WWW.KNIGA.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Книги, пособия, учебники, издания, публикации

 


Pages:     | 1 ||

«Е.Л. Тарунин, А.И. Цаплин ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗНАНИЙ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ ФИЗИКИ Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия ...»

-- [ Страница 2 ] --

Для вычисления момента инерции тела относительно выбранной оси рассмотрим вначале, как обычно, момент инерции материальной точки. Для упрощения вывода будем предполагать, что вращение происходит вокруг одной фиксированной оси. При этом нам можно опустить индекс, соответствующий выбранной оси. Тогда момент инерции материальной точки с номером i и массой mi вычисляется по формуле (рис. 15) вующей суммой моментов инерции, а в случае сплошного тела – соответствующим где плотность; r расстояние до оси вращения.

Сложность вычисления интеграла (3.70) зависит от его формы. В случае простейших форм типа стержня, цилиндра, шара, куба вычисление интеграла не вызывает затруднений. Кроме того, вычисление интегралов облегчается при использовании теоремы Штейнера (Гюйгенса – Штейнера). Эта теорема позволяет по значению момента инерции относительно центра масс I c вычислить момент инерции относительно любой оси по формуле где d расстояние выбранной оси до центра масс.

Теорема существенно упрощает вычисления моментов инерции, так как требует лишь знания момента инерции тела относительно центра масс I c.

Момент инерции тела относительно центра масс I c особенно легко вычисляется для тел с осевой симметрией. Примеры вычисления моментов инерции рассмотрим позднее, а пока вернемся к закону вращательного движения.

С учетом формул (3.67), (3.68) имеем для описания вращения около одной оси уравнение Как видно, закон вращательного движения с математической точки зрения эквивалентен закону движения материальной точки. При этом полезно знать «соответствие» величин поступательного и вращательного движения.

Укажем это соответствие, сравнивая одномерное движение по оси x с вращением около одной оси, описываемым углом (таблица).

Рис. 16. Параметры инерции цилиндрического тела соответствует оси цилиндра. Из соображений симметрии ясно, что ось вращения проходит через центр масс. Выделим в цилиндре бесконечно тонкий цилиндрический слой толщиной dr. В соответствии с формулой (3.69) момент инерции этого слоя Полный момент инерции равен интегралу:

Эту формулу можно упростить, используя значение полной массы тела В итоге получаем Из этой формулы легко получаются еще две формулы для сплошного цилиндра (при R1 = 0) и цилиндрического слоя (при R1 R2 ).

Физическим маятником называют любое тело, центр тяжести которого не совпадает с точкой подвеса. Для написания соответствующего уравнения движения такого маятника воспользуемся понятиями вращательного движения – момента инерции и момента сил.





Предполагаем, что положение маятника О полностью определяется одной обобщенной координатой – углом отклонения от устойчивого отклонении маятника от положения равновесия на центр масс действует возвращающий момент подвеса до центра масс. Знак минус отмечает тот факт, что момент сил стремится ликвидировать вращательного движения мы можем написать дифференциальное уравнение Поделив это уравнение на момент инерции маятника относительно оси O, получим уравнение Полученное уравнение является нелинейным. Однако при малых углах отклонения маятника от вертикали можно сделать приближенную замену sin() и получить линейное уравнение А это уже знакомое нам уравнение для гармонических колебаний (см.

параграф о колебаниях пружинного маятника). И, следовательно, его общее решение имеет вид Параметры этого решения амплитуда колебаний A и начальная фаза 0 – определяются из двух начальных условий для угла (0) и угловой скорости (t ). Таким образом, мы полностью описали колебания физического маятника для случая малых отклонений маятника от положения равновесия.

Погрешность линеаризации (замена sin() ) можно оценить с помощью формулы разложения синуса в ряд Маклорена (см. параграф о формуле Тейлора):

Требуя, чтобы второе слагаемой в этой формуле было меньше первого в 100 раз, получим ограничение для амплитуды Укажем, что мажорантная оценка (1.42) требует выполнения более жесткого неравенства 8,1°.

Важным результатом сведения уравнений движения к виду (3.77) является формула для собственных колебаний Из этой формулы, как частный случай, получается формула для периода собственных колебаний математического маятника. Для математического маятника, масса которого сосредоточена на расстоянии l от точки подвеса, имеем I = ml 2. Подстановка этого значения момента инерции в формулу (3.81) дает формулу, известную со времен Галилея:

3.6. Колебания в электромагнитном контуре Приведем еще один пример колебательной системы. Рассмотрим электрический контур, состоящий из трех элементов – конденсатора, сопротивления и катушки индуктивности (рис.18). Второй закон Кирхгофа для замкнутой цепи требует, чтобы сумма падений напряжения на этих элементах равнялась нулю:

где L индуктивность катушки; J величина тока в цепи; R омическое сопротивление цепи; q величина заряда на конденсаторе; C электроемкость конденсатора.

Ток в цепи определяется скоростью изменения заряда на конденсаторе:

J = dq / dt. Учитывая этот факт, уравнение (3.83) может быть приведено к виду В этом уравнении использованы следующие обозначения:

Вид уравнения (3.84) также нам знаком по колебаниям пружинного маятника с учетом силы сопротивления, пропорциональной скорости.

Следовательно, мы вновь можем воспользоваться изложенным материалом и отыскивать решение в виде затухающих колебаний Можно сказать, что задача решена. Это так, но нужно рассмотреть важные следствия. Укажем некоторые из них. Формулы (3.85) утверждают, что степень затухания электрических колебаний пропорциональна сопротивлению R (при R = 0 колебания не затухают). Частота колебаний при R 0 ниже частоты собственных колебаний индуктивностью. При большом значении сопротивления, когда частота колебаний становится мнимой, колебания становятся ангармоническими и решение (3.86) их не описывает.

Кроме того, для понимания всех процессов при электрических колебаниях необходимо рассмотреть функции Указанные функции легко получаются при использовании решения для заряда q(t ).

Рассмотренные выше колебания были свободными. Их решение полностью определялось начальными условиями и параметрами колебательной системы. Рассмотрим сейчас колебания в электрическом контуре (рис. 19) при Рис. 19. Колебательный контур Сделав, как и ранее, замену J = dq / dt, получим дифференциальное уравнение второго порядка для заряда на конденсаторе:

Постоянные коэффициенты этого уравнения определены так же, как и в предыдущем параграфе.

Следует отметить существенное отличие этого уравнения от соответствующего уравнения для свободных колебаний. В случае свободных колебаний уравнение было однородным. В однородном уравнении во все слагаемые линейно входит неизвестная величина q(t ) или ее производные. Это означает, что нулевое решение q (t ) = 0 является решением однородного уравнения при нулевых начальных условиях. Уравнение (3.89) уже не является однородным за счет слагаемого в правой части. Поэтому нулевое решение не проходит ни при каких начальных условиях.

Математика (теория дифференциальных уравнений) советует искать решение неоднородного уравнения в виде суммы двух решений. Первое из этих решений должно быть общим решением соответствующего однородного уравнения. Обозначим это решение как q1 (t ). А в качестве второго решения нужно взять частное решение полного неоднородного уравнения. Будем считать, что таковым решением является функция q (t ). Таким образом, согласно совету математики общим решением уравнения (3.89) является сумма:

Как видно, задача усложнилась. Но на помощь приходит изящество математических рассуждений. Вспомним, что в предыдущем параграфе было найдено общее решение однородного уравнения в виде Отсюда видно, что с течением времени это решение убывает по экспоненциальному закону q1 (t ) 0. Следовательно, при достаточно больших временах после задания напряжения (3.87) Соответствующий режим колебаний называется установившимся.

В установившемся режиме колебаний пропадает зависимость от начальных условий. Именно этим решением и интересуются обычно при изучении вынужденных колебаний. Но следует помнить, что можно построить и полное решение, которое опишет переходный процесс к установившимся колебаниям.

Давайте и мы будем выяснять, что будет происходить в колебательном контуре после переходного процесса. Для этого нам надо найти частное решение неоднородного уравнения. Вид этого решения подсказывается видом правой части. Положим (это пока гипотеза), что решение имеет вид Для проверки этой гипотезы надо подставить эту функцию в уравнение (3.89) и убедиться, что найдутся однозначные значения для параметров этого решения – амплитуды b и сдвига (отставания) по фазе 0. Перед подстановкой (3.92) в (3.89) вычисляются соответствующие производные:

Кроме того, нужно воспользоваться формулами тригонометрии:

После подстановки производных в уравнение (3.89) и приравнивания коэффициентов с множителем sin(t ) и cos(t ) получаются два соотношения Из последнего соотношения сразу получается формула для отставания по фазе:

Чтоб получить формулу для амплитуды, нужно оба соотношения возвести в квадрат и исключить слагаемое с произведением sin(0 )cos(0 ).

После этого использование следствия теоремы Пифагора sin 2 (0 ) + cos 2 (0 ) = дает формулу Получив зависимости для установившихся колебаний, их нужно, естественно, проанализировать и, таким образом, понять важнейшие свойства.

Из формулы (3.96) видно, что знак сдвига по фазе зависит от знака разности частот – вынужденной и собственной 0. Далее легко заметить, что при приближении частоты вынужденных колебаний к нулю сдвиг по фазе также стремится к нулю. Вблизи равенства 0 модуль тангенса велик и, следовательно, сдвиг фаз близок к / 2.

Наиболее важные свойства вынужденных колебаний извлекаются из формулы для амплитуды. Во-первых, видно, что амплитуда установившихся колебаний пропорциональна амплитуде напряжения b U 0 и зависит от трех параметров, 0,. Приравняв производную от амплитуды по вынуждающей частоте к нулю, найдем максимальное значение амплитуды bm и ту частоту m, при которой достигается эта амплитуда:

Из этих формул вытекает, что при считать, что m 0 и bm U 0 /(2 L0 ). Существенно то, что при максимальное значение амплитуды установившихся колебаний стремится к бесконечности. Это явление – резкое увеличение амплитуды установившихся колебаний вблизи m при малых значениях – и называют явлением резонанса. Характер резонансной играть как положительную, так и отрицательную роль. В радиотехнике это явление позволяет усиливать сигналы той радиостанции, на которую настроен колебательный контур приемника.

1. Напряжение задано с помощью функции синуса. С таким же Рис. 20. Амплитудная кривая с помощью функции косинуса.

2. В формуле (3.92) перед отставанием по фазе выбран знак минус. Если выбрать знак плюс, то это, естественно, изменит знак в формуле (3.96).

3. Величина параметра затухания позволяет оценить интервал времени, после которого можно считать колебания не зависящими от начальных условий. По истечении времени t = t1 = 1 амплитуда, соответствующая начальным условиям, убывает в e раз. Поэтому можно считать, что при t 2t1 = 2 / колебания «забывают» начальные условия.

4. Если исключить из дифференциального уравнения слагаемое с коэффициентом, то придем к физически абсурдному результату – бесконечной амплитуде установившихся колебаний. Этот результат подчеркивает тот факт, что в любом контуре есть величина сопротивления R, и потому нельзя отбрасывать это слагаемое.

5. Время достижения установившихся колебаний зависит не только от параметра. Будем считать, что энергия установившихся колебаний равна Em. Для достижения этого состояния должно быть совершено число колебаний не менее k = Em / E ( E величина энергии, поставляемая в цепь за один период).

6. Аналогичные свойства вынужденных колебаний характерны и для механических систем.

3.8. Колебания систем с двумя степенями свободы Примеры, рассмотренные выше, описывали колебания систем с одной степенью свободы. В таких случаях для описания поведения системы было достаточно одной обобщенной координаты. В случае математического и физического маятников обобщенной координатой служил угол отклонения маятника от равновесного положения. В случае пружинного маятника мы предполагали, что положение тела однозначно описывается одной координатой. Совершенно очевидно, что в общем случае даже для одной материальной точки для однозначного определения ее положения требуется использовать три координаты, для однозначного определения положения трехмерного тела может потребоваться 6 обобщенных координат, а для однозначного определения (описания) системы из n материальных точек может потребоваться 3n координат.

Для ознакомления с математическими проблемами описания колебаний с большим числом степеней свободы рассмотрим примеры с двумя степенями свободы. На рис. 21 показан пружинный маятник. Будем считать, что тело может перемещаться как в горизонтальном направлении, так и в вертикальном.

Колебания вдоль горизонтальной оси нам уже знакомы. Будем считать, что соответствующая циклическая частота таких колебаний равна 1. Для колебаний вдоль вертикальной координаты необходимо рассмотреть соответствующую возвращающую силу. Соответствующий расчет приводит к тому, что частота малых колебаний вдоль вертикальной координаты где a0 свободная длина пружины ( a0 a ); a равновесная длина пружины.

Как видно, в этом примере вторая степень свободы привела к возможным колебаниям с другой частотой. Так бывает часто, но не всегда.

Рассмотрим задачу с точки зрения соответствующих дифференциальных уравнений. Во многих случаях колебания системы с двумя степенями свободы описываются линейной системой двух дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

Рис. 21. Поперечные колебания пружинного маятника:

а – положение равновесия; б – случай движения по оси х Выясним, в каком случае решение этой системы дает гармонические колебания с одной частотой и фазой. Для выяснения этого вопроса предполагаем, что справедливо решение вида Подстановка этого решения в дифференциальные уравнения дает систему алгебраических уравнений Видно, что получилась однородная система уравнений, которая всегда имеет нулевое решение. Нас же интересует не нулевое решение. Для существования не нулевого (не тривиального) решения однородной системы необходимо потребовать равенства нулю соответствующего определителя:

Так как нас интересует не нулевое решение ( A1 0, A2 0 ), мы получаем для величины z 2 квадратное уравнение В общем случае это уравнение даст два различных корня. Случай одного корня (равенство частот) получается лишь при обращении в нуль соответствующего дискриминанта Таким образом, установлено, что лишь при выполнении (3.103) колебания вдоль по оси x и вдоль по оси y происходят с одной частотой. При невыполнении (3.103) частоты различны и их значения находятся из уравнения (3.102).

На рис. 22 даны четыре примера систем, в которых колебания могут быть описаны как минимум с двумя степенями свободы. В первом примере рассматриваются колебания в одной плоскости двух сосредоточенных масс (двойной маятник). Во втором примере мы предполагаем, что два тела одинаковой массы могут совершать только продольные колебания. В третьем (колебания масс ограничены плоскостью чертежа) примере мы предполагаем, что массы могут совершать лишь колебания в плоскости чертежа. В четвертом примере рассматриваются колебания токов в двух связанных контурах. Уточнения условий для механических систем приводят к системам лишь с двумя степенями свободы. Для четвертого примера никаких предположений не требуется.

В общем случае движение систем с двумя и более степенями свободы может иметь сложный вид. Покажем, что в случае систем с линейными связями движение может быть описано как суперпозиция простых гармонических колебаний. Эти простые гармонические колебания называют еще собственными колебаниями или модами. Моды могут отличаться по амплитуде, частоте и начальной фазе. При определенных начальных условиях может реализоваться одна мода. В общем же случае колебание является линейной суперпозицией мод.

В случае задачи, рассмотренной в начале параграфа, одна мода соответствует продольным колебаниям, а вторая мода – поперечным. Покажем способы, позволяющие угадать моды в более сложных ситуациях. Заметим, что угадывание мод требует физической и математической интуиции. Каждая мода должна, конечно же, удовлетворять дифференциальному уравнению. Для демонстрации способов угадывания мод рассмотрим второй и третий примеры, изображенные на рис. 22.

Начнем рассмотрение продольных колебаний для второго примера, предполагая, что массы тел одинаковы и три пружины имеют одинаковые длины l и коэффициенты жесткости k. Исходя из соображений симметрии, следует рассмотреть решения со следующими свойствами:

В первой моде (3.104) смещение тел происходит в совпадающих направлениях и центральная пружина, оставаясь постоянной по длине, фактически не участвует в создании возвращающей силы. Это позволяет найти Рис. 23. Нормальные моды продольных колебаний:

а – мода с меньшей частотой; б – мода с большей частотой частоту колебаний этой моды 1 = k / m. Вид этой моды при смещении тел вправо изображен на рис. 23, а.

Во второй моде смещения тел происходят в противоположных направлениях, тела или сближаются, или расходятся. В этом случае эффективная жесткость пружин оказывается больше, и потому колебания происходят с большей частотой 2 = 31. Вид второй моды колебаний в момент сближения тел показан на рис. 23, б. Общий случай колебаний с двумя модами приведен на рис. 24.

Аналогичные выводы и соображения симметрии для случая поперечных колебаний дают две моды, вид которых представлен на рис. 25. В первой моде тела смещаются в одинаковом направлении, а во второй – в противоположных направлениях.

Заметим, что если снять ограничения со второго и третьего примеров (см. рис. 22), то мы придем к системе с четырьмя степенями свободы. В этом случае общее решение будет являться суперпозицией четырех рассмотренных мод (две моды для продольных колебаний и две моды для поперечных колебаний). Вклад каждой моды определяется соответствующими начальными условиями.

Тема сложения колебаний является очень важной для понимания таких явлений, как, например, интерференция и биения. Различают сложение колебаний, происходящих в одном направлении, и сложение колебаний, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях.

Рассмотрим вначале случай сложения колебаний, происходящих в одном направлении. В этом случае при постановке задачи требуется узнать результат сложения В случае различных частот можно лишь сказать, что величина результирующего колебания не будет выходить за пределы суммы модулей Четкие результаты получаются для случая совпадающих частот 1 = 2 =. Именно этот случай мы и будем рассматривать вначале. Очевидно, что результирующее колебание будет иметь ту же частоту:

Амплитуда результирующего колебания и его начальная фаза определяются из (3.106) с применением известных со школы формул тригонометрии.

Покажем простой способ нахождения параметров (3.107) с помощью векторной диаграммы. В векторной диаграмме (рис. 26) колебания изображаются проекцией вектора (его длина равна амплитуде) на одну из осей прямоугольной системы координат при вращении вектора против часовой стрелки с частотой. Для сложения двух колебаний достаточно изобразить их в этой диаграмме двумя соответствующими векторами в начальный момент времени. После этого нужно выполнить сложение этих векторов графически по Рис. 26. Результат сложения колебаний при различных значениях разности фаз Как видно, результат сложения существенно зависит от разности фаз = 2 1. При нулевой разности фаз (или в общем случае кратной 2) амплитуда результирующего колебания максимальна (рис. 27, а):

При разности фаз, равной / 2, амплитуда (рис. 27, б) Амплитуда результирующего колебания минимальна при разности фаз, равной (рис. 27, в), Рис. 27. Сложение колебаний при различной разности фаз:

Говорят, что при нулевой разности фаз колебания складываются в фазе, а при разности фаз = + 2n ( n – целое) – в противофазе. При равных амплитудах и фазах амплитуда результирующего колебания удваивается. При сложении колебаний с равными амплитудами в противофазе амплитуда результирующего колебания равна нулю.

Очень интересный случай соответствует сложению колебаний с близкими частотами, когда При выполнении неравенства (3.112) возникают так называемые биения.

Для определенности будем считать, что выполняется неравенство 0 (2 1 ). В этом случае кроме начальной разности фаз появляется дополнительная разница фаз, равная t. И так как величина разности фаз мала, за время t0, при котором дополнительная разница фаз будет равна 2, совершится около 1 / колебаний с частотой 1. Это означает, что результирующая амплитуда колебаний будет меняться на рассматриваемом интервале от минимальной (3.109) до максимальной (3.111). Характер колебаний с биением приведен на рис. 28 для случая A1 = A2 = 1, 1 / 10.

Перейдем к рассмотрению сложения колебаний, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях, но с одинаковыми частотами:

Для получения траектории в плоскости x0 y следует вначале записать уравнения в виде После этого нужно выразить из этих уравнений sin(t ) и cos(t ), а затем воспользоваться тождеством sin 2 (t ) + cos 2 (t ) = 1.

В результате получается уравнение траектории В общем случае это эллипс (рис. 29, а). Форма эллипса в плоскости x0y определяется амплитудами и разностью фаз. При нулевой разнице фаз эллипс вырождается в отрезок прямой (рис. 29, б). При разнице фаз, равной / 2, и равных амплитудах эллипс превращается в окружность (рис. 29, в).

Замкнутые траектории в плоскости x0 y получаются также и при Соответствующие фигуры легко наблюдать на экране осциллографа, если на Рис. 30. Фигуры Лиссажу при различных отношениях частот и разности фаз:

его вертикальные пластины подать напряжение с частотой, равной, например, 1, а на горизонтальные с частотой 2. Соответствующие фигуры называются фигурами Лиссажу (рис. 30).

1. Чему равна скорость тела в момент времени t = 2 с, если V(0) = 2 м/с, 2. Чему равна горизонтальная компонента скорости снаряда при полной начальной скорости V0 = 100 м/с, если снаряд вылетел под 3. Три тела с массами 3, 2 и 1 кг находятся на оси x с соответствующими координатами 1, 2, 3 м. Какова координата 4. Чему равна циклическая частота колебаний пружинного маятника с жесткостью пружины 20 Н/м и массой 5 кг?

5. Вычислить максимум кинетической энергии пружинного маятника при колебаниях с амплитудой 0,2 м и жесткостью пружины 6. При каких условиях колебания становятся ангармоническими?

7. Какова связь линейной скорости с угловой скоростью при движении 8. Что такое плечо силы, момент силы?

9. Чему равен момент инерции стержня длиной 1 м и массой 2 кг, если ось вращения проходит через его середину?

10. Когда совпадают частоты колебаний физического и математического 11. Чему равна циклическая частота колебаний в электрическом контуре при емкости 1 мкФ, индуктивности 1 мГн и нулевом сопротивлении?

12. К чему стремится резонансная частота вынужденных колебаний в электрическом контуре при стремлении сопротивления к нулю?

13. Когда существует не нулевое решение однородной системы линейных уравнений?

14. От чего зависит вклад мод в результирующее колебание?

15. В каком случае максимальна (минимальна) амплитуда при сложении двух колебаний, происходящих в одном направлении?

16. В каких случаях фигура Лиссажу изображается отрезком прямой, окружностью, эллипсом?

4. ЗАДАЧИ С УРАВНЕНИЯМИ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

4.1. Классификация уравнений математической физики Основной класс уравнений математической физики составляют уравнения в частных производных. Существует много книг, посвященных уравнениям математической физики. Укажем лишь две из них, которые давно пользуются популярностью [6, 7]. Описание методов решения уравнений математической физики можно найти в учебных пособиях [4, 5, 9]. В общем случае уравнение в частных производных может быть записано в виде где F – заданная функция от всех указанных в скобках величин – независимых аргументов от x1 до xn, искомой функции u ( x1, x2,..., xn ) и ее частных производных.

Порядок старшей производной, входящей в уравнение (4.1), определяет порядок дифференциального уравнения. Уравнение (4.1) может быть линейным, квазилинейным и нелинейным. Уравнение называется квазилинейным, если оно линейно относительно всех старших производных от искомой функции. Так, например, уравнение является квазилинейным уравнением второго порядка для двух независимых переменных, если коэффициенты a11, a12, a22 не зависят от вторых производных, но могут зависеть от переменных, искомой функции и от ее первых производных. Уравнение (4.2) является линейным, если указанные коэффициенты зависят только от независимых переменных. Если функция f ( x1, x2 ) в уравнении (4.2) тождественно равна нулю, уравнение называют однородным.

Решением уравнения (4.1) или (4.2) является всякая функция, тождественно обращающая его при подстановке в тождество. Уравнения имеют бесконечное множество решений. Единственное решение образуется при формулировке дополнительных условий.

В этом разделе мы будем рассматривать лишь уравнения второго порядка, которые охватывают многие задачи физики. Приведем примеры уравнений, которые будут разобраны в следующих разделах.

Процесс распространения тепла и концентрации описывается уравнением Решение этого уравнения зависит от времени t и трех пространственных координат. В уравнении (4.3) использовано сокращенное обозначение для оператора Лапласа u. Этим обозначением будем пользоваться и в дальнейшем.

Процесс распространения волн (упругих, звуковых, электромагнитных) описывается волновым уравнением Обратим внимание на то, что в отличие от уравнения теплопроводности (4.3) здесь используется вторая производная по времени, а не первая.

Стационарное состояние многих физических систем часто описывается уравнением Пуассона В качестве искомой функции в уравнении Пуассона может быть температура, потенциал, напряженность электрического и магнитного поля.

Выписанные уравнения (4.3)–(4.5) часто называют основными уравнениями математической физики. Их исследования действительно позволяют разобраться во многих физических явлениях и решить конкретные технические задачи.

Математическая задача с физическим содержанием обычно должна удовлетворять так называемым условиям корректности. Задача считается корректно поставленной, если ее решение существует, оно единственно и устойчиво. Под устойчивостью здесь понимают слабое изменение решения при малом изменении параметров задачи (коэффициентов, начальных и граничных условий, известной функции f ).

Приведенные уравнения более подробно будут рассмотрены в следующих разделах, а в этом разделе мы рассмотрим вопросы классификации уравнений на примере однородного уравнения (однородное слагаемое тип уравнения не изменяет) с двумя независимыми переменными:

Характеристическим уравнением для (4.6) является уравнение Интегралы этого уравнения (решения) называют характеристиками.

Характеристическое уравнение распадается на два уравнения:

Знак подкоренного выражения (дискриминант D ) определяет тип уравнения: при D 0 уравнение гиперболического типа, при D = 0 уравнение параболического типа, при D 0 уравнение эллиптического типа. В различных частях области определения переменных уравнение может иметь различный тип. В случае постоянных коэффициентов тип уравнения один для всей области. Следует отметить, что замена переменных не меняет типа уравнений.

Уравнение теплопроводности в декартовых координатах имеет вид где коэффициент температуропроводности; f1 (t, x, y, z ) – заданная функция, определяет мощность внутренних источников тепла. Коэффициент температуропроводности зависит от теплопроводности среды, плотности и удельной теплоемкости c : = /( c). Уравнение справедливо для случая постоянных значений параметров,, c и, следовательно,.

В одномерном случае (нет зависимости от координат y и z ) уравнение имеет вид Уже было упомянуто, что уравнение теплопроводности является уравнением параболического типа. Убедимся в этом, составив дискриминант D из предыдущего параграфа и полагая, что первой независимой переменной является время, а второй – координата:

Для формулировки конкретной задачи, описываемой уравнением (4.9), необходимо задать функцию источников тепла, два граничных условия и начальное условие. В качестве простейшего примера рассмотрим случай без внутренних источников тепла ( f1 = 0 ) с начальным состоянием ( t = 0 ) в виде гармоники с номером n:

при нулевых граничных значениях на концах рассматриваемого интервала по Легко проверить, что точным решением поставленной задачи является функция Полезно отметить свойства этого решения. Во-первых, видно, что любые гармоники монотонно по экспоненциальному закону убывают с течением времени. Во-вторых, гармоники с большим номером убывают быстрее.

Медленнее всего убывает первая гармоника с n = 1. Из закона убывания первой гармоники находится характерное время выравнивания неоднородности по температуре:

За характерное время амплитуда первой гармоники уменьшается в e раз ( e основание натуральных логарифмов, e 2,718). Согласно формуле (4.13) характерное время пропорционально квадрату длины и обратно пропорционально коэффициенту температуропроводности. Мы сознательно заостряем внимание на этих фактах, так как они позволяют из решения одной задачи с выбранными параметрами ( l, ) предсказать характерные времена при других параметрах.

Приведем пример. Допустим, что мы решили задачу об остывании шара радиусом 1 см и знаем, что его максимальная температура убывает в e раз за секунд. Не решая задачу об остывании шара размером в 100 раз больше в аналогичных условиях, можно достоверно утверждать, что максимальная температура большого шара также уменьшится в e раз за время, равное 10 1002 секунд 27,8 часа.

Рассмотрим расширение поставленной задачи, напомнив, что использованное начальное условие было выбрано в виде одной гармоники с номером n (4.10). Расширение задачи позволяет использовать в качестве начального условия произвольную функцию координаты В этом случае задача решается с помощью разложения функции (4.14) в ряд Фурье:

Из математического анализа известно, что любая гладкая функция может быть представлена в виде сходящегося ряда (4.15). Это означает, что при достаточно большом значении числа слагаемых N погрешность представления (4.15) оказывается малой. После замены функции, задающей начальное условие, в виде конечного ряда Фурье приближенное решение задачи находится с использованием принципа суперпозиции в виде суммы:

Использованный нами принцип суперпозиции (сумма решений уравнения также является решением уравнения) справедлив для линейных задач. Точность решения (4.16) определяется числом слагаемых и гладкостью функции ( x).

Продолжим расширение постановки задачи, напомнив, что в качестве граничных условий мы использовали нулевые значения (4.11). Если граничные условия первого рода (заданные постоянные значения) имеют вид решение задачи следует искать в виде в котором коэффициенты An аппроксимируют функцию Разобранные примеры относятся к граничным условиям первого рода.

Ситуация меняется, если граничные условия иного рода. Решить задачу при произвольных граничных условиях помогает метод разделения переменных, который излагается в следующем параграфе.

Метод разделения переменных позволяет найти решение многих уравнений математической физики (не только уравнения теплопроводности).

Однако описание метода выполним именно для разобранного выше уравнения параболического типа.

Метод предполагает, что решение уравнения можно представить в виде произведения функций только от одной независимой переменной. В случае одномерного уравнения теплопроводности в декартовых координатах метод предлагает находить решение в виде где T (t ) функция только времени; X ( x) функция только координаты.

теплопроводности дает соотношение Штрихи в (4.21) обозначают соответствующую обыкновенную производную. После деления на T (t ) X ( x) соотношение приводится к виду, из которого вытекает, что где параметр разделения.

Утверждение (4.22) следует из того факта, что комбинации функций различных независимых аргументов могут быть равны лишь в случае их равенства одинаковой постоянной. Следствием (4.22) являются два уравнения:

Для уравнения (4.23) нужно использовать начальные условия, а для уравнения (4.24) – граничные условия.

Дальнейший этап метода заключается в поиске решений уравнения (4.24).

Рассмотрим вначале случай нулевых граничных условий. В этом случае для нахождения решения X ( x) образуется так называемая задача Штурма – Лиувилля. Известно, что всегда существует нулевое решение X ( x) = 0, которое называют тривиальным. Нас же интересуют не тривиальные решения.

Оказывается, что не тривиальные решения существуют не при любых значениях параметра разделения, а лишь при определенных значениях, которые называются собственными значениями задачи. Соответствующие функции, удовлетворяющие уравнению, называются собственными функциями.

С помощью проверки легко убедиться, что решением уравнения (4.24) могут быть тригонометрические функции Выбор функций и набор собственных значений n определяется граничными условиями для задачи Штурма – Лиувилля. В случае нулевых граничных условий подходит лишь первое решение X n ( x) с синусом, так как X n (0) = cos(0) = 1 0. Задание нулевого значения собственной функции на правой границе x = l приводит к требованию определенных значений n :

Таким образом, найден бесконечный набор собственных значений (4.26) и собственных функций для случая нулевых граничных условий После решения задачи Штурма – Лиувилля необходимо найти решения уравнения (4.23) для найденных собственных значений:

Нетрудно с помощью проверки убедиться в том, что решенииями уравнения (4.28) являются экспоненциальные функции Согласно принципу суперпозиции и предположению (4.20) решением нашей задачи будет сумма решений:

В практических расчетах число слагаемых в (4.30) ограничено ( n = 1, 2,..., N ). Это вносит некоторую погрешность в решение. Оценка этой погрешности может быть сделана путем перебора значения числа слагаемых В построенном решении не определены пока начальные значения Tn (0).

Их значения определяются из заданного начального условия Отсюда видно, что коэффициенты Tn (0) являются коэффициентами разложения известной функции ( x) в ряд Фурье и могут быть определены путем интегрирования:

Мы разобрали подробно случай граничных условий первого рода.

Укажем, что меняется в случае других граничных условий. При других граничных условиях меняется решение задачи Штурма – Лиувилля.

Рассмотрим пример с граничными условиями В этом случае требуется найти решение уравнения (4.24) с граничными условиями X (0) = 0, X (l ) = 0. Левое граничное условие подсказывает нам выбор функции так как производная от косинуса в нуле равна нулю. Правое граничное условие требует, чтобы Дальнейшие этапы метода аналогичны, но следует помнить, что суммирование начинается с нуля и начальная функция ( x) раскладывается в ряд не по синусам, а по косинусам.

Заметим, что был рассмотрен вариант с одной пространственной переменной. В случае трех пространственных перменных и области в форме параллелепипеда метод разделения предлагает отыскавать решение в виде Для функций X ( x), Y ( y ), Z ( z ) получаются соответствующие задачи Штурма – Лиувилля. В областях другой геометрии (цилиндр, шар, шаровая полость) удобнее решать задачу в других координатах и также применять метод разделения переменных.

Типичным примером эллиптического уравнения является уравнение Пуассона:

При отсутствии функции f ( x, y, z ) это уравнение Лапласа.

Примеры решения уравнений эллиптического типа и методы решения опишем для краткости изложения на двумерном уравнении Кроме того, будем полагать, что областью определения является прямоугольник ( 0 x l1, 0 y l2 ), на границах которого заданы значения искомой функции:

Сформулированная задача (4.38)–(4.39) с заданными значениями функции на границе называется внутренней задачей Дирихле. Если требуется найти решения вне заданной области, задача называется внешней задачей Дирихле.

Соответствующие определения годятся и для трехмерной задачи. Доказано, что задача Дирихле корректно поставлена и потому имеет единственное решение.

Существует группа приближенных методов решения краевых задач, объединенных названием методы взвешенных невязок. К числу этих методов относятся: метод Галеркина, метод моментов, метод Ритца, метод коллокации и другие. Не вдаваясь в подробности, опишем кратко основные идеи этих методов. Решение задачи ищется в виде суммы известных (выбранных) функций k (r ) с неизвестными коэффициентами:

Выбранные функции называются базисными. Приближенное решение u (r ) подставляется в решаемое уравнение, и, таким образом, вычисляется невязка. Коэффициенты ck находятся из условия минимизации невязки.

Методы различаются способами минимизации невязки. Успех методов во многом определяется набором базисных функций. Набор этих функций должен обладать свойством полноты (полнота обеспечивает возможность аппроксимировать любую функцию с заданной точностью). При удачном выборе базисных функций достаточно небольшого количества функций для получения хорошего приближения.

Здесь мы опишем весьма популярный метод решения любых задач математической физики – конечно-разностный метод, или метод сеток.

Глобальная идея метода проста и прозрачна. Все производные в решаемом уравнении заменяются конечными разностями, и, таким образом, осуществляется переход к алгебраической задаче. Решение алгебраической задачи, полученное, как правило, на ЭВМ, дает приближенное решение в узлах сетки.

Использование метода сеток требует знания трех важнейших понятий – погрешности аппроксимации, устойчивости и сходимости [4, 5, 9]. Здесь мы не будем углубляться в эти детали, изложенные во многих книгах по численным методам, а укажем лишь сведения, необходимые для раскрытия математического смысла уравнения Лапласа.

Для замены производных конечно-разностными соотношениями вводятся дискретные значения аргументов (сетка). Будем полагать, что мы отыскиваем решение для фиксированных значений аргументов:

Параметрами этой равномерной сетки для прямоугольника размером l1 l2 являются значения N1, N 2. Значения функций в узлах сетки с номерами i, k будем обозначать как Vi,k. Вторые производные, входящие в уравнение (4.38), аппроксимируем формулами В итоге мы получаем систему ( N1 1) ( N 2 1) линейных уравнений Эту систему можно решать прямыми или итерационными методами.

В случае квадратной сетки h1 = h2 = h система уравнений может быть приведена к виду В случае уравнения Лапласа ( f = 0) система приобретает вид из которого отчетливо виден математический смысл оператора Лапласа.

Оператор Лапласа соответствует операции усреднения – значение искомой функции в каждом узле пространственной сетки равно среднему арифметическому от значений в соседних узлах. Формулу (4.45) впервые получил немецкий математик Рунге.

Волновое уравнение имеет вид где c скорость распространения волны.

Уравнение (4.46) предполагает, что скорость распространения волн одинакова для волн любой длины (нет дисперсии и нет затухания). В качестве неизвестной функции u (t, x, y, z ) для упругих колебаний может выступать какаялибо характеристика отклонения от равновесия (смещение, плотность, давление). В случае электромагнитной волны в качестве неизвестной функции может выступать напряженность электрического или магнитного поля. При изучении волн на воде неизвестной функцией является высота поверхности жидкости.

Скорость распространения электромагнитной волны в пустоте равна скорости распространения света в пустоте c 3 108 м/с. В среде с показателем преломления n эта скорость уменьшается в n раз. Скорость распространения звука в идеальном газе выражается формулой где K модуль объемной упругости; плотность газа; отношение теплоемкости при постоянном давлении к теплоемкости при постоянном объеме; R универсальная газовая постоянная; T абсолютная температура газа; µ молекулярный вес газа. При нормальных условиях скорость распространения звука в воздухе c 340 м/с.


Для твердых тел различают продольные и поперечные волны. Скорости этих волн различны и определяются через соответствующие модули упругости.

Простейшей моделью для изучения волнового уравнения являются поперечные колебания струны. Скорость распространения волн в струне зависит от силы натяжения F, плотности и площади поперечного сечения S : c = F /(S ). Колебания струны описываются одномерным волновым уравнением Прямой подстановкой доказывается, что общим решением уравнения (4.48) для бесконечно длинной струны является любая функция аргумента Это решение называют решением Д’Аламбера. Первая функция описывает распространение возмущения по оси x вправо (прямая волна), а вторая – в противоположном направлении (обратная волна). Таким образом, решение Д’Аламбера является суммой прямой и обратной волн. Аргументы функции в решении Д’Аламбера определяют фазу. Приравняв фазу первой функции нулю, получим скорость перемещения фазы:

Отметим, что первая функция является общим решением также более простого уравнения – уравнения переноса:

Дифференцирование уравнения переноса по времени дает волновое уравнение (4.48).

Дадим геометрическую иллюстрацию решения f1 ( x ct ) в плоскости y = f1 ( x ct ) и x при двух значениях времени t = 0 и t = t1 = l / c (рис. 31). Как видно, заданное распределение y ( x) = f1 ( x) передвигается вдоль оси x с посf 2 ( x + ct ) описывает тоянной скоростью c. Соответственно, функция перемещение распределения y ( x) = f 2 ( x) в обратном направлении.

Пока мы обсуждали общие решения волнового уравнения без упоминания начальных условий. При заданных начальных условиях:

Рис. 31. Иллюстрация решения уравнения переноса мы имеем так называемую задачу Коши. Решением задачи Коши является формула Д’Аламбера:

Из этой формулы видна очевидная однозначность решения и его непрерывная зависимость от начальных условий. Формула описывает обычное (классическое) решение задачи в предположении, что функция 0 ( x) имеет непрерывные производные до второго порядка включительно, а функция 1 ( x) до первого. При решении конкретных задач функции, описывающие начальное состояние, могут и не удовлетворять упомянутым условиям гладкости. В этом случае вводят понятие обобщенного решения как предела некоторой последовательности, сходящейся к заданному начальному условию.

Мы не будем углубляться в соответствующие математические тонкости этого понятия, отсылая заинтересованного читателя к специальной литературе [6].

Для волнового уравнения типичными простейшими решениями являются гармонические функции где a1, a2 амплитуды волн, распространяющихся в противоположных направлениях; k волновое число, k = 2 / ; длина волны, циклическая частота.

Решения вида (4.54) описывают плоские волны, фронт такой волны (координаты с одинаковым значением фазы) представляет в пространстве плоскости перпендикулярные оси x. Приравняв фазу первого слагаемого нулю, получим значение фазовой скорости где n частота колебаний; T период колебаний, T = 1/ n.

Воспользоваться решениями вида (4.54) для задачи Коши можно, вспомнив, что начальные функции можно разложить в ряд Фурье, и воспользовавшись принципом суперпозиции. Мы опишем подобный подход для полной начально-краевой задачи.

Решения вида (4.53) описывают распространение возмущений для бесконечной струны. В случае конечной струны необходимо учесть граничные условия на концах струны. Будем полагать, что имеем дело со струной конечной длины l с закрепленными концами Формула Д’Аламбера годится и в этом случае. Однако необходимо учесть, что решение должно быть определено лишь в интервале по x от нуля до l, и потому необходимо уметь учитывать отражение волн от концов струны.

Обычно это не делают, а решают новую начально-краевую задачу методом разделения переменных.

Метод разделения приводит к двум уравнениям:

Первое уравнение с выписанными граничными условиями дает задачу Штурма – Лиувилля, которая была разобрана в разделе 4.3. Решение этой задачи дает набор собственных функций и собственных значений:

Теперь необходимо решить уравнение (4.58) при значениях параметра тригонометрические функции вида Коэффициенты этого уравнения пока произвольны. Они определятся с помощью начальных условий и представления функций, задающих начальные условия в ряд Фурье.

В силу принципа суперпозиции решений общее решение может быть представлено рядом Требуя выполнимости двух начальных условий (4.52), приходим к формулам для вычисления коэффициентов:

Формула (4.61) с коэффициентами (4.62) дает решение начально-краевой задачи для струны. Его можно записать в эквивалентном виде с одной тригонометрической формулой, содержащей время:

циклическая частота гармоники. Самая низкая частота (самый низкий тон) колебаний соответствует первой гармонике 1 =. Вес последующих гармоник образует тембр звучания струны. Как видно из решения, тембр звучания зависит от способа возбуждения струны или, по-иному, от начальных условий.

Мы подробно рассмотрели решение одномерного волнового уравнения.

Находить решение двумерных и трехмерных волновых уравнений в общем случае, конечно, сложнее. Однако следует помнить, что решения вида (4.54) годятся и для трехмерного уравнения в случае так называемой плоской волны, не зависящей от других координат.

Уравнение Шредингера описывает квантово-механическое поведение микрочастиц. Оно имеет вид где h = h / 2, h постоянная Планка; i мнимая единица, i = 1 ; m масса частицы; U (r, t ) потенциальная энергия частицы в рассматриваемом силовом поле; оператор Лапласа; искомая волновая функция. Уравнение справедливо для частиц со скоростями гораздо меньше скорости света ( v c ).

Важно понять, что волновая функция позволяет лишь вычислить вероятность нахождения частицы в интересуемом объеме по формуле В общем случае задача нахождения волновой функции оказывается очень сложной. Сложность решения определяется потенциальной энергией поля U (r, t ), геометрией области и граничными условиями. Здесь мы рассмотрим простейшие задачи, связанные с решением уравнения Шредингера.

Для большого числа физических явлений микромира в постоянном по времени потенциальном поле важно найти стационарное решение уравнения Шредингера. Соответствующее стационарное уравнение Шредингера получается методом разделения переменных при условии, что волновая функция уравнения может быть представлена в виде произведения двух функций:

Подстановка (4.66) в уравнение Шредингера (4.64) дает соотношение с константой разделения W, имеющей размерность энергии. Соотношение (4.67) распадается на два:

Уравнение (4.69) называют стационарным уравнением Шредингера.

Обычно его записывают в виде Функции, удовлетворяющие стационарному уравнению Шредингера, называют собственными функциями, а значения энергии W, для которых существуют собственные функции, называют собственными значениями. Как видно, ситуация напоминает задачу Штурма – Лиувилля.

Решение уравнения (4.68) для временной зависимости (t ) имеет вид Функция описывает колебательное решение. Увидеть это можно, если вспомнить знаменитую формулу Эйлера Применение формулы Эйлера к функции (4.71) дает следующую зависимость:

где – циклическая частота колебаний, = W / h.

Рассмотрим теперь конкретные ситуации. При свободном движении частицы (потенциальная энергия U = 0 ) полная энергия частицы совпадает с ее кинетической энергией Направим ось x вдоль движения частицы. В этом случае стационарное уравнение Шредингера записывается в более простом виде:

Общее решение этого уравнения таково:

Вспоминая полное значение волновой функции (4.66), имеем Видно, что это решение является суперпозицией двух монохроматических волн с частотой = W / h, распространяющихся в противоположных направлениях. Таким образом, свободная частица в квантовой механике описывается плоской монохроматической волной. При этом длина этой волны соответствует длине волны Де Бройля. Действительно, согласно введенным обозначениям имеем Рассмотрим второй пример точного решения стационарного уравнения Шредингера (4.75) для так называемого случая потенциальной ямы. В этой задаче потенциальная энергия частицы внутри потенциальной ямы (ящика) равна нулю, а за пределами ящика – бесконечности:

Постановка этой задачи является упрощением (моделью) задачи о поведении электронов внутри металлов. Бесконечная высота потенциального барьера упрощает задачу нахождения решения. Мы рассматриваем одномерный вариант задачи, хотя задача легко может быть решена и для трехмерного «ящика» размером L1 L2 L3.

При сформулированных условиях нам необходимо решить стационарное уравнение Шредингера (4.75). Бесконечность потенциальной энергии за пределами потенциальной ямы позволяет считать, что вероятность обнаружить частицу вне ямы равна нулю, и потому можно положить, что Отметим, что в случае конечного потенциального барьера за счет туннельного эффекта нельзя использовать простые условия (4.80). Легко проверить, что общее решение уравнения (4.75) имеет вид с волновым числом k = 2 / = 2mW / h и неопределенными пока коэффициентами c1, c2. Использование граничного условия при x = 0 приводит к тому, что коэффициент при косинусе должен быть равен нулю: c1 = 0.

Граничное условие на правом конце интервала ( x = L ) требует выполнения равенства Равенства (4.82) ведут к важным следствиям. Обсудим эти следствия.

Оказывается, что волновое число может принимать только дискретные значения, отмеченные номером n :

Дискретность волнового числа приводит к дискретности длин волн Де Бройля:

Физический (а точнее геометрический) смысл требования (4.84) весьма прост – на длине потенциальной ямы должно укладываться целое число полуволн. Квантование волн приводит к важному выводу – о квантовании полной энергии частицы Таким образом, энергия микрочастицы в потенциальном ящике не может принимать любые значения, а может принимать только «разрешенные» – квантованные значения согласно (4.85). Этот вывод справедлив и для многих более сложных задач квантовой механики. В частности, он справедлив для квантовых состояний электронов в атомах; этот факт четко подтвержден линейчатым спектром атомов и молекул.

Полезно уметь делать оценки из полученных формул. Вычислим для примера разницу между соседними энергиями частиц в потенциальной яме:

Для электрона при L = 1 Ангстрем = 10–10 м, W0 0,68 эВ. В случае размера L = 1 см эта величина ничтожно мала ( W0 0,68 1016 эВ). Из этого примера видно, что разница уровней энергии значима лишь для размеров порядка размеров атома. При больших размерах квантованием можно пренебречь и считать, что допустимы любые (непрерывные) значения энергии.

1. Чем отличается уравнение теплопроводности от уравнения диффузии?

2. Приведите примеры физических полей, которые описываются уравнением Лапласа.

3. Что такое характерное время выравнивания температурных неоднородностей? От чего оно зависит?

4. Как выглядит решение однородного одномерного уравнения теплопроводности, если u (0, x) = sin(x), u (t,0) = u (t,1) = 0 ?

5. Какова идея метода разделения переменных?

6. Что значит задача Штурма – Лиувилля?

7. Какое отношение ряд Фурье имеет к методу разделения переменных?

8. Что такое «невязка» решения? Как она связана с погрешностью решения?

9. Каков математический смысл оператора Лапласа, подсказанный формулой Рунге?

10. Как выглядит общее решение уравнения переноса?

11. Какие физические процессы описываются волновым уравнением?

12. В каких средах возможны продольные и поперечные колебания?

1. Зельдович Я.Б. Высшая математика для начинающих / Я.Б. Зельдович. – М Наука, 1970. – 560 с.

2. Зельдович Я.Б. Высшая математика для начинающих физиков и техников / Я.Б. Зельдович, И.М. Яглом. – М Наука, 1980. – 512 с.

3. Демидович Б.П. Основы вычислительной математики / Б.П. Демидович, И.А. Марон. – М.: Физматлит, 1963. – 660 с.

4. Тарунин Е.Л. Конечно-разностные методы решения уравнений в частных производных: учеб. пособие по курсу «Численные методы» / Е.Л. Тарунин. – Пермь: Изд-во ПГУ, 2004. – 98 с.

5. Калиткин Н.Н. Численные методы / Н.Н. Калиткин. – М.: Наука, 1978. – 6. Кошляков Н.С. Уравнения в частных производных математической физики / Н.С. Кошляков, Э.Б. Глинер, М.М. Смирнов. – М.: Высшая школа, 1970. – 711 с.

7. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. – М.: Наука, 1972. – 736 с.

8. Мандельштам Л.И. Лекции по колебаниям / Л.И. Мандельштам. – М.:

Наука, 1972. – 470 с.

9. Самарский А.А. Теория разностных схем / А.А. Самарский. – М.: Наука, 1977. – 656 с.

ТАРУНИН Евгений Леонидович, ЦАПЛИН Алексей Иванович

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗНАНИЙ

ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ ФИЗИКИ

Редактор, корректор О.Н. Довбилкина Подписано в печать 30.10.2007. Формат 60х90/16.

Усл. печ. л. 6,25. Тираж 100 экз. Заказ № 205/2007.

Пермского государственного технического университета.

Адрес: 614990, г. Пермь, Комсомольский пр-т, 29, к. 113.



Pages:     | 1 ||


Похожие работы:

«Rocznik Instytutu Polsko-Rosyjskiego Nr 1 (1) 2011 Ирина Куликова, Диана Салмина Исторические и культурные реалии Польши в зеркале структуры информативного пространства Настольного словаря Феликса Толля Статья посвящена рассмотрению исторических и культурных реалий Польши, формирующих польский фрагмент информативного пространства в Настольном словаре по всем отраслям знания Феликса Толля. Вышедший в 1863–1864 гг., этот первый русский энциклопедический словарь-справочник является достоянием и...»

«ГОСУДАРСТВЕННАЯ СИСТЕМА ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ УТВЕРЖДЕН 11443195.4012-036 98 -ЛУ Программно-аппаратный комплекс средств защиты информации от несанкционированного доступа АККОРД-Win32 (версия 4.0) РУКОВОДСТВО ПО УСТАНОВКЕ 11443195.4012-036 98 Литера О1 2 11443195.4012-036 98 АННОТАЦИЯ Установка комплекса СЗИ НСД Аккорд-Win32 v.4.0 (ТУ 4012-036и его настройка с учетом особенностей политики информационной безопасности, принятой на объекте информатизации, осуществляется, как правило, специалистами по...»

«РЕЕСТР ВЕДУЩИХ НАУЧНЫХ И НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ШКОЛ САНКТ-ПЕТЕРБУРГА Руководители ведущих научных и научно-педагогических школ Санкт-Петербурга № Руководитель НПШ Научная область деятельности НПШ Вуз (научная организация) пп Российский научно-исследовательский Абдулкадыров Кудрат Гематология, онкогематология институт гематологии и трансфузиологии 1 Мугутдинович ФМБА Айламазян Эдуард Иммунология репродукции, Научно-исследовательский институт 2 Карпович акушерство и гинекология акушерства и...»

«Санкт-Петербургский государственный университет Экономический факультет БИЗНЕС-ИНФОРМАТИКА, ЭКОНОМИЧЕСКАЯ КИБЕРНЕТИКА, УПРАВЛЕНИЕ РИСКАМИ И СТРАХОВАНИЕ Сборник материалов Международной школы-семинара 29 октября–30 октября 2012 года Санкт-Петербург 2012 В сборник научных материалов международной школы-семинара Бизнес-информатика, экономическая кибернетика, управление рисками и страхование, проводимого Санкт-Петербургским государственным университетом 29-30 октября 2012 года на базе кафедр...»

«Международный консорциум Электронный университет Московский государственный университет экономики, статистики и информатики Евразийский открытый институт С.А.Орехов, В.А.Селезнев Менеджмент финансово-промышленных групп (учебно-практическое пособие) Москва 2005 1 УДК 334.7 ББК 65.292 О 654 Орехов С.А., Селезнев В.А. МЕНЕДЖМЕНТ ФИНАНСОВО-ПРОМЫШЛЕННЫХ ГРУПП: Учебно-практическое пособие / Московский государственный университет экономики, статистики и информатики. — М.: МЭСИ, 2005. — 176 с. ISBN...»

«УДК 631.58:551.5 Система поддержки принятия решений в земледелии. Принципы построения и функциональные возможности. к.т.н. В.В. Якушев, Агрофизический НИИ, mail@agrophys.com Аннотация: Рассмотрены структура, принципы организации и функционирования системы выработки и поддержки реализации агротехнологий в земледелии с использованием новейших достижений в области информатики и техники. Сельское хозяйство – один из основных видов деятельности человека, важность которого переоценить невозможно....»

«Математическая биология и биоинформатика. 2011. Т. 6. № 2. С. 250-263. URL: http://www.matbio.org/2011/Saik2011(6_250).pdf =========================== БИОИНФОРМАТИКА ========================= УДК: 577.121 PROMEDIA – база данных химических соединений, потенциальных биомаркеров заболеваний, имеющих значение для неинвазивной диагностики 1 1 2 2 ©2011 Сайк О.В.*,Мошкин М.П., Балдин М.Н., Грузнов В.М., 3 3 1,4 1 Козлов В.А., Самороков С.Н., Деменков П.С., Иванисенко В.А., 1, 5 Колчанов Н.А....»

«Министерство образования и науки РФ Новокузнецкий институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Кемеровский государственный университет Факультет информационных технологий Кафедра математики и математического моделирования УТВЕРЖДАЮ Директор В.С. Гершгорин _20г. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ Б2.Б.1.4 ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА Для направления 230100.62 Информатика и вычислительная техника Квалификация (степень)...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Основная образовательная программа высшего профессионального образования Направление подготовки 050100 Педагогическое образование Профиль Информатика Квалификация (степень) выпускника – бакалавр Нормативный срок освоения программы – 4 года Форма обучения – очная. СОДЕРЖАНИЕ 1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 1.1....»

«Министерство образования Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова Ф.Н. Завьялов Г.Г. Коновалова К.Т. Шишкин Сборник задач по социально-экономической статистике Рекомендовано Учебно-методическим объединением по образованию в области статистики в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по экономическим специальностям, кроме специальности Статистика Ярославль 2002 1 ББК У 051я73 З 13 Рецензенты: доктор экономических наук,...»

«Борис Парашкевов ОТИМЕННА ЛЕКСИКА В СЛОВНИКА НА БъЛГАРСКИЯ ЕЗИК ЕНЦИКЛОПЕДИЧЕН РЕЧНИК НА ПРОИЗВОДНИ ОТ СОБСТВЕНИ ИМЕНА предисловие Ч етивност и информативност, драги читателю, беше ръководният формалносъдържателен замисъл на този лексикон, който в структурно отношение е първи по рода си сред нашите речникови пособия. За негов обект бе избрана една специфична по своето възникване и внушителна по обема си група съществителни и прилагателни имена, както и незначителен брой глаголи в българския...»

«л 3 1132 человека, по заочной форме 472 человек, из них за счет бюджета 1258 человек (78%). 2. УЧЕБНО-МАТЕРИАЛЬНАЯ БАЗА Колледж располагает двумя учебными корпусами общей площадью 9632 кв.м, 36 учебными кабинетами и специализированными лабораториями площадью 6461,5 кв.м. Колледж имеет 157 компьютеров. В колледже 4 компьютерных класса: - компьютерный класс для обработки экономической информации и делопроизводства имеет локальную сеть, программу 1С-предприятие, 16 компьютеров Pentium 4 и МФУ,...»

«Бакалавриат 080200.62 Менеджмент Профиль Маркетинг 1 курс АННОТАЦИЯ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ ДИСЦИПЛИНЫ Безопасность жизнедеятельности Автор: Максимов Максим Игоревич, к.т.н., доцент кафедры Управление бизнес процессами в сфере производства и бизнеса Направление подготовки: - 080200.62 Менеджмент Профиль: Маркетинг Квалификация (степень) выпускник: бакалавр Форма обучения: очная 1. МЕСТО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ООП ВПО Дисциплина Безопасность жизнедеятельности относится к учебным дисциплинам...»

«Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Российский государственный университет нефти и газа им. И. М. Губкина Департамент оперативного управления реализацией программы НИУ АННОТАЦИЯ 3.3.3/2 Разработка программ магистерской подготовки Автоматизированные системы диспетчерского управления в нефтегазовом комплексе, реализуемой в соответствии с ПНР университета Москва 2011 3 Программа развития государственного образовательного учреждения высшего...»

«Математическая биология и биоинформатика. 2012. Т. 7. № 2. С. 508–528. URL: http://www.matbio.org/2012/Makarov_7_508.pdf ================== МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ================= УДК: 51-76, 576 Математическое моделирование электронтранспортной цепи в тилакоидной мембране с учетом пространственной гетерогенности мембраны 1* 1 2 ©2012 С.С. Макаров, Е.А. Грачев, Т.К. Антал 1 Россия 119991, Москва, Ленинские горы 1, корп. 2, МГУ, Физический факультет, кафедра компьютерных методов физики...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Основная образовательная программа высшего профессионального образования Направление подготовки 080500 Бизнес-информатика Профиль Информационная бизнес-аналитика Квалификация (степень) выпускника – бакалавр Нормативный срок освоения программы – 4 года Форма обучения – очная. 1 СОДЕРЖАНИЕ 1. ОБЩИЕ...»

«МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ в г. ТАГАНРОГЕ В.В. БОГДАНОВ И.В. ЛЫСАК ИСТОРИЯ И ФИЛОСОФИЯ НАУКИ ФИЛОСОФСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ИНФОРМАТИКИ ИСТОРИЯ ИНФОРМАТИКИ Учебно-методический комплекс по дисциплине Таганрог 2012 1 ББК 87я73 Богданов В.В., Лысак И.В. История и философия науки. Философские проблемы информатики. История информатики: Учебно-методический...»

«Федеральное агентство связи Северо-Кавказский филиал федерального государственного образовательного бюджетного учреждения высшего профессионального образования Московского технического университета связи и информатики СМК-О-1.02-01-14 СМК-О-1.02-01-14 Отчёт о самообследовании СКФ МТУСИ УТВЕРЖДАЮ Директор СКФ МТУСИ В.Н.Ефименко _2014г. ОТЧЁТ о самообследовании СКФ МТУСИ СМК-О-1.02-01- Версия 1. Ростов-на-Дону Должность Фамилия/Подпись Дата Составил Зам. директора по УР П.П.Беленький Проверил...»

«ИстоРИоГРАфИЯ ИстоРИчесКой ИнфоРМАтИКИ HISTORIOGRAPHY OF HISTORICAL COMPUTER SCIENCE состоянИе И развИтИе квантИтатИвной ИсторИИ И ИсторИческой ИнформатИкИ. в казахстане: multa paucis tHe state anD DeveLopMent of QuantItatIve HIstory anD HIstorIc InforMatIcs In kaZakHstan: MuLta paucIs Saule А. Zhakisheva Жакишева сауле Аукеновна доктор исторических наук, профессор, ведущий научный сотрудник Института истории и этнологии им. ч. ч. валиханова министерства образования и науки республики...»

«Тема 1. Наука и научное мировоззрение. (2 часа лекций, 4 часа практических занятий) План 1 Философия естественных, гуманитарных и технических наук как учебная дисциплина. 1.1 Цель и задачи, структура и методы, 1.2 Значение курса Философия естественных, гуманитарных и технических наук для качества подготовки магистранта 2 Понятие науки и научного мировоззрения. 2.1 Критерии научности. 2.2 Научная картина мира. 3 Основания и критерии классификации современных наук. 3.1 История классификаций наук...»






 
© 2014 www.kniga.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Книги, пособия, учебники, издания, публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.