WWW.KNIGA.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Книги, пособия, учебники, издания, публикации

 


ВВЕДЕНИЕ

Работа составлена на основе лекций по дискретной математике, читаемых в течение одного

семестра студентам первого курса факультета бизнеса, обучающимся по специальности «Прикладная

информатика в экономике». Конспект лекций содержит четыре раздела: элементы теории множеств,

алгебра логики, элементы комбинаторики и теория графов.

Целью данного курса является дать слушателям основные понятия дискретной математики,

которые необходимы для дальнейшего обучения данной специальности.

Основные понятия теории множеств, которые изложены в первой главе, составляют базовый язык математики (а значит, и дискретной) и поэтому необходимы для изучения остальных разделов. Работа компьютеров основана на двоичной системе счисления и поэтому все преобразования информации осуществляются по законам алгебры логики. Известны также применения алгебры логики в теории контактных и релейно-контактных схем, при анализе алгоритмов программ, синтезе управляющих систем. Основные понятия комбинаторики необходимы для изучения курса теории вероятностей. В экономических исследованиях также нередко возникают задачи, которые решаются с использованием методов комбинаторики. Теория графов применяется для решения задач в различных областях науки и техники, в том числе и в экономике, например, для решения задач нахождения кратчайших маршрутов в транспортных сетях.

Для изучения данного курса студентам достаточно знаний математики в объеме средней школы.

I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ

1. Понятие множества, операции над множествами 1.1. Множества и подмножества В математике понятия множества и его элементов, так же как понятия точки, прямой, вектора, относятся к исходным понятиям и никак не определяются.

Мы будем понимать под множеством всякую совокупность каких-либо объектов. Объекты этой совокупности есть элементы данного множества. Обычно множества обозначаются прописными, а элементы множества строчными буквами.

Принадлежность элемента a множеству A обозначается a A ( a принадлежит A ).

Если элемент b не принадлежит множеству A, то, в этом случае, используется обозначение b A.

Пример 1) A – множество жителей в г. Новосибирске.





2) C – множество планет Солнечной системы.

3) D – множество действительных чисел; 2 D.

4) N – множество натуральных чисел; 1, 2 N ; 2 N.

Множество A называется подмножеством множества B, если всякий элемент множества A является элементом множества B. При этом используется обозначение A B. Знак называется знаком включения. В этом случае говорят, что В содержит А.

Множества А и B равны, если их элементы совпадают, т.е. если АВ и ВА. В этом случае пишут A= B.

Обычно для доказательства равенства двух множеств A и B доказывают два включения АВ и ВА.

Если элементы множеств А и B не совпадают, то эти множества не равны (обозначение A B ).

Если A B и A B, то A называется строгим подмножеством B. Обозначение A B знак называется знаком строгого включения.

Множества могут быть конечными (состоящие из конечного числа элементов) и бесконечными.

Число элементов в конечном множестве A называется мощностью A и обозначается A. О мощности бесконечного множества будет говориться в следующих разделах.

Множество мощности 0, т.е. не содержащее элементов, называется пустым и обозначается.

Принято считать, что пустое множество является подмножеством любого множества. Множество, содержащее все элементы, находящиеся в рассмотрении, называется универсумом и обозначается.

1.2. Способы задания множеств Обычно выделяют следующие способы задания множеств: списком своих элементов;

порождающей процедурой или описанием характеристических свойств, которыми должны обладать его элементы.

Списком можно задавать лишь конечные множества. Список обычно заключают в фигурные скобки, например, A = {a, b, c, d } означает, что множество A состоит из четырех элементов a, b, c, d.

Порождающая процедура описывает способ получения элементов множества из уже полученных элементов либо из других объектов. Элементами множества считаются все объекты, которые могут быть построены с помощью такой процедуры.

Пример 1) Множество A = { x | x = / 2 + 2k, k = 0, ±1, ±2,…} есть множество решений уравнения sin x = 1.

2) Множество чисел Фибоначи F = { f n = f n 1 + f n 2, n = 2,3,…; f 0 = 1, f1 = 1}.

Когда используется способ задания множества путем описания свойств его элементов, то указываются свойства, которым должны удовлетворять все элементы данного множества.

Пример { } K = ( x, y ) | x 2 + y 2 1 множество точек единичного круга на плоскости;

Z = {x | sin x 0.5} множество действительных чисел, синус которых меньше 0.5.

1.3. Операции над множествами Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Объединение обозначается A B.

A B = {x | x A или x B}.

Объединение множеств, принадлежащих произвольной (в том числе бесконечной) системе множеств, определяется аналогично. При этом используются следующие обозначения:

A B C D – объединение множеств А, В, С, D;

A объединение множеств, принадлежащих системе S. Если множества, занумерованы AS индексами, то обычно пишут бесконечного числа множеств.

Пример 2) А – множество решений уравнения | sin x |= 1 :

3) Множество точек плоскости D2 есть объединение точек правой и левой полуплоскостей Пересечением множеств A и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, А и В.

Обозначение A B.

Аналогично, как для операции объединения определяется пересечение произвольной, в том числе и бесконечной системы множеств.

Пример B содержит единственный элемент точку ( 0,0 ).

Разностью множеств A и B называется множество всех тех и только тех элементов A, которые не принадлежат B. При этом используется обозначение A \ B.

В отличие от операций объединения и пересечения разность строго двуместна, т.е. определена только для двух множеств.

Пример Свойства операции «разность»:

1) разность определена только для двух множеств;

2) разность некоммутативна, т.е. A / B B / A ;

Дополнением множества A называется множество всех элементов, не принадлежащих A (но принадлежащих U ) A = U \ A.

Пример Пусть C = C = {( x, y ) | x 2 + y 2 1} – внешность единичного круга.

Симметрической разностью множеств A и B называется множество На рис. 1.1 изображены круги Эйлера, наглядно иллюстрирующие операции над множествами.

Сами множества представлены кругами, а результаты операций выделены штриховкой.

1. Коммутативность:

2. Ассоциативность:

3. Дистрибутивность:

A(BUC)=(AB)U(AC), AU(BC)=(AUB)(AUC) ;

4. Идемпотентность:

5. Поглощение:

6. Свойства нуля:

7. Свойства единицы:

8. Инволютивность:

9. Законы де Моргана:

10. Свойства дополнения:

1.5. Разбиения и покрытия Пусть = { Bi }iI некоторое семейство подмножеств множества A, Bi A. Семейство называется покрытием множества A, если каждый элемент x A принадлежит хотя бы одному из множеств Bi.

Покрытие называется разбиением множества A, если для любых двух множеств Bi, B j выполняется Bi B j =, i j.

Пример Пусть C и D два множества, имеющие не пустое пересечение. Рассмотрим A = C D. Тогда семейство {C, D} является покрытием множества A. Семейство {C \ D, D \ C,C D} является разбиением множества A.

Мы будем рассматривать упорядоченные наборы n элементов, заключенные в круглые скобки, вида ( x1, x2,…, xn ). Элемент xi называется i координатой данного набора. Число координат называется длиной набора. Два набора ( x1, x2,…, xn ) и ( y1, y2,…, yn ) равны тогда и только тогда, когда x1 = y1, x2 = y2, …, xn = yn.

Прямым произведением множеств A и B называется множество A B всех упорядоченных пар В частности, если A = B, то обе координаты принадлежат A и такое произведение обозначается A. Аналогично, прямым произведением множеств A1,…, An называется множество A1 A2 … An всех упорядоченных наборов ( a1, a2,…, an ) длины n таких, что a1 A1, a2 A2,…, an An. Для прямого произведения A... A используется обозначение. An. В этом случае говорят, что An является n -й прямой степенью множества A.

Пример D D = D2 множество точек плоскости, т.е. D 2 = {( a, b ) | a, b D}.

Пример Пусть A = {a, b, c, d, e, f, q, h }, B = {1,2, 3, 4,5,6,7, 8}. Прямому произведению A x B можно поставить в соответствие множество клеток шахматной доски.

Пример Пусть M = {0, 1,2, 3, 4,5,6,7, 8,9} – множество цифр. Тогда M 3 можно поставить в соответствие от 0 до 999.

Свойства прямого произведения:

Теорема 1. Пусть A1, A2,…, An – конечные множества и A1 = m1, A2 = m2,…, An = mn. Тогда мощность множества A1 A2 … An равна произведению мощностей множеств A1, A2,…, An, т.е.

Доказательство Для доказательства применим метод математической индукции.

Для n = 1 теорема верна. Предположим, что теорема верна для n = k. Докажем, что утверждение теоремы справедливо для n = k + 1.

По предположению A1 A2 … Ak = m1 m2,…, mk. Возьмем любой набор ( a1, a2,…, ak ).

Припишем справа к нему элемент ak +1 из Ak +1. Это можно сделать mk +1 разными способами. При этом получится mk +1 различных наборов из A1 A2 … Ak +1. Таким образом, из всех m1 m2 … mk наборов можно получить путем приписывания справа элементов ak +1 Ak +1 m1 m2 … mk + всевозможных различных наборов из A1 A2 … Ak +1. Значит, теорема верна для n = k + 1 и, следовательно, верна для любого n.

Следствие.

Пусть даны два множества A и B.

Бинарным отношением между элементами множеств A и B называется любое подмножество R множества A B. Если A = B, то отношение R называется бинарным отношением на A.

Если (a, b) R, то говорят, что элементы a и b находятся в отношении R. Вместо (a, b) R часто используется обозначение aRb.

Пример Пусть А – множество мужчин, В – множество женщин Пример Пусть A = B = N. Рассмотрим отношение «», т.е. R = выполняется для пар (5, 7), (2, 2), но не выполняется для пары (5, 4).

Пример Пусть A = B = N. Отношение «иметь общий делитель, отличный от единицы» выполняется для пар (2,4), (3,15), но не выполняется, например, для любой пары (n, n + 1).

Для задания бинарных отношений на конечных множествах часто используется матричный способ.

Матрица бинарного отношения на множествах A = {a1,…, ak } и B = {b1,…, bl } – это матрица размера k l, в которой элемент rij, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца, определяется следующим образом:

Например, A = B = {1, 2,3, 4,5,6}, то для отношения «» соответствующая матрица имеет вид Областью определения бинарного отношения R называется множество Пример Пусть A = B = {1, 2,3, 4,5,6}, R = " ", тогда R = {1, 2,3, 4,5,6}.

Пример Областью значений бинарного отношения R называется множество Пример Пусть a A. Множество R(a) = b | b B, aRb называется образом a в B.

Пример Пусть A = B = {1, 2,3, 4,5,6}, R = " ", a = 2, тогда R (2) = {2,3, 4,5,6}.

Пусть b B. Множество R 1 (b) = {a a A, aRb} называется прообразом b в A.

Пример Пусть C A. Образом множества C относительно бинарного отношения R называется объединение образов всех элементов C Пример Если D B, то прообразом множества относительно R называется объединение прообразов всех элементов D Пример Пусть R – бинарное отношение на A B. Если R1 R, то R1 называется сужением R. Для отношений определены обычным образом технико-множественные операции объединения, пересечения, разности, симметрической разности.

A и B является множество R = A B \ R.

Пример Обратным отношением для бинарного отношения R называется бинарное отношение R = {(b, a) (a, b) R}.

Пример Пример A = B = {1, 2,3, 4,5,6}. Обратным для отношения двух чисел «иметь общий делитель 1» будет оно само.

Произведением или суперпозицией отношений R1 A B и R2 B C называется отношение R1 R2 = {( x, y ) | существует z B такое, что ( x, z ) R1 и ( z, y) R2 }.

Пример A = B = С = {1, 2,3, 4,5,6}. Пусть R1 – отношение «иметь общий делитель 1», R2 = {( x, y ) | y = 2 x}.

R1 = {(2, 2), (2, 4), (2,6), (3,3), (3,6), (4, 2), (4, 4), (4,6), (5,5), (6, 2), (6, 4), (6,6)}, R2 = {(1, 2), (2, 4), (3,6)}, тогда R1 R2 = {(2, 4), (3,6), (4,4), (6,4), (6,6)}.

Отношение f называется функцией из A в B если f = A, f B и для всех x, y1, y2 из Отношение f называется функцией из A на B если f = A, f = B и для всех x, y1, y2 из ( x, y1 ) f и ( x, y2 ) f следует y1 = y2. В этом случае говорят, что функция сюръективна. Если f – функция, то обычно используют обозначение y = f ( x) вместо ( x, y ) f и называют y значением функции f при значении аргумента x. В том случае, когда нужно указать область определения и область значений, используют обозначение f : A B.

Функция f называется 1-1 функцией, если для любых x1, x2, y из того, что y = f ( x1 ) и y = f ( x2 ) следует x1 = x2.

Пример 1) Функция y = sin x является 1-1 функцией, если A =,, и не является 1-1 функцией, если ее рассматривать на всей вещественной оси.

2) Функция, которая каждому человеку ставит в соответствие его дату рождения, не является 1- функцией.

Функция f : A B осуществляет взаимно-однозначное соответствие между А и В, если f = A, f = B и f – 1-1 функция.

Пример 1) Функция, которая ставит в соответствие каждому студенту данного вуза его номер студенческого билета, осуществляет взаимнооднозначное соответствие между множеством студентов данного вуза и множеством номеров студенческих билетов, выданных на данный момент времени.

2) Функция y = exp( x), заданная на множестве действительных чисел, осуществляет взаимнооднозначное соответствие между ее областью определения и областью значений.

Если обратное отношение к функции f является функцией, то оно называется функцией, обратной к f, и обозначается f 1.

Так как в обратном отношении образы и прообразы меняются местами, то для существования функции обратной к f : A B, требуется, чтобы каждый элемент b f имел единственный прообраз. Это означает, что для функции f : A B обратная функция существует тогда и только тогда, когда f осуществляет взаимнооднозначное соответствие между областью определения и областью значений.

Теорема 2. Если между конечными множествами A и B существует взаимно-однозначное соответствие, то A = B.

Доказательство Так как существует взаимнооднозначное соответствие, то это означает, что существует функция f : A B, такая, что f = A, f = B и f – 1-1 функция. Предположим, что A B.

Пусть A B. Это означает, что в A найдутся два различных элемента, которым соответствует один элемент В. Получаем противоречие с определением 1-1 функции.

Если A B, то поскольку f = B, то в B найдутся два элемента, которые соответствуют одному элементу из A, что противоречит тому, что f функция.

Доказанная теорема позволяет установить равенство мощностей двух множеств, не вычисляя этих мощностей, а также дает возможность вычислить мощность множества, установив его взаимнооднозначное соответствие с множеством, мощность которого известна и легко вычисляется.

На этом факте основана приведенная ниже теорема о количестве подмножеств конечного множества.

Множество подмножеств множества A называется булеаном и обозначается 2 A.

Теорема 3. Пусть A конечное множество, тогда число подмножеств множества A равно 2.

Доказательство Пусть n = A. Занумеруем элементы A номерами от 1 до n: A = {a1, a2,…, an } и рассмотрим множество Bn упорядоченных наборов длины n с координатами, состоящими из нулей и единиц.

Каждому подмножеству A A поставим в соответствие упорядоченный набор V = ( v1,…, vn ) Bn следующим образом:

Очевидно, что установленное соответствие между множествами всех подмножеств А и двоичными наборами длины n является взаимнооднозначным и, значит, число подмножеств А равно Вn. А так как Вn является n -й прямой степенью двухэлементного множеств {0, 1}, то в силу следствия теоремы о мощности прямого произведения конечных множеств Вn=2n. Теорема доказана.

Множества называются равномощными, если между их элементами можно установить взаимнооднозначное соответствие.

Множества равномощные N (множеству натуральных чисел) называются счетными.

Любое бесконечное подмножество N счетно. Действительно, пусть N N. Выберем n наименьший элемент в N ; в N \ {n1} выберем наименьший элемент и обозначим его n2 ; в N \ {n1, n2 } выберем наименьший элемент и обозначим его n3 и так далее. Поскольку для всякого натурального числа имеется лишь конечное множество меньших натуральных чисел, то любой элемент из N рано или поздно получит свой номер. Построенная нумерация устанавливает взаимнооднозначное соответствие ni i между N и N.

Покажем, что множество N 2 счетно. Нумерацию элементов N 2 можно задать следующим образом.

Разобьем N 2 на классы. К первому классу N1 отнесем все пары чисел с минимальной суммой. Такая пара всего одна: (1,1). Ко второму классу N2 отнесем все пары чисел с суммой, равной 3: N2 = {(1, 2),(2,1)}. В общем случае Ni2 = {(a, b) a + b = i + 1}. Каждый класс Ni2 содержит ровно i пар.

Упорядочим классы по возрастанию индексов i, а пары внутри класса – по возрастанию первого элемента и занумеруем получившуюся последовательность пар номерами 1, 2, 3 ….

Пара (a, b) получит номер 1 + 2 + …+ (i -1) + a. Таким образом, счетность N 2 доказана.

Из счетности N 2 следует счетность положительных рациональных чисел. Аналогично можно доказать счетность N k для любого натурального k. Можно также показать, что объединение конечного числа счетных множеств счетно, объединение счетного множества конечных множеств счетно, объединение счетного числа счетных множеств счетно. Но не все множества являются счетными.

Теорема 4. (Кантора).

Множество всех действительных чисел отрезка [0,1] не является счетным.

Доказательство Предположим, что множество действительных чисел отрезка [0,1] счетно и существует его нумерация. Расположим все числа, изображенные бесконечными десятичными дробями, в порядке этой нумерации:

Рассмотрим бесконечную десятичную дробь такую, что b1 a11, b2 a22, …. Эта дробь не может войти в указанную последовательность, так как от каждого числа с номером i она отличается i-й цифрой. Следовательно, все числа из отрезка [0,1] не могут быть пронумерованы и множество всех действительных чисел отрезка [0,1] несчетно.

Мощность множества действительных чисел отрезка [0,1] называется континуум; множества такой мощности называются континууальными.

Мы будем рассматривать бинарные отношения, заданные на непустом множестве A.

Бинарное отношение R на множестве A называется рефлексивным, если ( x, x ) R для всех x A.

Если бинарное отношение рефлексивно и A конечное множество, то главная диагональ матричного представления содержит только единицы.

Бинарное отношение R на множестве А называется антирефлексивным, если для всех x A ( x, x ) R. В матричном представлении главная диагональ антирефлексивного бинарного отношения содержит только нули.

Пример 1. Отношение “” на множествах N и D рефлексивно, а отношение “” антирефлексивно.

2. Отношение “иметь общий делитель” на множестве N рефлексивно.

3. Отношение “быть симметричным относительно оси х” не является ни рефлексивным ни антирефлексивным.

Бинарное отношение называется симметричным, если ( x,y ) R ( y, x ) R. То есть для любой пары отношение выполняется в обе стороны либо не выполняется вообще. Матрица симметричного отношения симметрична относительно главной диагонали.

Отношение R называется антисимметричным, если из ( x, y ) R и ( y, x ) R следует x = y.

Пример 1. Отношение “ ” является симметричным.

2. Отношение на множестве N “иметь общий делитель 1” является симметричным.

3. Отношение “” является антисимметричным.

Бинарное отношение называется транзитивным, если ( x, y ) R и ( y, z ) R ( x, z ) R.

Пример 1. Отношение “=” на D является транзитивным: x = y и y = z x = z.

2. Отношение “” на D является транзитивным.

3. Отношение включения для множеств транзитивно: A B и B C A C.

эквивалентностью), если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Пример 1. Отношение равенства на D есть отношение эквивалент-ности.

2. Отношение подобия треугольников есть эквивалентность.

3. Отношение “иметь один и тот же остаток от деления на какое-либо число” является эквивалентностью на N.

Пусть на множестве A задано отношение эквивалентности R. Тогда можно разбить множество A на классы эквивалентных элементов. Действительно, возьмем произвольный элемент a1 A и образуем класс C1, состоящий из a1 и всех элементов, эквивалентных a1. Затем выберем a2 A \ C (если такой найдется) и образуем класс C2, состоящий из a2 и всех элементов, эквивалентных a2 и т.д. Получается система классов C1, C2,… (возможно бесконечная) такая, что любой элемент из А входит хотя бы в один класс, т.е.

Эта система классов обладает следующими легко проверяемыми свойствами:

1) система образует разбиение A, такое, что классы попарно не пересекаются;

2) любые два элемента из одного класса эквивалентны;

3) любые два элемента из разных классов неэквивалентны.

Построенное разбиение, т.е. система классов называется системой классов эквивалентности по отношению к R или фактор-множеством A по R. Мощность этой системы называется индексом разбиения.

С другой стороны, любое разбиение A на классы определяет некоторое отношение эквивалентности, а именно, отношение “входить в один и тот же класс данного разбиения”.

Пример 1. Все классы эквивалентности D по отношению равенства состоят из одного элемента.

2. Разбиение множества треугольников на классы эквивалентности по отношению подобия.

3. Разбиение N по отношению “иметь общий остаток от деления на 3”:

Бинарное отношение на множестве A называется предпорядком на A, если оно рефлексивно и транзитивно.

Рефлексивное, транзитивное и асимметричное отношение на множестве А называется частичным порядком на A.

Такие бинарные отношения часто обозначаются символом “”. Тогда аксиомы частичного порядка можно записать в виде:

1) x x для всех x A – рефлексивность;

2) из x y и y z y z следует x = y – антисимметричность;

3) из x y и y z следует x z – транзитивность.

1. Обычное отношение “” на множествах N и D является частичным порядком.

2. Отношение делимости на N.

Для любого множества U отношение “ ” является частичным порядком на множестве всех подмножеств U.

Отношение, обратное к частичному порядку “”, является частичным порядком, который называется двойственным к “” и обозначается “”. Таким образом, x y, тогда и только тогда, когда y x. Если x y и x y, то используется обозначение x y.

Частично упорядоченные множества, состоящие из небольшого количества элементов, удобно описывать диаграммами. Кружочками обозначаются элементы; линия, идущая вверх, соединяет элемент с каждым непосредственно следующим за ним большим элементом.

Пример Рассмотрим множество A = {1, 2,3} и множество его подмножеств, частично упорядоченное относительно отношения включения. На рис. 1.2 приведена соответствующая диаграмма.

Частичный порядок “” на множестве A называется линейным, если для любых двух элементов x, y A выполняется x y или y x. Множество A с заданным на нем частичным (линейным) порядком называется частично (линейно) упорядоченным.

Элемент а частично упорядоченного множества A называется максимальным, если из того, что a x, следует a = x.

Элемент а частично упорядоченного множества A называется минимальным, если из того, что x a, следует a = x.

Пример 1. В примере 7 с множеством подмножеств A = {1, 2,3} A – максимальный элемент, – минимальный.

2. Рассмотрим A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} и отношение R = {( x, y ) | x, y A и x делит y}, R – есть частичный порядок, 1 – минимальный элемент, 6 – максимальный элемент.

R = {( x, y ) | x, y четные и x y, либо x, y - нечетные и x y}, которое является частичным порядком на N. В этом случае существуют два минимальных элемента на N 1 и 2.

Элемент a A называется наибольшим если x a для всех x A. Элемент a A называется наименьшим если a x для всех x A.

Пример 1. Рассмотрим множество подмножеств {1,2,3}. Пусть R- отношение включения. Тогда минимальный элемент равен наименьшему =, максимальный элемент равен наибольшему ={1,2,3}.

2. Пусть A = ( 0,1) и R = {( x, y ) | x, y A и x y}, в этом случае не существует наименьшего и наибольшего элемента.

3. Пусть A = {1, 2,3, 4,5,6} и R = {( x, y ) x, y A и x делит y}, тогда 1 – наименьший элемент; 6 – не является наибольшим элементом, так как отношение x 6 определено не для всех элементов A.





Похожие работы:

«Хорошко Максим Болеславович РАЗРАБОТКА И МОДИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ И АЛГОРИТМОВ ПОИСКА ДАННЫХ В INTERNET/INTRANET СРЕДЕ ДЛЯ УЛУЧШЕНИЯ КАЧЕСТВА ПОИСКА Специальность 05.13. 17 – Теоретические основы информатики АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Новочеркасск – 2014 2 Работа выполнена на кафедре Информационные и измерительные системы и технологии ФГБОУ ВПО ЮРГПУ(НПИ) им М.И. Платова. Научный руководитель Воробьев Сергей Петрович кандидат...»

«010400.62:02 Приложение 3 к ООП по направлению подготовки 010400 – Прикладная математика и информатика, профиль: Математическое моделирование и вычислительная математика АННОТАЦИЯ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ ДИСЦИПЛИНЫ Отечественная история (Б1.Б.1) Дисциплина Отечественная история является частью гуманитарного, социального и экономического цикла дисциплин (базовая часть) подготовки студентов по направлению подготовки – 010400 Прикладная математика и информатика. Дисциплина реализуется на факультете...»

«ОТЧЕТ о деятельности органов исполнительной власти Республики Татарстан за 2011 год Казань 2012 Содержание стр. I. Основные итоги социально–экономического развития 1 Республики Татарстан за 2011 год II. Отчёт об основных направлениях деятельности за 2011 год: Министерства экономики Республики Татарстан 4 Министерства промышленности и торговли Республики Татарстан 34 Министерства энергетики Республики Татарстан 45 Министерства сельского хозяйства и продовольствия Республики 61 Татарстан...»

«Российская академия наук Cибирское отделение Институт систем информатики имени А.П.Ершова СО РАН Отчет о деятельности в 2007 году Новосибирск 2008 Институт систем информатики имени А.П.Ершова СО РАН 630090, г. Новосибирск, пр. Лаврентьева, 6 e-mail: iis@iis.nsk.su http: www.iis.nsk.su тел: (383) 330-86-52 факс: (383) 332-34-94 Директор д.ф.-м.н. Марчук Александр Гурьевич e-mail: mag@iis.nsk.su http: www.iis.nsk.su тел: (383) 330-86- Заместитель директора по науке д.ф.-м.н. Яхно Татьяна...»

«Учреждение Российской академии наук Санкт-Петербургский институт информатики и автоматизации РАН Четвертый междисциплинарный семинар Анализ разговорной русской речи 3 АР - 2010 26 – 27 августа 2010 года, Санкт-Петербург, СПИИРАН Санкт-Петербург 2010 УДК 004.522 Учреждение Российской академии наук Санкт-Петербургский институт информатики и автоматизации РАН Санкт-Петербург, 199178, 14 линия, 39. http://www.spiiras.nw.ru/speech А64 Анализ разговорной русской речи (АР3-2010): Труды четвертого...»

«Предисловие Раздел 1. Общие вопросы методики преподавания  информатики и ИКТ в школе Глава 1. Предмет информатики в школе 1.1. Информатика как наука и как учебный предмет 1.2. История введения предмета информатика в отечественной  школе 1.3. Цели и задачи школьного курса информатики Контрольные вопросы и задания Глава 2. Содержание школьного курса информатики и ИКТ 36   2.1. Общедидактические подходы к определению содержания курса  информатики...»

«ТКП 300-2011 (02140) ТЕХНИЧЕСКИЙ КОДЕКС УСТАНОВИВШЕЙСЯ ПРАКТИКИ ПАССИВНЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ СЕТИ. ПРАВИЛА ПРОЕКТИРОВАНИЯ И МОНТАЖА ПАСIЎНЫЯ АПТЫЧНЫЯ СЕТКІ. ПРАВIЛЫ ПРАЕКТАВАННЯ I МАНТАЖУ Издание официальное Минсвязи Минск ТКП 300-2011 УДК 621.39.029.7 МКС 33.040.40 КП 02 Ключевые слова: пассивная оптическая сеть, волоконно-оптический кабель, волоконно-оптическое линейное (сетевое) окончание, прямой (обратный) поток передачи, оптический разветвитель, оптический бюджет Предисловие Цели, основные...»

«Раздел V РАЗДЕЛ V ИНТЕРНЕТ: ИНФОРМАЦИОННЫЕ РЕСУРСЫ И СЕРВИСЫ Данный раздел пособия, не затрагивая теоретических аспектов работы сети Интернет (охарактеризованных в соответствующем разделе учебника Историческая информатика), ставит своей целью изложение основ работы в Интернете, а также дает основные рекомендации по поиску тематических информационных ресурсов в Интернете. В разделе подробно рассматриваются вопросы, связанные с написанием студентом-историком отчетной работы – обзора тематических...»

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК Санкт-Петербургский институт информатики и автоматизации Посвящается 30-летию Санкт-Петербургского института информатики и автоматизации Российской академии наук В.В. Александров С.В. Кулешов О.В. Цветков ЦИФРОВАЯ ТЕХНОЛОГИЯ ИНФОКОММУНИКАЦИИ Передача, хранение и семантический анализ ТЕКСТА, ЗВУКА, ВИДЕО Санкт-Петербург НАУКА 2008 1 УДК 004.2:004.6:004.7 ББК 32.973 А Александров В.В., Кулешов С.В., Цветков О.В. Цифровая технология инфокоммуникации. Передача, хранение и...»

«ПУБЛИЧНЫЙ ОТЧЕТ Директора ГБОУ СОШ №1279 Анисимовой Раисы Алексеевны 2012/2013 учебный год Москва 2013 Содержание Содержание.. 1 2 Введение.. 3 2 Методическая работа школы.. 4 3 Отчет о работе начальной школы. 4 31 Отчет о работе основной и старшей школы. 5 59 Отчет структурного подразделения по информатизации ОУ. 105 6 Анализ воспитательной работы. 7 Отчет о работе библиотеки.. 8 Материально-техническая база школы. 9 Безопасность школы.. 10 Заключение.. 11 Публичный отчёт директора школы по...»

«Российско-Американское сотрудничество по здравоохранению Проект Мать и Дитя Санкт-Петербургская государственная медицинская академия им. И.И.Мечникова Центральный научно-исследовательский институт организации и информатизации здравоохранения Министерства здравоохранения РФ Комитет по здравоохранению Администрации г.Санкт-Петербурга Медицинский Информационно-аналитический Центр г.Санкт-Петербурга Управление Здравоохранения Администрации Пермской Области Управление Здравоохранения Администрации...»

«Экспансия онтологий: онтологически базированные информационные системы Л. А. Калиниченко1 1 Институт проблем информатики РАН Россия, г. Москва, 117333, ул. Вавилова, 44/2 leonidk@synth.ipi.ac.ru Аннотация. В статье дан краткий анализ состояния работ в области онтологически базированных систем доступа к данным и их возможного влияния на развитие информационных систем и баз данных. Обсуждены вопросы соотношения онтологического и концептуального моделирования и соответствующих языковых средств....»

«Дайджест публикаций на сайтах органов государственного управления в области информатизации стран СНГ Период формирования отчета: 01.04.2013 – 30.04.2013 Содержание Республика Беларусь 1. 1.1. Состоялась встреча с Министром информационных технологий, связи и СМИ Нижегородской области Российской Федерации. Дата новости: 04.04.2013. 1.3. Продолжается регистрация Государственных информационных ресурсов и систем. Дата новости: 15.04.2013 1.4. О внесении изменений и дополнений в Закон Республики...»

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ ОБРАЗОВАНИЯ ИНСТИТУТ ИНФОРМАТИЗАЦИИ ОБРАЗОВАНИЯ О.А. КОЗЛОВ ТЕОРЕТИКО-МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРЕТИКОИНФОРМАЦИ ИНФОРМАЦИОННОЙ ПОДГОТОВКИ КУРСАНТОВ ВОЕННО- ЗАВЕ ВОЕННО-УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ Монография Москва, 2010 Москва, 2010 Козлов О.А. Теоретико-методологические основы информационной подготовки курсантов военно-учебных заведений: Монография. – 3-е изд. – М.: ИИО РАО, 2010. – 326 с. В монографии излагаются основные результаты теоретико-методологического анализа проблемы...»

«Институт экологии и географии Institute of Ecology and Geography Содержание презентации • Структура, расположение и миссия Института – слайды 3-5 • История создания Института – слайд 6 • Выдающиеся ученые, внесшие исторический вклад в формирование научных школ и потенциала Института – слайды 7-12 • Качество преподавания в Институте сегодня – слайды 13-25 • Условия проживания иногородних студентов – слайд 26 • Направления подготовки Экология и природопользование, Землеустройство и кадастры -...»

«МОСКОВСКИЙ ГОРОДСКОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Фундаментальная библиотека Отдел информационного обслуживания Бюллетень новых поступлений в Фундаментальную библиотеку март 2014 г. Москва 2014 1 Составители: Т.А. Сенченко В бюллетень вошла учебная, учебно-методическая, научная и художественная литература, поступившая в Фундаментальную библиотеку в марте 2014 г. Материал расположен в систематическом порядке по отраслям знаний, внутри разделов – в алфавитнохронологическом. Указано распределение по...»

«ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ РУССКИЙ ЯЗЫК ПОДГОТОВКА К ЕДИНОМУ ГОСУДАРСТВЕННОМУ ЭКЗАМЕНУ МОСКВА 2011 1 Информатика. Подготовка к единому государственному экзамену. Составители: А. В. Морозова, В. В. Тартынских, Т.Т. Черкашина 2 Рекомендации к некоторым заданиям ЕГЭ Ударение (акцентологические нормы) Литературное произношение опирается на правила, однако произношение и ударение многих русских слов не подчиняется общим правилам, их надо запомнить или (в случае необходимости) свериться...»

«Федеральное казенное образовательное учреждение среднего профессионального образования [Год] Новочеркасский технологический техникум-интернат Министерства труда и социального развития Российской Федерации Анализ работы коллектива НТТИ в 2012 – 2013 учебном году 2 Данный отчет подготовлен с целью анализа и обобщения опыта работы коллектива Новочеркасского технологического техникумаинтерната за 2012 -2013 учебный год и рассчитан на широкую аудиторию читателей. Материалы отчета в части выводов и...»

«Международный консорциум Электронный университет Московский государственный университет экономики, статистики и информатики Евразийский открытый институт С.Д. Ильенкова, В.И. Кузнецов, С.Ю. Ягудин Инновационный менеджмент Учебно-практическое пособие Рекомендовано Учебно-методический объединением по образованию в области антикризисного управления в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности 080503 Антикризисное управление и другим экономическим...»

«1 И.И.ЕЛИСЕЕВА, М.М.ЮЗБАШЕВ ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СТАТИСТИКИ Под редакцией члена-корреспондента Российской Академии наук И.И. Елисеевой ЧЕТВЕРТОЕ ИЗДАНИЕ Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению и специальности Статистика Москва Финансы и статистика 2001 2 УДК 311(075.8) ББК 60.6я Е АВТОРЫ: И.И.Елисеева, д-р экон. наук, проф., чл.-корр. РАН - предисловие, главы 1, 2,4, 6, 7, 10, приложение; М.М....»






 
© 2014 www.kniga.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Книги, пособия, учебники, издания, публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.