WWW.KNIGA.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Книги, пособия, учебники, издания, публикации

 


Pages:     | 1 ||

«Т.Я. АЗИЗОВ, Н.Д. КОПАЧЕВСКИЙ ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ПРОСТРАНСТВ ПОНТРЯГИНА Специальный курс лекций для студентов-магистрантов специальности ”Математика” Симферополь, 2008 ...»

-- [ Страница 2 ] --

Ниже будет доказан результат (теорема 3.21), являющийся в части инвариантности обобщением теоремы Понтрягина (теорема 3.16). Прежде введем некоторые определения. Будем говорить, что дуальная пара {L+, L } инвариантна относительно оператора A, если AL± L±. Говорят, что дуальная пара {L+, L } является максимальной инвариантной дуальной парой, если она не допускает нетривиальных расширений как инвариантная дуальная пара. Рассуждая так же, как относительно существования максимальных семидефинитных подпространств (см. стр. 56), для максимальных дуальных пар можно доказать (проверить!) с помощью леммы Цорна существование максимальной инвариантной дуальной пары. Отметим, что максимальная инвариантная дуальная пара не обязана быть максимальной дуальной парой, инвариантной относительно оператора. Наша цель доказать, что для J-самосопряженного оператора эти понятия совпадают.

Лемма 3.3. Изотропная часть L0 подпространства L, инвариантного относительно J-самосопряженного оператора A, инвариантна относительно этого оператора: AL0 L0.

Доказательство. В самом деле, если x L0, то из равенств следует справедливость утверждения леммы.

Теорема 3.21.. Пусть A = Ac : J-самосопряженный оператор, пусть {L+, L } дуальная пара, инвариантная относительно A. Тогда существует максимальная дуальная пара {L+, L } инвариантная относительно A и являющаяся расширением для исходной дуальной пары:

Доказательство. Без ограничения общности будем считать, что {L+, L } максимальная инвариантная дуальная пара и докажем, что она является инвариантной максимальной дуальной парой, т.е.

L± M±.

Сперва проверим, что изотропные части подпространств L+ и L совпадают. В силу леммы 3.3 изотропные части L+,0 и L, подпространств L+ и L, соответственно, инвариантны относительно оператора A. Следовательно, и их линейная оболочка L0 = л.о.{L+,0, L,0 }, являющаяся нейтральным подпространством, также инвариантна относительно этого оператора. Тогда дуальная пара {L+ + L0, L + L0 } инвариантна относительно A и является расширением для {L+, L }. Поскольку {L+, L } максимальная инвариантная дуальная пара, то L+ = L+ + L0, L = L + L0. Отсюда, L0 L+ L, что возможно только при условии равенства L+,0 = L,0 изотропных частей подпространств, входящих в дуальную пару. Таким образом, Рассмотрим подпространство L := (L+ + L )[]. Согласно лемме 3.1 подпространство L инвариантно относительно оператора A. В силу леммы 2.4 имеем L+ + L = (L+ + L )[][] и потому L изотропная часть как для L+ + L, так и для L. Воспользуемся следствием 2.3 и разложим подпространство L в прямую сумму:





где L(1) невырожденное подпространство, а потому из следствия 2.1 пространство Понтрягина 1 := L(1) с 1 положительными квадратами. Докажем, что 1 = {0}. В самом деле, пусть P проектор из L на 1, соответствующий разложению: L = L0 [ ]1, B := P A|1. Поскольку для произвольных векторов x, y 1, с учетом изотропности L0, имеет место цепочка равенств:

[Bx, y] = [P Ax, y] = [Ax, y] = [x, Ay] = [x, P Ay] = [x, By], то B самосопряженный оператор в 1. Сперва предположим, что 1 = 0. В этом случае из теоремы 3.16 следует, что у оператора B существует 1 -мерное неотрицательное инвариантное подпространство L+,1. Рассмотрим подпространство L+ [+]L+,1. По построению оно неотрицательно и J-ортогонально L. Более того, оно инвариантно относительно оператора A. В самом деле, пусть x = x1 + x L+ [+]L+,1, где x1 L+, x2 L+,1. Отсюда, учитывая, что L и L+ инвариантны относительно оператора A, (I P )L = L0 L+ и подпространство L+,1 инвариантно относительно B, получим:

Ax = Ax1 + Ax2 = Ax1 + (I P )Ax2 + P Ax2 = т.е. подпространство L+ [+]L+,1 инвариантно относительно оператора A. Но тогда дуальная пара {L+ [+]L+,1, L } инвариантна относительно A и является нетривиальным расширение дуальной пары {L+, L }, являющейся по условию максимальной инвариантной относительно A противоречие, показывающее, что 1 = 0. Таким образом, либо 1 = {0}, либо 1 отрицательное подпространство.

Последнее невозможно по аналогичной аргументации как и выше:

дуальная пара {L+, L [+]1 } инвариантна относительно A и является нетривиальным расширение дуальной пары {L+, L }, являющейся по условию максимальной инвариантной относительно A противоречие. Итак, 1 = {0}, или, что эквивалентно, Для заключения L± M± остается воспользоваться теоремой 3.12, учитывая, что codim (L+ [+]L ) = dim (L+ [+]L )[].

В следующей ниже теореме 3.22 мы остановимся на свойствах операторов специального класса, а именно, на свойствах Jнеотрицательных операторов.

Определение 3.12. Будем говорить, что оператор A является JJ неотрицательным, и обозначать кратко A 0, если [Ax, x]. Соответственно назовем A оператором J-положительным, A 0, если [Ax, x] 0, x = 0.

Отметим, что J-неотрицательный оператор является Jсамосопряженным и потому по теореме 3.7 его невещественный спектр состоит из не более, чем пар нормальных собственных значений, которым соответствуют нейтральные собственные векторы. Однако это общее положение можно уточнить для J-неотрицательных операторов.

Теорема 3.22. Пусть A J-неотрицательный оператор в. Тогда:

(i) Собственные векторы x, соответствующие собственным значениям 0 = p (A) дефинитны, более того, [x, x] 0.

(ii) (A) R.

(iii) Если Ax = x, = 0, то у собственного вектора x нет присоединенных векторов.

(iv) Положительный спектр оператора A состоит из не более, чем (с учетом кратности) нормальных собственных значений. Если A J-положительный оператор, то его положительный спектр состоит ровно (с учетом кратности) из нормальных значений.

(v) J-неотрицательный оператор A имеет инвариантную максимальную дуальную пару {L+, L } и при этом (A|L+ ) [0, ) Доказательство. (i). Пусть x0 собственный вектор оператора A, отвечающий собственному значению и [x0, x0 ] = 0. Наша цель доказать, что = 0. Предположим противное: = 0. Тогда [Ax0, x0 ] = [x0, x0 ] = 0. Поскольку по условию леммы A 0, т.е.

[Ax, x] 0, x, то к полуторалинейной форме [Ax, y] применимо неравенство Коши-Буняковского Так как [Ax0, x0 ] = 0, то [x0, x0 ] = [Ax0, y] = 0 при всех y, т.е., поскольку = 0, x0 изотропный вектор в. Но тогда по аксиоме (i) определения 2.3 пространства получаем, что x0 = противоречие, показывающее, что = 0.

Таким образом, если x собственный вектор оператора A, соответствующее собственному значению = 0, то [Ax, x] = [x, x] = 0.

Так как A J-неотрицательный оператор, то отсюда имеем [x, x] 0.

(ii). Согласно теореме 3.7 невещественный спектр Jсамосопряженного оператора может состоять самое большее из конечного числа нормальных собственных значений, которым соответствуют нейтральные собственные векторы. Поскольку в силу (i) нейтральные собственные векторы отвечают только нулевому собственному значению, то (A) R.

(iii). Предположим, что собственному значению отвечает нетривиальная жорданова цепочка x0, x1,..., xp, p 1. Тогда согласно (3.22) вектор x0 нейтрален. В силу (i) имеем = 0.

(iv). Представим оператор A в матричной форме относительно канонического разложения = + [+] :

По условию A 0. Следовательно, при произвольном x = x+ + x имеем:

Таким образом, J-неотрицательный оператор A есть возмущение неположительного оператора конечномерным, а потому компактным, оператором A2. Так как открытое связное множество C \ (, 0] (A1 ) и точки A принадлежат резольвентному множеству (A) оператора A, то по теореме И.Ц. Гохберга (теорема 3.6) получаем, что множество C \ (, 0] состоит из нормальных собственных значений и регулярных точек оператора A. Поскольку у оператора A нет невещественных собственных значений, то во множестве C \ (, 0] могут быть только положительные собственные значения. Таким образом, положительная полуось состоит из регулярных точек и нормальных собственных значений оператора A. В силу (ii) корневые линеалы оператора A, соответствующие положительным собственным значениям, совпадают с ядрами ker(A I).

Так как согласно следствию 3.1 эти ядра попарно ортогональны, а согласно (i) они положительны, то л.о.{ker(A I) | 0} положительна. Остается воспользоваться аксиомой (iii) определения 2. пространства Понтрягина и получить, что л.о.{ker(AI) | 0} Если же оператор A является J-положительным, то у него нулевое ядро и потому -мерное неотрицательное инвариантное подпространство, существующее у A по теореме Понтрягина (теорема 3.16), состоит из линейной оболочки ядер операторов A I при 0.

Таким образом, dim л.о.{ker(A I) | 0} =.

(v). Пусть {L+, L } инвариантная относительно A максимальная дуальная пара. Так как подпространство L+ конечномерно, то спектр (A|L+ )состоит из собственных значений. В силу (i) этот спектр не может содержать отрицательные точки и потому (A|L+ ) [0, ). Рассмотрим (A|L ). Это множество не содержит положительных собственных значений, иначе было бы противоречие с (i). Поскольку множество C \ (, 0] состоит из нормальных точек оператора A, то остается один вариант это множество состоит из точек регулярного типа оператора A|L. Однако все точки с || A регулярные точки для A|L. По теореме Красносельского-Крейна (теорема 3.3) имеем C \ (, 0] (A|L ), а потому (A|L ) (, 0].

Далее мы будем исследовать вопрос о существовании общего инвариантного подпространства или даже инвариантной дуальной пары у семейства операторов. Для этого нам понадобится следующее определение. Здесь и далее символом с индексом и без будем обозначать топологические множества.

Определение 3.13. Система топологических множеств { } называется центрированной, если любой конечный набор множеств 1, 2,..., n имеет непустое пересечение:

Отметим следующий общий факт (теорема Тихонова): множество является компактом тогда и только тогда, когда любая его центрированная система замкнутых подмножеств имеет непустое пересечение, т.е.

В качестве такого множества в дальнейших рассуждениях будут фигурировать операторные шары = K± и их замкнутые подмножества.

Лемма 3.4. Множество угловых операторов, соответствующих максимальным неотрицательным и максимальным неположительным инвариантным подпространствам оператора A, образуют замкнутые в слабой операторной топологии множества в M+ и M, соответственно.

Доказательство. Проверим справедливость леммы для угловых операторов, соответствующих максимальным неотрицательным инвариантным подпространствам оператора A. Для угловых операторов, соответствующих максимальным неположительным инвариантным подпространствам оператора A, доказательство подобно.

Пусть Kn угловые операторы максимальных неотрицательных инвариантных подпространств оператора A. Тогда они удовлетворяют равенству (3.35):

Рассуждения, аналогичные проведенным ранее (см. стр. 62) показывают, что если Kn слабо сходятся к K0, то K0 решение уравнения (3.35) и потому является угловым оператором максимального неотрицательного подпространства инвариантного относительно A.

Основным результатом этого раздела является сформулированная и доказанная ниже теорема Наймарка (теорема 3.23). Прежде докажем несколько вспомогательных предложений, каждое из которых, впрочем, имеет самостоятельный интерес, и напомним некоторые определения.

Определение 3.14. Говорят, что операторы A и B коммутируют, если они перестановочны: AB = BA.

Лемма 3.5. Пусть E m-мерное пространство, а {A } семейство коммутирующих операторов. Тогда существует элемент x0 E, x0 = 0, являющийся собственным вектором всех операторов семейства:

Доказательство. Воспользуемся индукцией по размерности пространства m. Если dim E = 1, то в качестве x0 = 0 можно взять любой элемент из E, так как в этом случае каждый из операторов умножение на константу.

Пусть утверждение леммы доказано для пространства E с dim E m. Докажем, что оно верно также и для случая dim E = m.

Заметим сначала, что если операторы A пропорциональны единичному, т.е. A = I, то, как и в случае dim E = 1, в качестве x0 = можно взять любой элемент из E.

Пусть существует оператор A0, который не является оператором умножения на константу и пусть 0 его собственное значение.

Тогда его ядро ker(A0 0 I) инвариантное подпространство для всех операторов семейства:

и dim ker(A0 0 I) m.

Рассмотрим операторы A | ker(A0 0 I), являющиеся сужениями операторов A на ker(A0 0 I). Так как dim ker(A0 0 I) m, то, по предположению индукции, найдется элемент x0 = 0, x ker(A0 0 I), являющийся общим собственным элементом для всех операторов A | ker(A0 0 I), а потому и для операторов A.

Лемма 3.6. У любого конечного множества {Ak }n коммутатируk= ющих J-самосопряженных операторов существует общий неотрицательный собственный вектор.

Доказательство. Вновь, как и при доказательстве леммы 3.5, используем метод математической индукции, но на этот раз по количеству операторов. Если n = 1, то по теореме Понтрягина (см. теорему 3.16) существует максимальное неотрицательное инвариантное подпространство L+. Сужение A1 |L+ оператора A1 на это подпространство является -мерным оператором (ассоциируется с матрицей размером ) и потому имеет ровно (с учетом кратностей) собственных значений и по крайней мере один собственный вектор x0 = 0, который является неотрицательным: x0 L+.

Пусть утверждение леммы доказано для n 1 операторов A1,..., An1. Докажем, что оно справедливо и для n операторов. У оператора An, как отмечалось выше, есть неотрицательный собственный вектор x0. Пусть 0 соответствующее собственное значение этого оператора: An x0 = 0 x0. Ядро оператора An 0 I инвариантно относительно операторов Aj, j = 1, n 1 и содержит хотя бы один неотрицательный вектор. Рассмотрим 2 случая:

(a) Ln := ker(An 0 I) вырожденное подпространство;

(b) Ln невырожденное подпространство.

Если Ln вырождено, то его изотропная часть L0 = Ln Ln нетривиальна, конечномерна и в силу леммы 3.3 инвариантна относительно всех операторов Aj, j = 1, n 1. По лемме 3.5 операторы Bj := Aj |Ln, j = 1, n, а потому и Aj, j = 1, n, имеют общий собственный вектор, который в данном случае будет нейтральным.

Пусть Ln невырожденное подпространство. Тогда оно является пространством Понтрягина с 1 : 0 1, положительными квадратами. По предположению индукции, операторы Bj, j = 1, n 1, имеют в Ln общий неотрицательный собственный вектор. Но по построению, этот вектор является собственным и для Bn = 0 I. Следовательно, операторы Bj, j = 1, n, а потому и Aj, j = 1, n, имеют общий неотрицательный собственный вектор.

Продолжим формулировку и доказательство вспомогательных утверждений, предшествующих доказательству теоремы Наймарка.

Лемма 3.7. Пусть {L+, L } максимальная инвариантная дуальная пара для каждого оператора семейства {Aj }n коммутирующих J-самосопряженных операторов, действующих в.

Тогда L+ и L являются максимальным неотрицательным и максимальным неположительным подпространствами, соответственно:

L± M±.

Доказательство. В своих рассуждениях мы будем следовать доказательству теоремы 3.21, порой повторяя целые куски с чуть измененной аргументацией.

Поскольку {L+, L } максимальная инвариантная дуальная пара для каждого оператора семейства, то также как и на стр. 75, имеем:

где L0 = л.о.{L+,0, L,0 }, а L+,0 и L,0 изотропные части подпространств L+ и L, соответственно.

Рассмотрим подпространство L := (L+ + L )[]. Согласно лемме 3.1 подпространство L инвариантно относительно каждого из операторов Aj, j = 1, n. В силу леммы 2.4 имеем L+ +L = (L+ +L )[][] и потому L0 изотропная часть как для L+ + L, так и для L. Воспользуемся следствием 2.3 и разложим подпространство L в прямую сумму:

где L(1) невырожденное подпространство, а потому из следствия 2.1 пространство Понтрягина 1 := L(1) с 1 положительными квадратами. Докажем, что 1 = {0}. В самом деле, пусть P проектор из L на 1, соответствующий разложению: L = L0 [ ]1, Bj := P Aj |1. Поскольку для произвольных векторов x, y 1, с учетом изотропности L0, имеет место цепочка равенств:

[Bj x, y] = [P Aj x, y] = [Aj x, y] = [x, Aj y] = [x, P Aj y] = [x, Bj y], то Bj, j = 1, n, самосопряженный оператор в 1. Сперва предположим, что 1 = 0. В этом случае из леммы 3.6 следует, что у оператора Bj, j = 1, n, существует общий неотрицательный собственный вектор x0 и потому, положив L+,1 := л.о.{x0 }, получим, что L+ [+]L+,1 их общее неотрицательное инвариантное подпространство (см. (3.51)). Но тогда дуальная пара {L+ [+]L+,1, L } инвариантна относительно каждого Aj, j = 1, n, и является нетривиальным расширение дуальной пары {L+, L }, являющейся по условию максимальной инвариантной относительно семейства {Aj }n j= противоречие, показывающее, что 1 = 0. Таким образом, либо 1 = {0}, либо 2 отрицательное подпространство. Последнее невозможно по аналогичной аргументации как и выше: дуальная пара {L+, L [+]1 } инвариантна относительно каждого Aj, j = 1, n, и является нетривиальным расширение дуальной пары {L+, L }, являющейся по условию максимальной инвариантной относительно противоречие. Итак, 1 = {0}, или, что эквивавсего семейства лентно, Для заключения L± M± остается воспользоваться теоремой 3.12, учитывая, что codim (L+ [+]L ) = dim (L+ [+]L )[].

Пусть далее A := {A} коммутативное семейство Jсамосопряженных операторов: A = Ac, A1 A2 = A2 A1 для любых A, A1, A2 A. Пусть {L+, L } инвариантная дуальная пара для семейства A: AL± L± при любом A A. Обозначим через K угловой оператор неотрицательного подпространства L+, а через Q угловой оператор неположительного подпространства L :

Пусть {L+, L } максимальная дуальная пара: L± M±, инвариантная относительно оператора A и являющаяся расширением исходной инвариантной дуальной пары {L+, L }. Пусть K и Q угловые операторы подпространств {L+ и L }, соответственно. Тогда (см. следствие 3.4) K K, Q Q, Q = K и K удовлетворяет уравнению (3.35):

Множество всех таких операторов K обозначим A (K, Q):

Отметим, что в силу теоремы 3.21 множество A (K, Q) =. Более того, если перефразировать лемму 3.7, то получим:

Лемма 3.7(1). Пусть {L+, L } дуальная пара инвариантная относительно конечного семейства {Aj }n коммутирующих самосоj= пряженных операторов, пусть K и Q угловые операторы подпространств L+ и L, соответственно.

Тогда пересечение Лемма 3.8. Множество A (K, Q) замкнуто в слабой операторной топологии.

Доказательство. Пусть Kn A (K, Q) и Kn сходится к K0 в слабой операторной топологии. Проверим, что K0 A (K, Q).

Из леммы 3.4 следует, что K0 угловой оператор максимального неотрицательного подпространства, инвариантного относительно оператора A, а потому он удовлетворяет уравнению (3.35). Остается проверить, что K K0 и Q K0. Первое из этих включений вытекает из того, что при x+ dom K и произвольном y имеем Второе включение следует из того, что оно эквивалентно равенству (K0 x+, y ) = (x+, Qy ) при всех x+ + и y dom Q, а последнее следует из равенств (Kn x+, y ) = (x+, Qy ) при всех x+ + и y dom Q.

Следующий результат показывает, что результат, аналогичный лемме 3.7, верен для произвольного семейства коммутирующих операторов.

Лемма 3.9. Пусть {L+, L } дуальная пара, инвариантная относительно семейства A = {A} коммутирующих самосопряженных операторов, пусть K и Q и L, соответственно.

Тогда пересечение т.е. найдется оператор K0 : K0 A (K, Q) такой, что максиAA мальная дуальная пара инвариантна относительно каждого оператора A A и является расширением {L+, L }.

Доказательство. Рассмотрим систему {A (K, Q)}AA множеств A (K, Q) K+. По лемме 3.8 множества A (K, Q) замкнуты в слабой операторной топологии. В силу леммы 3.7(1) множество {A (K, Q)}AA центрировано, т.е. каждый конечный набор подмножеств имеет непустое пересечение. Для доказательства леммы остается воспользоваться компактностью K+ и теоремой Тихонова (см.

(3.53)).

Определение 3.15. Оператор A называется J-нормальным, если он коммутирует со своим J-сопряженным, или, что то же:

Теорема 3.23 (М.А. Наймарк). Пусть A = {A} множество коммутирующих J-нормальных операторов, действующих в, обладающее тем свойством, что если A A, то и Ac A. Пусть {L+, L } дуальная пара, инвариантная относительно A:

Тогда существует максимальная дуальная пара подпространств {L+, L }, инвариантная относительно A и являющаяся расширением исходной дуальной пары:

Доказательство. Введем для J-нормального оператора A множество A (K, Q) согласно определению (3.54). Тогда утверждение теоремы Наймарка о существовании максимальной дуальной пары {L+, L } для всего множества A J-нормальных операторов равносильно тому, что выполнено условие (3.56):

Докажем это утверждение.

Представим любой J-нормальный оператор A A в виде где AR вещественная часть A, а AI соответственно мнимая часть оператора A.

Предоставляем читателю проверить следующие простейшие свойства операторов AR и AI.

1. Операторы AR и AI J-самосопряженные: AR = Ac, AI = Ac.

2. Операторы AR и AI коммутируют: AR AI = AI AR.

3. Любое подпространство инвариантно относительно A и Ac одновременно тогда и только тогда, когда оно инвариантно одновременно относительно AR и AI.

Последнее свойство позволяет в условиях теоремы множество J-нормальных операторов A = {A} заменить на множество Jсамосопряженных операторов:

и для завершения доказательства остается воспользоваться леммой 3.9.

Приведем некоторые приложения этой теоремы.

Определение 3.16. Непрерывный линейный оператор U называется J-унитарным, если Упражнение 3.8. Доказать, что выполнение условий (3.58) достаточно, чтобы оператор U был J-унитарным, т.е. дополнительно линейным и непрерывным оператором.

Из определения J-унитарного оператора U следует, что он обратим на всем пространстве и его обратный U 1 также J-унитарный оператор. Кроме того, из определения следует, что оператор U Jунитарен тогда и только тогда, когда выполнено условие:

откуда следует, что J-унитарный оператор является J-нормальным.

Поскольку вместе с оператором J-нормальным является и его Jсопряженный, то и обратный оператор U 1 также J-нормальный.

Теорема 3.24.. Пусть {L+, L } инвариантная дуальная пара J-унитарного оператора U, действующего в. Тогда существует максимальная дуальная пара {L+, L } также инвариантная относительно U и являющаяся расширением для исходной инвариантной дуальной пары.

Доказательство. Наша цель свести доказательство к применению теоремы Наймарка (теорема 3.23). Рассмотрим множество U = {U k | k = 0, ±1, ±2...}. Множество U состоит из J-унитарных, а потому из J-нормальных операторов и содержит с каждым оператором U k его J-сопряженный оператор U k. Найдем дуальную пару {L+,1, L,1 }, являющуюся инвариантной относительно U и расширением для {L+, L }.

Поскольку L+ конечномерное подпространство, то U L+ = L+, а потому и для всех целых степеней имеем: U k L+ = L+. Положим L+,1 = L+.

Так как U L L, то для натуральных k имеем:

Из J-унитарности оператора U 1 следует, что каждое из подпространств U k L является неположительным, а потому неположительным будет их объединение и его замыкание. Положим L,1 = то и U L,1 = L,1, а потому это верно и для всех целых степеней оператора U, т.е. UL,1 L,1.

Осталось проверить, что L+,1 J-ортогонально L,1. Для этого достаточно проверить, что L+ J-ортогонально kN U k L и затем воспользоваться непрерывностью индефинитной метрики. Пусть x L+, y kN U k L, т.е. существует такое k N {0}, что y = U k z, z L. Но тогда, с учетом того, что U k x L+ и {L+, L } дуальная пара, имеем:

Теперь к дуальной паре {L+,1, L,1 } и коммутативному семейству U применим теорему Наймарка (теорема 3.23) и получим существование искомой максимальной дуальной пары, которая, в частности, будет инвариантной и относительно оператора U.

Замечание 3.2. Способом, аналогичным приведенному при доказательстве теоремы 3.24, можно дуальную пару {L+, L }, инвариантную относительно любого семейства коммутирующих J-унитарных операторов, продолжить до максимальной дуальной пары, инвариантной относительно этого семейства операторов.

Ниже, в теореме 3.27, доказанный выше результат для Jунитарных операторов будет использован для доказательства существования специальных -мерных неотрицательных инвариантных подпространств у, вообще говоря, неограниченного J-самосопряженного оператора.

Доказанная теорема 3.24 говорит о возможности расширения инвариантной относительно J-унитарного оператора U дуальной пары до максимальной дуальной пары, обладающей тем же свойством.

В частности, если принять L± = {0}, то эта теорема утверждает существование максимальной дуальной пары, инвариантной относительно U. Однако, она ничего не говорит о спектре сужения оператора на эти инвариантные максимальные семидефинитные подпространства. Ниже, в теореме 3.15, этот пробел будет ликвидирован даже в более общем случае J-несжимающих операторов.

Пусть задано каноническое разложение пространства Понтрягина и канонические проекторы P± :

Определение 3.17. Всюду заданный оператор V называется Jнесжимающим, если матричное представление J-несжимающего оператора V. Рассмотрим оператор: Так как при x+ + справедливы соотношения:

а потому оператор V11 непрерывно обратим и обратный оператор сжатия, т.е. V11 1. Отсюда следует, что оператор P + P+ V обратим на всем пространстве и Следовательно, для J-несжимающего оператора V корректно определено на всем пространстве преобразование Потапова–Гинзбурга:

Проверим, что оператор T сжатие, т.е. (y, y) (T y, T y) при любом y. В самом деле, представим y = (P + P+ V )x, а потому T y = (P+ + P V )x, и получим:

Из того, что T сжатие, вытекает, что каждый из операторов V11 V12, V21 V11 и V22 V21 V11 V12 также сжатия. Поэтому V и V21 ограниченные операторы, и где оператор V1 является сжатием, а V2 компактный оператор, так как все элементы этой матрицы ограниченные конечномерные, а потому компактные операторы.

Их (3.62) вытекает, в частности, нижеследующая теорема Бродского-Иохвидова об ограниченности J-несжимающего оператора, доказанная ими в гораздо более общем случае.

Теорема 3.25 (М.Л. Бродский, И.С. Иохвидов). Jнесжимающий оператор, действующий в, является непрерывным оператором.

Отметим, что в определении J-унитарного оператора U можно было не требовать его непрерывности, она следует, как доказано выше, из условия [U x, U x] = [x, x].

Определение 3.18. J-несжимающий оператор V называется равномерно J-несжимающим, если существует такое k 0, что Из равенств (3.61) следует, что V равномерно J-несжимающий оператор тогда и только тогда, когда его преобразование Потапова– Гинзбурга T равномерное сжатие, т.е. T 1. Повторяя рассуждения, примененные при доказательстве (3.62), получим, что равномерно J-несжимающий оператор представим в виде суммы равномерного сжатия V1 и компактного оператора V2. Поэтому по теореме Гохберга (см. теорему 3.6) все точки с || 1 являются нормальными точками, (V ), т.е. они либо регулярные ( (V )), либо являются нормальными собственными значениями ( p (V )).

Обозначим через T единичную окружность:

и докажем, T не могут быть собственными значениями равномерно J-несжимающего оператора V, т.е. T (V ). В самом деле, если V x = x, || = 1, то Отсюда следует, что k x 2 0, k 0, и потому x = 0.

Таким образом, доказана следующая лемма.

Лемма 3.10. Если V равномерно J-несжимающий оператор, то (V ) T = {}.

Ниже нам понадобится преобразование Кэли–Неймана. Пусть = регулярная точка оператора A. Тогда оператор V :

называется преобразованием Кэли–Неймана оператора A. Оператор называется обратным преобразованием Кэли–Неймана оператора V.

Лемма 3.11. Пусть V преобразование Кэли-Неймана оператора A в точке с Im 0. Тогда:

(i) Оператор V является J-несжимающим тогда и только тогда, когда A J-диссипативный оператор.

(ii) Оператор V является равномерно J-несжимающим тогда и только тогда, когда A ограниченный равномерно Jдиссипативный оператор.

(iii) Оператор V является J-унитарным тогда и только тогда, когда A J-самосопряженный оператор.

Доказательство. Докажем (ii), остальные утверждения доказываются по той же схеме.

Так как (A), то произвольный вектор x можно представить в виде: x = (A I)y. Тогда V x = (A I)y и потому:

[V x, V x] [x, x] = [(A I)y, (A I)y] [(A I)y, (A I)y] Предположим, что V равномерно J-несжимающий оператор:

[V x, V x] [x, x] k x 2. Тогда по лемме 3.10 имеем 1 (V ) и потому A = (V I)(V I)1 ограниченный оператор. Осталось показать, что A равномерно J-диссипативный, т.е. существует a 0: Im[Ay, y] a y 2. Из равенства x = (A )y следует неравенство: x (AI)1. Из (3.64) следует, что Im[Ay, y] 4 Im · (AI)1 2 y. Таким образом, A ограниченный равномерk но J-диссипативный оператор с a = 4 Im · (AI)1 2.

Обратно, пусть A ограниченный равномерно J-диссипативный оператор: Im[Ay, y] a y|2. Тогда из (3.64) следует, что т.е. V равномерно J-несжимающий оператор.

Следствием леммы 3.11 является следующее утверждение:

Лемма 3.12. У равномерно J-несжимающего оператора V существует -мерное положительное инвариантное подпространство L+ и максимальное отрицательное инвариантное подпространство L.

При этом:

Доказательство. Согласно лемме 3.10 точка 1 (V ). Рассмотрим оператор A, являющийся обратным преобразованием Кэли-Неймана для оператора V :

Из леммы 3.11, (ii), следует, что A ограниченный равномерно J-диссипативный оператор. В силу теоремы 3.17 у оператора A существуют -мерное положительное инвариантное подпространство L+ := P и максимальное отрицательное инвариантное подпространство L := (I P ) и при этом (см. (3.46)) Относительно этого разложения, поскольку AL± L±, оператор A представим в виде диагональной матрицы:

где A± = A|L±. Следовательно, и преобразование Кэли-Неймана V = (A I)(A I)1 этого оператора также представимо в виде диагональной матрицы:

Таким образом, L± инвариантные подпространства оператора V, а V± = V |L±.

Поскольку Im (A+ ) 0 и Im (A ) 0 (см. теорему 3.17), то спектры V± удовлетворяют условиям (3.65) и (3.66).

Теорема 3.26. У любого J-несжимающего, в частности, Jунитарного, в оператора V существует -мерное неотрицательное инвариантное подпространство L+ и максимальное неположительное инвариантное подпространство L такие, что Доказательство. Пусть = + [] каноническое разложение пространства Понтрягина. Представим оператор V в матричном виде относительно этого разложения:

и введем в рассмотрение операторы V = V I, где I диагональный оператор: I = diag{ 1 + I; 1 I}, 0 1. Проверим, что операторы V являются равномерно J-несжимающими:

Следовательно, операторы V сходятся к V в равномерной операторной топологии. По лемме 3.12 у каждого из операторов V существует -мерное положительное инвариантное подпространство L+, и максимальное отрицательное инвариантное подпространство L,. При этом:

Остается применить теоремы 3.14 и 3.15, положив в первом случае Теперь мы готовы доказать в полном объеме теорему Понтрягина, положившую начало теории инвариантных подпространств в пространствах с индефинитной метрикой. Предварительно напомним, что все невещественные точки являются регулярными для гильбертова самосопряженного оператора (не обязательно ограниченного) A и для его резольвенты (A I)1 справедлива оценка:

Теорема 3.27 (Л.С. Понтрягин). Пусть A = Ac вообще говоря неограниченный оператор, действующий в пространстве Понтрягина. Тогда у него существует -мерное неотрицательное инвариантное подпространство L+ M+ : AL+ L+ такое, что Im (A|L+ ) 0.

Доказательство. Прежде установим, что у J-самосопряженного оператора в есть хотя бы одна регулярная точка в C+. Согласно лемме 2.2 можно без ограничения общности считать, что каноническое разложение выбрано так, что + dom A. Тогда оператор A можно представить в виде суммы A = AJ + 2AP+ самосопряженного оператора A1 := AJ и конечномерного непрерывного A2 := 2AP+. Отсюда В силу (3.67) получаем, что (A) при | Im | A2.

преобразование Кэли–Неймана J-самосопряженного оператора A.

Согласно лемме 3.11,(iii), оператор V унитарен. По теореме 3.18 у оператора V существует -мерное неотрицательное инвариантное подпространство L+ такое, что Из (3.68) следует, что 1 p (V ) и потому Отсюда следует, что -мерное неотрицательное подпространство L+ инвариантно относительно A и операторы V+ := V |L+ и A+ := A|L+ связаны преобразованием Кэли–Неймана:

Отсюда следует, что Поскольку по условию (V+ ) C \ D, то Im (A+ ) 0.

Замечание 3.3. Отметим, что исторически первой была доказана теорема Понтрягина, затем И.С. Иохвидов (1949), применив преобразование Кэли–Неймана, доказал, что у J-унитарного оператора в существует -мерное неотрицательное инвариантное подпространство. Мы же применили другую схему.

4 Полнота и базисность корневых векторов В этой части курса будут рассмотрены важные для теории и ее приложений вопросы полноты и базисности системы собственных и присоединенных (корневых) элементов J-самосопряженных операторов, действующих в.

Предварительно напомним некоторые определения.

Определение 4.1. Система элементов {gj } называется полной в гильбертовом пространстве H, если замыкание линейной оболочки этих элементов совпадает с H, т.е. з.л.о.{gj } = H. Это равносильно тому, что если для элемента x0 H выполнено условие (x0, gj ) = для всех j, то x0 = 0.

Отметим, что для полной системы {gj } H при любом x H можно так подобрать линейную комбинацию xn = j=1 j gj с коэффициентами j, зависящими от n, что xn x0 при n.

Определение 4.2. Система элементов {ej } H называется базисом в пространстве H, если для любого элемента x0 H найдется единственная последовательность чисел j такая, что Упражнение 4.1. Пусть {ej } ортонормированный базис в H.

Доказать, что система элементов {e1, e1 + e2, e2 + e3,...} полна в H, но не является базисом. Более того, в этой системе можно выбросить любой ее элемент, и свойство полноты сохранится.

Пусть {ej } ортонормированный базис в H, а T непрерывный и непрерывно обратимый оператор. Образуем систему {gj } = {T ej }.

Такая система элементов также является базисом в H и называется базисом Рисса. Докажем следующую известную лемму, на которую мы далее будем ссылаться.

Лемма 4.1. Система элементов {gj } H является базисом Рисса тогда и только тогда, когда в H существует эквивалентное скалярное произведение (т.е. скалярное произведение, порождающее эквивалентную норму) такое, что в этом скалярном произведении {gj } является ортонормированным базисом.

Доказательство. Пусть {gj } базис Рисса в H, т.е. gj = T ej, j = 1, 2,..., оператор T ограничен и ограниченно обратим, а {ej } ортонормированный базис в H.

Введем в H новое скалярное произведение:

Тогда т.е. {gj } ортонормированная система (и ортонормированный базис) в новом скалярном произведении.

Поскольку T непрерывный и непрерывно обратимый оператор, т.е. нормы · и · 1 эквивалентны.

Докажем теперь, что если {gj } ортонормированный базис в новом скалярном произведении (·, ·)1, эквивалентном исходному (·, ·), то {gj } является базисом Рисса в H, т.е. существует такая ортонормированная система {ej } и такой непрерывный и непрерывно обратимый оператор T, что gj = T ej, j = 1,.

Так как скалярные произведения (·, ·) и (·, ·)1 эквивалентны, то, согласно известной из курса функционального анализа теореме Лакса–Мильграма (ее доказательство основано на известной теореме Рисса об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве), существует непрерывный равномерно положительно оператор S такой, что Так как {gj } ортонормированный базис в скалярном произведении (4.1), то выполнены свойства (4.2) и из (4.3) имеем Если теперь ввести векторы ej = S 1/2 gj, j = 1, 2,..., то т.е. {ej } ортонормированный базис в исходном скалярном произведении. Положив T = S 1/2, получим где T ограниченный и ограниченно обратимый оператор.

Перейдем теперь к рассмотрению вопросов базисности системы элементов в пространстве.

ортонормированной, если Докажем следующий аналог свойства ортонормированных систем в гильбертовом пространстве.

Лемма 4.2. Полная J-ортонормированная система элементов в является базисом Рисса в этом пространстве.

Доказательство. Рассмотрим подпространства и введем линеал L+ [+]L. Так как dim L+, то т.е. L+ [+]L подпространство. Поскольку по условию {ej } полная система, то линейными комбинациями элементов системы {ej } можно как угодно точно приблизить любой элемент из. Значит, При этом элементы ej 0 образуют ортонормированный базис в L+ по отношению к скалярному произведению (·, ·) = [·, ·], а элементы ej 0 соответственно ортогональный базис в L по отношению к скалярному произведению (·, ·) = [·, ·]. Объединение всей совокупности элементов {ej } образует ортогональный базис в по отношению к каноническому скалярному произведению отвечающему разложению (4.8).

Если в было задано другое эквивалентное скалярное произведение, то, согласно лемме 4.1, система элементов {ej } будет базисом Рисса в с заданным скалярным произведением.

Определение 4.4. Система элементов {ej } называется почти J-ортонормированной, если ее можно представить как объединение J-ортонормированной системы {gj } и системы {fj }m, m N, состоящей из конечного набора линейно независимых элементов fj, j = 1,..., m, причем Теорема 4.1. Полная почти J-ортонормированная система является базисом Рисса в.

Доказательство. Введем подпространства Так как dim L, то, как и при доказательстве леммы 4.2, имеем Тогда L и M невырожденные подпространства пространства, и потому Пусть соответствующие канонические разложения пространств 1 и 2. Тогда каноническое разложение пространства. Ему отвечают проекторы P+ и P, оператор канонической симметрии J = P+ P и каноническое дефинитное скалярное произведение Итак, имеем Так как элементы системы {fj }m линейно независимы, то они обj= разуют базис в 1 = L, так как L конечномерно: dim L = m. Как известно из линейной алгебры, в этом случае любой элемент x из L можно разложить как по базису {fj }m, так и по любому ортонорj= мированному базису {ej }m, причем где T1 : L L ограниченный и ограниченно обратимый оператор (матрица), связанный с переходом от ортонормированного базиса {ej }m к базису {fj }m. Из (4.19) следует, что Далее, по построению система элементов {gj } является J – ортонормированной и полной в M = 2, поэтому, согласно теореме 4.1, она является базисом Рисса в M. Значит, найдется ограниченный и ограниченно обратимый оператор T2 : M M и ортонормированный базис {ej }j=m+1 M такие, что gjm = T2 ej, По операторам T1 и T2 и ортонормированному разложению (4.18) пространства введем оператор T :, действующий по закону Тогда Так как здесь {ej } J – ортонормированный базис в, а опеj= ратор T по построению ограничен и ограниченно обратим, то полная почти J – ортонормированная система элементов {fj }m {gj } является базисом Рисса в.

Цель дальнейших рассмотрений исследовать вопрос о полноте и базисности системы корневых векторов J-самосопряженного компактного оператора, действующего в. Эта теорема обобщает соответствующее утверждение для самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве H, т.е. теорему Гильберта–Шмидта, которая гласит:

Теорема 4.2. Каков бы ни был компактный самосопряженный оператор A, действующий в гильбертовом пространстве H, в этом пространстве существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов оператора A.

Приведем простейшие примеры использования полных систем и базисов при решении линейных уравнений в пространстве, либо в обычном гильбертовом пространстве H.

Пусть задан оператор A : и система {gj } его собственных векторов, которая, по условию, полна в. Пусть Aj gj = j gj, где j соответствующие собственные значения оператора A.

Рассмотрим уравнение Ax = y, где y заданный элемент.

Если оператор A обратим, то x = A1 y. Как найти приближенно решение x, используя полную систему собственных элементов оператора A и его собственные значения? Приблизим элемент y послеn) довательностью элементов yn = k=1 k gk и будем искать приблиn) женное решение x в виде xn = k=1 k gk. Тогда коэффициенты разложения элементов yn y (n ).

где k Возникает вопрос о том, когда при n приближенное решение сходится к точному. Если 0 (A), то либо n могут стремиться к нулю при n, либо какие-то собственные значения равны нулю, т.е. в случае 0 (A) мы не можем гарантировать сходимость векторов xn к решению x.

Если 0 (A), то |n | c 0, и сходимость xn к решению есть.


гда k = k /k, т.е. x = k=1 gk. Поэтому задача имеет решение тогда и только тогда, когда формальное решение x принадлежит пространству. При 0 (A) ряд k=1 k gk сходится, а при 0 (A) сходимости может не быть. Если, в частности, j = 0 при некотором j, то необходимо, чтобы j = 0. Это необходимое условие разрешимости задачи.

Если {gj } ортонормированный базис, то формально выпиj= санное решение x H тогда и только тогда, когда k=1 |k /k | Аналогичный подход с использованием собственных (корневых) элементов оператора A, обладающих свойством полноты либо базисности, применим и к вопросам разрешимости задачи Коши в гильбертовом либо банаховом пространстве.

Перейдем теперь к формулировке и доказательству центральной спектральной теоремы данного курса лекций.

Теорема 4.3 (о полноте и базисности). Пусть Jсамосопряженный оператор A : компактен, и L (A) его корневые линеалы. Обозначим Тогда:

1. Система корневых элементов оператора A полна тогда и только тогда, когда подпространство L0 (A) невырождено, т.е.

2. Если E(A) =, то а {H; [·, ·]} гильбертово пространство. При этом и H инвариантны относительно оператора A:

3. Если E(A) =, то в существует почти Jортонормированный базис, составленный из жордановых цепочек оператора A.

Доказательство. 1. Сперва докажем, что E(A) невырожденное подпространство тогда и только тогда, когда L0 (A) невырождено.

В самом деле, пусть L0 (A) вырождено и x0 L0 (A) L0 (A)[]. В силу следствия 3.1 вектор x0 J-ортогонален всем корневым линеалам оператора A, a потому и E(A), т.е. x0 изотропный вектор в E(A).

Пусть теперь подпространство E(A) вырождено и E(A)0 его изотропная часть. Поскольку dim E(A)0 и инвариантно относительно A, то E(A)0 содержит собственный вектор y0 оператора A, отвечающий собственному значению 0. Так как x0 изотропный вектор в E(A), то он будет изотропным и в L0 (A). Остается доказать, что 0 = 0. Последнее следует из следствия 3.2 с учетом того, что все собственные значения компактного оператора, кроме нуля, нормальные собственные значения и потому соответствующие корневые линеалы невырождены.

Для завершения доказательства пункта 1 достаточно показать, что E(A) = тогда и только тогда, когда E(A) невырождено. В самом деле, если E(A) вырождено, то равенства быть не может.

Пусть E(A) невырождено. Тогда все пространство можно представить как J-ортогональную сумму инвариантных относительно A подпространств E(A) и его J-ортогонального дополнения:

Поскольку E(A) содержит существующее в силу теоремы 3. -мерное неотрицательное (инвариантное) подпространство и E(A) невырождено, то оно содержит -мерное положительное подпространство, что влечет отрицательность E(A)[]. Следовательно, {E(A)[], [·, ·]} гильбертово пространство. Из теоремы 4. Гильберта–Шмидта следует, что самосопряженный компактный оператор A|E(A)[] имеет хотя бы один собственный вектор. Но это противоречит тому, что все собственные векторы оператора A лежат в E(A) и это подпространство невырождено. Таким образом, единственный возможный вариант E(A)[] = {0}, т.е. E(A) =.

2. Пусть L0 изотропная часть ядра оператора A: L0 = ker A ker A[]. Тогда ker A = L0 L1, где L1 невырожденное подпространство (см. следствие 3.2). Рассмотрим разложение Подпространства L1, L1 невырождены и потому являются пространствами Понтрягина (см. следствие 2.1) с 0 и 1 положительными квадратами, соответственно, причем 0 + 1 =. Обозначим A1 := A|L1. По построению все корневые подпространства оператора A1 конечномерны и из невырожденности E(A) следует, что они и невырождены. В самом деле, для ненулевых собственных значений конечномерность вытекает из того, что оператор A1 компактен.

Что касается = 0, то здесь надо воспользоваться упражнением 3.4 с учетом того, что ker A1 = L0 конечномерное нейтральное подпространство. В силу следствия 3.1 оператор A1 имеет конечное число собственных значений таких, что соответствующие корневые подпространства содержат хотя бы один неотрицательный вектор.

Обозначим через линейную оболочку таких подпространств и любого положительного 0 -мерного подпространства из L1. По построению, конечномерное пространство Понтрягина с положительными квадратами, инвариантное относительно A.

Следовательно, его J-ортогональное дополнение H отрицательное подпространство, также инвариантное относительно A.

3. Утверждение этого пункта прямо следует из (4.27) с учетом того, что в конечномерном пространстве по любому оператору можно построить базис, состоящий из его жордановых цепочек (основная теорема алгебры), а также надо использовать, что в гильбертовом пространстве H есть ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов самосопряженного компактного оператора A|H (теорема 4.2 Гильберта–Шмидта).

Следствием из теоремы 4.3 является следующее утверждение, доказательство которого предоставляем читателю. Впрочем, оно прямо следует из приведенных выше в доказательстве теоремы 4.3 построений.

Теорема 4.4. Система собственных элементов компактного Jсамосопряженного оператора A, действующего в, образует Jортонормированный базис в, тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

1. Невещественный спектр оператора A пустое множество, 2. Для всех вещественных собственных значений µk = 0 выполнены свойства Lµk (A) = ker(A µk I).

3. Подпространство ker A невырождено.

5 Задача С.Г. Крейна Обратим внимание на то, что индефинитная метрика может порождать пространство Понтрягина не только тогда, когда задано каноническое разложение. Пусть H гильбертово пространство, T самосопряженный ограниченный оператор. Введем в H индефинитную метрику [x, y] = (T x, y). Предлагаем читателю самому доказать следующее утверждение.

Теорема 5.1. Индефинитное пространство {H, [x, y] = (T x, y)} является пространством Понтрягина с положительными (отрицательными) квадратами тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

2. множество (T ) (0, ) ((, 0),соответственно) состоит из конечного числа собственных значений (с учетом кратности).

В частности, обратимые операторы вида T = I + S, где S компактный оператор: S S, порождают пространство Понтрягина с конечным числом отрицательных квадратов, а обратимые операторы вида T = I + S, где S S, порождают пространство Понтрягина с конечным числом положительных квадратов.

В качестве иллюстрации того, как могут быть применены теоремы 4.3 и 4.4, рассмотрим известную спектральную проблему С.Г.

Крейна, связанную с задачей о нормальных колебаниях тяжелой вязкой жидкости в открытом сосуде. Такая задача возникла в 1964 г. и породила многочисленные исследования как математиков– теоретиков, так и прикладников.

С использованием методов функционального анализа и уравнений в частных производных спектральная составляющая задачи о нормальных колебаниях тяжелой вязкой жидкости в открытом сосуде приводится к изучению спектральной задачи в некотором гильбертовом пространстве H. Операторы P и Q в (5.1) обладают свойствами Введем в рассмотрение функцию по :

принимающую значения во множестве компактных операторов. Будем говорить, что точка 0 регулярная точка для A(), если 1 (A(0 )). В противном случае, 0 точка спектра функции A(). Число 0 называется собственным для A(), с соответствующим собственным вектором x0, если векторы x1, x2,..., xm называются присоединенными к собственному вектору x0, если выполнено следующее условие:

Упорядоченное множество {x0, x1,..., xm } называется жордановой цепочкой функции A(), соответствующей собственному значению Образуем векторы специального типа:

Говорят, что система жордановых цепочек функции A() дважды полна (дважды базисна в H, если множество векторов специального типа полно в H H (базисно в H H, соответственно).

Таким образом, спектральная задача сводится к решению вопросов о полноте и о базисности векторов специального типа. Проблема полноты была решена сначала С.Г. Крейном (1964), а затем в более абстрактной форме в соавторстве с Н.К. Аскеровым и Г.И.Лаптевым (1968). Была произведена замена параметра:

и в сдвоенном пространстве H H построен оператор, обладающий полной системой корневых векторов и для которого векторы специального типа образуют жордановы цепочки.

Что касается базисности векторов специального типа, то эта проблема была решена, по-видимому, независимо В.Г. Гринли (W.H.

Greenlee) (1971) и Е.А. Ларионовым (1972), которые следовали идее Аскерова–Крейна–Лаптева, но использовали чуть другую замену параметра и нашли компактный J-самосопряженный оператор A, действующий в H2 := H H, для которого векторы специального типа образуют жордановы цепочки, а корневой линеал в нуле совпадает с ядром оператора и дефинитен, а потому невырожден.

Остается воспользоваться теоремой 4.3.

Более подробно об этом в следующей ниже теореме 5.3. Прежде напомним другую теорему Гохберга о компактных возмущениях.

Теорема 5.2 (И.Ц. Гохберг). Пусть T () аналитическая функция, заданная на открытом множестве C и принимающая значения во множестве компактных операторов. Если существует такое 0, что 1 (T (0 )), то 1 (T ()) для всех, за исключением, быть может, счетного множества, сгущающегося к границе множества.

Теорема 5.3. Если P и Q самосопряженные компактные операторы:

действующие в гильбертовом пространстве H, A() = P + 1 Q, то система жордановых цепочек функции A() дважды базисна в H, т.е. в H2 существует базис Рисса, составленный из векторов специального типа (5.3).

Доказательство. Для простоты изложения дополнительно предположим, что Если это было бы не так, то можно было бы произвести замену параметра = a, a 0, и перейти от операторов P, Q к операторам aP, a Q с новым параметром. При этом a нужно выбрать так, чтобы ±1 (A(a)). Такое положительное a существует в силу теоремы Гохберга 5.2. В самом деле, для этого достаточно положить T () = A(), = C\{0} и 0 = i: ±1 (A(i)).

Перепишем уравнение (5.1) в следующих двух формах:

После замен приходим к системе уравнений, которая в векторно-матричной форме принимает вид Введем в рассмотрение следующие матрицы и векторы в H2 :

и перепишем (5.6) в виде:

компактные самосопряженные операторы в H2, I где S и A единичный оператор в H2. Из предположения (5.4) следует, что ядро оператора I + S тривиально, а поскольку S компактный оператор, то I + S непрерывно обратим на всем H2. При этом, оператор После замен приходим к спектральной задаче с компактным оператором A. Введем в рассмотрение индефинитную метрику:

Согласно теореме 5.1, пространство {H2, [·, ·]} пространство Понтрягина, а оператор A самосопряжен относительно индефинитной метрики:

Так как A компактный оператор, то система его корневых элементов, согласно теореме 4.3, полна и базисна, если L0 (A) = {0}.

Докажем, что выполнено даже более сильное свойство, а именно, что корневой линеал оператора A в нуле совпадает с ядром этого оператора и это ядро положительно:

Пусть v ker A, т.е. A(I + P)v = 0, v = H2. Тогда Отсюда имеем Убедимся, что элемент v положителен, т.е. [v, v] 0.

Действительно, Таким образом, свойство полноты и базисности системы корневых элементов задачи (5.10) доказано.

В связи с большой трудоемкостью мы опускаем доказательство того, что в каждом корневом линеале L (A) существует базис, составленный из жордановых цепочек векторов специального типа (5.3).

Если же функция A() не имеет невещественных собственных значений, а вещественным собственным значениям отвечают лишь собственные элементы (а присоединенные отсутствуют), то система собственных элементов задачи (5.10), отвечающая всем вещественным собственным значениям, включая точку нуль, образует базис, ортонормированный относительно индефинитной метрики (5.11).

Отметим в заключение, что последняя ситуация реализуется в гидродинамической задаче (5.1) в случае, когда вязкость жидкости достаточно велика или, что равносильно, операторы P и Q достаточно малы по норме, например, если Список литературы [1] Азизов Т.Я., Иохвидов И.С. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой. М.: Наука, 1986.

[2] Азизов Т.Я., Иохвидов И.С. Линейные операторы в пространстве с индефинитной метрикой. Математический нализ // Итоги науки и техники, ВИНИТИ. Математический анализ, т. 17, М.: Наука, 1979.

[3] Гинзбург, Иохвидов И.С. Исследования по геометрии бесконечномерных пространств. // УМН, т. 17, № 4, 1962.

[4] Азизов Т.Я., Иохвидов И.С. Линейные операторы в гильбертовом пространстве с G – метрикой. // УМН, т. 26, № 4, 1971.

[5] Крейн М.Г. Введение в геометрию индефинитных J– пространств и теорию операторов в этих пространствах. II летняя математическая школа, т.1, Киев, 1965.

[6] Иохвидов И.С., Крейн М.Г. Спектральная теория операторов в пространствах с индефинитной метрикой. Труды ММО, I, 1956, т.5; II, 1959, т.8.

[7] Iohvidov I.S., Krein M.G., Langer H. Introduction to the Spectral Theory of Operators in Spaces with an Indenite Metric. AkademieVerlag, Berlin, 1982.

Введение в теорию пространств Понтрягина для студентов-магистрантов специальности ”Математика” Копачевский Николай Дмитриевич Корректура и верстка: Газиев Э.Л.

Бумага тип. ОП. Объем п.л. Тираж 100. Заказ – Таврический национальный университет им. В.И. Вернадского

Pages:     | 1 ||
 


Похожие работы:

«Константин Константинович Колин, д.т.н., проф., Институт проблем информатики РАН, kolinkk@mail.ru ФИЛОСОФИЯ ИНФОРМАЦИИ: СТРУКТУРА РЕАЛЬНОСТИ И ФЕНОМЕН ИНФОРМАЦИИ Доклад на 10-м заседании семинара Методологические проблемы наук об информации (Москва, ИНИОН РАН, 7 февраля 2013 г.) Аннотация Рассматривается философская сущность феномена информации как проявления одного из всеобщих фундаментальных свойств реальности окружающего нас мира. Показана связь феномена информации со структурой реальности,...»

«O‘z DSt 2311:2011 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ УЗБЕКИСТАНА Система стандартов по информации, библиотечному и издательскому делу ИЗДАНИЯ. ЗНАК ОХРАНЫ АВТОРСКОГО ПРАВА Общие требования и правила оформления Издание официальное Узбекское агентство стандартизации, метрологии и сертификации Ташкент O‘z DSt 2311:2011 Предисловие 1 РАЗРАБОТАН Государственным унитарным предприятием Центр научно-технических и маркетинговых исследований - UNICON.UZ (ГУП UNICON.UZ) 2 ВНЕСЕН Техническом комитетом по...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт) ВРЕМЯ И ИНФОРМАЦИЯ (время в информатике/виртуальной реальности и в информационных процессах: философский, теоретический и практический аспекты) Сборник научных трудов Новочеркасск НОК 2011 1 УДК 115:00 ББК 87.21:72 В 81 Редакционная коллегия: В.С. Чураков (председатель редакционной коллегии), П.Д. Кравченко, Н.Е. Галушкин, А.М. Анисов, В.А....»

«Государственная публичная научно-техническая библиотека Сибирского отделения Российской академии наук Новости ГПНТБ СО РАН № 2 (апрель – июнь) 2007 НОВОСИБИРСК Составитель Е.Б. Соболева Ответственный за выпуск И.А. Гузнер Новости ГПНТБ СО РАН. № 2 (апрель – июнь 2007). – Новосибирск. – 2007. – 95 с. – Ежекв. Цель издания – информировать коллектив ГПНТБ СО РАН и библиотечную общественность о важнейших событиях и результатах работы по основным направлениям деятельности различных подразделений...»

«Математическая биология и биоинформатика. 2013. Т. 8. № 2. С. 679–690. URL: http://www.matbio.org/2013/Pankratova_8_679.pdf ================= ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ДАННЫХ ================= УДК: 612.825.5+004.925 Обнаружение патологической активности головного мозга по данным магнитной энцефалографии *1 1,2,3, Линас Р.Р.2 ©2013 Панкратова Н.М., Устинин М.Н. 1 Институт математических проблем биологии, Российская академия наук, Пущино, Московская область, 142290, Россия 2 Нью-Йоркский...»

«УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ ГОМЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ФРАНЦИСКА СКОРИНЫ УДК 004.942 ЕРОФЕЕВА Елена Анатольевна МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ОБРАБОТКИ ВАГОНОПОТОКОВ НА ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНЫХ СТАНЦИЯХ ПРОИЗВОЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ Гомель, 2013 Работа выполнена в учреждении образования Белорусский государственный университет...»

«РЕЕСТР ВЕДУЩИХ НАУЧНЫХ И НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ШКОЛ САНКТ-ПЕТЕРБУРГА Руководители ведущих научных и научно-педагогических школ Санкт-Петербурга № Руководитель НПШ Научная область деятельности НПШ Вуз (научная организация) пп Российский научно-исследовательский Абдулкадыров Кудрат Гематология, онкогематология институт гематологии и трансфузиологии 1 Мугутдинович ФМБА Айламазян Эдуард Иммунология репродукции, Научно-исследовательский институт 2 Карпович акушерство и гинекология акушерства и...»

«Казанский (Приволжский) федеральный университет Научная библиотека им. Н.И. Лобачевского Новые поступления книг в фонд НБ с 29 августа по 25 сентября 2013 года Казань 2013 1 Записи сделаны в формате RUSMARC с использованием АБИС Руслан. Материал расположен в систематическом порядке по отраслям знания, внутри разделов – в алфавите авторов и заглавий. С обложкой, аннотацией и содержанием издания можно ознакомиться в электронном каталоге...»

«ОБОСНОВАНИЕ К ПРОЕКТАМ ФЕДЕРАЛЬНЫХ ГОСУДАРСТВЕННЫХ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ СТАНДАРТОВ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ПО УРОВНЮ БАКАЛАВРИАТА И УРОВНЮ МАГИСТРАТУРЫ ПО НАПРАВЛЕНИЮ ПОДГОТОВКИ СТАТИСТИКА Обоснование соответствия предлагаемого проекта ФГОС ВПО стратегическим целям развития высшего профессионального образования, потребностям обучающихся, общества и рынка труда В соответствии с потребностями общества, смены парадигмы стандартизации высшего профессионального образования, а также с...»

«Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Овсянниковская средняя общеобразовательная школа Орловского района Орловской области Публичный доклад общеобразовательного учреждения Директор школы Базанова Раиса Петровна д. Овсянниково, 2012 г. 1 I. Информационная справка В 2011–2012 уч. году в школе обучалось 250 человек, насчитывалось 21 класскомплект, в том числе 1–4 классов – 10 (129), 5-9 классов – 9 (107), 10-11 классов – 2 (14). Все учащиеся переведены в следующий класс. Качество...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тверской государственный университет Факультет прикладной математики и кибернетики УТВЕРЖДАЮ Руководитель направления подготовки магистров _С.М.Дудаков 23марта2012 г. Учебно-методический комплекс по дисциплине Методы математического моделирования для магистров 1 курс, 1, 2 семестр Направление подготовки 0104000- прикладная математика и информатика...»

«Министерство образования Республики Беларусь Т.Ф. Михнюк ОХРАНА ТРУДА Допущено Министерством образования Республики Беларусь в качестве учебного пособия для студентов учреждений, обеспечивающих получение высшего образования по специальностям в области радиоэлектроники и информатики Минск ИВЦ Минфина 2007 2 Оглавление Введение Раздел 1 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОХРАНЫ ТРУДА 1.1 Предмет, цели и задачи курса “Охрана труда” 1.2 Региональные особенности состояния охраны и гигиены труда в мире 1.3...»

«МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Р.Е. Алексеева (НГТУ) РЕФЕРАТ по истории и философии науки аспиранта, соискателя Пиманкина Дениса Андреевича (нужное подчеркнуть) (фамилия, имя, отчество) Факультет Факультет подготовки специалистов высшей квалификации Кафедра Компьютерные технологии в проектировании и производстве Специальность 05.13.17 Теоретические...»

«Документ по ядерному регулированию ISBN 978-92-64-99044-9 ЦЕЛИ РЕГУЛИРОВАНИЯ ПРИ ОБЕСПЕЧЕНИИ ЯДЕРНОЙ БЕЗОПАСНОСТИ Оригинальное издание OECD на английском языке: The Regulatory Goal of Assuring Nuclear Safety, NEA № 6273 © 2008 OECD Все права сохраняются. © 2008 г. НТЦ ЯРБ НТЦ ЯРБ (Россия) несет ответственность за данное российское печатное издание Публикуется по согласованию с OECD, Париж. ОЭСР 2008 АЯЭ № 6273 АГЕНТСТВО ПО ЯДЕРНОЙ ЭНЕРГИИ ОРГАНИЗАЦИЯ ЭКОНОМИЧЕСКОГО СОТРУДНИЧЕСТВА И РАЗВИТИЯ...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Амурский государственный университет УТВЕРЖДАЮ Зав. кафедрой ОМиИ _Г.В. Литовка _2012 г. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА для направления подготовки 031100.62 – Лингвистика Составитель: О.А. Лебедь, старший преподаватель Благовещенск, 2012 Печатается по решению редакционно-издательского совета факультета математики и информатики Амурского государственного университета О.А. Лебедь Учебно-методический...»

«ВЫСШЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ В. В. ЮРКЕВИЧ, А. Г. СХИРТЛАДЗЕ НАДЕЖНОСТЬ И ДИАГНОСТИКА ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ УЧЕБНИК Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности Металлообрабатывающие станки и комплексы направления подготовки Конструкторско технологическое обеспечение машиностроительных производств 1 УДК 669.056(075.8) ББК 34.6я73 Ю Р е ц е н з е н т ы: зав. кафедрой Компьютерные...»

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК Санкт-Петербургский институт информатики и автоматизации Посвящается 30-летию Санкт-Петербургского института информатики и автоматизации Российской академии наук В.В. Александров С.В. Кулешов О.В. Цветков ЦИФРОВАЯ ТЕХНОЛОГИЯ ИНФОКОММУНИКАЦИИ Передача, хранение и семантический анализ ТЕКСТА, ЗВУКА, ВИДЕО Санкт-Петербург НАУКА 2008 1 УДК 004.2:004.6:004.7 ББК 32.973 А Александров В.В., Кулешов С.В., Цветков О.В. Цифровая технология инфокоммуникации. Передача, хранение и...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ Информатика Электронный курс лекций Иркутск 2013 УДК 004:33 ББК 65.39 И 74 Составитель: Е.И. Молчанова, д. т. н., профессор кафедры Информатика, ИрГУПС Рецензенты: Л.В. Аршинский, д. т. н., зав. кафедрой Информационные системы, ИрГУПС; С.А. Баранов, зам. начальника кафедры информационно-правовых дисциплин, иностранных языков и культуры речи, ВСИ МВД России Информатика : электронный курс...»

«База нормативной документации: www.complexdoc.ru ВСЕСОЮЗНЫЙ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ТРАНСПОРТНОГО СТРОИТЕЛЬСТВА НАСТАВЛЕНИЕ ПО ИСПЫТАНИЯМ ГРУНТОВ В МАССИВАХ Одобрено Главтранспроектом Москва 1981 ПРЕДИСЛОВИЕ Для повышения информативности изысканий, точности и надежности инженерно-геологического обоснования проектов дорожных сооружений и их комплексов существенное значение имеет развитие испытаний грунтов в массивах. Методика ряда испытаний регламентирована государственными...»

«ИСТОРИЯ И МЕТОДОЛОГИЯ ИНФОРМАТИКИ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ Введение Цели, задачи, структура курса Целью изучения дисциплины История и методология информатики и вычислительной техники является: обобщение и систематизация знаний об истории развития информатики и вычислительной техники; анализ предпосылок формирования тенденций развития вычислительных и информационных ресурсов в историческом аспекте; формирование представления о методологии научных исследований; освоение методов...»






 
© 2014 www.kniga.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Книги, пособия, учебники, издания, публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.