WWW.KNIGA.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Книги, пособия, учебники, издания, публикации

 

ISSN 2075-6836

УЧРЕЖДЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

ИНСТИТУТ КОСМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ РАН

А. А. Суханов

АСТРОДИНАМИКА

Серия «Механика, управление, информатика»

МОСКВА

2010

УДК 521. : 681.1 : 629.7

ББК Astrodynamics. Series “Mechanics, control, informatics” A.A.Sukhanov Lectures on Astrodynamics Содержание Basic knowledge in different areas of astrodynamics is given. Primary consideration is given to the chapters related to the two-body problem and space Предисловие............................................... transfers both with impulsive and continuous thrust. Other parts of the space 1. Некоторые сведения из математики........................... flight mechanics (such as orbit perturbations and navigation in space) are described in fewer details. The issue begins with necessary mathematical knowl- 2. Задача двух тел............................................ 1 edge. A brief dictionary of the English analogues of the used terminology is 2.1. Уравнения движения.................................. 1 given in the end. 2.2. Гравитационное поле тела конечных размеров........... It may be used for independent study of the Astrodynamics and as a hand- 2.. Первые интегралы.................................... book. 2.4. Типы орбит.......................................... Keywords: two body problem, orbital maneuver, Lambert problem, inter- 2.5. Энергетическая классификация орбит.................. planetary transfer, transfer optimization, low thrust 3. Типы и элементы орбит...................................... .1. Используемые в главе формулы........................ Астродинамика. Серия «Механика, управление, информатика» .2. Эллиптические орбиты................................ Приводятся основные сведения из различных областей механики .. Параболические орбиты............................... космического полета (астродинамики). Главное внимание уделено раз- .4. Гиперболические орбиты.............................. делам, относящимся к задаче двух тел и космическим перелетам с им- .5. Вычисление положения и скорости на орбите (вектора пульсной и малой тягой. Другие разделы механики космического полета состояния) на заданное время.......................... (такие, как возмущения орбиты и навигация в космосе) рассматриваются .6. Элементы орбиты.................................... менее подробно. Работа предваряется сведениями из математики, необУниверсальные формулы для кеплеровского движения............  ходимыми для понимания излагаемого материала. В конце дается кратВводные замечания...................................  кий словарь английских аналогов используемых терминов.

4.2. Функции Штумпфа и их свойства.............. ........  Может использоваться для самостоятельного изучения астродинамиУниверсальная формула для времени полета.............  ки и в качестве справочника.

4.4. Решение универсального уравнения Кеплера........ ....  Ключевые слова: задача двух тел, орбитальный маневр, задача ЛамберВычисление положения и скорости на орбите (вектора та, межпланетный перелет, оптимизация перелетов, малая тяга состояния) на заданное время..........................  5. Возмущения орбиты.........................................  Суханов Александр Александрович — старший научный сотрудник, 5.1. Используемые в главе формулы........................  кандидат физико-математических наук 5.2. Общие сведения о возмущениях........................  Sukhanov Alexander Alexandrovich — senior scientist, PhD 5.. Оскулирующие элементы..............................  E-mail: sukhanov@iki.rssi.ru 5.4. Вековые и долгопериодические возмущения............. 5.5. Гравитационное влияние других небесных тел........... 5.6. Сфера действия планеты.............................. 5.7. Влияние сжатия планеты.............................. 5.8. Влияние сопротивления атмосферы.................... 6. Орбитальные маневры....................................... 6.1. Используемые в главе формулы........................ © Учреждение Российской академии наук 6.2. Реактивное движение................................. Институт космических исследований РАН (ИКИ РАН), 2010 6.. Импульсный маневр на орбите.........................  Содержание Содержание 6.4. Оптимальное импульсное изменение орбитальных 11.4. Обратная матрица изохронных производных............. параметров.......................................... 50 11.5. Подход к вычислению матрицы изохронных 6.5. Одноимпульсный межорбитальный переход............. 52 производных......................................... 6.6. Двухимпульсный межорбитальный переход.............. 54 11.6. Вычисление пяти строк матрицы A..................... 6.7. Трехимпульсный межорбитальный переход.............. 58 11.7. Нахождение шестой строки матрицы A.................. t 7. Задача Ламберта........................................... 11.8. Вычисление интеграла.......................... r dt 7.1. Постановка задачи.................................... 7.2. Необходимые формулы............................... 64 t 11.9. Выбор векторов p1, p2 и обращение матрицы A.......... 11 7.. Уравнение для задачи Ламберта........................ 7.4. Анализ уравнения задачи Ламберта..................... 68 12. Оптимизация орбитальных маневров.......................... 7.5. Решение уравнения задачи Ламберта.................... 71 12.1. Постановка общей задачи оптимизации................. 7.6. Случай коллинеарных векторов r0, r1................... 74 12.2. Принцип максимума Понтрягина...................... 12.. Неавтономная система................................ 8. Межпланетные перелеты.................................... 12.4. Условия трансверсальности............................ 8.1. Постановка задачи.................................... 12.5. Принцип максимума для реактивного движения......... 8.. Импульс старта и скорость облета в межпланетных 11.2. Уравнение в вариациях и сопряженное уравнение 15.10. Вычислительная процедура, обеспечивающая требуемую 15.11. Частично заданные граничные условия для случая 16.5. Сравнение аналитических результатов с численным П р и л о ж е н и е Б. Проекции на множества и их свойства..... 19 Векторы x = = {x1, x2,..., xn } — вектор-столбец размерности n, Скалярное произведение: x y = x1 y1 + x2 y2 +... + xn yn = xi yi, A — n-матрица, I = — единичная матрица;

Векторы x1,..., xm (m n) линейно независимы, если равен- A–1 — обратная матрица: AA–1 = A–1A = I.

ство ci xi = 0 выполняется только для c1 = … cm = 0. Важные свойства транспонированных и обратных матриц:

Матрицы Если m = n, то A является матрицей порядка n, или n-матрицей. любые r + 1 столбцов или строк являются линейно зависимыми.

y = y (x )= { y1,..., ym }, x = {x1,..., xn }:

Экстремум функции Экстремум — минимум или максимум функции.

Скалярный аргумент:

x = x(t ): x = 0 — необходимое условие min x или max x.

Векторный аргумент:

y = y (x ): = 0T — необходимое условие min y или max y.

Метод Ньютона–Рафсона решения алгебраических уравнений Скалярное уравнение:

Пусть x0 — начальное приближение; на k-й итерации xk = xk -1 -Y -1 (xk -1 ) y (xk -1 ) - a, (k = 0,1,...) H = const — первый интеграл уравнений (1.1).

x ® x0 d x = x - x0 P — касательная гиперплоскость, Многообразие Уравнения x удовлетворяет всем уравнениям (1.2)) является многообразием, орбит планет:

если векторы Пересечение касательных гиперплоскостей к гиперповерхно- Ньютона (закон обратных квадрастям S1, …, Sm в точке x M — касательная плоскость к многооб- тов) выводится из законов Кеплера:

разию M в x.

ортогональна касательной плоскости к многообразию.

Ускорение (рис. 2.2) 1. Инерциальные координаты:

2. Барицентрические координаты:

Другие формы закона всемирного тяготения:

1. U = — гравитационный потенциал;

v = v x, v y, vz — вектор скорости, x — вектор состояния.

т. е. тело имеет центральное гравитационное поле Скалярное умножение (2.) на v = r дает:

интегралы h, c, l дают 5 независимых постоянных.

Обозначим В силу (2.5), (2.6) – гамильтониан, а (2.11) является канонической формой уравнений движения Из (2.8) получим Определим следующие параметры с учетом (2.10):

Уравнение (2.14) описывает коническое сечение в полярных коортрансверсальная скорость, динатах и дает обобщенный 1-й закон Кеплера:

уравнение (2.6) с учетом (2.14), (2.21) дает h 0 т. е. v 2 - эллиптические орбиты, a = O = O — большая полуось, средний радиус:

Время полета Угол E, показанный на рис. .2, — M = n(t - t ) — средняя аномалия E в (.10) может быть найдено методом Ньютона–Рафсона (см.

В качестве начального приближения процедуры (.11) может быть чениями орбитальных параметров (см. главу 2):

Из (.1ж) также следует, что цельная дальность (рис. .4). Согласно (.1в) Рассмотрим величину a = O (рис. .4):

Окончательно с учетом (.1з), (.16) получим скоростями на бесконечности (угол поворота) (см. рис. .4), H n = H n-1 Истинная аномалия может быть найдена из (.6), (.8) для 3.5. вычисление положения и скорости на орбите Задача заключается в наn = - sin sin u + cos cos u cos i Обозначим (рис. .5):

— аргумент перицентра, Углы,, i являются постоянными и могут быть найдены из r0, v0 по формулам:

cos = Функции Штумпфа:

если требуется cn для n1 n n2, достаточно найти cn -1, cn (или cn, cn +1 если x 0).

Используя равенства получим из (4.2) конечные выражения для некоторых функций Штумпфа, данные в табл. 4.1.

Рассмотрим эллиптические орбиты; уравнения (4.1е), (4.11) 4.4. решение универсального уравнения кеплера дают С учетом (4.8), (4.9) начальное приближение может быть задано 4.5. вычисление положения и скорости на орбите Представим векторы положения r = r (t ) и скорости Для нахождения f, g умножим скалярно и векторно первое из уравнений (4.2) на вектор Лапласа с использованием соотношений Из (4.24) с учетом (4.18), (4.21) можно получить В этой главе будут использованы следующие соотношения: • притяжение других небесных тел.

Невозмущенное движение удовлетворяет уравнению (см. гла- Рассмотрим вектор элементов орбиты где = (r, v, t ) — возмущающее ускорение или возмущение. та — оскулирующая орбита (рис. 5.1).

Определим орбитальную систему координат (рис. 5.2):

— ось формирует правую систему координат.

Пусть в этой системе координат где v = 0, v = W (см. рис. 5.2 и уравнения (5.1д), (5.1е)) оскулирующие элементы q меняются медленно со временем — изменение элементов за один виток. Соотношение (5.20) осредСолнце, µ — Земля, µ1 — другая планета.

няет короткопериодические вариации элементов и дает вековые и • вековая вариация монотонно растет со временем;

• долгопериодическая вариация — это периодическая (или почти периодическая) вариация с периодом больше орби- 2) µ 0 — Земля, µ = 0 — спутник Земли, µ1 — Солнце.

5.5. Гравитационное влияние других небесных тел Пусть µ 0, µ — гравитационные параметры центрального (главного) тела и рассматриваемого меньшего тела, находится в квадрантах II или IV, то = r0 - r1 — радиус-вектор планеты относительно Солнца.

где p — фокальный параметр, n = — среднее движение.

Решение уравнения 5cos2 i – 1 = 0: i = 6,4° Рассмотрим эллиптические орбиты:

Определим параметр Другой способ получения величины v:

Обозначим:

v — импульс (рис. 6.1);

Задача заключается в минимизации mp в силу (6.7) — в минимизации v.

6.4. оптимальное импульсное изменение Радиус r не меняется в течение маневра из (6.10) следует, что r »

Из (6.1) следует, что оптимальным для изменения радиуса перицентра, причем r Рассмотрим изменение плоскости орбиты КА на угол без изРассмотрим малый маневр, т. е. r = r1 - r0 r0. Импульс являменения размера и формы орбиты, т. е.

v = 2v sin сти в апоцентре.

Импульс в апоцентре является оптимальным 6.5. одноимпульсный межорбитальный переход Обозначим (рис. 6.):

r 1 — радиус апоцентра конечной орбиты;

Замечание. Рассмотренные переходы являются обратимыми, Перелет в перицентр конечной орбиты (рис. 6.5) Рассмотрим переход между компланарными круговой и эллиптической орбитами (рис. 6.4).

Обозначим:

r0 — радиус начальной круКонечная орбита находитговой орбиты;

r, r — радиусы периценпоказано на рис. 6.4, 6.5), т. е.

тра и апоцентра конечной элr0 r r липтической орбиты;

Перелет в апоцентр конечной орбиты (см. рис. 6.4) В этом случае обозначим суммарный импульс через v. в силу (6.17)–(6.19), (6.25) Как показано в Приложении А, в этом случае v v для перелета в апоцентр, и v0 = v0 – vb, v1 = v1 – ve, случае v v (см. (A.8)) оптимальным является перелет в апоцентр и Замечание. Рассмотренные переходы являются обратимыми, т. е. v перехода с эллиптической орбиты на круговую вычисляется по формулам (6.2), (6.27), (6.1).

Хомановский переход Рассмотрим частный случай перехода с круговой на эллиптическую орбиту: оптимальный переход между двумя круговыми липтический и бипараболический переходы).

Обозначим (рис. 6.7):

0 0 — биэллиптический переход (r1 r ); то трехимпульсный биэллиптический переход предпочтибипараболический переход (r = );

Найдем значение 0 параметра 0, для которого любой треххомановского перехода (m — решение уравнения (6.6), см. также импульсный биэллиптический переход является предпочтительрис. 6.8);

ным, т. е.

Из (6.5) найдем Сравнивая (6.9) и (6.), с учетом (6.4) получим, что единствен- r () = (1) = 0,064178 r1 = 15,58172r 0.

— скорость на начальной и конечной орбитах;

перехода;

перехода;

Рисунок 6.11 показывает зависимость v/v0 от для = 45°.

Найдем оптимальное значение (см. рис. 6.11):

прилета соответственно;

лета и прилета;

v0 — скорость КА в начале траекуниверсальное уравнение Кеплера (4.18);

тории перелета (т. е. траектории КА Задача заключается в нахождении траектории перелета для заs 2 c Схема перелета показана на рис. 7.1.

где h — постоянная энергии;

Ниже также будут использованы следующие соотношения, поПодставим (7.12) в (7.8):

лученные в главе 4:

Используя равенство из (7.15) получим С другой стороны, Так как sgn sin = sgn cos, то, согласно (7.17), (7.18), sgn g = Определим см. рис. 7.2). Из (7.), (7.25) для параболической орбиты найдем В силу (7.21) должно быть Из табл. 4.1 следует, что в силу (7.26), (7.28) неравенство (7.27) может нарушаться только и определим переменные Пользуясь табл. 4.1 (см. главу 4), преобразуем (7.21), (7.25), Число решений Начальное приближение x0, для которого (рис. 7.4). Поэтому начальное лические орбиты перелета использованием (7.51).

Если r1 ­ r2, то плоскость орбиты перелета является неопределенной, однако могут быть найдены радиальная vr и трансверсальметод склеенных конических сечений ная vn компоненты вектора v0.

получим Соотношения (7.57) и v0 = vr2 + vn, h = v0 траектория является гиперболической.

где с учетом (7.2), (7.22) величина h может быть найдена из соотvS — скорость КА на границе ношения:

x, как указывалось выше, является решением уравнения (7.25).

Введем обозначения:

0, 1 — времена полета в сферах действия планеты отправле- (см. (4.2), (4.26)).

рассматривая гелиоцентрическую часть перелета, полагаем Описанный способ «склеивания» участков траектории переле- равна входящей асимптотической скорости.

та называется методом склеивания конических сечений. Как было показано в п. 6.4, Предположим, что КА запускается с низкой круговой орбиты — скорость старта с НОПО;

вокруг планеты отправления (НОПО). Обозначим:

R 0, R 1 — радиусы НОПО старта и расстояние наибольшего сближения с планетой назначения соответственно; — скорость КА в точке наибольшего сближения с планетой назнаt0, t1 — моменты времени старта и прибытия; чения. Положения планет отправления и назначения известны:

r0, r1 — гелиоцентрические радиус-векторы планет отправле- r0 = r0 (t0 ), r1 = r1 (t1 ) ния и назначения в моменты t0 и t1 соответственно;

v0, v1 — скорости КА на гелиоцентрической траектории в моv = v (t0, t1 ), V1 = V1 (t0, t1 ) u0, u1 — орбитальные скорости планет отправления и назначеПараметр C ния в моменты t0 и t1 соответственно.

v0 — решение задачи Ламберта, v1 определяется из соотношения где Предположим, что орбиты планет отправления и назначения — круговые и компланарные оптимальным является значеиз (8.5), (8.7) найдем где a = — большая полуось орP значения (j = 1);

— орбитальные периоды планет отправления (j = 0) и назначения (j = 1);

0 — гелиоцентрический угол между планетами в момент t (см. рис. 8.).

Соотношение (8.6) определяет начальное взаимное положение планет, необходимое для оптимального перелета.

Угловая скорость планеты назначения относительно планеты отправления равна Время, необходимое для повторения такой же конфигурации (сит. е. минимизирующая v старта) дата t1. Определим нодический период):

Рисунок 8.5 иллюстрирует функции v(t0, t1) (линии уровня, рис. 8.5а) и vm(t0) (рис. 8.5б).

Линии уровня на рис. 8.5а удовлетворяют неравенствам В силу (8.10) Если наибольшее допустимое значение v старта задано, то оно определяет окно дат старта. Если окно дат старта задано, то оно определяет наибольшее значение v старта (см. рис. 8.5б). 8.6. изменение орбитальной энергии лета могут быть найдены из (8.10):

Если v, v на рис. 8.7 — входящая и исходящая асимптотические скорости, то v, v в (8.12) — гелиоцентрические скорости Так как радиус сферы действия на момент t0) с гравитационным маневром у второй планеты ( r1 на планеты.

Два участка траектории КА (от r0 к r1 за время t1 – t0 и от r Ламберта. Эти решения дают входящую и исходящую скорости КА v и v у второй планеты.

— радиус перицентра траектории.

может приблизиться к планете (R = радиус планеты + высота атприбытия заданы и тивный маневр в сфере действия. В простейшем случае оптимальным является одноимпульсный маневр. 8.8. Постановка задачи оптимизации перелета v импульса находятся по формулам (даются без вывода) соотношения (рис. 8.10; здесь v- и v+ — скорости КА до и после импульса). (vj = 0, если облет пассивный);

vn — дельта-V торможения около последней планеты (vn = 0, v j, v j — входящая и исходящая асимптотические скорости в (8.22) Замечание. На практике активные маневры в дальнем космосе также возможны (здесь не рассматриваются).

Гравитационный маневр у Венеры и Земли (VEGA — Venus and Earth Gravity Assists) Рассмотрим перелет Земля – Венера – Земля – другое тело (рис. 8.11). Обозначим:

t0, t1, t2 — моменты времени старта, облета Венеры и Земли;

* Не смешивать с Международным космическим проектом VEGA — «Венера–Галлей».

(б) Тормозной импульс вблизи афелия орбиты:

Маневр длительностью 2, , … лет называется: R — наименьшее возможное расстояние сближения с планеманевр VEGA 2–, –, …, если облет Земли происходит до пе- той;

маневр VEGA 2+, +, …, если облет Земли происходит после e — эксцентриситет орбиты;

перигелия (пунктирная траектория на рис. 8.1). r, r — радиусы перицентра и апоцентра;

Недостатки маневров VEGA и VEGA • Маневр VEGA требует особого взаимного положения Земли и Венеры, которое повторяется каждые 1,6 года; продолжи- 9.2. используемые в главе соотношения тельность маневра более года.

• Маневр VEGA намного дольше маневра VEGA и дает меньшую дополнительную скорость.

— скорости в апоцентре и перицентре, плоскость орбиты ортами (рис. 9.1). Плоскость планетоцентрической орбиты КА можно e20 ^ e1, лежащий в базовой плоскости системы координат Обозначим через угол между v и базовой плоскостью сиСброс зонда на планету стемы координат. Единичный вектор e20 z 0 направлен вдоль проекции вектора e1 на базовую плоскость в силу (9.6) e1 e20 z 0 = cos Рассматривается маневр захвата КА в перицентре входящей гиперболической орбиты. Минимальное значение тормозного имСоотношения (9.1)–(9.) дают пульса v0 достигается на минимальном расстоянии R (рис. 9.).

отделения зонда vp = v – vp 9.6. выведение ка на заданную круговую орбиту Рассмотрим выведение КА на круговую орбиту вокруг планеsin ± sin - го момента орбиты ( c 0 ортогонален плоскости орбиты). Для этого используется следующий трехимпульсный маневр (рис. 9.6):

— импульс v1 на расстоянии r: подъем перицентра до r0 и, рассматриваемый трехимпульсный маневр возможен только если необходимо, поворот плоскости орбиты;

— импульс v2 на расстоянии r0: выведение КА на заданную в силу (9.2) 1 = sin, 2 = 0,  = cos Обозначим vi = vi (i = 0, 1, 2). Импульс v0 дается в (9.16).

(см. рис. 9.6), где cos дается в (9.28) или (9.0).

Скорости на конечной круговой орбите до и после импульса v2:

Типы траекторных измерений:

Единичный вектор задает два угла (рис. 10.):

• Для радиотехнических измерений:

шения e (угол с местным горизонтом).

и склонение (угол с плоскостью экватора 10.3. определение орбиты. метод наименьших квадратов Траекторные измерения содержат ошибки измерений. Обозначим:

, true — измеренные и истинные значения измеряемых параметров;

= - true — ошибка измерений (случайная величина).

Математическое ожидание:

Векторно-матричная форма функции (10.10):

где = {1,..., n }, = {1,..., n } — вектор измерений и вектор вычисленных параметров, W = I — единичная матрица МНК дает значение x0, минимизирующее функцию L.

Необходимое условие минимума:

где — -матрицы. Тогда где x0 = 0 — вектор ошибок выведения.

Автономные измерения — измерения положения небесного тела, являющегося целью полета, с борта КА (например, по изображениям тела с помощью бортовой камеры); это может обеспечить значительно более точное определение движения КА относительно тела, чем наземные траекторные измерения. Изображения тела на фоне звезд дают точные угловые измерения. После того, как относительное движение определено, производится корректирующий маневр наведения.

В данной главе используются следующие соотношения: Соотношения (11.2), (11.) дают:

cn = cn (x ) (n = 0,1,...) - функции Штумпфа, Рассмотрим вектор x = x (t ) = {x1,..., xn }, удовлетворяющий матрицы Y (i = 1, …, n). Очевидно, что все Xi удовлетворяют уравуравнению нению (11.5) и все Yi удовлетворяют уравнению (11.7) для любого вектора x = x (t ) = {x1,..., xn }, удовлетворяющего (11.2), и 11.3. определение матрицы изохронных производных 11.4. обратная матрица изохронных производных времени, x удовлетворяет уравнению (11.2), где I — единичная 66-матрица.

Для задачи двух тел в уравнении (11.2) (см. главу 2) соотношение (11.6) дает — симметричная -матрица.

Замечание. В этой главе матрица изохронных производных буПредставляя матрицу в виде дет вычислена только для задачи двух тел.

можем записать (11.16) следующим образом:

гралов В силу (11.2) матрица A удовлетворяет сопряженному уравнению (11.27), Соотношения (11.15), (11.16), (11.24) дают Предположим, что известны независимые первые интегралы Рассмотрим матрицу A, состоящую из строк A1, …, A2n–1, и и A является невырожденной тогда и только тогда, когда Из (11.1) получим Используя (11.4) и соотношение dt = r ds, получим где Параболические орбиты (h = 0) На параболических орбитах x = 0 в (11.1) задача заключается в выборе векторов p1, p2, обеспечивающих невырожденность матрицы (11.50).

k1 = –c, k2 = m1 = m2 = 0 (n1, n2 не используются) и (11.28), (11.1) дают Уравнение движения:

где ( x1 не обязательно задан).

Предположим, что минимизируется функционал (целевая Теорема 12.1 (принцип максимума Понтрягина). Пусть Из (12.1), (12.2), (12.4)(12.6) получим 1°. (только для заданного t1 и свободного x1 ). Рассмотрим бесT конечно мало) и вариацию u(t ) оптимального управления на вектора x(t ), вызванную вариацией u(t ), через В силу (12.1) (уравнение в вариациях) в силу (12.10, 12.16) с учетом (12.8) получим ченные выше результаты в силу (12.18) в силу (12.22) вольную постоянную c 0 не меняет выводы теоремы 12.1 ниже Частные случаи в силу (12.11), (12.12) p 0 (t )= 0 p 0 (t ) -1 (t0 t t1 ) — произвольные постоянные векторы для любого t t0, t1 ; также p d x = 0 для бесконечно малой вариации dx = x - x (12.2) выполняется также для укороченных векторов p, x, т. е.

dx T j, где Tj — касательная плоскость к Xj в x (j = 0, 1);

Равенства (12.) выполняются для любого dx T j (j = 0, 1) ности.

Обозначим:

(см. (6.9)); — управление, т. е. u.

Пусть Уравнения движения:

fv = fv (r, v ) не рассматривается).

Для задачи двух тел Зададим минимизируемый функционал следующим образом:

fv (r ), — непрерывные функции времени в силу (12.45) pv, pv, v - непрерывные функции времени Для задачи двух тел (см. (11.11)) Оптимальная величина тяги где (рис. 12.1).

Из (12.12), (12.48) с учетом равенств получим где mb = m(tb), me = m(te). Согласно (6.6), (12.55) изменение скорости КА находится по формуле Циолковского Нулевая тяга: m p = m = 0 m = const из (12.52) и неравенства 0 (см. (12.50)) получим удовлетворяет сопряженному уравнению в вариациях для кепле- Точка соединения соответствует max ровского движения:

деленная в п. 11.5 и вычисленная в пп. 11.611.8, является фунда- Если ti = t0 или ti = t1, то может быть ментальным решением сопряженного уравнения в вариациях для кеплеровского движения где — постоянный 6-мерный вектор где P, Q — 6-матрицы, A = P Q (см. п. 11.5).

Пусть в силу (12.56) t 0 для заданного v — импульсная тяга (рис. 12.2).

Точка ti приложения импульсной тяги (см. рис. 12.2) называется точкой соединения;

Тогда в силу (12.57), (12.59) для нулевой тяги (12.62) выполняется во всех точках соедине- t0, t1 — начальное и конечное время;

= (t) задается соотношением (12.6) для всего интервала Электрореактивная тяга (ЭРТ), малая тяга: рабочее тело иони- Управляемость тяги зируется и ускоряется в электростатическом или электромагнит- 1. Идеально регулируемая тяга ограниченной мощности (ИРТОМ).

тивных двигателей космических аппаратов приведены в табл. 1.1.

Т а б л и ц а 1.1. Типичные параметры космических реактивных систем (ge = 9,8066 м/с2) многих месяцев).

Обычно We, u заданы Типичный пример:

Электрическую мощность приближенно можно считать посто- – СЭРТ в сфере действия планеты;

– ядерный источник энергии (ядерная электрореактивная ПСИОР (u = const) В силу (1.9) и равенства m = -m p в качестве целевой функции можно принять Согласно (1.4), (1.14) гамильтониан принимает вид Изменение скорости КА малой тягой за бесконечно малое вреОбозначим:

мя dt:

Следовательно, изменение q за время dt находится из соотношения увеличение q максимально при ­­ p, Локально-оптимальная тяга направлена вдоль вектора (1.27) c = — единичный вектор нормали к плоскости орбиты;

в том же направлении, что и p, для увеличения параметра q, и в c противоположном направлении для уменьшения q Производная удовлетворяет сопряженному уравнению в vr, vn — радиальная и трансверсальная компоненты скорости;

вариациях (см. п. 11.2) где = const 0, «–» для уменьшения параметра q, энергию мощность постоянна.

Для нахождения умножим (1.8) на c 0 с учетом (.25) (см. гла- ву ):

k r = c 0 r sin u в силу определения c 0 и u (см. рис. .5) соотношения (1.42), (1.4) дают Упрощение системы управления ориентацией и режима стабилизации КА может снизить стоимость миссии, однако накладывает ограничения на направление тяги. В данной главе рассматривается оптимизация перелетов с малой тягой при наличии ограничений на направление тяги.

Минимизируемый функционал задачи:

где дается соотношением (14.1).

нением нение где Матрица I - 0 0T проецирует любой вектор на плоскость, ортоmm где x — неизвестный скалярный множитель.

В случае ИРТОМ величина тяги не ограничена (14.5) не ис- — функция переключения при наличии ограничений на напользуется = 0 в (14.16)–(14.18) в силу (14.18) правление тяги (см. п. 12.5).

тяги:

согласно (14.24) в этом случае также выполняется соотношение Если заданы двусторонние ограничения, они могут быть сведены Соотношение (14.1) дает оптимальный вектор тяги: Пусть вектор g имеет размерность n, т. е.

Согласно (14.1)–(14.15), pT = pg гамильтониан равен Введем новое управление Дополнительное необходимое условие максимума (14.5): Таким образом, в случае ограничений типа неравенства оптимальное направление тяги также дается (14.1), поскольку, если (14.5), (14.6) дают Пусть для некоторого i (1 i n) выполняется строгое неравен- столкнуться с трудностями. Предположим, что для любой пары согласно (14.), (14.4) i 0 gi = 0 в (14.7).

В соответствии с леммой Б.1 Приложения Б, для нахождения Если выполняется (14.8), то дается (14.40) (если выполняется (14.8)), либо является единичным вектором проекции pv на одно из множеств, заданных (14.2) ца определяется следующим образом:

остальные n – k компонентов вектора g положительны pgi, pgi, … вектора pv на множества gi = 0 (i = 1, …, n) и для всех Уравнение (14.46) может быть записано в виде °. Если ни один из векторов pgi 0 не удовлетворяет (14.44), 2) n = 2: (14.46) задает две точки на единичной сфере, являюто для всех пар i, j = 1, …, n, i j находятся решения 0 ( = 1, …, M) щиеся пересечениями двух окружностей;

уравнений (14.4) и Согласно результатам Приложения Б, предложенная процедуУмножая (14.48) на матрицу B с учетом (14.46), получим Матрица (14.51) проецирует любой вектор на множество, ортогональное B (т. е. является проективной матрицей). Легко прове- Соотношение (14.57) принимает вид Возводя (14.50) в квадрат и используя (14.52) и равенство 0 = 1, получим соотношения (14.50), (14.5)–(14.55) дают (14.55), pT p0 = p 0 с учетом (14.12) получим направленной вдоль вектора b1 sgn c1. Обозначим b 0 = b1 b торов bi, то вектор 0 может быть найден с помощью алгоритма, где B = B (r, v, t ) — n-матрица. Неравенство описанного в п. 14.5, где pgi достигается на векторе (14.69) задает пересечение полупространств, где i, j = 1, …, n.

2) rank B = 2 (14.67) определяет прямую линию, т. е. направление тяги задано и требуется найти только величину тяги.

В рассматриваемом случае c = 0 в (14.46) (14.57) принимает 14.10. матрицы B, P0 и P для линейного ограничения вид согласно (14.1) p = pg согласно (14.15), (14.54) P = P0, т. е. с Рассмотрим матрицы B, P0, P для двух значений R:

учетом (14.51) матрица P в (14.15) дается соотношением Матрица (14.68) проецирует любой вектор на множество, опреде- T ляемое (14.67), т. е. является проективной матрицей.

14.9. линейное однородное ограничение типа неравенства Линейное однородное ограничение типа неравенства может быть представлено в виде где b1, b2 — линейно независимые векторы. Если n 2, то матрица P0, P задаются в (14.51), (14.68).

Однако матрица P может быть упрощена следующим образом:

Заметим, что матрица (14.7) может быть заменена матрицей (рис. 14.6). В этом случае оптимальное направление тяги является либо проекциbb T равенства на направление тяги сводятся к двум случаям:

случае матрицы B и P даются в (14.71), (14.72);

2) тяга направлена вдоль заданного вектора b = b (r, v, t ) ; тогда матрицы B и P даются в (14.7) или (14.75), (14.74).

14.11. объединения множеств и смешанные ограничения Объединения множеств Все рассмотренные ограничения (14.6), (14.1), (14.46), (14.60), (14.67), (14.69) определяют пересечение множеств. Однако полученные результаты могут быть применены также к объединениям множеств A1 A2 … An.

Рассмотрим пример: ограничение дано неравенством где c 0 (ограничение (14.76) соответствует, например, случаю двух противоположно направленных двигателей на борту КА). В этом случае вектор тяги лежит внутри кругового конуса, показанного на рис. 14.5а; рис. 14.5б показывает этот случай схематически.

Рассматривается перелет с электрореактивной тягой между двумя заданными положениями в пространстве за заданное время. = (t ) — вектор реактивного ускорения (вектор тяги), Предполагается, что движение происходит в рамках задачи двух Задача заключается в нахождении вектора тяги как функции времени, минимизирующего расход рабочего тела.

Обозначим:

µ — гравитационный параметр притягивающего центра;

t — текущее время;

t0, t1 — моменты времени начала и конца перелета;

= (t) — угловая дальность, включающая полные обороты, Рассмотрим невозмущенное кеплеровское движение, описываемое уравнением p = a 1- e 2 — фокальный параметр;

(условие (15.7) может быть реализуемо в силу малости тяги). ЛинеаРешение уравнения (15.8) дается формулой Коши:

ризуя уравнение (15.1) для, получим Граничные условия для :

Кеплеровская орбита, заданная вектором y = y(t ), называется уравнения в вариациях:

(15.9) вычисляются на этой орбите.

Целевая функция для случая ИРТОМ записывается в виде (см. главу 11). Матрица A дается соотношениями (11.1), (11.), Заметим, что уравнение (15.8) является неавтономным, так как Сопряженные переменные в (15.1) удовлетворяют уравнению матрица F зависит от времени. Поэтому гамильтониан линеаризоH где Оптимальная тяга доставляет максимум функции (15.1) (см. также главу 1). Определим согласно (15.22) Подставляя (15.26) в (15.11) с учетом соотношений 2 = T и Тогда вектор x = x (t ) может быть найден из (15.6).

Также рассмотрим интегралы и зададим параметры Определим матрицу Постоянная мощность Теорема 15.1. Матрица (15.29) вырожденна, тем не менее мазамечание о концевых смещениях опорной орбиты трица S = S(t, t + t) является невырожденной для любых значений С другой стороны, We 0 и s T QQT s — неотрицательная непрерывная функция времени QT s 0 на интервале t (рис. 15.1) вектор граничных условий (15.2) принимает вид Соотношения (15.17), (15.9), (15.18) дают Q = -P P T s = AT s = 0, что невозможно, так как матрица A невырожденна.

Это противоречие доказывает, что S — невырожденная матрица и для "s : s T S s 0 S является положительно определенной.

Следовательно, обращение S в (15.25)–(15.28) всегда возможно.

Теорема 15.2. 1°. Оптимальная тяга может обращаться в нуль Однако может оказаться целесообразным выбирать ненулевые где — неопределенный множитель соотношения (15.26), векторы 0, 1, минимизирующие max ( = (t ) дается в 15.7. частично заданные граничные условия 1. Целью полета является пролет небесного тела с произвольПредставим базис-вектор в заданной системе координат в виде ной скоростью пролета В этом случае 0, 0, 1 в (15.41) заданы и 1 может принимать любое значение условие трансверсальности имеет вид 2. Энергия запуска задана, а направление запуска может выбиc r p Пусть r0, V0 — координаты и скорости Земли в момент t0 и Условие трансверсальности имеет вид:

ницами t0, t1, …, tn–1, tn (с заменой прежнего t1 на tn) и будем решать Значения (15.11), (15.27), (15.2), (15.24) на i-м подынтервале:

ляется на i-й опорной орбите (i = 1, …, n).

i-я опорная орбита (i = 1, …, n) задается векторами состояния – матрица порядка 6n – 6;

di = Ei +1yi +1 - Ci yi (i = 2,..., n - 2), орбит между каждой парой qi-1, qi (i = 1, …, n) путем решения задачи Ламберта n раз и находятся векторы (15.60).

dn-1 = E n n - C n-1yn- — вектор размерности 6n – 6. Уравнение (15.6) с учетом (15.61), 15.11. частично заданные граничные условия для случая (15.62), (15.64)–(15.67) дает Предлагается следующая процедура с использованием подхоимеет вид да, описанного в 15.9:

путем решения задачи Ламберта для заданных граничных положе- D0 = Q0 S1 1Q0, E0 = Q0 S1 1 A . Вычисляются матрицы Ai+ 1, Ai-, Si для i = 1, …, n и строятся Одновременно для заданного множителя 0 1 вычисляются но- – матрица порядка 6n — , — вектор размерности 6n–, где, D, d заданы в (15.61), (15.65), (15.67) уравнение векторы 0, 0, n заданы и вектор n не задан.

Включим n в вектор (15.61) расширенный вектор (15.61) — матрицы  и 6, dn = -Qn S n 1Pnn — -мерный вектор, – матрица порядка 6n – , — вектор размерности 6n – , где, D, d заданы в (15.61), (15.65), (15.67) согласно уравнению (15.76) с учетом (15.56), (15.59), где вектор и матрицы D, D0, E0, Dn, En задаются в (15.61), (15.65), (15.72), (15.79), d в (15.89) — вектор (15.67) с 0, n, замененныс матрицей ми на 0, n, заданными в (15.8).

Согласно уравнению (15.76) с учетом (15.56), (15.59), (15.62) расширенный вектор (15.88) определяется из (15.77).

разом, чтобы выполнялись условия (15.85).

Заметим, что если один из векторов w0, wn задан, то соответствующие члены в (15.87)–(15.89) отсутствуют. Порядок матрицы (15.87) и размерность векторов (15.88), (15.89) равны 6n, если не заданы направления обоих векторов w0, wn, и 6n – , если один из этих векторов задан.

15.12. ограничения на направление тяги Рассмотрим линейное однородное ограничение типа равенства (см. главу 14). Согласно (14.15), (14.22) где – проективная матрица (см. п. 14.8). Вектор pv удовлетворяет уравнениям (14.10), где в силу (14.11), (14.49) для линейных ограничений так как метод транспортирующей траектории является приближенным, векторами r, v в уравнениях (14.10) можно пренебречь вектор (15.14) удовлетворяет уравнению (15.20) pv определяется соотношением (15.21) согласно (15.91) 16.1. Постановка задачи и основные допущения Рассмотрим изменение орбитальной энергии космического течение изменения его орбитальной энергии • Расход рабочего тела в единицу времени и скорость истечеИнтеграл энергии:

ния являются постоянными.

• Начальная и (или) конечная орбиты являются круговыми. в силу реактивного ускорения:

(т. е. движение происходит в сильном гравитационном поле). t0, t — начальный и текущий моменты времени (t t0);

v0 = v(t0), v = v(t) — начальная и текущая скорости КА;

u — скорость истечения;

— вектор реактивного ускорения (тяги);

mp = mp(t) — израсходованная масса рабочего тела;

Соотношения (16.9), (16.7) дают где «+» для подъема и «» для снижения.

Обозначим:

— полная угловая дальность за время ;

— среднее движение КА;

согласно (16.12) Из (16.7), (16.2) и (В.11) (см. Приложение В) найдем 16.5. Сравнение аналитических результатов Целью этого анализа является оценка ошибок приближенных формул, полученных в пп. 16.216.4, т. е. вычисление разностей между приближенными и точными значениями.

r0 = 6771 км (т. е. h0 = 400 км).

Рисунки 16.1, 16.2 показывают ошибки и относительные 16. Электрореактивная тяга: спиральное движение 16. Электрореактивная тяга: спиральное движение Как видно из рис. 16.116., ошибки приблизительно пропор- На рис. 16.6, 16.7 приведена зависимость ошибок и относициональны величине. тельных ошибок от большой полуоси; радиус орбиты r также поРисунки 16.4, 16.5 показывают зависимость ошибок и отно- казан.

сительных ошибок от радиуса орбиты; время полета также показано.

из (16.9) (16.11) получим Соотношение (16.12) дает Замечание. Полученные формулы могут также использоваться для перехода из бесконечности на круговую орбиту радиуса r0.

В этом случае m0 — масса КА на бесконечности; v0, 0, P0, 0, 0 — значения на конечной орбите.

16.7. значения параметров на параболической орбите Будем помечать параметры на параболической орбите индексом par. Согласно рис. 16. мы можем предположить, что par ~ Точные вычисления показывают, что Заметим, что параболическая скорость равна где v — круговая скорость в момент времени par. Соотношения (16.2), (16.), (16.12), (16.25), (16.9) дают Предположим, что v - v0 4u Из (16.12), (16.1) найдем значения других параметров на моПри ~1 точность может оказаться недостаточной.

менты времени (16.45) и (16.47):

где c1 = 1 для (16.45) и c1 = 0,86 для (16.47), где c2 = 1 для (16.45) и c2 = 1,5 для (16.47).

и формулы (16.45), (16.47) принимают вид, аналогичный (16.29):

между круговой и эллиптической орбитами Конечная орбита снаружи начальной где 0, 1 удовлетворяют (6.20). Как видно из (A.1), (A.2) Рисунок A.1 показывает зависимость от 0 для различных значе- Начальная и конечная орбиты пересекаются для всех 0, 1, удовлетворяющих (6.20).

числитель и знаменатель в (A.7) являются положительными меньший угол с b, чем вектор a, т. е. b T a 0 b T a0, что противоречит Пусть вектор a A, на котором достигается bA, принадлежит границе множества Ai (1 i s) и является внутренней точкой других множеств является локальной проекцией на A, если существует такая окрестность Лемма Б.2. Абсолютная проекция на пересечение множеств (Б.6) достигается либо на проекции (абсолютной или локальной) на одно из мно- для любого a A j (Б.8) выполняется для любого a A, что доказыважеств, либо на пересечении границ по крайней мере двух множеств. ет лемму.

Если x 0 такой, что xb A, тогда согласно лемме Б.1 bA = b и каждое из множеств A1, …, As, то:

bA — абсолютная проекция вектора b для каждого из множеств Aj. 1) Если Ai (1 i s) такое, что проекция bi вектора b на Ai достигаПредположим, что xb A для любого x 0 согласно лемме Б.1 ется на ai A, то такое множество является единственным и bA = bi.

проекция bA достигается на границе A, т. е. на границе одного (случай 1) или нескольких (случай 2) множеств Aj. Случай 2 соответствует утверждению леммы.

2) Если среди множеств A1, …, A s нет ни одного, проекция вектора b на которое достигается на ai A, то проекция b на A достигается на гласно лемме Б.. Допустим, что такое Aj (j i), что проекция вектора b на Aj достигается на векторе a j A. Это возможно только при проекции на Ai.

2) Это утверждение следует из леммы Б.2.

Леммы Б. и Б.4 иллюстрируются рис. Б.4.

Окончательно из (В.8)(В.10) получим аппарата по данным траекторных измерений // Космич. исслед. 196.

Охоцимский Д. Е., Сихарулидзе Ю. Г. Основы механики космического по- Ниже приводятся английские значения терминов, используемых Платонов А. К. Оптимальные свойства корректирующих маневров при интеграл энергии — integral of energy или гиперповерхность — hypersurиспользовании двигателя с ограниченной тягой // Космич. исслед., face), как правило, не приводятся. Для терминов, написание которых отТ. 5. № 2. личается в Великобритании и США, дается американское написание.

матическая теория оптимальных процессов. 4-е изд. М.: Наука, 198. базис-вектор Лоудена Lawden’s primer vector Суханов А. А. Универсальное решение задачи Ламберта // Космич. исбольшая полуось semimajor axis след., 1988. Т. 26. № 41.

Суханов А. А. Об изохронных производных в задаче двух тел // Космич.

исслед. 1990. Т. 28. № 2.

Суханов А. А. Оптимизация перелетов с малой тягой // Космич. исслед.

1999. Т. 7. № 21.

Суханов А. А. Оптимизация межпланетных перелетов с малой тягой // Суханов А. А., Прадо А. Ф. Б. де А. Оптимизация перелетов при ограниче- закон всемирного тяготения Newton’s law of gravity ниях на направление тяги. I // Космич. исслед. 2007. Т. 45. № 5. идеально регулируемая тяга thrust with limited power (LP), Штифель Е., Шейфеле Г. Линейная и регулярная небесная механика. М.: коэффициент полезного действия efficiency Наука, 1975.

Земли. М.: Наука, 1965.

Benney D. J. Escape from a Circular Orbit Using Tangential Thrust // Jet Proметод наименьших квадратов least square method, Least Squares pulsion. 1958. V. 28. Nr. .

Stumpf K. Himmelsmechanik. Bd. 1. Berlin, 1969.

Sukhanov A. A., Prado A. F. B. de A. Constant Tangential Low-Thrust Trajectoобратная матрица inverse matrix ries near an Oblate Planet // J. Guidance, Control, and Dynamics. 2001.

Tsien H. S. Takeoff from Satellite Orbit // Jet Propulsion. 195. V. 2. P. 2– скалярное произведение dot production склеенные конические сечения patched conics скорость на бесконечности velocity at infinity, v-infinity, excess солнечная энергия (малой тяги) solar power сопряженное уравнение в вариациях adjoint (costate) variational equation транспонированная матрица transposed matrix тяга с постоянной скоростью ис- constant exhaust velocity (CEV) уравнение в вариациях variational equation условия трансверсальности transversality conditions эксцентрическая аномалия eccentric anomaly электрореактивная двигательная electric propulsion установка электрореактивный двигатель thruster Заказ 2199 Формат 701081/2 Тираж 200 8,5 уч.-изд. л.





Похожие работы:

«МЕЖДУНАРОДНЫЙ КОНГРЕСС ПО ИНФОРМАТИКЕ: ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ И ТЕХНОЛОГИИ Материалы международного научного конгресса Республика Беларусь, Минск, 31 октября – 3 ноября 2011 года INTERNATIONAL CONGRESS ON COMPUTER SCIENCE: INFORMATION SYSTEMS AND TECHNOLOGIES Proceedings of the International Congress Republic of Belarus, Minsk, October' 31 – November' 3, 2011 В ДВУХ ЧАСТЯХ Часть 2 МИНСК БГУ УДК 37:004(06) ББК 74р.я М Р е д а к ц и о н н а я к о л л е г и я: С. В. Абламейко (отв. редактор), В....»

«Казанский государственный университет Научная библиотека им. Н.И. Лобачевского ВЫСТАВКА НОВЫХ ПОСТУПЛЕНИЙ с 8 по 15 декабря 2010 года Казань 2010 2 Записи сделаны в формате RUSMARC с использованием программы Руслан. Материал расположен в систематическом порядке по отраслям знания, внутри разделов – в алфавите авторов и заглавий. Записи включают полное библиографическое описание изданий, инвентарный номер). Электронная версия отражена на сервере Научной библиотеки по адресу:...»

«Ф И..А. И Ы И А ИЯ Э И XLIII Те ы ае И, 2013 И Л ВИ 2011 ИЭ, - А.,,. щ,..,,. Ч. XLIII ИЭ А. а XLIII а ИЭ А Тезисы научных статей Программа XLIII конференции-конкурса научной молодежи СИСТЕМНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ В ЭНЕРГЕТИКЕ Секция Прикладная математика и информатика Дата: 21 марта 2013 Время: 13:30 Конференц-зал Блохин Арсений Андреевич Разработка инструментального средства для организации информационной поддержки мультицентровых исследований качества жизни Рецензент: Копайгородский...»

«ТЕХНИЧЕСКИЙ КОДЕКС ТКП 213-2010 (02140) УСТАНОВИВШЕЙСЯ ПРАКТИКИ СЕТИ СОТОВОЙ ПОДВИЖНОЙ ЭЛЕКТРОСВЯЗИ ОБЩЕГО ПОЛЬЗОВАНИЯ. ПРАВИЛА ПРОЕКТИРОВАНИЯ СЕТКI СОТАВАЙ РУХОМАЙ ЭЛЕКТРАСУВЯЗI АГУЛЬНАГА КАРЫСТАННЯ. ПРАВIЛЫ ПРАЕКТАВАННЯ Издание официальное Минсвязи Минск ТКП 213-2010 УДК 621.396.93 МКС 33.070.50 КП 02 Ключевые слова: сеть сотовой подвижной электросвязи, базовая станция, центр коммутации, антенно-фидерное устройство, оператор электросвязи, интерфейс, нагрузка абонентская, центр управления...»

«010400.62:02 Приложение 3 к ООП по направлению подготовки 010400 – Прикладная математика и информатика, профиль: Математическое моделирование и вычислительная математика АННОТАЦИЯ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ ДИСЦИПЛИНЫ Отечественная история (Б1.Б.1) Дисциплина Отечественная история является частью гуманитарного, социального и экономического цикла дисциплин (базовая часть) подготовки студентов по направлению подготовки – 010400 Прикладная математика и информатика. Дисциплина реализуется на факультете...»

«МАОУ Лицей № 14 Мичуринская 112В, г. Тамбов, Тамбовской обл., 392032, тел. (84752) 492097 E-mail: lyceum14tmb@ ma il. r u www.tofmal.ru МУНИЦИПАЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ЛИЦЕЙ №14 имени ЗАСЛУЖЕННОГО УЧИТЕЛЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ А.М.КУЗЬМИНА ШКОЛА КРЕАТИВНОГО РАЗВИТИЯ (публичный доклад по итогам 2012-2013 учебного года) СОДЕРЖАНИЕ I. ВВОДНАЯ ЧАСТЬ. Приоритеты деятельности II. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ Информационная справка о МАОУ лицее №14 города Тамбова Материально-техническая...»

«Высшее образование БАКАЛАВРИАТ ИНТЕГРИРОВАННЫЕ КОММУНИКАЦИИ Учебник Под редакцией О. В. САГИНОВОй Для студентов учреждений высшего образования, обучающихся по направлению подготовки Реклама и связи с общественностью УДК 659(075.8) ББК 65.290-2я73 И73 Р е ц е н з е н т ы: директор Института менеджмента, зав. кафедрой маркетинга и коммерции Московского государственного университета экономики, статистики и информатики, д-р экон. наук, проф. Л. А. Данченок;...»

«НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК БЕЛАРУСИ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА И ПОЛУПРОВОДНИКОВ УДК 537.534: 535.854: 538.975 НОВИЦКИЙ Николай Николаевич СВОЙСТВА МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ПЛЕНОК И НАНОСТРУКТУР, ПОЛУЧЕННЫХ МЕТОДОМ ИОННО-ЛУЧЕВОГО РАСПЫЛЕНИЯ 01.04.07 – физика конденсированного состояния Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук МИНСК, 2003 Работа выполнена в Институте физики твердого тела и полупроводников Национальной академии наук Беларуси Научные...»

«Геологический институт КНЦ РАН Кольское отделение РМО Борисова В.В., Волошин А.В. ПЕРЕЧЕНЬ МИНЕРАЛЬНЫХ ВИДОВ КОЛЬСКОГО ПОЛУОСТРОВА Апатиты 2006 Перечень минеральных видов Кольского полуострова. Изд. 3-е, испр. и доп. / В.В. Борисова, А.В. Волошин – Апатиты: Геологический институт КНЦ РАН, Кольское отделение РМО, 2006. – 32 с. В новом “Перечне.” приведен исправленный и дополненный список минеральных видов Кольского полуострова по классам. На сегодня он насчитывает 944 минерала. Список минералов,...»

«А. Л. ЛАРИОНОВ, АЛЬ-ШАРАЙРЕХ ЛЖАМАЛЬ АЛЕЛЬ Александр Дмитриевич ЛАРИОНОВ — доктор экономических наук, профессор, заведующий кафедрой бухгалтерского учета и аудита СПбГУЭФ, академик Международной академии информатизации. В 1961 г. закончил ЛФЭИ. С 1967 г. преподает в СПбГУЭФ. Автор более 180 научных работ, в том числе 20 монографий и учебных пособий. Работы публиковались в Великобритании, Болгарии, Чехии, Польше и в других странах. Аль-Шарайрех ЛЖАМАЛЬ АДЕЛЬ — аспирант кафедры бухгалтерского...»

«Annotation Современная философская притча от феноменально популярного бразильского писателя, ученого, психотерапевта Августо Кури. Загадочный персонаж появляется на вашем жизненном пути и заявляет, что все мы живем в огромном сумасшедшем доме, где нормальные люди считаются больными и наоборот. Каждый хочет, чтобы его жизнь была полна необыкновенных чувств, но где их найти в условиях современного общества? Некоторые заплатят за свою мечту слишком дорого, возможно собственной жизнью. Августо Кури...»

«050501.65 - Профессиональное обучение Обучение ведется по ГОС ВПО 050501.65 - Профессиональное обучение (информатика, вычислительная техника и компьютерные технологии), утвержденный 27.03.2000г №237 Квалификация выпускника – педагог профессионального обучения. Нормативный срок 5 лет. Квалификационная характеристика выпускника Педагог профессионального обучения должен: • иметь представление: -о локальных, системных, приборных интерфейсах и интерфейсах периферийных устройств; - о системах...»

«Дайджест публикаций на сайтах органов государственного управления в области информатизации стран СНГ Период формирования отчета: 01.06.2013 – 30.06.2013 Содержание Республика Беларусь 1. 1.1. Состоялся семинар Внедрение в государственных органах и организациях ведомственных систем электронного документооборота с учетом норм Указа Президента Республики Беларусь от 04.04.2013 № 157, организованный Минсвязи. Дата новости: 25.06.2013. 1.2. Состоялась встреча специалистов в области электронного...»

«Хорошко Максим Болеславович РАЗРАБОТКА И МОДИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ И АЛГОРИТМОВ ПОИСКА ДАННЫХ В INTERNET/INTRANET СРЕДЕ ДЛЯ УЛУЧШЕНИЯ КАЧЕСТВА ПОИСКА Специальность 05.13. 17 – Теоретические основы информатики АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Новочеркасск – 2013 2 Работа выполнена на кафедре Информационные и измерительные системы и технологии ФГБОУ ВПО ЮРГПУ(НПИ) им М.И. Платова. Научный руководитель кандидат технических наук, доцент...»

«1. Реут Д.В. Кентавр в интерьере. Кентавр. Методологический и игротехнический альманах, М.: 1991, N 1, с. 2 2. Реут Д.В. К микроанализу мегамашин. Кентавр, 1993, N 2, с. 47-51, 009EUT.ZIP from www.circle.ru 3. Реут Д.В. Ad marginem metodologia. Кентавр, 1995, N 2, с. 41-50. 4. Реут Д.В. Буриданово человечество. Международный конгресс Фундаментальные основы экологии и духовного здоровья человека. 27 сентября – 4 октября 1995 г. Алушта. Крым. Украина. Тезисы докладов. Часть 2, М.: 1996, с. 21 5....»

«Министерство образования и науки РФ Новокузнецкий институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Кемеровский государственный университет Факультет информационных технологий Учебно-методический комплекс дисциплины Б2.В.5 Практикум на ЭВМ (Архитектура компьютеров) Направление подготовки 010400 Прикладная математика и информатика Профиль подготовки Прикладная математика и информатика (общий профиль) Квалификация...»

«ТЕХНИЧЕСКИЙ КОДЕКС ТКП 222-2010 (02140) УСТАНОВИВШЕЙСЯ ПРАКТИКИ РАДИОРЕЛЕЙНЫЕ ЛИНИИ ПЕРЕДАЧИ ПРЯМОЙ ВИДИМОСТИ. ПРАВИЛА ПРОЕКТИРОВАНИЯ РАДЫРЭЛЕЙНЫЯ ЛIНII ПЕРАДАЧЫ ПРАМОЙ БАЧНАСЦI. ПРАВIЛЫ ПРАЕКТАВАННЯ Издание официальное Минсвязи Минск ТКП 222-2010 УДК 621.396.4.001.2 МКС 33.060.30 КП 02 Ключевые слова: антенна, радиорелейная станция, радиорелейная линия передачи прямой видимости, радиоствол, ретранслятор, тракт антенно-фидерный Предисловие Цели, основные принципы, положения по государственному...»

«Предлагаемый Практикум поможет преподавателю при проведении занятий по освоению компьютерной справочной правовой системы ГАРАНТ, изучаемой в рамках курса прикладной информатики студентами юридических, финансовых и экономических специальностей вузов, в соответствии с рекомендациями государственных образовательных стандартов. В нем содержатся практические задания, позволяющие освоить основные возможности и функции системы ГАРАНТ: поисковые и аналитические. Для более подробного изучения системы...»

«1 Секция Биоинженерия и биоинформатика СЕКЦИЯ БИОИНЖЕНЕРИЯ И БИОИНФОРМАТИКА ПОДСЕКЦИЯ ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКАЯ БИОЛОГИЯ ДНК-метилтрансфераза SsoII как фактор транскрипции: особенности структуры белка и стехиометрии его комплексов с ДНК1 Абросимова Л.А.1,2, Молочков Н.В.3, Рязанова А.Ю.1,2 Студент, научный сотрудник, аспирант 1 Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова, Факультет биоинженерии и биоинформатики, Москва, Россия 2 НИИ физико-химической биологии имени А.Н. Белозерского,...»

«С. М. Кашаев Л. В. Шерстнева 2-е издание Санкт-Петербург БХВ-Петербург 2011 УДК 681.3.068+800.92Pascal ББК 32.973.26-018.1 К31 Кашаев, С. М. К31 Паскаль для школьников. Подготовка к ЕГЭ / С. М. Кашаев, Л. В. Шерстнева. — 2-е изд., перераб. и доп. — СПб.: БХВ-Петербург, 2011. — 336 с.: ил. + CD-ROM — (ИиИКТ) ISBN 978-5-9775-0702-8 Подробно описаны приемы программирования на Паскале и технология разработки различных алгоритмов программ с акцентом на темы, выносимые на Единый государственный...»














 
© 2014 www.kniga.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Книги, пособия, учебники, издания, публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.