующих задач, и решить задачу выбранным методом.

использованием теорем синусов и косинусов и продумать возможность использования данного подхода применительно и действующим школьным учебникам.

1. В чем суть Эрлангенской программы Ф. Клейна?

2. Что является предметом изучения геометрии в средней школе с точки зрения Эрлангенской программы?

3. Какова роль материала о геометрических преобразованиях в школьном курсе?

4. Как представлена данная содержательная линия в действующих учебниках по геометрии?

5. Какова методическая схема изучения частных видов движений в школьном курсе?

6. Каковы методические особенности изучения преобразований подобия?

7. Опишите возможную методику изучения всех признаков подобия треугольников на одном уровне.

использованием подходов, отличных от имеющихся в действующих учебниках.

преобразований можно выделить? В чем суть каждого из этих этапов?

Литература: 4, 6, 7, 10, 14, 16, 17.

1. Понятие вектора является одним из фундаментальных в современной математике. Важность этого понятия для геометрии была показана Германом Вейлем, предложившим в 1918 году векторную аксиоматику евклидовой геометрии.

Материал о векторах стал изучаться в школьном курсе сравнительно недавно. Необходимость его включения в содержание курса геометрии следовала из следующих соображений.

1. Изучение векторной алгебры важно с точки зрения обогащения идейного содержания учебного курса, приближая его к современной геометрической науке.

2. Знакомство с векторами необходимо ученикам для изучения смежных курсов: физики, астрономии, химии, географии.

3. Векторы дают эффективный и компактный метод решения различных геометрических (аффинных и метрических) задач и доказательства ряда теорем.

4. Углубляется представление учащихся о величинах в том плане, что вектор выступает как связывающее звено между метрикой и направлением.

арифметических и алгебраических операциях.

Рассматриваются 4 варианта введения понятия вектора в школьном курсе:

1) Модернистский Ввести вектор, наряду с точкой и прямой как основное понятие, описываемое соответствующей системой аксиом (по Вейлю). При этом курс геометрии строится на полностью векторной основе.

2) Вектор рассматривать как одно из геометрических преобразований, отождествить ею с параллельным переносом (А.Н.

Колмогоров).

3) Рассмотреть вектор как направленный отрезок (А.В.

Погорелов, Л.С. Атанасян).

4) Ввести вектор как порядочную пару чисел, то есть на чисто координатной основе (свести геометрию к алгебре), все действия над векторами сводились бы к действиям над числами.

Определение вектора как направленного отрезка было значительно более наглядным для школьников и больше подходила к физическим представлениям о векторе, поэтому в некоторых учебниках используется именно такое определение.

При изложении материала о векторах большое значение имеет обеспечение необходимого «равновесия» между наглядногеометрическим и координатным подходами к данному вопросу. Если наглядно-геометрический подход более характерен для стиля изложения геометрического материала, то координатный метод упрощает многие доказательства, способствует достижению краткости изложения материала.

В учебнике Погорелова изучение векторов относится к концу класса. Перед этим рассматриваются темы «Движения» и «Декартовы координаты на плоскости». изучение векторов идет по следующему плану: понятие вектора, абсолютная величина и направление вектора, равенство векторов, координаты вектора, операции над векторами, разложение вектора на плоскости по двум неколлинеарным векторам.

рассматриваются аналогично.

В учебнике Атанасяна метод координат рассматривается уже позже введения понятия вектора, поэтому большой блок материала дается на чисто геометрической основе. В большой мере используется наглядно-геометрический подход, чем координатный.

2. При введении понятия «вектор» обычно рассматривают физическую ситуацию.

Учащимся предлагается подействовать на вектор различными движениями и выяснить, изменилось ли направление и абсолютная величина вектора при применении того или иного движения. Делается вывод, что в случае параллельного переноса абсолютная величина и направление не меняются. То есть, если векторы совмещаются параллельным переносом, их называют равными, при этом их абсолютная величина и направления совпадают. Отметим, что здесь возникает кажущееся противоречие с определением равных фигур.

Это объясняется тем, что век5тор характеризуется не только своим числовым значением, но и направлением, которое сохраняется только при параллельном переносе.

Центральным вопросом является введение координат вектора.

Можно предложить следующую схему:

1) В системе координат с нанесенной координатной сеткой рассмотрим несколько вопросов: Какие из изображенных векторов равны? Как можно показать, не измеряя отрезков и углов?

Попробуйте посчитать клеточки при движении от начала к концу этих векторов (3 клеточки вправо и 2 вверх). Таким образом, мы определили координаты векторов.

2) Задание: В тетрадях постройте точки А (2, 3) и В (4, 7).

Аналогично определите координаты вектора АВ и выясните связь между координатами вектора АВ и соответствующими координатами его начала и конца.

3) Итог – определение координат вектора.

4) Далее закрепляем определение на примерах.

5) Переходим к доказательству этого факта.

Материал, связанный с векторами разделяется на две большие группы вопросов:

1. Вопросы аффинной геометрии. Здесь в основном решаются задачи на установление параллельности, выполнение отношения отрезков, параллельный перенос, гомотетия, принадлежность трех точек одной прямой, принадлежность четырех точек одной плоскости и т.д.

2. Описывает метрическую часть темы. Это скалярное произведение векторов и его свойства. Здесь решаются задачи на вычисление расстояний, углов, нахождение множества точек.

Таким образом, без изучения скалярного произведения векторов из поля зрения учащихся выпадает большое количество метрических задач и в значительной мере теряется эффективность применения векторного метода..

Однако, скалярное произведение векторов совсем недавно стало изучаться в планиметрии в силу следующих трудностей:

1. Учащиеся привыкли, что умножение –есть операция, ставящая в соответствие двум элементам одного множества элемент того же множества. Скалярное же произведение векторов – есть число, то есть элемент множества, совершенно отличного от множества векторов.

2. Свойства скалярного произведения весьма отличны от свойств ранее изученных произведений.

3. Само определение скалярного произведения громоздко: либо это сумма произведений двух пар соответствующих координат, либо – произведение длин двух векторов на косинус угла между ними.

3. Аксиоматика школьного курса планиметрии не предопределяет строго логическую структуру курса стереометрии, то есть аксиоматика стереометрии может по своему характеру отличаться от планиметрической. Соответственно делались попытки изложить курс стереометрии на основе более современных математических методов, в частности, на векторном. При этом бы появилась возможность объединить курсы геометрии и алгебры на координатно-векторной основе. Однако, данный вариант пока не реализован в силу ряда субъективных трудностей:

1) Алгебраизация геометрии не способствует развитию пространственных представление школьников, их геометрической интуиции, не способствует их реальным представлениям.

2) В среднем звене трудно воспитать у школьников высокую алгебраическую культуру и дать четкие представления об аксиоматическом методе, которые необходимы для изучения стереометрии на векторной основе.

3) Не разработана в должной мере соответствующая методика преподавания.

Согласно действующей программе векторы рассматриваются в курсе стереометрии и как объект изучения и как аппарат доказательства теорем и решения задач. Место данной темы в курсе стереометрии может быть различным: 1) изучение векторов идет после параллельности до перпендикулярности в пространстве (Колмогоров, Скопец); 2) векторы рассматриваются после параллельности и перпендикулярности и используются в основном при решении задач на «Многогранник», «Тела вращения»

(Погорелов); 3) в конце курса, появляется возможность показать преимущества векторного метода по сравнению с традиционным – геометрическим при решении стандартных задач, однако, теряется возможность использования векторов для первичного доказательства теорем.

Усвоение понятийного аппарата, связанного с векторами, создает предпосылки для овладения учащимися векторным методом решения задач, включающим в себя следующие компоненты:

1. Перевод условия задачи на векторный язык и разложение введенных векторов по базисным (если необходимо).

2. Составление векторного равенства и его преобразование.

3. Замена векторного равенства алгебраическим уравнением и его решение.

4. Объяснение геометрического смысла найденного решения.

1. Показать реализацию компонентов векторного метода на примере решения задачи: Найти один из углов между диагональю куба и диагональю какой – либо грани куба.

1. Чем вызвана необходимость и целесообразность изучения векторов в школьном курсе?

2. Какие возможности введения понятия вектора в школьном курсе можно выделить?

3. Каково содержание данной темы в школьных учебниках?

4. Методика введения понятий «вектор» и «равные векторы».

5. Методика изучения координат вектора и операций над ними.

6. Каковы методические особенности изучения скалярного произведения векторов?

7. Какие варианты изучения векторов возможны в курсе стереометрии? Положительные и отрицательные стороны этих вариантов.

8. Каковы основные компоненты, из которых состоит овладение векторным методом?

Литература: 4, 6, 7, 8, 10, 14, 16, 17.

Методика изучения координат, векторов и геометрических преобразований в пространстве в школьном курсе стереометрии.

Попытки введения более современных, чем традиционный синтетический, методов в курс стереометрии неоднократно предпринимались с конца 19 века в силу следующих соображений:

1) применение более современных методов позволяет существенно упростить и алгоритмизировать решение стереометрических задач и доказательство теорем.

стереометрии, приблизить его к насущным проблемам действительности.

межпредметных связей соответствующих разделов: векторы – в физике, координаты – в алгебре, геометрические преобразования – в картографии.

В XX веке были созданы новые курсы геометрии, сориентированные на преимущественное использование алгебраического метода (геометрия Шоке), метода геометрических преобразований – учебное пособие Колмогорова, векторный метод – пособие под ред. Скопеца и др.

Но введение в школу этих учебников не увенчались успехом из-за:

1) отрицательного влияния на развитие пространственных представлений школьников, их геометрической интуиции;

2) сложности перехода к новой аксиоматике (векторной или метрической);

3) не совсем достаточно удачного методического решения проблемы создания новых учебников, а также неподготовленности учителей к этому переходу.

В силу указанных причин авторы действующих в настоящее время учебников попытались найти оптимальное сочетание традиционно-синтетических и более современных подходов. При этом координаты, векторы и преобразования стали рассматриваться скорее как объекты изучения, чем как мощные методы решения задач и доказательства теорем.

Место данной темы в курсе стереометрии может быть различным:

а) В начале курса. При этом существенно облегчаются доказательства многих теорем традиционных разделов.

б) После рассмотрения параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве. Основное применение в темах многогранниках и телах вращения. (Как в учебнике Погорелова и частично в учебнике Атанасяна).

в) В конце курса стереометрии. При этом появляется возможность показа преимущества рассматриваемых методов перед традиционным при решении задач.

Однако, как правило, здесь не хватает времени на вторичное прохождение материала и возникает опасность путаницы в понятиях.

В учебнике Л.С. Атанасяна наименьшее внимание уделено геометрическим преобразованиям, в учебнике А.В. Погорелова – векторам.

II. Материал о координатах, векторах и преобразованиях в стереометрии подчеркнуть повторяет соответствующий планиметрический материал в действующих учебниках. При этом повторение планиметрии затруднено из-за недостатка времени.

Следовательно, такое повторение целесообразно осуществлять в процессе ознакомления с соответствующими стереометрическими фактами и их доказательстве.

Например, при выводе формулы расстояния между точками, как в планиметрии, так и в стереометрии строится прямоугольный треугольник и применяется теорема Пифагора.

Таким образом, в стереометрии эти вопросы изучаются аналогично + этап сведения к планиметрическому аналогу. Поэтому можно использовать следующую методическую схему ее вида этой формулы:

1) Актуализация планиметрической формулы и идеи ее вывода.

2) При решении стереометрической задачи на интуитивном уровне записывается пространственный аналог.

планиметрической формулы на стереометрический факт.

4) Сведения пространственной конфигурации к плоскостной.

5) Осуществление доказательства по составленному плану:

а) сведения к планиметрическому анализу;

б) применение планиметрической идеи;

6)Закрепление доказательства в соответствии с известными этапами.

В действующих учебниках рассматриваются по существу только основной аппарат метода координат и векторной алгебры. При этом возможности применения этих методов при решении содержательных стереометрических задач и задач из других разделов весьма незначительны, и это оказывает отрицательное воздействие на осознание сущности данных методов в целом.

Учителю необходимо на материале стереометрии закрепить приобретенные ранее представления о существующих методах и их компонентах на основе использования системы специальных упражнений.

В конце изучения данной темы «Координаты, векторы, преобразования» целесообразно провести спаренный урок-семинар (лучше урок-практикум) по одновременному решению задач всеми методами и их сопоставительному анализу.

При этом отдельным группам учеников может быть предложена задача, которую необходимо решить одним из методов (либо на уроке, либо как домашнее задание). В процессе обсуждения решения со всем классом выделяются критерии применимости того или иного метода в данной ситуации, а также его плюсы и минусы.

На практике при решении содержательных стереометрических задач чаще приходится пользоваться более универсальным координатно-векторным методом.

Его использование наглядно можно увидеть при решении следующей задачи:

В треугольной пирамиде ДАВС плоские углы при вершине Д равны по 90 0. Боковые ребра ДА = 6, ДВ = 8, ДС = 24. точка М равноудалена от всех вершин пирамиды. Найти расстояние ДМ.

(Решать самостоятельно).

1. Провести сравнительный анализ содержания данного материала по учебникам: а) А.В. Погорелова; б) Л.С. Атанасяна и др.;

в) И.М. Смирновой и В.А. Смирнова.

2. Составить конспект статьи А.Д. Александрова «Так что же такое вектор?» «Математика в школе», № 5 – 1984г., с.39-46.

3. Показать суть координатно-векторного метода при решении задачи:

4. В треугольной пирамиде ДАВС плоские углы при вершине Д равны по 90 0. Боковые ребра ДА = 6, ДВ = 8, ДС = 24.

точка М равноудалена от всех вершин пирамиды. Найти расстояние ДМ.

содержательных линий в школьный курс стереометрии?

2. Почему их введение в школьный курс завершилось неудачей?

геометрических преобразований реализованы в действующих учебниках?

4. Какую методическую схему введения фактов аналитической геометрии в пространстве целесообразно использовать в курсе стереометрии?

5. Как осуществить аналогию при изучении данного материала в курсе стереометрии с планиметрией?

Лекция 5. Методика изучения геометрических 1. Некоторые методические замечания.

2. Место и значение темы в школьном курсе математики.

Изучение скалярных геометрических величин в младших классах.

3. Методические особенности изучения систем скалярных геометрических величин в средних и старших классах.

4. Различные подходы к изучению объёмов многогранников и тел вращения.

поверхностей тел вращения.

1. Предметом изучения данной лекции являются скалярные геометрические величины – длина, площадь, объём, мера угла. Под системой скалярных величин по А.Н. Колмогорову понимается определённое множество S={a, b, c, ….}, удовлетворяющее системе аксиом (10 аксиом).

Самостоятельное задание: Выписать эти аксиомы. Любая скалярная величина по отношению к конкретному объекту обладает свойством быть измеренной, то есть охарактеризованным числом.

При этом фактически задаётся соответствие между множеством фигур и множеством положительных действительных чисел так, что выполняются следующие свойства:

1) Равные фигуры имеют равные величины (инвариантность, относительно движения);

2) Величина фигуры, являющая объединением нескольких фигур без общих внутренних точек, равные сумме величин этих фигур (аддитивность);

3) Существует фигура (единичный отрезок, единичный квадрат, единичный куб), величина которого равна 1 (нормированность).

Скалярные геометрические величины могут вводиться либо:

1) аксиоматически, как функции, обладающие указанными выше свойствами:

а) Предполагая существование этой функции, выводят формулы для величин ломаных, многоугольников, многогранников.

Показывается возможность вычисления величины произвольных многоугольных и многогранных фигур путём их разбиения на треугольники и тетраэдры и независимость их от способа разбиения, то есть теорема о существовании и единственности на классе многоугольных (многогранных) фигур.

б) Вводится множество квадрируемых (кубируемых) фигур, спрямляемых дуг и доказывается существование и единственность рассматриваемой величины на этом множестве.

2.) конструктивно (идём в обратном направлении). Строится функция, обладающая свойствами 1) -3) с помощью описания процесса нахождения по фигуре F её величины:

1 способ: Рассматривается множество многоугольниках (многогранниках) фигур и показывается возможность их разбиения на треугольники (тетраэдры). Доказывается, что произведение основания на высоту треугольника (тетраэдра) не зависит от высоты основания.

Без доказательства принимаются формулы для S треугольника и V тетраэдра. Доказывается, что введение, таким образом, функция обладает свойствами 1)-3). Далее данная функция распространяется на класс квадрируемых (кубируемых) фигур и опять доказываются указанные свойства.

Данный подход редко используется в силу его психологической неубедительности (без доказательства принимаются формулы S треугольника, V тетраэдра), а также довольно сложного доказательства основных свойств площади и объёма.

1 способ: Естественный. Он позволяет ввести систему скалярных геометрических величин сразу для классов многоугольниках, многогранных фигур путём разбиения прямой, плоскости или пространства точками, прямыми или плоскостями.

Получаем масштабную сетку, состоящую из квадратов со сторонами 1, 1/10, 1/100, … 1/10n.

Пусть в заданной фигуре F содержится n квадратов со стороны 1|10, а сама фигура F содержится в n квадратов со стороны 1/10n. Положим за Sn - число n/10n, за Sn – число n/10n (число единиц площади, содержащихся в F и содержащих F). Если существует единственное число, заключённое между всеми числами Sn и всеми числами Sn, то фигура F называется квадрируемой (кубируемой). Для отрезков получается что-то типа теории сечений.

Дедекинда (теория действительного числа).

В школьных курсах основным путём введения геометрических величин является аксиоматический путь, подкрепляемый особенно на первых этапах изучения материала конструктивными соображениями, связанными с использованием транспортира, линейки, палетки и кубической масштабной сетки, как средствами измерения.

Изложение теории площадей многоугольников и объёмов многогранников существенно опирается на понятие равносоставленности многоугольников и многогранников.

Из свойств скалярных величин вытекает, что равносоставленные фигуры равновелики. Это позволяет ввести простой способ вычисления площадей (использовавшийся ещё Евклидом).

Укажем два важных факта, позволяющие понять логику построения соответствующего школьного материала.

1. Теорема Бойяи – Гервина:

Два равновеликих многоугольника равносоставлены. Из этой теоремы вытекает, что достаточно знать формулу для S прямоугольника, чтобы легко вывести площади других многоугольников.

сформулированная впервые Д.Гилабертом (1900 г., 3-я проблема) вообще несправедлива. Это следует из результатов Дена (1901 г.), который, в частности, показал, что правильный тетраэдр не равносоставлен с кубом того же объёма.

Именно поэтому при изучении объёмов многогранников недостаточно формулы объёма прямоугольного параллелепипеда, а приходится ещё использовать неэлементарные методы для нахождения объёмов тетраэдра. Однако, для некоторых видов многогранников (например призм) рассматриваемый факт справедлив.

2. Важность линии геометрических величин определяется следующими моментами.

1) В реальной действительности мы постоянно сталкиваемся с необходимостью измерения и оценки расстояний, площадей и объёмов фигур. (Примеры подобрать самостоятельно).

2) На основе материала данной темы осуществляется знакомство школьников с важными идеями, понятиями и методами метрической геометрии, расширяются возможности применения аналитического метода.

3) Реализуются внутрипредметные и межпредметные связи на основе взаимодействия аксиоматического метода, теории действительного числа, инфинитезимальных методов (бесконечно малых), метода координат и т. д.

4) Совершенствуются вычислительные навыки, навыки тождественных преобразований и решения уравнений и неравенств.

5) На данном материале, как правило, реализуется метод В школьном курсе математики изучаются следующие скалярные величины: длина отрезка, мера угла, площади многоугольника и круга, объёмы многогранников и тел вращения, длина окружности, площадь поверхности тел вращения.

Изучение скалярных геометрических величин в школе осуществляется концентрически: 1 концентр – 1 – 6 классы пропедевтический, 2 концентр – 7-11 классы – основной.

1этап. В курсе 1-4 классов у школьников развивается наглядноинтуитивное представление о величинах и их практическом измерении. Здесь они знакомятся с различными единицами измерения длины и площади, основными соотношениями между ними; измеряют и сравнивают длин отрезков и площади фигур, составленных из единичных отрезков и квадратов, с помощью линейки и палетки вычисляют периметр многоугольника, а также площадь прямоугольника (по формуле). Уже здесь учащиеся начинают производить действия с именованными числами: + и – величин, * и : величин на число, а также сравнение величин.

2 этап. В 5-6 классе представления о геометрических величинах систематизируются и углубляются. В частности, если в начальной школе отрезок и его длина воспринимаются как один и тот же объект, то в 5-ом классе учащиеся получают возможность установить различие между фигурой и её величиной, записываемой в виде числа с наименованием.

Это достигается на основе сопоставления результатов выполнения двух основных задач: построения отрезка заданной длины и измерения длин данного отрезка. Если в первом случае ответ неоднозначен, то во втором результат однозначен.

При изучении площадей и объёмов реализуется тот же план, что и при изучении длин отрезков: а) определение площади и объёма не даётся, а лишь поясняется, что для величин различных поверхностей и вместимостей сосудов надо знать площадь или объём соответствующих фигур; б) на конкретных примерах вводятся свойства площадей и объёмов, единицы их измерения, обращается внимание на то, что в отличие от длины и мер углов равенство площадей или объёмов фигур вовсе не означает равенство этих фигур;

в) вводятся и наглядно обосновываются формулы для площади прямоугольника и объёма прямоугольного параллелепипеда.

Решаются соответствующие текстовые задачи.

В 6 классе обоснование вводятся важные в практическом отношении формула для длин окружности и площади круга.

3 Основной этап изучения геометрических величин 7- классов.

На этом этапе происходит переход от вычислительноприкладного аспекта к формально-логическому.

В учебнике А.В. Погорелова в §1 в явном виде вводятся аксиомы откладывания и измерения отрезков и углов. Вопрос об измерении отрезков и углов. Вопрос об измерении отрезков и углов в практическом плане не ставится.

В учебнике Л.С. Атанасяна изложение связано с практическими измерениями. Описывается процесс измерения, на наглядном уровне поясняются свойства длины отрезков и градусных мер углов, описываются приборы для измерения расстояний и углов на местности. В аксиоматике (в Приложении 1) есть только аксиомы измерения и откладывания отрезка (аксиом измерения углов нет).

Понятие о площадях и объёмах в учебнике А.В. Погорелова вводится также аксиоматически. Площадь простой фигуры (объём простого тела) – это положительная величина, численное значение которой обладает свойствами: 1)-3).

В учебнике Л.С. Атанасяна и др. площадь определяется как величина части плоскости, занимаемой многоугольником, измерения площадей и объектов с помощью единичных квадратов и кубов и обосновываются основные свойства площадей и объёмов.

В основу изучения площадей плоских фигур и объёмов многогранников в школьных курсах геометрии кладутся формулы S прямоугольника (S квадрата) и V прямоугольного параллелепипеда.

(Можно и S треугольника и V тетраэдра и другие).

Можно выделить следующие четыре подхода к изучению площадей:

1. Сравнение площадей (подход Адамара) В основе подхода - теорема о том, что площади (или объёмы) 2х прямоугольников (прямоугольных параллелепипедов), имеющих равные основания, относятся между собой как их высоты.

Данный способ обладает достаточной общностью и вместе с тем не согласуется с известными с 5-6 классов способом измерения и имеет чересчур формальный для школы характер. Этот переход использован в учебнике А.В.Погорелова.

2. Традиционный подход (учебники Килелёва, Фетисова 1957 г., Атанасяна). После рассмотрения основных допущений о площадях вводится понятие об измерении площади прямоугольника при помощи сетки квадратов последовательно для случаев, когда обе стороны выражаются через единичный отрезок как:

1.) натуральное число;

2.) конечная десятичная дробь (рациональное число);

3.) бесконечная десятичная дробь (иррациональное число).

3. В 3-ем наиболее сложном случае площадь определяется либо как предел последовательности площадей прямоугольников, длины сторон которого выражаются рациональными числами, либо через введение двух последовательностей приближённых рациональных значений площади по недостатку и по избытку.

4. (на основе равносоставленности) – учебник Глагольева, В явном виде рассматривается понятие равносоставленности.

Определяются условия, при которых параллелограммы и прямоугольники равносоставлены. Рассматривается вывод формулы площади прямоугольника (прямоугольного параллелепипеда) для натуральных и рациональных измерений, а для иррациональных измерений формулы даются без доказательства. Данный подход также громоздок и не обладает достаточной психологической убедительностью в силу последнего допущения.

Наиболее оптимальным в настоящее время учителя считают классический подход (2-й подход) без рассмотрения третьего случая, либо принятие формулы площади квадрата за аксиому.

прямоугольника, пользуясь элементарными методами (теоремой Бойяи-Гервина – 12 равновеликих многоугольника равносоставлены) выводят формулы для площадей остальных прямоугольников, либо разбивая, либо дополняя новый многоугольник.

В основе изложения теории объёмов многогранников лежит формула для объёма прямоугольного параллелепипеда, доказываемая совершенно аналогично формуле для площади прямоугольника.

В силу равносоставленности равновеликих призм вывод формул для объёмов наклонных параллелепипедов и призм можно осуществить элементарными методами. Соответствующие соображения иллюстрируются на наглядных моделях, а выводы аналогичны тем, которые применялись в планиметрии.

Основная методическая проблема при выводе формул для объёмов многогранников является соответствующая формула для тетраэдра (теорема Дена). По этой теореме для вывода этой формулы необходимо использовать неэлементарные методы, связанные с операцией интегрирования (явно или неявно). Подход, при этом используемый, как правило, отражается и на методике изложения теории объёмов тел вращения.

1 подход – метод исчерпывания («чёртова лестница») (учебники Киселёва, Погорелова) осуществляется в двух вариантах:

Первый вариант - косвенный.

1 этап – лемма. Две треугольные пирамиды с равными площадями оснований и равными высотами равновелики.

Разбив высоту на n частей, проводим плоскости, параллельные плоскости основания. Получим разбиение пирамид на слои. Через вершины сечений призмы проводим n прямых, параллельных какому – либо ребру призмы.

Получаем два ступенчатых многогранника, состоящих из входящих в первую пирамиду и содержащих эту пирамиду призм. Их суммарные объёмы отличаются на объём призмы последнего от вершины слоя S (S - площадь основания, H - высота, n - номер слоя).

(см. п. 198 учебник Погорелова) Аналогично: V2 V1 V2= V 2 этап: Треугольная пирамида дополняется до призмы путём присоединения к ней ещё двух пирамид. Все три пирамиды по предыдущей лемме – равновелики Vпир= Vпризмы Второй вариант – прямой. (уч. Глаголева) является модификацией предыдущего варианта.

1 этап: Для пирамиды строится двоякая последовательность призм.

Показывается, что Vпирамиды является общим пределом последовательности объёмов ступенчатых многогранников при неограниченном увеличении количества составляющих призм:

Значит, достаточно вычислить объём ступенчатой фигуры.

2 этап: Объём ступенчатой фигуры вычисляется как сумма объёмов и подобных призм.

2 вариант психологически убедительней, но требует дополнительного времени для формул суммы квадратов натуральных чисел.

Объёмы тел вращения при данном подходе определяются как пределы соответствующих последовательностей объёмов вписанных и описанных многогранников (призм и пирамид). Основную сложность в данном случае составляет вычисленные объёмы шара. Здесь приходится вводить формулу для объёма тела вращения через определённый интеграл.

Третий подход – вычисление объёмов тел с помощью определённого интеграла (уч. Атанасяна и Александрова).

1 Для объёма простого тела рассматривается общий подход:

где S (х) – площадь сечения тела плоскости, перпендикулярной оси абсцисс.

2.) Объём наклонной призмы и пирамиды.

3.) Объёмы тел вращения.

Четвертый подход – через принцип Кавальери (итальянский математик 17 века, аббат монастыря). Две фигуры с равными высотами равновелики, если равны любые их сечения, приведённые параллельно основаниям на одинаковой высоте от них. Данный принцип принимается за дополнительную аксиому объёмов (для площадей и объёмов).

Для объёмов – аналогично.

1 вариант. Из принципа Кавальери напрямую следует лемма о равновеликости пирамид, и таким образом, существенно облегчается вывод для объёма пирамиды; можно вычислить и объёмы тел вращения. В частности при выводе формулы Vшара рассматривается полушар и конус, вписанный в центр.

Площади сечений полушара и второй фигуры равны:

S ф. R 2 d 2 (т.к.АА1В1 равнобедренный ) S п.ш. S ф. по принципу Кавальери S ф. S п.ш.

2 вариант. Вычисление объёма пирамиды (Виленкин) б) Берём произвольную пирамиду с площадью основания S и выстой Н. По принципу Кавальери объём 4-угольной правильной пирамиды и данной равны. Следовательно, формула верна для любой пирамиды.

Данный подход в настоящее время считается наиболее приемлемым в силу достаточной простоты (предельный переход уходит в доказательство принципа Кавальери).

Четвертый подход – формула Симпсона (Том Симпсон – английский математик 18 века).

Если в пространственной фигуре основания параллельны и площади сечений, параллельны основанию, удовлетворяют условию S(х) = ах2 + вх + с, где S (х) – функция от расстояния между сечением и основанием фигуры, то объём фигуры может быть найден по формуле:

где Н – высота, Q0 и Q – площади оснований, Qср – площадь среднего сечения.

Для конуса, пирамиды Q = 0, для шара Q0 =Q=0, а плоскость оснований считаются параллельными.

Доказательство формулы Симпсона достаточно громоздкое и, (х) dх (кв. ед.) (см. уч. Ю.М. Колягина).

Достоинства метода – его универсальность, недостаток – формальное введения.

Самостоятельное задание: Выписать формулы для сечений конуса, шара, пирамиды и цилиндра как функций от расстояния между сечением и основанием фигуры.

5. Площадь поверхностей фигур вращения в школе могут рассматриваться на различных уровнях строгости в зависимости от авторских установок и специфики контингента.

1. Общий подход по Минковскому (немецкий математик).

Площадь произвольной выпуклой поверхности определяется таким образом:

наглядно предоставляемый как двойной слой толщиной 2h, покрывающий с обеих сторон.

Далее на основе соответствующего определения вводились формулы для площади поверхности шара, конуса и цилиндра.

Данный подход был использован в ранних изданиях учебника Погорелова и не оправдал себя в силу формального характера и необходимости применения довольно изощренных оценок. (см. В.

Дубровский Площадь поверхности по Минковскому – Квант 1979, № 2. Основан на идеи исчерпывания (уч. Киселёва, Погорелова (новое издание)).

Цилиндры и конусы «исчерпываются» призмами и пирамидами, а поверхность сферы рассматривается через поверхность, полученную при вращении ломаной, вписанной в большую полуось круга.

Тогда площадь этой поверхности будет равна пределу площади поверхности тела при неограниченном увеличении сторон ломаной.

усечённого конуса, цилиндра и шара.

3. Основан на развёртках (уч. Атанасяна).

При этом используется допущения о сохранении величин площади при «развёртывании» поверхности вращения. Данный подход неприемлем для площади поверхности сферы, не имеющей плоской развёртки.

Однако, в некоторых учебниках (Погорелов) сделана попытка приближенного представления участков сферы в виде многоугольников, являющихся гранями многогранника, описанного около сферы.

За площадь поверхности фигуры, полученной при вращении вокруг оси ОХ графика функции у = f (х), имеющей на а, b непрерывную произвольную, принимается число:

В учебнике А.В. Погорелова используется модификация подходов 2 и 3, взяв за основу идею исчерпывания шара пирамиды с вершиной в центре шара с последующим предельным переходом, соответствующим неограниченному уменьшению размеров граней многогранника, описанного около шара.

Задание для самостоятельной работы. Выписать систему аксиом для определения систем скалярных величин по А.Н. Колмагорову их учебного пособия (4).

1. Перечислите основные скалярные геометрические величины, изучаемые в школьном курсе.

2. Что такое величина? Какими свойствами обладает любая скалярная величина?

3. В чём суть аксиоматического введения скалярных геометрических величин и конструктивного? И какой путь является основным в школьном курсе?

4. Какую роль играет понятие равносоставленности в теории площадей и объектов?

5. Каковы основные цели изучения линии геометрических величин в школьном курсе?

6. Что известно учащимся о геометрических величинах из пропедевтического курса математики?

7. Каковы методические подходы к изучению длин отрезков в школьном курсе?

8. Какие 4 основных подхода можно выделить при изучении площадей в школьном курсе геометрии? Суть каждого из этих подходов?

9. Какие подходы используются в основной школе при изучении длины окружности и площади круга?

10. В чём суть метода исчерпывания при построении теории объёмов многогранников?

11. Интегральный подход к нахождению объёмов геометрических 12. Нахождение объёмов с помощью принципа Кавальери и формулы Симпсона.

13. Каковы возможные подходы к построению теории площадей поверхностей тел вращения в школьном курсе?

Литература: 4, 6, 7, 10, 14, 16, 17.

методика алгебры, алгебры и начал Государственный образовательный стандарт полной средней школы определяет основные задачи курса алгебры (7-9 класс) и курса алгебры и начал анализа (10-11 класс):

«1. развитие представлений о числе и роли вычислений в практике; формирование практических навыков вычислений и вычислительной культуры;

7. формирование формально-оперативных алгебраических умений и применение их к решению математических и внематематических задач;

8. изучение элементарных функций и использование графических представлений для описания и анализа реальных зависимостей;

9. ознакомление с элементами дифференциального и интегрального исчисления как аппаратом исследования функций и решения прикладных задач;

10. формирование представлений обучаемых понятиях и методах как важнейших средств математического моделирования реальных процессов и явлений, о математике как элементе человеческой культуры, о ее применении в практике и научном познании;

11. развитие интеллектуальных и речевых умений».

При любом изменении содержания школьного математического образования в нем должно оставаться «ядро» из тех тем, без которых учащиеся не смогут получить представление о математике и ее методах. Совокупность таких тем составляет содержательнометодических линий школьного курса математики. Эти темы также выделяются стандартом математического образования.

В курсе алгебры, алгебры и начал анализа к ним относятся:

«Числа и вычисления», «Выражения и их преобразования», «Уравнения и неравенства», «Функции».

Эти темы остаются неизменными а «изменяются» темы так называемой стохастической линии. Они могут вводится в содержание школьного курса или исключаться из нее. Это зависит от потребностей и динамично меняющихся условий современного общества.

Исходя из выше сказанного, в курсе лекций по теории и методике обучения математике раскрываются именно основные содержательные линии школьного курса математики.

Содержание выделенных линий курса невозможно изучить в пределах одного класса, одной темы, так как их изучение должно пройти несколько этапов:

- пропедевтический;

- изучение основного содержания;

- углубление, обобщение и систематизация изученного.

При чтении лекций по основным содержательным линиям реализуется схема:

6. проводится логико-математический анализ изучаемого материала;

7. определяется место данного математического содержания в школьной программе и учебниках;

8. определяются цели и задачи каждой содержательной линии;

9. выделяются основные типы математических задач и обобщенные приемы их решения;

10. рассматриваются методы и приемы обучения, которые можно использовать для изучения отдельных тем или разделов данной содержательно-методической линии.

Лекция 1. Развитие понятия числа в школьном курсе V. Изучение числовых систем в школьном курсе математики, место темы в программе.

VI. Методика изучения натуральных и дробных чисел.

VII. Методика изучения рациональных чисел.

VIII. Некоторые вопросы изучения действительных чисел в курсе средней школы.

V. Дается краткий логико-математический анализ линии числа в школьном курсе. Особое внимание уделено сравнению последовательностей расширения понятия числа в научных курсах и в историческом аспекте. Исходя из целей изучения числовых систем в школьном курсе обосновывается использование одной из последовательностей в школе расширения понятия числа. Далее подробно анализируется программа с 1 по 11 классы. На примерах изучения конкретных числовых множеств показываются два пути введения нового числового множества.

Вводится общая методическая схема, используемая на любом этапе расширения понятия числа и показываются основные условия, влияющие на ее использование на разных возрастных этапах.

VI. Рассмотрение второго вопроса начинается с обзора знаний, умений и навыков с которыми в 5 класс приходят ученики после начальной школы. Затем выделяются сведения из раздела «Натуральные числа», которые необходимо переосмыслить и обобщить в курсе 5 класса и более подробно рассматривается методика изучения вопросов «новых» для учащихся, относящихся к теме «Делимость натуральных чисел, а именно понятий делителя и кратного числа, НОК, НОД, признаков делимости чисел. Уделяется внимание практическим приложениям изучаемых вопросов.

Заканчивая с учениками изучение натуральных чисел, учитель должен до четкого их понимания довести тот факт, что на множестве натуральных чисел (N) всегда выполнимы операции сравнения, сложения и умножения и они подчиняются определенным законам.

В курсе 5 класса ученики встречаются с первым расширением понятия числа. Следуя исторической схеме, множество натуральных чисел расширяется до множества положительных рациональных чисел, то есть появляются дробные числа (для краткости – дроби).

Необходимо показать студентам, что в пропедевтическом плане знакомство с дробными числами произошло в начальной школе.

Выделяются же сведения о дробях, которые им известны.

Далее, используя метод целесообразных задач, решается одна методическая задача – показывается целесообразность расширения множества натуральных чисел. В отличии от начальной школы этот процесс связывается с невозможностью решения уравнения типа а х b (или невыполнимостью операции деления) на множестве натуральных чисел.

Затем рассматриваются возможные последовательности изучения обыкновенных и десятичных дробей, анализируются школьные учебники.

После введения понятия дробного числа переходим к методике изучения операций на множестве Q+, то есть раскрываем вторую методическую задачу – показать целесообразность изучения операций на множестве Q+ и ввести их. С введением операций сложения, вычитания, умножения и деления связано и изучение законов арифметических действий.

VII. Рассмотрение третьего вопроса лекций начинается с введения отрицательного числа. Целесообразность его введения можно показать двумя путями: формально-логическим (связать с невыполнимостью операции вычитания на множестве N) или реальноконкретным (рассматриваются величины, изменение которых проходит в двух противоположных направлениях.



Pages:     | 1 || 3 | 4 |
 


Похожие работы:

«МЕЖДУНАРОДНАЯ АКАДЕМИЯ ИНФОРМАТИЗАЦИИ ОТДЕЛЕНИЕ БИБЛИОТЕКОВЕДЕНИЯ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КУЛЬТУРЫ И ИСКУССТВ ЦЕНТРАЛЬНАЯ ГОРОДСКАЯ БИБЛИОТЕКА – МЕМОРИАЛЬНЫЙ ЦЕНТР ДОМ ГОГОЛЯ В.К. КЛЮЕВ УПРАВЛЕНЧЕСКАЯ ЭКОНОМИКА РОССИЙСКОЙ БИБЛИОТЕКИ Тематический сборник избранных работ Москва 2007 Клюев В.К. Управленческая экономика российской библиотеки: Тем. сб. избр. работ / Междунар. Акад. информатизации. Отд-ние библиотековедения; Моск. гос. ун-т культуры и искусств; Центр. гор....»

«Министерство образования и науки РС (Я) Вилюйская муниципальное управление образованием МБОУ Вилюйская СОШ №1 имени Г.И. Чиряева Тема: Робототехника в современной школе Проект Работу выполнили: Иванова Т.С.- учитель физики, Харлампьева Л.И.- учитель физики, Лебедева Л.А.-учитель информатики. г.Вилюйск 2012 Оглавление Введение 3 I. Содержание инновационной педагогической работы 8 1.1. Теоретические аспекты включения робототехники в образовательное пространство 8 1.2.Общая структура действий по...»

«Международный консорциум Электронный университет Московский государственный университет экономики, статистики и информатики Евразийский открытый институт Башкатова Ю.И. Контроллинг Учебно-методический комплекс Москва 2008 1 УДК 65.012.7 ББК 65.290-2 Б 333 Башкатова Ю.И. КОНТРОЛЛИНГ: Учебно-методический комплекс – М.: Изд. центр ЕАОИ. 2008. – 108 с. ISBN 978-5-374-00098-6 © Башкатова Ю.И., 2008. © Евразийский открытый институт, 2008. 2 Содержание Введение РАЗДЕЛ 1. Контроллинг как инструмент...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Амурский государственный университет Кафедра общей математики и информатики УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ ЭКОНОМЕТРИКА Основной образовательной программы по направлению подготовки 080100.62 – Экономика Благовещенск 2013 2 УМКД разработан старшим преподавателем кафедры ОМиИ Киселевой Аленой Николаевной Рассмотрен и рекомендован на...»

«Константин Константинович Колин, д.т.н., проф., Институт проблем информатики РАН, kolinkk@mail.ru ФИЛОСОФИЯ ИНФОРМАЦИИ: СТРУКТУРА РЕАЛЬНОСТИ И ФЕНОМЕН ИНФОРМАЦИИ Доклад на 10-м заседании семинара Методологические проблемы наук об информации (Москва, ИНИОН РАН, 7 февраля 2013 г.) Аннотация Рассматривается философская сущность феномена информации как проявления одного из всеобщих фундаментальных свойств реальности окружающего нас мира. Показана связь феномена информации со структурой реальности,...»

«Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники Кафедра систем управления А. Я. Красовский ЛОКАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИКИ Конспект лекций для студентов специальности I-53 01 07 Информационные технологии и управление в технических системах всех форм обучения Минск 2008 Содержание Стр. 1 Общие положения 1.1 Задачи курса 1.2 Место локальных систем в иерархии систем управления 1.3 Классификация локальных систем...»

«УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ ГОМЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ФРАНЦИСКА СКОРИНЫ УДК 004.942 ЕРОФЕЕВА Елена Анатольевна МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ОБРАБОТКИ ВАГОНОПОТОКОВ НА ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНЫХ СТАНЦИЯХ ПРОИЗВОЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ Гомель, 2013 Работа выполнена в учреждении образования Белорусский государственный университет...»

«И.И.Елисеева, М.М.Юзбашев ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СТАТИСТИКИ Под редакцией члена-корреспондента Российской Академии наук И.И.Елисеевой ПЯТОЕ ИЗДАНИЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению и специальности Статистика Москва Финансы и статистика 2004 УДК 311(075.8) ББК 60.6я73 Е51 РЕЦЕНЗЕНТЫ: Кафедра общей теории статистики Московского государственного университета...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Московский государственный открытый педагогический университет им. М.А. Шолохова Академия информатизации образования Национальный фонд подготовки кадров ИНФОРМАТИЗАЦИЯ СЕЛЬСКОЙ ШКОЛЫ (ИНФОСЕЛЬШ-2006) Труды IV Всероссийского научно-методического симпозиума 12-14 сентября 2006 г. г. Анапа Москва 2006 УДК 373.1 ББК 74.202 И 74 Редакционная коллегия: Круглов Ю.Г. - д.фил.н., проф.; Ваграменко Я.А. – д.т.н., проф.; Зобов Б.И. – д.т.н. проф.;...»

«Федеральное агентство связи Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики Кафедра философии Конспект лекций по учебной дисциплине ИСТОРИЯ по всем направлениям подготовки бакалавров Часть II. Россия императорская в сообществе мировых цивилизаций: рождение, расцвет и первые шаги к закату (XVIII – XIX в.) Самара – 2011 УДК Ипполитов Г. М. История. Конспект лекций: В IV...»

«Н.Н. Непейвода Инфософия Введение в системный и логический анализ Курс лекций УДК ББК Непейвода Н.Н. Введение в системный и логический анализ. Курс лекций. Приложения математики являются скорее искусством, чем наукой, хотя и базируются на абстрактнейших достижениях точных наук. Данная публикация является первым опытом пособия по курсу, призванному дать интегральный взгляд на полуформальные и неформальные методы, выявить соблазны и трудности, возникающие при приложении математики, и показать...»

«СОДЕРЖАНИЕ 1. Общие положения 1.1. Определение ООП 1.2. Нормативные документы для разработки ООП по направлению подготовки 230100.62 Информатика и вычислительная техника 1.3. Общая характеристика ООП по направлению подготовки 230100.62 Информатика и вычислительная техника 1.3.1. Цели ООП по направлению подготовки 230100.62 Информатика и вычислительная техника 1.3.2. Сроки освоения ООП по направлению подготовки 230100.62 Информатика и вычислительная техника 1.3.3. Трудоемкость ООП по направлению...»

«Государственное научное учреждение Институт философии Национальной академии наук Беларуси УДК 1(430)(091)+930.1+141.339.8+101.1:316 ПОЗНЯКОВА Ольга Леонидовна ФИЛОСОФИЯ ИСТОРИИ И. КАНТА: АНТРОПОЛОГИЧЕСКИЕ И СОЦИАЛЬНО-ПОЛИТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата философских наук по специальности 09.00.03 – история философии Минск, 2014 Работа выполнена в Белорусском государственном университете. Научный руководитель – Румянцева Татьяна Герардовна, доктор...»

«Мультимедиа в образовании: контекст информатизации А. В. Осин Мультимедиа в образовании: контекст информатизации © © Осин А.В., 2003 Мультимедиа в образовании: контекст информатизации Оглавление От автора Глава 1. Образовательные электронные издания и ресурсы 1.1. Образование и компьютер 1.2. Издания и ресурсы 1.3. Новые педагогические инструменты 1.4. Компоненты мультимедиа 1.5. Уровень интерактивности 1.6. ЭИР и педагогические технологии 1.7. ЭИР и книга Глава 2. Концепция развития...»

«Лихошвай Виталий Александрович Математическое моделирование и компьютерный анализ генных сетей 03.00.28 – биоинформатика Диссертация на соискание ученой степени доктора биологических наук Научный консультант Чл.-кор. РАН, д.б.н, проф. Колчанов Н.А. Новосибирск, 2008 Актуальность вытекает из потребностей систематизации и теоретического осмысления накопленных экспериментальных данных о закономерностях функционирования живых систем под управлением генетических программ, а также из современных...»

«Сельскохозяйственные биотехнологии в развивающихся странах: варианты и возможности в производстве сельскохозяйственных культур, в лесном хозяйстве, в животноводстве, в рыбном хозяйстве и в агропромышленном комплексе для преодоления проблем продовольственной безопасности и изменения климата (ABDC-10) ГВАДАЛАХАРА, МЕКСИКА, 1- 4 МАРТА 2010 г. ИЗДАНИЕ для Региональной сессии для стран Европы и Центральной Азии: Сельскохозяйственные биотехнологии в Европе и в Центральной Азии: новые вызовы и...»

«НАЦИОНАЛЬНОЕ ОБЪЕДИНЕНИЕ СТРОИТЕЛЕЙ ПОРЯДОК организации и проведения строительного контроля при строительстве объектов связи Издание официальное Москва 2014 НОСТРОЙ ХХХХХ – 20ХХ Предисловие Сведения о документе 1 РАЗРАБОТАН ООО НИИ экономики связи и информатики Интерэкомс (ООО НИИ Интерэкомс) 2 ПРЕДСТАВЛЕН НА Комитетом по строительству объектов связи, телеУТВЕРЖДЕНИЕ коммуникаций, информационных технологий Национального объединения строителей. Протокол от г. №. 3 УТВЕРЖДЕН И ВВЕДЕН В Решением...»

«Управление большими системами. Специальный выпуск 44: Наукометрия и экспертиза в управлении наук ой УДК 001.94 + 519.24 ББК 72.4 + 78.5 ЧТО МОЖНО УЛУЧШИТЬ В НАУКОМЕТРИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ – УЧЕТ НАЛИЧИЯ ДУБЛИКАТОВ И ЗАИМСТВОВАНИЙ В НАУЧНЫХ ПУБЛИКАЦИЯХ Дербенёв Н. В.1, Толчеев В. О.2 (Национальный исследовательский университет Московский энергетический институт, Москва) Дается общая характеристика наукометрических методов, отмечаются их недостатки, анализируются возможности применения и...»

«Управление образования Администрации города Нижний Тагил Муниципальное бюджетное учреждение Информационно-методический центр Состояние системы образования города Нижний Тагил по итогам 2012-2013 учебного года Нижний Тагил 2013 УДК 37 (470.54) ББК 74.04 (2-2 Н.Тагил) СОСТОЯНИЕ СИСТЕМЫ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА НИЖНИЙ ТАГИЛ ПО ИТОГАМ 2012-2013 УЧЕБНОГО ГОДА//Сборник аналитических материалов / отв.редактор Удинцева Т.А.- Нижний Тагил: ООО Тагил-Принт, 2013.– 155 с. Редакционная коллегия: Юрлов И.Е.-...»

«Концепция развития Архангельской областной научной библиотеки им. Н.А. Добролюбова (2008-2012 гг.) Архангельск 2008 Проект Концепции одобрен решением коллегии комитета по культуре Архангельской области от 30 июня 2008 г. Разработчики: Степина О.Г., директор библиотеки, Маркова Е.М., заместитель директора по автоматизации Консультационное сопровождение в подготовке Концепции: Ойнас Е.В., Щербакова И.В., эксперты по социокультурному проектированию Эксперты: Афанасьев М.Д., директор...»














 
© 2014 www.kniga.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Книги, пособия, учебники, издания, публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.