WWW.KNIGA.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Книги, пособия, учебники, издания, публикации

 

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 13 |

«Математическое моделирование и компьютерная математика. Иерусалим, 2009 1 Содержание Введение 7 Часть 1. Теория познания и моделирование Глава 1. Исторический взгляд на ...»

-- [ Страница 6 ] --

В заключение этой главы отметим, что рассмотрение прематематики с точки зрения теории моделирования вряд ли обоснованно, ибо в этом случае, в силу низкого уровня абстракции, свойственного прематематике, такое рассмотрение будет просто жонглированием посторонними терминами без получения дополнительной содержательной информации.

Математическое знание казалось определенным и точным – таким знанием, которое можно применить к реальному миру; более того, казалось, что это знание получили из чистого мышления, не прибегая к наблюдению. Поэтому стали думать, что оно дает нам идеал знания, по сравнению с которым будничное эмпирическое знание несостоятельно. На основе математики было сделано предположение, что мысль выше чувства, интуиция выше наблюдения. Если же чувственный мир не укладывается в математические рамки, то тем хуже для этого чувственного мира. И вот всевозможными способами начали отыскивать методы исследования, наиболее близкие к математическому идеалу. … Эта форма философии начинается с Пифагора.

Восхитительная определенность, которую я всегда хотел найти в математике, затерялась в путанице понятий и выводов… Это оказался поистине запутанный лабиринт, выхода из которого не было видно.

Глава 5. Греческая математика.

Математик, подобно художнику или поэту, создает образы. Если его «образы» долговечнее их образов, то А факт состоит в том, что существует мало предметов, более «популярных», чем математика.

Большинство людей способны получать удовольствие от математики так же, как большинство людей обладают способностью наслаждаться приятной мелодией. И наверно, большинство людей интересуются 5.1. Логистика и греческая математика.

Греки пришли в Грецию тремя волнами: сперва ионийцы, за ними ахейцы, и последними дорийцы. Каждая новая волна греков уничтожала уже прежде существовавшую цивилизацию. Последняя, дорийская, цивилизация характерна тем, что некоторые ее представители оседали и становились земледельцами, тогда как другие устремлялись дальше, сперва на острова и в Малую Азию, а затем на Сицилию и в южную Италию, где они основывали города, жившие морской торговлей. Именно в этих приморских городах греки впервые сделали качественно новый вклад в цивилизацию.

Торговля, пиратство и промышленность обогащали греческие города.

Одним из важнейших результатов греческой торговли было то, что греки выучились письму на основе финикийского алфавита, который они изменили так, чтобы новый алфавит мог обслуживать их язык. При этом они сделали важное нововведение, добавив гласные, тогда как финикийский алфавит состоял из знаков, обозначающих одни согласные.





Потребности экономической жизни, особенно торговли, привели к возникновению прематематики, которая здесь называлась логистикой. Логистика была собранием методик решения практических задач, которые напоминали египетские или вавилонские методики. Сегодня трудно утверждать о степени влияния более древних цивилизаций на развитие греческой логистики.

В VI – V веках до н.э. на территории древней Греции произошла подлинная интеллектуальная революция, которую часто называют «греческим чудом».

«Во всей истории нет ничего более удивительного и ничего более трудного для объяснения, чем внезапное возникновение цивилизации в Греции. Многое из того, что создает цивилизацию, уже существовало в течение тысячелетий в Египте и Месопотамии и распространилось оттуда в соседние страны. Но некоторых элементов недоставало, пока они не были восполнены греками.

Чего они достигли в искусстве и литературе, известно каждому, но то, что они сделали в чисто интеллектуальной области, является даже еще более исключительным. Они изобрели математику, науку и философию; на место простых летописей они впервые поставили историю; они свободно рассуждали о природе мира и целях жизни, не обремененные путами какого-либо традиционного ортодоксального учения. Происшедшее было настолько удивительным, что люди до самого последнего времени довольствовались изумлением и мистическими разговорами о греческом гении» (Б. Рассел, 71, с. 21).

Одним из основных результатов этой революции, который оказал существенное влияние на жизнь всего человечества, особенно в последние несколько столетий, явилось изобретение математики. Математика появилась в экономически и социально развитой Греции, где существовала греческая прематематика, известная под именем «логистика».

Она служила инструментом для решения практических задач, без которых была бы невозможна экономическая жизнь. Уже в силу этого можно заключить, что математика отличается от прематематики. Настоящая глава в своей значительной части и посвящена выявлению и описанию принципиальных отличий греческой математики от прематематики.

С рождением математики связано по крайней мере два принципиальных вопроса.

Первый вопрос заключается в поисках причин рождения математики именно в Греции.

Трудно найти рациональное объяснение этому событию. Те объяснения и причины, которые встречаются сегодня в различных книгах по истории математики, вряд ли выдерживают содержательную критику. Мы не будем ниже обсуждать этот вопрос, ибо это обсуждение далеко выходит за рамки нашей книги.

Второй вопрос состоит в поиске корней математики. В частности, можно ли утверждать, что корни математики лежат прежде всего в прематематике, например, в египетской и вавилонской прематематиках. Ниже мы покажем, что математика никоим образом не могла вытекать из прематематики. Для обоснования этого утверждения мы рассмотрим и сравним подробно объекты исследования математики и прематематики, а также способы получения «истинных» утверждений в их рамках. Если выразить основное отличие между прематематикой и математикой в нескольких словах, то можно сказать, что любая математическая задача заключается в доказательстве некоего утверждения, в то время как основное требование в прематематической задаче — это найти число.





Здесь же мы отметим еще пару косвенных аргументов в пользу нашего утверждения.

Первый аргумент основывается на том, что ни в одной человеческой цивилизации, которые обладали собственной прематематикой, не возникло ничего даже отдаленно похожего на греческую математику. Ни в одном письменном источнике любой другой цивилизации нельзя найти требование доказательства (или чего-нибудь похожего на это требование). Трудно поверить, что египетская и вавилонская прематематики, которые уже были мертвы к этому времени, могли содействовать рождению математики, в то время как древнеиндийская или древнекитайская прематематика не могли сделать этого. Другой косвенный аргумент заключается в том, что в рамках греческой математики не была решена ни одна практическая задача, а все рассмотрения там носили чисто умозрительный характер.

«Таким образом, греки завещали потомкам две совершенно различные математические науки:

с одной стороны – дедуктивную, систематически развитую и излагаемую, хотя и не свободную от ошибок, геометрию, а с другой – эмпирическую арифметику и алгебру как ее обобщение.

Поскольку, согласно представлениям греческих мыслителей классического периода, математические результаты должны выводиться дедуктивно и базироваться на явно заданной аксиоматической основе, возникновение независимых арифметики и алгебры, не обладающих собственной логической структурой, привело к одной из величайших аномалий в истории математики» (М. Клайн, 39, сс. 129-130).

Мы уточним это высказывание: за почти тысячелетие своего живого развития греческая математика создала, по существу, три различных математических дисциплины:

геометрию, теорию чисел и диофантовую арифметику. (Ниже мы покажем, что греческая теория чисел принципиально отличается от диофантовой арифметики.) Первые две математические дисциплины появились на заре греческой математики, при ее рождении, а последняя – диофантовая арифметика — уже на закате греческой цивилизации.

К математическим дисциплинам греки также относили теорию музыки и астрономию.

Две последние дисциплины являются приложением упомянутых выше дисциплин: теория музыки – теории чисел, а астрономия – геометрии. Теория музыки, как математическая дисциплина, через несколько столетий после смерти Пифагора, ее основателя, практически закончила свое существование. Греческую астрономию (которая в то время скорее была астрологией) постигла более счастливая судьба. Греческий гений впервые в истории человечества создал теоретическую астрономию, а на ее основе выросла прагматическая астрономия, которая позволила применить теоретические предположения к проведению конкретных расчетов движения небесных тел. В основании каждой из типов астрономии лежала система Гиппарха – Птолемея, которая имела два аспекта: теоретический и прагматический. Эта система просуществовала почти полторы тысячи лет, до тех пор, пока Н. Коперник и И. Кеплер не создали новую — как теоретическую систему, а на ее базе и прагматическую астрономическую систему. Книга Птолемея «Альмагест», в которой излагалась его система, была книгой древнего мира, оказавшей выдающееся влияние на интеллектуальное развитие человечества. С ней может сравниться только «Начала» Евклида.

Трудно переоценить роль астрономических достижений греков в развитии человеческой цивилизации. Более древние и более поздние человеческие цивилизации также занимались наблюдениями за движением небесных тел и даже предсказывали лунные и солнечные затмения. Однако ни в одной из них не было создано ничего похожего на греческую теоретическую астрономию, а тем более — на греческую прагматическую астрономию, венцом которой явилось создание упомянутой выше системы Гиппарха – Птолемея.

Эту систему необходимо рассматривать с двух позиций: теоретической и прагматической. Другими словами, эта система состояла из двух связанных моделей:

теоретической модели и прагматической модели. Система Гиппарха – Птолемея является первым настоящим приложением математики, которое выходит за пределы интеллектуального искусства и интеллектуального спорта. Прагматическая модель давала описания движений небесных тел, хорошо согласующиеся с результатами астрономических наблюдений того времени. Для построения и использования этой модели как Гиппарх, так и Птолемей создали впервые в истории человечества математические таблицы.

В последующих параграфах настоящей главы мы сосредоточим наше внимание на рассмотрении методологических основ теории чисел, геометрии, диофантовой арифметики и греческой астрономии, с точек зрения теорий познания и моделирования.

Рассмотрение с точки зрения теории познания заключается в описании объектов исследования, в выделении «истинных» утверждений, а также в способе получения «истинных» утверждений. С другой стороны, на любое математическое исследование можно смотреть как на процесс моделирования.

Любопытный отыскивает редкости только затем, чтобы им удивляться; любознательный же – затем, чтобы узнать и перестать удивляться.

5.2. Греческая геометрия.

Согласно широко распространенной исторической легенде, первые математические положения впервые были доказаны Фалесом, и именно они легли в фундамент греческой геометрии. Собственно греческая геометрия была создана, в основном, к IV веку до н.э., когда появились «Начала» Евклида, где был построен фундамент геометрии. «Начала»

Евклида состоят из 13-ти книг. Книга I посвящена планиметрии; книга II – геометрической алгебре; книга III — учению о круге; книга IV—учению о многоугольниках; в книге V излагается теория отношений геометрических величин, а в книге VI — учение о подобии. В следующих трех книгах (VII—IX) излагается пифагорейская теория чисел. Десятая книга посвящена изложению геометрической теории иррациональностей. Последние три книги посвящены стереометрии.

Согласно Б. ван дер Вардену (1, сс. 269-279), все книги Евклида были написаны на основе работ более ранних математиков. Книги I— V и XI написаны на основе «Начал»

Гиппократа Хиосского, книги V—VI и XII – на основе работ Евдокса Книдского. В основу книг VII—IX положены работы Архита Тарентского, а основные утверждения в книгах X и XIII принадлежат Теэтету Афинскому.

Последующие два столетия добавили к геометрии результаты трудов двух великих математиков древности: Архимеда и Апполония. Архимед существенно улучшил метод исчерпывания Евдокса, изложенный в книге XII «Начал» Евклида. С помощью улучшенного метода он вычислил приближенное значение числа и нашел длину окружности и площадь круга, объемы шара, прямого кругового цилиндра и площади поверхностей этих тел. Основные геометрические результаты Аполлония относятся к изучению конических сечений.

Созданная трудами Евклида, Архимеда и Аполлония греческая геометрия, которая получила имя «геометрия Евклида», изучается практически во всех общеобразовательных школах в современном мире. Она служит основным дидактическим пособием для обучения дедукции, с помощью которой знакомятся с греческим способом формального мышления.

Основными объектами исследования в греческой геометрии являются геометрические фигуры и тела, к которым относят точку, прямую, плоскость, выпуклый многоугольник, окружность, шар, конус, выпуклый многогранник, пирамида, цилиндр, а также всевозможные их элементы, такие, как диагонали, дуги, углы, сечения и т.п. Обычно точку, прямую и плоскость называют первичными понятиями геометрии, а остальные понятия — вторичными, подразумевая, что их можно определить с помощью первичных понятий. Все перечисленные объекты называются геометрическими объектами.

Прежде всего, отметим, что понятие геометрического объекта принципиально отличается от понятия геометрической формы, с которым мы встречались в предыдущей главе. В прематематике речь всегда идет только о форме реальных объектов, а геометрические объекты являются идеальными объектами, которые существуют только в сознании людей. Следовательно, геометрические объекты являются объектами интеллектуального познания, а сама геометрия – одним из видов интеллектуального познания. Так как геометрические объекты можно изобразить на чертежах или на реальных моделях, то они являются наблюдаемыми интеллектуальными объектами.

«Истинными» утверждениями в геометрии считаются утверждения двух видов. Вопервых, «истинными» утверждениями являются аксиомы, которые служат первичными утверждениями. Аксиомы рассматриваются как истинные утверждения в силу их априорной интуитивной самоочевидности. Во-вторых, это все те утверждения, называемые теоремами, которые выводятся из аксиом с помощью определенного вида логических рассуждений. Вывод теоремы из аксиом называется доказательством теоремы. Отрицание истинного утверждения в геометрии считается ложным утверждением.

При доказательстве геометрических теорем разрешается использование только таких типов рассуждений, которые принадлежат дедуктивной логике Аристотеля. К ним относятся так называемые силлогизмы, а также закон противоречия (никакое утверждение не может быть одновременно истинным и ложным) и закон исключенного третьего (любое утверждение должно быть либо истинным, либо ложным). Аристотель, а вслед за ним весь мир приняли за неоспоримую истину, что применение перечисленных правил дедуктивного вывода гарантирует получение истинных утверждений. Дедуктивная логика создавалась одновременно с развитием геометрии.

Таким образом, греческая геометрия явилась первой формальной дедуктивной теорией.

В течение примерно двух тысячелетий после возникновения геометрии несуществовала в мире никакая другая формальная дедуктивная система. Так как эта геометрия не имела никакого практического применения, то ее, скорее всего, можно рассматривать как совершенное произведение греческого (и не только греческого) интеллектуального искусства.

Необходимо отметить: вывод, что греческая геометрия является аксиоматической дедуктивной теорией, не является точным. Кроме дедукции при доказательстве геометрических утверждений широко используются перемещение и вращение геометрических фигур и тел. Без этих операций значительная часть геометрических утверждений не была бы доказана. Однако эти операции и их свойства не описаны с помощью аксиом. Объяснение этому явлению нужно искать в связи геометрии с греческой философией.

На основании введенных определений можно сформулировать цель геометрии, как интеллектуального познания. Такой целью является поиск и доказательство теорем.

Выбор этой цели объясняется тем, что те, кто создавал геометрию на ранних этапах, были в своем большинстве философами. Они считали, что, во-первых, аксиомы являются вечными и абсолютными истинами, а во-вторых, что и дедукция приводит к таким же истинам.

Подлинной целью греков, как философов, было исследование природы.

Геометрические истины высоко ценились постольку, поскольку они были полезны при изучении физического мира. Греки считали, что в структуре Вселенной воплощены геометрические принципы, первичным компонентом которых является пространство.

Именно поэтому исследование пространства и пространственных фигур явилось существенным вкладом в изучение природы. Примером может служить астрономическая теория Евдокса, которая была сугубо геометрической теорией.

Теперь рассмотрим процесс доказательства геометрической теоремы как процесс моделирования. Целью такого исследования является получение доказательства конкретного геометрического утверждения или его отрицание. Цель моделирования совпадает с целью исследования. Критерий достижения цели можно сформулировать следующим образом: представление дедуктивного доказательства указанного утверждения. Этот критерий также полностью совпадает с критерием достижения цели исследования. Язык моделирования – это геометрический язык, которому в помощь для наглядности давался чертеж. Таким образом, язык модели при этом полностью совпадает с языком постановки цели моделирования. Исследование модели в этом случае заключается в поиске доказательства утверждения, сформулированного в виде цели моделирования. Найденное доказательство автоматически удовлетворяет критерию моделирования и критерию достижения цели исследования. Это значит, что в случае греческой геометрии мы имеем дело с теоретическим однотекстовым моделированием.

В заключение этого параграфа еще раз подчеркнем, что греческая геометрия не могла никоим образом родиться из обобщения и абстрагирования решения прематематических задач.

Во-первых, в прематематике, как правило, не встречаются геометрические объекты, а присутствуют только геометрические формы. В частности, не встречаются такие геометрические объекты, как диагонали, биссектрисы, медианы и т.п. Поэтому совершенно не понятно, каким образом прематематика может привести к возникновению вышеназванных понятий.

Во-вторых, в условии любой прагматической задачи лежит требование найти конкретное число или несколько конкретных чисел, в то время как в условии геометрической задачи – требование доказательства утверждения. И в этом случае совершенно неясно, каким образом требование найти число может трансформироваться в требование доказать утверждение. Если конкретное число еще может найти свое применение в практике, то непонятно, каким образом применить доказанное геометрическое утверждение в практической деятельности.

В-третьих, решение прагматической задачи является достаточно простым процессом, который заключается в следовании определенной инструкции, в то время как решение геометрической задачи — это творческий процесс, подобный игре в шахматы. Трудно представить, как прематематический процесс мог породить математическое доказательство.

Так называемые пифагорейцы были первыми, занимавшиеся науками. Поскольку в дальнейшем они узнали, что отношения и законы музыкальной гармонии основываются на числах, а также и все предметы по своей природной сущности тоже, по-видимому, походят на цифры, … то они вычказли мнение, что элементы чисел являются элементами и всех вещей и что весь мир в целом являтся гармонией и числом.

5.3. Греческая теория чисел.

Основателем греческой теории чисел, согласно традиции, считается Пифагор.

Пифагор был основателем религиозной общины. В религиозном учении Пифагора, которое принципиально отличалось от широко распространенной в греческом мире религии, нужно различать две стороны: практическую (известный «образ жизни») и теоретическую (определенную совокупность учений). В основе практической части пифагорейской религии лежал особый ритуал и целая система табу. Пифагор ввел собственный обряд жертвоприношений и установил богослужение. Сверх того, он дал целый ряд правил поведения: назывались «акусмата» и они характеризовали «пифагорейский образ жизни». Эти предписания были никак не мотивированы и основывались только на авторитете Пифагора. Основной целью этой религии было спасение души, которое достигается путем «пифагорейского образа жизни».

Однако пифагорейство не заняло бы в истории духовной культуры столь выдающегося места, если бы его сущность сводилась к насаждению примитивных суеверных обрядов.

«Но что отличало пифагорейцев от всех других (сект – Е.Л.), — это способ, при помощи которого они считали возможным достигнуть очищения души и соединения с божеством; это делалось при помощи математики. Математика была одной из составных частей их религии. Бог, учили они, положил числа в основу мирового порядка. Бог – это единство, а мир – множество и состоит из противоположностей. То, что приводит противоположности к единству и соединяет все в космос, есть гармония. Гармония является божественной и заключается в числовых отношениях.

Кто до конца изучит эту божественную числовую гармонию, сам станет божественным и бессмертным.

Музыка, гармония и числа – это три понятия были неразрывно связаны друг с другом в учении пифагорейцев. Все три были существенными составными элементами пифагорейской системы воспитания и очищения души. “Бла-женство есть знание совершенства чисел души”, — говорит Пифагор у Гераклита Понтийского. Математика и числовая мистика были фантастически перемешаны в его учении. Однако из этого мистического учения в дальнейшем выросла точная наука поздних пифагорейцев» (Ван дер Варден, 13, с.129).

Основным объектом изучения в греческой теории чисел являются числа и их свойства.

Отношение Пифагора к понятию числа совершенно отличается от отношения к прематематическим числам, которые выражают определенную сущность (см. 4.2). Он относился к числу как r предмету культа, элементу религиозного сознания, как носителю определенной мистической сущности.

«…так называемые пифагорейцы, занявшись математическими науками, впервые развили их и, воспитавшись на них, стали считать их начала началами всех вещей. Но в области этих наук числа занимают от природы первое место, а у чисел они усматривали, как им казалось, много сходных черт с тем, что существует и происходит, — больше, чем у огня, земли и воды; например, такое-то свойство чисел есть справедливость, а такое-то – душа и ум, другое – удача, и можно сказать, что в каждом из остальных случаев точно так же. Кроме того, они видели в числах свойства и отношения, присущие гармоническим сочетаниям. Так как, следовательно, все остальное явным образом уподоблялось числам по всему своему существу, а числа занимали первое место во всей природе, элементы чисел они предположили элементами всех вещей и всю вселенную признали гармонией и числом» (Аристотель, 2, кн. 1, гл. 5, с.4).

В качестве чисел Пифагор рассматривал нечто, что сегодня связывают с целыми положительными числами. Единица и двойка не считались числами, ибо они выражали определенную философскую сущность. Единое, или единицу, пифагорейцы ставили в особое положение: единица – это начало чисел; чтобы стать числом, все должны приобщиться к единице, поскольку она означает единство. Единица выражала постоянство, неделимость. «Единица есть то, что каждое из существующих считается единым». Это определение единицы, которое Евклид дает в «Началах». Сразу отметим, что такое же отношение к единице существовало достаточно долго, практически до XIX века. Двойка, или двоица, также имела определенный философский смысл, выражающий различие, изменчивость, противоречивость и т.п. Числа у Пифагора начинались с тройки.

В связи сказанным, объекты греческой теории чисел мы будем называть пифагоровыми числами для того, чтобы отличать их от других чисел.

Теперь рассмотрим греческую теорию чисел как один из типов познания.

Объектами исследования теории чисел, как мы уже говорили выше, являются пифагоровы числа и их свойства. Принципиально новыми понятиями, связанными со свойствами пифагоровых чисел, считаются понятия четного или нечетного числа, делителя числа, простого числа, совершенного числа, дружественных чисел и т.п.

Отметим, что введенные понятия никогда и нигде не встречались ранее, т.е. до сих пор не выявлены письменные документы других цивилизаций, в которых можно найти хоть какой-нибудь намек на существование этих или похожих на них объектов.

Первичные объекты — это сами пифагоровы числа, а другие объекты – свойства пифагоровых чисел – являются вторичными понятиями, т.к. вводятся с помощью определений. Как мы уже упоминали, пифагоровы числа никоим образом не связаны ни с каким реальным объектом, тем более ни с какой практической деятельностью. В этом смысле пифагоровы числа представляют собой чисто интеллектуальные объекты. Но тогда и греческая теория чисел является видом чисто интеллектуального познания.

На множестве пифагоровых чисел формально определяются математические арифметические операции (сложение, вычитание, умножение и деление), которые удовлетворяют определенным свойствам. Эти свойства задаются чисто абстрактно, хотя можно достаточно обоснованно думать, что при их определении была использована аналогия со свойствами операций над прематематическими к-числами. К этим свойствам относится коммутативность, ассоциативность каждой из операций сложения и умножения, а также дистрибутивность этих операций. Отметим также, что операции сложения и умножения определены на множестве всех пифагоровых чисел, а вычитания и деления — только для некоторых пар, составленных из этих чисел.

Здесь необходимо отметить, что свойства математических арифметических операций принципиально отличаются от свойств соответствующих прематематических операций.

Это отличие кратко можно выразить следующим образом: свойства математических операций определяются априори, а свойства прематематических операций устанавливаются апостериори, т.е. в результате опыта.

В отличие от греческой геометрии в греческой теории чисел нет априорных «истинных» утверждений (за исключением аксиом из определений арифметических операций). В ней «истинными» считаются утверждения трех типов: определения, интеллектуальные факты и теоремы (доказанные утверждения). «Истинность»

определений и фактов мы подробно обсуждали в главе 2. Для полноты изложения мы должны определить, что понимается под интеллектуальным фактом в рамках теории чисел. Под интеллектуальным фактом в рамках теории чисел понимается утверждение типа «данное конкретное число (конечный набор конкретных чисел) обладает определенным свойством», справедливость которого устанавливается простой проверкой.

Например, следующие утверждения являются интеллектуальными фактами: «число является простым числом», «число 10 является четным числом», «число 6 является совершенным числом» и т.п. Справедливость этих утверждений легко проверяется. Более того, можно утверждать, что фактом в теории чисел является любое утверждение, которое допускает полную проверку его справедливости.

Теперь обратим наше внимание на теоремы. В греческой теории чисел в качестве первичных истинных утверждений, на которых строится процесс доказательства, берутся определения. Сам процесс проведения доказательств основан на дедукции, т.е.

используется аристотелева логика.

Греческая теория чисел не являлась столь богатой нетривиальными теоремами, как геометрия. Об этом свидетельствует тот факт, что ее основные результаты были изложены практически в трех книгах из тринадцати книг «Начал» Евклида. Последующие годы греческой цивилизации, кроме нескольких отдельных результатов, ничего не добавили принципиального к материалу, содержащемуся в этих книгах.

С точки зрения процесса моделирования, исследования в рамках греческой теории чисел представляют собой достаточно простой процесс. Цель исследования и цель моделирования совпадают, критерий достижения цели исследования совпадает с критерием моделирования, ибо они формулируются на одном и том же математическом языке. Из формулировки цели моделирования вытекает сама математическая модель, которая подвергается исследованию, совпадает с объектом исследования. Результатом моделирования является либо дедуктивное доказательство теоремы, либо установление интеллектуального факта. Если найдено доказательство теоремы или истинность факта установлена простой проверкой, то это означает, что критерий моделирования выполняется, и процесс моделирования заканчивается.

Для иллюстрации сказанного приведем два истинных утверждения: теорему и интеллектуальный факт. В качестве теоремы можно рассмотреть теорему о бесконечности простых чисел, доказательство которой можно встретить у Евклида. Утверждение, что число 28 является совершенным числом, легко проверяется:

Резюмируя сказанное, можно утверждать, что с точки зрения моделирования в теории чисел используются однотекстовые модели.

Подобно тому, как солнце затмевает своим блеском звезды, так мудрец затмевает славу других людей, предлагая и особенно решая на народных собраниях математические задачи.

Достопочтеннейший Дионисий, зная, что ты ревностно хочешь научиться решению задач, касающихся чисел, я попытаюсь изложить природу и их могущество, начиная с тех оснований, на которых покоится эта наука.

5.4. Диофантова арифметика.

Диофант Александрийский является последним великим математиком греческой математики и выдающимся представителем третьего основного направления в ней, которое мы назовем диофантовой арифметикой. Он завершает плеяду выдающихся александрийских математиков, среди которых мы видим Евклида, Архимеда (хотя он основную часть жизни провел в Сицилии), Аполлония.

«Появление Диофанта составляет до сих пор одну из самых темных загадок истории науки.

Труды Диофанта представляют полную неожиданность и по постановке задач, и по методам их решения, и по геометрической трактовке величин и действий над ними» (История математики, 35, т.1, с. 144).

Основным трудом Диофанта является «Арифметика», написанная во второй половине III века до н.э. и состоящая из 13-ти книг, из которых до нас дошло 6 книг. Трудно сомневаться в том, что у него были предшественники, как они имелись и у Евклида, Архимеда и Аполлония. Однако нам ничего не известно о них и их трудах. Подобно египетскому папирусу Райнда, «Арифметика» представляет собой сборник из 189-ти задач, каждая из которых снабжена решением (или несколькими решениями, полученными разными способами). Однако она отличается от папируса Райнда тем, что задачи из папируса принадлежат прематематике, в то время как задачи из «Арифметики»

никоим образом не принадлежат прематематике. Эти задачи формулируются на языке чисел и не являются практическими. Эти задачи также не принадлежат и греческой теории чисел, о которой мы говорили в предыдущем параграфе.

«Одной из значительных заслуг Диофанта является введение в алгебру некоторой символики.

Поскольку мы располагаем не подлинными рукописями самого Диофанта, а лишь поздними (датируемыми не ранее, чем XIII века) копиями, трудно говорить с уверенностью, какими именно символами пользовался сам Диофант. Известно, что он ввел символы, соответствующие нашим обозначениям х, степеням неизвестного х вплоть до х6 и 1/х. Появление такой символики замечательно само по себе, но еще больший интерес представляет введение степеней выше третьей, поскольку... греки классического периода игнорировали произведения более трех сомножителей, так как считали их не имеющими геометрического смысла. Но если подходить к умножению с чисто арифметических позиций, то произведения более трех сомножителей, разумеется, становятся вполне законными. Именно такой подход к произведениям трех и более чисел был избран Диофантом» (М. Клайн, 42, с. 128).

Одним из основных достижений Диофанта является рассмотрение уравнений. Нам не известно доподлинно, как Диофант пришел к этой тематике. Он совершенно не пользовался геометрией, и поэтому геометрические исследования его предшественников, таких, как Евклид, Архимед и Аполлоний, не могли привести его к решению алгебраических уравнений. Кроме того, Диофант был первым из математиков, который занялся систематическим исследованием и решением так называемых неопределенных уравнений в целых числах. Их стали называть диофантовыми уравнениями.

Методы решения уравнений и систем уравнений, которые применял Диофант, были индуктивными: он указывал, как мы уже отмечали, способ решения конкретной задачи, предположительно пригодный для решения более широкого круга задач, границы которого не были определены.

Рассмотрим диофантову арифметику с точки зрения теории познания.

Диофантова арифметика изучает три разных типа объектов: так называемые «диофантовы числа», операции над числами и уравнения. Под диофантовыми числами мы понимаем числа, с которыми мы встречаемся в «Арифметике» Диофанта.

Обсудим каждый из типов объектов исследования в отдельности. Начнем с чисел. До сих пор мы встречались с двумя типами чисел: прематематические и пифагоровы.

Очевидно, что диофантовы числа не являются прематематическими числами, поскольку последние — это именованные числа, а среди задач, которые собраны в «Арифметике»

нет ни одной, имеющих практический смысл.

Содержание всех задач в книге является абстрактным. Отсюда можно сделать два вывода. Во-первых, диофантова арифметика является одним из типов интеллектуального познания. Во-вторых, объекты, которые мы встречаем в этой арифметике, являются абстрактными объектами. Так как диофантовы числа не имеют чувственных (реальных) прообразов, то их можно считать чисто интеллектуальными объектами. Этот вывод является одним из аргументов в пользу того, что диофантовы числа отличаются от прематематических чисел.

Диофантовы числа, которые употребляли греки, были двух видов: целые и дробные.

Правда, при решении некоторых задач Диофант использует в промежуточных результатах объекты, похожие на отрицательные числа, которые он трактует как недостаток и для действий над которыми вводит определенные правила. Однако он это делает не афишируя, поэтому их нельзя рассматривать как объекты исследования в его арифметике.

Позже индийцы и мусульмане, развивая диофантову арифметику, стали использовать отрицательные числа как равноправные объекты исследования.

Диофантовы целые числа принципиально отличаются от пифагоровых чисел прежде всего тем, что единица рассматривается как число. Диофантовы числа не несут никакой смысловой нагрузки, в отличие от пифагоровых чисел, которые можно рассматривать как мистические символы. Диофантовы числа можно, в определенном смысле, рассматривать как некие символы, над которыми производятся действия.

Под действиями над диофантовыми целыми числами понимаются четыре операции, которые будем называть арифметическими операциями: сложение, вычитание, умножение и деление. Эти операции, по существу, вводятся по аналогии с действиями над прематематическими к-числами и над пифагоровыми числами, а не с помощью аксиом. Неявно предполагается, что эти операции обладают свойствами коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности. Сложение, умножение, вычитание (с известными ограничениями) и деление диофантовых чисел определены на всем множестве целых диофантовых чисел.

Одним из величайших достижений александрийских математиков во времена, предшествующие появлению Диофанта, является введение в рассмотрение дробей как математических объектов. Доли целого широко используются в древних прематематиках.

Но у Диофанта мы встречаем дроби как абстрактные объекты, т.е. объекты, в которые не вкладывается никакое содержание и которые представляют собой просто символы.

Однако необходимо, отметить, что диофантовы дроби не являются дробями в современном смысле слова, ибо на них не были формально определены арифметические операции.

Другим выдающимся открытием александрийских математиков (трудно поверить, что это является изобретением Диофанта) является введение в рассмотрение алгебраических уравнений. Этот чисто абстрактный объект, который задавался словесным образом, сыграл выдающуюся роль в истории математики. Вопросы решения алгебраических уравнений составляло основное содержание математических исследований в течение более полутора тысяч лет. Греки, индийцы, арабы, персы, европейцы – все внесли свой вклад в это направление математики. Легкость, с которой исследователи действовали в этой области, не требовавшей существенных дополнительных знаний, превратила решение уравнений в отрасль интеллектуального искусства и интеллектуального спорта.

Важным достижением индийских и мусульманских математиков явилось введение в рассмотрение чисел, в запись которых входят обозначения радикалов. Эти числа были решениями алгебраических уравнений. Введение таких чисел существенно расширило границы диофантовых чисел. Более того, эти математики в некоторых случаях даже осуществляли операции над такими числами.

«Истинными» утверждениями в диофантовой арифметике являются только утверждения типа: «это число является решением данной задачи» или «эти числа являются решением данной задачи». «Истинность» этих утверждений устанавливается простой проверкой в виде подстановки в уравнение вместо неизвестных чисел, указанных в утверждениях.

Допустимыми «рассуждениями» в диофантовой арифметике являются любые методики (способы), позволяющие найти решение (решения) заданного уравнения. Это означает, что данные «рассуждения» по своему характеру являются индуктивными и никак не связаны с дедукцией.

Отсюда следует, что в рамках этой арифметики нет места для дедукции и априорных утверждений (аксиом). Целью любой задачи в этой арифметике было нахождение «численного» решения уравнения, т.е. получение числа. Следовательно, диофантова арифметика не является теоретической дисциплиной. Но тогда она, как тип математики, принципиально отличается как от геометрии, так и от теории чисел, которые являются теоретическими дисциплинами. Этот новый тип математики назовем прагматической математикой.

Прагматическая математика имеет нечто общее с прематематикой. Это общее ясно видно в постановках задач: в прематематике и в диофантовой арифметике все задачи заключаются в поисках конкретного числа (чисел), который (которые) являются решением поставленной задачи.

Теперь рассмотрим диофантову арифметику с позиции теории моделирования. Здесь она имеет много общего с пифагоровой теорией чисел. Например, в диофантовой арифметике исследуемый объект совпадает со своей моделью. Однако существуют и принципиальные отличия. Во-первых, целью моделирования в этом случае являлось получение конкретных чисел, а не доказательства. Во-вторых, в диофантовой арифметике существовал четко выраженный критерий достижения цели, который легко проверялся.

В-третьих, на процесс исследования модели (т.е. на процесс решения уравнения или систем уравнений) не накладывалось никаких ограничений.

Мне кажется, о Сир, что истинные философы поступили очень хорошо, отделив теоретическую часть философии от практической.

Астроном нашел, что геометрия, чистая абстракция человеческого ума, служит мерой планетных движений.

5.5. Греческая астрономия Наблюдениями за небом человек занимался с древних времен. Вавилоняне и египтяне заложили основы астрономии в течение многих столетий наблюдений. Именно в Вавилоне, а возможно в Египте был открыт период лунных затмений, что сделало достоверным их предсказание. Часть астрономических знаний этих цивилизаций, видно, дошла до древней Греции. Об этом свидетельствует приписываемое Фалесу предсказание солнечного затмения. Однако все же во времена, предшествующие древнегреческой цивилизации достигнуто было очень немногое.

С первых шагов появления греческой философии, которая развивалась одновременно с математикой, можно проследить четыре ярко выраженные особенности греческого мышления: склонность к рациональному осмысливанию действительности, пространственное видение мира, приверженность наблюдениям и стремление согласовать умозрительный образ мира и наблюдаемые явления. Именно эти особенности греческого мышления позволили принципиально по-новому «взглянуть на небо». В отличие от других народов, греки пытались построить целостную картину Вселенной. Эти намерения легко прослеживаются у первых натурфилософов из Милета.

Причину интеллектуального успеха древних греков очень четко выразил А. Берри в своей «Краткой истории астрономии»:

«Греки унаследовали от своих предшественников массу наблюдений, порой довольно точных, почти вполне удовлетворявших требованиям практической жизни, но в смысле астрономических теорий и умозрений, которыми их лучшие мыслители интересовались гораздо больше, нежели фактическими подробностями, они получили, в сущности, белый лист, на котором им пришлось начертить (в начале с посредственным успехом) свои спекулятивные идеи. Такие даты, как халдейские наблюдения затмений и Пифагоровы идеи о гармонических сферах, разделяются громадным промежутком времени, и необходимые теоретические построения не могли быть воздвигнуты без помощи математических методов, изобретавшихся постепенно. Правда, греки мало интересовались наблюдениями, особенно в древнейшую эпоху, но можно все таки сомневаться, намного ли продвинулась бы вперед астрономия греков сравнительно с халдейской, если бы даже они и располагали свежим запасом наблюдений. Но только умозрительные идеи, обоснованные с помощью математики, получили достаточное развитие для того, чтобы их можно проверить наблюдениями, астрономии был обеспечен быстрый успех» (А. Берри, 10, с. 73).

В истории древнегреческой астрономии мы выделим три периода, каждый из которых отличался от другого принципиально новым интеллектуальным подходом к изучению движения Земли и небесных светил.

Первый период, протянувшийся от Фалеса до Евдокса, характеризуется выдвижением гениальных спекулятивных астрономических идей, связанных с нарождавшейся и бурно развивающейся в этот период греческой философией, но, в основном, не имеющих никакой связи с математикой. Основной фигурой этого периода несомненно является Пифагор. Ему принадлежит ряд величайших интеллектуальных открытий, среди которых мы выделим два. Во-первых, Пифагор учил, что Земля, наравне с другими небесными телами, имеет форму шара, и она висит без всякой поддержки среди Вселенной. Вовторых, Пифагор считал, что к каждой из семи планет (включая Солнце и Луну в это число) прикреплена особая сфера. Расстояния этих сфер от Земли он привел в зависимость от гармонических отношений между числами, поскольку, по его мнению, сферы при вращении производили гармонические звуки, доступные уху немногих избранных. Таким путем родилась идея о музыке сфер, которая постоянно встречается в средневековой литературе.

Другой выдающейся астрономической идеей, относящейся к тому же периоду и принадлежащей пифагорейцу Филолаю, является утверждение о движении Земли.

Появление столь важной идеи, как идеи о движении Земли (которому так противится непосредственное чувство), сыграло в дальнейшем большую роль.

Второй период характеризуется тем, что в астрономию вошла геометрия. Её использование в астрономии тесно связано с философской традицией, откуда она заимствовала принцип кругового и равномерного движения как основу неравномерных движений. Один из величайших математиков античности Евдокс Книдский построил первую в истории науки астрономическую теорию гомоцентрических сфер, завершенную в разумных пределах, в основе которой лежала чисто теоретическая геометрическая модель, никак не связанная с реальными астрономическими наблюдениями. Эта теория позже была усовершенствована Каллиппом и принята с определенными изменениями Аристотелем.

Теория Евдокса качественно воспроизводила особенности движения Солнца, Луны и пяти планет: суточное вращение небесной сферы, движения светил вдоль эклиптики с запада на восток с различными скоростями, изменения широты и попятные движения планет. Движения светил в ней управлялись вращением небесных сфер, к которым они были прикреплены; сферы обращались вокруг единого центра (Центра Мира), совпадающего с центром неподвижной Земли, имели один и тот же радиус, нулевую толщину и считались состоящими из эфира. Видимые изменения блеска светил и связанные с этим изменения их расстояний относительно наблюдателя не могли получить в рамках этой теории удовлетворительного объяснения.

Теория Евдокса послужила основой для возникновения математической дисциплины – сферики, в рамках которой теоретически решались задачи, связанные с суточным вращением небесной сферы и ее важнейших кругов – экватора и эклиптики, - восходами и заходами светил, знаков зодиака относительно горизонта на различных широтах. Эти задачи решались с помощью сферической геометрии. В развитии сферики принимал участие целый ряд античных математиков, как, например, Автолик, Евклид, Теодосия, Менелай.

Выдающимся достижением античной астрономии стала теория гелиоцентрического движения планет, предложенная Аристархом Самосским. Однако эта теория не оказала какого-либо существенного влияния на развитие теоретической астрономии. Ему же принадлежит определение сравнительного расстояния Солнца и Луны.

Принципиальным шагом вперед стало изобретение эксцентров и эпициклов, позволяющих качественно объяснить, на основе равномерных и круговых движений, наблюдаемые неравномерности движения светил в одно и то же время и изменения их расстояний относительно наблюдателя. Эквивалентность эпициклической и эксцентрической моделей для Солнца и Луны доказал один из крупнейших математиков античности Аполлоний Пергский, который применил также эпициклическую модель для объяснения попятных движений планет.

Третий период развития греческой астрономии начался, по существу, с Гиппарха и закончился Птолемеем. Этот период характеризуется тем, что греческие астрономы этого времени начали сверять гипотезы, полученные из различных теорий, с результатами наблюдений.

«Быть может, лучшей иллюстрацией истинно-научной осмотрительности послужит нам при«мер Гиппарха, который, испытав представившиеся ему известные теории и признав из несостоятельность, благоразумно воздержался от построения новой теории на заведомо недостаточных данных и терпеливо занялся накоплением свежего материала, которым он сам никогда не воспользовался, а завещал его будущим астрономам, дабы они могли построить при помощи его более совершенную теорию» (А. Берри, 10, с. 74).

Новые математические средства позволили перейти от качественного к количественному описанию движения светил, т.е. построить, наряду с теоретической моделью, прагматическую модель. Впервые, по-видимому, эту задачу успешно решил Гиппарх. Он создал на основе эксцентрической и эпициклической моделей прагматические модели движения Солнца и Луны, которые позволяли определять их текущие координаты для любого момента времени. Однако ему не удалась построить аналогичные модели для планет из-за отсутствия наблюдений.

Проведение наблюдений составляло особое направление в античной астрономии задолго до Гиппарха. Этот процесс сопровождался развитием и конструированием соответствующих инструментов наблюдения. В ранний период наблюдения носили в основном качественный характер. С появлением теоретических моделей связано и изменение целей наблюдений. С этого времени основной целью наблюдений стало определение геометрических и скоростных параметров принятых кинематических моделей. Параллельно разрабатываются астрономические календари, позволяющие фиксировать даты наблюдений и определять интервалы между наблюдениями на основе линейной равномерной шкалы времени. При наблюдении фиксировали положения небесных тел относительно выделенных точек кинематической модели в текущий момент или же определяли время прохождения одного из них через выделенную точку схемы. В качестве примера наблюдений можно привести определение моментов равноденствий и солнцестояний, высоты Солнца и Луны при прохождении через меридиан, временных и геометрических параметров затмений, дат покрытия Луною звезд и планет и т.д.

Наиболее ранние наблюдения такого рода относятся к V веку до н.э. В последующее столетия расширялся не только объем наблюдений, но и их география.

До нас эта теория, которую обычно называют теорией Гиппарха—Птолемея или теорией Птолемея, дошла в книге «Алмагест» Птолемея. Появление «Алмаге-ста» было бы невозможно без предшествующего развития методов логистики – стандартного набора правил для проведения вычислений.

Говоря современным языком, «Алмагест» является первым руководством по решению ряда астрономических задач с помощью процесса моделирования. При решении упомянутых выше задач Птолемей следует стандартной методике, которая очень напоминает этапы моделирования, описанные в п. 3.3.

Постановка задачи у Птолемея соответствует, по существу, выбору цели исследования. Критерием достижения цели у него является построение такой модели, расчеты по которой подтвердили бы имеющиеся наблюдения.

Следующий этап – это построение теоретической модели, основные элементы которой описаны в соответствующей теории. На основе предварительных грубых наблюдений выясняются характерные особенности в движении светила и производится выбор кинематической модели, которая наилучшим образом описывала бы наблюдаемые явления. Процедура выбора одной модели из нескольких равновозможных должна удовлетворять «принципу простоты»:

«Мы считаем уместным объяснять явления при помощи наиболее простых предположений, если только наблюдения не противоречат выдвинутой гипотезе» (К. Птолемей, 67, с. 79).

Приведенные слова Птолемея почти на тысячу лет опередили слова одного из крупнейших философов позднего средневековья У. Оккама, которые известны в литературе как «бритва Оккама»: « Сущности не следует умножать без необходимости»

(«Entia non sunt multiplicanda practer necessitatem»).

Первоначально выбор производился между простой эксцентрической и простой эпициклической моделями. На данном этапе решались вопросы о соответствии кругов модели определенным периодам движения светила, о направлении движения эпицикла, о местах ускорения и замедления движения, о положении апогея и перигея и т.д.

Из сказанного следует (если воспользоваться понятиями, которые были введены в главе 3), что Птолемей искал приемлемую модель, а не адекватную модель. В подтверждение этому приведем следующие слова Птолемея:

«И пусть никто … не считает эти гипотезы слишком искусственными; не следует применять человеческие понятия к божественному и добиваться в таком великом деле уверенности при помощи совсем неподходящих аналогий… Но к небесным движениям нужно пытаться приспособить сколь возможно простые предположения, а если этого недостаточно, то, во всяком случае, допустимые… Лучше будет и о самой простоте небесного судить не на основе того, что нам кажется таким…» (К. Птолемей, 67, с. 401).

Третий этап заключается в построении прагматической модели на основе выбранной теоретической модели, что означало конкретизацию основных элементов (параметров) на основе наблюдений. Используя наблюдения, как свои собственные, так и своих предшественников, Птолемей определяет периоды движения светила с максимально возможной точностью, геометрические параметры модели (радиус эпицикла, эксцентриситет, долготу апогея и др.), моменты прохождения светила через выделенные точки кинематической схемы, чтобы привязать его движение к хронологической шкале.

Проще всего указанная методика работает при описании движения Солнца, где достаточно простой эксцентрической модели. При построении прагматических моделей для других светил Птолемею приходилось неоднократно менять теоретическую модель для того, чтобы выбрать наиболее подходящую. Так, например, при исследовании Луны Птолемею пришлось трижды видоизменять теоретическую модель, чтобы найти такое сочетание кругов и линий, которое наилучшим образом соответствовало бы наблюдениям. Существенные усложнения пришлось внести также в теоретические кинематические модели для описания движений планет по долготе и широте.

Построенную прагматическую модель Птолемей использовал для предсказания положения небесных тел в произвольный момент времени. Для вычисления координат светила в конкретный момент времени Птолемей построил специальные таблицы. В основе этих таблиц лежит представление о линейной однородной шкале времени. Любая величина, зафиксированная в таблице, получалась в результате не-простых вычислений.

Эти таблицы вместе с таблицами Гиппарха, по своей сути, были первыми в истории математики числовыми таблицами математических функций.

Резюмируя вышесказанное, можно сделать несколько выводов о значении системы Гиппарха – Птолемея для дальнейшего развития науки. Во-первых:

«Теория Птолемея дала первое полное, в разумных пределах, подтверждение постоянства и неизменности природы и была воспринята как окончательное решение поставленной Платоном проблемы объяснения видимых движений небесных тел. Никакой другой из полученных в греческую эпоху результатов не может соперничать с “Алмагестом” по глубине влияния на представления о Вселенной, и ни одно сочинение, за исключением “Начал” Евклида, не обрело столь беспрекословного авторитета» (М. Клайн, 39, с.36).

Во-вторых, система Гиппарха – Птолемея стало первым построением математических моделей для количественного прогнозирования процессов физических явлений.

В-третьих, создание системы Гиппарха – Птолемея явилось первым и единственным случаем в почти двухтысячелетней истории математики, когда потребности решения естественных проблем вынудили развить специфические математические теории и методы, способствующие решению этих проблем. В частности, как мы уже говорили выше, были заложены основания плоской и сферической тригонометрий.

В-четвертых, система Гиппарха – Птолемея положило основание прагматической математики, т.е. математики, которая использует теоретические математические знания для решения количественных задач. Эта математика окончательно оформилась только в XVII веке. Следующую подобную систему мы встречаем в XVII веке у И. Кеплера.

В-пятых, «Алмагест» можно рассматривать как первое методологическое пособие по математическому моделированию, которое, как методологический подход к исследованию поведения объектов различной природы, получило распространение только в середине ХХ века.

Почти всем, чем отличается новый мир от более ранних веков, обусловлено наукой, которая достигла своих наиболее поразительный успехов в XVII веке… Новый мир, насколько это касается духовных ценностей, начинается с XVII века. Нет такого итальянца эпохи Возрождения, который не поняли бы Платон или Аристотель, Лютер привел бы в ужас Фому Аквинского, но последнему было бы нетрудно понять его. С XVII века все обстоит иначе: Платон и Аристотель, Фома Аквинский и Оккама не смогли бы понять Ньютона.

Часть 3. Европейская математика.

Сама возможность математического познания кажется неразрешимым противоречием. Если эта наука является дедуктивной только по внешности, то откуда у нее берется та совершенная строгость, которую никто не решается подвергать сомнению? Если, напротив, все предложения, которые она выдвигает, могут быть выведены одни из других по правилам формальной логики, то таким образом математика не сводится к бесконечной тавтологии? Силлогизм не может нас научить ничему существенно новому, и если все должно вытекать из закона тождества, то все также должно к нему и приводиться. Но неужели возможно допустить, что изложение всех теорем, которые заполняют столько томов, есть не что иное, как замаскированный прием говорить, что А есть А.

Глава 6. Европейская теоретическая математика.

Распространенное мнение, что с возрастанием расстояния мы выигрываем в «исторической перспективе», по-моему, совершенно не соответствует фактическому положению вещей. Мы выигрываем только в самонадеятельности, с какой мы делаем обобщения, на которые бы никогда не осмелились, если бы имели доступ к реальному богатству современных свидетельств.

То, чего нам удалось достичь с помощью математического описания и предсказания, напоминает удачу человека, нашедшего стодолларовую купюру.

6.1. Несколько исторических замечаний.

В III—IV веках греческая культура прекратила свое существование в Западной Европе из-за различных бедствий, обрушившихся на нее, включая нашествия варваров. По существу, там была уничтожена вся культурная прослойка Римской империи. Тяжелые потери греческая культура понесла и на Востоке. Были закрыты почти все центры греческой культуры в Византии, включая знаменитую Афинскую школу. Указ византийского императора Юстиниана от 529 г. о запрещении языческих школ заставил бежать греческих ученых из Афин в Персию и в Индию. Нашествие арабов и сожжение Александрийской библиотеки положило конец Александрийской школе. Остались существовать отдельные центры греческой культуры в Сирии (например, академия в Евфрате) и на Востоке, в частности, в Индии.

Однако эти оставшиеся культурные оазисы не способствовали развитию культуры.

Основным их достижением было ознакомление местных, приходящих и проходящих народов с греческой культурой. С этого времени греческая культура как самостоятельная живая культура перестала существовать. Но, к счастью для всего человечества, она сохранилась в книгах.

Греческая математика умерла еще раньше. Как образно выразился Ван дер Варден (13), «пламя греческой математики погасло, как догоревшая свеча». Однако математика оставила глубокий след в сознании тех народов, у которых сохранились следы греческой культуры. Эти народы получили в наследство и целую библиотеку книг, в которых было изложены все достижения греческой математики, в том числе и изумительный учебник математики.

Ближний Восток и Индия познакомились с греческой культурой благодаря походам Александра Македонского, который создавал в каждом завоеванном государстве центры греческой культуры. Государства, образовавшиеся после распада его империи, сохранили эти центры, чем также способствовали распространению этой культуры. Пришедшая затем Римская империя только усилила влияние греческой культуры в этих странах. С упадком Римской империи школы математических исследований постепенно перемещались в Индию, куда бежали некоторые греческие математики после разгрома Александрийской школы, а позже переместились в обратном направлении, в Месопотамию. В Индии образовались два основных центра математических исследований: в Майсоре (Южная Индия) и в Уджджайне (Центральная Индия). Из этих школ вышел целый ряд известных математиков, таких, как Ариабхата, Брахамагупта и другие, оставившие после себя книги, которые позже были переведены на европейские языки. Первые индийские книги, содержащие сведения астрономо-математического характера, появились в V в. н.э. и стали известны под именем «сиддханта» (учения).

Как и в любой человеческой цивилизации, в Индии была развита своя прематематика, которая называлась «ганита» (что означает «искусство вычислений») и представляла собой набор местных методик решения практических количественных задач. В качестве одного из доказательств существования индийской прематематики задолго до греков можно привести книгу «Шулва сутра» («Правила веревки»), относящуюся к VII—V векам до н.э. Здесь находятся самые большие достижения индийцев. Прежде всего, индейцы предложили десятичную позиционную систему для записи чисел с помощью цифр. Эта система цифр, известная под именем «деванагари» и возникшие из цифр брахми, позже была переработана в арабские цифры, а через них – и в европейские цифры. Далее, индийские математики, начиная с Брахмагупты (VII в. н.э.), систематически пользовались отрицательными числами и трактовали положительные числа как имущество, а отрицательные числа – как долг. Брахмагупта приводит все правила арифметических действий над отрицательными числами.

В области математики индийцев интересовала только диофантова арифметика, с которой их познакомили греческие математики из Александрии. Все исследования в этой области индийцы проводили в греческом духе: здесь не было ничего такого, что бы не смогли сделать греки. Основным достижением индийцев можно считать использование определенной символики, что было существенным шагом вперед по отношению к греческой математике. Особенно интересна символика, связанная с представлением определенного вида радикалов, что позволило с помощью аналогии определить ряд действий над ними. Другим, не менее важным, достижением является введение в рассмотрение нуля и отрицательных чисел, хотя это скорее относится к индийской прематематике. Только позже отрицательные числа стали встречаться в решениях уравнений, например, у индийского математика XII века Бхаскара II.

Индийцы познакомились с греческой теоретической и практической астрономией от бежавших в Персию и в Индию александрийских математиков. Уже древнейшая из сиддхант «Пулиса-сиддханта» познакомила индийцев с тригонометрией хорд александрийских астрономов. Варахамихира в «Панча-сиддхантике» («Пять сиддхант») заменил хорду полухордой, т.е. линией синуса. Для проведения астрономических расчетов индийцы строили свои численные таблицы, в частности, таблицы синусов. Эти таблицы отличала высокая точность проводимых вычислений.

Подытоживая сказанное, можно утверждать, что индийцы не внесли ничего принципиально нового в развитие собственно математики. Их основным математическим достижением было то, что они способствовали появлению интереса к математике в Месопотамии.

Математика начинает развиваться в Месопотамии только во времена ислама, начиная с VIII века. Потомки диких арабов, развернувшие знамя Магомета на громадном пространстве Римской империи и странах, лежащих далеко к востоку, быстро почувствовали влияние цивилизации покоренных народов. Багдад, с VIII века ставший столицей халифов, очень скоро превратился в центр литературной и научной деятельности. Халиф Аббасидской династии ал-Мансур, царствовавший во второй половине VIII века и основавший Багдад, стал покровителем науки и собрал вокруг себя ученых как из Индии, так и с запада. В частности, группа сирийских христиан стала для него переводить на арабский язык труды греческих авторов. Прежде всего были переведены медицинские трактаты Гиппократа и Галена. Аристотелевы идеи, заключенные в трудах этих ученых, возбудили, по всей вероятности, общий интерес к трудам Аристотеля, что способствовало переводу его трудов на арабский язык. Кроме того, на арабский язык стали переводить и индийские сиддханты, с помощью которых арабы познакомились с индийской прематематикой и получили некоторые сведения из греческой математики.

За греческой медициной очень скоро последовала греческая астрономия (астрология).

Первый перевод «Алмагеста» был сделан по приказанию преемника ал-Мансура — Гаруна ал-Рашида. Однако эта попытка была неудачной, так как переводчик, по всей вероятности, не был знаком с греческой математикой в достаточной степени. Однако эта неудача привлекла внимание к математическому наследию греков, хотя новые попытки перевести «Алмагест» были уже сделаны только в следующем столетии.

При более поздних халифах Аббасидской династии продолжался расцвет греческой культуры. Так в IX в. халиф ал-Мамун соорудил в Багдаде «Дом мудрости» с библиотекой и обсерваторией. В этот период были переведены на арабский язык уцелевшие греческие книги Евклида, Птолемея, Аполлония, Архимеда, Диофанта и др. Ставшее всеобщим применение названия «Альмагест» для «Большого собрания» Птолемея указывает на влияние арабских переводов на Европу. Благодаря этим воспроизведениям и переводам до нас дошли многие греческие классики, которые иначе оказались бы потерянными. В течение IX—XIII веков исламский мир выдвинул таких крупных математиков, как алХорезми, ал-Кархи, Омар Хайям, ат-Туси и другие.

Исламские работы в области точных наук, которые начались с перевода «Сиддханты»

ал-Фазири, достигли своей первой вершины в деятельности Мухаммеда ибн Мусса алХорезми, творчество которого приходится на первую половину IX века. Одна из его книг, озаглавленная «Хисаб ал-джабр ва-л-мукабала», арабский текст которой сохранился, стала также известна на Западе в латинском переводе, а слово «ал-джабр» стало названием науки «алгебра». Эта книга была посвящена решению различного типа алгебраических уравнений и послужила главным источником, с помощью которого Западная Европа познакомилась с арабской алгеброй. Содержание этой книги свидетельствует о том, что наибольший интерес для исламского мира лежал в диофантовой арифметике, которая постепенно превращалась в то, что впоследствии стали называть алгеброй.

Подытожить роль и значение мусульманской математики в истории можно следующими словами Б. Рассела:

«Мусульманская цивилизация в свои великие дни достигла замечательных результатов в области искусств и во многих областях техники, но обнаружила полную неспособность к самостоятельным умозрительным построениям в теоретических вопросах. Её значение, которое нельзя недооценивать, заключается в роли передатчика. Античную и новую европейскую цивилизацию разделяют века мрака. Мусульмане и византийцы, будучи лишены умственной энергии, необходимой для новаторства, сохранили аппарат цивилизации: образование, книги и ученый досуг. Мусульмане и византийцы стимулировали Запад, когда он вышел из состояния варварства: мусульмане преимущественно в XIII столетии, византийцы же большей частью в XIV столетии» (Б. Рассел, 71, с.444).

X—XI вв. являются тем рубежом времени, начиная с которого вся интеллектуальная жизнь Западной Европы стала изменяться. Этот перелом можно объяснить двумя причинами. Во-первых, радикальным изменением хозяйственной жизни, когда на общественную арену вышло новое сословие, состоящее из горожан, занимающихся торговлей и ремеслами. Среди этого населения резко возросло количество образованных людей. Во-вторых, в Европу мощным потоком стали проникать знания, в том числе математические и прематематические знания, накопленные в исламском мире. Центрами новой жизни сначала были итальянские города, а затем и города Центральной Европы, такие, как Нюрнберг, Прага, Вена. Все это сказалось как на прематематике, так и на математике.

Как мы уже отмечали выше, греческая математика вернулась в Европу только в XII— XIII веках, когда Европа стала знакомиться с оригинальной греческой культурой, заложенной в книгах греческих авторов, а также с произведениями арабских математиков.

Эти книги стали проникать в Европу сразу из двух направлений: с востока и с запада. На востоке крестовые походы и образование Иерусалимского королевства, а также торговые связи с Византией, столкнули между собой две культуры: западно-христианскую и мусульманскую. На западе книги приходили из Испании. Поэтому все дальнейшее развитие математики происходило под полным влиянием книг древних греков и арабов, с которыми европейцы стали знакомиться, прежде всего, по переводам с арабского языка.

Деятельность переводчиков с арабского стала бурно развиваться по мере захвата испанцами Пиренейского полуострова. Когда в 1085 г. был взят Толедо, сюда ринулись жаждущие знаний. В скором времени здесь уже работала целая группа переводчиков, куда входили люди различных национальностей. Одним из первых переводчиков был английский ученый Аделард из Бата, написавший книгу «Правила абака». Он первый перевел «Начала» Евклида в пятнадцати книгах на латинский язык. Другой англичанин, Роберт из Честера, перевел в Сеговии в 1145 г. алгебраический трактат ал-Хорезми, положив начало алгебраическим знаниям европейских ученых. Наиболее выдающимся переводчиком той эпохи был Герардо из Кремоны, переведший «Алмагест» Птолемея и ряд трудов арабских и греческих ученых.

По существу, тысячу лет Европа жила без математики и совсем не чувствовала ее нехватку. Все необходимые потребности выполняла прематематика. Как мы уже отмечали выше, европейцы стали заниматься математикой, когда во всем мире в то время практически прекратили заниматься ею. Это явление мы объясняли тем, что логика Аристотеля была внедрена схоластами в католическую теологию. Это привело к тому, что в монастырях и в связанных с ними университетах появился интеллектуальный интерес к оригинальным греческим философским трудам, а через них — и к математике. Так как греческая философия утверждала, что есть глубокая связь математики с природой, то и католические теологи были вынуждены осуществить синтез математики с католической теологией, провозгласив, что Божьи законы для функционирования природы написаны на математическом языке.

Как мы уже упоминали выше, развитие европейской математики до XVII в. можно условно разделить на два периода: XII—XIV вв. и XV—XVI вв. Если в первый период происходило, по существу, знакомство с достижениями греческой и арабской математик, то во втором периоде европейские математики стали получать результаты, не только сравнимые по своему уровню с лучшими результатами греческих и мусульманских математиков, но даже превосходящие их по сложности.

Из математиков первого периода отметим Леонардо Пизанского, известного также под именем Фибоначчи. Он был первым самостоятельным европейским ученым, полностью осветившим все достижения математиков стран ислама. Основным трудом Леонардо является «Книга абака», о которой мы упоминали в п. 3.5. В этой книге он систематизировал огромное количество сведений, почерпнутых из арабских трудов, добавив к этому собственные задачи и методы. «Книга абака» намеого превосходит арифметико-алгебраическую литературу XII—XIV вв. разнообразием и силой методов, богатством задач, доказательностью утверждений. Из других математиков того периода можно отметить Иордана Неморария, Томаса Брадвардина, Ричарда Суайнсхеда, Никола Орема.

В XIV—XV вв. математика развивается главным образом в Италии, Франции и Германии, в конце XVI в. присоединяется Голландия. Наибольших успехов математики Европы в этот период добились в области алгебры. Крупнейшим алгебраистом XV в. был итальянец Лука Пачоли, профессор математики в ряде итальянских университетов.

Основным трудом Л. Пачоли была книга «Сумма [знаний] по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности», изданная в Венеции в 1494 г. Эта книга была настоящей суммой математических знаний той эпохи. В ней была полностью воспроизведена «Книга абака» Леонардо Пизанского, о которой мы уже говорили выше. В этой книге Пачоли вводит в алгебру, которую он называет «regula della cosa» («правило вещи») и «arte maggiore» («великое искусство»), символические обозначения, так называемые «алгебраические буквы». Здесь же он широко использует отрицательные числа, на трактовку которых оказал влияние тот факт, что Пачоли был изобретателем двойной бухгалтерии. Основные положения этой бухгалтерии он также изложил в этой книге.

«Алгебраические буквы», которыми Пачоли обозначал неизвестную и ее степени и которыми с незначительными видоизменениями пользовались итальянские алгебраисты в XVI в., были важным шагом на пути создания алгебраической символики. Следующий шаг был сделан немецкими алгебраистами XVI в., известными под названием «коссистов». Это название объясняется тем, что они именовали алгебру Coss – от итальянского слова cosa – вещь, обозначавшую неизвестную у итальянских алгебраистов.

Пачоли закончил раздел «Суммы» об алгебраических уравнениях замечанием о том, что для решения определенных уравнений третьей степени «искусство алгебры не дало способа, как не дан способ квадратуры круга». Эти слова Пачоли послужили отправным пунктом для работ итальянских алгебраистов по решению кубических уравнений в радикалах, что явилось первым крупным математическим достижением европейских ученых, существенно превзошедшим открытия математиков Востока.

Профессору Болонского университета С. дель Ферро первому удалось решить в радикалах один из видов кубического уравнения, но он его не опубликовал. Никола Тарталья самостоятельно нашел правило дель Ферро. Эти открытия Тарталья были опубликованы в алгебраическом трактате Джироламо Кардано «Великое искусство, или об алгебраических правилах» (1545). В 1539 г. Кардано, узнав об открытии Тартальи, выпросил у него формулировку решения, поклявшись не публиковать его. Тарталья сообщил свое правило в стихотворении из 25-ти строк. Восстановив по не вполне ясным формулировкам правило и доказав его, Кардано счел себя вправе поместить решение в своей книге, упомянув об авторстве Тартальи. Несмотря на это, за правилом закрепилось название «формула Кардано». В своей книге Кардано также изложил открытый его учеником Луиджи Феррари метод решения уравнения четвертой степени. В ней же впервые встречаются новые математические объекты – мнимые величины.

Кардано называл мнимые величины «чисто отрицательными». Он считал их бесполезными и стремился не применять их. Первым математиком, оценившим пользу мнимых величин, в частности, при решении кубического уравнения, был Рафаэль Бомбелли, последний в блестящей плеяде итальянских алгебраистов XVI в.

Труды перечисленных выше математиков подготовили почву к появлению одного из замечательных математиков XVI в. — Франсуа Виета, который в значительной степени завершил работу предшественников по созданию символической алгебры. Общие идеи и основные правила проведения алгебраических операций Виет изложил в книге «Введение в аналитическое искусство» (1591).

В этой работе он впервые ввел в рассмотрение уравнения с буквенными коэффициентами. Обозначать буквой неизвестное в уравнении стал еще Диофант. Буквы в уравнениях встречаются и у других математиков, но только Виет стал первым систематически и сознательно применять буквенные обозначения в уравнениях. Работа Виета открыла путь, ведущий к таким основным математическим понятиям, как аналитическая формула и функция, что позволило развить в дальнейшем аналитическую геометрию и математический анализ.

Нововведение Ф. Виета можно приравнять по своему значению к таким достижениям в математике и прематематике, которые открыли новые горизонты для исследований, благодаря изменению формы записи или представления результатов исследований. Среди подобных нововведений можно отметить изобретение десятичной позиционной системы для представления чисел, символику Лейбница в математическом анализе. Подходящее обозначение лучше отражает действительность, чем неудачное, и поэтому оказывается обладателем собственной энергии, которая в свою очередь порождает новое.

Нам сегодня, благодаря развитию математики, достаточно трудно по достоинству оценить все революционное значение этого нововведения, ибо нам этот шаг кажется простым и достаточно логичным и очевидным. Однако с позиций существовавшей тогда математики это совершенно не так. Для совершения этого достижения Виет должен обладать достаточно изощренным умом. Попытаемся обосновать наше утверждение.

Во-первых, при помощи своего новшества Виет ввел в математику принципиально иной математический объект, который обладал наибольшей степенью абстракции среди всех встречающихся до тех пор математических объектов. Этот объект, т.е. алгебраическое уравнение с буквенными коэффициентами, представляет собой, с одной стороны, бесчисленное множество всех уравнений, каждое из которых есть уравнение с конкретными числовыми коэффициентами. С другой стороны, любое математическое утверждение относительно уравнения с буквенными коэффициентами является в то же время и утверждением относительно и каждого конкретного уравнения с конкретными числовыми коэффициентами.

Во-вторых, благодаря такому подходу появилась наконец возможность формулировать и доказывать алгебраические утверждения на таком же уровне общности, как и геометрические теоремы. Это был первый, но принципиально важный шаг на пути к построению алгебры как математической теории и алгебраизации всей математики.

Оглядываясь назад, можно с полной уверенностью сказать, что именно это чисто техническое нововведение, которое (возможно) трудно назвать открытием, обеспечило в последующем создание и развитие европейской математики.

В-третьих, введение буквенных коэффициентов в рассмотрении квадратных уравнений являлось первым шагом в построении символического математического языка, без которого не могло быть прогресса в математике. Введение символьной записи для представления математических зависимостей изменило лицо математических исследований, расширив их границы и углубив их. Эти изменения естественным образом связаны с тем, что символьная запись математических зависимостей позволила вводить новые математические понятия, тем самым создав специфический математический язык, отличный от геометрического представления математических зависимостей. Именно отсутствие символьной записи математических зависимостей было причиной недостаточного распространения математических моделей в древности и сдерживающим фактором в развитии математики до XVII века.

В-четвертых (что вытекает из предыдущего), самым замечательным следствием новшества Виета является введение в рассмотрение математических формул. Под формулой мы понимаем некий алгоритм решения однородного множества конкретных задач, записанный с помощью символов. Введение в рассмотрение математических формул имеет очень глубокий философский смысл. Формула является «мостом», связывающим математику с прематематикой, интеллектуальное познание — с прагматическим. Так как формула представляет собой запись алгоритма решения задачи, то на нее можно посмотреть как на прагматическое знание. Формула, математически выведенная, представляет собой, с одной стороны, интеллектуальный продукт, являющийся результатом интеллектуальных рассуждений, а с другой стороны, ее можно рассматривать как прагматическую гипотезу, которая проверяется опытом.

В 1558 году был издан перевод работ Архимеда на латынь, выполненный Коммандино, который открыл перед европейцами античный интеграционный метод. Эта книга послужила катализатором для появления ряда работ в области статики и гидравлики.

Более того, она также стимулировала исследования в новом разделе математики, который впоследствии получил название «математический анализ». Важным шагом в этом направлении была книга Бонавентуры Кавальери «Геомет-рия», где автор построил упрощенную разновидность исчисления бесконечно малых, основанную на схоластическом представлении о неделимых величинах. Оно заключалось в том, что точка порождает при движении линию, а линия – плоскость. Появление этой книги побудило многих математиков различных стран заняться задачами, в которых применялись бесконечно малые. Среди этих математиков можно встретить Декарта, Ферма, Валлиса, Торричелли, Барроу.

Резюмируя вышесказанное, можно утверждать, что к концу XVI века европейская математика полностью овладела теми математическими знаниями, которые ей достались от греков, арабов и индийцев. Европейцы, в отличие от арабов и индийцев, значительное внимание уделяли геометрии, ибо они достаточно быстро овладели искусством дедуктивного математического доказательства (сказалось влияние схоластики). Но здесь в рассматриваемый нами период европейцам не удалось получить существенных результатов, превосходящих достижения греческой геометрии. Зато в области алгебры и арифметики они достаточно быстро догнали и перегнали не только греков, но и арабов и индийцев, и с этого времени и до настоящего все основные достижения в математике принадлежат западной цивилизации. Конец рассматриваемого периода характеризуется тем, что интеллектуальный уровень европейской математики полностью достиг уровня греческой математики. Теперь оставалось немного времени до того, когда уровень развития европейской математики превзойдет греков.

Математика XVII века в Европе была своеобразным интеллектуальным занятием, сохранившим в себе нечто от цеховых традиций средневековья. Обычной была ситуация, когда отдельные мастера, придумав какую-нибудь сложную задачу, бросали публичный вызов своим собратьям по цеху, предлагая им найти решение и показать свое ремесло.

Выше мы уже приводили примеры таких соревнований в Италии. Методы решения задач держались в тайне от соперников — точно так же, как любой цеховой мастер оберегал тайны своего профессионального мастерства. Пьер Ферма унес с собой многие тайны своего искусства; многочисленные открытия Ньютона ждали своей публикации не один десяток лет.

Принципиальный шаг в сторону создания новой математики был сделан Р. Декартом, который заложил основы новой математической дисциплины, которую сегодня называют аналитической геометрией. Эта дисциплина связала между собой алгебру и геометрию.

«Все задачи геометрии можно легко привести к таким терминам, что для их построения нужно будет знать лишь длину некоторых прямых линий… Подобно тому, как вся арифметика состоит только из четырех или пяти действий, именно в сложении, вычитании, умножении, делении и извлечении корней, которое можно считать некоторого рода делением, подобно этому в геометрии, чтобы подготовить искомые линии к определению, нужно только прибавить к этим линиям или отнять от них другие; или же нужно, имея линию, которую я, дабы установить более тесную связь с числами, назову единицей и которая может быть выбрана произвольно, и имея еще две другие линии, найти четвертую линию, так относящуюся к одной из двух, как единица к другой, а это то же самое, что деление; или, наконец, найти одну, или же две, или несколько средних пропорциональных между единицей и какой-нибудь другой линией, а это то же самое, что извлечь квадратный или же кубический и т.д.

корень» (Р. Декарт, 27, сс.11-12).

Все операции над отрезками приводят в исчислении Декарта к отрезкам. Любой отрезок, в его отношении к единичному, служит эквивалентом некоторого действительного числа. Само исчисление основано на том, что отрезки обозначаются буквами или цифрами, а операторы — обычными знаками арифметики и алгебры. Таким образом, устанавливается тесная связь между алгеброй и геометрией. В этом случае любое алгебраическое выражение можно рассматривать как отрезок, если выбран единичный отрезок. Суть этой связи четко выразил А.П. Юшкевич (26, с. 526):

«Отметим, прежде всего, что переменные величины были введены Декартом – если не явно, то по существу – в двух проявлениях. С одной стороны, это отрезки переменной длины, текущие координатные отрезки точки, своим движением описывающие плоскую кривую. С другой стороны, это численные переменные, выражающие длины, а для ординат – и направления координатных отрезков. Такой двуликий геометрический и числовой образ переменных обуславливал взаимопроникновение геометрических и арифметико-алгебраиче-ских методов и ставшее в очередь дня применение алгебры к геометрии. Само понятие о числе, под которым ранее понималось положительное рациональное, Декарт – опять-таки, если и неявно, то фактически – распространил на всю область вещественных чисел: без этого немыслимо было аналитическое изучение непрерывных пространственных фигур, их взаимосвязей и движения. Тем самым Декарт порывал с восходившей к античности традицией, считавшей разнородными объекты арифметики и геометрии, дискретное число и непрерывно протяженную величину и придерживавшейся того правила, что нельзя переносить доказательства из одного рода в другой, например, доказательства арифметики – на величины, не являющиеся числами».

Создание аналитической геометрии положило начало алгебраизации математики, ибо с этого времени исследования в области геометрии стали проводиться на алгебраическом языке. Другими словами, если греки при построении математики свели алгебру к геометрии, то Декарт при своем построении математики начал процесс сведения геометрии к алгебре. Разработка аналитической геометрии, а также теории движения, привела к тому, что Декарт одним из первых стал неявно пользоваться понятием функции.

Введение в рассмотрение понятия функции было другим выдающимся математическим событием того времени. Происхождение любой важной идеи всегда можно проследить, углубляясь в историю на десятилетия, если не на века. В полной мере это относится и к понятию функции, которое начало оформляться задолго до XVII века. Тем не менее, явный смысл это понятие обрело лишь в XVII веке, а с началом ХХ века оно становится универсальным, которое широко используется во всех областях знаний.

В становлении понятия функции возобладало новое представление функциональной зависимости – в виде формулы, а все прежние способы отошли на второй план.

Решающую роль здесь сыграли два момента. Во-первых — создание эффективной символики в алгебре, начало которой положил Виет, что позволило записывать в сжатой и удобной форме алгебраическое выражение, включающее в себя неизвестные величины и произвольные коэффициенты. Во-вторых — создание Декартом и Ферма аналитической геометрии, в основе которой лежало, в частности, представление геометрических кривых в виде уравнения. Хотя Декарт рассматривал, в основном, такие кривые, уравнение которых представляет собой алгебраическое выражение, в течение короткого времени это ограничение было снято другими математиками, в том числе Ньютоном и Лейбницем.

Лейбницу мы обязаны самим словом «функция».

Распространение этого понятия среди математиков дало возможность ввести и другие понятия, связанные с понятием функции: непрерывная функция, производная функция, интеграл и т.п. Все эти понятия легли в основу математического анализа, который являлся основным и главенствующим направлением математики в рассматриваемый период времени.

Наряду с упомянутой выше книгой Кавальери одним из наиболее важных произведений «периода предтеч математического анализа» была «Арифметика бесконечных» (1655) Валлиса. В отличие от Кавальери, Валлис применил к своим исследованиям алгебру. Он был первым математиком, у которого алгебра переросла в анализ. Те результаты, которые Валлис приводил в своей книге, отличались тем, что греки ни в коем случае не могли бы их получить. Он вводил в рассмотрение бесконечные ряды и бесконечные произведения, весьма смело обращался с мнимыми выражениями, с отрицательными и дробными показателями.

Валлис был только одним из целого ряда блестящих представителей этого периода, обогащавших математику одним значительным открытием за другим. Среди них мы видим таких выдающихся математиков, как П. Ферма, Х. Гюйгенс, Б. Паскаль.

«Общий метод дифференцирования и интегрирования, построенный с полным пониманием того, что один процесс является обратным по отношению к другому, мог быть открыт только такими людьми, которые овладели как геометрическим методом греков и Кавальери, так и алгебраическим методом Декарта и Валлиса. Такие люди могли появиться лишь после 1660 г., и они действительно появились в лице Ньютона и Лейбница. Очень много написано по вопросу о приоритете этого открытия, но теперь установлено, что оба они открыли свои методы независимо друг от друга. Ньютон первым открыл анализ (в 1665-1666 гг.), Лейбниц в 1673-1676 гг., но Лейбниц первый выступил с этим в печати (Лейбниц в 1684-1686 гг., Ньютон в 1704-1736 гг., посмертно). Школа Лейбница была гораздо более блестящей, чем школа Ньютона» (Д.Я. Стройк, 75, с.146).

Развитие математики в Европе было тесно связано с методологическим развитием естествознания в XVII века.

«Перед нами со всей отчетливостью проступает общая закономерность: мыслители, стоящие у истоков современной науки, к числу которых мы можем причислить Декарта, Галилея, Гюйгенса, Ньютона, а также Коперника и Кеплера, подходили к исследованию природы как математики, будь то избранный ими общий метод или конкретные исследования. Будучи мыслителями абстрактно-теоретического толка, они надеялись постичь широкие, глубокие, но вместе с тем простые, ясные и незыблемые математические принципы либо с помощью интуитивных прозрений, либо путем решающих наблюдений и экспериментов, а затем вывести из этих фундаментальных истин новые законы точно таким же способом, каким в самой математике строится геометрия. Научная деятельность, по их мнению, должна сводиться к дедуктивным рассуждениям, и именно дедуктивным путем надлежит строить все системы умозаключений» (М.

Клайн, 39, с.116-117).

С созданием математического анализа закончилась эпоха греческой математики и началась эпоха европейской теоретической математики, которая принципиально отличается от греческой математики не только по месту ее развития, а по своему духу.

Греческая математика не исчезла с возникновением европейской математики. Она просто отодвинулась на задний план, хотя привлекала и привлекает и сегодня крупнейших математиков заниматься ее задачами.

Ньютон создал удивительный интеллектуальный синтез, который, с одной стороны, был теоретической математикой, а с другой — теоретической физикой. На это уникальное явление можно было бы посмотреть как на осуществление мечты грековплатоников. Основными элементами картины мироздания являлись математические объекты, в которые вкладывался определенный физический смысл.



Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 13 |
 
Похожие работы:

«2 3 РЕФЕРАТ Отчет 78 стр., 42 рис., 4 таблицы, 4 приложения Ключевые слова: астрономические оптические телескопы, методы астрономических наблюдений. Объектом исследования являются космические объекты и методы их наблюдений. Цель работы – проведение комплексных исследований астрофизических объектов методами радио и оптической астрономии, научно-методическое и приборное обеспечение наблюдений на телескопах САО РАН в режиме ЦКП в соответствии с утвержденным программным комитетом расписанием...»

«Министерство науки и образования Украины Харьковский национальный университет имени В.Н. Каразина Е.Ю. Банникова, В.М.Конторович Теоретическая астрофизика (дополнительные главы для астрономов и радиоастрономов) Харьков 2009 Содержание (план лекций) 1. Гидродинамика. Звуковые волны. 2. Гравитационная неустойчивость. 3. Законы сохранения. Ударные волны. 4. Теория сильного взрыва. Сверхновые и их остатки. 5. Магнитная гидродинамика. 6. Синхротронное излучение. 7. Синхротронное излучение....»

«Методы обработки спектральных и фотометрических изображений, полученных на крупных телескопах (курс) Лаборатория Физики Звезд Специальная астрофизическая обсерватория РАН Нижний Архыз 1 В курсе рассмотрены и описаны современные методы работы с астрофизическими изображениями, полученными на крупных телескопах, как наземных, так и космических. Целью данного курса является обучение стандартным методам обработки в среде MIDAS наблюдательных данных, полученных на спектрографах с длинной щелью, и...»

«ТЕМА 3. ЖЕНЩИНА АЗЕРБАЙДЖАНА В ПЕРИОД РАЗВИТОГО СРЕДНЕВЕКОВЬЯ (IX – XVIII вв.) План занятия XII – XIII вв. – период ренессанса Азербайджана – мусульманского (в поэзии Мехсети Гянджеви, ее свободная любовная лирика) и возрождения албанского христианства (строительство соборов женщинами из родов Гасан Джалалов); Женщины Востока – мусульманские правительницы IX – XIII вв.; Роль и место женщин у тюркских кочевых племен VIII –XIII вв. в эпосе Книга моего деда Деде Коркута – культ женщины–матери,...»

«, №24 (50) 2005 www.gastromag.ru холодец салат из курицы с яблоками в карамели петровские щи утка под соусом из инжира рождественская свинина в имбирной глазури хрустящая рыба по-тайски суфле из лосося паста морское дно мясная плетенка груши в тесте безе безе с мороженым засахаренные фрукты творожный торт с желе из грейпфрута Товар сертифицирован xx Дорогие друзья! От всей души поздравляем вас с наступающим Новым годом. Вы, конечно, xx не забыли, что он пройдет под знаком Собаки. Обязательно...»

«ЖИЗНЬ СО ВКУСОМ №Щ октябрь–ноябрь 2013 18+ КУХНЯ-МЕТИС Латинская Америка — рецепты шефов и взгляд изнутри СТЕЙК Всё, что нужно знать о большом куске мяса БАРСЕЛОНА Кафе на рынках, тапас-бары и гастропабы — маршрут на выходные ПИСЬМО ЧИТАТЕЛЮ ДОРОГИЕ ДРУЗЬЯ! Чтобы оставаться в форме, необходимы покой, хорошая еда и никакого спорта, любил повторять Уинстон Черчилль. Безусловно, во всём доверяться даже такому авторитету, как знаменитый премьер Великобритании, не стоит. Однако как важно подчас...»

«UNESCO Организация Объединенных Наций по вопросам образования, наук и и культуры Загадки ночного неба, с. 2 Мир Ежеквартальный информационный бюллетень по естественным наукам Издание 5, № 1 Январь–март 2007 г. РЕДАКЦИОННАЯ СТАТЬЯ СОДЕРЖАНИЕ К телескопам! ТЕМА НОМЕРА 2 Загадки ночного неба П равительства ряда стран считают, что Международных лет слишком много. НОВОСТИ В наступившем веке уже были Международные года, посвященные горам, питьевой воде, физике и опустыниванию. В настоящее время...»

«ОСНОВА ОБ ЭВОЛЮЦИИ СОДЕРЖАНИЯ ГЛАВНЫХ ЗАДАЧ ГЕОДЕЗИИ И ГРАВИМЕТРИИ Юркина М.И., д.т.н., профессор-консультант, ФГУП ЦНИИГАиК, Бровар Б.В., д.т.н., ведущий научный сотрудник, ФГУП ЦНИИГАиК Авторы считают постановку Изыскательским вестником (№1/2009) вопроса Что такое геодезия совершенно правильной, но ответы на этот вопрос в публикациях проф. Г.Н.Тетерина [15-16], на наш взгляд, неполны. Более того, изложенное в них понимание фактически игнорирует роль, которую играет в геодезии изучение...»

«РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. С.А. ЕСЕНИНА БИБЛИОТЕКА ПРОФЕССОР АСТРОНОМИИ КУРЫШЕВ В.И. (1913 - 1996) Биобиблиографический указатель Составитель: заместитель директора библиотеки РГПУ Смирнова Г.Я. РЯЗАНЬ, 2002 2 ОТ СОСТАВИТЕЛЯ: Биобиблиографический указатель посвящен одному из замечательных педагогов и ученых Рязанского педагогического университета им. С.А. Есенина доктору технических наук, профессору Курышеву В.И. Указатель включает обзорную статью о жизни и...»

«ИЗВЕСТИЯ КРЫМСКОЙ АСТРОФИЗИЧЕСКОЙ ОБСЕРВАТОРИИ Изв.Крымской Астрофиз.Обс. 103, №2, 99–111 (2007) Из хроники Крымской астрофизической обсерватории Н.С. Полосухина-Чуваева НИИ “Крымская астрофизическая обсерватория”, 98409, Украина, Крым, Научный Поступила в редакцию 12 декабря 2005 г. Крымская Астрофизическая обсерватория прошла большой и нелегкий путь от любительской до одной из наиболее известных обсерваторий мира. Мы не можем сегодня не упомянуть имени любителя астрономии (почетного члена...»

«ГУ “ВИТЕБСКАЯ ОБЛАСТНАЯ БИБЛИОТЕКА ИМ. В.И.ЛЕНИНА” БЮЛЛЕТЕНЬ НОВЫХ ПОСТУПЛЕНИЙ (февраль 2007 г.) Витебск, 2007 ПРЕДИСЛОВИЕ Бюллетень новых поступлений информирует читателей о новых книгах, которые поступили в отделы библиотеки. Размещение материала в бюллетене – тематическое, внутри раздела – в алфавитном порядке. С правой стороны описания книги указывается ее шифр, сигл отдела библиотеки, получившего книгу и экземплярность. Расшифровка сиглов отделов библиотеки: АБ – абонемент БЕ – отдел...»

«ЗАБЫТОЕ ИМЯ ГЕРОЯ - БОРЦА С ХОЛОКОСТОМ Ирина Магид Имя этого героя - борца с Холокостом – Хайм Михаель Дов Вейссмандел (или Рав Вейссмандел). Благодаря его личному участию и организованной им Рабочей Группы, удалось спасти тысячи евреев Словакии и миллион евреев в Европе [1, 2]. I. Биографическая справка о жизни и деятельности Рава Вейссмандела [1, 2] I. 1. Довоенный период Хайм Михаель Дов Вейссмандел – ортодоксальный раввин и учёный – родился в Венгрии, г. Дебрецен 25 октября 1903 г. в...»

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ РАДИОТЕХНИКИ И ЭЛЕКТРОНИКИ ПЛАНЕТНЫЙ РАДИОЛОКАТОР (РАЗДЕЛ ТЕХНИЧЕСКИХ ПРЕДЛОЖЕНИЙ) Содержание Введение 2 Исходные данные 4 Планеты земной группы 5 Спутники внешних планет 9 Астероид Таутатис 10 Исследования околоземного космического мусора 12 Функциональная схема радиолокатора 14 Антенная система 15 Доплеровский синтезатор Синтезатор ЛЧМ-сигнала Хронизатор Особенности устройства обработки Заключение Литература Главный научный сотрудник ИРЭ РАН О. Н. Ржига...»

«1822 плану – соединения веры с ведением. Язык французский в литературе, во всех науках естественных и математических сделался до того классическим, что профессору химии, медицины, физики, математики и астрономии невозможно не читать специальных сочинений на французском языке, тем более что французы весьма редко пишут на латинском языке. У нас французский язык стал общеупотребительным, и странно было бы не знать его, а во многих родах службы это знание необходимо (Сухомлинов. Исследования и...»

«ПРОФЕССОР СЕРГЕЙ ПАВЛОВИЧ ГЛАЗЕНАП Проф. С. П. Глазенап Почетный член Академии Наук СССР ДРУЗЬЯМ и ЛЮБИТЕЛЯМ АСТРОНОМИИ Издание третье дополненное и переработанное под редакцией проф. В. А. Воронцова-Вельяминова ОНТ И ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ НАУЧНО - ПОПУЛЯРНОЙ И ЮНОШЕСКОЙ ЛИТЕРА ТУРЫ Москва 1936 Ленинград НПЮ-3-20 Автор книги — старейший ученый астроном, почетный член Академии наук, написал ряд научно-популярных и специальных трудов по астрономии, на которых воспитано не одно поколение любителей...»

«Михаил Васильевич ЛОМОНОСОВ 1711—1765 Биография великого русского ученого и замечательного поэта М. В. Ломоносова достаточно хорошо известна. Поэтому напомним только основные даты его жизни и деятельности. Ломоносов родился 8 ноября 1711 года в деревне Куростров близ Холмогор в семье зажиточного крестьянина Василия Дорофеевича Ломоносова. Мать Михайлы Ломоносова — Елена Ивановна (дочь дьякона) — умерла, когда мальчику было 8—9 лет. Первыми книгами Ломоносова, по которым он учился грамоте, были...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫ Харьковский национальный университет имени В. Н. Каразина Радиоастрономический институт НАН Украины Ю. Г. Шкуратов ХОЖДЕНИЕ В НАУКУ Харьков – 2013 2 УДК 52(47+57)(093.3) ББК 22.6г(2)ю14 Ш67 В. С. Бакиров – доктор соц. наук, профессор, ректор Харьковского Рецензент: национального университета имени В. Н. Каразина, академик НАН Украины Утверждено к печати решением Ученого совета Харьковского национального университета имени В. Н....»

«СЕРГЕЙ НОРИЛЬСКИЙ ВРЕМЯ И ЗВЕЗДЫ НИКОЛАЯ КОЗЫРЕВА ЗАМЕТКИ О ЖИЗНИ И ДЕЯТЕЛЬНОСТИ РОССИЙСКОГО АСТРОНОМА И АСТРОФИЗИКА Тула ГРИФ и К 2013 ББК 22.6 Н 82 Норильский С. Л. Н 82 Время и звезды Николая Козырева. Заметки о жизни и деятельности российского астронома и астрофизика. – Тула: Гриф и К, 2013. — 148 с., ил. © Норильский С. Л., 2013 ISBN 978-5-8125-1912-4 © ЗАО Гриф и К, 2013 Мир превосходит наше понимание в настоящее время, а может быть, и всегда будет превосходить его. Харлоу Шепли КОЗЫРЕВ И...»

«Г.С. Хромов АСТРОНОМИЧЕСКИЕ ОБЩЕСТВА В РОССИИ И СССР Сто пятьдесят лет назад знаменитый русский хирург Н.И. Пирогов, бывший еще и крупным организатором науки своего времени, заметил, что. все переходы, повороты и катастрофы общества всегда отражаются на науке. История добровольных научных обществ и объединений отечественных астрономов, которую мы собираемся кратко изложить, может служить одной из многочисленных иллюстраций справедливости этих провидческих слов. К середине 19-го столетия во...»

«Великолепная Фландрия Великолепная Фландрия Великолепная Фландрия расположена в самом сердце Западной Европы и входит в состав Королевства Бельгия. Фландрия – северный регион страны, который гордится своей богатой историей, разнообразными достопримечательностями и культурными традициями. Нигде в мире вы не найдете столько памятников всемирного наследия ЮНЕСКО на столь маленькой территории. Пусть эта брошюра поможет отыскать то, к чему вы привяжетесь всей душой и то, что вы полюбите всем...»






 
© 2014 www.kniga.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Книги, пособия, учебники, издания, публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.