WWW.KNIGA.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Книги, пособия, учебники, издания, публикации

 

Высшее профессиональное образование

БаКалаВриат

В. С. Мхитарян, В. Ф. ШиШоВ, а. Ю. КозлоВ

теория ВероятноСтей

и МатеМатичеСКая

СтатиСтиКа

Учебник

Рекомендовано

Учебно-методическим объединением по образованию

в области математических методов в экономике

и прикладной информатики в качестве учебника

для студентов высших учебных заведений,

обучающихся по направлениям «Математические

методы в экономике» и «Прикладная информатика (по областям)» и другим экономическим специальностям УДК 519.21(075.8) ББК 22.171:22.172я73 М936 Р е ц е н з е н т ы:

зав. кафедрой высшей математики ВЗФЭИ, проф. Н.Ш.Кремер;

профессор кафедры «Автономные информационные и управляющие системы» Пензенского государственного университета, д-р техн. наук А. И. Сидоров Мхитарян В.С.

М936 Теория вероятностей и математическая статистика : учебник для студ. учреждений высш. проф. образования / В. С. Мхитарян, В. Ф. Шишов, А. Ю. Козлов. — М. : Издательский центр «Академия», 2012. — 416 с. — (Сер. Бакалавриат) ISBN 978-5-7695-8147- Учебник создан в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом по направлениям подготовки 230700 «Прикладная информатика» и 210700 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи»

(квалификация «бакалавр»).

Охвачены все основные разделы курса теории вероятностей и математической статистики. Изложены основные сведения, относящиеся к изучению случайных событий, случайных величин и законов их распределения, систем случайных величин, предельных теорем теории вероятностей, а также основные понятия теории случайных функций. Подробно рассмотрены требования к статистическим оценкам, точечное и интервальное оценивание параметров распределения, параметрические и непараметрические методы проверки статистических гипотез, дисперсионный, корреляционный и регрессионный анализ.

В каждом разделе изложены основные теоретические положения, пояснены предпосылки применения вероятностных и статистических методов, приведены подробные решения типовых задач (численные данные, приведенные в некоторых примерах, условны), предложены задачи для самостоятельной работы студентов.

Показано применение надстроек MS Excel (статистических функций и пакета анализа) для решения задач теории вероятностей и математической статистики.

Для студентов учреждений высшего профессионального образования.

УДК 519.21(075.8) ББК 22.171:22.172я Оригинал-макетданногоизданияявляетсясобственностью Издательскогоцентра «Академия», иеговоспроизведениелюбым способомбезсогласияправообладателязапрещается © Мхитарян В. С., Шишов В. Ф., Козлов А. Ю., © Образовательно-издательский центр «Академия», ISBN 978-5-7695-8147-2 © Оформление. Издательский центр «Академия», ВВедение В научных исследованиях, экономике, технике и массовом производстве часто приходится встречаться с явлениями, которые при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта в неизменных условиях протекают каждый раз несколько по-иному. Такие явления называются случайными.

По мере развития многих отраслей науки становится необходимым изучать случайные явления, для того чтобы научиться предвидеть действия случайных факторов и учитывать их на практике.

Теорией вероятностей называется математическая наука, изучающая общие закономерности случайных явлений независимо от их конкретной природы и дающая методы количественной оценки влияния случайных факторов на различные явления.

Основой научного исследования в теории вероятностей является опыт и наблюдение. На практике часто приходится проводить опыты, в результате которых получаются различные данные в зависимости от того комплекса условий, при которых они проводятся. Результаты опыта можно характеризовать качественно и количественно. Качественная характеристика результата опыта есть событие. Например, появление на выходе приемника радиопомехи в некотором интервале времени является событием. Появление бракованного изделия в партии готовой продукции тоже является событием. Факт, что при изменении некоторой величины получена величина меньше некоторого числа, является событием и т. д.

Количественная характеристика результата опыта, которая может принимать одно из ряда возможных значений (заранее неизвестно какое именно) называется случайной величиной.

Случайные величины могут иметь различный характер. Например, можно рассматривать скалярные случайные величины, случайные векторы, случайные функции и т. д. Каждое возможное значение скалярной случайной величины есть число. Каждое возможное значение случайного вектора есть вектор, который характеризуется совокупностью соответствующего количества чисел (системы случайных величин). Каждое возможное значение случайной функции представляет собой некоторую конкретную функцию, которая называется реализацией случайной функции. Примерами случайных величин могут служить ошибки измерения длины, массы и т. д. Примерами случайных векторов могут служить совокупности ошибок совместного измерения нескольких постоянных скалярных величин. Примерами случайных функций времени являются помехи, которые будут поступать в приемник радиоканала вместе с полезным сигналом.

Методы теории вероятностей широко применяются в различных отраслях экономики, естествознания и техники. Автоматическое управление производственными процессами, создание автоматических радиолокационных станций и автоматических математических машин, проблема автоматического управления полетом самолетов и другие технические проблемы автоматики и телемеханики вызвали бурное развитие теории автоматического регулирования как теоретической основы автоматики и телемеханики. Но теория автоматического регулирования не могла достаточно полно охватить процесс работы автоматических систем без использования вероятностных методов (особенно теории случайных функций), так как в любой автоматической системе имеются источники постоянно действующих случайных возмущений, которые оказывают существенное влияние на весь процесс работы системы.

Первые работы, в которых зарождались основные понятия теории вероятностей, были связаны с исследованием правил для азартных игр. Работы Б. Паскаля (1623 — 1662), П. Ферма (1607 — 1648) и Х. Гюйгенса (1629 — 1695) в середине ХVII в. являлись основой и началом теории вероятностей.

Дальнейшее развитие теории вероятностей связано с именем Якова Бернулли (1654 — 1705). Во второй половине ХVII в. он впервые показал, что с увеличением числа испытаний частота какого-либо случайного события приобретает устойчивость и определенным образом приближается к некоторому безразмерному числу, которое объективно отражает возможность появления этого события и называется вероятностью.

Математик Муавр (1667 — 1754) в начале ХVIII в. впервые рассмотрел простейший случай нормального закона, который в настоящее время имеет широкое применение.

Большое значение в развитии теории вероятностей имели работы таких математиков, как П. Лаплас (1749 — 1827), К. Гаусс (1777 — 1855) и С. Пуассон (1781 — 1840). Лаплас впервые дал стройное и систематическое изложение основ теории вероятностей, привел доказательство одной из форм центральной предельной теоремы. Гаусс дал более общее обоснование нормальному закону и разработал метод обработки экспериментальных данных. С именем Пуассона связан один из законов распределения, который играет большую роль в теории вероятностей и ее приложениях.

В ХIХ в. вопросами теории вероятностей стали заниматься выдающиеся российские ученые П. Л. Чебышев (1821 — 1894) и его ученики А. А. Марков (1856 — 1922) и А. М. Ляпунов (1857 — 1918).

Создалась так называемая Петербургская школа теории вероятностей.

Чебышев ввел в теорию вероятностей понятие случайной величины и метод моментов, что привело к созданию мощного современного аппарата теории вероятностей. Марков в своих трудах существенно расширил область применения закона больших чисел и центральной предельной теоремы. Очень важной заслугой А. А. Маркова является то, что он в своих трудах положил основу для новой области теории вероятностей — теории случайных процессов. Ляпунов известен своим доказательством центральной предельной теоремы и разработкой метода характеристических функций.

Отечественная школа теории вероятностей занимает в мировой науке ведущее место. Среди многих ученых, виднейших математиков нашей страны, занимавшихся разработкой вопросов теории вероятностей, необходимо отметить С. Н. Бернштейна (1880 — 1968), А. Я. Хинчина (1894 — 1959), А. Н. Колмогорова (1903 — 1987), В. И. Романовского (1879 — 1954), Б. В. Гнеденко (1912 — 1995), В. С. Пугачева (1911 — 1998) и др.

Бернштейн разработал первую законченную аксиоматику теории вероятностей и существенно расширил область применения предельных теорем.

Хинчин известен своими исследованиями в области стационарных случайных процессов, предельных теорем теории вероятностей.

Особое значение в развитии теории вероятностей и математической статистики имеют работы А. Н. Колмогорова. Он дал наиболее совершенное аксиоматическое построение теории вероятностей.

Работы А. Н. Колмогорова в области теории случайных функций являются основой всех исследований в данной области.

Методы теории вероятностей широко применяются в различных отраслях экономики и техники. Теория вероятностей служит также для обоснования математической и прикладной статистики, которая в свою очередь используется при планировании и организации производства, при анализе технологических процессов, при оценке качества продукции и для многих других целей.

Определение различных параметров случайных процессов на основе статистических наблюдений проводят с использованием зависимостей математической статистики.

Математическая статистика — это раздел математики, изучающий методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений в целях выявления существующих закономерностей и получения обоснованных рекомендаций, направленных на совершенствование практической деятельности.

Дальнейшее расширение и повышение эффективности современного производства, внедрение автоматизации и механизации совершающихся в нем процессов, повышение качества продукции неразрывно связано с применением новых технических методов, к числу которых относятся методы математической статистики, дающие возможность правильно организовать контроль технологии производства, существенно сократить брак, более эффективно использовать материалы.

Технологический процесс производства массовой продукции на любом предприятии организуется на основе проекта и предварительно проведенных научно-технических расчетов. Однако как бы ни были точны и совершенны инженерные расчеты, в них не представляется возможным заранее предусмотреть все разнообразие случайных факторов, оказывающих влияние на качество выпускаемой продукции.

В этих условиях возможный путь изучения причин отклонений характеристик выпускаемой продукции от номинала — проведение наблюдений (измерений, опытов). Выводы о закономерностях, которым подчиняются явления, изучаемые методами математической статистики, всегда основываются на ограниченном, выборочном числе наблюдений. При большем числе наблюдений эти выводы могут оказаться иными. Для вынесения более определенного заключения о закономерностях явлений математическая статистика опирается на теорию вероятностей.

Для экономиста и инженера, применяющего математическую статистику в своей практической деятельности, важно умение распознать в реальной задаче ее вероятностные черты, поставить, если нужно, эксперименты, разумно обработать его результаты и выработать рекомендации, как поступить, чтобы добиться желаемого результата с минимальной затратой сил и средств.

Теория верояТносТей случайные собыТия 1.1. Понятие события. Классификация случайных событий Теория вероятностей, как и всякая другая наука, базируется на ряде основных понятий. С их помощью дается логическое определение последующих более сложных понятий. В качестве одного из основных понятий, которым оперирует теория вероятностей, является «событие».

Событием в теории вероятностей называется всякий факт, который может произойти в результате некоторого опыта (испытания).

Примерами событий могут служить:

• попадание в цель при выстреле из орудия (опыт — производство выстрела, событие — попадание в цель);

• выпадение двух гербов при троекратном бросании монеты (опыт — троекратное бросание монеты, событие — выпадение двух гербов);

• появление ошибки измерения в заданных пределах при измерении дальности (опыт — измерение дальности, событие — ошибка измерения).

Событие принято обозначать большими буквами латинского алфавита. Например, событие A — попадание в цель при выстреле, событие B — принятие сигнала радиостанцией при наличии помех и т. д.

Различные события отличаются между собой по степени возможности их появления и по характеру взаимосвязи.

Для правильного изучения закономерностей, присущих событиям, эти события принято классифицировать. Рассмотрим классификацию событий. Если при всех опытах (испытаниях) рассматриваемое событие всегда наступает, то оно называется достоверным (обозначается ). Например, при нагревании воды до 100 °C достоверное событие — закипание воды; при сбрасывании предмета с высоты достоверное событие — падение предмета на поверхность земли и т. д.

Если при всех опытах рассматриваемое событие никогда не наступает, то оно называется невозможным (обозначается ). Например, при отсутствии тока в электрической цепи невозможное событие — загорание лампочки; при подбрасывании игральной кости невозможное событие — одновременное выпадение 2 и 3 очков и т. д.

Случайным называется событие, которое в результате опыта может произойти, а может и не произойти. Например, попадание в цель при выстреле, выигрыш на купленный билет лотереи и т. д.

Два или несколько случайных событий называются равновозможными, если условия их появления одинаковы и нет оснований утверждать, что какое-либо из них в результате опыта имеет больше шансов появиться, чем другое. Например, выпадение любого количества очков от единицы до шести при бросании игральной кости;

выпадение герба или цифры при подбрасывании монеты и т. д.

Случайные события A и E называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого. Например, бросаются две игральные кости. Событие A — выпадение трех очков на первой игральной кости, событие B — выпадение двух очков на второй игральной кости. A и B — совместные события.

Случайные события A и B называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого. Например, в магазин поступила партия товара одной номенклатуры, но разного цвета. Событие A — наудачу взятая коробка с товаром черного цвета, событие B — коробка с товаром коричневого цвета. A и B — несовместные события. Случайные события A1, A2, …, An называются несовместными, если события, входящие в группу попарно, несовместны. Например, производится выстрел по мишени: A1 — попадание в десятку, A2 — попадание в восьмерку, A3 — попадание в шестерку, A4 — попадание в четверку, A5 — попадание в двойку, А6 — промах.

События A1 — A6 образуют группу несовместных событий.

Случайные события A 1, A 2, …, A n называются совместными, если совместны хотя бы два события из одной группы. Например, производятся три выстрела по мишени: A1 — попадание в мишень при первом выстреле, A2 — попадание при втором выстреле, A3 — попадание при третьем выстреле. События A1 — A3 образуют группу совместных событий.

Случайные события образуют полную группу, если в результате испытания обязательно наступит одно из них (единственно возможные события). Например, по цели производится три выстрела:

A — промах, B — одно попадание, C — два попадания, D — три попадания. События A — D образуют полную группу событий.

На практике часто рассматриваются два несовместных события, образующих полную группу. Такие события называются противоположными. Событие, противоположное событию A, принято обозначать A. Например, искажение A и A — неискажение какого-либо знака при телеграфной передаче, попадание B и промах B — при одном выстреле по цели.

События, которые одновременно являются несовместными, единственно возможными и равновозможными, называются случаями или шансами.

1.2. сумма и произведение событий При разработке методики исследования случайных событий в теории вероятностей важными понятиями являются сумма и произведение событий. Суммой (объединением) нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий.

Сумма C событий A1, A2, …, An обозначается так:

Например, если событие A1 есть отказ одного элемента электрической цепи, событие A2 — отказ второго элемента электрической цепи, событие A3 — отказ третьего элемента электрической цепи, то событие есть отказ одного из элементов электрической цепи.

Произведением (пересечением) нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Произведение C событий A1, A2, …, An обозначается так:

Например, если событие A1 — отказ одного элемента электрической цепи, событие A2 — отказ второго элемента электрической цепи, событие A3 — отказ третьего элемента электрической цепи, то событие C = A1A2An состоит в том, что произошел отказ всех трех элементов электрической сети.

При решении различных задач, связанных с событиями, часто приходится представлять сложные события в виде комбинации более простых событий, применяя операцию сложения и умножения событий.

Например, пусть производятся три испытания электронного устройства и рассматриваются следующие простейшие события:

• A1 — первое испытание прошло успешно;

• A1 — отказ при первом испытании;

• A2 — второе испытание прошло успешно;

• A2 — отказ при втором испытании;

• A3 — третье испытание прошло успешно;

• A3 — отказ при третьем испытании.

Рис. 1.1. Сумма и произведение событий Рассмотрим сложные события, состоящие в том, что в результате трех испытаний будет ровно один отказ. Это событие можно представить в виде комбинации простейших событий:

Событие, состоящее в том, что в результате трех испытаний будет два успешных, можно представить в виде C = A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3.

Событие, состоящее в том, что в результате трех испытаний будет не менее двух успешных, можно представить в виде Непосредственно из определения суммы и произведения событий следует, что A + A = A; AA = A.

В некоторых случаях можно наблюдать, что наступление одного события B влечет за собой наступление другого события A. В этом случае событие B содержится в событии A, это обозначается символом Если событие B содержится в событии A, то справедливы равенства Понятия суммы и произведения событий имеют наглядную геометрическую интерпретацию (рис. 1.1).

1.3. частость события и ее свойства Пусть проведена серия из n опытов (испытаний), в каждом из которых могло появиться или не появиться событие A.

Частостью события A в данной серии испытаний называется отношение числа испытаний, в которых появилось событие, к числу всех испытаний.

Обозначая частость события A через r(A), имеем по определению:

где m — число испытаний, в которых появилось событие; n — общее число испытаний.

Пример 1.1. Для контроля качества изделий из партии наугад выбрано 100 изделий, среди которых три оказались бракованными. Определить частость брака.

Обозначая через А событие, состоящее в получении бракованного изделия, будем иметь: m = 3, n = 100. Частость брака Далее приводятся свойства частости.

Свойство 1. Частость случайного события A есть неотрицательное число, заключенное между нулем и единицей, т. е. 0 r(A) 1.

Для невозможного события r(A) = 0, для достоверного события r(A) =1.

На практике могут иметь место случаи, когда в серии из опытов наступает не одно событие, а несколько, которые находятся в какомлибо отношении друг с другом.

Если при повторении опыта может появиться либо событие А, либо событие В, то имеет место следующее свойство частости, которое называется правилом сложения частостей.

Свойство 2. Частость суммы двух несовместных событий А и В равна сумме частостей этих событий:

Доказательство. Пусть в результате серии из n опытов событие A появилось m раз, а событие B — k раз. Тогда Так как события A и B несовместны, то нет таких опытов, в которых события A и B появились вместе. Поэтому из определения суммы событий следует, что событие A + B появилось m + k раз, и, следоm+ k m k вательно, r ( A + B ) = = + = r ( A ) + r ( B ). Рассмотрим теперь появление двух совместных событий A и B в результате повторения опыта. В этом случае можно подсчитать ряд частот. Например:

• частость события A безотносительно к наступлению события B;

• частость события B безотносительно к наступлению события A;

• частость произведения событий A и B;

• частость наступления события A при условии наступления события B или частость события B при условии наступления события A.

Частость одного события, вычисленная при условии наступления другого события, называется условной частостью и обозначается Для совместных событий имеет место следующее свойство частости, которое называется правилом умножения частостей.

Свойство 3. Частость произведения двух событий равна произведению частости одного из них на условную частость другого:

Доказательство. Пусть в результате серии из n опытов событие A появилось m раз и событие B — k раз, причем события A и B появились вместе. Тогда Так как событие A появилось в m опытах и в l из этих m опытов появилось вместе с ним событие B, то условная частость события B при условии, что событие A имело место, равна Аналогично Подставляя полученные зависимости в выражение (1.3), получим тождество, что доказывает свойство 3.

Свойство 4. При малом числе испытаний значения частости случайны и сильно отличаются одно от другого. При увеличении числа испытаний частость события приобретает свойство устойчивости.

При этом отдельные отклонения в значениях частости возможны, но они маловероятны и при увеличении числа испытаний будут встречаться все реже и реже.

Для установления этого важного свойства частости многими исследователями проводились опыты. Так, французский естествоиспытатель ХVIII в. Бюффон бросил монету 4 040 раз, в результате герб выпал 2 048 раз, т. е. частость появления герба 0,50693; английский ученый Пирсон из 12 000 бросаний монеты получил частость выпадения герба 0,5016, а затем из 24 000 бросаний — 0,5005.

Свойство устойчивости частости используется при оценке качества и организации контроля готовой продукции.

1.4. вероятность события В ходе испытаний при выполнении некоторой совокупности условий, могущих повторяться многократно, возможность появления того или иного события различна. Например, достоверное событие при осуществлении некоторой совокупности условий обязательно произойдет; невозможное событие произойти не может; случайное событие при испытании может произойти, а может и не произойти.

Таким образом, возможность появления каждого из этих событий в испытании различна. Необходимо иметь меру, с помощью которой можно было бы оценивать возможность появления событий. Такой мерой является вероятность события.

Вероятностью события называется мера объективной возможности его появления в определенных, могущих повторяться неограниченное число раз условиях (обозначается P(A)).

В теории вероятностей вероятность события выражается числом.

Вероятность достоверного события — единица, вероятность невозможного события — нуль, вероятность случайного события изменяется в пределах от 0 до 1.

Величину вероятности случайного события можно определить различными способами.

1. Опытное (статистическое) определение вероятности события. При изучении свойств частости установлено, что при достаточно большом числе испытаний частость стремится к вероятности события. Поэтому вероятность можно определить опытным путем по формуле где m — число испытаний, в которых произошло интересующее нас событие; n — общее число испытаний.

Статистический способ определения вероятности имеет то преимущество, что он опирается на реальный эксперимент. Однако он имеет тот существенный недостаток, что для надежного определения вероятности необходимо проделать большое число опытов, которые очень часто связаны с материальными затратами.

2. Классический способ (определение вероятности по схеме случаев).

Классический способ определения вероятности основан на понятии равновозможных событий, которые являются исходом данного опыта и образуют полную группу несовместных событий.

Наиболее простым примером равновозможных и несовместных событий, образующих полную группу, является появление того или иного шара из урны, содержащей несколько одинаковых по размеру, массе и другим осязаемым признакам шаров, тщательно перемешанных перед изъятием.

Поэтому об испытании, исходы которого образуют полную группу несовместных и равновозможных событий, говорят, что оно сводится к схеме урн. Например, испытание с подбрасыванием монеты сводится к схеме урны, содержащей два шара; испытание с подбрасыванием игральной кости сводится к схеме урны, содержащей шесть шаров, и т. д.

Равновозможные и несовместные события, составляющие полную группу, являются случаями или шансами. По отношению к каждому событию случаи делятся на благоприятные, при которых это событие происходит, и неблагоприятные, при которых это событие не происходит.

Вероятностью появления некоторого события определяется как отношение числа случаев, благоприятствующих появлению этого события, к общему числу равновозможных в данном опыте случаев:

Такое определение называется классическим, так как оно являлось определением понятия вероятности в начальный период развития теории вероятностей.

Достоинством этого способа определения вероятности является то, что с его помощью вероятность события можно определить до опыта и заранее сделать для себя определенные выводы. Недостаток способа состоит в том, что он применим только, когда имеют дело с равновозможными исходами испытаний.

При подсчете числа элементарных исходов, составляющих события в классической схеме, часто используются известные формулы комбинаторики (размещения, перестановки, сочетания) и формула Ньютона.

Пусть a1, a2, a3, …, an есть конечное множество различных элементов (чисел или предметов).

Размещениями из n элементов по m (m n) называются подмножества, каждое из которых содержит m элементов, взятых из данных n элементов, и отличающиеся одно от другого элементами или порядком элементов или тем и другим. Число размещений обоm значается Аn и вычисляется по следующим формулам:

Перестановками называются размещения из n элементов по n.

Иначе говоря, перестановки есть такие размещения, которые отличаются только порядком элементов. Число перестановок обозначают символом Pn и вычисляют по формуле Сочетаниями из n элементов по m называются размещения из n элементов по m, отличающиеся только элементами.

Число сочетаний из n элементов по m m( n) обозначают симвоm лом Cn.

Формула для вычисления числа сочетаний имеет вид или Используя формулу (1.9), найдем Cn = 1 (0! = 1); Cn = 1.

Для сочетаний справедливо соотношение Cn = Cn - m.

Формула Ньютона имеет вид Основные свойства:

1) коэффициенты 1, Cn, Cn,...,Cn называются биномиальными.

Коэффициенты членов, равноудаленных от концов разложения, равны:

2) сумма всех биномиальных коэффициентов равна 2n:

Пример 1.2. Найти вероятность того, что при бросании игральной кости выпадает число очков, делящееся на 2.

Обозначим через А выпадение числа очков, делящееся на 2. Число всех возможных случаев n = 6. Число благоприятствующих случаев m = 3 (выпадение 2, 4, 6 очков). Поэтому Пример 1.3. В урне 15 шаров, из них 9 белых и 6 черных. Найти вероятность того, что вынутые наугад два шара окажутся белыми.

В данном примере общее число равновозможных случаев равно числу сочетаний из всего числа шаров по два, поскольку любые два шара из пятнадцати могут быть вынуты с равными шансами. Следовательно, Обозначим через A событие, состоящее в появлении двух белых шаров;

тогда число случаев, благоприятствующих событию A, равно числу сочетаний из числа белых шаров по два. Поэтому Следовательно, 3. Геометрический способ (как отношение мер). На практике часто встречаются такие испытания, число возможных исходов которых бесконечно. В таких случаях классическое определение вероятности неприменимо. Однако иногда в таких случаях можно воспользоваться другим методом вычисления вероятности, в котором по-прежнему основную роль играет понятие равновозможности событий. Применяется этот метод в задачах, сводящихся к случайному бросанию точки на конечный участок прямой, плоскости или пространства.

Отсюда и возникает само название метода — геометрический.

Для определения ограничимся двумерным случаем. Одномерный и трехмерный отличаются только тем, что вместо площади в них нужно говорить о длинах и объемах. Пусть на плоскости имеется некоторая область D, площадь которой SD, и в ней содержится область d, площадь которой Sd (рис. 1.2).

В область D наудачу бросается точка. Чему равна вероятность того, что точка попадет в область d? При этом предполагается, что наудачу брошенная точка может попасть в любую точку области D и вероятность попасть в какую-либо часть области D пропорциональна площади этой части и не зависит от ее расположения и формы.

В этом случае вероятность попадания в область d при бросании наудачу точки в область D равна Таким образом, в общем случае, если возможность случайного появления точки внутри некоторой области на прямой, плоскости или в пространстве определяется не положением этой области и ее границами, а только ее размером, т. е. длиной, площадью или объемом, то вероятность появления случайной точки внутри некоторой области определяется как отношение размера этой области к размеру всей области, в которой может появиться данная точка.

Пример 1.4. Имеется быстро вращающаяся с постоянной угловой скоростью круглая мишень. Пятая часть мишени (сектор) окрашена в черный Рис. 1.2. Определение геометрической вероятности



Похожие работы:

«7Р УДК 004.93 А.Л. Ронжин, А.А. Карпов, И.В. Ли Санкт-Петербургский институт информатики и автоматизации РАН, Россия, ronzhin@iias.spb.su, karpov@iias.spb.su, lee@iias.spb.su Система автоматического распознавания русской речи SIRIUS* В статье представлена разработанная в группе речевой информатики СПИИРАН система распознавания слитной русской речи SIRIUS. Особенностью данной системы является наличие в ней морфемного уровня представления языка и речи, что позволяет значительно сократить размер...»

«СОДЕРЖАНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ 2 КРАТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК 3 Введение 4 Начальный период радиофизических исследований в БГУ 6 Подготовка специалистов по радиофизике и электронике 7 Открытие факультета.Годы самостоятельной деятельности 12 ФАКУЛЬТЕТ СЕГОДНЯ 21 Деканат, структура факультета, кадры 22 Учебный процесс 24 Научно-инновационная деятельность 27 Сотрудничество 33 Студенческая жизнь 35 КАФЕДРЫ Кафедра радиофизики и цифровых медиатехнологий...»

«Исполнительный совет 177 EX/66 Сто семьдесят седьмая сессия Париж, 5 октября 2007 г. Оригинал: английский Пункт 66 предварительной повестки дня Предложение о создании Международного центра по гидроинформатике в интересах комплексного управления водными ресурсами при организации Итаипу бинасиональ (Парагвай) в качестве центра категории 2 под эгидой ЮНЕСКО РЕЗЮМЕ В ответ на первоначальное предложение правительств Бразилии и Парагвая о создании на их территориях Международного центра по...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Кемеровский государственный университет в г. Анжеро-Судженске 1 марта 2013 г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по дисциплине Отечественная история (ГСЭ.Ф.3) для специальности 080116.65 Математические методы в экономике факультет информатики, экономики и математики курс: 1 экзамен: 1 семестр семестр: 1 лекции: 36 часов практические занятия: 18...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (ФГБОУ ВПО ВГТУ, ВГТУ) УТВЕРЖДАЮ Ректор ВГТУ _ В.Р. Петренко _ _ 20г.. Основная образовательная программа высшего профессионального образования Направление подготовки 220400 Управление в технических системах код, наименование направления подготовки (специальности) Квалификация выпускника: бакалавр бакалавр, магистр, специалист Профиль:...»

«Федеральное агентство связи Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Поволжская государственная академия телекоммуникаций и информатики Отчет рассмотрен и одобрен ученым советом ПГАТИ 27.12.2007 протокол № 7 Ректор проф. В.А. Андреев 10 января 2007 г. ОТЧЕТ по результатам самообследования, проведенного в 2006/2007 учебном году Самара, 2007 г. СОДЕРЖАНИЕ Введение.. 1. Организационно - правовое обеспечение образовательной деятельности 2. Система управления...»

«И.В. Хмелевский, В.П. Битюцкий ОРГАНИЗАЦИЯ ЭВМ И СИСТЕМ ОДНОПРОЦЕССОРНЫЕ ЭВМ ЧАСТЬ 1 Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО Уральский государственный технический университет-УПИ И.В. Хмелевский, В.П. Битюцкий ОРГАНИЗАЦИЯ ЭВМ И СИСТЕМ ОДНОПРОЦЕССОРНЫЕ ЭВМ ЧАСТЬ 1 Конспект лекций Издание второе, исправленное и дополненное Научный редактор проф., д-р техн.наук Л.Г. Доросинский Екатеринбург 2005 УДК 681.3 ББК 32.973.202я73 Х-6 Рецензенты: кафедра информатики УГГУ (зав. кафедрой доц....»

«Министерство образования и науки РФ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тобольский государственный педагогический институт им. Д. И. Менделеева Кафедра зоологии, экологии и природопользования Утверждена на заседании кафедры протокол № 1 от 30.09 2008 года УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ПО ДИСЦИПЛИНЕ БИОЛОГИЯ С ОСНОВАМИ ЭКОЛОГИИ Специальность 050201.65- Математика Профиль Алгебра и геометрия Программу составила: к....»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Утвержден приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от _200 г. № Регистрационный номер _ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ СТАНДАРТ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ по направлению подготовки 3 м - Фундаментальная информатика и информационные технологии Квалификация (степень) магистр 2 ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ Направление подготовки Фундаментальная информатика и информационные технологии утверждено приказом...»

«НаучНый журНал Серия ЕстЕствЕННыЕ Науки № 1 (3) издаётся с 2008 года Выходит 2 раза в год Москва  2009 редакционный совет: Рябов В.В. доктор исторических наук, профессор, Председатель ректор МГПУ Атанасян С.Л. кандидат физико-математических наук, профессор, проректор по учебной работе МГПУ Геворкян Е.Н. доктор экономических наук, профессор, проректор по научной работе МГПУ Русецкая М.Н. кандидат педагогических наук, доцент, проректор по инновационной деятельности МГПУ редакционная коллегия:...»

«Московский международный институт эконометрики, информатики, финансов и права Фомина А.С. История модернизации в России Москва, 2003 УДК 32:9 ББК 63.3 Ф 762 Фомина А.С. История модернизации в России. / Московский международный институт эконометрики, информатики, финансов и права. - М., 2003. - 42 с. © Фомина А.С., 2003 г. © Московский международный институт эконометрики, информатики, финансов и права, 2003 г. 2 Содержание Введение 1. Теория модернизации и постмодернизации 1.1. Модернизация и...»

«Министерство экономического развития Российской Федерации Федеральная служба государственной регистрации, кадастра и картографии ГОСУДАРСТВЕННЫЙ (НАЦИОНАЛЬНЫЙ) ДОКЛАД О СОСТОЯНИИ И ИСПОЛЬЗОВАНИИ ЗЕМЕЛЬ В РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ В 2009 ГОДУ МОСКВА, 2010 Государственный (национальный) доклад о состоянии и использовании земель в Российской Федерации в 2009 году Редакционная коллегия: С.В. Васильев, В.С. Кислов, В.В. Андропов, Г.Ю. Елизарова, М.В. Прохоров, Л.Е. Васильева, А.В. Нуприенкова, Р.Р....»

«Агентство образования администрации Красноярского края Сибирский федеральный университет Красноярская университетская гимназия “Универс” (№ 1) КЛШ–2008 ВСТУПИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ 2008 КРАСНОЯРСКАЯ ЛЕТНЯЯ ШКОЛА — 2008 Красноярская Летняя Школа XXXIII сезон Дорогой друг! В августе 2008 года состоится XXXIII Красноярская Летняя Школа по естественным и гуманитарным наукам (КЛШ). Красноярская Летняя Школа — самое первое в крае заведение дополнительного образования, известность которого давно перешагнула...»

«ИСТОРИЯ И МЕТОДОЛОГИЯ ИНФОРМАТИКИ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ Введение Цели, задачи, структура курса Целью изучения дисциплины История и методология информатики и вычислительной техники является: обобщение и систематизация знаний об истории развития информатики и вычислительной техники; анализ предпосылок формирования тенденций развития вычислительных и информационных ресурсов в историческом аспекте; формирование представления о методологии научных исследований; освоение методов...»

«История информатики в СССР Выполнил: Кривенко Д.А. Преподаватель: Брагилевский В.Н. Содержание 1. Определение понятия информатика в СССР и России 2. Структура информатики 3. Борьба за признание 3.1 Начало пути 3.2 Первые гонения 3.3 Кибернетика под ударом 3.4 Победа в войне за новую науку 4. Начальный период становления инфраструктуры кибернетики 4.1 Первые научные достижения 4.2 Массовость новой науки и е бесспорное признание 5. Две стороны развития 6. Разработки 60-х и 70-х годов 7....»

«Министерство образования Республики Башкортостан ГАОУ СПО Стерлитамакский колледж строительства, экономики и права Учебно-методический комплекс по дисциплине ЕН 03. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА основной профессиональной образовательной программы (ОПОП) по специальности СПО 230115 Программирование в компьютерных системах базовой подготовки Разработала : ДОЛГИХ Е.А. 2013 Одобрено на заседании предметно- УТВЕРЖДАЮ цикловой комиссии специальности 230115 Программирование в Зав....»

«WWW.MEDLINE.RU ТОМ 7, ХИРУРГИЯ, НОЯБРЬ 2006 ДИАГНОСТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ КОМПЬЮТЕРНОЙ ТОМОГРАФИИ В ОЦЕНКЕ РЕГИОНАРНОГО МАТАСТАЗИРОВАНИЯ НЕМЕЛКОКЛЕТОЧНОГО РАКА ЛЕГКОГО, ОСЛОЖНЕННОГО ВТОРИЧНЫМ ИНФЕКЦИОННЫМ ПРОЦЕССОМ Яблонский П.К, Павлушков Е.В. Кафедра госпитальной хирургии, Медицинский факультет, Санкт-Петербургский государственный университет Городская многопрофильная больница №2, Санкт-Петербург Введение Определение степени распространенности опухолевого процесса является ключевым моментом в...»

«Международный консорциум Электронный университет Московский государственный университет экономики, статистики и информатики Евразийский открытый институт М.Л. Заславский Товароведение, стандартизация и сертификация Учебно-методический комплекс Москва 2008 1 УДК 339.1 ББК 30.609 З 362 Заславский М.Л. – ТОВАРОВЕДЕНИЕ, СТАНДАРТИЗАЦИЯ И СЕРТИФИКАЦИЯ: Учебно-методический комплекс. – М., Изд. центр ЕАОИ, 2008. – 157 с. Рекомендовано Учебно-методическим объединением по образованию в области...»

«Э.А. Соснин, Б.Н. Пойзнер УНИВЕРСИТЕТ КАК СОЦИАЛЬНОЕ ИЗОБРЕТЕНИЕ: РОЖДЕНИЕ, ЭВОЛЮЦИЯ, НЕУСТОЙЧИВОСТЬ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э.А. Соснин, Б.Н. Пойзнер УНИВЕРСИТЕТ КАК СОЦИАЛЬНОЕ ИЗОБРЕТЕНИЕ: РОЖДЕНИЕ, ЭВОЛЮЦИЯ, НЕУСТОЙЧИВОСТЬ Издательство Томского университета 2004 2 УДК 007 + 101+ 316+502 + 519 + 612 ББК 60.5 + 22.18 + 88 + 72. C Соснин Э.А., Пойзнер Б.Н. C54 Университет как социальное...»

«ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ЦЕНТР ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ СПЕЦИАЛИСТОВ САНКТ-ПЕТЕРБУРГА РЕГИОНАЛЬНЫЙ ЦЕНТР ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА ОБРАЗОВАНИЯ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ ПЕДАГОГАМ О ДИСТАНЦИОННОМ ОБУЧЕНИИ Санкт-Петербург 2009 УДК П 100485. Педагогам о дистанционном обучении / Под общей ред. Т.В. Лазыкиной. Авт.: И.П. Давыдова, М.Б. Лебедева, И.Б. Мылова и др. – СПб: РЦОКОиИТ, 2009. – 98 с. В данном методическом пособии представлены...»














 
© 2014 www.kniga.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Книги, пособия, учебники, издания, публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.