«АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ Допущено Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших учебных заведений, обучающихся ...»

Ясно, что при каждом поступлении взамен прогнозируемой величины фактического уровня должна уменьшаться и ошибка прогноза среднего уровня на пятилетие и при замене последнего прогноза на 1995 г. на фактический уровень ошибка становится нулем. Рассмотрим этот процесс подробно. Пришел 1991 г., и получен его валовой сбор 38,9 млн т. Теперь среднегодовой уровень на 1991-1995 гг. равен сумме 38,9 + четыре прогноза на 1992-1995 гг., деленной на пять. Если исходить из того, что уравнение тренда не будет ежегодно пересматриваться, имеем:

Средняя ошибка прогноза среднегодового сбора равна сумме нуля (для 1991 г.) и четырех ошибок для 1992-1995 гг., деленной на пять:

Соответственно уменьшится ширина доверительного интервала прогноза. Прошел 1992 г., валовой сбор этого года равен 46,2 млн т.

Теперь точечный прогноз среднегодового уровня 1991-1995 гг.

составит: (38,9 + 46,2 + 37,9 + 37,3 + 36,7) : 5 = = 39,4 млн т. Средняя ошибка этого прогноза равна: щ = (0 + + 0 + 4,91 + 5,09 + 5,28): 5 = 3,06, доверительный интервал с вероятностью 0,95 равен: 39,4 ± 2,09 • 3,06, или от 33,0 до ' Такой расчет мог бы стать темой дипломного исследования по статистике.

45,8 млн т. После 1993 г., валовой сбор в котором равен фактически 43,5 млн т, имеем:

точечный прогноз среднюю ошибку доверительный интервал прогноза среднегодового валового сбора После 1994 г. с его фактическим валовым сбором 32,1 млн т имеем:

точечный прогноз среднюю ошибку доверительный интервал 39,48 ± 2,09 • 1,06, или от 37,26 до 41,70 млн т. И после 1995 г.

имеем фактический среднегодовой сбор:

Как видим, фактический среднегодовой валовой сбор находится в границах всех постепенно сужающихся доверительных интервалов прогноза. Ретроспективная проверка методики прогноза показала ее состоятельность, несмотря на явно кризисные годы сельского хозяйства в РФ.

10.3.4. Расчет страхового запаса для преодоления риска отклонения от трепда Доверительные интервалы прогноза могут служить основанием для расчета рисков больших отклонений от тренда и страхового запаса для преодоления этого риска. В предыдущем разделе вычислены границы доверительного интервала прогноза валового сбора пшеницы в России на 1991-1995 гг.: среднегодовой валовой сбор ожидался с вероятностью 0,95 в границах от 27,62 до 48,14 млн т. Это означает, что при близком к нормальному закону распределения отклонений от тренда вероятность того, что валовой сбор окажется в среднем за год ниже 27,62 млн т, равна: (1 или риск 2,5%. Однако если для нормального обеспечения населения России продовольствием необходимо 30 млн т пшеницы в год, то вероятность риска будет больше. Для ее определения следует вычислить кратность отклонения 30 млн т от точечного прогноза тренда 37,88 млн т в единицах S(t), т.е. 7,88 :7,18= 1,097== 1,10. Вероятность того, что отклонение от тренда превысит есть (1 -F(l,l): 2= (1-0,714): 2= 0,143, или 14,3%, Такой высокий риск неприемлем, и для его перекрытия и доведения до приемлемого уровня в 2,5% необходимо иметь страховой запас зерна пшеницы 30 млн т на год, или 2,38 • 5 = 11,9 млн т на все пятилетие.

Либо иметь резерв валюты и договора о поставке пшеницы из-за рубежа на сумму стоимости этих 11,9 млн т плюс стоимость перевозки. Как видим, расчет доверительных границ валового сбора и на отдельный год, и на большие сроки может иметь важное народнохозяйственное значение. По верхней границе доверительного интервала можно рассчитать вероятность иного, не столь драматического риска: риск перепроизводства, нехватки емкостей для хранения зерна, снижения цены на рынке ниже уровня рентабельности.

10.4. Прогнозирование по модели тренда и сезонных колебаний В гл. 6 были рассмотрены две модели сезонных колебаний:

с помощью средних индексов сезонности каждого месяца за ряд лет и с помощью ряда Фурье, или тригонометрических функций.

Прогнозирование по каждой из этих моделей с учетом тренда либо месячных уровней, либо среднегодовых уровней излагается в данном разделе.

10.4.1. Модель трспда месячных уровней и Имеем тренд месячных уровней затрат труда в сельскохозяйственном предприятии за 1995-1997 гг. (тыс. ч) у^ = 60,03+1,085?,, t = 0 в июле 1996 г., и вектор средних индексов сезонности для каждого месяца:

Январь 0,433 Февраль Май 1,617 Июнь 1,481 Сентябрь 1,617 Октябрь 0,394 Март 0,517 Июль 1,219 Август 1,206 Ноябрь 0, Среднее квадратическое отклонение фактических уровней от расчетных по тренду с учетом сезонных колебаний, т.е. мера случайной колеблемости S(f\, равно 4,08 тыс. ч.

Модель, учитывающая тренд и сезонность, имеет вид:

Подстановкой в эту модель /-го номера месяца от середины базы и соответствующего этому месяцу у-го номера в году получаем точечный прогноз затрат труда в ij-м месяце. Например, для апреля 1999 г.:

Средняя ошибка прогноза месячного уровня, вызванная наличием случайной колеблемости, вычисляется по ранее приведенным в разд.

10.3.2 формулам. Для апреля 1999 г.:

Доверительные границы затрат труда в апреле 1999 г. составят с вероятностью 0,95 (/-критерий Стьюдента t " 2):

74,46 ± 2 • 4,63, или от 65,20 до 83,72 тыс. ч. Для декабря 1998 г.:

Доверительные границы с вероятностью 0,9 составят:

43,09 ± 1,65 • 4,52, или от 35,63 до 50,55 тыс. ч.

Без учета сезонных колебаний прогноз был бы лишен всякого смысла, так как среднее квадратическое отклонение за счет сезонных колебаний равно 30,8, т.е. в 7,5 раза больше, чем случайная колеблемость, и ошибки прогнозов были бы во столько же раз больше, а доверительные интервалы - от нуля и до 100 с лишним. Такой «прогноз» можно сделать и без научных методов.

Следует, однако, подчеркнуть, что изложенная выше методика не лишена дискуссионных моментов: как, например, разделить степени свободы между сезонной колеблемостью и случайной? Измерять ли силу сезонной колеблемости по первичному ряду через j); • 1^ - у, или в относительном выражении через средние индексы сезонности (их отклонения от 100% или от единицы)?

10.4.2. Модель трепда годовых уровней и тригонометрического уравнения сезонности первой гармоники ряда Фурье. Если продолжить анализ за 9 лет, получим модель:

где у, - надой молока зау-й месяц;

316,7- средний месячный надой в среднем году базы расчета t. - номер месяца года, начиная от января, для которого t. = О, Имеем также меру случайной колеблемости:

Тренд имеет вид:

Чтобы построить по этим данным объединенную модель тренда и сезонности, необходимо учесть, что коэффициенты при синусе и косинусе зависят от величины свободного члена уравнения - среднего за данный год месячного надоя. Следовательно, эти коэффициенты каждый год необходимо корректировать на изменение по тренду среднемесячного надоя, т.е. для года с номером i они примут вид:

Сама же объединенная модель месячных надоев будет иметь следующее выражение:

Рассчитаем по этой модели прогноз (точечный) надоя на корову в апреле 1999 г.:

С учетом того, что средняя колеблемость не будет возрастать пропорционально надою год от года, имеем среднюю ошибку прогноза:

С вероятностью 0,95 продуктивность коров в хозяйстве в апреле 1999 г. составит при семи степенях свободы:

470,9 ± 2,36 • 14,4, или от 436,9 до 504,9 кг/гол.

Рассчитаем по той же модели прогноз надоя молока на среднюю корову на ноябрь 2000 г.:

Точечный прогноз:

Средняя ошибка прогноза:

С вероятностью 0,95 средний надой молока на корову в ноябре 2000 г.составит:

302,4 ± 2,36 • 15,3, или от 266,3 до 338,5 кг/гол.

Если же принять гипотезу о росте случайных колебаний по абсолютной величине пропорционально росту среднего надоя, то средняя ошибка получит для ноября 2000 г. вид:

т.е. больше на треть, чем без учета тенденции роста абсолютного показателя случайной колеблемости. Соответственно станут шире и доверительные интервалы прогнозов. Для проверки существования или отсутствия трепда случайной колеблемости необходим достаточно длительный временной ряд, а это, как уже отмечалось в разд. 6.4, не всегда имеется в условиях задачи. Если такая возможность есть, следует для расчета ошибок прогноза учесть тенденцию случайной колеблемости.

10.5. Прогнозирование комплекса жестко В данном разделе на основе доказанных в гл. 9 свойств трен-дов и колебаний в системе жестко взаимосвязанных признаков рассматриваются проблемы прогнозирования такой системы, как, например, площадь посева, урожайность и валовой сбор сельскохозяйственных культур или численность работников предприятия, производительность их труда, выпуск продукции.

В разд. 9.1 было доказано, что при наличии колеблемости признаков-сомножителей тренд признака-произведения содержит дополнительные случайные элементы, зависящие от сочетания разнораспределенных по времени колебаний сомножителей и корреляции между ними. Из этого положения вытекает, что предпочтительнее прогнозировать уровни признаков-сомножителей, а их произведение даст прогноз признака-произведения. Такой прогноз будет меньше зависеть от случайного распределения отклонений уровней в отдельные годы, чем прогноз по тренду признакапроизведения.

Конечно, не следует забывать, что мы имеем дело со статистической закономерностью: не в каждой отдельной задаче прогнозирования, а лишь как математическое ожидание или средняя величина ошибок прогнозов по множеству задач проявится теоретическое преимущество прогнозов по трендам сомножителей. В отдельном случае ошибка прогноза по тренду произведения может быть и меньше, ошибка может быть случайно вообще равна нулю. Но решать проблему выбора методики необходимо исходя из доказанного преимущества прогноза по произведению трендов сомножителей.

По данным табл. 9.1 вычислим прогноз валового сбора зерна на период с номером 6 от середины базы расчета трендов. Алгоритм расчета точечного прогноза валового сбора может иметь два варианта:

а) прогнозируем площадь, затем урожайность по их трен-дам, после чего перемножаем прогнозы:

б) перемножаем тренды площади и урожайности и на основе полученной параболы вычисляем прогноз валового сбора:

Средняя ошибка выборочной оценки или прогноза произведения двух переменных вычисляется по формулам:

если признаки П и у независимы друг от друга;

если признаки П и у в динамике коррелированы.

Здесь w//^ и niy^ - средние ошибки прогнозов признаковсомножителей па период t^; r'„ - коэффициент корреляции между признаками-сомножителями в динамике, вычисление которого описано в разд. 9.4, т.е. коэффициент корреляции отклонений от тревдов, ранее уже рассчитанный выше: т-'^ == = -0,326. Средние ошибки прогнозов отдельного признака рассмотрены в разд. 10.3.2.

Имеем:

Подставляя в формулу средней ошибки прогноза валового сбора с учетом корреляции колебаний площади с урожайностью, имеем:

С вероятностью 0,9 ((-критерий Стыодепта при семи степенях свободы равен 1,95) доверительный интервал валового сбора составит:

Широкий интервал прогноза, во-первых, связан с коротко! базой расчета трендов, во-вторых, с довольно значительной ко леблемостыо урожайности.

10.6. Прогнозирование по смешанной трендово-факторной модели Общий вид трендово-факторной прогностической модели:

где b - средневременнбй прирост результативного показателя;

b^,b^,b^;b^ - приросты факторов;

k - номер прогнозируемого периода времени;

Трепдово-факторные модели позволяют выявить силу влияния приростов 9СНОВПЫХ факторов и величину прибавки результативного показателя. Смешанное прогнозирование устраняет часть недостатков факторного и авторегрессионного. Оно позволяет включить скачкообразное изменение управляемых факторов.

Рассмотрим трепдово-факторпую модель прироста урожайности зерновых культур в хозяйствах Оренбургской области:

где Ъ^ - среднегодовой абсолютный прирост материально-денежных затрат без заработной платы и затрат на удобрения;

b^ - среднегодовой абсолютный прирост энергообеспеченности;

Ъ^ - среднегодовой абсолютный прирост доз удобрений.

Подставляем ожидаемые значения приростов 4)акторов в модель:

Среднее квадратическое отклонение среднегодового абсолютного прироста урожайности зерновых культур в хозяйствах Оренбургской области S^ равно 0,132 ц/га, а средняя ошибка многофакторной трендово-факторной модели - 0,086 ц/га, тогда средняя ошибка прогноза Прогнозируемый среднегодовой абсолютный прирост урожайности зерновых культур в Оренбургской области с вероятностью 0,95 заключен в границах:

Из-за большой колеблемости (У^,л = 62,8%) среднегодового абсолютного прироста вероятная ошибка его прогноза превышает величину самого прироста.

Данную методику можно использовать при прогнозировании других результативных показателей например рентабельности, производительности труда, показателей устойчивости производства и финансов.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Продолжение 3. Значение F-критерия Фишера при уровне значимости 0, Продолжение