WWW.KNIGA.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Книги, пособия, учебники, издания, публикации

 


Pages:   || 2 |

«Е.Л. Тарунин, А.И. Цаплин ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗНАНИЙ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ ФИЗИКИ Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия ...»

-- [ Страница 1 ] --

1

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Пермский государственный технический университет»

Е.Л. Тарунин, А.И. Цаплин

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗНАНИЙ

ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ ФИЗИКИ

Утверждено Редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия Издательство Пермского государственного технического университета 2007 2 УДК 53(0758) ББК 22.3 Т22 Рецензенты:

заведующий кафедрой теоретической физики и компьютерного моделирования Пермского государственного педагогического университета доктор физико-математических наук, профессор Р.В. Бирих;

доктор педагогических наук, профессор кафедры Прикладной математики и информатики Пермского государственного университета И.Г. Семакин Тарунин, Е.Л.

Т22 Основы математических знаний для изучения физики: учеб. пособие / Е.Л. Тарунин, А.И. Цаплин. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2007. – 100 с.

ISBN 978-5-88151-823- Рассмотрены основы математического анализа, необходимые для изучения курса общей физики в техническом вузе при подготовке инженеров. Показано применение теории дифференциальных уравнений обыкновенных и в частных производных для описания физических процессов. Приведены примеры и вопросы для самостоятельного изучения.

Предназначено для студентов и преподавателей технических вузов.

УДК 53(0758) ББК 22. Издано в рамках приоритетного национального проекта «Образование» по программе Пермского государственного технического университета «Создание инновационной системы формирования профессиональных компетенций кадров и центра инновационного развития региона на базе многопрофильного технического университета»

ГОУ ВПО «Пермский государственный ISBN 978-5-88151-823- технический университет»,

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие………………………………………………………………. Введение…………………………………………………………………… 1. Элементы математического анализа…………………………………. 1.1. Векторная алгебра, действия с векторами ……………………... 1.2. Производная функции…………………………………………….. 1.3. Интерполяция и экстраполяция функций……………………….. 1.4. Исследование функций…………………………………………… 1.5. Формула Тейлора………………………………………………….. 1.6. Ряд Фурье………………………………………………………….




. 1.7. Погрешность вычисления функции……………………………… 1.8. Обработка экспериментальных данных…………………………. 1.9. Метод наименьших квадратов……………………………………. 1.10. Контрольные вопросы к главе 1………………………………… 2. Элементы векторного анализа и теории поля………………………... 2.1. Поток векторной величины……………………………………….. 2.2. Связь потока с дивергенцией……………………………………... 2.3. Циркуляция вектора по замкнутому контуру и ротор…………... 2.4. Контрольные вопросы к главе 2………………………………….. 3. Задачи с обыкновенными дифференциальными уравнениями……… 3.1. Простейшие дифференциальные уравнения и их решения…….. 3.2. Движение центра масс системы материальных точек…………... 3.3. Колебания пружинного маятника………………………………… 3.4. Вращательное движение…………………………………………... 3.5. Колебания физического маятника………………………………... 3.6. Колебания в электромагнитном контуре………………………… 3.7. Вынужденные колебания………………………………………….. 3.8. Колебания систем с двумя степенями свободы………………….. 3.10. Контрольные вопросы к главе 3………………………………… 4. Задачи с уравнениями в частных производных……………………... 4.1. Классификация уравнений математической физики…………… 4.2. Уравнение теплопроводности……………………………………. 4.3. Метод разделения переменных…………………………………... 4.4. Уравнение эллиптического типа…………………………………. 4.6. Уравнение Шредингера…………………………………………... 4.7. Контрольные вопросы к главе 4…………………………………..

ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебное пособие предназначено студентам младших курсов технических вузов для облегчения усвоения материала общей физики. Общеизвестно, что физика широко использует различные понятия и методы математики. Опыт преподавания физики позволяет нам утверждать, что значительная часть затруднений студентов при изучении физики связана с их слабым знанием математики. Эти затруднения усугубляются тем фактом, что на лекциях по физике часто приходится пользоваться математическими сведениями, которые еще не сообщались студентам на дисциплинах по математике. Поэтому мы полагаем, что учебное пособие будет полезным не только тем, кто имеет затруднения с математикой, но также и тем, кто считает, что он силен в математике.

Математические идеи изложены в учебном пособии без усложнений и доказательств, которые во многих случаях затрудняют усвоение ценнейших идей математики. Основное внимание уделено понятиям и методам, которые широко используются в физике. Отметим, что учебное пособие не заменяет учебники по математике, но оно облегчает усвоение математических знаний на примере решения конкретных задач механики и физики.

В учебном пособии четыре главы. Нумерация параграфов в каждой главе начинается заново, при этом первая цифра параграфа соответствует номеру главы. Номера формул в главе имеют сквозную нумерацию (первая цифра соответствует номеру главы). Номера рисунков имеют сквозную нумерацию через все главы и параграфы. В каждом параграфе своя нумерация примеров.

Порядок ознакомления с параграфами учебного пособия может быть произвольным. Однако последовательный порядок чтения следует считать более предпочтительным. Особенно это касается глав. Ознакомление с первой и третьей главами следует считать обязательным. В первой главе даны важнейшие понятия математического анализа, а в третьей главе – примеры решения задач механики, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. Вторая глава понадобится в основном при изучении электромагнетизма. Заключительная (четвертая глава) посвящена уравнениям в частных производных, которые обычно излагаются на старших курсах.

Однако ознакомление с идеями этой главы полезно и на первых курсах.

Рекомендуем выполнять те немногочисленные выкладки, которые указаны.

ВВЕДЕНИЕ

Основная задача учебного пособия – облегчить студентам младших курсов технических вузов понимание и освоение методов математики, применяемых в общем курсе физики. Опыт преподавания физики показывает, что наибольшие затруднения у студентов в освоении физики вызывают именно незнания основных идей и методов высшей математики. Обстоятельство усугубляется и тем, что изучение математического анализа обычно идет с большим отставанием от потребностей четкого изложения физики с применением математических идей. Так, например, уже при изучении механики – первого раздела общей физики – требуется умение решать дифференциальные уравнения и умение вычислять интегралы. А в математическом анализе соответствующие сведения излагаются, как правило, значительно позднее.

Кроме того, изложение математики ведется обычно на высоком уровне строгости, который на первом этапе изучения может вызвать затруднения в понимании самых ценных и полезных идей. Наш опыт преподавания как физики, так и математики позволяет утверждать, что самые полезные идеи и методы математики могут быть изложены значительно проще без сложных доказательств, но с указанием практических приемов проверки правильности и точности соответствующих методов. Мы разделяем мнение известного ученого в области математической физики Р. Куранта, высказанное еще в году, о том, что «конструктивный способ, идущий от частного к общему и избегающий догматического принуждения, надежнее ведет к самостоятельному творческому мышлению».

Идея облегчения изучения математики для физиков и техников не является новой. Именно эту цель преследовали, например, авторы книг «Высшая математика для начинающих» (Зельдович Я.Б., М Наука, 1970, 560 с.), «Высшая математика для начинающих физиков и техников» (Зельдович Я.Б., Яглом И.М., М Наука, 1980, 512 с). По объему этих книг (более страниц) понятно, что в них содержится значительный материал с большим числом примеров и упражнений. Эти книги (и их последующие переиздания), конечно, полезны для углубления приемов математики, используемых в различных разделах физики. Основной упор в них сделан на использование дифференциального и интегрального исчисления.

Цель предлагаемого учебного пособия немного проще – дать студентам основные понятия высшей математики для успешного освоения разделов общей физики. Иными словами, облегчить студентам освоение высшей математики, не отягощенное ни громоздкими доказательствами, ни логическими тонкостями.

Учебное пособие не заменяет учебники по математике, но облегчает ее усвоение.

Кроме изложения идей дифференциального исчисления, в учебном пособии уделено внимание определению основных понятий и терминов, встечающихся в математике и физике (интерполирование, экстраполирование, аппроксимация, формула Тейлора, ряд Фурье, центр масс, момент инерции, момент импульса, момент силы, дивергенция, ротор, поток). Все понятия и методы привязаны к конкретным физическим задачам. Подчеркнем, что знание без практического применения настоящим знанием не является. В последних разделах учебного пособия кратко изложены основные идеи приближенного решения задач математической физики, ориентированные на применение вычислительной техники.

История физики и математики дает много примеров взаимного обогащения этих наук. Союз этих наук взаимовыгоден. Неслучайно выдающийся физик Исаак Ньютон явился одним из создателей дифференциального и интегрального исчисления. Заметим, что сам Ньютон считал себя математиком и зашифровал одно из своих открытий – «Полезно решать дифференциальные уравнения». Физики-теоретики в своей научной работе широко используют почти весь арсенал математики. При этом часто они сами разрабатывают новые методы.

В заключение приведем высказывания ученых о математике. Эти высказывания даются для того, чтобы студенты понимали, что без освоения основ математики невозможно стать настоящими специалистами.

«Математика – это язык, которым с людьми разговаривают боги».

Платон (древне-греческий философ, III–IV век до н.э.).

«Истинную философию вещает нам природа; но понять ее может лишь тот, кто научился понимать ее язык, при помощи которого она говорит с нами. Этот язык есть математика». Галилео Галилей.

«В каждой естественной науке заключено столько истины, сколько в ней есть математики». Философ И. Кант.

«Наука только тогда достигает совершенства, когда ей удается пользоваться математикой». К. Маркс.

«Чем компактнее математический аппарат, тем меньше он отвлекает по существу дела». Проф. А.П. Минаков.

«…Необходимо с ранних лет развивать умение мыслить, применяя математическую символику». Сирилл Хиншелвуд (английский физико-химик, лауреат Нобелевской премии 1956 года, был председателем Лондонского Королевского Общества).

«Приближение к более глубокому пониманию основных принципов физики связано со все более сложными математическими методами». Альберт Эйнштейн.

«Отец русской авиациии» (по определению В.И. Ленина) Н.Е. Жуковский отметил следующие преимущества векторного изложения механики»

«Векторные изложения адекватно передают суть многих явлений механики, при этом достигается наглядность и геометрическая ясность изложения, достигается разумный синтез геометрии и аналитической механики, сокращаются малосодержательные алгебраические преобразования, упрощаются выкладки при рассмотрении сложного движения тел, многие формулы приобретают инвариантный характер по отношению к различным системам отсчета».

1. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

1.1. Векторная алгебра, действия с векторами Использование векторов существенно упрощает запись многих законов физики. Однако при этом необходимо отчетливо знать, что кроется под этой сокращенной записью. Начнем с простого примера – записи второго закона Ньютона в векторной форме с использование импульса p = mv Словесная формулировка этого закона гласит, что производная импульса по времени определяется результирующим вектором всех сил, действующих на тело или материальную точку. Первое, что необходимо понимать, что соотношение (1.1) дает не одно уравнение, а, в общем случае, три уравнения для трех компонент импульса p ( px, p y, pz ) и трех компонент результирующей Отметим, что любой вектор в трехмерном пространстве может быть изображен с помощью единичных векторов по трем координатам:

В этой формуле использованы различные способы изображения единичных векторов. r То, что вектор F является результирующим вектором, означает, что в общем случае он представляет сумму всех векторов сил, действующих на тело:

Следовательно, необходимо уметь складывать вектора. Покажем это сложение на примере двух векторов (n = 2). Алгебраический способ очень прост – для нахождения компонент результирующего вектора необходимо просто их сложить:

Геометрический способ известен большинству школьников. Результирующий вектор двух векторов направлен по диагонали параллелограмма, построенного на суммируемых векторах.

На рис. 1 показаны два способа построения результирующего вектора.

В первом способе начала суммируемых векторов совмещаются. По ним строится параллелограмм ОАВС. Результатом суммы является диагональ ОВ.

Во втором способе начало второго вектора располагается в конце первого.

Соединение начала первого вектора с концом второго вектора даст результат суммирования этих векторов. Знание свойств параллелограмма позволяет легко доказать эквивалентность этих способов. Объяснять операцию вычитания векторов F = F1 F2 нет необходимости, так как она сводится к сложению вектора F1 с вектором F2, компоненты которого равны компонентам второго вектора, но имеют противоположный знак.

Модуль вектора равен корню квадратному суммы квадратов компонент В формуле (1.6) отмечен тот факт, что при отсутствии стрелки над векторной величиной имеется в виду модуль вектора (его длина).

Для записи векторного уравнения в покомпонентной форме часто требуется определить значения компонент. Допустим, что требуется определить компоненту силы тяжести, действующую в направлении возможного перемещения тела вдоль наклонной поверхности (рис. 2). По построению угол между вектором силы тяжести и нормалью к поверхности равен. Поэтому из соответствующего прямоугольного треугольника компонента силы вдоль поверхности F = mg sin(), а компонента силы, определяющая нормальное давление, Fn = mg cos( ).

Заканчивая примеры, связанные со вторым законом Ньютона, отметим, что запись этого закона с использованием импульса более точна, чем запись этого закона в форме Из закона (1.1) по правилам дифференцирования произведения двух функций следует, что d(mv ) dm r справедлива лишь тогда, когда масса движущегося тела не меняется. Примеров движения тел с изменяющейся массой много.

В первую очередь это касается ракеты, теряющей свою массу за счет истечения из нее газов.

Перейдем к рассмотрению двух видов произведения векторов – скалярного и векторного. В результате скалярного произведения векторов получается скалярная величина (это и определяет название произведения).

В старых учебниках скалярное произведение называлось еще внутренним.

Поясним свойства скалярного произведения на примере вычисления элемента работы dA Здесь предположено, что угол между вектором силы F и вектором перемещения ds с компонентами dx, dy, dz. Из свойства скалярного произведения следует, что скалярное произведение двух взаимно перпендикулярных векторов равно нулю. Величина скалярного произведения равна «площади» параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах.

Слово площадь поставлено в кавычки для того, чтобы напомнить, что в физике размерность произведения определяется произведением соответствующих размерностей. Поэтому размерность работы 1 Дж = 1 Н1 м.

Кроме формулы (1.8), для скалярного произведения справедливы формулы с применением проекции силы на вектор перемещения Fs или проекции вектора перемещения на вектор силы dsF Использование дифференциала ds при вычислении элемента работы не случайно. При такой записи правильно будет вычислена работа при конечном перемещении с помощью интеграла, даже если сила и вектор перемещения являются переменными. Отказаться от дифференциалов можно лишь в том случае, если сила и вектор перемещения неизменны.

Векторное произведение определяет компоненты нового вектора где угол между перемножаемыми векторами. Вектор C ортогонален обоим векторам ( C A, C B ), а его направление определяется по правилу правого винта (буравчика) при условии, что из конца вектора C кратчайший поворот первого вектора A ко второму вектору B виден против часовой стрелки.

Компоненты вектора C определяются по формулам Для облегчения запоминания этих формул следует учесть, что индексы первого слагаемого в правой части равенства следуют правилу циклического порядка следования компонент по x, y, z, а индексы компонентов второго слагаемого меняются местами.

Формулы (1.11) для компонент векторного произведения получаются из раскрытия определителя Из определения векторного произведения следует, что два вектора линейно независимы тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулю.

С помощью векторного произведения определяются, например, сила Ампера (закон Ампера), действующая на элемент проводника dl с током J в магнитном поле B величина магнитной индукции, создаваемой элементом тока Jdl в точке с радиусом-вектором r (закон Био – Савара – Лапласа) Понятие производной используется в механике со времен Ньютона.

Создателями дифференциального исчисления считаются Лейбниц и Ньютон.

Ньютон независимо от математика Лейбница создал дифференциальное исчисление для точного описания законов механического движения. Им было введено определение вектора скорости как производной от радиуса вектора по времени и определение вектора ускорения как производной от вектора скорости:

В этих формулах отмечен тот факт, что производные по времени часто в физике обозначают точкой над функцией вместо штриха, как в математике. В формулах (1.13) используются векторы. Это означает, что в общем случае имеются в виду три соотношения для компонент скорости и три соотношения для компонент ускорения. Заметим, что в учебниках часто для обозначения векторов используют жирный шрифт и стрелочки опускают. С помощью введенных величин можно по-разному записать второй закон Ньютона для материальной точки с постоянной массой:

Еще раз напомним, что соотношение (1.14) дает в общем случае не одно, а три уравнения.

Оставим пока в стороне физику и дадим определение производной для одной функции с аргументом x так, как это делается в математическом анализе. Определение производной от функции y = f ( x) дается с помощью формулы Словесное определение этой формулы звучит так: производная от функции равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента. Приращение аргумента равно x, а приращение функции y = f = f ( x + x) f ( x). Обратим внимание на обозначение функции y = f ( x) с помощью y. Это делается только для того, чтобы потом при объяснении геометрического смысла отмечать значения функции на вертикальной оси, которую часто обозначают в виде y.

Заучив приведенное определение производной, студенты не всегда понимают, что это определение является алгоритмом для получения всех формул дифференцирования.

Рассмотрим пример применения формулы (1.15) для вывода формулы производной от функции f ( x) = x 2. Согласно формуле нужно вначале вычислить приращение функции Составляя отношение приращения функции к приращению аргумента, получим А теперь нужно перейти к пределу этого отношения при x 0. Очевидно, что пределом будет значение f ( x) = 2 x. Этот результат подтверждает более общую формулу для производной от степенной функции f ( x) = ( x n ) = nx n1.

Аналогичным образом докажем, что производная от тригонометрической функции f ( x) = sin( x) равна cos( x). Приращение функции f = sin( x + x) sin( x) = sin( x) cos(x) + sin(x) cos( x) sin( x). (1.18) Для вычисления предела отношения приращения функции к приращению аргумента учтем, что при малых приращениях аргумента Поделив эту величину на приращение x, получим известный результат – (sin( x)) = cos( x). Переход к пределу при x 0 нужен для того, чтобы вместо примерного значения приращения функции f в уравнении (1.19) получить его точное значение.

Сделаем полезное замечание. Из алгоритма вычисления производных видно, что, если не переходить к пределу x 0, а использовать малые значения x, будем иметь приближенное значение производной. Эта идея плодотворно используется для приближенного решения дифференциальных уравнений. Кроме того, полезно понять, что лишь при вычислении производной от линейной функции y = ax можно не переходить к пределу x 0, так как только в этом частном случае отношение приращения функции к приращению аргумента не зависит от величины приращения аргумента (докажите это).

Перейдем к выяснению геометриy=f (x) ческого смысла производной. Для этого зуемые в определении производной, на плоскости x, y = f ( x).

На этом рисунке x0 значение аргумента, для которого вычисляется производная. Согласно построению длина длина катета BC равна приращению функции. Следовательно, отношение приращения функции к приращению Рис. 3. Схема к понятию аргумента равно тангенсу угла BAC. При производной стремлении приращения аргумента к нулю секущая AВ приближается к касательной в точке x0, а значение производной приближается к тангенсу угла наклона касательной к оси аргумента. Отсюда и следует геометрический смысл производной – величина производной равна тангенсу угла наклона касательной к кривой y = f ( x) в соответствующей точке.

1.3. Интерполяция и экстраполяция функций При интерполяции и экстраполяции предполагается, что какая-то функция задана таблично для фиксированного набора аргументов xi (i = 0, 1, …, n).

В физике обычно такая таблица является результатом измерений. В случае табличного задания функции возникает проблема приближенного вычисления значений функции в промежуточных точках в интервале от x0 до xn.

Предположим, что фиксированные значения аргумента xi упорядочены по возрастанию номера (индекса) i так, что x0 является наименьшим значением, а xn – наибольшим. Сформулированная проблема решается методами интерполирования.

В тех случаях, когда требуется вычислить значение функции для аргумента вне интервала [ x 0, xn ], задача решается методами экстраполяции.

Экстраполяция может приводить к большим погрешностям. Интерполяция также дает некоторую погрешность, но доказывается, что эта погрешность мала при близких значениях соседних аргументов.

Самый простой и часто используемый способ интерполяции – это линейная интерполяция. В случае линейной интерполяции предполагается, что на каждом интервале [ xi, xi +1 ] значение функции можно вычислить из уравнения соответствующей прямой, проходящей через две точки ( xi, yi ) Формула (1.20) годится для любого упорядоченного набора значений аргумента. Если значения аргумента заданы с постоянным шагом h так, что xi = x0 + i h, формула (1.20) упрощается:

Усложнением линейной интерполяции является полиномиальная интерполяция. Значение функции в этом случае может быть вычислено по интерполяционной формуле Лагранжа:

При рассмотрении формулы Лагранжа следует обратить внимание на то, что в числителе pi ( x) пропущен множитель ( x xi ), а знаменатель получается из числителя заменой x на xi. В случае, например, трех точек ( n = 2, i = 0, 1, 2 ) формула Лагранжа имеет вид В случае двух точек ( n = 1 ) реализуется линейная интерполяция. Покажите это.

В анализе легко доказываются свойства полинома Лагранжа – степень полинома не выше n, а значения полинома при x = xi равны yi ( Ln ( xi ) = yi ).

Таким образом, полином проходит через все заданные точки. Возникает естественный вопрос – насколько близко рассмотренный полином близок к функции f ( x) в других точках, т.е. как велика разность Для ответа на этот вопрос потребуется предположить, что функция f ( x) имеет производные до (n + 1) порядка включительно. При таком предположении для погрешности получается оценка в которой M n+1 максимум модуля ( n + 1 )-й производной от функции f ( x), а полином Pn+1 ( x) равен произведению всех сомножителей вида ( x xi ) :

В частности для линейной интерполяции справедлива оценка Из вида формул для погрешности видно, что погрешность оказывается малой при малых интервалах между заданными точками xi. Все формулы интерполяции естественно упрощаются для значений аргументов, заданных с постоянным шагом.

Отметим, что не следует при интерполяции брать большое число точек, далеко отстоящих от точки, для которой требуется вычислить значение функции. Эта рекомендация особенно относится к экспериментальным табличным данным, полученным с существенной погрешностью.

В теории интерполяции существуют и другие формулы (например первая и вторая формулы Ньютона). Некоторые из них годятся лишь для аргументов, заданных через постоянный шаг. Напомним, что формула Лагранжа свободна от этого ограничения. Теория интерполяции позволяет решить и обратную задачу – по заданным значениям функции y найти значения аргумента, а также решить вопрос интерполяции для функции нескольких аргументов.

В заключение этого параграфа коснемся вопросов экстраполяции.

Напомним, что при экстраполяции нам необходимо вычислить значение функции для аргументов, выходящих за пределы заданного интервала [ x0, xn ].

Для экстраполяции можно пользоваться теми же формулами, но при этом следует помнить, что погрешность может оказаться весьма высокой.

Эту особенность экстраполяции понимал и писатель Марк Твен. Так он высмеивал журналистов, которые из того факта, что река Миссисипи по наблюдениям за несколько лет увеличивает свою длину, вычисляют время, когда ее вовсе не было.

Дадим пример из физики. Известно, что электрическое сопротивление металлов уменьшается при уменьшении температуры. Если ограничиться измерением сопротивления до температуры около 10 К и сделать соответствующую экстраполяцию на ноль температуры, то можно проморгать очень важное явление сверхпроводимости и Нобелевской премии за открытие сверхпроводимости не получить.

В курсе математики средней школы при исследовании функции рассматриваются следующие вопросы – область определения аргумента, область определения функции, свойства функции (монотонность, периодичность, непрерывность и другие), экстремумы и нули (корни) функции.

Здесь мы ограничимся рассмотрением лишь вопросов нахождения корней и экстремумов функции с использованием производной функции. Эти вопросы изложены во многих учебниках по численным методам [3, 5].

Задача нахождения аргументов функции, удовлетворяющих равенству возникает во многих случаях. Соответствующие значения аргументов называются корнями уравнения (1.24). Сложность решения этой задачи определяется видом функции. В школьном курсе математики подробно рассматривается лишь вариант квадратного уравнения В математике известна основная теорема алгебры о числе корней полинома (многочлена) степени n Эта теорема утверждает, что число корней полинома (1.27) равно его степени с учетом кратности корней при условии, что коэффициент an 0. Кроме того, в число корней включены и комплексные корни, которые в школе только упоминаются. Для квадратного уравнения (1.26), например, комплексные корни соответствуют отрицательному значению соответствующего дискриминанта. Мы не будем здесь рассматривать случай комплексных корней, хотя в теоретической физике они, безусловно, рассматриваются, и ограничимся случаем действительных корней.

Аналитическое нахождение корней не всегда возможно, поэтому часто используют приближенные методы. Предварительным этапом для приближенного нахождения корней обычно является этап отделения корней.

При отделении корней выясняются интервалы аргумента, на которых функция имеет один корень. Из свойств непрерывной функции следует, что на интервале [ a, b] существует только один корень, если f (a) f (b) 0 (функция имеет разные знаки на концах интервала) и функция на этом интервале монотонна.

Отметим, что при наличии монотонности f ( x0 ) 0. Найти интервалы, на которых выполняются упомянутые условия, помогает во многих случаях вспомогательная задача о поиске корней уравнения для производной от функции является рис. 4. На рисунке отмечены четыре значения аргумента a1, a2, a3, a4, в которых производная функции равна нулю. На интервале [ a1, a2 ] находится один корень x = x1, так как функция Аналогичные выводы очевидны для двух Рис. 4. Корни функции ( x1, x 2, x 3 ) следующих интервалов.

После этапа отделения корней выполняется этап уточнения корней.

Существует несколько методов уточнения корней – графический, метод дихотомии (деления пополам), метод Ньютона (метод касательных), метод последовательных приближений, метод хорд (метод пропорциональных частей) и их комбинации. Опишем наиболее простой из них – метод дихотомии. Метод прост по идее и оценке погрешности.

Считая, что на интервале [ a, b ] существует один корень и f (a ) f (b) 0, в методе дихотомии и соответствующее значение функции f (c). Если f (c) = 0, корень найден.

f (a ) f (c) 0 (совпадают знаки соответствующих значений), левое Если значение интервала заменяется на с. Если f (a ) f (c) 0 (различны знаки соответствующих значений), правое значение интервала заменяется на с. После такой процедуры исключается из рассмотрения половина интервала, на которой нет корня. Следовательно, при такой процедуре интервал, на котором есть корень, сокращается вдвое. Описанная процедура повторяется до тех пор, пока величина интервала не станет меньше заданной величины погрешности.

Очевидно, что после n повторений начальный интервал сокращается в 2n раз (этот факт является доказательством хорошей скорости сходимости метода).

Широкое распространение персональных компьютеров позволяет использовать еще один метод. В этом методе в цикле по i вычисляются значения функции yi = f (a + ih) и отслеживается момент смены знака. При больших значениях шага h метод позволяет отделить корни, а при малых – получить приближенное значение корня. Отметим, что описанные методы не годятся для случая, когда f ( x) = f ( x) = 0. Этот случай требует особого подхода.

Кратко коснемся вопросов поиска экстремальных значений функции на заданном интервале [ a, b ]. Экстремальные значения достигаются или на концах интервала, или в точках с равными нулю производными. Это обстоятельство еще раз подтверждает ценность вспомогательной задачи о поиске корней для производной функции.

В заключение этого параграфа коснемся проблемы поиска экстремума функции многих переменных Ф( x1, x2,..., xk ). Достаточно рассмотреть проблему поиска только минимума, так как проблема поиска максимума сводится к проблеме поиска минимума для функции со знаком минус.

Различают минимумы локальные и глобальные. Локальный минимум достигается в части полной области переменных. Локальных минимумов может быть несколько. Минимальное значение среди всех локальных минимумов дает глобальный минимум.

Все методы нахождения минимумов предполагают, что отыскивается локальный минимум. Существует несколько методов отыскания минимумов функции многих переменных. Успех этих методов зависит существенно от сложности функции. Мы не будем вдаваться в подробности этой проблемы и опишем только один весьма популярный метод отыскания минимума с использованием важного понятия в физике – градиента функции.

Дальнейшее изложение будем вести, предполагая, что число независимых переменных функции равно числу координат трехмерного пространства. При этом упрощается геометрическая интерпретация метода.

Что же касается математики, то в ней число независимых переменных может быть любым и эти переменные могут быть совершенно разной природы.

Заметим, что случай двух переменных позволяет дать географическую интерпретацию метода. При этом значению функции приписывается высота рельефа. И выясняется, что рельефы могут быть котлованного или овражного типа. Для рельефов котлованного типа все методы хороши, а для рельефа овражного нужны особые ухищрения.

Вектор градиента функции трех переменных вычисляется по формуле где i, j, k единичные векторы вдоль соответствующих осей координат.

Формула (1.29) показывает способ вычисления всех компонент вектора, который мы обозначили как G. Каков смысл параметров этого вектора – его направления и величины? Вектор градиента направлен в сторону наискорейшего возрастания функции. Величина градиента позволяет определить добавку к функции, если мы сделаем малый шаг в направлении градиента. Если мы сделаем такой же шаг в другом направлении, функция уменьшится. То есть степень возрастания функции при изменении координат в направлении градиента определяется величиной градиента. Следовательно, раз нас интересует минимум, надо с малым шагом двигаться в сторону, обратную градиенту. Эти идеи приводят к методу градиентного спуска (знак минус и приводит к смещению в сторону против градиента):

вектор трехмерного пространства, индекс n номер приближения; h (hx, hy, hz ) вектор смещения.

Формула (1.30) векторная и потому в подробной записи соответствует числу переменных. В случае трех переменных имеем три формулы:

Шаги в формулах (1.31) должны быть малыми, но они могут быть равными. Описанный алгоритм должен быть дополнен контролем последовательного убывания функции. При возрастании функции должен выполняться возврат к предыдущей точке. Полученное значение может быть объявлено приближенным значением локального минимума функции. Можно также продолжить уточнение полученного значения, но уже с меньшими шагами по координатам hx, hy, hz.

Эту формулу получил в 1712 (опубликовал в 1715) году ученик Ньютона Брук Тейлор. Ньютон первым оценил практическую значимось этой формулы и широко ее использовал. Формула Тейлора позволяет получить приближенную зависимость любой аналитической функции в виде полинома вблизи выбранной «опорной» точки x0. Иными словами, функция вблизи опорной точки заменятся полиномом. Формула имеет вид Как видно из формулы (1.32), коэффициенты при степенях ( x x0 ) k пропорциональны k-й производной от функции в опорной точке. Важно понять, что при малых отклонениях от опорной точки малое число сохраненных слагаемых в этой формуле дает неплохое приближение к функции.

Строгое определение формулы Тейлора достигается формулой где r ( x) остаточный член; Pn ( x) многочлен Тейлора, При n = многочлен Тейлора называется рядом Тейлора. Достаточным условием сходимости этого ряда к функции f ( x) на интервале ( x0 h, x0 + h) является ограниченность всех ее производных на этом интервале.

При отбрасывании остаточного члена в формуле (1.33) получаем приближенное значение функции и возникает вопрос о величине остаточного члена. Существует несколько оценок остаточного члена, полученных математиками прошлого. Приведем две из них.

Оценка в форме Пеано говорит о характере зависимости остаточного члена от разности ( x x0 ) Запись (1.35) утверждает, что погрешность формулы Тейлора при отбрасывании остаточного члена убывает пропорционально n-й степени разности ( x x0 ).

Более полные сведения о величине остаточного члена дает формула, полученная Лагранжем Отметим, что в этой формуле производная (n+1)-го порядка вычисляется не в опорной точке, а где-то внутри интервала [ x, x0 ]. Поэтому оценка сверху для модуля остаточного члена получается при замене этой производной ее максимальным значением по модулю, а при вычислении производной в опорной точке получается приближенное значение остаточного члена.

Формула Тейлора позволяет изучение ряда свойств функции свести к существенно более простой задаче изучения этих свойств у соответствующего многочлена. На этом основано разнообразие многочисленных применений Формулы Тейлора для вычисления пределов функций, исследование их экстремумов, точек перегиба, интервалов выпуклости и вогнутости, сходимости рядов и интегралов, оценка скорости сходимости или расходимости.

Частным, но весьма распространенным случаем ряда Тейлора является ряд, называемый иногда рядом Маклорена. Соответствующие формулы получаются из формул, приведенных выше, при предположении, что опорная точка x0 = 0.

Приведем примеры разложения некоторых функций в ряд Маклорена:

В приложениях очень часто ограничиваются малым числом слагаемых в разложении функции в ряд Тейлора. Приведем в качестве примера задачу о колебаниях маятника. Дифференциальное уравнение движения маятника имеет вид где угол отклонения маятника от вертикали в радианах; 0 собственная циклическая частота колебаний маятника при малых отклонениях от вертикали.

Дифференциальное уравнение (1.40) является нелинейным. Оставляя в разложении sin() лишь первое слагаемое (sin() ), получаем линейное дифференциальное уравнение. Решение линеаризованного таким образом уравнения легко находится. Остается выяснить погрешность такой замены.

Воспользуемся для этого формулой Лагранжа:

Это оценка абсолютной погрешности. Для оценки относительной погрешности надо поделить это значение на угол. Требуя для относительной погрешности величину менее 1 %, находим, что наше решение хорошо описывает колебания при углах Во многих формулах специальной теории относительности присутствует выражение или его обратное значение. В этом выражении v скорость системы отсчета или скорость тела, а c скорость света. При выполнении неравенства с используют вместо (1.43) его приближенное значение, получаемое с помощью ряда Тейлора (Маклорена). Для получения этой формулы удобно сделать замену = v 2 / c 2 и воспользоваться формулой (1.32). В результате этих операций получается формула из которой видно, что при 0,04 третье слагаемое меньше второго более, чем на два порядка, и потому можно ограничиться лишь первой поправкой и считать, что Периодическую функцию очень часто представляют в виде так называемого ряда Фурье. Это представление позволяет выяснить спектр периодической функции. Соответствующее представление составляет содержание гармонического анализа.

Теория гармонического анализа утверждает, что любая периодическая функция f (t ) с периодом T, для которой существует конечное значение интеграла может быть представлена сходящимся рядом Фурье:

где a0 / 2 среднее значение функции; 0 циклическая частота, 0 = 2 /T.

Коэффициенты ряда Фурье вычисляются по формулам:

Номер гармоники k определяет соответствующую частоту, равную k / T, и амплитуду ck = ak + bk2. В математическом анализе доказывается, что интегрируемая функция однозначно определяет свои коэффициенты (или свое Фурье-преобразование). Справедливо и обратное – преобразование Фурье однозначно определяет функцию.

Гармонический анализ позволяет не только определить спектральный состав периодической функции, но и приближенно решать различные задачи математической физики.

Прежде чем обсуждать погрешность, связанную с неточностью экспериментальных данных, опишем математическую погрешность при вычислении функций. Назовем число a приближенным значением числа A (a A) и учтем, что в дальнейшем при вычислениях вместо точного значения будет использоваться его приближение. Если a A, то a называют приближением к точному по недостатку; если, наоборот, a A, то – по избытку. Ошибка или погрешность приближенного значения определяется разностью Из этого определения следует, что Часто знак ошибки неизвестен, и потому целесообразно ввести абсолютную погрешность Довольно часто неизвестно и само точное значение, и в этом случае нет возможности воспользоваться формулой (1.49). Тогда вводят предельную абсолютную погрешность В качестве предельной абсолютной погрешности логично выбрать наименьшее значение, удовлетворяющее этому неравенству. Введенная величина позволяет утверждать, что точное значение удовлетворяет неравенствам Утверждение (1.53) записывают обычно в виде Абсолютная погрешность не достаточна для характеристики погрешности измерения или вычисления. Для характеристики погрешности и точности величины существенна предельная относительная погрешность Использование введенной относительной погрешности позволяет записать формулу (1.54) в ином виде:

Перечислим основные источники погрешности.

1. Погрешности, связанные с постановкой математической задачи (погрешность задачи).

2. Погрешность, связанная с наличием бесконечного числа слагаемых в формулах математического анализа. Примером может служить использование разложения функции в ряд Тейлора. Соответствующая погрешность возникает заменой бесконечного числа слагаемых конечным числом. Такую погрешность называют остаточной.

3. Погрешность, возникающая с использованием приближенных значений параметров задачи. Приближенными значениями параметров являются, например, все физические постоянные. Условимся эту погрешность называть начальной.

4. Погрешность, связанная с системой счисления. Примером такой погрешности может служить, например, дробь 1/ 3 0,3333(3) в десятичной системе счисления. Ограниченное число используемых цифр дает погрешность, которую можно назвать погрешностью округления.

5. Погрешность, связанная с выполнением арифметических операций.

При решении конкретной задачи часть погрешностей отсутствует или пренебрежимо мала. Но, вообще говоря, для полного анализа погрешности следует учитывать все виды погрешности.

Укажем связь погрешности с понятиями – значащая цифра и число верных знаков, предполагая, что используется десятичная система счисления для изображения числа с n цифрами k :

Все сохраняемые десятичные знаки в записи (1.57) называются значащими. Рассмотрим пример. В соответствии с этим определением в записи числа 0,006030 значащими являются все последние четыре цифры 6, 0, 3, 0.

Первые три цифры значащими не являются. Разумно число значащих цифр связать с погрешностью. В использованном примере указание последнего нуля молчаливо предполагает, что погрешность менее 10–6. Запись в ответах лишних значащих цифр говорит о неграмотности вычислителя. Для подчеркивания этого факта и вводят понятие верных знаков.

Говорят, что n первых значащих цифр приближенного числа являются верными, если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины разряда, выраженного n-ой значащей цифрой. Это определение приводит к неравенству Пример 1. Для A = 35,97 число a = 36,0 имеет три верные цифры, так как Уже приведенный пример говорит о том, что понятие « n верных знаков»

не следует понимать буквально. Дадим для иллюстрации сказанного еще один пример.

Пример 2. Пусть A = 8, а приближенное значение a = 7,996. Ни одна цифра приближенного числа не совпадает с цифрой 8 точного числа. Тем не менее приближенное число имеет три верных знака, так как = 0,004 0,005 = 0,5 102.

Заметим, что иногда в неравенстве (1.57) вместо 0,5 пишут 1 и в этом случае говорят о числе верных знаков в широком смысле (при использовании коэффициента 0,5 – в узком смысле).

Существует теорема о связи погрешности с числом верных знаков. Она утверждает, что положительное число a имеет n верных знаков в узком смысле, если относительная погрешность этого числа где m первая значащая цифра числа a.

Замечания к теореме. Величину относительной погрешности в (1.59) можно принять за предельное значение относительной погрешности. При числе верных знаков n более 2 можно положить Рассмотрим примеры применения теоремы.

Пример 3. Чему равна предельная относительная погрешность представления вместо числа значения 3,14? В этом примере m = 3, n = 3.

Следовательно, по формуле (1.59) = 1/(2 3 103+1 ) = 1/ 600 = 1/ 6 %.

Пример 4. Сколько знаков следует сохранить при извлечении 30, чтобы относительная погрешность не превышала 0,001 (0,1%)? В этом примере m = 5. По формуле (1.60) 0,001 = 1/(2 5 10n1 ) = 1/10n, n = 3.

В заключение этого параграфа дадим общую формулу оценки погрешности при вычислении функции. Пусть вначале требуется вычислить значение функции одного аргумента f ( x) при знании, что аргумент имеет погрешность x. Величина погрешности функции равна разности:

Для оценки этой величины следует разложить функцию f ( x + x) в ряд Тейлора относительно опорной точки x и ограничиться первым оставшимся слагаемым. Выполнение этих действий дает приближенную формулу Формула тем точнее, чем меньше величина погрешности аргумента.

В случае функции нескольких переменных с заданными погрешностями xi (i = 1, 2,..., n) имеем по аналогии Для оценки модуля погрешности берется сумма модулей функции принимают величину Рассмотрим пример применения формулы (1.65). Пусть требуется оценить погрешность вычисления функции двух переменных при значениях x = 4 ± 0, 2, y = 0,4 ± 0,01, если f ( x, y ) = x 2 sin( y ). Согласно (1.65) имеем Заметим, что формула (1.65) позволяет определить погрешность вычисления суммы, разности, умножения и деления двух величин. Следует попрактиковаться с вычислением этих простейших операций и кроме оценок абсолютных погрешностей получить оценки относительных погрешностей.

Обычно первая лабораторная работа по физике посвящена теории погрешностей. Поэтому следует изучить соответствующий теоретический материал как в этом учебном пособии, так и в описании лабораторной работы.

Здесь мы опишем принципиальную сторону вопросов о погрешности и точности представления результатов измерения.

Экспериментальные данные получаются в результате измерений.

Измерения физических величин бывают прямые и косвенные. В прямых измерениях непосредственно измеряют исследуемую величину. Например, прямым измерением является измерение веса с помощью весов, измерение длины линейкой, времени секундомером, силы тока амперметром и т.д.

В косвенных измерениях исследуемая величина вычисляется по какой-либо формуле, содержащей несколько величин, полученных прямым измерением.

Приведем пример косвенного измерения. Пусть требуется измерить объем цилиндра В эксперименте замеряются радиус r и высота цилиндра H. Измеряемые величины содержат погрешности. Поэтому величина погрешности объема должна быть вычислена с учетом погрешности прямых измерений этих величин по формулам, приведенным в предыдущем параграфе. Если и величина используется с малым числом знаков, следует учесть и погрешность. В итоге имеем Несколько слов о типах погрешности. Наиболее часто встречаются так называемые случайные погрешности. Они являются следствием многих причин, которые невозможно или трудно учесть. Улучшение точности приборов и совершенствование методики эксперимента может уменьшить их величину. Однако устранить полностью случайные ошибки невозможно.

Погрешности, которые во всех измерениях сохраняют значение, называются систематическими. К числу таких ошибок относят, например, смещение шкалы измерительного прибора. К систематическим ошибкам относят иногда приборную ошибку, приравнивая ее обычно половине наименьшего деления шкалы прибора.

Иногда при измерении возникают ошибки, которые называют промахами.

Промахи могут появиться в результате неопытности экспериментатора, описки, неисправности аппаратуры, неожиданных сильных внешних воздействий. При многократных измерениях промахи обычно резко отличаются от остальных данных. Обнаружение промахов позволяет исключить их из рассмотрения.

Ниже мы будем рассматривать только случайные ошибки. Изучением распределения случайных ошибок занимается теория вероятности. Теория вероятности утверждает, что распределение многочисленных результатов измерения величины x хорошо описывается законом Гаусса (рис. 5):

Рис. 5. Нормальный закон распределения Естественно, что вероятность измеряемой величины оказаться в бесконечном интервале равна единице, и потому функция распределения удовлетворяет (нормировочному) равенству Из формул (1.38)–(1.70) и рис. 5 видно, что отклонения в большую и меньшую сторону от наиболее вероятного значения равновероятны и что наибольшая вероятность (при равной величине интервала ( x1, x2 )) соответствует значениям x1, x2, расположенным симметрично относительно среднего значения ( n – число измерений) Чтобы избежать путаницы с обозначениями, укажем, что xi (i = 1,..., n) в формуле (1.71) – это значения, полученные в результате измерений, а значения x1, x2 в интеграле (1.68) – это любые выбранные значения измеряемой величины.

Важной характеристикой распределения (1.68) является величина, которую называют среднеквадратичной ошибкой (стандартом). Квадрат стандарта 2 называют дисперсией. Обе величины характеризуют кучность распределения случайной величины около математического ожидания этой величины или, иными словами, около среднего значения. Чем меньше эти значения, тем уже кривая распределения. При большом числе измерений среднеквадратичная ошибка вычисляется по формуле Чтобы лучше понять роль, укажем, что согласно (1.68), (1.69) вероятность нахождения измеряемой величины в интервале от ( x ) до ( x + ) составляет 67 %, а при расширении интервала возможных значений x вдвое достигает 95 %.

Важно понять, что теория позволяет оценить вероятность отклонения результатов измерения от среднего значения. Результат измерения записывается в виде с указанием вероятности этого утверждения. Например, результаты измерения длины могут быть записаны в виде с указанием надежности (вероятности). В лабораторных работах по физике часто используют значение надежности, равное 95 %.

Приведенные формулы предполагают, что число измерений достаточно велико. При числе измерений n 10 (для учебных лабораторных работ это типичная ситуация) применяются формулы, подкорректированные Стьюдентом. Стьюдент (Student) это псевдоним математика W.S. Gosset, который в 1908 году опубликовал свои исследования в журнале «Биометрика».

Опишем соответствующие изменения формул. Среднее значение измеряемой величины вычисляется без изменения, а среднеквадратичное отклонение, называемое иногда стандартным, вычисляется по формуле Подправленное значение увеличено по сравнению с обычным значением по формуле (1.72); при n = 5 1,225, а при n = 10 1,106.

Границы доверительного интервала вычисляются умножением на так называемый коэффициент Стьюдента Коэффициент Стьюдента зависит от числа измерений и от выбранной надежности. В лабораториях по физике обычно есть таблица значений этого коэффициента. Cледует помнить, что величина этого коэффициента уменьшается с ростом n и увеличивается с ростом надежности.

Приведем пример использования формул Стьюдента.

Пример 5. Пусть n = 5, выбранная надежность p = 0,95, измеренные значения равны 9; 9,5; 10; 10,5; 11. Среднее значение x оказывается равным 10. По справочной таблице находим коэффициент Стьюдента St(6; 0,95) = 2,8, а с учетом формул (1.74), (1.75) вычисляем Следовательно, с вероятностью 95 % измеряемая величина должна быть записана в виде Метод наименьших квадратов (МНК) известен в математике со времен Гаусса. Немецкого математика Гаусса (1777–1855) часто называют королем математики. МНК полезен при обработке результатов измерений или наблюдений, содержащих случайные ошибки. Метод позволяет находить приближенные аналитические зависимости по полученным экспериментальным данным. Можно без преувеличения сказать, что МНК позволяет находить исследуемые закономерности. Поэтому необходимо знать основные понятия этого метода, используемые для обработки экспериментальных данных.

Типичная постановка задачи МНК такова. Имеется таблица значений аргумента xi (i = 1, n) и соответствующих им значений функции yi. Полагается, что значения функции получены с некоторой погрешностью. Требуется выяснить параметры предполагаемой аналитической зависимости y = f ( x) так, чтобы сумма квадратов отклонения табличных значений от этой функции была минимальна. Сумма квадратов отклонения, называемая еще суммой квадратов невязок, где ck (k = 1, 2,..., p ) параметры формулы.

Весовые коэффициенты i могут учитывать «значимость» (точность) i-го измерения. Если нет каких-либо сведений о зависимости точности измерений от его номера, весовые коэффициенты опускаются. Задача заключается в нахождении параметров, дающих минимум суммы (1.77). Параметрами функции f ( x) могут быть, например, коэффициенты при известных выбранных функциях k ( x ):

Такой случай аппроксимации исследовал русский математик П.Л. Чебышев.

Как правило, для корректности постановки задачи требуется, чтобы число параметров было меньше числа измерений ( p n ). Найденные параметры ближе к реальным параметрам при большом числе измерений (n p).

В соответствии с законами математики минимум суммы квадратов невязок достигается при равенстве нулю частных производных от суммы квадратов невязок S по всем параметрам:

Естественно предполагается, что искомая функция является аналитической и зависит от параметров непрерывным образом.

Задача поставлена, и теперь требуется решить систему уравнений (1.79).

Но возникает ряд вопросов. Первый из них – всегда ли эта задача имеет решение? Второй – единственно ли оно? И практический вопрос – как найти соответствующее решение?

Трудность нахождения решения зависит от системы уравнений (1.79), которые в свою очередь определяются видом функции f ( x). Система уравнений (1.79) может оказаться нелинейной.

Доказано, что в случае многочлена система уравнений оказывается линейной и задача имеет единственное решение. Опишем этот случай, полагая, что Параметрами многочлена являются коэффициенты ak (k = 0, 1,..., m).

Число этих коэффициентов (число параметров p ) равно m +1. Для построения системы уравнений (1.79) находим частные производные В формуле (1.77) мы положили i = 1. Приравнивая нулю найденные производные, убеждаемся в том, что соответствующая система уравнений линейна по отношению к искомым коэффициентам. Система уравнений ( k = 0, 1,..., m ) имеет следующий вид:

Матрица коэффициентов этой системы симметрична. Определитель этой системы не равен нулю, следовательно, система разрешима. Выпишем все уравнения системы для часто используемого случая – полинома первой степени, когда данные аппроксимируются линейной зависимостью вида Еще раз подчеркнем, что для метода наименьших квадратов требуется выполнение неравенства n (m + 1). Если число параметров многочлена равно числу заданных значений ( n = m + 1 ), система имеет решение, проходящее через заданные точки; при этом, по сути дела, решается задача интерполяции.

Покажем пример применения МНК для обработки данных по радиоактивному распаду. Полагаем, что в результате n измерений в моменты времени ti (i = 1, 2,..., n) получены значения интенсивности распада N i. Из физики известен закон радиоактивного распада Возникает вопрос – как с помощью полученных измерений определить константу радиоактивного распада ? Если использовать в сумме квадратов невязок функцию (1.84), метод приведет к необходимости решать нелинейную систему уравнений. Решать нелинейную систему уравнений сложнее, чем линейную. Но оказывается, что задача может быть сведена к линейной. Для этого достаточно вспомнить, что в логарифмическом масштабе уравнение (1.84) превращается в линейное Следовательно, необходимо прологарифмировать значения N i, положив yi = ln( N i ), и сумму квадратов невязок записать в виде В результате приравнивания нулю производных от этой суммы по двум параметрам ( ln( N 0 ) и ) придем к линейной системе.

На рис. 6 приведен пример, ложение данных измерения относительно прямой. Аналогичный график Рис. 6. Пример с определением всегда полезно приводить после константы радиоактивного распада нахождения функции, чтобы увидеть степень погрешности и убедиться в правильности решения (глаз человека легко заметит серьезную ошибку в аппроксимации).

1. Чему равна длина вектора, равного сумме двух векторов А1(1, 2), А2(4, 2)?

2. Чему равна третья производная от функции ехр(2x)?

3. Чему равно значение u(1) при линейной и квадратичной интерполяции, если дано u(0) = 0, u(2) = 2, u(3) = 8?

4. Сколько может быть вещественных корней у полинома третьей степени?

5. Оценить с помощью формулы Тейлора значение ехр(0,01).

6. Сколько будет слагаемых в ряде Фурье, если разлагаемая в ряд Фурье функция u(x) = 2sin(x) + 4sin(2x)?

7. Чему равна относительная погрешность вычисления произведения x1x2, 8. Оцените погрешность вычисления f ( x) = e x cos(2 x) при x = / 2 ± 0, 01.

9. Чему равен угол наклона прямой, проведенной методом наименьших квадратов для следующих данных: y(1) = 1, y(2) = 2, y(3) = 1?

10. Сколько корней у производной от полинома второй степени?

2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ

Понятие потока векторной величины неоднократно встречается в физике.

Так, например, в электродинамике рассматривается поток напряженности электрического поля и с помощью этого понятия формулируется теорема Гаусса. Закон индукции Фарадея также использует понятие потока.

Дадим вначале понятие потока для любого вектора A, не привязываясь к его физическому смыслу. Однако для облегчения понимания можно считать, r что этот вектор соответствует скорости потока жидкости. Поток вектора A через малую площадку dS вычисляется с помощью скалярного произведения по формуле Величина потока обозначена буквой Ф с индексом вектора. Ниже мы будем придерживаться таких же обозначений для потоков других величин, r используя в качестве индекса потока соответствующий вектор. Вектор dS направлен по нормали к площадке между векторами A и n.

Малость размера площадки dS обеспечивает возможность в общем случае пренебречь кривизной площадки и Рис. 7. Поток вектора изменением вектора A в пределах через элементарную площадку площадки. Поток (2.1) называют иногда элементарным. Напомним эквивалентные формы (см. параграф о произведениях векторов) записи скалярного произведения (2.1):

Из свойств скалярного произведения следует, что величина потока максимальна при угле между векторами, равном нулю, и равна нулю, когда нормаль площадки перпендикулярна вектору A ( = / 2 ).

Поток вектора через любую поверхность вычисляется с помощью определенного интеграла от (2.1):

Заметим, что при интегрировании вектор нормали должен быть направлен в одну и ту же сторону относительно поверхности. В случае замкнутой поверхности следует выбирать вектор внешней нормали, т.е. вектор, направленный вовне из области, ограниченной поверхностью.

Приведем пример простой задачи, связанной с вычислением потока.

Пусть солнце расположено над горизонтом под углом 10. Во сколько раз поток солнечного излучения через вертикальную площадку больше потока через горизонтальную площадку? Для горизонтальной площадки угол между направлением солнечных лучей и нормалью к площадке составляет 80, а для вертикальной площадки 10. Следовательно, отношение потоков равно отношению косинусов углов k = cos(10o ) / cos(80o ) 5,7. Примерно во столько раз эффективнее при низком солнце загорать стоя.

Важным случаем потока является поток через замкнутую поверхность.

Формально формула для потока в случае замкнутой поверхности также вычисляется по формуле (2.2). Но чтобы подчеркнуть замкнутость поверхности для интеграла, используют другое обозначение:

А теперь сформулируем теорему Гаусса (Гаусса – Остроградского) для вектора напряженности электростатического поля E и покажем, как ее r использовать в простейших ситуациях. Согласно этой теореме поток вектора E через любую (мысленную) замкнутую поверхность пропорционален алгебраической сумме зарядов, находящихся внутри этой поверхности Заряды в сумме отмечены индексом «охв», напоминающим, что суммирование касается лишь зарядов, охваченных замкнутой поверхностью.

Если задано непрерывное распределение зарядов, вместо алгебраической суммы используется определенный интеграл от плотности распределения заряда.

Покажем применение этой теоремы вначале для точечного заряда.

Выберем в качестве замкнутой поверхности сферу, центр которой находится в месте расположения заряда. Отметим важный момент. Выбор замкнутой поверхности делается таким образом, чтобы облегчить вычисление потока.

Этому выбору помогает знание свойств симметрии электрических полей.

В случае точечного заряда известно, что вектор напряженности электрического поля направлен по радиусу и величина его на этой поверхности одинакова.

Поэтому поток напряженности электрического поля через поверхность такой сферы легко вычисляется следующим образом:

Приравнивая вычисленное значение потока величине q / 0 (в соответствии с теоремой), получим известную формулу для зависимости напряженности единичного заряда от расстояния:

Приведем еще один пример. Пусть требуется вычислить напряженность поля от бесконечного заряженного цилиндра радиусом R, в предположении, что заряд распределен на цилиндре при r = R равномерно с поверхностной плотностью. Геометрия подсказывает, что в качестве замкнутой поверхности следует выбрать также цилиндр с той же осью. Высота цилиндра роли не сыграет, так как и поверхность, и величина заряда пропорциональны высоте цилиндра. При вычислении потока учитываем, что вектор напряженности перпендикулярен оси цилиндра. Поэтому поток через торцевые поверхности оказывается равным нулю и полный поток легко вычисляется ( S боковая поверхность цилиндра):

В соответствии с теоремой Гаусса это значение следует приравнять величине заряда на боковой поверхности цилиндра, равное 2RH, и поделить на константу 0, если r R. При r R величину заряда следует положить раной нулю. В итоге получаем, что внутри цилиндра поле равно нулю, а вне цилиндра ( r R ) Дивергенция (расходимость) вектора A есть предел отношения потока через замкнутую поверхность, окружающую рассматриваемую точку, к объему, ограничиваемому этой поверхностью, когда она стягивается к точке.

Математически это определение записывается коротко:

С помощью этого определения находятся формулы для вычисления дивергенции в точке. Эти формулы зависят от используемой системы координат. В декартовой системе координат В формуле (2.6) отмечено еще одно обозначение для дивергенции вектора, принятое в векторном анализе. Это обозначение дается с помощью скалярного произведения оператора Гамильтона на вектор. Оператор Гамильтона определен соотношением В цилиндрических координатах r,, z дивергенция вычисляется по формуле В сферических координатах формуле где полярный угол, азимутальный угол.

Русским математиком Остроградским в 1828 году получена формула (опубликована в 1931 году), связывающая величину потока через замкнутую поверхность с объемным интегралом от дивергенции:

Формула Остроградского позволяет перейти от интегральных уравнений Максвелла к дифференциальным уравнениям.

Приведем пример формального вычисления дивергенции. Пусть компоненты вектора заданы формулами:

По правилам вычисления частных производных имеем Желательно на конкретных примерах понять смысл дивергенции. Помочь этому пониманию помогает его определение (2.5).

На рис. 8 изображены три варианта полей некоторых векторных величин.

В первом варианте поток вектора через замкнутую поверхность равен нулю.

Следовательно, будет равна нулю и дивергенция (расходимость). Во втором Рис. 8. Примеры полей с различными значениями дивергенции варианте величина потока положительна. Положительной будет и дивергенция.

В третьем варианте величина потока отрицательна. Отрицательной будет и величина дивергенции. Очевидно, что для однородных полей дивергенция тождественно равна нулю.

Вспомним пример применения теоремы Гаусса для точечного заряда.

Вычисленная величина напряженности Er 1/ r 2, поток через сферическую поверхность Ф E = const. Для вычисления дивергенции следует поток разделить на объем сферы и устремить радиус сферы к нулю. При этом мы увидим, что дивергенция вектора напряженности поля точечного заряда в месте расположения заряда равна бесконечности.

Понятие дивергенции широко используется в гидродинамике. Для несжимаемой жидкости дивергенция скорости жидкости равна нулю. В этом заложен простой физический смысл – количество втекающей жидкости в любой объем равно количеству вытекающей жидкости.

Ротор или вихрь векторного поля вычисляется по формуле Символ rot происходит от латинского слова rotatio (вращаю). В старых книгах встречается иногда символ curl (от английского слова, обозначающего локон, вихрь). Для облегчения запоминания компонент ротора следует учесть две особенности. Первая особенность координаты, по которым определяются производные от компонент вектора, берутся в циклическом порядке для компоненты по x y, z; для компоненты по y z, x; для компоненты по z x, y. Вторая особенность – компоненты вектора имеют родственные координаты в диагональных направлениях. Кроме того, компоненты ротора могут быть получены путем раскрытия определителя:

Векторное поле считается безвихревым, если в каждой точке поля все компоненты ротора равны нулю. Особенности безвихревых полей мы обсудим позднее. Чтобы дать физическое толкование вихрю скорости, представим, что в потоке жидкости помещается вертушка, взаимодействующая с потоком. Такая вертушка является индикатором завихренности потока. В потоке с однородной скоростью эта вертушка не вращается. В однородном поле и все компоненты ротора скорости равны нулю. В неоднородном потоке скорость вращения этой вертушки будет пропорциональна ротору скорости.

На рис. 9 показаны возможные варианты потока жидкости или газа и соответствующие направления вращения вертушки.

Рис. 9. Примеры векторных полей с различным знаком ротора Важным понятием, имеющим отношение к вихрю или ротору вектора, является интеграл вдоль некоторой линии L (рис. 10) интеграл (2.13) имеет физический смысл точки 1 к точке 2. В случае замкнутой линии (рис. 11) соответствующий интеграл называется циркуляцией вектора по замкнутому контуру и обозРис. 10. Интеграл по линии начается следующим образом:

Следует обратить внимание на формальную схожесть этого интеграла с интегралом для потока вектора F dS и понять, что это различные вдоль замкнутой линии L, а поток – это интеграл по замкнутой поверхности S.

циркуляции ротора вектора скорости V, вращению». Такой вектор проще всего описать в полярных координатах и в этих координатах задать одну компоненту скорости V = r ( угловая скорость, В качестве замкнутой линии выберем круг радиуса r с центром, совпадающим с осью вращения. В этом случае интеграл от скалярного произведения Циркуляцию и ротор скорости связывает теорема Стокса. Стокс (английский физик и математик) вывел эту формулу в 1854 году.


Математически его теорема записывается в виде Словесная формулировка теоремы Стокса звучит так – циркуляция вектора F, характеризующего какое-либо поле, вдоль произвольного r замкнутого контура L в этом поле равна потоку вектора rotF через поверхность S, натянутую на контур L. С помощью теоремы Стокса осуществляется переход от интегральных формулировок уравнений Максвелла к дифференциальным уравнениям.

Из теоремы Стокса вытекает еще одно определение ротора скорости:

Покажем пример применения этой формулы для вычисления ротора «твердотельного вращения» на оси вращения. По формуле (2.15) циркуляция твердотельного вращения по кругу радиусом r равна 2r 2. Поделив это значение на площадь круга r 2, получим, что rotF = 2, даже не прибегая в этом случае к предельному переходу S 0.

Вернемся к случаю, когда ротор вектора в каждой точке пространства равен нулю. Такие поля называются безвихревыми. В теории поля строго доказывается, что векторное поле является безвихревым тогда и только тогда, когда соответствующий вектор является градиентом некоторой скалярной функции Ф(r ) Функцию Ф(r ) часто называют скалярным потенциалом безвихревого векторного поля. Для безвихревого поля криволинейный интеграл (2.13) просто выражается через скалярный потенциал:

Это очень важное утверждение. Оно означает, что интеграл вдоль любой кривой, соединяющей две точки, не зависит от пути, а зависит только от начальной и конечной точек. На языке работы это означает, что работа силы на пути от точки 1 к точке 2 одинакова для всех траекторий, соединяющих эти точки. Примеры полей с обсуждаемыми свойствами известны со школы. Это поле гравитации и электростатическое поле электрических зарядов.

Из формулы (2.19) вытекает еще одно важное следствие – циркуляция безвихревого поля по любому замкнутому контуру равна нулю:

1. Чему равен поток вектора A( A = 4) через площадку dS = 0, 2 м2, если угол между вектором и нормалью к площадке равен 60°?

2. Чему равен поток постоянного вектора через замкнутую поверхность?

3. Получите закон Кулона для точечного заряда с помощью теоремы Гаусса – Остроградского.

4. Чему равна дивергенция от точечного заряда?

5. Чему равна дивергенция в однородном поле?

Чему равна дивергенция вектора в точке x = y = z = 2, если 7. Чему равен rotV, если вектор соответствует твердотельному вращению с циклической частотой = 1/(2)?

8. Приведите пример безвихревого поля.

9. Какова связь разности потенциалов в двух точках с криволинейным интегралом?

10. Чему равен интеграл по замкнутому контуру от вектора в потенциальном поле?

3. ЗАДАЧИ С ОБЫКНОВЕННЫМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ

УРАВНЕНИЯМИ

3.1. Простейшие дифференциальные уравнения и их решения Рассмотрим простейшие дифференциальные уравнения на примере движения материальной точки. Согласно второму закону Ньютона скорость изменения импульса материальной точки равна вектору результирующей силы, действующей на эту точку:

В случае неизменной массы ( m = const ) это уравнение может быть записано в виде С точки зрения математики формула (3.2) – это система трех обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка для трех компонент скорости v (vx, v y, vz ) :

Для выделения единственного решения этой системы требуется задание начальных значений всех компонент скорости. Будем считать, что где vx 0, v y 0, vz 0 заданные числа.

Нахождение решений дифференциальных уравнений называют дифференциальной r задачи зависит от вида результирующей силы. В простейшем случае F = const. Заметим, что это типичная ситуация для задач школьного уровня. Более сложный случай соответствует заданной зависимости вектора от времени и координаты F (t, r ). Кроме того, сила может зависеть и от скорости F (t, r, v ). Если зависимость F (t, r, v ) нелинейная, нелинейной становится и соответствующая задача. Нелинейные задачи, как правило, сложнее линейных.

Решив задачу (3.3)–(3.4), мы получим три функции для трех компонент скорости vx (t ), v y (t ), vz (t ). Если нас интересует и траектория движения, следует проинтегрировать еще три уравнения первого порядка:

Для выделения единственного решения этих уравнений требуется задать начальные значения координат:

Таким образом, если требуется определить координаты материальной точки как функции времени, нам надо вначале решить (проинтегрировать) уравнения для компонент скорости, а затем решить задачу (5)–(6). Для определения координат часто формулируют задачу в виде трех дифференциальных уравнений второго порядка:

с начальными условиями для скорости (3.4) и координат (3.6).

Заметим, что если компоненты силы зависят только от соответствующей координаты и компоненты скорости, три задачи становятся независимыми. Это не редкая ситуация, и ниже мы так и будем считать.

Коснемся вопроса обозначений. В физике часто производные по времени обозначают точками, то есть полагают, что Приведем примеры простейших решений уравнений движения вначале для одномерного движения вдоль координаты по x.

Пример 1. Пусть Fx = const = c1, vx (0) = vx 0. В этом случае требуется найти скорость из дифференциального уравнения Общее решение этого уравнения есть линейная функция времени (равноускоренное движение при c1 0, равнозамедленное при c1 0, равномерное при c1 = 0) Легко убедиться в правильности этого общего решения путем подстановки этого решения в уравнение (3.8) и получения тождественного равенства. Постоянная в общем решении (3.9) находится из начального условия. С учетом начального условия получаем конкретное решение Подчеркнем, что мы нашли бесчисленное множество решений, соответствующих произвольным значениям m, c1, vx 0.

Для нахождения зависимости координаты от времени надо решить дифференциальное уравнение Общее решение этого уравнения имеет вид Как и ранее, убедиться в правильности этого решения можно подстановкой его в уравнение (3.11). Постоянная в общем решении уравнения (3.11) определяется из начального значения координаты x(0) = x0. В результате учета начального значения координаты получаем конкретное решение поставленной задачи:

Поставленная задача решена в общем виде для произвольных значений начальных условий x0, vx 0 и параметров уравнения c1, m.

Пример 2. Рассмотрим задачу о полете снаряда в однородном поле тяжести в предположении отсутствия трения о воздух. Кроме того, предполагаем, что вектор начальной скорости имеет только две компоненты, не равные нулю. При таких предположениях требуется решить два уравнения:

Ось y направлена вертикально вверх, и потому сила тяжести берется со знаком минус. В уравнении для горизонтальной координаты нет никаких сил в соответствии с предположением об отсутствии силы сопротивления. Следует сразу заметить, что в обоих уравнениях можно избавиться от массы. Это означает, что решение будет одинаковым для тел с любой массой. Решение первой задачи подсказывает нам, что компоненты скорости снаряда будут таковы:

Таким образом, движение по горизонтальной оси равномерное, а по вертикали равнозамедленное. Второе интегрирование дает зависимость координат от времени:

Обратим внимание на то, что решения удовлетворяют всем начальным условиям (по скоростям и координатам). Если в условии задачи заданы величина полной скорости V и угол наклона начальной скорости к горизонту, то следует определить начальные компоненты скорости по формулам:

Зависимость координат снаряда от времени позволяет нарисовать траекторию снаряда. Можно получить траекторию снаряда в виде зависимости y ( x), исключив из уравнений время. Для этого из первого уравнения выражаем время t = ( x x0 ) / vx 0 и подставляем его во второе уравнение. В результате получаем уравнение параболы Вновь обратим внимание на то, что получено решение, годное для произвольных значений начальных координат и компонент скорости. Но следует помнить, что это решение справедливо лишь до встречи с преградой.

Найденное решение необходимо уметь анализировать. Очень часто в задачах требуется определить высоту полета H и дальность полета L. Если угол начальной скорости положителен (решение годится и для отрицательных значений), то из уравнения для вертикальной компоненты скорости находим момент обращения ее в ноль. Этот момент времени соответствует достижению снарядом высшей точки траектории: t1 = v y 0 / g.

Подставив это значение во второе уравнение (3.16), найдем высоту полета снаряда Дальность полета снаряда зависит не только от начальных данных, но и от уравнения земной поверхности. Но часто предполагается, что поверхность ровная и x0 = y0 = 0. В этом частном случае имеем Из этой формулы легко выясняется следующий важный факт – максимальная дальность полета (при упомянутых предположениях) соответствует углу = 45o, так как при этом sin(2) = sin(90o ) = 1.

Пример 3. Уравнение движения легко интегрируется, если сила выражается в виде полинома (многочлена) от времени. Рассмотрим одномерный вариант с одним слагаемым в виде F = at k ( k целое число).

В этом случае уравнение движения имеет вид Оно легко интегрируется и дает зависимость скорости от времени:

Еще одно интегрирование дает зависимость координаты от времени:

Мы рассмотрели простейшие (но очень важные) варианты уравнений движения, в которых сила была постоянной или зависела от времени простейшим образом. В следующих параграфах мы рассмотрим примеры уравнений движения, в которых сила зависит от координат и скорости.

3.2. Движение центра масс системы материальных точек Покажем, как математика позволяет упростить уравнения движения системы материальных точек в том случае, когда интересуются лишь положением ее центра масс. Радиус-вектор центра масс системы материальных точек определяется по формуле При непрерывном распределении массы с заданной объемной плотностью (r ) радиус-вектор центра масс определяется с помощью определенного интеграла по объему тела V:

Если начало координат выбрано в центре масс, то в этом случае из определения центра масс (3.21) следует, что где ri радиусы-векторы, проведенные к материальным точкам из центра масс.

Таким образом, центр масс – это геометрическая точка, для которой сумма произведений масс на их радиусы-векторы, проведенные из этой точки, равна нулю.

Запишем второй закон Ньютона для всех материальных точек рассматриваемой системы:

При записи этой системы произведена сортировка сил. Внешние силы обозначены заглавными буквами Fi, а силы внутреннего взаимодействия между частицами – малыми f i,k. Если интересоваться движением всех частиц, то возникнет необходимость решать все выписанные уравнения.

Сейчас покажем, что для расчета движения центра масс потребуется решать лишь одно векторное уравнение. Для этого сложим все уравнения системы (3.24):

Как видно, в результирующий вектор сил F входит лишь сумма внешних сил. Сумма всех внутренних сил оказывается равной нулю в силу третьего закона Ньютона: f i,k = f k,i. Записывая левую часть уравнения (3.25) с учетом определения центра масс, получаем искомое уравнение Отсюда следует, что при отсутствии внешних сил или при равенстве нулю результирующей внешних сил скорость центра масс постоянна:

vc = const.

Различного рода колебания широко представлены в нашем мире.

Достаточно вспомнить, что без звуковых колебаний мы остались бы глухими, а без электромагнитных – слепыми. Широко распространены колебания и в механике. Неслучайно поэтому физики, механики и математики с давних пор уделяли изучению колебаний много внимания. Книг по теории колебаний множество. До сих пор пользуется популярностью книга академика Л.И. Мандельштама [8], который является одним из создателей нелинейной теории колебаний.

Рассмотрим дифференциальные уравнения, описывающие колебания в системах с одной степенью свободы. В соответствующих дифференциальных уравнениях будем полагать, что сила зависит только от координат. Одной из простейших механических систем, дающих колебания, является пружинный Рис. 12. Пружинный маятник точке равновесия (такой выбор позволяет не учитывать растяжение, обязанное силе тяжести). Знак минус в правой части уравнения отмечает тот факт, что упругая сила всегда направлена на возвращение системы к равновесию.

Коэффициент k называют коэффициентом жесткости пружины. Независимость этого коэффициента от величины деформации характерна для малых отклонений от равновесия.

Уравнение (3.27) обычно записывают в виде Общее решение этого уравнения может быть записано в двух эквивалентных формах Вычислите вторую производную от (3.29), подставьте ее в (3.28) и убедитесь, что (3.29) есть действительно решение уравнения (3.27) при любых начальных условиях. Между параметрами первой и второй форм существует взаимно однозначное соответствие Вторая форма записи удобна тем, что в ней сразу видна амплитуда колебаний. Так как аргумент во второй форме определяет фазу колебания, величину 0 называют начальной фазой. Первая форма удобнее для удовлетворения начальных условий.

Таким образом, мы знаем бесчисленное множество решений дифференциального уравнения, описывающего гармонические колебания.

Конкретное решение определяется начальными условиями для координаты и скорости где x0, x0 заданные значения соответственно координаты и скорости в начальный момент времени.

Согласно первой форме решения в начальный момент времени должно быть выполнено соотношение Взяв производную от функции x(t ) и положив t = 0, получим второе соотношение С учетом (3.32), (3.33) конкретное решение может быть записано в виде Видно, что, если в начальный момент времени скорость равна нулю, в решении останется только первое слагаемое. И наоборот, если отклонение в начальный момент времени равно нулю, в уравнении останется только второе слагаемое. В общем же случае присутствуют оба слагаемых и в соответствии с формулой (3.30) амплитуда колебаний A = x0 + ( x0 / 0 ) 2.

Для полного понимания свойств полученного решения полезно вычислить потенциальную и кинетическую энергию колеблющегося тела:

и убедиться в том, что сумма потенциальной и кинетической энергии от времени не зависит:

Опыт говорит о том, что любые колебания без подпитки энергии затухают. Сохранение энергии при колебаниях говорит о том, что в использованной модели не учтены диссипативные процессы. Ближе к реальной ситуации модель с учетом силы вязкого сопротивления пропорциональной скорости. Учет этой силы приводит к необходимости решать следующее дифференциальное уравнение:

где b коэффициент сопротивления ( b 0).

Поделив все слагаемые на массу, запишем это уравнение в «стандартном»

виде:

Коэффициент называют коэффициентом затухания. С точки зрения математики (3.38) дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Со времен Эйлера на первом этапе нахождения решения таких уравнений отыскивают корни так называемого характеристического уравнения. Характеристическое уравнение получается при подстановке в дифференциальное уравнение замены x = exp(t ). В нашем случае эта замена дает (после сокращения на exp(t )) квадратное уравнения для :

Корни квадратного уравнения таковы:

Видно, что корни характеристического уравнения различны. Из теории известно, что в этом случае решение дифференциального уравнения надо разыскивать в виде линейной комбинации двух решений Так мы и поступим. Но вначале нужно разобраться какие корни уравнения являются вещественными, а какие комплексными. Допустим вначале, что корни вещественные. Тогда должно выполняться неравенство Это неравенство предполагает, что коэффициент трения велик. Из формул (3.36) следует, что при выполнении (3.42) оба корня 1, отрицательны и, следовательно, согласно (3.41) решение является экспоненциально затухающим. Этот случай соответствует так называемым ангармоническим колебаниям.

Наиболее интересен случай обратного неравенства Это неравенство предполагает, что коэффициент трения мал. При выполнении этого неравенства возможна замена:

с помощью введения мнимой единицы i = 1. Таким образом, при малой величине трения корни характеристического уравнения комплексные:

Решение (3.41) для этих корней может быть записано в виде А теперь можно воспользоваться знаменитой формулой Эйлера, связывающей экспоненциальную зависимость с тригонометрическими функциями:

Но можно обойтись и без формулы Эйлера, заметив, что в (3.45) выделена экспоненциальная зависимость от времени. Это обстоятельство подсказывает искать решение в виде произведения двух функций:

Подстановка (3.46) в дифференциальное уравнение (3.38) дает знакомое нам дифференциальное уравнение для функции w:

Сравнение этого уравнения с уравнением для незатухающих колебаний (3.28) позволяет утверждать, что функция w(t ) будет иметь решение вида (3.29). Следовательно, можно положить, что Окончательное решение в соответствии с (3.46) может быть записано в виде Из этого решения видны два отличия по сравнению со случаем без учета трения. Первое отличие заключается в том, что амплитуда колебаний уменьшается со временем по экспоненте. Второе отличие заключается в том, что колебания происходят с уменьшенной циклической частотой = 0 2.

Оба эти отличия понятны с физической точки зрения – вязкое трение всегда уменьшает энергию системы и уменьшает скорость движения. Но точные зависимости этих эффектов получены математикой.

Обсудим характеристики затухания. Время, за которое начальная амплитуда уменьшается в e раз ( e основание натуральных логарифмов) называется временем релаксации. Время релаксации = 1/.

За время релаксации совершится число колебаний Если представить собственную частоту в виде 0 = p (напомним, что p в рассматриваемом случае больше единицы), формула (3.50) может быть записана в виде n = p 2 1 /(2). Например, при p =100, n 16.

Характеристиками затухания являются также логарифмический коэффициент затухания и добротность колебательной системы Из определения добротности следует, что это есть произведение 2 на отношение энергии в произвольный момент времени к убыли этой энергии за промежуток времени от t до (t + T ). Так как энергия пропорциональна амплитуде колебаний A(t ), для добротности может быть получена формула При малых значениях логарифмического коэффициента затухания ( 1) знаменатель в формуле (3.53) 2 (см. раздел 1.5) и добротность может быть оценена как Q / = n.

Опишем вначале простейший вариант вращательного движения абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси, называемой осью вращения.

Все точки такого тела (за исключением точек, лежащих на оси) движутся по окружности, центр которой лежит на оси вращения. Сама окружность расположена в плоскости, перпендикулярной оси вращения.

Тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, имеет одну степень свободы. Это означает, что положение такого тела полностью определяется значением угла поворота вокруг оси вращения, отсчитываемого от условно выбранного начала отсчета угла. За один и тот же интервал времени dt различные точки тела при вращении проходят различные расстояния. Поэтому для описания вращательного движения не рационально пользоваться такими понятиями кинематики материальной точки, как перемещение, скорость, ускорение. Для описания вращательного движения используют вектор элементарного поворота d. По модулю этот вектор равен углу поворота тела вокруг оси за интервал времени dt, а направлен он вдоль оси вращения.

В правой системе координат его однозначное направление вдоль оси вращения определяется по правилу правого винта (из конца вектора d поворот тела происходит против часовой стрелки).

Кинематической характеристикой вращения является угловая скорость Вращение называется равномерным, если угловая скорость постоянна:

= const. В этом случае общим решением уравнения (3.54) является линейная зависимость угла поворота от времени:

При вращении линейная скорость произвольной точки тела А (рис. 13) Рис. 13. Вращение тела вокруг Время одного полного оборота Период вращения обратно пропорционален частоте вращения n:

Угловое ускорение определяется как производная от угловой скорости:

Зная угловую скорость и угловое произвольной точки N вращающегося тела (рис. 14):

С учетом (3.56) второе слагаемое в (3.59) может быть представлено иначе:

a, а второе нормальным ускорением an, Из определения этих ускорений следует, что тангенциальное ускорение направлено по касательной, а нормальное перпендикулярно ему. При равномерном вращении касательное ускорение равно нулю.

Пока описана лишь кинематика вращательного движения. Для описания динамики вращательного движения необходимо ввести еще два понятия момента силы и момента импульса.

Моментом силы относительно какой-либо точки О называют векторную величину Величину l называют плечом силы.

Момент импульса материальной точки относительно фиксированной точки О вычисляется с помощью векторного произведения:

Соответственно, моментом импульса механической системы, состоящей из n материальных точек, является сумма Продифференцировав это выражение по времени, получим При вычислении производной от момента импульса учтено, что векторное произведение скорости на импульс равно нулю в силу параллельности соответствующих векторов. Для получения связи момента импульса с моментом силы следует воспользоваться вторым законом Ньютона, дающим связь производной от импульса по времени с силой:

Фактически уравнение динамики вращательного движения уже получено.

Оно утверждает, что производная от момента импульса системы определяется суммарным моментом сил Однако следует помнить, что это уравнение получено пока для системы частиц, а не для абсолютно твердого тела. Для абсолютно твердого тела компоненты момента импульса выражаются с помощью соответствующих произведений моментов инерции относительно трех осей на угловые скорости:



Pages:   || 2 |


Похожие работы:

«Федеральное агентство связи Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Поволжская государственная академия телекоммуникаций и информатики Отчет рассмотрен и одобрен ученым советом ПГАТИ 27.12.2007 протокол № 7 Ректор проф. В.А. Андреев 10 января 2007 г. ОТЧЕТ по результатам самообследования, проведенного в 2006/2007 учебном году Самара, 2007 г. СОДЕРЖАНИЕ Введение.. 1. Организационно - правовое обеспечение образовательной деятельности 2. Система управления...»

«КНИГИ – 2013 Предлагаем вашему вниманию презентацию – обзор новых книг. Презентация содержит информацию об всех изданиях, поступивших в библиотеку в дар и по заявкам кафедр в 2013 году. Материал расположен в систематическом порядке. Данные о книгах содержат: уменьшенную фотографию издания, полное библиографическое описание и аннотацию. Сведения о количестве и месте хранения издания вы можете получить, обратившись к электронному каталогу библиотеки. Шимукович, Петр Николаевич. ТРИЗ-противоречия...»

«Математическая биология и биоинформатика. 2014. Т. 9. № 1. С. 273–285. URL: http://www.matbio.org/2014/Fedoseeva_9_273.pdf. =========================== БИОИНФОРМАТИКА ========================= УДК 576.316: 577.113+577.315.42 Теоретическая оценка нуклеосомной плотности на генных последовательностях различных ортологов при эухроматической и гетерохроматической локализации ©2014 Федосеева В.Б. Институт молекулярной генетики, Российская академия наук, Москва, Площадь И.В. Курчатова 2, 123182,...»

«WWW.MEDLINE.RU ТОМ 7, ХИРУРГИЯ, НОЯБРЬ 2006 ДИАГНОСТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ КОМПЬЮТЕРНОЙ ТОМОГРАФИИ В ОЦЕНКЕ РЕГИОНАРНОГО МАТАСТАЗИРОВАНИЯ НЕМЕЛКОКЛЕТОЧНОГО РАКА ЛЕГКОГО, ОСЛОЖНЕННОГО ВТОРИЧНЫМ ИНФЕКЦИОННЫМ ПРОЦЕССОМ Яблонский П.К, Павлушков Е.В. Кафедра госпитальной хирургии, Медицинский факультет, Санкт-Петербургский государственный университет Городская многопрофильная больница №2, Санкт-Петербург Введение Определение степени распространенности опухолевого процесса является ключевым моментом в...»

«МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ в г. ТАГАНРОГЕ В.В. БОГДАНОВ И.В. ЛЫСАК ИСТОРИЯ И ФИЛОСОФИЯ НАУКИ ФИЛОСОФСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ИНФОРМАТИКИ ИСТОРИЯ ИНФОРМАТИКИ Учебно-методический комплекс по дисциплине Таганрог 2012 1 ББК 87я73 Богданов В.В., Лысак И.В. История и философия науки. Философские проблемы информатики. История информатики: Учебно-методический...»

«РОССИЙСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МЕДИЦИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н. И. ПИРОГОВА НАУЧНАЯ БИБЛИОТЕКА БЮЛЛЕТЕНЬ НОВЫХ ПОСТУПЛЕНИЙ Выпуск третий Москва, 2013 СОДЕРЖАНИЕ ПРАВО СОЦИОЛОГИЯ СОЦИАЛЬНАЯ РАБОТА ФИЛОСОФИЯ БИОЭТИКА ИСТОРИЯ МЕДИЦИНЫ ИНОСТРАННЫЙ ЯЗЫК ИНФОРМАТИКА ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ФИЗИКА БИОФИЗИКА ХИМИЯ БИОХИМИЯ БИОТЕХНОЛОГИЯ НАНОБИОТЕХНОЛОГИИ РАДИОБИОЛОГИЯ БИОЛОГИЯ БИОМЕДИЦИНА ГИСТОЛОГИЯ, ЭМБРИОЛОГИЯ И ЦИТОЛОГИЯ АНАТОМИЯ ФИЗИОЛОГИЯ ФАРМАКОЛОГИЯ МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФАРМАКОЛОГИЯ КЛИНИЧЕСКАЯ...»

«Правительство Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики Факультет бизнес-информатики Программа дисциплины Алгебра для направления 231000.62 Программная инженерия подготовки бакалавра Авторы программы: А.П. Иванов, к.ф.-м.н., ординарный профессор, IvanovAP@hse.perm.ru А.В. Морозова, ст. преподаватель, MorozovaAV@hse.perm.ru Одобрена на заседании...»

«Система уроков по теме Табличный процессор как средство развития алгоритмического стиля мышления школьников информационно-технологических классов профильной школы Ревера Ольга Михайловна, учитель информатики, МОУ СОШ №33 г.Северодвинска Список ИПМ ИПМ-1. Теоретическое обоснование опыта ИПМ-2. Система работы: алгоритмический компонент в изучении темы Табличный процессор ИПМ-3. Линейная алгоритмическая структура в среде табличного процессора ИПМ-4. Алгоритмическая структура Цикл в среде...»

«Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования Гродненский государственный университет имени Янки Купалы ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ И ПРОГРАММНЫЕ СРЕДСТВА: ПРОЕКТИРОВАНИЕ, РАЗРАБОТКА И ПРИМЕНЕНИЕ Сборник научных статей Гродно 2011 УДК 004 005.951(082) ББК 32.81я43 И38 Редакционнаяколлегия: кандидат физико-математических наук, доцент Л.В. Рудикова (отв. редактор); кандидат технических наук, доцент Е. Н. Ливак; Рецензенты доктор технических наук, профессор, зав. каф.технологий...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (ФГБОУ ВПО ВГТУ, ВГТУ) УТВЕРЖДАЮ Ректор ВГТУ _ В.Р. Петренко _ _ 20г.. Основная образовательная программа высшего профессионального образования Направление подготовки 220400 Управление в технических системах код, наименование направления подготовки (специальности) Квалификация выпускника: бакалавр бакалавр, магистр, специалист Профиль:...»

«ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ НАЗЕМНО-КОСМИЧЕСКОГО МОНИТОРИНГА СЛОЖНЫХ ОБЪЕКТОВ: СОСТОЯНИЕ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ О. В. Майданович Военно-космическая академия им. А.Ф. Можайского, С.-Петербург E-mail: sid.sn@yandex.ru М. Ю. Охтилев ЗАО СКБ ОРИОН, С.-Петербург E-mail: oxt@mail.ru В. А. Зеленцов, Б. В. Соколов, Р. М. Юсупов Санкт-Петербургский институт информатики и автоматизации РАН E-mail: sokol@iias.spb.su Ключевые слова: наземно-космический мониторинг, интеллектуальная...»

«взаимодействующие поеледрвателш процессы Prentice-Hall InfernaHoB^il Series in Compuler Science Coitimtihicating Sequential Processes C. A. R. Hoare Professor of Computation Oxford University Prentice-Hall Englewood Cliffs, New Jersey London Mexico New Delhi Rio de Janeiro Singapore Sydney Tokyo Toronto Wellington Ч-Хоар Взаимодействующие последовательные процессы Перевод с английского А. А. Бульонковой под редакцией А. П. Ершова Москва Мир 1989 Б Б К 22.18 Х68 УДК 681.3 Хоар Ч. 'Х68...»

«ОПИСАНИЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ ПРИКЛАДНАЯ ИНФОРМАТИКА (В ЭКОНОМИКЕ) 1. Общие положения. 1.1. Основная профессиональная образовательная программа (ОПОП) бакалавриата, реализуемая в АОНО ВО Институт менеджмента, маркетинга и финансов, по направлению подготовки 230700 Прикладная информатика по профилю Прикладная информатика в экономике. Основная профессиональная образовательная программа представляет собой систему документов, разработанную и утвержденную вузом на основе Федерального...»

«ПЕРМСКИЙ ФИЛИАЛ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО АВТОНОМНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ ФАКУЛЬТЕТ БИЗНЕС-ИНФОРМАТИКИ УТВЕРЖДЕНО на заседании Ученого совета НИУ ВШЭ - Пермь Председатель Ученого совета Г.Е. Володина 15 марта 2011 г. протокол № ОТЧЕТ по результатам самообследования направления 080700.62 Бизнес-информатика факультета бизнес - информатики Пермского филиала Федерального...»

«Карта обеспеченности образовательного процесса учебной и учебно-методической литературой, методическими разработками, программно-информационными источниками по специальности/направлению подготовки Педагогическое образование, профили Математика, Информатика 050100.62 шифр наименование ООП Cправочно: Cправочно: максимальная максимальная степень степень давности давности обязательной обязательной литературы по циклам литературы по циклу ЕН, Проф. ГСЭ 2008 (по циклам и номерам работ), форм итоговой...»

«КОНТРОЛЛИНГ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО Тамбовский государственный технический университет КОНТРОЛЛИНГ Методические разработки для студентов 3 курса специальности 080801 Прикладная информатика в экономике Тамбов Издательство ТГТУ 2009 УДК 338.2 ББК У052.201.2я73-5 М336 Рецензент Доктор экономических наук, профессор Л.В. Пархоменко Составители: В.Г. Матвейкин, Б.С. Дмитриевский, А.С. Кулябин М336 Контроллинг : методические разработки / сост. :...»

«Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тюменской области ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ МИРОВОЙ ЭКОНОМИКИ, УПРАВЛЕНИЯ И ПРАВА Кафедра экономики и мирохозяйственных связей УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе _ Кольцова Т.А. _ 2007 г. О. Н. Лоскутова СТРАХОВАНИЕ (ОСНОВЫ СТРАХОВОГО ДЕЛА) Учебно-методический комплекс для студентов специальностей: 080102 – Мировая экономика, 080103 – Национальная экономика, 080801 – Прикладная информатика в экономике,...»

«В.Н. Ерёмин МАРКЕТИНГ: ОСНОВЫ И МАРКЕТИНГ ИНФОРМАЦИИ Рекомендовано Учебно-методическим объединением по образованию в области прикладной информатики в качестве учебника для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности 351400 Прикладная информатика (по областям) и другим междисциплинарным специальностям МОСКВА 2006 УДК 339.1(075.8) ББК 65.290-2я73 Е70 Рецензенты: кафедра менеджмента и маркетинга Ивановского государственного энергетического университета (зав. кафедрой Ю.Ф....»

«У Д К.НМ)76) 1.1.к 50.9 PS4 Авторский коллектив: Н.П.Лндошии, Э.А.Асламазов, В.Г.Горгонов, В.Д.Грунд, Б.С.Гусев, А.П.ДанилKoii, М.Д.Джавад-Заде, А.Ф.Даренков, С.П.Даренков, Н.К.Дзеранов, Н.С.Игнашии, [Д.В.Кан, Б.М.Крендель, В.С.Карпенко, Н.А.Лопаткин, О.Б.Лоран, А.В.Люлько, Е.Б.Мазо, А.Г.Мартов, Б.П.Матвеев, Т.П.Мочалова, В.А.Мохорт, Л.Г.Пугачев, Ю.А.Пытель, В.Е.Родоман, В.Б.Румянцев, Н.Е.Савченко, Н.Ф.Сергиснко, В.Н.Степанов, М.Ф.Трапезникова, М.В.Чудновская, И.П.Шевцов Э.К.Яненко....»

«Н. В. Максимов, Т. Л. Партыка, И. И. Попов АРХИТЕКТУРА ЭВМ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов учреждений среднего профессионального образования, обучающихся по группе специальностей 2200 Информатика и вычислительная техника Москва ФОРУМ - ИНФРА-М 2005 УДК 004.2(075.32) ББК 32.973-02я723 М17 Рецензенты: к т. н, доцент кафедры Проектирование АИС РЭА им. Г. В. Плеханова Ю. Г Бачинин, доктор экономических наук,...»






 
© 2014 www.kniga.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Книги, пособия, учебники, издания, публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.