WWW.KNIGA.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Книги, пособия, учебники, издания, публикации

 


Pages:     | 1 ||

«Н.Д. КОПАЧЕВСКИЙ СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРНЫХ ПУЧКОВ Специальный курс лекций для студентов специальности ”Математика” Симферополь, 2009 ББК 22.311 К65 УДК ...»

-- [ Страница 2 ] --

Естественным следствием доказанных лемм 3.1.1 3.1.3 является такое утверждение.

Теорема 3.1.1. Пусть выполнены условия (3.2), (3.4) для самосопряжённого операторного пучка L() := I A B().

1. Пучок L() допускает факторизацию (3.3), где оператор-функция A+ () голоморфна и голоморфно обратима в круге || t, t (0, r), и оператор Z подобен самосопряжённому оператору.

2. Если дополнительно выполнены условия то задача L() = 0 имеет на промежутке (t, t) дискретный спектр где j = j (Z) изолированные конечнократные собственные значения оператора Z. Этим значениям отвечает совокупность {j } H собственных элементов (присоединённых нет!), обраj= зующих базис Рисса в H:

где {j } ортонормированный базис, составленный из собственj= ных элементов самосопряженного компактного оператора K := F 1/2 (ZF )F 1/2.

Доказательство. При выполнении условия (3.4) пучок L(), согласно теореме 2.3.1, допускает факторизацию (3.3). Так как L() самосопряженный пучок, то по лемме 3.1.2 фактор Z симметризуется справа оператором F из (3.5). Далее, по лемме 3.1.3 симметризатор F положительно определен. Поэтому по лемме 3.1.1 получаем, что оператор Z подобен самосопряженному оператору. Тогда его спектр, расположенный внутри круга || t, должен быть вещественным, т.е.

выполнено включение (3.10).

Пусть теперь выполнены условия (3.11). Тогда, как следует из доказательства теоремы 2.3.5 и формул (2.123), Так как по условию Ker A = {0}, то Ker Z = {0}.

Рассмотрим теперь в области (t, t) задачу на собственные значения Осуществим здесь замену и подействуем на обе части (3.14) оператором F 1/2. Возникает задача Поскольку здесь оператор ZF самосопряжён и вполне непрерывен (так как (I + S) L(H), A S (H), F L(H)), а его ядро нулевое, то (3.16) есть задача на собственные значения для полного самосопряжённого оператора K. Поэтому, согласно теореме Гильберта-Шмидта, она имеет счётное множество конечнократных собственных значений и полную ортонормированную систему собственных элементов:

Поэтому в задаче (3.14) в силу замены (3.15) имеем 3.1.4 О базисности Рисса для пучка С.Г. Крейна Рассмотрим снова пучок С.Г. Крейна и будем считать, что Теорема 3.1.2. Пусть для пучка (3.17), (3.18) выполнены условия:

Тогда:

1. Пучок L() имеет дискретный вещественный спектр с предельными точками = 0 и =.

2. Предельной точке = 0 отвечает ветвь {0n } изоn= лированных конечнократных собственных значений = 0n, расположенных на отрезке [r, r ] R. Соответствующая система собственных элементов (присоединённых нет) после проектирования на подпространство H1 := H H0 образует базис Рисса в H1.





3. Предельной точке = отвечает ветвь {m } изоm= лированных конечнократных собственных значений, расположенных на действительной оси вне промежутка (r+, r+ ). Соответствующая система собственных элементов (присоединённых нет) образует базис Рисса в H.

Доказательство. Утверждение 1 будет доказано в процессе доказательства утверждений 2 и 3.

Докажем (наиболее сложное) утверждение 2. Введём пучок Он имеет структуру пучка, к которому применимы результаты теоремы 3.1.1 (так как здесь можно заменить A B, B() 2 A), а также теоремы 2.3.6.

В частности, при выполнении уcловия 4 A · B 1 имеет место факторизация причем оператор I Y A обратим при || r+, а Так как M () самосопряженный пучок и выполнено условие, достаточное для его факторизации, то по леммам 3.1.2 и 3.1.3 фактор Опираясь на эти факты, рассмотрим в круге || t спектральную задачу Отметим, что в этой задаче Ker B может быть нетривиальным, так как по условию dim H0 может быть положительной.

Пусть P0 и P1 ортопроекторы на H0 и H1 соответственно. Тогда H0 и H1 – инвариантные подпространства для оператора B, причем Отметим еще, что оператор := AY BY S (H) в силу (3.18).

Применим к обеим частям уравнения (3.24) ортопроекторы P0 и P1 соответственно, получим Так как по условию (см. (3.17)) = 0, то по известному решению 1 := P1, отвечающему собственному значению, можно найти 0 = P0 из (3.25). В то же время уравнение (3.26) не содержит 0, и потому это уравнение можно рассмотреть отдельно в пространстве H1.

Здесь BP1 = P1 BP1 =: B1 = B1 полный оператор в H1 (Ker B1 = {0}), являющийся также самосопряженным.

Перепишем (3.26) в виде и воспользуемся теперь свойством ZF = (ZF ) =: K. Применяя здесь оператор P1 слева и справа, будем иметь (P1 (I + )BP1 ) (P1 F P1 ) =: Z1 · F1 = (Z1 F1 ) =: K1 = K1 S (H1 ).

тельно, при любом 1 H1 имеем 1 = P1 1 и потому Докажем теперь, что для оператора Z1 S (H1 ) из (3.27), (3.28) выполнено условие Ker Z1 = {0}. В самом деле, в представлении второй сомножитель имеет нулевое ядро по выбору подпространcтва H1. Поэтому достаточно установить, что оператор обратим в H1, поскольку S (H).

Докажем этот факт. Из уравнения для Y следует, что Y 1 = I AY B. Тогда матричное представление Y 1 в ортогональном разложении H = H1 H0 имеет вид Так как оператор Y = (Y 1 )1 существует и принадлежит L(H), то уравнение Y 1 u = v должно иметь единственное решение. Если u = (u1 ; u0 )t, v = (v1 ; v0 )t соответствующие вектор–столбцы в данном ортогональном разложении, то указанное уравнение приводит к системе уравнений Она имеет единственное решение, если I1 11 обратим. Тогда (I 11 )1 L(H1 ), а решение системы уравнений дается формулой Отсюда следует, что оператор P1 Y P1 = P1 (I + )P1 обратим в H1 и Вернемся к соотношению (3.28), оно приводит к формуле Тогда уравнение (3.27) принимает вид Осуществим здесь замену и применим слева в (3.30) оператор F1. Получим уравнение Теперь остается лишь повторить концовку доказательства теоремы 3.1.1: так как F1 K 1 F1 является компактным самосопряженным оператором с нулевым ядром, то задача (3.32) имеет счетное множество конечнократных изолированных собственных значений {0n }, 0n 0 (n ), и отвечающую им полную ортогоn= нальную систему собственных элементов {0n } H1, т.е. ортогоn= нальный базис подпространства H1. Поэтому с учётом формулы связи (3.31) отсюда следует, что проекции на H1 собственных элементов исходной задачи (3.24) образуют базис Рисса в H1, и утверждение данной теоремы доказано.

Докажем теперь утверждение 30. Это можно сделать так же, как в конце доказательства теоремы 2.3.6. Именно, в пучке L() (см. (3.17)) осуществляем замену = µ1. Возникает пучок L(µ) = I µB µ1 A, который факторизуется по формуле (2.139), и тогда Здесь следует учесть, что для факторизационной окружности Упрощающим обстоятельством для пучка (3.33) и соответствующей задачи теперь является тот факт, что Ker A = {0}. Поэтому в (3.34) не нужно проводить процедуру проектирования на H1 = H H0, так как H0 = {0}.

Этим завершается доказательство всей теоремы в целом, так как утверждение 10, как уже упоминалось, следует из утверждений 20 и 30. Упражнение 3.1.2. Проведите подробное доказательство утверждения 30 теоремы 3.1.2.

3.2 О p-базисности системы собственных элементов и асимптотике ветвей собственных значений операторных Здесь будут получены достаточные условия, обеспечивающие для фактора Z, возникающего при факторизации пучка L(), свойство не только базисности Рисса его собственных элементов, но и свойство их p-базисности. Кроме того, при некоторых более жёстких ограничениях на свойства операторных коэффициентов пучка будут получены асимптотические формулы для отдельных ветвей собственных значений.

3.2.1 Об s-числах вполне непрерывных операторов Пусть A S (H), B := (A A)1/2 S (H), B 0. Как уже упоминалось в п. 2.3.2, s-числами оператора A называются собственные значения оператора B:

Так как sj (A) 0, то их можно пронумеровать в порядке убывания с учетом их кратности. Если ненулевых s-чисел оператора A лишь конечное число, равное, скажем, M, то полагают sj (A) = 0 при j M.

Укажем некоторые простейшие свойства s-чисел оператора A S (H):

3. sj (cA) = |c|sj (A), c C;

Отметим ещё несколько важных свойств:

8. sm+n1 (AB) sm (A) · sn (B), m, n = 1, 2,....

Напомним, что оператор A Sp (H), если его s-числа суммируются со степенью p, а нижнюю грань значений p для оператора A называют порядком оператора A и обозначают p (A).

Пусть A, B операторы конечного порядка. Тогда для таких операторов имеют место следующие свойства:

Все эти свойства, а также многие другие свойства s-чисел доказываются в монографии И.Ц. Гохберга и М.Г. Крейна [7].

3.2.2 О p-базисности системы собственных элементов, отвечающих двум ветвям пучка Перед рассмотрением этой проблемы решим предварительно следующее упражнение.

Упражнение 3.2.1. Пусть (Z) { : || t}. Доказать, что равна если выполнено (3.35) при k = 0. Здесь первый интеграл равен нулю по теореме Коши, так как подинтегральная функция является аналитической при || t (в данном случае полином порядка k 1).

В случае k = 0 воспользуемся тем фактом, что (Z) { : || t}. Тогда (Z I)1 при || = t обратим и (см. упражнение 1.2.2) Отсюда следует, что Рассмотрим теперь снова пучок С.Г. Крейна и будем считать, что Теорема 3.2.1. Пусть для пучка (3.38), (3.39) выполнены условия теоремы 3.1.2, т.е.

Тогда система собственных элементов, отвечающая собственным значениям из отрезка [r, r ], после проектирования на H образует p-базис в H1 при Соответственно система собственных элементов, отвечающая собственным значениям на вещественной оси вне промежутка (r+, r+ ), образует p-базис в H при тех же p.

Доказательство. Так как выполнены все условия теоремы 3.1.2, то пучок (3.38) допускает факторизацию относительно окружности || = t, t (r, r+ ), причём две ветви собственных значений {0n } и {n } таковы, что им отвечают собственные элементы, образуn= ющие базисы Рисса в H1 (после проектирования на H1 ) и H соответственно.

Напомним ещё, что в области || t спектральная задача для пучка L() была приведена к изучению проблемы разложении Z1 полный оператор, симметризующийся справа оператором F1 := Далее, при доказательстве теоремы 3.1.2 вводился оператор K1 := Z1 F1 = K1 S (H1 ), а уравнение (3.43) после замены было приведено к уравнению с полным самосопряжённым компактным оператором K1. Собственные элементы {0n } этого оператора, согласно теореме Гильберта– Шмидта, образуют ортогональный базис в H1. Выбирая его ортонормированным, считаем, что {0n } ортонормированный базис в H1.

Покажем теперь, что если выполнены условия (3.39), то справедливо первое утверждение теоремы и имеет место формула (3.42). Для доказательства p–базисности собственных элементов задачи (3.43) необходимо установить, что Представим T1 в виде Так как здесь справа все сомножители, кроме T, ограничены, то T1 будет принадлежать классу Sp, если T Sp. (В самом деле, из свойств 50 и 60 s–чисел и определения класса Sp следует, что AB, BA принадлежат классу Sp, если A Sp, B L(H), продумайте это!).

Воспользуемся представлением (3.23) для симметризатора F, а также разложением (3.44). Будем иметь Так как здесь оператор-функция (I Y A)1 голоморфна при || t, то она допускает разложение в равномерно сходящийся ряд Маклорена (ряд Неймана для оператора, близкого к единичному):

Поэтому (3.37) из упражнения 3.2.1 получаем, что Отсюда и из уравнения Y = I + AY BY (см. (3.44)) имеем Тогда Так как здесь операторы Y и F ограничены, а операторы A и B принадлежат классам SpA и SpB соответственно, то каждое слагаемое в (3.52), а потому и сумма операторов принадлежит классу Sp при p = p 0, p 1 = p1 + p1. Поэтому T принадлежит этому же классу Sp, а вместе с ним, в силу представления (3.49), T1 Sp. Этим завершается доказательство первого утверждения теоремы.

Второе утверждение теоремы доказывается аналогично с теми упрощениями, о которых уже упоминалось в процессе доказательства п.30 теоремы 3.1.2. Именно, осуществляя в пучке L() замену = µ1, приходим к пучку L(µ) := I µB µ1 A, который допускает факторизацию относительно окружности |µ| = t, t (r, r+ ), r± = 1/r.

Для этого пучка вводим симметризатор и повторяем вышеприведенные рассуждения с тем упрощением, что здесь в силу свойства Ker A = {0} вместо проектора P1 следует взять единичный оператор I, действующий в H. Это лишь сократит доказательство второго утверждения теоремы.

Замечание 3.2.1. Если вместо условий (3.39) взять условия A L(H), B SpB, то справедливо первое утверждение теоремы 3.2. при p = p 0 = pB. Этот факт следует из представления (3.52) оператора T. Аналогично, если выполнены условия A SpA, B L(H), то справедливо второе утверждение теоремы 3.2.1 при p = p 0 = pA.

Это также следует из (3.52).

3.2.3 О p-базисности системы собственных элементов самосопряженной операторфункции Утверждения, полученные в п.3.2.2 для пучка С.Г. Крейна, можно обобщить на случай самосопряженной оператор-функции общего вида который рассматривался выше. В частности, при дополнительной информации о свойствах операторных коэффициентов A и Bk, k = 1, 2,..., можно взамен свойства базисности Рисса системы собственных элементов функции L() (теорема 3.1.1) установить свойство их p–базисности.

Рассмотрим предварительно некоторые вспомогательные утверждения.

Лемма 3.2.1. Пусть выполнены условия Тогда симметризатор для фактора Z из разложения имеет структуру Доказательство. При выполнении условия (3.54) имеет место факторизация (3.56), причем A+ () голоморфна и голоморфно обратима при || t, а (Z) (t, t).

Отсюда имеем В частности, как следует из доказательства теоремы 2.3.1 (см. (2.93) – (2.96)), неравенство (3.58) с точностью до обозначений есть установленное выше неравенство (2.96).

Опираясь на эти факты, а также на формулы (3.37), представим симметризатор F в виде Покажем, что операторный ряд, стоящий справа, сходится по равномерной операторной норме. В самом деле, причем где r(Z) спектральный радиус оператора Z. Так как (Z) (t, t), то r(Z) t, и в силу неравенства (3.58) ряд (3.60) сходится.

Вспомним теперь, что при доказательстве теоремы 2.3.5 было получено представление (2.121) – (2.122) для оператора Z:

Отсюда, в силу условий (3.55), следует, что Z S (H) и S S (H).

Поэтому из (3.59) имеем так как D1 ограниченный оператор.

Следствием установленного факта, а также лемм 3.1.2, 3.1.3 и теоремы 3.1.1 является такой результат.

Лемма 3.2.2. Если выполнены условия (3.54), (3.55), то система собственных элементов {k }, отвечающая собственным значеk= ниям оператора Z, т.е. собственным значениям оператор-функции L() из промежутка (t, t), образует p–базис в H при p =.

Доказательство. Как следует из доказательства теоремы 3.1. (см. (3.14) – (3.16)), имеют место формулы где {k } ортонормированный базис оператора K = F 1/2 (ZF )F 1/2. Отсюда и из (3.55) имеем (как и при получении формулы (3.49)) Поэтому, согласно определению 3.1.4, элементы {k } образуют p– базис в H при p =.

Теперь сформулируем и докажем один важный факт, установленный В.И. Ломоносовым. Заметим предварительно, что формулы (3.37), доказанные выше (см. упражнение 3.2.1), справедливы и в том случае, когда вместо окружности 0 := { : || t} взят любой контур, содержащий внутри себя спектр (Z) оператора Z. В самом деле, между и 0 подинтегральная функция является аналитической и потому по теореме Коши интеграл по 0 равен нулю. Таким образом, справедливы формулы где область с границей =, содержащая точки спектра (Z).

Теорема 3.2.2. (В.И. Ломоносов). Пусть L() самосопряженная оператор-функция в односвязной и симметричной относительно вещественной оси области, допускающая представление (3.56), т.е.

где A+ () голоморфна и голоморфно обратима в, а (Z).

Если произвольный контур, охватывающий (Z), то операторы являются самосопряженными и взаимно обратными.

Доказательство. Тот факт, что F = F, уже установлен в лемме 3.1.2, если заметить, что интегрирование по можно заменить интегрированием по 0 = { : || t}.

Так же, как и в лемме 3.1.2, проверяется свойство самосопряженности оператора F 1. Действительно, Далее, так как L() обратима в области \ (Z), то операторы F и F 1 не зависят от того, какой контур, принадлежащий и охватывающий (Z), выбран в (3.64), (3.65). Из самосопряженности оператор-функции L() вытекает, что спектр (Z) симметричен относительно вещественной оси. (В самом деле, если регулярная точка L(), принадлежащая, то существует ограниченный обратный оператор L1 (). Но тогда (L1 ()) = L1 () L(H), т.е.

также регулярная точка функции L().) Из этих фактов следует, что существуют симметричные относительно вещественной оси контуры 1 и 2 из, такие, что 1 содержится в области 2 с 2 = 2, а (Z) 1 с границей 1 = 1 (см.

рис. 3.1). При этом, очевидно, вместо (3.64), (3.65) имеем Рассмотрим произведение (2i) и воспользуемся известным тождеством Гильберта для резольвенты (докажите его!) Тогда из (3.68) имеем Так как точка 1 по выбору 1 и 2 принадлежит области 2, Здесь при выводе была использована формула Коши а также формула (3.62) при k = 0 для оператора Z (с учетом того, что (Z ), как и (Z), лежит в 1 2 ).

Для I2 из (3.70) аналогично имеем Так как µ 2 находится вне области 1, то во внутреннем интеграле подинтегральная функция голоморфна в 1 и, следовательно, по теореме Коши этот интеграл равен нулю. Поэтому и I2 = 0.

Итак, F 1 F = I, и в силу самосопряженности F и F 1 также F F 1 = F (F 1 ) = (F 1 F ) = I = I. Значит, F 1 является правым и левым обратным для F, т.е. F и F 1 взаимно обратны.

Будем теперь считать, что операторные коэффициенты операторного пучка удовлетворяют условию достаточному для факторизации а также следующим условиям:

Теорема 3.2.3. (В.А. Гринштейн, Н.Д. Копачевский). Если выполнены условия (3.72), (3.74) для пучка L(), то система {n }n= собственных элементов L(), отвечающая собственным значениям {n } (t, t), образует p–базис в гильбертовом пространстве H при p p, Доказательство. Как следует из доказательства теоремы 3.1.1 и леммы 3.2.2, достаточно лишь убедиться, что симметризатор F оператора Z обладает свойством Докажем этот факт. Воспользуемся теоремой 3.2.2, формулой (3.65) для оператора F 1, а также соотношениями следующими из факторизационной теоремы 2.3.1 (см. (2.94) и (2.95)).

Имеем для контура, охватывающего (Z) (t, t), Здесь в последнем переходе были учтены формулы (3.62) для оператора Z, а также тот факт, что (Z ) = (Z) (t, t).

Получим выражения для коэффициентов Ak, опираясь на факторизационное тождество (3.73) и на (3.77). Имеем Приравнивая операторные коэффициенты при одинаковых степенях, приходим к рекуррентным соотношениям Отсюда непосредственно выводим формулы Подставляя эти выражения в (3.78), после перегруппировки слагаемых получим Убедимся, что операторный ряд сходится по операторной норме. В самом деле, Так как то операторный и числовой ряды сходятся в силу неравенства (3.77).

Представление оператора F 1 позволяет с использованием условий (3.74) установить, какому классу Sp принадлежит оператор T.

Воспользуемся свойствами s–чисел 5 и 6 и свойствами 9 и из п.3.2.1 для операторов класса Sp. Заметим сначала, что из факторизационного тождества при = 0 имеем A = A0 Z, и так как A0 = A+ (0) ограниченно обратим, то Отсюда имеем также свойства Из этих свойств следует, что а при k = 1 имеем в двойной сумме (3.82) слагаемое B1 Sp1.

Таким образом, Аналогичный подсчет для второй суммы в (3.82) дает Если же Am = 0, то эта сумма равна нулю.

Так как по доказанному выше то последнее слагаемое справа в (3.82) принадлежит классу Sp0 /m.

Из проведенных рассуждений следует, что оператор T из (3.82) принадлежит классу SpT, где или Для завершения доказательства теоремы осталось лишь воспользоваться свойством Упражнение 3.2.2. Убедиться, что имеют место соотношения (3.80).

Упражнение 3.2.3. Вывести соотношения (3.81).

Упражнение 3.2.4. Убедиться, что справедлива формула (3.82). Замечание 3.2.2. Из доказательства теоремы 3.2.3 видно (см.

представление (3.82)), что если какой-либо из операторов Bk, k = 1,..., m, является лишь ограниченным, а не компактным оператором класса Spk, то утверждение теоремы 3.2.3 и формула (3.75) сохраняют силу с формальной заменой числа p k на +.

Замечание 3.2.3. Если оператор A в пучке L() (см. (3.71) принадлежит лишь классу S (H), а также B1 S (H), то в формуле (3.75) можно формально положить p 0 =, p 1 =. Тогда p =, т.е. приходим к утверждению, сформулированному выше в лемме 3.2.2.

3.2.4 Теорема Маркуса-Мацаева Рассмотрим теперь вопрос об асимптотическом поведении собственных значений оператор-функции, получающейся из линейного пучка при его аналитическом возмущении.

Рассмотрим оператор-функцию вида где Q(µ) – аналитическая оператор-функция в бесконечно удаленной точке, Введем наряду с M (µ) ”укороченный” пучок Сейчас будут приведены условия, достаточные для того, чтобы асимптотическое поведение собственных значений оператор-функции M (µ) при µ и укороченного пучка M0 (µ) было одним и тем же.

Определение 3.2.1. Пусть {µ± } положительные и отрицаn n= тельные собственные значения укороченного пучка, т.е. характеристические числа оператора G. Расположим их в порядке возрастания модулей и с учетом кратностей, а через обозначим соответствующие функции распределения положительных и отрицательных собственных значений M0 (µ). Для данного r 0 функция n± (r, G) равна количеству собственных значений M0 (µ), лежащих на промежутке (0, r) для n+ (r, G) и на промежутке (r, 0) для n (r, G) соответственно.

Для оператор-функции M (µ) собственные значения могут быть локализованы в окрестности полуосей R+ и R. Поэтому для M (µ) вводится следующее определение.

Определение 3.2.2. Пусть 0 произвольное малое число, а {µ± (M (µ))} собственные значения оператор-функции M (µ), локализованные в окрестности полуосей R+ и R соответственно. Через n± (r; M (µ)) обозначим функции распределения собственных значений пучка M (µ), т.е.

где Оказывается, что если функции n± (r, G) имеют степенное асимптотическое поведение при r, то аналогичное поведение имеют функции n± (r, M (µ)). Именно, справедливо следующее утверждение.

Теорема 3.2.4. (А.С. Маркус, В.И. Мацаев). Если выполнены условия (3.87), (3.88) и условия Доказательство этой теоремы здесь не приводится ввиду его громоздкости. Приведем лишь важное практическое следствие из нее.

Теорема 3.2.5. Если выполнены условия (3.93) для укороченного пучка M0 (µ), то для пучка M (µ) в окрестности бесконечно удаленной точки µ = существуют две ветви собственных значений µ± (M ((µ)), которые имеют асимптотическое поведение Доказательство. Убедимся, что соотношения (3.93) равносильны соотношениям а соотношения (3.94) равносильны соответственно соотношениям отсюда и будет следовать утверждение теоремы.

Рассмотрим для простоты лишь один из четырех вариантов формул (3.96), (3.97), именно, лишь вариант „+” в (3.96). Остальные варианты рассматриваются аналогично.

Из (3.93) имеем Воспользуемся определением предела по Гейне. Тогда для любой последовательности {rn }, rn при n, будем иметь Однако, в силу определения функции n+ (r, G) распределения характеристических чисел оператора G (см. (3.90)), при rn = µ+ (G) имеем Тогда из (3.98) получаем Таким образом, теоремы 3.2.4 и 3.2.5 утверждают, что при выполнении условий (3.93) главные члены асимптотики ветвей операторфункции M (µ) и укороченного пучка M0 (µ) совпадают.

3.2.5 Об асимптотике собственных значений операторных пучков Теорема Маркуса–Мацаева позволяет установить характер асимптотического поведения ветвей собственных значений операторфункций, которые систематически рассматривались до сих пор.

Теорема 3.2.6. Пусть для операторного пучка выполнены условия Тогда L() имеет две ветви собственных значений ± (L()), лоn кализованных в окрестности положительной и отрицательной полуосей соответственно и имеющих предельную точку = 0. Асимптотическое поведение этих ветвей таково:

где µ± (A) характеристические числа оператора A (с асимптотиn ческим поведением (3.101)).

Доказательство. Оно опирается на теорему Маркуса-Мацаева. В самом деле, осуществим в (3.99) замену спектрального параметра по формуле = µ1 и рассмотрим вместо L() оператор-функцию то в силу асимптотических формул (3.101) справедливы утверждения теорем 3.2.4 и 3.2.5. Поэтому имеют место формулы (3.95), а после обратной замены µ = 1 соответственно формулы (3.102).

Следующий аналогичный, но важный результат справедлив и для пучка С.Г. Крейна.

Теорема 3.2.7. Пусть для пучка С.Г. Крейна выполнены условия Тогда:

1. Пучок L() имеет две ветви вещественных собственных значений {± (L())}, расположенных соответственно на полоn n= жительной и отрицательной полуосях и имеющих предельные 2. L() имеет две ветви вещественных собственных значений {± (L())} с предельными точками ±0, причем 3. Если в (3.106), (3.107) имеется лишь одна ветвь с указанным асимптотическим поведением, то аналогичное свойство имеет место и для оператор-функции L().

Доказательство. 10. Первое утверждение тривиально следует из теорем 3.2.5, 3.2.6, если заметить, что µ± (A) = (± (A))1.

20. Для доказательства второго утверждения перейдём в L() к переменной µ = 1 и рассмотрим уравнение Здесь при больших µ выполнены все условия теоремы 3.2.5, кроме условия Ker B = {0} (см. (3.105)). Чтобы преодолеть эту трудность, представим при µ с |µ| A задачу (3.110) в виде Тогда достаточно рассматривать лишь уравнение (почему это можно сделать?).

Введем ортопроекторы P1 : H H1 и P0 : H H0 := Ker B.

Тогда P0 + P1 = I, H = H0 H1. Применим к (3.111) P1 и P0 соответственно, учитывая, что Тогда вместо (3.111) будем иметь систему уравнений (Проверьте соотношения (3.112) с учетом того, что B1 = BP1 1 = P1 BP1 1.) Второе соотношение (3.112) показывает, что 0 выражается через 1, причем 0 не входит в первое соотношение. Поэтому достаточно ограничиться рассмотрением первого уравнения (3.112). Так как здесь по выбору подпространства H1 оператор B1 = P1 BP1 = B1 имеет нулевое ядро и для ненулевых собственных значений оператора B то к пучку (3.112) теперь применимы теоремы 3.2.5, 3.2.6. В самом деле, имеем в подпространстве H1 :

Отсюда и следует второе утверждение теоремы.

30. Третье утверждение теоремы очевидно.

В этом параграфе рассматриваются две конкретные спектральные задачи линейной гидродинамики, приводящиеся к исследованию операторных пучков, действующих в гильбертовом пространстве. При этом будет использован весь аппарат теории операторных пучков, знакомство с которым было проведено в предыдущих параграфах.

3.3.1 Нормальные колебания тяжёлой вязкой жидкости во вращающемся частично заполненном сосуде Будем считать, что тяжелая вязкая жидкость находится в произвольном неподвижном сосуде под действием силы тяжести с ускорением g 0. Кинематическую вязкость жидкости, т.е. отношение динамической вязкости µ 0 к плотности 0 обозначим через Рассмотрим малые движения жидкости, близкие к состоянию покоя. Такие движения называются нормальными движениями, если искомые функции задачи (поле скоростей, поле давлений, поле отклонения движущейся свободной поверхности жидкости от равновесной свободной горизонтальной поверхности) зависят от времени t по закону exp(t). Здесь C спектральный параметр, характеризующий частоту нормальных движений и декремент их затухания.

В самом деле, если = + i, то откуда следует, что любое нормальное движение является колебательным процессом с частотой колебаний = Im и декрементом затухания = Re.

Как показал С.Г. Крейн, задача о нормальных движениях (нормальных колебаниях) тяжелой вязкой жидкости в открытом сосуде приводится к исследованию уравнения в некотором бесконечномерном гильбертовом пространстве H. При этом операторы A и B обладают следующими свойствами:

30. dim H2 := dim Ker B = ; dim H1 := dim(H H2 ) = ;

40. n (A) = + (A) = (cA )2/3 n2/3 [1 + o(1)] (n ), cA = ||/(3 2 );

50. n (B) = + (B) = (cB )1/2 n1/2 [1 + o(1)] (n ), cB = g ||/(16).

Здесь R3 область, занимаемая жидкостью в состоянии покоя, || ее объем, горизонтальная свободная поверхность жидкости, || ее площадь. Кроме того, плотность жидкости 0 для простоты рассуждений при выводе уравнения (3.113) положена равной 1 (в соответствующих единицах измерения).

Позже Н.Д. Копачевский рассмотрел задачу о нормальных колебаниях тяжёлой жидкости, равномерно вращающейся относительно вертикальной оси с угловой скоростью и частично заполняющей некоторый сосуд. Им была изучена также задача о нормальных колебаниях системы вращающихся несмешивающихся жидкостей, расположенных одна над другой. Здесь будем говорить для простоты лишь об одной жидкости и отметим только, что при равномерном вращении жидкости её свободная поверхность уже не будет плоской, а представляет собой параболоид вращения. Эта новая задача приводит к исследованию операторного уравнения, несколько более сложного, чем (3.113):

Здесь оператор S (кориолисов оператор) обладает следующими свойствами:

Кроме того, в (3.114) оператор A, как и ранее, обладает свойствами 10, 40, а оператор B также свойствами 20, 30, 50, однако теперь где n внешняя нормаль к поверхности, Oz ось вращения системы, а Orz цилиндрическая система координат, жестко связанная с вращающимся телом.

Отметим, что обе задачи, т.е. задачи (3.113) и (3.114), играют важную роль в проблеме динамики космической ракеты на активном участке ее полета. Баки с жидким топливом заполнены лишь частично, и колебания топлива следует учитывать при исследовании устойчивости движения всей гидромеханической системы, каковой является ракета с жидким топливом на ее борту.

Оказывается, задачу (3.114) можно привести к виду (3.113), но с видоизмененными коэффициентами A и B. Это позволит, как выяснится, исследовать обе задачи одновременно.

С этой целью введем в рассмотрение оператор который в силу самосопряженности и компактности S имеет ограниченный обратный:

Поэтому, перенося последнее слагаемое в (3.114) справа налево и применяя оператор I, получим уравнение которое при I = I, т.е. при = 0, переходит в (3.113).

Лемма 3.3.1. Оператор I имеет структуру Доказательство. Структура I следует из того, что оператор I 2i 1 S обратим и S = S S (H). Для доказательства последнего утверждения (3.119) заметим, что Отсюда для := I получаем Покажем теперь, что I = 1. В самом деле, пусть n = n (S), n = 1, 2,..., ортонормированная последовательность собственных элементов оператора S = S S (H), а {n (S)} последовательность отвечающих им собственных значений. Тогда на элементах этой последовательности в силу свойства n (S) (n ) имеем Отсюда и следует свойство I = 1.

3.3.2 Раздельная полнота и базисность системы корневых элементов гидродинамических Рассмотрим сначала задачу (3.118) о нормальных колебаниях вращающейся вязкой жидкости. Необходимые изменения и дополнительные утверждения для невращающейся жидкости, когда в (3.118) I = I, будут получены позже.

Будем считать, что вязкость жидкости настолько велика, что Введём, как и ранее, числа Перепишем задачу (3.118) в виде Заметим теперь, что в силу доказанного выше свойства I = 1 условие (3.120) достаточно для канонической факторизации пучка L() относительно окружности Лемма 3.3.2. Если выполнено условие (3.120), то пучок L() допускает представления двух типов:

При этом в представлении (3.123) функция I()1 XB голоморфна и голоморфно обратима при || r, а соответственно в представлении (3.124) функция I 1 Y A голоморфна и голоморфно обратима при || r+, а Упражнение 3.3.1. Провести доказательство леммы 3.3.2, опираясь на свойство I = 1, а также на упражнения 1.5.3 1.5.5 либо доказательство теоремы 2.3.2.

Упражнение 3.3.2. Проверить, что в (3.123) и (3.124) операторы X и Y обратимы, и каждый из них имеет структуру I +, S (H).

Итогом этих рассмотрений, а также результатов, изложенных выше, является следующее утверждение.

Теорема 3.3.1. Если выполнено условие (3.120), то решения задачи о нормальных колебаниях вязкой вращающейся жидкости обладают следующими свойствами.

10. Задача (3.118) имеет дискретный спектр с двумя предельными точками = 0 и =. Все собственные значения конечнократны и расположены в правой полуплоскости Re 0, их можно разбить на две ветви {n } с предельной точкой = и {0n } с предельной точкой = 0.

20. Для собственных значений n выполнены свойства Последнее свойство выполнено для всех собственных значений n, кроме, быть может, конечного их числа.

30. Для собственных значений {0n } выполнены свойства причем последнее также для всех собственных значений, кроме, быть может, конечного их числа.

40. Система корневых элементов {n } задачи (3.118), отn= вечающих собственным значениям {n }, полна в гильбертовом пространстве H, а система корневых элементов {0n }, отвечаn= ющая собственным значениям {0n }, после проектирования на H1 = H Ker B является полной в подпространстве H1.

50. Собственные значения n имеют асимптотическое поведение а собственные значения 0n соответственно поведение 60. Если вращение системы отсутствует, т.е. = 0, I = I, то система {n } состоит лишь из собственных элементов и образует p–базис в H при p 6/7. Соответственно система собственных элементов {0n }, после проектирования на H1, образуn= ет p–базис в H1 при p 6/7.

Доказательство. Здесь будет приведена лишь схема доказательства данной теоремы.

10. То, что Re 0 для собственных значений задачи (3.118), следует из свойств A 0, B 0, S = S и из квадратного уравнения вытекающего из (3.114).

20 30. Далее, условие (3.120) в силу равенства I = 1 достаточно для факторизаций (3.123) и (3.124) операторного пучка L() из (3.122). Тогда, используя теорему Келдыша (см. теорему 2.3.3), получаем утверждения о наличии двух ветвей спектра {n } n= и {0n } и о их локализации вдоль положительной полуоси (см.

(3.125), (3.126)).

40. Доказательство утверждения 40 проводится в точности так же, как соответствующие рассуждения в пп. 30 и 40 теоремы 2.3.6.

50. Утверждение 50 данной теоремы следуют из асимптотических формул для n (A) и n (B) (см. свойства 40 и 50 в п. 3.3.1, а также (3.116)) и теоремы 3.2.7.

60. При доказательстве свойств 60 используется теорема 3.2.1, а также тот факт, что в силу упомянутых выше асимптотических формул для n (A) и n (B) операторы A и B принадлежат классам Sp при p 3/2 для оператора A и p 2 для оператора B. Тогда по теореме 3.2.1 получаем, что система {n } собственных элементов задачи С.Г. Крейна (3.113) образует p–базис в H при p p0, т.е. при p 6/7. Аналогичное утверждение имеет место и для системы {0n } собственных элементов {0n }, после ее проектирования на H1.

В дополнение к установленному основному результату сделаем еще несколько замечаний.

Определение 3.3.1. Будем говорить, что система элементов {n } H полна в гильбертовом пространстве H с точностью до конечного дефекта, если ортогональное дополнение к этой системе в пространстве H конечномерно.

Замечание 3.3.1. Пусть r 0 произвольно. Рассмотрим в правой полуплоскости Re 0 две области:

Можно доказать, что при произвольной вязкости 0 система корневых элементов задачи (3.114), отвечающая собственным значениям из G1, полна с точностью до конечного дефекта в пространстве H. Соответственно система корневых элементов, отвечающая собственным значениям из G2, после проектирования на H полна в этом подпространстве с точностью до конечного дефекта.

Замечание 3.3.2. При произвольной вязкости 0 асимптотические формулы (3.127) и (3.128) сохраняются.

Замечание 3.3.3. Можно доказать, что при любом 0 и = 0 для всех собственных значений {n } задачи (3.114), кроме, быть может, конечного их числа (зависящего от ), выполняются условия 3.4 Литературные комментарии В этом параграфе опишем кратко историю создания спектральной теории операторных пучков и некоторые ее этапы. Здесь также будет кратко упомянут материал, не вошедший в основной курс лекций.

3.4.1 К истории вопроса Разработка спектральной теории операторных пучков была начата в основополагающей работе М.В. Келдыша [11]. Подробная публикация на эту тему содержится в [12]. М.В. Келдышем были введены основные понятия этой теории, доказаны теоремы о полноте системы собственных и присоединенных элементов для важных классов линейных и полиномиальных пучков, найдена асимптотика ветвей собственных значений.

Новым этапом в развитии спектральной теории операторных пучков стали работы М.Г. Крейна и Г.К. Лангера (см., в частности, [21]), в которых детально исследовались квадратичные пучки и впервые применен метод факторизации пучков. Одновременно появились также работы С.Г. Крейна и его учеников (см. [22, 23, 5]). В дальнейшем к этой тематике подключился большой коллектив математиков.

Глубокие результаты исследования вопросов полноты и базисности системы корневых элементов полиномиальных пучков, а также аналитических оператор-функций, получены в работах А.С. Маркуса и В.И. Мацаева (см. [6, 25–30]). В этих работах изучалось также асимптотическое поведение ветвей собственных значений (см. [26, 27]).

Одновременно с этими работами серьёзные результаты получены также Г.В. Радзиевским [32]. Результаты М.В. Келдыша и их обобщения, а также исследования А.С. Маркуса и его совместные результаты с В.И. Мацаевым, отражены в монографии А.С. Маркуса [28].

Важный вклад в развитие спектральной теории полиномиальных операторных пучков внесли работы А.Г. Костюченко и участников его научного семинара при МГУ им. М.В. Ломоносова, учеников и коллег (А.А. Шкаликов, Г.В. Радзиевский, М.Б. Оразов и др., см. [17–20, 32– 33).

Отметим, что приложения спектральной теории операторных пучков в задачах гидромеханики отражены в монографии Н.Д. Копачевского, С.Г. Крейна и Нго Зуй Кана [16].

Приведём теперь без доказательства некоторые утверждения, не вошедшие в основной текст лекций,но играющие важную роль в приложениях.

10. Фредгольмовой оператор-функцией, или фредгольмовым пучком, называется функция вида где значениями A() являются компактные в H операторы. Если собственное значение оператора L(), то число 1 является собственным значением оператора A(0 ) и потому его геометрическая кратность конечна, т.е. dim Ker L(0 ).

Фредгольмов пучок называется регулярным в области G C, если оператор-функция A() голоморфна в G и оператор L() имеет ограниченный обратный хотя бы в одной точке из G. Спектр регулярного пучка состоит из изолированных точек в G, его предельные точки могут лежать лишь на границе G. Все собственные значения являются изолированными для оператор-функции L(). Собственные элементы, отвечающие этим собственным значениям, имеют конечные алгебраические кратности. Резольвента L1 () оператор-функции L() является мероморфной в области G оператор-функцией, имеющей полюса в точках, совпадающих с собственными значениями. Кратность полюса совпадает с максимальной кратностью собственных элементов, отвечающих собственному значению.

Перечисленные выше факты составляют содержание теоремы И.Ц. Гохберга (см. [7], с. 37–40). Некоторые её утверждения можно найти в работе М.В. Келдыша [11].

20. Функция () со значениями в H называется корневой функцией операторного пучка L() относительно точки 0 C, если:

1) она голоморфна в окрестности точки 0 ; 2) (0 ) = 0;

Если m + 1 – порядок нуля функции L()() в точке 0, то число m называется порядком корневой функции ().

Нетрудно проверить, что в разложении в ряд Тейлора по степеням 0 корневой функции () порядка m, элемент 0 является собственным для L(), а элементы – присоединенными к нему, отвечающие собственному значению =0. Обратно, если в разложении () в ряд Тейлора 0 – собственный, а k (k = 1,..., m) – присоединенные к нему элементы, то () – корневая функция порядка не ниже m для L() в точке 0.

Применение корневой функции при исследовании операторных пучков позволяет рассматривать сразу всю цепочку из присоединенных элементов, отвечающих данному собственному элементу 0 и соответствующему собственному значению 0.

Понятие корневой функции было введено независимо С.Г. Крейном и его учеником В.П. Трофимовым, а также В.И. Мацаевым и его учеником Ю.А. Палантом.

30. В данном курсе лекций изучались теоремы о факторизации операторных пучков относительно окружности некоторого радиуса.

Для самосопряженных оператор-функций имеют место аналогичные утверждения для случая, когда они заданы на некотором отрезке.

Пусть [a, b] R и U – некоторая связная окрестность отрезка [a, b], симметричная относительно R. Пусть A() – самосопряженная и голоморфная в U оператор-функция. Если выполнены условия A(a) 0, A(b) 0 и функция (A(), ) при любом = 0 имеет ровно один корень p () в (a, b), причем то A() допускает факторизацию вида где оператор-функция A+ () голоморфна и обратима в U, Z L(H), (Z) (a, b). При этом Z имеет положительно определенный симметризатор и, следовательно, подобен самосопряженному оператору.

Сформулированные утверждения справедливы, в частности, если выполнены условия 40. Условия (3.134) и факторизация (3.133) позволяют, как и в п.3.1.3, доказать, при дополнительном условии теорему о базисности Рисса системы тех собственных элементов оператор-функции A(), собственные значения которой расположены на промежутке (a, b).

Если вместо (3.134), (3.135) выполнены лишь условия то при достаточно малом 0 собственные элементы, отвечающие собственным значениям из промежутка (, ), образуют базис Рисса в подпространстве, имеющем конечный дефект (конечную коразмерность) в H.

Сформулированные в утверждениях 30 и 40 результаты принадлежат А.С. Маркусу и В.И. Мацаеву (см. [29]), доказательство теоремы В.И. Ломоносова для этого случая приведено в работе [6]. Упомянем также работу [24], содержащую некоторые обобщения приведенных результатов.

Отметим в заключение этого пункта, что понятие p-базисности последовательности элементов гильбертова пространства H введено в [31] В.А. Пригорским, учеником и коллегой А.С. Маркуса. Свойство pбазисности системы собственных элементов в случае пучка С.Г. Крейна установлено Н.Д. Копачевским [13], последующее изучение этого круга вопросов проводилось в работе Т.Я. Азизова и Н.Д. Копачевского [3]. Для аналитических оператор-функций аналогичные рассмотрения были проведены Гринштейном В.А. и Н.Д. Копачевским [8], Гринштейном В.А. [9, 10], а также в работах Н.Д. Копачевского и О.И.


Немирской [14, 15], Т.Я. Азизова, Н.Д. Копачевского и Л.И. Сухочевой [4]. Заметим также, что в случае операторов, самосопряженных в пространстве с индефинитной метрикой, вопросы p-базисности системы собственных элементов изучены в известной монографии Т.Я.

Азизова и И.С. Иохвидова и принадлежат Т.Я. Азизову.

3.4.2 Вариационные методы исследования непрерывных оператор-функций Эти методы разработаны для самосопряженных операторфункций, непрерывных на некотором интервале (a, b) R;

соответствующие вариационные принципы установлены Ю.Ш. Абрамовым [1]. Приведем без доказательства основные положения этой теории.

Пусть для самосопряженной непрерывной по t оператор-функции L(t), t (a, b), со значениями в L(H), выполнены следующие условия:

10. Для любого = 0 из H функция g(t) : = (L(t), ) имеет ровно один корень p () (a, b).

20. Функция g(t) возрастает в точке t0 = p (). Если, в частности, L(t) – непрерывно дифференцируемая оператор-функция, то считаем выполненным условие (L (p ()), ) 0 при = 0.

30. Функционал p () при = 0 непрерывен.

Функционал p () называется функционалом Рэлея операторфункции L(t). Например, для линейного операторного пучка L(t) = A t I, A = A S (H), отвечающего стандартной спектральной задаче (см. п. 1.1.1), функционал Рэлея имеет вид Пусть кроме условий 10 – 40 для оператор-функции L(t) дополнительно выполнены следующие условия.

50. L(t) имеет в интервале (a, b) последовательность собственных значений конечной кратности, сходящуюся к числу c (которое может быть собственным значением любой кратности).

60. Система собственных элементов оператор-функции L(t), отвечающая ее собственным значениям из интервала (a, b), полна в H.

Занумеруем собственные значения L(t), лежащие в интервале (c, b), в порядке невозрастания в последовательность {+ } (с учеk k= том их кратностей), а собственные значения L(t) из интервала (a, c) – в порядке неубывания в последовательность { } (также с учетом их кратностей).

Тогда имеют место следующие утверждения.

10. Справедлив вариационный принцип Фишера–Куранта–Вейля:

где L – произвольное подпространство из H коразмерности k 1.

20. Справедлив вариационный принцип Пуанкаре–Ритца:

где M – произвольное k–мерное подпространство в H.

Эти принципы позволяют, в частности, получать двусторонние оценки для собственных значений {+ } и { }, с предельными точками + и 0 соответственно, отвечающих двум ветвям операторного пучка С.Г. Крейна при условии 4 A · B 1. Асимптотическое поведение этих ветвей получено в теореме 3.2.7, а соответствующие двусторонние оценки, выведенные в [16, с. 300], имеют вид Следствием формул (3.139), (3.140) являются, в частности, асимптотические формулы = k (B)[1+o(1)] (k ), + = 1/k (A)+O(1) (k ). (3.141) Заметим еще, что вариационные принципы (3.137), (3.138) использовались также при получении двусторонних оценок собственных значений задачи о свободных колебаниях идеальной жидкости в равномерно вращающемся частично заполненном сосуде (см. [16, с. 224]).

3.4.3 Базисность по Абелю-Лидскому В п. 3.1.1 рассматривались некоторые виды базисов в гильбертовом пространстве H. Существует еще один вид базиса, который занимает промежуточное положение между полнотой и просто базисностью. Это – так называемый базис со скобками.

Минимальная система элементов {k } называется базисом со скобками в гильбертовом пространстве H, если существует такая возрастающая последовательность номеров {ml }, что для любого вектора H последовательность частичных сумм с номерами {ml } ряда Фурье элемента сходится к, т.е.

При этом предполагается, что {k } – полная минимальная сиk= стема в H, а тогда, как известно, существует отвечающая ей биортогональная система {j }, которая также является полной и миниj= мальной в H. Соответствующие формулы биортогональности имеют вид откуда следует, что в (3.142) ck = (, k ), k = 1, 2,....

Опираясь на определение базисности со скобками, дадим теперь определение базисности по Абелю–Лидскому (см., например, [2], с. 248–249). Оно относится к системе корневых элементов оператора L с дискретным спектром или обратного к нему компактного (несамосопряженного) оператора A = L1.

Предположим, что все собственные значения µj оператора L (характеристические числа оператора A = L1 ), кроме, быть может, конечного их числа, содержатся в угле и пусть – положительное число, /2. Положим в этом угле, так что | exp (µ t)| 0 при t = const 0, µ, µ.

Пусть сначала в системе {j } корневых элементов оператора L нет присоединенных элементов, отвечающих собственным значениям µj (по крайней мере, начиная с некоторого номера j). В этом случае будем говорить, что {j } – базис для метода суммироваj= ния Абеля–Лидского порядка, если существует такая последовательность номеров что для любого H при t 0 сходится ряд и его сумма (t) стремится к в H при t +0. Здесь функция ej (t) = ej (t, ) := exp((µj ) t), если µj, причем все члены, отвечающие одному и тому же собственному значению µj, содержатся в одном слагаемом суммы по l. Для тех j, для которых µj (например, для µj = 0, если 0 – собственное значение), полагают ej (t) 1.

В общем случае, когда у L имеются и присоединенные элементы, данное определение базисности по Абелю–Лидскому обобщается следующим образом. Пусть p,..., q – базис в корневом подпространстве Lµ0 оператора L, отвечающий собственному значению µ0.

Тогда сумма (см. (3.144)) заменяется интегралом где контур интегрирования лежит в и окружает только одно собственное значение µ0 с обходом против часовой стрелки. Этот интеграл при t = 0 становится равным проекции элемента на корневое подпространство Lµ0 оператора L, т.е. величине cp p +... + cq q.

Если вместо L рассматривается обратный ему оператор A = L1, то в (3.145) резольвенту (L µI)1 следует заменить на модифицированную резольвенту A(I µA)1.

Заметим, что, в отличие от других видов базисности, данный вид базисности по Абелю–Лидскому тесно связан с изучаемым оператором L с дискретным спектром {µj }, поскольку от него зависят функции ej (t, ).

Опираясь на определение базисности по Абелю–Лидскому, сформулируем основные результаты, относящиеся к операторам L с дискретным спектром либо к операторам A = L1 (см., например, [2], с. 284, 291–292).

Рассмотрим оператор A = L1, который допускает представление где T1 S (H), а оператор A0 самосопряжен и компактен, причем все его собственные значения, кроме, быть может, конечного их числа, отрицательны либо положительны. Тогда:

10. Если выполнено условие то система корневых элементов оператора A образует базис Абеля– Лидского порядка = p1 +, 0.

20. Если характеристические числа j (A0 ) оператора A0 (т.е. собственные значения оператора L0 = A1 ) имеют асимптотическое поведение то та же формула имеет место для характеристических чисел оператора A = L1 :

Приведем еще одно утверждение, относящееся к оператору L с дискретным спектром. Пусть оператор L имеет вид где L0 – самосопряженный оператор с дискретным положительным спектром, а L1 – оператор, подчиненный некоторой степени Lq оператора L0. Точнее, будем предполагать, что выполнены следующие два условия:

а) для собственных значений j (L0 ) оператора L0 имеют место оценки б) справедливо неравенство Тогда справедливы следующие утверждения:

10. Если выполнены условия то корневые элементы оператора L образуют базис Абеля–Лидского порядка.

20. Если p (1 q) = 1, то эти элементы образуют базис Рисса со скобками.

30. Если p (1q) 1, то они образуют базис Бар (см. определение в п. 3.1.1) со скобками.

Литература [1] Абрамов Ю.Ш. Вариационные методы в теории операторных пучков. Спектральная оптимизация. – Л.: Изд-во ЛГУ, 1983. – [2] Agranovich M.S., Katsenelenbaum B.Z., Sivov A.N., Voitovich N.N.

Generalized method of eigenoscillations in diraction theory. – Berlin,..., Toronto: Wiley–VCH, 1999. – 380 p.

[3] Azizov T.Ya., Kopachevsky N.D. On basicity of the system of eigen– and associated elements of the S.G. Krein’s problem of normal oscillations of a viscous uid // Тезисы лекц. и докл. III Крымской осенней матем. шк.–симпоз. [КРОМШ–III], (Севастополь– Симферополь, 1994г.). – Симферополь: ТНУ им. В.И. Вернадского, 1994. – С. 38–39.

[4] Azizov T.Ya., Kopachevsky N.D., Suhocheva L.I. On eigenvalues of a self–adjoint pencil with a parameter // Proceedings of the OT– Conference. – Buharest: The Theta Foundation, 1997. – pp. 37–50.

[5] Аскеров Н.К., Крейн С.Г., Лаптев Г.И. Задача о колебаниях вязкой жидкости и связанные с ней операторные уравнения // Функциональный анализ и его приложения. – 1968. – 2, № 2. – С. 21–32.

[6] Вирозуб А.И., Мацаев В.И. О спектральных свойствах одного класса самосопряженных оператор-функций // Функциональный анализ и его приложения. – 1974. – 8, № 1. – С. 1–10.

[7] Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряжённых операторов. – М.:, Наука, 1965. – 448 с.

[8] Гринштейн В.А., Копачевский Н.Д. О p-базисности системы элементов самосопряженной оператор-функции // Тез. докл. 15 Всесоюзн. шк. по теории операторов в функциональных пространствах, (Ульяновск, 5–12 сентября 1990 г.) –Ульяновск, 1990.–Ч. I.

[9] Гринштейн В.А. О p-базисности системы собственных и присоединенных векторов полиномиального самосопряженного операторного пучка. – Симферополь, 1990. – 9 с. – Деп. в УкрНИИНТИ 18.05.90, № 890.

[10] Гринштейн В.А. Базисность части системы собственных векторов голоморфной оператор-функции // Матем. заметки. – 1991. – 50, [11] Келдыш М.В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряжённых операторов // Докл. АН СССР. – 1951. – 77, № 1. – С. 11–14.

[12] Келдыш М.В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряжённых линейных операторов // Успехи матем.

наук. – 1971. – 24, вып. 4(160). – С. 15–41.

[13] Копачевский Н.Д. О свойствах базисности систем собственных и присоединённых векторов самосопряжённого операторного пучка I A 1 B // Функциональный анализ и его приложения. – 1981. – 15, № 2. – С. 77–78.

[14] Копачевский Н.Д., Немирская О. И. О p-базисности системы элементов самосопряженной оператор-функции. – Симферополь, 1992. – 10 с. – Деп. в УкрИНТЭИ 16.12.92, № 1969.

[15] Kopachevsky N.D., Nemirskaya O.I. On p-basicity of projections of the system of eigenelements of a self-adjoint operator-valued function // Тезисы лекц. и докл. III Крымской осенней матем. шк.–симпоз.

[КРОМШ–III], (Севастополь–Симферополь, 1994г.). – Симферополь: ТНУ им. В.И. Вернадского, 1994. – С. 43–44.

[16] Копачевский Н.Д., Крейн С.Г., Нго Зуй Кан. Операторные методы в линейной гидродинамике: Эволюционные и спектральные задачи. – М.: Наука, 1989. – 416 с.

[17] Костюченко А.Г., Оразов М.Б. О некоторых свойствах корней самосопряженного квадратичного пучка // Функциональный анализ и его приложения. – 1975. – Т. 9, № 4. – С. 28–40.

[18] Костюченко А.Г., Оразов М.Б. Проблема колебаний упругого полуцилиндра и связанный с ней самосопряженный квадратичный пучок // Труды семинара им. И.Г. Петровского, 1981. – Т. 6. – [19] Костюченко А.Г., Шкаликов А.А. Самосопряженные квадратичные пучки операторов и эллиптические задачи // Функциональный анализ и его приложения. – 1983. – Т. 17, вып. 2. – С. 38–61.

[20] Костюченко А.Г., Шкаликов А.А. К теории самосопряженных операторных пучков // Вестник МГУ, сер. 1: Матем. и механика, [21] Крейн М.Г., Лангер Г.К. О некоторых математических принципах линейной теории демпфированных колебаний континуумов // Труды междунар. симпоз. по применению ТФКП в механике сплошной среды. – М: Наука, 1965. – 2. – С. 283–322.

[22] Крейн С.Г. О колебаниях вязкой жидкости в сосуде // Докл. АН СССР. – 1964. – 159, № 2. – С. 262–265.

[23] Крейн С.Г., Лаптев Г.И. К задаче о движении вязкой жидкости в открытом сосуде // Функциональный анализ и его приложения.

[24] Krupnik Ilya. On the basic property of the eigenvectors of a holomorphic self-adjoint operator-valued function // Integral Equations and Operator Theory. – 1991. – Vol. 14. – pp. 545–551.

[25] Маркус А.С., Мацаев В.И., Руссу Г.И. О некоторых обобщениях теории сильно демпфированных пучков на случай пучков произвольного порядка // Acta Sci. Math. – Szeged, 1973. – 34. – P. 245–271.

[26] Маркус А.С., Мацаев В.И. Теоремы о сравнении спектров линейных операторов и спектральные асимптотики // Труды Московского матем. общества. – 1982. – 45. – С. 133–181.

[27] Маркус А.С., Мацаев В.И. Теоремы о сравнении спектров и спектральные асимптотики для пучков Келдыша // Матем. сборник.

– 1984. – 123(165), № 3. – С. 391–406.

[28] Маркус А.С. Введение в спектральную теорию полиномиальных операторных пучков. – Кишинев: Штиинца, 1986. – 260 с.

[29] Маркус А.С., Мацаев В.И. О базисности некоторой части собственных и присоединенных векторов самосопряженного операторного пучка // Матем. сборник. – 1987. – 133(175), № 3(7). – С. 293–313.

[30] Маркус А.С., Мацаев В.И. Базисность подсистемы собственных и присоединенных векторов самосопряженного операторного пучка // Функциональный анализ и его приложения. – 1987. – Т. 21, [31] Пригорский В.А. О некоторых классах базисов гильбертова пространства // Успехи матем. наук. – 1965. – 20, № 5 (125). – С. 231–236.

[32] Радзиевский Г.В. Задача о полноте корневых векторов в спектральной теории оператор-функций // Успехи матем. наук. – 1982. – № 5. – С. 81–145.

[33] Шкаликов А.А., Плиев В.Т. Компактные возмущения сильно демпфированных операторных пучков // Матем. заметки. – 1989.

– Т. 45, вып. 2. – С. 118–129.

Спектральная теория операторных пучков для студентов специальности ”Математика” Копачевский Николай Дмитриевич Бумага тип. ОП. Объем 8 п.л. Тираж 100. Заказ –

Pages:     | 1 ||
 


Похожие работы:

«Annotation Русская рулетка и лидеры бизнеса, классическая история и финансовые спекуляции, поэзия и математика, Шерлок Холмс и научные войны - все есть в этом очаровательном проникновении в к), как мы соприкасаемся и взаимодействуем с госпожой Удачей. 1.сли ваш сосед достигает успеха на фондовой бирже, это потому, что он гений или везунчик? Когда мы ошибочно принимаем удачу (а мастерство, мы превращаемся в одураченных случайностью, предостерегает математик и менеджер по страхованию рисков...»

«Экспансия онтологий: онтологически базированные информационные системы Л. А. Калиниченко1 1 Институт проблем информатики РАН Россия, г. Москва, 117333, ул. Вавилова, 44/2 leonidk@synth.ipi.ac.ru Аннотация. В статье дан краткий анализ состояния работ в области онтологически базированных систем доступа к данным и их возможного влияния на развитие информационных систем и баз данных. Обсуждены вопросы соотношения онтологического и концептуального моделирования и соответствующих языковых средств....»

«ФГУ Центральный научно-исследовательский институт организации и информатизации здравоохранения ОЦЕНКА ЭПИДЕМИЧЕСКОЙ СИТУАЦИИ ПО ТУБЕРКУЛЕЗУ И АНАЛИЗ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРОТИВОТУБЕРКУЛЕЗНЫХ УЧРЕЖДЕНИЙ (Пособие для врачей) Москва, 2009 УДК 616.02 ББК 55.4 И.М. Сон, Е.И. Скачкова, С.А. Леонов, П.П. Сельцовский, Л.Н. Рыбка, С.А. Стерликов, А.В. Гордина, Д.А. Кучерявая, Е.Н. Пономаренко, Д.Е. Кочкарев, Н.М. Зайченко, И.Г. Сазыкина. Оценка эпидемической ситуации по туберкулезу и анализ деятельности...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса (ГОУ ВПО ЮРГУЭС) Волгодонский институт сервиса (филиал) ЮРГУЭС ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ И ТЕХНОЛОГИИ. ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА Сборник научных трудов ШАХТЫ Издательство ЮРГУЭС 2008 УДК 004 ББК 32.97 И741 Редакционная коллегия: А.Н. Берёза, к.т.н., доцент (председатель редакционной коллегии); Д.А. Безуглов, д.т.н., профессор;...»

«Внутрикорпоративный бюллетень ОАО ГИПРОДОРНИИ, № 1 (ноябрьдекабрь2008, январь 2009) Содержание Новости СМИ о нас Внутренняя жизнь Поздравления. Объявления В ОАО ГИПРОДОРНИИ ЗАРАБОТАЛ САЙТ НА АНГЛИЙСКОМ ЯЗЫКЕ С 30 января 2009 г. пользователям www.giprodor.ru стала доступна англоязычная версия сайта. Вы можете ознакомиться с ней по этому адресу http://eng.giprodor.ru/ ОАО ГИПРОДОРНИИ – САМЫЙ ВЛИЯТЕЛЬНЫЙ НЬЮЗМЕЙКЕР ПО ТЕМЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ АВТОМОБИЛЬНЫХ ДОРОГ По итогам 2008 года ОАО ГИПРОДОРНИИ...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Кемеровский государственный университет в г. Анжеро-Судженске 1 марта 2013 г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по дисциплине Безопасность жизнедеятельности (ЕН.Р.1) для специальности 080801.65 Прикладная информатика в экономике факультет информатики, экономики и математики курс: 1 семестр: 1 зачет: 1 семестр лекции: 18 часов практические...»

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ А.М. ДЕНИСОВ, А.В. РАЗГУЛИН ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Часть 2 МОСКВА 2009 г. Пособие отражает содержание второй части лекционного курса Обыкновенные дифференциальные уравнения, читаемого студентам факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова в соответствии с программой по специальности Прикладная математика и информатика. c Факультет...»

«ПУБЛИЧНЫЙ ОТЧЕТ Директора ГБОУ СОШ №1279 Анисимовой Раисы Алексеевны 2012/2013 учебный год Москва 2013 Содержание Содержание.. 1 2 Введение.. 3 2 Методическая работа школы.. 4 3 Отчет о работе начальной школы. 4 31 Отчет о работе основной и старшей школы. 5 59 Отчет структурного подразделения по информатизации ОУ. 105 6 Анализ воспитательной работы. 7 Отчет о работе библиотеки.. 8 Материально-техническая база школы. 9 Безопасность школы.. 10 Заключение.. 11 Публичный отчёт директора школы по...»

«В.К. Клюев, Е.М. Ястребова МАРКЕТИНГОВАЯ ОРИЕНТАЦИЯ БИБЛИОТЕЧНО-ИНФОРМАЦИОННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ (Маркетинг в системе управления библиотекой) Второе доработанное и дополненное издание Рекомендовано Министерством культуры Российской Федерации в качестве учебного пособия для вузов и колледжей культуры и искусств Под общей редакцией В.К. КЛЮЕВА Москва ИПО Профиздат Издательство Московского государственного университета культуры и искусств 1999-2002 ББК 78.34(2)я УДК (002:658.14] (07) К Рецензенты: С.Г....»

«ТЕОРИЯ И МЕТОДОЛОГИЯ УДК 336.722.112:316 Т. А. Аймалетдинов О ПОДХОДАХ К ИССЛЕДОВАНИЮ ЛОЯЛЬНОСТИ КЛИЕНТОВ В БАНКОВСКОЙ СФЕРЕ АЙМАЛЕТДИНОВ Тимур Алиевич - директор по исследованиям ЗАО НАФИ, кандидат социологических наук, доцент кафедры социальной и педагогической информатики РГСУ. Email: aimaletdinov@nacfin.ru Аннотация. В статье приводится обзор классических и современных подходов к теоретической интерпретации и эмпирическим исследованиям лояльности клиентов к банкам. На основе анализа...»

«Нижегородский государственный Нижегородский областной центр университет им. Н.И. Лобачевского реабилитации инвалидов по зрению Камерата Теория и практика Тифло-IT Сборник статей издан в рамках проекта Создание межрегионального ресурсного центра тифлокомпьютеризации для НКО инвалидов по зрению, поддержанного Министерством экономического развития РФ г. Нижний Новгород 2013 1 УДК 376 ББК 32.81+74.3 Т33 Теория и практика Тифло-IT. Сборник статей. Сост. Рощина М.А. – Нижний Новгород: ООО...»

«007813 Настоящее изобретение относится к новому белку INSP037, идентифицированному в настоящей заявке как секретируемый белок, в частности, как член семейства цитокинов, имеющих структуру в виде пучка из четырех спиралей, и предпочтительно, как интерферон-гамма-подобная молекула, и к применению этого белка и последовательностей нуклеиновой кислоты кодирующего гена для диагностики, профилактики и лечения заболеваний. Все цитируемые публикации, патенты и патентные заявки во всей своей полноте...»

«СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ СОТРУДНИКОВ ИПИ РАН ЗА 2013 Г. 1. МОНОГРАФИИ 1.1. Монографии, изданные в ИПИ РАН 1. Арутюнов Е. Н., Захаров В. Н., Обухова О. Л., СейфульМулюков Р. Б., Шоргин С. Я. Библиография научных трудов сотрудников ИПИ РАН за 2012 год. – М.: ИПИ РАН, 2013. 82 с. 2. Ильин А. В. Экспертное планирование ресурсов. – М.: ИПИ РАН, 2013. 58 с. [Электронный ресурс]: CD-R, № госрегистрации 0321304922. 3. Ильин А. В., Ильин В. Д. Информатизация управления статусным соперничеством. – М.: ИПИ РАН,...»

«СРЕДНЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ О. В. ПОдгОрнОВа МатеМатические и логические основы электронно-вычислительной техники Рекомендовано Федеральным государственным учреждением Федеральный институт развития образования в качестве учебника для использования в учебном процессе образовательных учреждений, реализующих программы среднего профессионального образования Регистрационный номер рецензии 496 от 02 июля 2009 г. ФГУ ФИРО УДК 681.3(075.32) ББК 32.973я723 П441 Р е ц е н з е н т ы: зав....»

«Российская академия наук Cибирское отделение Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт систем информатики имени А.П.Ершова СО РАН Отчет о деятельности в 2012 году Новосибирск 2013 Институт систем информатики имени А.П.Ершова СО РАН 630090, г. Новосибирск, пр. Лаврентьева, 6 e-mail: iis@iis.nsk.su http: www.iis.nsk.su тел: (383) 330-86-52 факс: (383) 332-34-94 Директор д.ф.-м.н. Марчук Александр Гурьевич e-mail: mag@iis.nsk.su http: www.iis.nsk.su тел: (383) 330-86-...»

«Международный консорциум Электронный университет Московский государственный университет экономики, статистики и информатики Евразийский открытый институт И.А. Киселева Моделирование рисковых ситуаций Учебно-практическое пособие Москва 2007 1 519.86 УДК 65.050 ББК 44 К Киселева И.А. МОДЕЛИРОВАНИЕ РИСКОВЫХ СИТУАЦИЙ: Учебно-практическое пособие / Евразийский открытый институт. – М.: МЭСИ, 2007. – 102 с. Данное пособие предназначено для студентов экономических вузов. Большое внимание в нем уделено...»

«ТЕКТОНОТИПЫ ПАЛЕОБАССЕЙНОВ КАВКАЗСКО-КАСПИЙСКОГО РЕГИОНА И ОСНОВНЫЕ СТАДИИ ЭВОЛЮЦИОННОГО РАЗВИТИЯ ЮЖНО-КАСПИЙСКОГО МЕГАБАССЕЙНА Мамедов П.З. Азербайджанская Государственная Нефтяная Академия В статье рассматривается особенности геодинамики и эволюционного преобразования литосферы Кавказско-Южнокаспийского сегмента АГПП с позиций ТЛП. На основе сейсмостратиграфической интерпретации высокоинформативных материалов сверхглубинной сейсмометрии методом ОГТ выявлены морфологические и тектонические...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра информационных систем в экономике ДОПУСТИТЬ К ЗАЩИТЕ Заведующий кафедрой информационных систем в экономике Халин В. Г. “_”_2006 г. ДИПЛОМНЫЙ ПРОЕКТ По специальности 351400 “Прикладная информатика в экономике” На тему Проблемы формирования налоговой политики РФ в сфере IT-индустрии Студента Кошелевой Екатерины Алексеевны...»

«Сведения о научной и учебно-методической литературе, опубликованной сотрудниками ИГУ в 2009 году № Ф.И.О. авторов Название публикации Объем Тираж Издательство, гриф п/п п.л. 2 3 4 5 6 1 Учебники 07.00.00 Исторические науки Под общей ред. Черных В.В. Отечественная история (Учебник для учащихся 1000 Иркутск: Изд-во Оттиск 24, Соавторы: Зуляр Ю.А., Иванов А.А., неисторических специальностей) Логунова Г.В. и др. 10.00.00 Филологические науки Булатова М.Н. Логика и теория аргументации: 2-е изд, доп....»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Амурский государственный университет Кафедра общей математики и информатики УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ МАТЕМАТИКА Основной образовательной программы по направлению подготовки 080500.62 – Менеджмент 2012 г. УМКД разработан старшим преподавателем кафедры ОМиИ Гришкиной Татьяной Евгеньевной Рассмотрен на заседании кафедры ОМиИ...»






 
© 2014 www.kniga.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Книги, пособия, учебники, издания, публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.