WWW.KNIGA.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Книги, пособия, учебники, издания, публикации

 


Pages:   || 2 |

«Т.Я. АЗИЗОВ, Н.Д. КОПАЧЕВСКИЙ ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ПРОСТРАНСТВ ПОНТРЯГИНА Специальный курс лекций для студентов-магистрантов специальности ”Математика” Симферополь, 2008 ...»

-- [ Страница 1 ] --

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

УКРАИНЫ

Таврический национальный университет

им. В. И.Вернадского

Т.Я. АЗИЗОВ, Н.Д. КОПАЧЕВСКИЙ

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ПРОСТРАНСТВ

ПОНТРЯГИНА

Специальный курс лекций

для студентов-магистрантов специальности ”Математика”

Симферополь, 2008 ББК 22.162 А35 УДК 517.98 Рекомендовано к печати научно-методической комиссией факультета математики и информатики ТНУ (протокол № 2 от 12.11.2008 г.) Рецензент :

Орлов И.В. – д. ф.-м. н., профессор, зав. кафедрой алгебры и функционального анализа Таврического национального университета им. В.И.

Вернадского А35 Азизов Т.Я., Копачевский Н.Д. Введение в теорию пространств Понтрягина: Специальный курс лекций. – Симферополь:

ТНУ, 2008. – 112 с. – На русском языке.

В курсе лекций содержатся основные положения геометрии пространства Понтрягина и теории операторов, действующих в них, а также рассматривается спектральный подход к исследованию гидродинамического пучка С.Г. Крейна.

Изложение сопровождается примерами и упражнениями, что позволяет рекомендовать пособие как для аудиторных занятий, так и самостоятельного изучения.

Для студентов-магистрантов, аспирантов и специалистов, специализирующихся в области математики.

c Азизов Т.Я., Копачевский Н.Д., c ТНУ, Содержание Краткие исторические сведения и цели курса 1 Предварительные сведения 2 Введение в геометрию пространства Понтрягина 3 Элементы теории операторов в пространстве Понтрягина 4 Полнота и базисность корневых векторов 5 Задача С.Г. Крейна Краткие исторические сведения и цели курса Бесконечномерные пространства с индефинитной метрикой стали систематически изучаться после знаменитой работы Л.С. Понтрягина (1944), в которой доказывалось (в современной терминологии) существование -мерного неотрицательного инвариантного подпространства у самосопряженного оператора в пространстве Понтрягина. Об интересе к такого рода результатам, как пишет в своей статье Л.С. Понтрягин, он узнал от С.Л. Соболева, изучавшего в то время проблемы устойчивости в гидродинамике и получившего аналогичный результат при = 1. Оригинальная работа С.Л. Соболева увидела свет лишь в 1960 г. После статьи Понтрягина появилась целая серия работ М.Г. Крейна и его учеников, в которых изучались как геометрия, так и теория операторов в пространствах с индефинитной метрикой, называемых сейчас пространствами Крейна. Сейчас теория пространств Понтрягина и Крейна является достаточно востребованной в различных приложениях, как в сложных теоретических направлениях математики, так и в прикладных, в частности, в механике. Мы не будем останавливаться подробно на истории вопроса, а также избежим ссылок в тексте, указав в библиографии литературу, где читатель может ознакомиться, кроме прочего, также с вопросами приоритетов.





Целью данного курса является краткое введение в геометрию и теорию операторов в пространствах Понтрягина. В тексте лекций излагаются, как хорошо известные результаты (для наиболее важных, с нашей точки зрения, указывается авторство), так и новые.

Найдены и новые методические подходы. В конце курса приводится схема применения одной из спектральных теорем к исследованию гидродинамического пучка С.Г. Крейна.

1 Предварительные сведения При изучении данного курса лекций потребуется знание основных положений теории линейных векторных пространств, теории гильбертовых пространств, а также теории линейных нормированных пространств. Напомним кратко некоторые из них.

Множество E произвольной природы называется комплексным линейным пространством (линейной системой, линеалом), если для элементов из E определены операции сложения двух элементов и операция умножения элемента на комплексное число. При этом x + y E, x, y E,, C;

здесь через C обозначено множество комплексных чисел. Будем говорить, что E линейное нормированное пространство, если для элементов из E определена функция (функционал) · : E R, для которой выполнены следующие условия:

Определение 1.1. Последовательность {xn } E называется фундаментальной, если Определение 1.2. Линейное пространство E с нормой · (краткая запись {E, · }) называется полным (банаховым), если всякая фундаментальная последовательность {xn } E имеет (и тогда единственный) предел x0 := lim xn E. (Иными словами, Далее будем считать, что {E, · } банахово пространство.

Определение 1.3. Функция (полутора-линейная форма) (·, ·) : E C называется скалярным произведением, если 3) (x, y) = (y, x).

Определение 1.4. Банахово пространство E называется гильбертовым (будем обозначать, как правило, H), если его норма порождена скалярным произведением (·, ·), т.е. x := (x, x).

Буняковского–Шварца:

Далее мы в подавляющем большинстве случаев будем иметь дело с гильбертовыми пространствами, оснащенными специальными структурами. Часть упомянутых или доказываемых результатов справедлива также и в более общем случае банаховых или даже общих топологических пространств, но мы будем себя ограничивать только случаем гильбертова пространства.

Замечание 1.1. Как нетрудно проверить, неравенство Коши– Буняковского–Шварца справедливо не только для скалярного произведения, но и в случае, когда в первом условии определения 1. ограничиться только условием (x, x) 0, опустив требование (x, x) = 0 x = 0, либо заменить его на (x, x) 0 для любого x.

Всюду ниже термином подпространство пространства H будем называть замкнутый линеал, т.е. такую линейную систему элементов из H, которая содержит все свои предельные точки.

Определение 1.5. Пусть L и M линеалы из H. Тогда суммой линеалов называется множество Пусть L и M подпространства в H, т.е. L = L, M = M. Будет ли сумма этих подпространств подпространством, т.е. всегда ли Оказывается, не всегда. Однако, если L и M ортогональны: LM, т.е. (x, y) = 0 для x L, y M, то (1.1) проверяется непосредственно.

Другой пример, когда имеет место (1.1), отображен в следующей лемме.

Лемма 1.1. Если L и M подпространства в H и то и их сумма подпространство.

Приведем пример пары подпространств L и M, когда свойство (1.1) не выполнено.

Пример 1.1. Пусть H = L2 (0, 1) L2 (0, 1), Тогда множество L + M плотно в H, но не совпадает с H.

Предоставляем читателю самостоятельно доказать лемму 1.1 и проверить справедливость утверждения в примере 1.1.

Напомним определение и свойства линейных операторов, действующих гильбертовых пространствах.

Определение 1.6. Пусть H гильбертово пространство. Отображение A с областью определения dom A H и областью значения ran A H (кратко запишем A : H H ) называется линейным оператором, если выполнены следующие условия:

(б) A(x + y) = Ax + Ay, Далее, если не оговорено другое, под термином "оператор" будет подразумеваться линейный оператор и, как правило, будем считать dom A = H, т.е. оператор A будет задан на всем пространстве H.

Определение 1.7. Оператор A : H H называется непрерывным, если из сходимости векторов xn к вектору x0 следует сходимость векторов Axn к Ax0, т.е.

Определение 1.8. Оператор A : H H называется ограниченным, если Как известно из курса функционального анализа, оператор A :

H H является непрерывным тогда и только тогда, когда он ограничен. Поэтому далее для линейного оператора будут как синонимы использоваться оба понятия, ограниченного и непрерывного оператора.

Определение 1.9. Оператор A, заданный на линеале dom A H, называется замкнутым, если Приведем некоторые простые примеры операторов.

Пример 1.2. Пусть H = L2 (0, 1) и оператор I : I x = x (тождественный оператор) задан на множестве {x(t)} абсолютно непрерывных функций, имеющих представление Непосредственно проверяется, что так определенный оператор I является ограниченным: I = 1, плотно заданным, но не замкнутым.

Пример 1.3. Пусть, как и в примере 1.2, H = L2 (0, 1) и A оператор дифференцирования, т.е.

причем dom A H та же, что и в примере 1.2. Тогда, как известно, оператор (1.2) замкнут, но неограничен в L2 (0, 1).

Далее понадобится следующий хорошо известный факт.

Теорема 1.1 (С. Банах). Пусть A линейный оператор, действующий в H. Тогда:

(1) замкнутый оператор A непрерывен тогда и только тогда, когда (2) непрерывный оператор A замкнут тогда и только тогда, когда выполнено свойство (1.3).

Предоставляем читателю сравнить утверждения теоремы Банаха и свойства операторов из примеров 1.2 и 1.3.

Определение 1.10. Оператор P : H H называется проектором (оператором проектирования), если P 2 = P, т.е. P (P x) = P x, x проектор, то пространство H разлагается в сумму:

где P x P H, а (I P )x (I P )H. Отметим, что (I P ) проектор одновременно с P.

2 Введение в геометрию пространства Пусть E линейное пространство, не обязательно нормированное.

Зададим на E полутора-линейную форму (в вещественном E форма называется билинейной) [·, ·] : E E C, для которой выполнены следующие требования:

Полутора-линейную форму [·, ·] называют также индефинитной метрикой, а пространство {E, [·, ·]} пространством с индефинитной метрикой.

Из первого свойства следует, в частности, что для любого элемента x E выражение [x, x] может быть положительным, отрицательным или нулем.

Определение 2.1. Элемент x E называется:

д) нейтральным, если [x, x] = 0.

Соответствующим образом определяются и линеалы L E.

Определение 2.2. Линеал L E называется:

в) отрицательным, если [x, x] 0, д) нейтральным, если [x, x] = 0, При этом отрицательные и положительные линеалы называются дефинитными, а неотрицательные и неположительные, в частности нейтральные, семидефинитными. Линеалы, содержащие как положительные так и отрицательные векторы, называются индефинитными.

Целью этого курса является изучение геометрии пространства Понтрягина и теории операторов в этих пространствах. Пространство Понтрягина специальный случай индефинитного пространства и по определению удовлетворяет формулируемым ниже аксиомам (i) (iv).

Определение 2.3. Пространство {E, [·, ·]} называется пространством Понтрягина с положительными квадратами и обозначается, если выполнены следующие аксиомы:

(i) в E нет ненулевого вектора, ортогонального всему E, т.е.

(ii) в E существует хотя бы одно -мерное, N, положительное подпространство;

(iii) для любых + 1 векторов {xj }+1 квадратичная форма k,j=1 [xj, xk ]j k имеет не более неотрицательных квадратов;

(iv) существует разложение и пространства {±, ±[x, y]} гильбертовы.

Замечание 2.1. На практике используются пространства Понтрягина как с положительными квадратами, так и с отрицательными квадратами, которые определяются естественным образом. Оба эти варианта равносильны, и далее для определенности, если не оговорено другое, будет использован первый из них, т.е. случай (2.2).

Замечание 2.2. В определении 2.3 пространства Понтрягина, существование разложения (2.1) со свойством (2.2) есть следствие предыдущих аксиом (i)–(iii). Поскольку положительные подпространства {±, ±[·, ·]} являются предгильбертовыми, а конечномерное + гильбертово, то аксиома (iv) является по существу предположением полноты.

Проверим существование разложения (2.1) со свойством (2.2).

Из аксиомы (ii) следует существование -мерного положительного подпространства, которое обозначим через +. Тогда x E:

В самом деле, так как -мерное положительное подпространство {+, [·, ·]} гильбертово, то в нем существует ортонормированный базис {e+ }, т.е. [e+, e+ ] = jk, где jk символ Кронекера: kk = 1, kj = 0, k = j, k, j = 1,. Поэтому любой элемент x+ из + имеет вид т.е.

Рассмотрим произвольный элемент x E. Положим Обозначим Так определенное множество является линейным и линейная оболочка + и совпадает с E.

Докажем, что если x = 0, то Однако согласно (2.3) имеем и потому второе свойство (2.4) выполнено.

Докажем теперь первое свойство (2.4). Предположим, что содержит неотрицательный вектор e+. Тогда квадратичная форма содержит + 1 неотрицательных квадратов, что противоречит аксиоме (iii).

Рассмотрим следующий типичный пример пространства с индефинитной метрикой.

Пример 2.1. Пусть E = C2, Введем на этом множестве обычное скалярное произведение а также индефинитное скалярное произведение Непосредственно проверяется, что [·, ·] полутора-линейная форма.

Ее индефинитность следует из того, например, что x+ = {1; 0} положительный вектор: [x+, x+ ] = 1 0, x = {0; 1} отрицательный:

[x, x ] = 1 0, а x0 = {1; 1} нейтральный: [x0, x0 ] = 0.

Проверим, что для {C2, [·, ·]} выполнены аксиомы (i)–(iv) из определения 2.3 пространства Понтрягина с = 1. Нетрудно видеть, что если [x0, x] = 0, x C2, то x0 = 0. В самом деле, если x0 = {1,0 ; 2,0 }, x = {1,0 ; 2,0 }, то Введем линеал Непосредственно проверяется, что причем L+ является одномерным положительным подпространством.

Остальные свойства (i) – (iv) из определения 2.3 для случая = C2 = 1 предоставляем проверить читателю.

Рассмотрим подробнее описание подпространств (линеалов) из определения 2.2 применительно к разбираемому примеру и индефинитному скалярному произведению (2.5). Имеем для x = {1, 2 }:

Если вместо C2 взять вещественное пространство R2, то легко построить на плоскости {1 ; 2 } области, соответствующие выписанным неравенствам, а также "крест"(биссектрисы всех четырех квадрантов), отвечающий нейтральным векторам, расположенным на плоскости и идущим из начала координат (постройте эту картинку).

Продолжим обсуждение геометрических свойств пространства Лемма 2.1. Любое неотрицательное подпространство L имеет размерность, не превышающую.

Доказательство. Пусть, напротив, существует неотрицательное зис этого подпространства. Как и выше, через {ek }k=1 обозначим ортонормированный в {+, [·, ·]} базис. Проверим, что в L существует вектор y = 0 такой, что [y, e+ ] = 0, k = 1,. Каждый вектор из L представляется в виде: y = j fj. Рассмотрим систему линейных уравнений:

Воспользуемся хорошо известным из линейной алгебры результатом:

если в системе линейных однородных уравнений неизвестных больше, чем уравнений, то такая система имеет нетривиальное решение.

Следовательно, существует искомый ненулевой вектор y L. Далее, проводя рассуждения, аналогичные использованным в конце замечания 2.2, получим как и там противоречие с аксиомой (iii) определения 2.3.

Заметим, что до сих пор на линеале E никакой топологии (скалярного произведения, нормы) не вводилось. Введем определения слабой сходимости, слабой фундаментальности последовательности и приведем эквивалентную формулировку аксиомы (iv) определения 2.3 пространства.

Пусть {E, [·, ·]} пространство с индефинитной метрикой, для которого имеют место аксиомы (i)–(iii) определения 2.3.

Определение 2.4. Будем говорить, что последовательность {xn } E слабо сходится в {E, [·, ·]}, если существует элемент x0 E такой, что Последовательность {xn } называется слабо фундаментальной в {E, [·, ·]}, если Вместо аксиомы (iv) в определении 2.3 пространства введем следующую аксиому:

(iv ). Каждая слабо фундаментальная последовательность имеет слабый предел в.

Напомним еще раз, что линейное пространство E со скалярным произведением (·, ·) называется предгильбертовым. Если E является полным относительно нормы, порожденной скалярным произведением, то {E, (·, ·)} гильбертово пространство. Известно, что предгильбертово пространство E является гильбертовым, т.е. полным, тогда и только тогда, когда любая слабо фундаментальная последовательность имеет слабый предел: из условия (xn xm, y) 0, y E, n, m, следует существование такого вектора x0 E, что (x0 xn, y) 0, y E, n. Это утверждение является ключевым при доказательстве следующей теоремы.

Теорема 2.1. При выполнении аксиом (i) (iii), аксиомы (iv) и (iv ) эквивалентны.

Доказательство. Пусть выполнены аксиомы (i) (iv). Докажем, что тогда справедливо утверждение аксиомы (iv ). Согласно предположению, E пространство Понтрягина и где {±, ± [·, ·]} гильбертовы пространства. Пусть {xn = x+ + x }, x± ±, произвольная слабо фундаментальная последовательn ность в :

Положим y = y± ±. Тогда из (2.6) имеем а потому последовательности {x± } являются слабо фундаменn тальными в гильбертовых (согласно аксиоме (iv)) пространствах {±, ±[·, ·]}. Следовательно, как отмечалось в начале доказательства, эти пространства слабо полны, т.е. существуют такие векторы x± ±, что Положим x0 = x+ + x. Тогда Таким образом, x0 слабый предел {xn } в, а потому имеет место утверждение аксиомы (iv ).

Докажем теперь, что из (i) (iii) и (iv ) следует утверждение (iv). Согласно замечанию 2.2 имеет место разложение (2.1) и надо лишь доказать, что {, [·, ·]} гильбертово пространство. Так как {, [·, ·]} предгильбертово, а согласно предположению (iv ) всякая слабо фундаментальная последовательность в, в частности, в, сходится, то опять-таки согласно рассуждениям из начала доказательства данной теоремы, получаем, что гильбертово пространство.

Следующий шаг в исследовании геометрических свойств пространства это введение оператора канонической симметрии и с его помощью упрощение взаимосвязей между геометрическими объектами.

Опираясь на тот факт, что = + [+], а {±, ±[x, y]} гильбертовы пространства, введем в гильбертову структуру, задав скалярное произведение (·, ·) следующим образом:

Предоставляем читателю проверить, что (·, ·) скалярное произведение, а {, (·, ·)} гильбертово пространство.

Скалярное произведение (·, ·) и порожденная им норма x = (x, x) называются каноническими (фундаментальными).

Пусть P± взаимно-дополнительные проекторы на подпространства ±, соответственно, и J := P+ P. Проекторы P± называют каноническими (фундаментальными), а оператор J канонической (фундаментальной) симметрией. По определению, для любого элемента x = x+ + x имеем:

Отсюда следует, что справедливы формулы В самом деле, откуда следует первое свойство (2.9). Аналогично проверяется и второе равенство в (2.9).

Из определения (2.8) оператора J следует также, что где I единичный оператор, действующий в.

Упражнение 2.1. Докажите, что имеет место равенство Отсюда следует, что J = J, т.е. J является самосопряженным оператором, действующим в пространстве {, (·, ·)}. Более того, из (2.10) и (2.11) следует, что Отметим еще, что каноническая норма в определена теперь формулой: x = (x, x) = [Jx, x].

Упражнение 2.2. Доказать, что для скалярного произведения (2.7) справедливо следующее неравенство:

и для фиксированных элементов x, y имеет аналог место неравенства Коши–Буняковского–Шварца:

тогда и только тогда, когда линейная оболочка этих элементов семидефинитное подпространство.

Указание. Воспользоваться второй формулой (2.9) и свойствами (2.10) и (2.11).

В качестве замечания к проведенному ходу рассуждений, связанному с введением скалярного произведения (2.7) и оператора канонической симметрии J, отметим следующее обстоятельство. Часто в прикладных задачах скалярное произведение (x, y) в некотором гильбертовом пространстве H определяется естественными физическими обстоятельствами, причем возникает также полуторалинейная форма, которая иногда имеет вид [x, y] = (Jx, y), где J обладает свойствами (2.12), и даже более общий вид:

где A ограниченный самосопряженный оператор. При условии, что спектр (A) оператора A сосредоточен на положительной полуоси, за исключением, быть может, конечного числа (с учетом алгебраической кратности) 0 отрицательных собственных значений, и = полутора-линейная форма (2.14) задает на H индефинитную метрику такую, что {H, [·, ·]} пространство Понтрягина. Так будет, например, если A = I + B, где B = B компактный оператор, 0 (A). При этом 0 тогда и только тогда, когда min (B) 1, где min (B) наименьшее собственное значение оператора B.

Рассмотрим теперь некоторые дополнительные факты из функционального анализа, которые ниже будут использованы при исследовании свойств пространства.

Пусть {H, (·, ·)} гильбертово пространство, а L H подпространство, т.е. замкнутый линеал в H. Тогда, как известно, имеет место ортогональное разложение где L := {y H : (x, y) = 0, x L} ортогональное дополнение подпространства L.

Коразмерностью подпространства L называется величина Для этой величины справедливы следующие утверждения:

б) если codim L1 = m1, codim L2 = m2, то Пусть теперь E банахово пространство и в нем заданы две нормы: · 1 и · 2. Эти нормы называются эквивалентными, если существуют положительные константы c1 и c2 такие, что Ниже сформулируем и докажем известную теорему 2.3. При этом нам будет нужен следующий результат, который приведем без доказательства.

Теорема 2.2 (С. Банаха об эквивалентных нормах). Если E банахово пространство по одной из норм · 1, · 2 и существует константа c 0 такая, что то нормы · 1 и · 2 эквивалентны тогда и только тогда, когда E банахово по обеим нормам.

Теорема 2.3. Пусть банахово пространство {E, · } допускает разложение в прямую сумму:

где Ei подпространства, i = 1, 2. Рассмотрим в E наряду с нормой · нормы Доказательство. Прежде всего заметим, что по каждой из норм · p, p 1, пространство E банахово. В самом деле, пусть {xn = xn1 + xn2, xnk Ek, k = 1, 2} произвольная фундаментальная в норме · p последовательность, т.е.

Отсюда следует, что последовательности {xn1 } и {xn2 } также фундаментальны в подпространствах E1 и E2, соответственно. Следовательно, они сходятся к некоторым векторам x0k Ek, k = 1, 2, что влечет сходимость исходной последовательности в норме · p к вектору x0 = x01 + x02.

Так как x p x 1, p 1, то по теореме 2.2 (Банаха) все эти нормы эквивалентны · 1, а потому они эквивалентны и попарно.

Для завершения доказательства достаточно отметить, что x x 1 и опять воспользоваться теоремой Банаха.

На основе приведенных выше утверждений установим следующий важный топологический факт для пространства.

Теорема 2.4. Пусть два канонических разложения пространства, соответствующие им скалярные произведения с каноническими симметриями J и J1. Тогда нормы эквиваленты.

Доказательство. По условиям теоремы пространства гильбертовы. В силу первого разложения (2.16) имеем codim = dim + =. Аналогично в силу второго разложения (2.16) codim N = dim P =. Отсюда по свойству (2.15) получаем, что Поэтому имеет место разложение где L некоторое подпространство с dim L 2.

Заметим теперь, что на подпространстве N канонические нормы · и · 1 совпадают, так как здесь совпадают скалярные произведения, поскольку (В самом деле, (x, y) и (x, y)1 задаются по одному и тому же закону однако в первом случае x± ±, а во втором x+ P, x N. Если x, y или x, y N, то из (2.21) следуют формулы (2.20).) Значит, и потому x = x 1, x N. Далее, на подпространстве L из (2.19) все нормы эквивалентны, так как dim L 2.

Учитывая эти факты, докажем, что нормы · и · 1 (см. (2.18)) эквивалентны.

В самом деле, для любого x имеем в силу (2.19) Если ввести норму то по теореме 2.3 исходная норма x, порожденная скалярным произведением (x, y) (см. (2.17)), и норма (2.24) будут эквивалентны, т.е.

найдутся такие положительные константы c1 и c2, что Аналогично рассуждая по отношению к норме, порожденной скалярным произведением (x, y)1 (см. (2.17)), будем иметь (2.23) и норму причем в силу (2.22), как уже упоминалось выше, Здесь снова в силу теоремы 2.3 имеем Поскольку нормы · и · 1 в (конечномерном) подпространстве L эквивалентны, то также получаем x. Имеем для любого x :

Доказанная теорема позволяет нам в каждом конкретном случае использовать то каноническое разложение, которое является наиболее естественным для исследуемой проблемы.

Переходя к дальнейшему изучению геометрических свойств пространства, докажем следующий вспомогательный факт.

Лемма 2.2. Пусть D плотный линеал в, т.е. замыкание D в любой канонической норме совпадает с. Тогда в D содержится хотя бы одно -мерное положительное подпространство.

Доказательство. Опишем лишь идею доказательства сформулированного утверждения. Выберем в подпространстве +, отвечающем каноническому разложению = + [ ], ортонормированный базис {e+ }, т.е. [e+, e+ ] = jk, j, k = 1,. Так как D плотно в, то для любого 0 и элемента e+ найдется элемент fj D такой, что e+ fj, j = 1,.

Можно установить, что если достаточно мало ( 1/), то все элементы {fj }, как и элементы {e+ }, линейно независимы, и тогда линейная оболочка Если настолько мало, что 1 2 22 2 0, то л.о.{fj } являj= ется, как и л.о.{e+ }, положительным подпространством.

Замечание к лемме 2.2. Доказательство свойства линейной независимости элементов {fj } основано на соотношении в котором при любых фиксированных j первое слагаемое справа достаточно мало по норме, а потому равенство нулю левой части приводит к тому, что все j = 0 (j = 1, ). В самом деле, пусть достаточно мало, fj e+ и Аналогичное рассуждения используются для того, чтобы показать положительность формы [ j=1 j fj, k=1 k fk ], при достаточно малом 0, поскольку с произвольными j, j = 1,, и j=1 |j | = 0.

Перед доказательством следующего результата напомним некоторые факты из геометрии гильбертовых пространств.

Пусть H произвольное гильбертово пространство. Напомним еще раз (см. доказательство теоремы 2.1), что последовательность {xn } элементов из H слабо сходится к элементу x0 H, если Последовательность {xn } H сходится сильно к элементу x0 H, если xn x0 0 (n ). Как следует из неравенства Коши– Буняковского–Шварца, сильно сходящаяся последовательность является и слабо сходящейся. В бесконечномерном пространстве H обратное неверно (контрпример произвольный ортонормированный базис, который слабо сходится к нулевому вектору, но сильно не сходится).

Известно, что последовательность {xn } H сильно сходится к x0 H тогда и только тогда, когда {xn } сходится к x0 слабо и Другой критерий имеет следующую формулировку: {xn } сильно сходится к x0 тогда и только тогда, когда выполнены условия где Y так называемое тотальное множество, т.е. такое, что замыкание его линейной оболочки совпадает с H. В качестве Y можно взять, например, базис пространства H.

Ниже мы приведем критерий сильной сходимости в относительно любой из эквивалентных канонических норм в терминах индефинитной метрики.

Теорема 2.5. Последовательность {xn } сходится к элементу x0 сильно относительно некоторой канонической нормы (а потому относительно любой ) тогда и только тогда, когда выполнены условия где Y тотальное множество в.

Последовательность {xn } фундаментальна в относительно некоторой канонической нормы (а потому относительно любой ) тогда и только тогда, когда Доказательство. Убедимся в справедливости лишь первого утверждения, так как доказательство второго проводится по той же схеме.

Пусть D линейная оболочка тотального множества Y. Тогда D =. Через + обозначим -мерное положительное подпространство, расположенное в D: существование такого подпространства гарантируется леммой 2.2. Тогда допускает каноническое разложение Поскольку + D, то линеал D представим в виде Отметим, что линеал D плотен в и потому, в частности, является тотальным множеством в. Зафиксируем в каноническую норму, отвечающую разложению (2.30).

Пусть последовательность {xn } сильно сходится к x0. Докажем, что тогда выполнены условия (2.29). В самом деле, из неравенства, упомянутого в упражнении 2.2:

следует, что выполнено первое свойство (2.29). Докажем теперь второе свойство. Имеем M 0, а потому правая часть (2.31) стремится к нулю при n.

Отсюда следует [xn, xn ] [x0, x0 ] при n.

Проверим теперь обратное утверждение: если выполнены условия (2.29), то xn сильно сходится к x0.

Так как первое условие (2.29) выполнено для всех элементов y из тотального множества Y, то это же условие выполнено для элементов y из линейной оболочки множества Y, т.е. для y из D: при любых j C поскольку [xn x0, yj ] 0 при n для каждого j.

Пусть разложение векторов xn, x0 относительно (2.30).

Так как + D, то, в частности, для элементов y+ + и Из (2.32) следует слабая сходимость в + векторов xn,+ к вектору x0,+. Так как по условию + конечномерное подпространство, то xn,+ сходятся к x0,+ сильно. Поэтому в силу (2.28) Отсюда и из второго условия в (2.29) имеем что в сочетании с (2.33) приводит к сильной сходимости (см. (2.28)) векторов xn, к x0, при n.

Следовательно, векторы xn = xn,+ + xn, сходятся сильно к вектору x0 = x0,+ + x0,.

Рассмотрим снова пространство Понтрягина {, [·, ·]} с канонической нормой, определенной по скалярному произведению (x, y) = оператор канонической симметрии. Пусть L т.е. ортогональное дополнение к L в смысле формы [·, ·]:

Через L будем обозначать ортогональное дополнение в смысле гильбертова (в данном случае канонического) скалярного произведения:

Наша ближайшая задача выяснение взаимосвязи между ортогональными дополнениями L[] и L, в частности, мы проверим следующие формулы:

Докажем эти соотношения. Пусть x L[], y L. Тогда Это означает, что Jx L, т.е.

Обратно, при y L, z L, имеем т.е. Jz L[] :

Так как J 2 = I, то отсюда следует, что и второе соотношение (2.34) установлено. Первая формула (2.34) доказывается аналогично.

Рассмотрим теперь и другие свойства множеств L и L[].

Лемма 2.3. Для любого линеала L множество L[] замкнуто, т.е. является подпространством.

Тогда из неравенства (2.13) следует, что Если здесь положить y L, то [xn, y] = 0, и в пределе получаем, что [x0, y] = 0, т.е. x0 L[].

Лемма 2.4. Имеет место формула Доказательство. Заметим сначала, что формула хорошо известна для гильбертова пространства. Отсюда и из (2.34) тогда имеем L = (L ) = (JL )[] = J(JL[] )[] = J 2 (L[] )[] = L[][].

Здесь в предпоследнем переходе использовано соотношение справедливое для произвольного линеала M.

Замечание к лемме 2.4. Для доказательства свойства (2.35) допустим, что x (JM)[]. Тогда для любого y = Jz, z M, имеем т.е. x M = JM[]. Обратное рассуждение также очевидно.

Опираясь на доказанные факты, приведем упражнения для самостоятельного решения.

Упражнение 2.3. Доказать, что для любого линеала L Упражнение 2.4. Доказать соотношение Упражнение 2.5. Доказать, что Если L произвольный замкнутый линеал в гильбертовом пространстве H, то, как известно, имеет место ортогональное разложение Однако в пространстве ситуация сложнее, так как может оказаться, что L L[] = {0}.

Введем обозначение и назовем L0 изотропной частью линеала L, а векторы этого множества изотропными векторами линеала L. По определению, L линеал, поскольку является пересечением линеалов. Более того, если x L0, то одновременно x L и x L[], а потому [x, x] = 0, т.е., L нейтральный линеал. Определение (2.37) может быть переписано в эквивалентном виде:

часть, а M совокупность всех нейтральных элементов из L, т.е.

Доказать, что L0 = M тогда и только тогда, когда L семидефинитно, т.е. либо L 0, либо L 0.

Определение 2.5. Если изотропная часть L0 линеала L тривиальна, т.е. L0 = {0}, то говорят, что L невырожденный линеал, в противном случае вырожденный.

В любом пространстве Понтрягина с 0 всегда существуют вырожденные линеалы, например, нейтральные линеалы. В качестве подтверждения этого факта рассмотрим следующий простой пример. Пусть = C2, [x, y] := 1 1 2 2 для x = (1, 2 )t, y = (1, 2 )t, L := л.о.{(1, 1)t }, e := (1, 1)t нейтральный элемент. Очевидно, что e[]L, причем L[] = L. Тогда L0 = L L[] = L = {0}.

Теорема 2.6. Если L подпространство, т.е замкнутый линеал (L = L) и M равенство эквивалентно невырожденности L.

Доказательство. Сперва отметим, что равенство (2.38) влечет невырожденность L. В самом деле, если бы это подпространство было вырожденным, то так как векторы из L0 ортогональны как L, так и M, а потому, то все пространство было бы вырожденным.

Последнее противоречит аксиоме (i) определения 2.3 пространства Понтрягина.

Пусть теперь L невырождено. Тогда В самом деле, согласно (2.34) и (2.36) (L[ ]M) = J(L[ ]M)[] = J(L[] M[] ) = J(L[] L) = так как L невырожденный линеал. Отсюда и следует (2.39).

Докажем теперь, что Пусть L+ L положительное подпространство максимальной в L размерности, а M+ M положительное подпространство максимальной в M размерности. Согласно аксиоме (iii) определения 2.3 пространства Понтрягина имеем dim L+ =: 1, dim M+ =: 2. Тогда L (как и само ) допускает разложение и аналогично Отсюда имеем Так как размерность L+ [ ]M+ может быть не более, то L+ [ ]M+ конечномерное подпространство и потому Докажем теперь, что подпространство (L [ ]M ) отрицательно.

Предположив противное, допустим, что в нем существует ненулевой неотрицательный элемент: x0 = 0, x0 L [ ]M. Так как L и M отрицательные подпространства, то x0 может быть лишь нейтральным. Но тогда x0 [](L [ ]M ), как это следует из неравенства Коши – Буняковского:

Итак, x0 []L+ [ ]M+ и x0 []L [ ]M, т.е. всему пространству.

Тогда (см. определение 2.3, аксиома (i)) получаем, что x0 = 0, в противоречие с исходным предположением.

Проведенные рассуждения показывают, что имеет место разложение Докажем, что в этом разложении Предположив противное: dim +. В силу аксиомы (ii) определения 2.3 найдется положительное подпространство P с dim P =.

Так как dim + dim P, то найдется такой ненулевой элемент y0 P, что y0 []+ (аналогичное рассуждение уже проводилось при доказательстве леммы 2.1). Тогда y0 и y0 = 0. Значит, y0 0, в противоречии с предположением y0 0.

Из доказанного факта (см. (2.41)) следует, что разложение (2.40) каноническое, т.е.

гильбертово пространство со скалярным произведением Заметим теперь, что линеалы L и M замкнуты, т.е. являются подпространствами. В самом деле, это следует из того, что пересечение замкнутых множеств замкнуто: L = L L+, учитывая, что L подпространство по условию теоремы и L+ замкнуто по лемме 2.3. Принимая во внимание, что по Лемме 2.3 линеал M замкнут, из тех же соображений получаем замкнутость M = M+ M.

Таким образом, L и M подпространства, а тогда Здесь при замене знака на [ ] использовано то обстоятельство, что для скалярного произведения (2.42) (x, y) = 0 тогда и только тогда, когда [x, y] = 0, x, y.

Итак, окончательно имеем Приведем ряд следствий из этой теоремы.

Следствие 2.1. Любое невырожденное подпространство пространства Понтрягина само является пространством Понтрягина.

Действительно, по ходу доказательства теоремы 2.6 было установлено разложение являющееся каноническим в смысле определения 2.3 пространства Понтрягина.

Следствие 2.2. Если L и M невырожденные подпространства и L[]M, то L[+]M также подпространство и L[+]M = (L+ [+]L )[+](M+ [+]M ) = (L+ [+]M+ )[+](L [+]M ).

Следствие 2.3. Пусть L подпространство в. Тогда его можно разложить в прямую J-ортогональную сумму где L0 := L L[] изотропная часть L, а L(1) невырождено.

В самом деле, для этого достаточно положить L(1) := (L0 ) L, где ортогональность подразумевается в смысле канонического скалярного произведения (см. (2.7)). Тогда L = L0 []L(1) ; в этом разложении J-ортогональность следует из того, что L0 изотропная часть L. Невырожденность L(1) следует из того, что любой вектор x0, изотропный в L(1), будет изотропным и в L, а потому принадлежал бы L0, будучи одновременно ортогональным этому подпространству. Следовательно, x0 = 0, т.е. L(1) невырожденное подпространство.

В заключение сформулируем некоторые упражнения.

Упражнение 2.7. Доказать, что для любого линеала L его Jортогональное дополнение L[] замкнуто, т.е. является подпространством. (Для невырожденного L этот факт доказан в теореме 2.6, поскольку все пространство невырождено.) Упражнение 2.8. Доказать, что для любых подпространств L и M, L[]M, имеет место свойство Упражнение 2.9. Доказать, что если L = L и M = M невырожденные подпространства, L[]M, то L[+]M также невырождено, т.е.

оно является само пространством Понтрягина.

3 Элементы теории операторов в пространстве Понтрягина Рассмотрим, опираясь на предыдущие геометрические построения, элементы теории линейных ограниченных операторов, действующих в пространстве Понтрягина.

Пусть {, [·, ·]} пространство Понтрягина, (·, ·) его каноническое скалярное произведение, Рассмотрим линейный непрерывный оператор A, действующий в, A :, заданный на всем пространстве, т.е. его область определения dom A =.

Определение 3.1. Оператор Ac называется J-сопряженным к оператору A, если Зафиксируем какое-либо канонические разложение и связанное с ним каноническое скалярное произведение (·, ·). Напомним, что гильбертов сопряженный к A оператор A по определению удовлетворяет тождеству Упражнение 3.1. Доказать, что Ac ограниченный линейный всюду заданный оператор, т.е. dom Ac =, если A обладает этими свойствами.

Указание. Воспользоваться известной теоремой Рисса о представлении линейного непрерывного функционала в гильбертовом пространстве.

Из формул (3.1)–(3.3) следует, что операторы Ac и A связаны соотношением где J каноническая симметрия. Действительно, для любых x и y из имеем [Ax, y] = (JAx, y) = (x, (JA) y) = [x, Ac y] = (Jx, Ac y) = (x, JAc y), что влечет Последнее эквивалентно формуле (3.4).

Формулу (3.4) примем за определение сопряженного оператора Ac для любого, не обязательно ограниченного, плотно заданного оператора A.

Напомним определение регулярной точки, спектра и классификацию точек спектра для линейного оператора, действующего в произвольном гильбертовом пространстве H. В нашем случае это будет гильбертово пространство H = {, (·, ·)}.

Определение 3.2. Точка C называется регулярной точкой оператора A, (A), если ядро оператора A I тривиально:

и обратный оператор (A I)1 задан на всем пространстве и ограничен.

Функция R (A) := (A I)1 с областью определения (A) называется резольвентой оператора A. Одними из важных свойств резольвенты R (A) и множества регулярных точек (A) являются следующие:

1. Множество (A) открыто.

В самом деле, если 0 (A), то и все из круга | 0 | (A 0 I)1 1 также являются регулярными точками этого оператора (проверить!) 2. Выполнено тождество Гильберта (проверить!):

3. При каждом x, y H функция (R (A)x, y) является аналитической (голоморфной) на (A).

Это вытекает из тождества Гильберта.

4. Резольвента равномерно ограничена каждом замкнутом множестве (A):

Это следует из голоморфности резольвенты (проверить!) Упражнение 3.2. Доказать: если A линейный непрерывный оператор, dom A =, то (A) =, более того, все точки плоскости, для которых || A, являются регулярными для оператора A.

Напомним понятие спектра оператора и его классификацию.

Определение 3.3. Спектром (A) оператора A называется дополнение к множеству регулярных точек: (A) := C \ (A).

Говорят, что точка (A) собственное значение оператора A, p (A), если существует такой ненулевой элемент x, что Ax = x. Этот элемент называется собственным элементом (собственным вектором) оператора A, отвечающим собственному значению.

Будем говорить, что точка (A) принадлежит непрерывному спектру оператора A, c (A), если ker(A I) = 0 и область значений ran (A I) оператора A I плотна в пространстве, но с ним не совпадает: ran (AI) = ran (A I) =, или, что равносильно, оператор (A I)1 существует, плотно задан и неограничен.

Дополнение в спектре к собственным значениям и непрерывному спектру называют остаточным спектром, или, что равносильно, (A) принадлежит остаточному спектру оператора A, r (A), если ker(A I) = {0}, но оператор (A I)1 задан на неплотном линеале.

Из определения спектра и его частей следует, что имеет место разложение причем множества справа не пересекаются.

Выше мы видели, что множество регулярных точек ограниченного всюду заданного оператора не пусто. Также обстоит дело и со спектром такого оператора. Доказательство этого факта (см. ниже теорему 3.2) в стандартном курсе функционального анализа, как правило, опускается. В доказательстве теоремы о существовании спектра будет использована следующая ниже теорема Лиувилля, хорошо известная из курса теории функций комплексного переменного.

Теорема 3.1. (Лиувилль). Пусть f () целая функция (т.е. аналитическая на всей комплексной плоскости C). Если существует такая постоянная c, что функция f ограничена на множестве || c, то f () const.

Теорема 3.2. Пусть A линейный непрерывный оператор, заданный на всем пространстве. Тогда (A) =.

Доказательство. Предположим (A) =, т.е. (A) = C. Зафиксируем произвольные элементы x, y H и введем в рассмотрение функцию fx,y () = (R (A)x, y). Так как по сделанному предположению (A) = C, то fx,y целая функция. Покажем, что при || c := 2 A эта функция ограничена. В самом деле, Следовательно, по теореме 3.1 функция fx,y постоянная. Но поскольку то fx,y () 0. Отсюда R (A) 0, что невозможно. Получили противоречие, показывающее, что спектр ограниченного всюду заданного оператора не пуст.

Выше, в упражнении 3.2 и в теореме 3.2, утверждалось, что (A) = и (A) = в предположении, что A ограниченный ( непрерывный) оператор. Рассмотрим примеры, подтверждающие важность этого ограничения.

Пример 3.1. Рассмотрим гильбертово пространство L2 (0, 1) и в нем оператор A = d/dt, оператор дифференцирования, определенный на линеале Как известно (проверить!), dom A плотное в L2 (0, 1) множество, но не совпадающее с ним. Так заданный оператор A замкнут (см. пример 1.3) и (A) = C, более того, каждое C собственное значение оператора A.

Пример 3.2. Рассмотрим в L2 (0, 1) тот же оператор дифференцирования, однако заданный на множестве функций, удовлетворяющих, кроме требований (3.6), дополнительному условию f (0) = 0. В этом случае (A) =.

Определение 3.4. Говорят, что точка C является точкой регулярного типа для оператора A, r(A), если ker(A I) = {0} и существует непрерывный оператор (A I)1 (он может быть задан как на всем пространстве, так и не на всем пространстве ).

Таким образом, в множество r(A) точек регулярного типа входят все регулярные точки и те точки остаточного спектра, для которых Таким образом, Другое равносильное определение точки регулярного типа таково: найдется такое число k 0, что Приведем важный результат о точках регулярного типа и регулярных точках оператора A.

Теорема 3.3 (М.А. Красносельский – М.Г. Крейн). Пусть C связное множество, r(A). Если (A) =, то (A).

Приведем примеры операторов, имеющих точки регулярного типа, причем как регулярные, так и принадлежащие остаточному спектру.

Пример 3.3. Рассмотрим оператор сдвига V в гильбертовом пространстве l2, состоящем из элементов x = {k }, k= k=1 |k |, и действие оператора определено по следующему закону:

Из определения оператора V следует, что он изометрический, т.е. сохраняет норму: V x = x. В частности, для него выполнено условие (3.7) с k = 1 и = 0, а потому точка = 0 является точкой регулярного типа, т.е. 0 r(V ). Оператор V, как следует из (3.8), имеет ограниченный обратный оператор, однако этот оператор задан не на всем пространстве l2, а только на тех элементах x = {k } k= из l2, у которых 1 = 0. В частности, первый орт e1 = (1, 0, 0,...) не входит в область определения обратного оператора.

Таким образом, точка = 0 является точкой регулярного типа для оператора A, но она не является регулярной точкой этого оператора (проверить, что все с || 1 точки регулярного типа оператора V, но не регулярные, а точки с || 1 регулярные).

Пример 3.4. Рассмотрим в L2 (0, 1) оператор дифференцирования (см. пример 3.1), однако заданный на множестве функций, удовлетворяющих, кроме требований (3.6), дополнительному условию f (0) = f (1) = 0. В этом случае (A) = r (A) = C и более того, все точки являются точками регулярного типа (проверить!).

Напомним понятия корневого линеала L (A) оператора A, отвечающего собственному значению, нормального собственного значения p (A) и нормальной точки (A).

Пусть p (A). Тогда Корневой линеал L (A) определяется соотношением:

Вектор x L (A) называют корневым вектором оператора A, отвечающим собственному значению. По определению ненулевой вектор x L (A) тогда и только тогда, когда найдется такое p N, что (A I)p x = 0. Будем предполагать, что степень p минимальна, Введем обозначения Последовательность {xj }p1 называют жордановой цепочкой, состоj= ящей из собственного элемента x0 и присоединенных к нему элементов x1, x2,..., xp1.

Если последовательность ядер ker(A I)n стабилизируется, т.е.

найдется такое p N, что ker(A I)n = ker(A I)p при n p, то является подпространством (проверить, что только в этом случае L (A) подпространство). Если при этом ker(A I) конечномерное подпространство, то и корневой линеал является конечномерным (проверить, что только в этом случае L (A) конечномерное подпространство).

Отметим, что, как известно, корневые линеалы L (A) конечномерны у любого оператора в конечномерном пространстве, а также у любого вполне непрерывного оператора в бесконечномерном пространстве при = 0.

Для любого оператора его корневые линеалы инвариантны:

Ax L (A) если x L (A). Если оператор непрерывен, то инвариантным подпространством для A будет и замыкание его корневого линеала. Это же выполняется и для неограниченных операторов при подходящем определении инвариантности, но сейчас мы на этом останавливаться не будем.

Определение 3.5. Говорят, что точка C является нормальным собственным значением оператора A, p (A), если выполнены следующие условия: а) p (A), т.е. является собственным значением оператора A; б) это собственное значение является изолированной точкой спектра оператора A; в) размерность dim L (A) корневого линеала оператора A, отвечающего собственному значению, конечна; г) все пространство (в данном случае ) разлагается в прямую сумму где L (A) (корневой линеал) и H1 подпространства, инвариантные относительно оператора A, т.е.

причем (A|H1 ) : регулярная точка для сужения оператора A на подпространство H1.

Примерами нормальных собственных значений являются собственные значения матриц (операторов в конечномерных пространствах), а также ненулевые собственные значения компактных (вполне непрерывных) операторов (доказать, используя теорему Гильберта – Шмидта).

Определение 3.6. Говорят, что точка C является нормальной точкой для оператора A, (A), если она является либо регулярной точкой оператора A либо его нормальным собственным значением, т.е.

Обратимся к связи спектра, его частей и множества регулярных точек оператора и его сопряженного. Известно, что в гильбертовом пространстве существует симметрия этих составляющих. Поскольку гильбертов сопряженный и сопряженный в унитарно подобны, то эти свойств сохраняются и в этом случае. Пусть произвольное множество из C. Введем обозначение Теорема 3.4. Имеют место соотношения Доказательство. Справедливость утверждений немедленно следует из дефинитного аналога и формулы:

Рассмотрим простейшие свойства J-сопряженного оператора Ac = JA J к ограниченному оператору A :, действующему в {, [·, ·]} с фиксированным J := P+ P.

1. Непосредственно из определения (3.2) получаем, В самом деле, для любых x и y из имеем откуда и следует доказываемое равенство.

2. Аналогично устанавливаем, что Лемма 3.1. Если подпространство L инвариантно относительно оператора A, т.е. AL L, то подпространство L[] инвариантно относительно оператора Ac : Ac L[] L[].

В частности, если L = ran A, то L[] = ker Ac.

Доказательство этих утверждении аналогично случаю гильбертова пространства и прямо следует из равенства выполненного при всех x L и y L[], в первом случае, и для всех x, y ker A во втором.

Перед доказательством следующей ниже теоремы 3.5 предлагается упражнение, альтернативное доказательство которого вытекает из названной теоремы и дано ниже как следствие 3.1.

Упражнение 3.3. Пусть p (A), µ p (Ac ), = µ. Тогда Указание: доказать это утверждение, используя метод математической индукции, для любых элементов цепочки, составленной из собственного и присоединенных к нему векторов.

Теорема 3.5. Пусть L инвариантное подпространство оператора A: AL L, а M инвариантное подпространство J-сопряженного оператора Ac : Ac M M. Рассмотрим сужения A1 := A|L и B1 := Ac |M. Если выполнено условие то L[]M.

Доказательство. Рассмотрим при x L и y M и (A1 ) скалярную функцию аналитическую в области (A1 ), а также функцию аналитическую в области (B1 ).

Для этих значений имеем Отсюда следует, что аналитические функции fx,y () и gx,y () совпадают в области || 2 A, т.е. одна является аналитическим продолжением другой.

Если ввести функцию то hx,y () будет аналитической в области поскольку выполнено условие (3.10). Таким образом, функция hx,y () является целой. Повторяя далее рассуждения, использованные при доказательстве теоремы 3.2, из теоремы Лиувилля получаем, что hx,y () 0, в частности, при |0 | 2 A и произвольных векторах u L, v M имеем что и требовалось доказать.

Следствием доказанной теоремы является результат об ортогональности корневых линеалов оператора и его J-сопряженного.

Следствие 3.1. Пусть 1 p (A), 2 p (Ac ), Если 1 =, то L[]M.

Доказательство. Сперва докажем J-ортогональность корневых линеалов L (A) и Lµ (Ac ) при 1 и µ 2, т.е. [x, y] = 0 для произвольных 0 = x L (A) и 0 = y Lµ (Ac ) при = µ (см.

упражнение 3.3). Пусть p, q минимальные натуральные числа такие, что (A I)p x = 0 и (Ac µI)q y = 0. Введем в рассмотрение жордановы цепочки:

Обозначим Lx = л.о{xj }p1, My = л.о{yj }q1. Эти подпространства конечномерны: dim Lx = p, dim My = q, подпространство Lx инвариантно относительно A, а подпространство My относительно Ac. При этом (A|Lx ) = {}, а (Ac |My ) = {µ}, = µ. В силу теоремы 3.5 подпространства Lx и My J-ортогональны, а потому и [x, y] = 0.

Из доказанного немедленно следует J-ортогональность линеалов а потому и их замыканий L и M, соответственно: L[]M.

Отметим, что условие = µ, обеспечивающее J-ортогональность (в ) соответствующих корневых линеалов L (A) и Lµ (Ac ), выполнено, если, например, =, p (A) p (Ac ); можно выбирать также варианты Im = 0, µ R, или = µ и они оба вещественны.

Целью дальнейших рассмотрений является изучение спектральных свойств J-самосопряженного оператора A = Ac, действующего в. Пусть Представим операторы A и J в матричном виде, основываясь на разложении (3.11). Тогда любому элементу x = x+ + x можно поставить в соответствие вектор-столбец оператору J матрицу Отсюда Здесь операторы A11, A12 и A21 конечномерные непрерывные и потому они компактны.

Из (3.12), (3.13) получаем, что A = Ac тогда и только тогда, когда Напомним, что если A = A самосопряженный оператор, действующий в гильбертовом пространстве, то его спектр веществен:

(A) R. Для оператора A = Ac, действующего в, спектр (A) может быть и невещественным, как показывает следующий пример.

Пример 3.5. Пусть = C2, Тогда A = Ac и (A) = {i; i}.

Заметим, что из теоремы 3.4 следует, что множество регулярных точек и спектр J-самосопряженного оператора, действующего в, симметричны относительно вещественной оси:

Далее будет использован следующий полезный при изучении свойств спектра ограниченных операторов факт.

Теорема 3.6. (Гохберг И.Ц.). Пусть A замкнутый оператор, связное открытое множество из (A) и пусть B компактный оператор: B S.

Тогда т.е. если во множестве есть хотя бы одна регулярная точка оператора A + B, то это множество состоит из регулярных точек и нормальных собственных значений оператора A + B. Отсюда, в частности следует, что нормальные собственные значения оператора A+B, расположенные в, могут сгущаться только к границе.

Следующая теорема описывает невещественный спектр Jсамосопряженного оператора, действующего в.

Теорема 3.7.. Пусть A : J-самосопряженный оператор, nr (A) его невещественный спектр. Тогда:

(i) L± = л.о.{L (A) | C± } нейтральный подпространство, в частности, корневые линеалы L (A), отвечающие nr (A) нейтральны;

(ii) dim L± ;

(iii) nr (A) состоит из не более чем пар {; } нормальных собственных значений.

Доказательство. Сперва проверим, что nr (A) состоит из нормальных собственных значений.

Представим оператор A = Ac в виде суммы двух операторов Так как здесь A11 = A, A22 = A, то A1 = A, а так как Обратимся к теореме 3.6. Возьмем в качестве связного множества открытую верхнюю полуплоскость: = C+. Поскольку оператор A1 самосопряжен, то (A1 ). Для оператора A = A1 + A2 найдутся точки C+ такие, что (A) (например, точки с || A ).

Следовательно, по теореме 3.6 получаем, что C+ (A), т.е. любая точка из C+ является либо регулярной точкой для A = Ac, либо нормальным собственным значением. Аналогичное утверждение справедливо и для точек из открытой нижней полуплоскости C.

Теперь покажем справедливость утверждений (i) и (ii).

Рассмотрим инвариантное подпространство L+ оператора A, отвечающее собственным значениям, расположенным в верхней полуплоскости. Так как A = Ac и AL+ L+, то Ac L+ L+ и (A|L+ ) = (Ac |L+ ). Поэтому (A|L+ ) (Ac |L+ ) =. По теореме 3.5 имеем L+ []L+. Следовательно, для любого x L+ будет [x, x] = 0, т.е. L+ нейтральное и потому неотрицательное подпространство. Из аксиомы (iii) определения 2.3 пространства получаем, что dim L+. Аналогично проверяются утверждения для L. Таким образом, (i) и (ii) доказано.

Отсюда и из (3.16) получаем, что если p (A), то также p (A). Так как в C+ может быть не более (с учетом кратностей) собственных значений оператора A, то утверждение (iii) справедливо.

Дальнейшее исследование спектральных свойств операторов привлекает такие важные понятия, как интеграл Рисса и проектор Рисса. Пусть спектр (A) оператора A имеет в комплексной плоскости изолированную часть и жорданов контур (возможно не одно-связный), выделяющий (окружающий) эту часть. Тогда и оба множества справа замкнуты и не пересекаются. Поэтому контур можно выбрать так, что (A).

Введем в рассмотрение интеграл (проектор) Рисса где (A I)1 := R (A) резольвента оператора A, являющаяся аналитической функцией по при (A) или, что эквивалентно, скалярная функция (R (A)x, y) аналитична при каждой паре x, y. Оператор P можно определить и через скалярное произведение:

Напомним общие свойства оператора P. Поскольку они, как правило, доказываются в стандартных курсах функционального анализа, мы опускаем доказательство следующей ниже теоремы 3.8.

Теорема 3.8. Имеют место следующие утверждения:

1 P = P, т.е. P проектор;

2 I P = P(A)\, в частности, P(A) = I, P = 0.

3 Если = (A), то причем для сужений A|P и A|(I P ) оператора A на P и (I P ) выполнены соотношения 5 если 0 p (A), т.е. 0 является нормальным собственным значением оператора A, и = {0 }, то P = L0 (A); в этом 6 Проектор P не зависит от выбора контура, выделяющего и расположенного в (A).

Понятие проектора P позволяет построить функциональное исчисление, т.е. построение функций от оператора A. Для произвольной непрерывной функции f () соответствующая функция от оператора A определяется по формуле где (A) контур, выделяющий весь спектр оператора A. Из свойств интеграла Коши непосредственно следует справедливость этой формулы для многочленов от оператора A.

Рассмотрим вновь проектор Рисса где, напомним, изолированная часть спектра оператора A, а охватывающий ее контур, расположенный в (A).

Вычислим J-сопряженный к P оператор P. Из (3.17), использовав замену µ =, получим:

где в первом контурном интеграле обход совершается по часовой стрелке, а в остальных против.

Если = симметричный относительно R контур и A = Ac, т.е. P J-самосопряженный проектор. Отсюда и потому подпространства P и (I P ) являются Jортогональными:

Следствие 3.2. Если A = Ac и =, то подпространства P и (I P ) невырождены.

В самом деле, если, например, некоторый элемент x0 P и ортогонален P, то он в силу (3.20) ортогонален и (I P ), а потому и всему. По аксиоме (i) определения 2.3 пространства Понтрягина x0 = 0.

Следствие 3.3. Если A = Ac, Im 0 0 и 0 p (A), то подпространство L0 (A) L0 (A) невырождено и dim L0 (A) = dim L0 (A).

Действительно, в силу теоремы 3.7(iii) точки 0 и 0 являются нормальными собственными значениями, а потому изолированными точками спектра оператора A. Следовательно, найдется такое 0, что окружность = { C : | 0 | = } состоит из регулярных точек оператора A, расположена в верхней полуплоскости и окружает только одну точку 0 спектра оператора A. Положим В силу следствия 3.2 подпространство P невырождено. Так как по свойствам интеграла Рисса невырожденное подпространство.

Осталось проверить, что m+ := dim L0 (A) = dim L0 (A) =: m.

Предположим противное: m+ = m, для определенности m+ m.

Пусть {ek }k=1 базис подпространства L0 (A), а {fj }j=1 базис подпространства L0 (A). Проверим, что в L0 (A) существует вектор y = 0 такой, что [y, ek ] = 0, k = 1, m+. Каждый вектор из L0 (A) представляется в виде: y = j fj. Рассмотрим систему линейных уравнений:

Как и при доказательстве леммы 2.1, воспользуемся тем, что однородная система с количеством неизвестных большим, нежели количество уравнений имеет нетривиальное решение y L0 (A). Но тогда y J-ортогонален не только L0 (A), но и L0 (A), поскольку это подпространство нейтрально. Следовательно, y J-ортогонален и сумме этих подпространств, что противоречит доказанному выше.

Пусть 1,..., p все различные собственные значения оператора A = Ac, расположенные в C+, т.е. Im j 0, j = 1, p. Введем множества j := {j, j } и окружающие их контуры j, а также = 1... p. Через Pj и P := j=1 Pj обозначим соответствующие проекторы Рисса. Тогда, как следует из предыдущих построений, = (L1 (A) Поскольку каждое из подпространств (Lj (A) Lj (A)) является пространством Понтрягина с j = dim Lj (A), j = 1, p, положительными квадратами, то подпространство (I P ) также является пространством Понтрягина (с = j=1 dim Lj (A) положительными квадратами). Так как все подпространства в (3.21) инвариантны относительно A = Ac по построению (и по свойствам интеграла Рисса), то оператор A в матричной форме, отвечающей этому разложению, имеет диагональную структуру:

Замечание 3.1. В этом представлении (A) R, так как все невещественные собственные значения = j (A) уже ранее были выделены, и им отвечают подпространства Lj (A) Lj (A), j = 1, p.

Рассмотрим далее структуру инвариантных подпространств, отвечающих вещественным собственным значениям оператора A = Ac.

Пусть p (A), R. Для обычных самосопряженных операторов, как известно, L (A) = ker(AI). Для J-самосопряженных операторов вещественным собственным значениям могут отвечать не только собственные, но и присоединенные элементы. Это показывает следующий пример.

Так как здесь оператор A является жордановой клеткой, отвечающей нулевому собственному значению, то A имеет присоединенный элемент.

Упражнение 3.4. Доказать, что у J-самосопряженного оператора, действующего в, остаточный спектр пуст.

x ker(A I). Если найдется элемент y такой, что (A I)y = x, то оператор A имеет в точке жорданову цепочку {x, y} из собственного элемента x и присоединенного к нему элемента y. В этом случае т.е. x ker(A I) нейтральный элемент. Более того, элемент x является изотропным, так как для любого z ker(A I) имеем Представим ker(A I) L (A) в виде (см. следствие 2.3) где L0 изотропная часть этого ядра, а L1 невырожденное подпространство. Заметим, что L1 инвариантное подпространство оператора A: AL1 L1, так как L1 ker(A I).

В силу невырожденности L1 по теореме 2.6 имеет место разложение Здесь L1 также инвариантное подпространство для A, так как по лемме 3.1 L1 инвариантное подпространство относительно Ac = A, и тогда Из установленных свойств следует, что оператор A в разложении (3.23) имеет матричное представление где ker(A1 I) содержит только нейтральные элементы (в силу выбора L1 ). Тогда по аксиоме (iii) определения 2.3 имеем свойство dim ker(A1 I).

Рассмотрим произвольную жорданову цепочку x0,..., xp1, отвечающую собственному значению = оператора A = Ac : (A введем линеал где [p/2] целая часть числа p/2, [p/2] p/2.

Докажем, что линеал L является нейтральным. В самом деле, при j, k [p/2] 1 имеют место свойства так как при j, k [p/2] 1 будет 2p (j + k) 2 2p 2 [p/2] p.

Поэтому линеал L, элементы которого суть линейные комбинации элементов {xk }k=0, является нейтральным.

Упражнение 3.5. Доказать, что dim L (A), если ker(A I) состоит из нейтральных элементов.

Рассмотрим случай, когда собственному значению = оператора A = Ac отвечает не одна, а несколько жордановых цепочек.

Как мы видели выше, без ограничения общности можно считать, что dim L (A). Тогда оператор A|L (A) конечномерен, а потому ему отвечает (в жордановом представлении) жорданов базис Возьмем, как и выше, в качестве подпространства L линейную оболочку элементов (3.28), причем в первой строке только первые [p1 /2] элементов, во второй соответственно [p2 /2] элементов, и т.д., а в последней строке [ps /2] элементов. Тогда рассуждениями, аналогичными тем, которые были проведены выше для одной цепочки (см. (3.26), (3.27)), устанавливаем, что линеал L является нейтральным и потому dim L (см. определение 2.3, аксиома (iii)).

Возьмем теперь все вещественные собственные значения = µj, j = 1,..., q, и соответствующие нейтральные подпространства Lj, построенные по указанному выше принципу, выделив жордановы базисы (3.28) (с выбором длин цепочек до номера [p/2]). Заметим, что при µj = µk будет Lµj (A)[]Lµk (A), а размерность любого Lj Lµj (A) не превышает.

Так как все линеалы Lk (A), Im k 0, и Lj, µj R, являются нейтральными, то они неотрицательны и потому согласно аксиоме (iii) определения 2.3 пространства Понтрягина справедлива следующая оценка:

Рассмотрим теперь весьма важное понятие углового оператора.

Такие операторы дают описание неотрицательных и неположительных подпространств в.

Итак, пусть задано {, [·, ·]} и его фиксированное разложение Для любого x имеем так как поскольку (x+, x ) = (x, x+ ) = 0.

Если элемент x неотрицателен, т.е. [x, x] 0, то, очевидно, Пусть L 0 неотрицательный линеал и потому это конечномерное подпространство, x = x+ + x L. Введем отображение K : + P+ L P L по следующему закону:

Докажем, что это отображение является линейным оператором, действующим из + в. Прежде всего, dom K = P+ L + и потому dom K конечномерный линеал. Далее, для K выполнено свойство линейности:

В самом деле, если x+ P+ L, то существует x L такой, что P+ x = x+, аналогично для y+ P+ L существует y L : P+ y = y+.

Так как L подпространство, то z := x+y L и P+ z = x+ +y+, P z = x + y. По определению (3.29) оператора K тогда имеем K(P+ z) = P z, т.е. свойство (3.30). Осталось лишь проверить, что K линейный оператор, т.е. K(0) = 0.

Пусть x = x+ + x, x+ = 0, x = 0. Для неотрицательного подпространства L имеем x+ x = Kx+, откуда следует, что x = 0, т.е. K(0) = 0. Из этого же неравенства получаем, что K 1, т.е. оператор K является сжатием.

Назовем для произвольного неотрицательного подпространства L сжатие K, определенное по правилу (3.29), угловым оператором этого подпространства. (Термин "угловой оператор"происходит из рассмотрения графика прямой y = kx с угловым коэффициентом k, |k| 1. Точки (x; y), расположенные на графике, удовлетворяют условию |x|2 |y|2 0, т.е. образуют (одномерное) неотрицательное подпространство во всей совокупности векторов на плоскости Oxy (с началом в нуле и концами в (x; y))).

Для неположительных линеалов и подпространств L введем аналогично предыдущему оператор Q : P L P+ L по правилу:

и назовем его также угловым оператором для L. Отметим, что, в отличие от неотрицательных, неположительные линеалы и подпространства могут быть бесконечномерными. Далее будет полезна следующая достаточно простая теорема.

Теорема 3.9. Пусть L неположительный (неотрицательный) линеал, а L := P L (L+ := P+ L) его проекция на (+ ). Тогда:

непрерывно обратим и (P± |L)1 2;

(ii) L подпространство (замкнутый линеал) тогда и только тогда, когда L (L+ ) подпространство.

Доказательство. Рассуждения проведем для случая неположительного подпространства поскольку для неотрицательного оно аналогично и даже проще: в этом случае надо проверить лишь обратимость оператора P+ |L.

(i) Пусть L неположительный линеал. Сперва отметим, что оператор (P |L) обратим. В самом деле, если P x = 0 при некотором Непрерывность же оператора (P |L)1 следует из того, что при x L имеем:

Следовательно, (P |L)1 2.

(ii) Прямо следует из того, что отображение P |L : L L непрерывно и непрерывно обратимо.

Возьмем произвольный линеал L+ +, произвольное сжатие линеал. Таким образом:

Соотношение (3.31) устанавливает взаимно однозначное соответствие L K между всеми линеалами L 0 и всеми сжатиями K, K действующими в.

Пусть L неотрицательное подпространство и K его угловой оператор. Предположим, что L положительное подпространство, L 0. Тогда x+ Kx+ (x+ = 0). Так как оператор K конечномерен и непрерывен, то он компактен, K S. Следовательно, найдется такой ненулевой вектор x0 +, x0 = 1, что K = Kx0, а потому K 1.

Обратно, если K 1, то при 0 = x+ + и x = x+ + Kx+ L имеем:

Таким образом мы доказали следующий результат:

неотрицательное подпространство L с угловым оператором K положительно тогда и только тогда, когда K 1.

Следует обратить внимание, что аналогичный факт верен для неположительных подпространств (из тех же соображений), но не для неположительных линеалов (см. ниже упражнение 3.6).

Определение 3.7. Назовем неотрицательный (положительный, неположительный, отрицательный) линеал L из максимальным, если не существует такого линеала L того же класса, что L = L, Так как каждое из семейств неотрицательных, неположительных, положительных и отрицательных линеалов образует частично упорядоченное множество по вложению и в каждом линейно упорядоченном подмножестве есть максимальный элемент (объединение всех линеалов, входящих в это линейно упорядоченное подмножество), то в силу известной из курса функционального анализа леммы Цорна в каждом из этих семейств существует максимальный элемент. Этот максимальный элемент, вообще говоря, может оказаться не подпространством, т.е. незамкнутым линеалом. Конечно, если речь идет о неотрицательных и положительных линеалах, то они конечномерны и потому это подпространства. Поскольку индефинитная метрика непрерывна, то замыкание неположительного линеала неположительное подпространство. Поэтому и в этом случае максимальный элемент подпространство. Что касается отрицательных линеалов, то предлагается выполнить следующее ниже упражнение 3.6, отвечающее сразу на 2 вопроса: для отрицательного линеала норма углового оператора не обязательно меньше единицы и максимальный элемент может оказаться незамкнутым линеалом.


Упражнение 3.6. Рассмотрим пространство Понтрягина с = 1. Пусть e произвольный ненулевой нейтральный вектор, L = {e}[]. Так как e нейтральный вектор, то он принадлежит своему J-ортогональному дополнению. Пусть f : L C разрывный линейный функционал, такой что f (e) = 0. Обозначим L1 := ker f.

Доказать:

(i) Подпространство L является максимальным неположительным.

(ii) Линеал L1 является максимальным отрицательным.

(iii) Норма углового оператора отрицательного линеала L1 равна 1.

Следующая ниже теорема 3.10 дает конструктивный ответ на вопрос о расширении подпространств указанных выше семейств до максимальных. При этом используются следующие обозначения:

M+ (соответственно M ) множество всех максимальных неотрицательных (неположительных) подпространств, соответственно.

Теорема 3.10. Всякое неотрицательное (положительное, отрицательное, неположительное, ) подпространство L допускает расширение до максимального подпространства L того же класса;

при этом L M± тогда и только тогда, когда P± L = ±, соответственно.

В частности, неотрицательные и положительные подпространства L максимальны тогда и только тогда, когда dim L =.

Доказательство. Рассуждения проведем для неотрицательного подпространства, для остальных классов подпространств оно аналогично.

Пусть L неотрицательное подпространство, P+ L его проекция на + и предположим, что P+ L = +. Тогда гильбертово пространство + допускает разложение в ортогональную сумму:

Обозначим через K угловой оператор для L, K 1, K :

P+ L. Введем новый оператор K, полагая Проверим, что K = K. Действительно, K K поскольку dom K dom K и K|dom K = K|dom K. С другой стороны, откуда следует, что K K.

P+ L = +. Если исходное L было положительным, L 0, то L L также положительное подпространство, так как в этом случае Докажем теперь обратное утверждение. Пусть P+ L = +, но L не является максимальным, L M+. Тогда существует L1 L, L1 = L, L рассмотрим P+ x0 = x0. Так как P+ L = +, то существует элемент x L такой, что P+ x = x0. Заметим теперь, что x0 x = 0, так как здесь x L, x0 L1 \L, x0 = 0, причем по построению P+ (x0 x) = x0 x0 = 0. Последнее противоречит тому, что оператор P+ |L обратим (см. теорему 3.9).

Для доказательства последнего утверждения теоремы надо опять воспользоваться обратимостью оператора P+ |L, тем, что для максимального неотрицательного и максимального положительного подпространств P+ L = + и dim + =.

Введем в рассмотрение операторный шар радиуса 1:

Как показали предыдущие рассуждения, между множеством M+ всех максимальных неотрицательных подпространств L из и множеством K+ всех сжатий K : + имеется взаимно одноL M+, отвечает угловой значное соответствие: каждому L оператор K этого подпространства, K K+, и обратно.

Введем также операторный шар Тогда любому неположительному подпространству M M отвечает угловой оператор Q этого подпространства, Q K. Итак, имеем Теорема 3.11. Пусть подпространство L M+ имеет угловой оператор K и M M угловой оператор Q. Тогда L и M Jортогональны в том и только том случае, когда K = Q, или, что то Более того, подпространство M M с угловым оператором K совпадает с L[].

Доказательство. Пусть x = x+ + Kx+ L, y = Qy + y M и [x, y] = 0:

т.е.

Отсюда следует, что L[]M тогда и только тогда, когда угловые операторы K и Q взаимно сопряжены: Q = K, K = Q.

Так как L максимальное неотрицательное подпространство, то L[] неположительное подпространство, содержащее максимальное неположительное подпространство M с угловым оператором K, а потому L[] = M.

Теорема 3.12. Если L+ неотрицательное, а L неположительное подпространство, то L+ M+ и L M тогда и только тогда, когда В частности, L+ +L = тогда и только тогда, когда L+ L = {0} Доказательство. Прежде всего заметим, что поскольку L+ и L семидефинитные подпространства, то (нейтральное подпространство) Отсюда, Поскольку при расширении подпространства его коразмерность уменьшается, то из (3.32), с учетом теоремы 3.10 и неравенства (3.34), следует, что L+ M+ и L M.

Обратно, пусть L+ M+ и L M. Тогда имеем: L+ M M+. Следовательно, в (3.33) подпространства L± и L± можно поменять местами, что позволяет заключить:

L+ L = L+ L = (L+ + L ), а потому выполнено условие (3.32).

Последнее утверждение теоремы вытекает из доказанного с учетом того, что равенство L+ + L = равносильно условию codim (L+ + L ) = 0.

Пусть теперь подпространство L нейтрально. Тогда, очевидно, Kx+ = x+, т.е. оператор K : + + изометрический:

Упражнение 3.7. Пусть dim + dim. Доказать, что любое нейтральное подпространство L допускает расширение до максимального неотрицательного подпространства L M+ и такого, что L нейтральное.

Напомним теперь некоторые факты из функционального анализа, связанные с равномерной, сильной и слабой сходимостью операторов, действующих из гильбертова пространства H1 в гильбертово пространство H2.

Говорят, что последовательность операторов {An } равномерно сходится к оператору A0, An = A0, n, если сильно сходится к оператору A0, An A0, n, если слабо сходится к A0, An Как известно, из равномерной сходимости следует сильная сходимость, а из сильной слабая, причем обратное неверно.

Приведем без доказательства следующий важный результат:

Теорема 3.13 (А.Н. Тихонов). Пусть H1 и H2 гильбертовы пространства. Тогда операторный шар K = {K : H1 H2 | K 1} слабо компактен, т.е. для любой последовательности операторов {An } K найдется такая ее подпоследовательность {Ank }, что Ank слабо сходится к некоторому оператору A0 K.

Пусть теперь снова = + [] и T непрерывный линейный оператор, действующий в. Представим T в матричной форме, отвечающей этому ортогональному разложению, Пусть максимальное неотрицательное подпространство L M+ с угловым оператором K:

инвариантно относительно T, т.е.

Так как В силу произвольности x+ + заключаем, что подпространство L M+ инвариантно относительно оператора T тогда и только тогда, когда его угловой оператор K решение уравнения Аналогичные соображения показывают, что максимальное неположительное подпространство M с угловым оператором Q инвариантно относительно оператора T тогда и только тогда, когда Продолжим рассмотрение вопроса об инвариантных подпространствах относительно оператора T, действующего в.

Теорема 3.14. Пусть последовательность операторов {An } равномерно сходится к оператору A в пространстве = + []. Если каждый из операторов An имеет -мерное неотрицательное инвариантное подпространство Ln, то оператор A также имеет -мерное неотрицательное инвариантное подпространство L.

Если при этом существует такое открытое множество C, что (An |Ln ), то (A|L).

Доказательство. Запишем операторы An и A в матричном виде:

Так как An сходится к A равномерно, то и все элементы Ajk тоже равномерно сходятся к Ajk. Действительно, проверим это, например, для матричных элементов P+ An P = A21 и P+ AP = A21, для остальных это доказывается аналогично:

Пусть Kn {Kn } K+ и шар K+ слабо компактен согласно теореме Тихонова (см. теорему 3.13), то найдется подпоследовательность {Knm } такая, что Knm слабо сходится к некоторому оператору K K+, K 1, и этому оператору отвечает неотрицательное подпространство Без ограничения общности будем считать, что слабо сходится исходная последовательность {Kn }.

Докажем, что L инвариантно относительно предельного оператора A, т.е. AL L. Или, что эквивалентно оператор K решение уравнения Для каждой пары An и Kn в силу (3.35) имеем:

Справедливость равенства (3.35) будет следовать предельным переходом из этой последовательности уравнений, если будут доказаны следующие утверждения:

1. Kn A11 слабо сходится к KA11 ;

2. Kn A12 Kn слабо сходится к KA12 K;

3. A21 слабо сходится к A21 ;

4. A22 Kn слабо сходится к A22 K.

Для доказательства утверждения 1 нужно проверить, что Поскольку то достаточно установить, что:

Первое их этих соотношений проверяется следующим образом:

поскольку Kn Далее, остается отметить, что так как Kn слабо сходится к K, и тем самым свойство 1 установлено.

Аналогично доказываются 3 и 4, причем 3 просто очевидно, так как из равномерной сходимости A21 к A21 следует и сильная, и слабая сходимость.

Докажем теперь 2. Предварительно напомним, что оператор является компактным тогда и только тогда, когда он переводит произвольную слабо сходящуюся последовательность векторов (или операторов) в сильно сходящуюся.

Проведем следующие преобразования:

Kn A12 Kn KA12 K = Kn (A12 A12 )Kn + (Kn K)A12 K+ Проверим, что каждое из 4-х слагаемых в выражении справа слабо стремится к нулю.

Поскольку то здесь сходимость равномерная, а потому и сильная, и слабая.

Далее, так как Kn слабо сходится к K.

Осталось доказать, что (Kn K)A12 (Kn K) слабо сходится к нулю. Напомним, что A12 конечномерный непрерывный, а потому компактный оператор, и потому имеет место сильная сходимость A12 Kn A12 K, n. Следовательно, |((Kn K)(A12 Kn A12 K)x, y)| Kn K · (A12 Kn A12 K)x · y Таким образом, первая часть теоремы доказана.

Пусть существует такое открытое множество C, что (An |Ln ). Проверим, что (A|L).

Kx+ : x+ + }. Из инвариантности L относительно оператора A имеем:

Согласно теореме 3.9 оператор (P+ |L) : L + является непрерывным и непрерывно обратимым. При этом x = x+ + Kx+ = (P+ |L)1 x+. Следовательно, Ax = (P+ |L)1 (Ax)+ = (P+ |L)1 (A11 + A12 K)(P+ |L)x, x L, т.е.

Таким образом, оператор A|L подобен оператору A11 + A12 K, а потому их спектры совпадают:

Соотношения (3.37) и (3.38) выполнены для любого оператора, в частности, для операторов An и соответствующих угловых операторов Kn их инвариантных подпространств Ln :

Так как последовательности A11 и A12 равномерно сходятся к A и A12, соответственно, и Kn слабо сходится к K, то A11 + A12 Kn слабо сходится к A11 + A12 K. Отсюда, с учетом того, что операторы A11 + A12 Kn и A11 + A12 K действуют в конечномерном (-мерном) пространстве +, следует и равномерная сходимость последовательn) (n) ности A11 + A12 Kn к оператору A11 + A12 K.

Докажем, что в открытом множестве C \ нет точек спектра оператора A|L, или что то же, нет точек спектра оператора B := A11 + A12 K. Пусть, напротив, найдется в C \ нормальное собственное значение µ оператора B (других точек спектра в конечномерном пространстве быть не может). Пусть Так как по условию спектр операторов Bn := A11 + A12 Kn расположен в, то (Bn ).

Введем проекторы Рисса Так как (Bn ), то из теоремы 3.8, свойство 2, следует, что P,n = 0 для любого n. Следовательно, Здесь мы воспользовались, с одной стороны, оценкой (3.5), примененной как к резольвенте оператора B, так и к резольвентам операторов Bn, а с другой стороны тем, что Bn = B и потому sup max (Bn I)1 (проверить!). Из (3.40) следует противоречие с тем, что µ (B) (см. теорему 3.8).

Теорема 3.15. Пусть последовательность операторов {An } равномерно сходится к оператору A в пространстве = + []. Если каждый из операторов An имеет максимальное неположительное инвариантное подпространство Mn, то оператор A также имеет максимальное неположительное инвариантное подпространство M.

Если при этом существует такое открытое множество C, что (An |Mn ), то (A|M).

Доказательство не отличается от доказательства теоремы 3.14, если в рассуждениях заменить уравнение (3.35) на (3.36).

Теоремы 3.14 и 3.15 будут ключевыми при доказательстве существования инвариантных -мерных неотрицательных и максимальных неположительных подпространств у операторов разных классов, действующих в пространстве Понтрягина.

Теорема 3.16. У любого ограниченного J-самосопряженного в оператора A существует -мерное неотрицательное инвариантное подпространство L и максимальное неположительное инвариантное подпространство M такие, что Доказательству этой теоремы предпошлем нахождение последовательности операторов An со свойствами, упомянутыми в теореме 3.14.

Определение 3.8. Оператор A, действующий в, называется J-диссипативным, если Im[Ax, x] 0, x. и равномерно Jдиссипативным, если Лемма 3.2. Если ограниченный оператор A равномерно Jдиссипативен, то R (A).

Доказательство. Пусть R. Из неравенств (3.43) и (2.13) имеем откуда следует, что (A I)x k x, k 0. Значит, r(A) и потому R r(A), т.е. все действительные числа являются точками регулярного типа для оператора A. Поскольку для любого ограниченного оператора A все точки с || A принадлежат резольвентному множеству, то R(A) =. Из теоремы Красносельского–Крейна (теорема 3.3) с учетом того, что R связно, получаем: R (A).

Теорема 3.17. Пусть = (A) C+ часть спектра ограниченного равномерно J-диссипативного оператора A, расположенная в верхней полуплоскости C+. Рассмотрим выделяющий его контур (A), состоящий из полуокружности с центром в нуле, радиуса a A и расположенной в верхней полуплоскости, а также отрезка [a, a]:

Пусть P отвечающий проектор Рисса:

Тогда:

1. Подпространство P является -мерным положительным инвариантным подпространством оператора A.

2. Подпространство (I P ) отрицательное инвариантное подпространство оператора A.

Доказательство. Тот факт, что P и (I P ) инвариантные подпространства оператора A, уже был отмечен в утверждении 3 теоремы 3.8 (см. (3.18)). Остается проверить знаки этих подпространств.

Докажем сначала, что Введем обозначение A = A|P. Из свойств проектора Рисса следует, что (A ) = и при x P Так как то из (3.44) следует Отсюда, с учетом (3.44), получаем:

Положим y = (A I)1 x. Тогда из (3.43), с учетом равенства A y = Ay, следует Остается воспользоваться (3.45) и тем, что интеграл от неотрицательной функции неотрицателен, а потому [x, x] = [P x, x] = Re[P x, x] 0, т.е. P неотрицательное подпространство.

Докажем теперь, что P положительное подпространство.

Предположим противное: оно не является положительным. Тогда найдется ненулевой элемент x0 P такой, что [x0, x0 ] = 0. Так как P неотрицательное подпространство, то по неравенству Коши–Буняковского (2.13), которое в силу определения (2.7) канонического скалярного произведения можно записать и в виде приходим к выводу, что Выберем здесь x = Ax0. (Это можно сделать, так как x P и это подпространство инвариантно для A). Следовательно, [Ax0, x0 ] = 0 и потому Im[Ax0, x0 ] = 0. Так как оператор A равномерно диссипативный, то x0 = 0, т.е. пришли к противоречию. Итак, подпространство P положительно.

Аналогично доказывается, что (I P ) отрицательное инвариантное подпространство оператора A. Отсюда следует, что разлагается в прямую сумму положительного P и отрицательного (I P ) подпространств (заметим, что это не обязательно каноническое разложение поскольку эти подпространства могут быть не J-ортогональны):

Докажем, наконец, что dim P =. (Метод доказательства этого факта уже встречался ранее, см. лемму 2.1.) Так как (по лемме 2.1) любое неотрицательное подпространство имеет размерность, не превышающую, то, рассуждая от противного, предположим, что dim P. Тогда найдется (в силу аксиомы (ii) определения 2.3) положительный элемент x0, x0 []P, причем в силу положительности x0 имеем x0 P. Тогда л.о.{P, x0 } как (I P )x0 = x0 P x0 л.о. {x0, P }, то этот элемент положителен и принадлежит отрицательному подпространству (I P ) противоречие, показывающее, что предположение dim P неверно, т.е. dim P =.

Доказательство теоремы 3.16. Проверим утверждение для случая -мерного неотрицательного подпространства, опираясь на теорему 3.14. Доказательство существования максимального неположительного инвариантного подпространства с указанным спектральным свойством мы опускаем, поскольку рассуждения отличаются лишь ссылкой на теорему 3.15 вместо ссылки на теорему 3.14.

Введем последовательность операторов An := A + in1 J. Для этих операторов имеем Im[An x, x] = Im[(A+in1 J)x, x] = Im[Ax, x]+Im[in1 Jx, x] = n1 (x, x), т.е. они равномерно J-диссипативные (см. (3.43)). Поэтому по теореме 3.17 существуют максимальные инвариантные неотрицательные подпространства Ln M+, An Ln Ln, (An |Ln ) C+, n = 1, 2,.... Так как последовательность операторов An сходится равномерно к оператору A, то по теореме 3.14 существует подпространство L M+, инвариантное относительно A, AL L, причем dim L =. Если положить в условиях теоремы 3.14 = C+, то получим (3.41).

Полный аналог теоремы 3.16 справедлив и для J-диссипативных операторов с абсолютно идентичным обоснованием (проверить!).

Теорема 3.18. У любого ограниченного J-диссипативного в оператора A существует -мерное неотрицательное инвариантное подпространство L и максимальное неположительное инвариантное подпространство M такие, что Доказываемый ниже результат интересен тем, что неотрицательное инвариантное подпространство L можно выбрать, в отличие от (3.41), таким образом, что (A|L) может содержать как точки из C+, так и из C.

нев (A) := {1,..., p, 1,..., p } его невещественный спектр, нев (A) выбраны так, что µj = µk, j, k = 1,..., p. Тогда найдется мерное неотрицательное инвариантное подпространство L оператора A : AL L такое, что Доказательство. Напомним (см. стр. 49), что пространство допускает разложение (3.21) в J-ортогональную сумму инвариантных относительно A подпространств:

причем (Lj (A) По построению (A|(I P ) ) R. Следовательно, по теореме 3.16 у оператора A|(I P ), а потому и у оператора A, существует в (I P ) максимальное неотрицательное инвариантное подпространство L размерности и (A|L) R.

Рассмотрим подпространство являющееся J-ортогональной суммой подпространств, инвариантных относительно оператора A. Следовательно, подпространство L также инвариантно относительно этого оператора. Из нейтральности подпространств Lµj (A), j = 1, p, и неотрицательности L заключаем, что и подпространство L неотрицательно. Так как то L максимальное неотрицательное инвариантное подпространство оператора A и по построению нев (A|L) = {µj }p.

Рассмотрим более сложные вопросы из теории инвариантных подпространств в пространстве Понтрягина. Сперва введем необходимые понятия.

Определение 3.9. Пусть L+ и L неотрицательное и неположительное подпространство, соответственно. Если они J-ортогональны друг другу, то пара {L+, L } называется дуальной парой подпространств.

где K и Q соответствующие угловые операторы этих подпространств. Выясним, при каких условиях подпространства L+ и L являются J-ортогональными. Имеем Отсюда следует, что Определение 3.10. Скажем, что дуальная пара является расширением дуальной пары {L+, L }, (или вторая является сужением первой), если L+ L+, L L.

Символически это определение можно переписать так:

угловые операторы подпространств L+, L. Тогда соK1, Q отношение (3.48) можно переписать в следующем виде (проверить!):

Определение 3.11. Дуальная пара {L+, L } называется максимальной дуальной парой, если не существует дуальной пары {L+, L }, являющейся ее расширением и с ней не совпадающей:

Рассуждая аналогично тому, как мы делали на стр. 56 относительно максимальных семидефинитных подпространств, можно показать, что каждая дуальная пара допускает расширение до максимальной дуальной пары. Наша ближайшая цель описать максимальные дуальные пары. Следующая ниже теорема 3.20, в части эквивалентности (i) (ii) принадлежащая Р.С. Филлипсу, дает полный ответ на вопрос, какие дуальные пары максимальны.

Теорема 3.20. Пусть {L+, L } дуальная пара. Тогда следующие условия эквивалентны:

(i) L+ M+, L M, т.е. L+, и L максимальное неотрицательное и максимальное неположительное подпространство, соответственно.

(ii) {L+, L } максимальная дуальная пара.

(iii) L0 := L+ L = (L+ + L )[].

Доказательство. (i) = (ii) следует из определения максимальности дуальной пары (см. (3.48)).

(ii) = (iii). Поскольку L+ неотрицательное, а L неположительное подпространства, то справедливо включение (3.33). В предположении (ii) допустим, что L0 = (L+ +L )[]. Тогда найдется ненулевой вектор x0 (L+ + L )[] \ L0. Этот вектор не может быть дефинитным, в противном случае дуальная пара {л.о.{L+, x0 }, L } была бы расширением дуальной пары {L+, L }, если x0 положительный вектор, или дуальная пара {L+, л.о.{L, x0 }} была бы расширением дуальной пары {L+, L }, если x0 отрицательный вектор. Но x0 не может быть и нейтральным, поскольку он по предположению не входит хотя бы в одно из подпространств L+ и L, а потому дуальная пара {л.о.{L+, x0 }, л.о.{L, x0 }} расширение дуальной пары {L+, L } с ней не совпадающее, что противоречит максимальности {L+, L }.

(iii) = (i) доказано в более общем случае в теореме 3.12.

Следствие 3.4. Пусть K : dom K + и Q : dom Q + сжатия, удовлетворяющие условию:

Тогда найдется такое расширение K K+ оператора K, что K расширение оператора Q.

Доказательство. Рассмотрим неотрицательное L+ и неположительное L подпространства:

Их условия (3.50) следует, что подпространства L± образуют дуальную пару. В силу теоремы 3.20 существует максимальная дуальная пара {L+, L }, являющаяся расширением для {L+, L }. Пусть K и угловые операторы подпространств L+ и L, соответственно.

Тогда K K, Q Q и из теоремы 3.11 следует, что Q = K.



Pages:   || 2 |
 


Похожие работы:

«® Aqua-TraXX Проект руководства по применению Метрическая версия Это издание предназначено для предоставления точного и информативного мнения относительно данного предмета изучения. Оно распространяется с согласия авторов, издатели и дистрибьюторы не несут ответственности за инженерную, гидравлическую, агрономическую или другую профессиональную консультацию. История издания: Первое издание Июнь, 1997 Второе издание Август, 1998 Третье издание Октябрь, 1999 Четвертое издание Август, 2000 Пятое...»

«МЕЖДУНАРОДНЫЙ МОЗМ D 1 ДОКУМЕНТ 2012 г. (изд. англ.) ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ЗАКОНА ПО МЕТРОЛОГИИ Considerations for a Law on Metrology Международная Организация Законодательной Метрологии (МОЗМ) 1 Содержание Предисловие Часть 1 – Введение Часть 2 – Обоснование Часть 3 – Руководящие указания по созданию структур в метрологии и предлагаемые статьи для Закона Часть 4 – Предложения по нормативным документам Часть 5 – Предложения по структуре Закона по метрологии Часть 6 – Библиография Предисловие...»

«УТВЕРЖДАЮ Первый заместитель директора ФГБУ ЦНИИОИЗ, Научный руководитель Центра д.м.н., проф., заслуженный деятель науки _ Ю.В. Михайлова Отчет Федерального Центра мониторинга противодействия распространению туберкулеза в Российской Федерации за 2013 г. Руководитель Центра – Нечаева О.Б. Введение Федеральный Центр мониторинга противодействия распространению туберкулеза в Российской Федерации был создан согласно Приказу Министерства здравоохранения и социального развития Российской Федерации от...»

«МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА дисциплины: Операционные системы, среды и оболочки для специальности 080801.65 Прикладная информатика (по областям) Факультет прикладной информатики Ведущая кафедра информационных систем Дневная форма обучения Вид учебной работы Курс, Всего часов семестр Лекции 2 курс, 4 семестр...»

«Национальные библиотеки зарубежных стран: основные достижения, трудности и проблемы (Обзор по материалам англоязычной печати 1998-2002 гг.) Содержание: 1. Эволюция функций и задач НБ в конце 20 - начале 21 веков 2. Фонды 3. Обслуживание пользователей 4. Новые информационные технологии 5. НБ как лидер библиотечной системы страны. Развитие кооперации с другими библиотеками и родственными учреждениями 6. Международное сотрудничество НБ 7. Управление национальной библиотекой 8. Строительство и...»

«ВЕСТНИК МОСКОВСКОГО ГОРОДСКОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА НаучНый журНал СЕРИя ЕстЕствЕННыЕ Науки № 2 (12) Издается с 2008 года Выходит 2 раза в год Москва 2013 VESTNIK MOSCOW CITY TEACHERS TRAINING UNIVERSITY Scientific Journal natural ScienceS № 2 (12) Published since 2008 Appears Twice a Year Moscow 2013 Редакционный совет: Реморенко И.М. ректор ГБОУ ВПО МГПУ, председатель кандидат педагогических наук, доцент, почетный работник народного образования Рябов В.В. президент ГБОУ ВПО МГПУ,...»

«Зарегистрировано в Минюсте РФ 28 апреля 2010 г. N 17035 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПРИКАЗ от 29 марта 2010 г. N 224 ОБ УТВЕРЖДЕНИИ И ВВЕДЕНИИ В ДЕЙСТВИЕ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СТАНДАРТА ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ ПОДГОТОВКИ 021300 КАРТОГРАФИЯ И ГЕОИНФОРМАТИКА (КВАЛИФИКАЦИЯ (СТЕПЕНЬ) МАГИСТР) КонсультантПлюс: примечание. Постановление Правительства РФ от 15.06.2004 N 280 утратило силу в связи с изданием Постановления...»

«Российско-Американское сотрудничество по здравоохранению Проект Мать и Дитя Санкт-Петербургская государственная медицинская академия им. И.И.Мечникова Центральный научно-исследовательский институт организации и информатизации здравоохранения Министерства здравоохранения РФ Комитет по здравоохранению Администрации г.Санкт-Петербурга Медицинский Информационно-аналитический Центр г.Санкт-Петербурга Управление Здравоохранения Администрации Пермской Области Управление Здравоохранения Администрации...»

«2 3 СОДЕРЖАНИЕ Пояснительная записка 4с. Структура и содержание дисциплины 9с. Объем дисциплины и виды учебной работы 9с Тематический план лекций 10с Тематический план практических занятий и семинаров 10с Содержание лекций 11с Содержание практических занятий и семинаров 14с Критерии балльно-рейтинговой оценки знаний студентов 16с Самостоятельная работа студентов (аудиторная и внеаудиторная). 17с Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины 20с Основная литература 20с...»

«ОПИСАНИЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ ПРИКЛАДНАЯ ИНФОРМАТИКА (В ЭКОНОМИКЕ) 1. Общие положения. 1.1. Основная профессиональная образовательная программа (ОПОП) бакалавриата, реализуемая в АОНО ВО Институт менеджмента, маркетинга и финансов, по направлению подготовки 230700 Прикладная информатика по профилю Прикладная информатика в экономике. Основная профессиональная образовательная программа представляет собой систему документов, разработанную и утвержденную вузом на основе Федерального...»

«Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ РУКОВОДЯЩИЙ РД ПГУТИ 1.14.6 - 2010 ДОКУМЕНТ Система управления качеством образования ПОДГОТОВКА КАДРОВ ВЫСШЕЙ КВАЛИФИКАЦИИ В ПГУТИ (АСПИРАНТУРА, ДОКТОРАНТУРА) Положение Самара 2010 РД ПГУТИ 1.14.6 - 2010 ПОДГОТОВКА КАДРОВ ВЫСШЕЙ КВАЛИФИКАЦИИ В ПГУТИ (АСПИРАНТУРА, ДОКТОРАНТУРА) Положение Предисловие 1 РАЗРАБОТАН Отделом аспирантуры Исполнитель:...»

«ПУБЛИКАЦИИ А. В. Маштафаров * Воспоминания И. М. Картавцевой о паломнических поездках в Оптину пустынь (1917–1923 гг.) Автор воспоминаний о посещениях Введенской Оптиной пустыни 1 и Ша мординского монастыря 2 незадолго до закрытия этих обителей Ирина Ми хайловна Картавцева (1898–1983 гг.) принадлежала к старинному дворян скому роду Тульской губернии. В 1908–1918 гг. она училась в Белёвской женской гимназии, с 1917 г. работала учительницей в Белёвском женском при ходском училище, в 1922 г....»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО Амурский государственный университет УТВЕРЖДАЮ Зав. кафедрой ОМиИ _Г.В. Литовка _2006 г. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ПО ДИСЦИПЛИНЕ ИНФОРМАТИКА для специальности 100103 – Социально-культурный сервис и туризм Составитель: Н.А. Чалкина Благовещенск, 2006 Печатается по решению редакционно-издательского совета факультета математики и информатики Амурского государственного университета Н.А. Чалкина...»

«Российская Академия Образования Институт Социологии Образования СОцИОлОгИя ОбРАзОвАнИя Под редакцией В.С. Собкина Москва, 2009 УДК 301 ббК 60.59 С 54 научное направление РАО Социокультурные проблемы современного образования Печатается по решению Ученого Совета Учреждения Российской академии образования Института социологии образования РАО научный редактор В.С. Собкин Рецензенты доктор психологических наук, профессор К.Н. Поливанова доктор психологических наук, профессор Б.Д. Эльконин Социология...»

«ПРАВИТЕЛЬСТВО МОСКВЫ КОМИТЕТ ПО АРХИТЕКТУРЕ И ГРАДОСТРОИТЕЛЬСТВУ УКАЗАНИЕ от 16 мая 2000 г. N 20 ОБ УТВЕРЖДЕНИИ ИНСТРУКЦИИ ПО ПРОЕКТИРОВАНИЮ, МОНТАЖУ И ПРИЕМКЕ В ЭКСПЛУАТАЦИЮ ОХРАННО - ЗАЩИТНЫХ ДЕРАТИЗАЦИОННЫХ СИСТЕМ (ОЗДС) 1. Утвердить и ввести в действие Инструкцию по проектированию, монтажу и приемке в эксплуатацию охранно - защитных дератизационных систем (ОЗДС), разработанную МНИИТЭП. 2. Управлению перспективного проектирования и нормативов (Зобнин А.П.) совместно с ГУП Управление...»

«ДОКЛАДЫ БГУИР № 2 (14) АПРЕЛЬ–ИЮНЬ 2006 ЭКОНОМИКА И УПРАВЛЕНИЕ УДК 608. (075) ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ НЕМАТЕРИАЛЬНЫХ АКТИВОВ Т.Е. НАГАНОВА Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники П. Бровки, 6, Минск, 220013, Беларусь Поступила в редакцию 28 ноября 2005 Рассматриваются теоретические составляющие интеллектуальной собственности с целью формулировки подходов к совершенствованию патентно-лицензионной работы в Республике Беларусь. Ключевые слова: интеллектуальная...»

«Направление подготовки: 010400.68 Прикладная математика и информатика (очная) Объектами профессиональной деятельности магистра прикладной математики и информатики являются научно - исследовательские центры, государственные органы управления, образовательные учреждения и организации различных форм собственности, использующие методы прикладной математики и компьютерные технологии в своей работе. Магистр прикладной математики и информатики подготовлен к деятельности, требующей углубленной...»

«Электронное научное издание Альманах Пространство и Время. Т. 3. Вып. 1 • 2013 Специальный выпуск ПРОСТРАНСТВО И ВРЕМЯ ГРАНИЦ Electronic Scientific Edition Almanac Space and Time Special issue 'Space, Time, and Boundaries’ Elektronische wissenschaftliche Auflage Almabtrieb ‘Raum und Zeit‘ Spezialausgabe ‘Der Raum und die Zeit der Grenzen‘ ‘Т е о р и я и методология Theory and Methodology / Theorie und Methodologie УДК 001:351.746.1 Боярский В.И. Наука о регулятивной функции государственной...»

«Основные задачи Белорусского государственного университета по реализации стратегии развития информационного общества в Республике Беларусь // Международный конгресс по информатике : информационные системы и технологии = Internetional Congress on Computer Science : Information Systems and Technologies // С.В. Абламейко, Ю.И. Воротницкий, М.А. Журавков, А.Н. Курбацкий, П.А. Мандрик, Ю.С. Харин / Материалы междунар. науч. конгресса, Республика Беларусь, Минск, 31 окт. – 3 нояб. 2011 г. : в 2 ч. Ч....»

«Министерство РФ по связи и информатизации Поволжская Государственная Академия Телекоммуникаций и Информатики Одобрена Советом ФЭС Кафедра ЛС и ИТС Методическая разработка к практическому занятию по курсу Методы и средства измерений в телекоммуникационных системах для студентов специальности МТС 201000 Расчет глаз-диаграммы канала связи волоконно-оптической системы передачи Состави- д.т.н., проф. Бурдин В.А. ли: к.т.н., доц. Баскаков В.С. к.т.н., доц. Бурдин А.В. к.т.н., доц. Косова А.Л....»






 
© 2014 www.kniga.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Книги, пособия, учебники, издания, публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.