WWW.KNIGA.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Книги, пособия, учебники, издания, публикации

 

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 13 |

«Математическое моделирование и компьютерная математика. Иерусалим, 2009 1 Содержание Введение 7 Часть 1. Теория познания и моделирование Глава 1. Исторический взгляд на ...»

-- [ Страница 5 ] --

В однотекстовом математическом моделировании мы встречаемся с несколькими типами целей моделирования. Во-первых, цель может состоять в доказательстве некоего математического утверждения (теоремы). Выбор такой цели означает, что весь процесс моделирования происходит в рамках теоретической математики или теоретической физики. Во-вторых, цель моделирования может заключаться в преобразовании математической формулы. И в этом случае процесс моделирования происходит в рамках теоретической математики или теоретической физики, ибо преобразование формул осуществляется на базе или аксиом, или определений. В третьих, в качестве цели моделирования берется осуществление процесса вычисления, состоящего из проведения конечного числа арифметических операций над конкретными числами. В этом случае процесс моделирования осуществляется в рамках прематематики.

Третий этап. Так как объектами исследования в теоретической математике являются математические объекты, то математические модели этих объектов совпадают с самими объектами, т.е. сами объекты можно рассматривать как их математические модели.

Другими словами, объект исследования в теоретической математике совпадает со своей глобальной моделью. Но тогда и глобальная цель исследования совпадает с глобальной целью моделирования, а глобальный критерий достижения цели исследования совпадает с глобальным критерием моделирования.

Иной случай мы наблюдаем в теоретической физике, где математическая модель объекта исследования отличается от самого объекта исследования. Вэтой ситуации необходимо выбрать математическую модель, с помощью которой возможно провести исследование реального объекта. Однако важно отметить, что в условиях однотекстового моделирования объектом исследования является математическая модель, а не реальный объект.

В зависимости от цели моделирования определяется и вид модели. Если цель заключается в получении или доказательстве общего утверждения, то выбирается модель в общем виде; если же цель состоит в получении конкретных числовых данных, то выбирается конкретная модель.

Объект исследования представлен в человеческом сознании с помощью набора определенных свойств, которые познаются через чувственные ощущения.

Математическая модель представляет собой набор математических переменных, связанных с помощью математических зависимостей. (Каждая математическая зависимость – это, по своей сути, некая математическая функция.) Таким образом, процесс построения математической модели исследуемого объекта - это, во-первых, выбор свойств реальных объектов, которые являются необходимыми для описания поведения реального объекта, во-вторых, установление соответствия между математическими переменными и свойствами исследуемого объекта, в третьих, установление математических зависимостей между математическими переменными.





Выбор свойств исследуемого объекта является одним из центральных моментов в математическом моделировании. Это действие не является формальным, поскольку оно основано на интуиции исследователя, на его внутреннем понимании функционирования реального объекта. Здесь играет большую роль принцип Оккама, который требует обходиться при исследовании только необходимым количеством свойств реального объекта.

Сопоставление свойств математических символов носит чисто формальный характер и не несет никакой нетривиальной информации.

Выбор форм математических зависимостей является чисто математической задачей, не связанной никоим образом с исследуемым реальным объектом. Этот выбор зависит только от математических знаний и способностей исследователя, ибо существенно влияет на последующий процесс исследования модели.

Четвертый этап. Исследование модели заключается в проведении математического доказательства, или в его поиске, либо в преобразовании математической формулы, либо в проведении процесса вычислений.

Если исследование модели заключается в доказательстве утверждения, то в результате исследования возможны два случая: утверждение доказано или утверждение не доказано.

В первом случае мы сразу переходим к следующему этапу. Во втором случае мы опять сталкиваемся с двумя возможностями. С одной стороны, мы можем изменить тем или иным способом формулировку утверждения, которого не удалось доказать, и затратить новые усилия в попытке доказать новое утверждение. С другой стороны, можно сразу перейти к следующему этапу, признав свою неудачу.

Если же исследование модели заключается либо в преобразовании формулы, либо в проведении конечной цепочки арифметических действий над конкретными числами, то, получив результаты (избегая ошибок в процессе преобразования или вычисления), сразу переходим к следующему этапу.

Пятый этап состоит в том, чтобы истолковать результаты исследования на языке исследуемого объекта и принять решение, являются ли полученные результаты ответом на поставленную цель исследования. Так как язык модели совпадает с языком постановки проблемы исследования, то этот этап осуществляется автоматически.

Из описания основных этапов однотекстового моделирования и его задач, видно, что здесь мы имеем дело только с адекватными моделями. Модели, в которых требуется доказать утверждение или преобразовать математическую формулу, относятся к теоретическим моделям, а модели, которые служат для проведения конечного числа арифметических вычислений, являются прагматическими моделями.

Теперь перейдем к рассмотрению многотекстового моделирования.

Многотекстовое математическое моделирование основано на использовании модели, которая, в свою очередь, представляет собой совокупность взаимосвязанных моделей, относящихся к различным типам познания. Эту модель, состоящую из совокупности взаимосвязанных моделей, назовем глобальной моделью, а каждую из моделей, входящих в глобальную модель, - частной моделью. В самом общем случае глобальная модель состоит из трех моделей: теоретической модели, прагматической математической модели и компьютерной модели. Часто встречаются глобальные модели, состоящие из двух частных моделей. Ниже мы встретимся с такими глобальными моделями, состоящими из теоретической модели и прагматической модели.





Многотекстовое моделирование, как и любой процесс моделирования, начинается с формулировки цели моделирования. Эту цель назовем глобальной целью. Так как процесс моделирования является итеративным процессом, то и глобальная цель моделирования меняется в зависимости от итераций. Это означает, что формулировка цели, с которой начался процесс моделирования, может существенно отличаться от формулировки цели моделирования при окончании процесса моделирования. Уже при первоначальном определении глобальной цели моделирования часто выясняется, состоит ли глобальная модель из двух или трех частных моделей.

Среди частных моделей, составляющих глобальную модель, всегда можно выделить модель, которую назовем основной моделью. Результаты исследования основной модели являются также результатами исследования глобальной модели. Другие частные модели, по существу, служат основой для обоснования выбора основной модели.

Поясним сказанное на примере. Рассмотрим общий случай, когда глобальная модель состоит из трех частных моделей: теоретической модели, прагматической математической модели и компьютерной модели. В этой тройке моделей результаты решения поставленной глобальной проблемы получают с помощью компьютерной модели, т.е.

результатом исследования глобальной модели является набор конкретных чисел, который интерпретируется как результат достижения глобальной цели.

Ясно, что для того, чтобы построить компьютерную модель, необходимо определить методику численного решения поставленной задачи (т.е. достижения цели). Описание этой методики и представляет собой прагматическую математическую модель. Таким образом, компьютерная модель представляет собой запись этой методики на языке программирования, который автоматически переводится на язык компьютера.

Компьютерная модель принципиально отличается от прагматической математической модели. Одной и той же прагматической модели можно поставить в соответствие множество различных компьютерных моделей, т.е. программ, которые отличаются друг от друга или языком программирования, или текстами. Поэтому мы можем с уверенностью сказать, что прагматическая математическая модель служит своего рода «каркасом», на котором строится компьютерная модель. Иначе говоря, прагматическая модель служит основой для выбора и содержания компьютерной модели.

Для построения прагматической математической модели явно или неявно используют определенную теорию, т.е. некоторую теоретическую модель. Исследование этой теоретической модели приводит к прагматической математической модели как к следствию из выбранной теории. Теоретическая модель использует язык, который принципиально отличается от языка прагматической математики. В общем случае, с одной стороны, одной и той же теоретической модели может соответствовать несколько различных прагматических математических моделей, а с другой стороны, одну и ту же прагматическую математическую модель можно рассматривать как следствие нескольких отличающихся друг от друга теорий. Таким образом, и здесь теоретическая модель служит основой того или иного выбора прагматической модели.

Резюмируя сказанное, можно утверждать, что выбор тех или иных теоретических и прагматических моделей непосредственно связан с необходимостью выбора компьютерной модели, чтобы достичь поставленной цели. В силу того, что мы сталкиваемся с проблемами выбора, мы должны иметь критерий, на основе которого мы осуществляем именно этот выбор. Подобный критерий можно назвать частным критерием. Таким образом, вместе с глобальным критерием мы должны иметь и набор частных критериев, которые тесно связаны с глобальным критерием.

Нахождение (установление) таких критериев соответствия часто представляется более сложной задачей, нежели остальная часть процесса моделирования. Результаты выполнения этого этапа являются критическими для всего процесса моделирования, ибо именно здесь определяется не только степень доверия к результатам исследования, но и сложность всего процесса моделирования.

Существует несколько путей разрешения проблемы соответствия математической модели исследуемому объекту (явлению). Первый путь состоит в ультимативном утверждении, что выбранная математическая модель соответствует реальному объекту, т.е. отражает его свойства в достаточной мере. Из этого ультимативного утверждения и вытекает, что результаты исследования мы безоговорочно принимаем как соответствующие реальному объекту. (Другими словами, если полученные результаты исследования по какой-то причине кажутся нам несоответствующими реальному объекту, считается, что «виноват» реальный объект.) В качестве примера, иллюстрирующего этот подход, можно привести слова известного физика ХХ века П. Дирака:

«Теории гравитации Эйнштейна присуще совершенство особого рода. Тот, кто сумеет оценить фундаментальную гармонию между путями развития природы и общими математическими принципами, наверняка поймет, что теория, обладающая красотой и элегантностью теории Эйнштейна, просто обязана быть правильной. И если в каком-нибудь из приложений теории возникает расхождение, то причину его следует искать не в крахе общих принципов теории, а в каком-то связанным с этим приложением побочном явлении, которое не было соответствующим образом учтено. Такая уверенность в теории Эйнштейна объясняется ее необыкновенной красотой, которая совершенно не зависит от отдельных удач или неудач. Наверное, именно уверенность в необыкновенной красоте математического описания природы и вдохновила Эйнштейна на поиски его теории тяготения… Эйнштейн не пытался объяснить какие-то результаты наблюдений. Он был от них далек. Главной его целью был поиск красивой теории, такой, которую должна выбрать природа. Нужно обладать подлинным духом гения, чтобы из одних лишь абстрактных размышлений составить представление о том, какой должна быть природа. Эйнштейн сумел это сделать» (П. Дирак, 23, с.57).

Сравнение полученных результатов исследования и наблюдений может происходить на двух уровнях: качественном и количественном. Если применяемая математическая модель представляет собой теоретическую математическую модель (т.е. модель, в записи которой используются только математические символы), то в этом случае сравнение может быть проведено только на качественном уровне. Для того, чтобы сравнение можно было провести на количественном уровне, применяемая модель должна быть числовой моделью.

Прошу вас, ради всего святого, сначала научитесь простому, и только затем переходите к сложному.

Постепенно я стал понимать основную трудность, с которой сталкиваешься при изучении истории науки:

надо на время забыть, что было потом.

Часть 2. Прематематика и греческая математика.

Имеется много книг, изображающих жизнь первобытного человека. Среди них, например, книги, описывающие, «как человек без кузнеца жил», иными словами, как жил человек, не знающий употребления металлов. Когда-то была объявлена большая премия за написание книги «Как человек без числа жил».

Однако премия оказалась не выданной: по-видимому, ни один писатель-исследователь не был в состоянии изобразить жизнь человека, не имеющего понятия о числе.

Глава 4. Прематематика.

В мире есть много трудных вещей, но нет ничего труднее четырех арифметических действий.

4.1. Введение.

В любой человеческой цивилизации, которая существовала и существует, всегда имелась потребность в решении различных практических количественных задач. Эти задачи были связаны с измерением различных объектов, обменом товарами, учетом запасов, исчислением объемов и площадей и т.д. Для решения этих задач в среде цивилизаций были выработаны различные методы (методики), которые можно рассматривать как общественные знания. Эти знания с помощью обучения передавались от одного поколения людей к другому. Описание этих методов, устное или письменное, составляло общественное интеллектуальное богатство. Письменные памятники цивилизаций, таких, как хеттская, вавилонская или египетская, полны примерами подобных методик. Этот набор методик решения количественных практических задач выше был назван прематематикой. Каждая человеческая цивилизация обладала и обладает своей прематематикой. Эта прематематика исчезает вместе с гибелью соответствующей цивилизации.

Решение количественных практических задач в каждом человеческом сообществе прежде всего связано двумя компонентами: с системой мер и методикой представления количеств или чисел, господствующих в этом сообществе. Таким образом, любая прематематика основывается на этих компонентах. При исчезновении или существенном изменении одной из упомянутых компонент соответствующая прематематика исчезала.

При том уровне интеллектуального развития, которым обладали человеческие цивилизации в прошлом, вряд ли существовал обмен прематематическими знаниями между разными цивилизациями. Другими словами, прематематики различных древних цивилизаций были достаточно изолированными друг от друга областями знаний.

В качестве примеров прематематик, существовавших в различных человеческих цивилизациях, можно привести, кроме так называемых египетской и вавилонской математик, также логистику, которая существовала в древней Греции, технику счета, которую знали в средневековой Европе, и т.п. Более того, каждая значительная европейская страна, обладавшая собственной системой мер, по существу, имела собственную прематематику, которая исчезала вместе с существенным изменением этих мер или с их исчезновением..

Под методикой решения практической задачи мы понимаем инструкцию, описывающую порядок и суть действий, которые необходимо осуществить, чтобы получить результат. Так называемые математические письменные документы, дошедшие до нас от исчезнувших человеческих цивилизаций (египетской, вавилонской, индийской, китайской и других), содержат собрание практических количественных задач с их решениями. На описание решения отдельной конкретной количественной задачи можно смотреть как на пример применения методики решения подобных задач, отличающихся от описанной только числами, содержащимися в условии задачи, но не в ее содержании.

Другими словами, приведенное решение, по существу, говорит, что подобные задачи надо решать аналогично. Для иллюстрации сказанного приведем два характерных примера.

Первый пример – древнеегипетская цивилизация. Основная часть сведений о развитии прематематики в древнем Египте содержится в двух сохранившихся папирусах, которые были найдены в XIX веке: это - папирус Райнда и Московский папирус. Оба они относятся к эпохе Среднего царства: Московский папирус – к ХХ веку до н.э., а папирус Райнда – ко второй половине XIX века до н.э. Эти папирусы были составлены для учебных целей, и каждый из них содержит список практических задач с решениями: Московский папирус – 25 задач, а папирус Райнда – 84 задачи. Эти папирусы были переписаны с более ранних.

Материал в папирусе Райнда более систематизирован. Задачи в нем разбиты по темам.

Задачи на «припек» можно объединить в один класс, задачи о емкости зернохранилищ и сосудов – в другой, и т.п. При этом фактически определялась методика их решения, хотя она не была сформулирована общим образом. Каждая задача решается заново без всяких пояснений, в числах. Однако при решении вычислитель пользуется, как видно, некоторыми общими правилами, которые не были сформулированы им в общем виде.

Существование подобных правил вытекает из того, что определенные группы задач решаются аналогичным путем. Так, решение первой группы задач основано на пропорциональной зависимости, второй – на формулах объема тел, и т.д. Резюмируя, можно сказать, что методика решения конкретных практических количественных задач у древних основывается на аналогии.

Здесь необходимо отметить, что в математической исторической литературе часто описывают решение прагматических задач, встречающихся в древних цивилизациях с помощью формул. Такой подход к описанию методик решения задач в методологическом плане искажением: решение задач с помощью формул методологически отличается от решения задач по аналогии. Использование формул требует принципиально более высокого уровня абстрактного мышления, которым не обладала ни одна человеческая цивилизация до греков. Поэтому широко используемое в современной исторической математической литературе (см., например, книги 35, 59) описание решения задач на современном математическом языке является интеллектуальным искажением методологии мышления, существовавшей в древних цивилизациях, и в целом не отвечает исторической правде.

Второй пример – древнеиндийская прематематика, которая называлась «га-нита» (что означает «искусство вычислений») и представляла собой набор местных методик решения практических количественных задач. В качестве одного из доказательств существования индийской прематематики задолго до греков можно привести книгу «Шулва сутра» («Правила веревки»), относящуюся к VII-V векам до н.э. В V в. до н.э.

Индией овладели персы, которые распространили там сирийско-арамейское письмо, приспособленное к местным индийским наречиям. Так появилось раннее индийское письмо «кхарости», буквы алфавита которого использовались в качестве цифр. В дальнейшем эти цифры были заменены цифрами «брахми». При записи чисел на счетной доске с помощью цифр брахми использовались только первые девять цифр, а десятки и сотни обозначались теми же цифрами, что и единицы. Нуля не было, а на его месте на счетной доске ставился пустой столбец. Символ нуля появился позже. Цифры брахми послужили основой для появления современных индийских цифр «диванагари»

(«божественное письмо»), от которых происходят современные десятичные позиционные системы арабов и европейцев. Индийцы были первыми, которые разработали правила арифметических действий (включая извлечение квадратного корня) числами, заданными в десятичной позиционной системе. Позже, начиная с Брахмагупты (VII в. н.э.) индийцы систематически пользовались отрицательными числами и трактовали положительные числа как имущество, а отрицательные числа – как долг. Брахмагупта приводит все правила арифметических действий над отрицательными числами.

Третий пример – древнекитайская математика. Древнейшими прематематическими книгами, дошедшими до нас, являются «Трактат об измерительном шесте», посвященный в основном астрономии, и «Математика в девяти книгах». Последняя книга была окончательно отредактирована финансовым чиновником Чжан Цаном (ум. в 150 г. до н.э.).

Она предназначалась для обучения инженеров, чиновников и землемеров. В ней собрано 246 конкретных числовых задач, изложенных догматически: сначала формулируется задача, затем сообщается ответ и в весьма сжатой форме указывается способ решения.

Как мы уже упоминали выше, математика возникла в древней Греции в VII-VI вв.до н.э. Эта греческая математика ни в коей мере не занималась решением практических задач. Между теми, кто занимался математикой, и теми, кто занимался решением практических задач, т.е. прематематикой, не существовало никакой связи. Свидетельством этому может служить книга «Начала» Евклида, которая являлась энциклопедией математики первых веков ее существования, и где не обсуждается ни одна практическая задача. Да и в «Арифметике» Диофанта мы также не встретим практических задач. Это означает, что между математикой и греческой прематематикой (логистикой) не было ничего общего. Эта ситуация, заключающаяся в отсутствии всякой связи между математикой и прематематикой, не изменялась вплоть до XVII—XIX веков.

Греческая логистика, как и любая прематематика, занималась прежде всего техникой проведения вычислений. Несмотря на то, что в любой прематематике мы встречаемся с арифметическими операциями, которые имеют совершенно ясный универсальный смысл, их осуществление в различных цивилизациях разное. Эти различия были вызваны, главным образом, разными способами записи представления чисел. Обычно в качестве цифр использовался алфавит, а кроме того, некоторые буквы того же алфавита обозначали специфические числа. Другой причиной различия являлись неодинаковые системы счисления, которые у каждого народа имели собственные основания. В силу этого трудно себе представить обмен знаниями между различными прематематиками. Поэтому можно с большой вероятностью утверждать, что логистика появилась и развивалась автономно от других древних цивилизаций, которые упоминались выше.

После гибели греко-римской цивилизации в Западной Европе на столетия отпала необходимость в развитой прематематике, использовалась только простая часть логистики, которая отвечала потребностям существовавшей экономики. Однако в восточной части римской империи – в Византии – греческая логистика сохранилась.

Завоевание арабами частей этой империи мало что изменило в местной хозяйственной жизни. Начиная с VIII века н.э. месопотамская прематематика начинает чувствовать сильное влияние индийской прематематики. Это влияние началось с перевода «Сиддханты» ал-Фазири на арабский язык и достигло своей первой вершины в деятельности Мухаммеда ибн Мусса ал-Хорезми, творчество которого приходится на первую половину IX века. Наиболее известной книгой, принадлежащей его перу, является труд по арифметике под названием «Об индийском счете», арабский оригинал которой потерян, а латинский перевод двенадцатого столетия известен под названием «Algorizmi de numero indozum». Эта книга была одним из источников, с помощью которых Западная Европа ознакомилась с десятичной позиционной системой и индийско-арабской арифметикой.

X-XI века являются той границей во времени, начиная с которой, вся интеллектуальная жизнь Западной Европы стала изменяться. Этот перелом можно объяснить двумя причинами. Во-первых, резким изменением хозяйственной жизни, когда на общественную арену вышло новое сословие, состоящее из горожан, занимающихся торговлей и ремеслами. Среди этого сословия резко возросло количество образованных людей. Во-вторых, в Европу мощным потоком стали проникать знания, в том числе математические и прематематические, накопленные в исламском мире. Центрами новой жизни были итальянские города и также города Центральной Европы, такие, как Нюрнберг, Прага, Вена. Все это сказалось как на прематематике, так и на математике.

Эти перемены вызвали усиленное развитие пренауки, в частности, прематематики.

Европейская прематематика возникла и развивалась без всякой связи с забытой греческой прематематикой. Греческая логистика «канула в Лету». Вместо греческой логистики в Европе появилась так называемая «техника счета». Она возникла сначала в итальянских городах, ибо Италия была наиболее развитой экономической областью в Европе, а затем распространилась на другие области Европы. Развитие прематематики было связано и с тем, что к этому времени стали налаживаться отношения с Востоком. Первые соприкосновения европейской прематематики с мусульманской и индийской прематематикой произошло в X-XI веках, когда итальянские купцы завязали тесные связи с Востоком.

Большое значение в практической жизни имело распространение в Европе абака – прибора для проведения расчетов, — который сыграл большую роль в развитии нумерации и практических приемов счета. Хотя абак мы встречаем уже у греков и римлян, но европейцы получили его через арабов, которые, в свою очередь, переняли его от индийцев. Слово «абак» (счетная доска) – греческое, происходящее от древнееврейского слова, означающего «пыль».

Одним из первых привез абак в Европу в Х веке французский монах Герберт, который являлся в 999-1003 гг. римским Папой под именем Сильвестра II. Усилиями многочисленных его учеников и последователей, а также благодаря его влиянию как Папы римского, абак получил широкое распространение в Европе. Использование абака было так широко распространено для выполнения различных видов вычислений, что слово «абак» часто служило синонимом слова «арифметика». Метод абацистов, пропагандистом которого был Герберт, дает упрощения, аналогичные использованию нашей позиционной системы, по крайней мере для сложения и вычитания, тогда как умножение и особенно деление оставалось еще очень сложным.

«Постепенно в течение XI и XII вв. благодаря проникновению в Европу евреев был принят обычай производить действия по арабскому образцу, записывая их на песке или пыли. Абацистов сменили алгоритмики, которые использовали нуль и арабский метод деления и извлечения квадратного корня. Эти новые способы счета оказались одним из главных вкладов в дело интеллектуальной подготовки науки на Западе – особенно если вспомнить трудности греческой логистики» (А. Даан-Дальмедико, Ж. Пейффер, 25, с. 29).

Интенсивное знакомство европейцев с десятичной позиционной системой записи чисел началось в XII в. с перевода на латинский язык арабских книг по арифметике, в первую очередь арифметики ал-Хорезми. Имя ал-Хорезми в его латинских формах – чаще всего Algorithmus или Algorismus – превратилось в название новой арифметики. История проникновения десятичной позиционной системы в Европу, по существу, многим обязана Леонардо Фибоначчи из Пизы, автора «Книги абака» (1202 г.), в которой была описана и применена эта система. Однако десятичная система медленно проникала в Западную Европу, и самая ранняя французская рукопись, в которой мы это находим, относится к 1275 году. В последующие столетия десять цифр все больше и больше проникали в практическую жизнь. Распространению арифметики, основанной на десятичной системе, содействовало появление чисто светских школ, в которых обучались молодые люди, чтобы затем работать по торговой или финансовой части. По-видимому, такие школы впервые появились в Италии. В 1338 году во Флоренции имелось шесть школ абака и алгорифмиков. Однако только в конце XV века, когда появилась одна из первых печатных книг по математике «Сумма арифметики», которая принадлежала перу францисканского монаха Луке Пачоли, использование десятичных цифр стало общепринятым.

Как мы уже отмечали выше, греческая математика вернулась в Европу только в XII— XIII веках, благодаря арабским книгам. По существу, тысячу лет Европа жила без математики и совсем не чувствовала ее нехватку. Все необходимые практические потребности выполняла прематематика. Этот факт является еще одним доводом в пользу того, что прематематика никак не связана с развитием математики.

Развитие торговли, ремесел, промышленности и других отраслей в Европе в последующие столетия способствовало совершенствованию европейской техники счета (или, другими словами, практической арифметики). Сначала в течение нескольких столетий арифметику преподавали профессиональные мастера счета, которые обычно не знали классиков, но зато обучали бухгалтерии и навигации. Им же пришлось удовлетворять практические потребности в проведении числовых расчетов в строительстве, архитектуре, торговле и других отраслях деловой деятельности, основанных на опыте и интуиции. Благодаря этим мастерам счета, а также различным специалистам, был накоплен большой опыт в решении практических задач, который выразился в создании методик их решения, т.е. порядка проведения числовых расчетов.

Позже арифметику начали изучать в университетах, вплоть до тех пор, пока в школьном образовании не был достигнут соответствующий уровень. Под давлением практических нужд и в связи с изобретением книгопечатания появились многочисленные учебники арифметики. Самыми старыми из известных ныне таких учебников являются «Арифметика из Тревизы» (1478) неизвестного итальянского автора и ее немецкий аналог – «Бамберская книга о счете» (1483).

Под влиянием исламских ученых и в связи с развитием астрологии в Европе ученые обратили свое внимание в XV веке на построение так называемых «триго-нометрических»

числовых таблиц. Первые европейские тригонометрические таблицы были построены под руководством Альфонса Х, короля Леона и Кастилии, собравшего в Толедо группу ученых, евреев и христиан, которые и занимались вычислением таблиц. Они получили название Альфонсинских таблиц и были опубликованы в 1252 году. Сначала таблицы строились на основе шестидесятеричной позиционной системы, а только затем был осуществлен переход к десятичной системе. Так, Г. Пурбах в своих неопубликованных таблицах синусов соединил шестидесятеричный и десятичный принципы. Его ученик И.

Мюллер, более известный под именем Региомонтан, впервые построил десятичные таблицы — тригонометрические таблицы тангенсов.

Большое значение для развития и упрощения арифметических вычислений имело введение в рассмотрение и использование в конце XVI века десятичных дробей, впервые встречающихся в книге С. Стевина «Арифметика».

На протяжении XVI века быстро возрастало количество производимых вычислений, и к началу XVII века вычислители стали задумываться об облегчении этого бремени. Можно выделить по крайней мере две причины, которые вызвали рост объема вычислений. Вопервых, это расширение хозяйственной деятельности, а во-вторых — потребность производить расчеты, связанные с астрономией и астрологией. Так, например, расширение страховой и финансовой деятельности потребовало таблицы сложных процентов для различных значений процента, и т.д. С совершенствованием астрономических инструментов увеличилась точность наблюдений, а вместе с тем и объем астрономических таблиц.

Для облегчения бремени вычислителей XVII век предложил два пути. Первый путь заключался в создании новых, более эффективных методов проведения расчетов, а второй — в создании эффективных инструментов для проведения вычислений.

На первом пути революцию в технике счета произвело открытие логарифмов, которые были изобретены, независимо друг от друга, Непером, и лет на десять позднее – Бюрги.

Определения логарифмов у обоих не были похожи на современные. Однако их применение существенно облегчило процесс вычислений, поэтому их открытие приветствовали все, кому приходилось осуществлять большие объемы вычислений.

Таблицы Непера были неудобны в применении. Г. Бриггс усовершенствовал метод Непера. В 1617 г. появились первые таблицы десятичных логарифмов.

Если до XVII века основными инструментами для производства вычислений были счетные доски (абаки), счеты и т.п., то в этом веке появляются другие инструменты:

первые вычислительные машины и логарифмическая линейка. Появившаяся в XVII веке логарифмическая линейка нашла широкое применение, которое продолжалось вплоть до последних десятилетий ХХ века.

Начиная с XVII века, для решения различных практических задач стали использоваться формулы. Использование формул, как мы уже говорили выше, «превра-щали»

прематематику с прагматическую математику. По мере расширения общего и специального образования такой подход стал захватывать различные области человеческой деятельности, вытесняя из них прематематику. Поэтому в настоящее время прематематику можно встретить только на окраинах человеческой цивилизации среди, необразованной части человечества.

Из определения прематематики следует, что она является одной из разновидностей прагматического познания. В этой главе мы рассмотрим прематематику с двух позиций:

как разновидность прагматического познания и как определенный тип процесса моделирования. Если первый подход основное внимание уделяет анализу содержания этой области знаний, то второй подход ставит ударение на технологию процесса познания в рамках прематематики. Рассмотрение прематематики с точки зрения теории познания состоит в описании прематематических объектов и их свойств, а также в том, чтобы дать характеристику принципов проведения прематематических рассуждений, т.е. описать логику прематематических рассуждений. С точки зрения моделирования необходимо рассмотреть те особенности процесса моделирования, которые являются характерными в рамках прематематического исследования.

Нивхи, аборигены Сахалина, до недавнего времени имели разные числительные для круглых предметов и прдолговатых. В ситуациях «три огурца» и «три помидора» - ничего общего.

4.2. Прематематические объекты и их свойства Как и любая область знаний, которая является одним из видов прагматического познания, прематематика обладает своим специфическим языком, распространенным среди соответствующей человеческой общности. В этом языке можно выделить четыре группы понятий. Первая группа характеризует объекты прематематики. Вторая группа состоит из понятий, связанных со свойствами прематематических объектов. Третья группа включает в себя понятия, означающие операции над объектами изучения. Понятия из этой группы определяют, по своей сути, способы получения новых прематематических утверждений из уже существующих. Наконец, в четвертую группу входят понятия, касающиеся свойств операций. Эти понятия определяют логику прематематики.

Наше рассмотрение мы начнем двух первых типов понятий: прематематические объекты и свойства прематематических объектов. Эти понятия описывают объекты изучения прематематики.

Так как любое понятие в прематематике является элементом общественного языка, то оно должно, кроме имени понятия, т.е. слова, обозначающего понятие, иметь и объяснение того, какое содержание мы вкладываем в это понятие. Это объяснение обычно бывает двух видов. Один вид объяснения заключается в демонстрации реального объекта или его реального свойства другим людям вместе с именем этого объекта. Такую демонстрацию можно рассматривать как определение этого понятия. В подобном случае эти прематематические объекты или свойства прематематических объектов мы будем называть первичными прематематическими объектами или первичными прематематическими свойствами.

Согласно определению, все первичные прематематические объекты и первичные свойства прематематических объектов связаны с чувственными образами реальных объектов и реальных свойств объектов в сознании человека. Другими словами, каждому первичному объекту или первичному свойству сопоставим реальный объект или свойство реального объекта, познаваемое через ощущения. Реальные объекты или реальные свойства, сопоставленные первичным прематематическим объектам или свойствам, будем называть первичными реальными объектами или первичными реальными свойствами.

Согласно введенным определениям, первичный реальный объект можно рассматривать как интерпретацию или реализацию первичного прематематического объекта, которому он соответствует. С другой стороны, первичный прематематический объект можно рассматривать как абстракцию первичного реального объекта. Эту интеллектуальную операцию абстрагирования обычно связывают с воображением. То, что мы только сказали, также относится к первичному реальному свойству и первичному прематематическому свойству. Кроме того, из общих рассуждений следует, что одному и тому же первичному прематематическому объекту соответствует множество первичных реальных объектов. В качестве примера можно взять такой прематематический объект, как геометрическая точка, которой соответствует множество реальных конкретных точек, изображенных как на бумаге, как и на других информационных носителях. Так как источниками упомянутых выше прематематических понятий служат опыт и чувственные ощущения, то эти два типа понятий являются наблюдаемыми понятиями, полученными в результате абстрагирования.

Другой тип понятия имеет определение, состоящее из двух частей: из слова (или из группы слов), обозначающего это понятие и служащего именем этого понятия, и некоторого словесного описания, которое говорит о содержании этого понятия. Первая часть понятия служит для упрощения общения между людьми, ибо при употреблении имени понятия всегда подразумевается его содержание, заключенное во второй части. А она является более обширным сообщением, содержащим всю информацию, касающуюся выбранного понятия, которую мы хотим вложить в это понятие.

В случае, когда понятие определяет прематематический объект, то вторая часть может иметь строение двух типов. Первый тип представляет собой список свойств, которыми обладает (или который приписывается) данный объект, а также степени обладания каждым свойством из этого списка. Второй тип описывает прематематический объект как функцию от других объектов. Если понятие относится к свойству прематематических объектов, то в этом случае это свойство определяется как функция других свойств.

Понятия второго типа называются вторичными понятиями: вторичные прематематические объекты и вторичные свойства прематематических объектов. Как мы уже показали в главе 2, любой вторичный прематематический объект может быть определен либо через первичные свойства, либо через первичные прематематические объекты. Аналогично, вторичное свойство может быть определено через первичные свойства.

Основной целью введения в рассмотрение вторичных понятий в прематематике является сокращение и упрощение формулировок прематематических утверждений и фактов. Сами по себе вторичные понятия не несут никакой новой дополнительной информации сверх той информации, что заключена в первичных понятиях. Однако необходимо отметить, что разделение на первичные и вторичные понятия не является абсолютным: иногда можно в качестве первичных понятий выбрать вторичные понятия; и в этом случае прежнее первичное понятие становится вторичным.

Между определением прематематического объекта и определением свойства прематематического объекта имеются принципиальные различия. Одно из них заключается в том, что объект мы можем демонстрировать (представлять) другим людям, в то время как свойство не можем представить, поскольку для того, чтобы свойство сформулировать, надо провести определенный процесс абстрагирования и обобщения.

Абстрагирование и обобщение этого понятия необходимо из-за того, что каждое выделенное свойство, по своей сути, является тем общим, что присуще совокупности реальных объектов. При выборе любого свойства мы предполагаем, что в выделенной совокупности объектов, обладающих указанным свойством, содержатся по крайней мере два реальных объекта, которые обладают этим свойством в разной степени.

Таким образом, с одной стороны, выделение свойства объединяет реальные объекты в совокупность объектов, обладающих этим свойством, а с другой стороны, разделяет рассматриваемые объекты из совокупности на подмножества, каждое из которых состоит из объектов, имеющих одну и ту же степень обладания выделенным свойством. Эти подмножества будем называть классификационными подмножествами, ассоциированными с рассматриваемым свойством, а набор всех классификационных подмножеств назовем классификацией. Другими словами, каждое свойство определяет некую классификацию, задающуюся с помощью классификационных подмножеств реальных объектов.

Разные свойства реальных объектов определяют различные классификации. Так как реальные объекты могут обладать различными свойствами, то они могут принадлежать различным классификационным подмножествам, определяющим различные классификации. Связи и взаимоотношения между различными классификациями часто и составляет суть выделяемых прематематических регулярностей.

Первая и вторая группы понятий тесно связаны между собой. Эта связь непосредственно возникает при прагматическом познании во время процесса выделения объекта для рассмотрения или исследования. Этот процесс проходит в два этапа, тесно связанных между собой. На первом этапе мы, имея в виду конкретный реальный объект, выделяем совокупность конкретных реальных объектов, среди которых находится и интересующий нас объект. Эту совокупность мы обозначаем определенным словом или символом, которое мы назвали именем объекта, т.е. вводим в рассмотрение понятие из первой группы.

Совокупность конкретных реальных объектов можно построить двумя способами.

Первый способ заключается в том, что мы просто перечисляем все объекты, входящие в совокупность. Второй способ заключается в том, что мы устанавливаем определенные требования, при выполнении которых конкретный объект попадает в эту совокупность.

Эти требования в той или иной форме определяются свойствами конкретных объектов.

Другими словами, для формулировки этих требований мы используем понятия из второй группы.

Выбор совокупности (или ее построение) неявно предполагает, что существует некая универсальная совокупность, из которой мы выделяем совокупность исследуемых объектов. Первый путь, состоящий просто в указании тех элементов из универсальной совокупности, которые входят в рассматриваемую совокупность, является простым и четким. Он позволяет конструктивно определить границы и состав совокупности, но не несет никакой дополнительной информации о том общем, что объединяет объекты из выбранной совокупности, за исключением того, что они просто к ней принадлежат. Такой подход является формальным и не позволяет высказать никакого нетривиального утверждения об объектах выбранной совокупности, однако в этом случае легко определить принадлежность объекта к ней.

Второй путь выделения совокупности из универсальной основан на возможности получения дополнительной информации относительно части объектов, принадлежащих универсальной совокупности. На этом пути мы предполагаем, что объекты обладают определенными свойствами, причем здесь можно встретить объекты, степень обладания этими свойствами различна. В этом случае мы определяем, что объект из универсальной совокупности принадлежит выбранной совокупности только тогда, если он обладает конкретными свойствами в определенной степени. При таком подходе определение принадлежности данного объекта к выбранной совокупности является достаточно сложным процессом. Кроме того, трудно, а иногда и невозможно описать границы выбранной совокупности. Но все эти, якобы отрицательные, черты совокупности, определяемой вторым путем, полностью окупаются наличием информации о свойствах объектов выбранной совокупности. Эта информация позволяет высказывать нетривиальные утверждения, выявлять различные регулярности. В качестве примера можно рассмотреть понятия классификации и классификационных подмножеств, которые мы ввели выше. Все знания, содержащиеся в современной математике и прематематике, получены, в основном, на основании второго пути.

Прежде, чем дать общее описание двух оставшихся групп понятий (это понятия, связанные с операциями над прематематическими объектами, и их свойства), рассмотрим конкретно наиболее распространенные прематематические объекты и их свойства. Это рассмотрение начнем с тех понятий, которые возникли еще в ранних человеческих цивилизациях, а затем перейдем к тем понятиям, которые пришли в прематематику позже.

Распространенными объектами с древних времен в прематематике являются:

именованное число, порядковое число, сравнительное число и геометрическая форма. Эти прематематические объекты можно разделить на две группы: объекты из первой группы будем называть арифметическими прематематическими объектами, а объекты из второй группы – геометрическими прематематическими объектами. Та часть прематематики, которая изучает арифметические прематематические объекты, называется арифметикой, а та часть прематематики, которая изучает геометрические прематематические объекты, называется прегеометрией. Арифметические прематематические объекты связаны с теми или иными количественными, сравнительными и порядковыми свойствами, а геометрические прематематические объекты – это формы тех объектов, относительно которых в реальной жизни возникают количественные задачи, требующие своего решения.

Выбор этих понятий в качестве прематематических объектов обусловлен тем, что они наиболее часто встречаются в практике, т.е. являются наблюдаемыми и интуитивно понятными.

Трудно сказать, какое из этих понятий появилось раньше. Понятие именованного числа возникло на заре человеческой цивилизации при решении практических задач разнообразной природы и в различных отраслях человеческой деятельности. Без использования именованных чисел невозможна никакая хозяйственная жизнь человечества. Примеры такого использования легко можно найти в первых книгах Ветхого Завета, или в египетских папирусах и хеттских глиняных табличках. В частности, в Ветхом Завете можно найти точное количество денег, что заплатил царь Давид за место для Храма, построенного позже Соломоном. Там же указано количество денег, заплаченных праотцем Авраамом за пещеру в Хевроне, в которой он и некоторые члены его семьи были похоронены.

Именованные числа возникли в связи с тем, что они должны были выражать степень обладания так называемой количественной сущностью некоторого множества реальных объектов. Количественная сущность представляет собой философскую категорию, которая присуща, в частности, любым совокупностям реальных объектов. Например, количество голов скота в стаде или количество яблок в корзине. Другое проявление количественной сущности мы встречаем, когда пытаемся разделить конкретные реальные объекты по степени обладания определенным свойством. Подобная ситуация возникает, например, когда мы хотим сравнить два арбуза по весу. Естественно видеть в количественной сущности первичное свойство, ибо любые попытки определить эту сущность с помощью тех или иных терминов приводят обычно к тавтологии.

Количественная сущность в прематематике может быть двух видов, которые отличаются друг от друга степенью абстракции или обобщения (формализации). Эти два вида проще охарактеризовать на примерах. Первый вид возникает, когда мы рассматриваем два различных конкретных стада из 20-ти баранов. В этом случае мы уже не говорим о конкретном стаде баранов, а говорим о различных стадах баранов, обладающих одним и тем же свойством. Здесь мы сталкиваемся с самой низкой степенью формализации. Со вторым видом количественной сущности мы сталкиваемся, когда говорим, например, о двух совокупностях, одна из которых — стадом из 20-ти баранов, а вторая — пачка сигарет, содержащая 20 сигарет. В этом случае эти две совокупности имеют одну и ту же количественную сущность, но отличаются разной природой составляющих реальных объектов. Эта сущность отличается от предыдущей гораздо более высокой степенью формализации, которая уже более близка к математической сущности.

Таким образом, мы сталкиваемся с процессом обобщения, присущим любому процессу познания, который заключается в выделении общего, принадлежащего различным группам реальных объектов. Одним из таких общих свойств и является количественная сущность совокупностей реальных объектов, а именованные числа — и есть тот язык, с помощью которых описывается их количественная сущность.

При изучении количественной сущности совокупностей реальных объектов мы сталкиваемся, в частности, еще с двумя ситуациями. Одна ситуация — это когда определяется количественная сущность конкретной совокупности. Например, имеется следующее утверждение, что «данная совокупность состоит из такого-то количества объектов». Это утверждение является прагматическим фактом, и устанавливается на практике (опыте). С другой стороны, утверждение, что «каждый человек принадлежит или к женскому, или к мужскому полу, т.е. каждый человек принадлежит к одному из двух полов», является обобщающим утверждением, т.е. прагматической регулярностью, полученной на основе опыта.

Для удобства дальнейших рассуждений объекты, которые выражают количественную сущность, мы назовем прематематическими к-числами или прематематическими количественными именованными числами. Любое к-число состоит из двух частей: первая часть описывает степень обладания количественной сущностью, которое для сокращения будем называть количеством, а вторая часть – это имя или наименование объекта либо свойства объекта, в зависимости от того, относительно чего рассматривается количественная сущность.

В каждом языке человеческого общения есть специальные слова (термины), которые позволяют различать или измерять разные количества (в русском языке: один, два…, в английском языке: one, two…), с прибавкой имен реальных объектов или имен тех свойств объектов, которые мы измеряем. Кроме того, для представления различных количеств в письменном виде в разных цивилизациях использовались различные символы или группы символов. Сегодня эти символы принято называть цифрами. Часто в роли цифр можно встретить буквы алфавита письменного языка. В качестве примеров можно привести вавилонские, египетские, греческие, китайские и римские цифры.

Как мы уже говорили выше, появление именованных чисел непосредственно связано с измерением тех или иных количеств. Поэтому наименование к-чисел непосредственно связано или с именем реальных объектов, которые входят в измеряемые множества, или с единицами (масштабами) измерения. Каждая человеческая цивилизация обладала своей специфической системой мер. В качестве примера приведем меры для измерения объемов жидкости, которые были установлены в Англии в XIII веке или даже раньше:

«2 джила = 1 полуштоф, 2 полуштофа = 1 пинта, 2 пинты = 1 кварта, 2 кварты = 1 потл, потла = 1 галлон, 2 галлона = 1 пек, 2 пека = 1 полубушель, 2 полубушель = 1 бушель или фиркин, 2 фиркина = 1 кильдеркин, 2 кильдеркина = 1 баррель, 2 барреля = 1 хогсхед, 2 хогсейда = пайн, 2 пайна = 1 тан» (Д. Кнут, 43, с.230-231).

Приведенный пример демонстрирует то, что в Англии существовало целое множество мер для измерения объемов жидкости, между которыми была определенная связь. Таких примеров можно много найти в любой стране.

Из приведенного описания к-чисел следует, что существует неограниченное количество этих чисел. Каждое конкретное прагматическое к-число, выражающее количественную сущность определенной совокупности, можно рассматривать как прематематический объект. Одно и то же количество приписывается каждой конкретной совокупности реальных объектов, обладающей количественной сущностью в одной и той же степени.

Это означает, что мы можем конкретному множеству сопоставить только одно к-число.

Любую совокупность, которой приписали конкретное к-число, можно рассматривать как интерпретацию или реализацию количества, являющего составной частью этого числа.

Например, количество овец в стаде, количество денег в кармане, глубина ямы и т.д. и т.п.

Одним из основных свойств количественной сущности является то, что на множестве всех к-чисел, обладающих одним и тем же наименованием, мы можем ввести порядок, положив, что одно к-число больше другого к-числа, если степень количественной сущности совокупности реальных объектов, отвечающая первому числу, больше степени количественной сущности совокупности, отвечающей другому числу. Другими словами, все к-числа, обладающие одним и тем же наименованием, можно выстроить в последовательность, в которой меньшее к-число предшествует большему к-числу. Более того, если одно к-число больше другого, а другое — больше третьего, то и первое — больше третьего.

Из того, что мы говорили выше, следует, что в множестве всех к-чисел не существует наибольшего к-числа. Однако легко видеть, что любая убывающая последовательность кчисел обладает неким первым элементом. Это означает, что среди всех к-чисел существует наименьшее к-число. Наименьшее к-число соответствует совокупности, состоящей из одного реального объекта. К-число, отвечающее количественной сущности совокупности, состоящей из одного объекта, назовем для удобства дальнейших рассуждений единицей (один, одна, одно). Это определение связано с тем, что наименьшее к-число является, по существу, масштабом при соответствующем процессе измерения.

Важно отметить, что среди к-чисел нет такого объекта, подобного математическому объекту, который в математике обозначается через нуль. Степень абстрактности понятия нуль является более высокой, нежели прематематических объектов. Об этом свидетельствует тот факт, что ни в одной прематематике мы не встретим этот объект. Эту ситуацию можно объяснить тем, что в реальной жизни нет множества, не содержащего ни одного объекта.

Отметим, что в письменных источниках, дошедших до нас из ранних человеческих цивилизаций, часто не видно, что писавшие пользуются именованными числами. Однако из содержания самих решаемых задач ясно следует, что все действия производятся над именованными числами. Эту ситуацию можно объяснить тем, что в те времена мало обращали внимание на соответствующее (присущее скорее нашему времени) оформление решения задачи, а стремились скорее получить окончательный результат и описать методику или путь его получения, при этом наличие наименований автоматически подразумевалось. Указанная ситуация объясняет тот факт, что в исторической математической литературе, посвященной древним цивилизациям, практически не встречаются упоминания об именованных числах.

Мы будем различать два разных типа именованных к-чисел: простые и составные.

Под простым к-числом мы понимаем число, обладающее одним именем, а под составным к-числом — к-число, составленное из простых к-чисел. Простыми к-числами являются, например, 1 день, или 3 часа, или 10 минут; а составным к-числом является, например, такое число, как 1 день 3 часа 10 минут. Любое составное к-число можно разбить на множество простых.

Два разных простых к-числа будем называть связанными, если одно из них является частью другого. Приведенный выше пример иллюстрирует это понятие. Согласно интуитивному пониманию, любое составное к-число состоит только из связанных простых к-чисел.

Во всех развитых древних цивилизациях широко использовали связанные простые кчисла, ибо без них невозможна никакая хозяйственная жизнь. Связанные простые числа выполняли в прематематике ту же роль, что в математике выполняют дроби. Широкое применение связанных простых к-чисел и составных чисел, составленных из них, имело место в древней астрономии.

Из-за своей наглядности и интуитивной простоты прематематические к-числа оказались удобными в использовании. В практике были выработаны простые и удобные правила, позволяющие производить действия над прагматическими к-числами. Эти действия или операции над именованными числами ставят в соответствие некоторому набору именованных чисел еще одно именованное число.

Таким образом, мы здесь встречаемся со следующей группой понятий прематематики:

это понятия прематематических операций. Прематематические операции, который производятся над к-числами, будем называть арифметическими прематематическими операциями. Ниже, для простоты изложения, мы будем рассматривать эти операции только над простыми к-числами. Распространение определений этих операций на составные к-числа не представляет принципиальных трудностей.

Определение понятий арифметических операций отличаются от определения таких прематематических объектов, как к-числа. Это отличие заключается в том, что прематематические операции являются объектами, которые определены на множестве прематематических объектов. Отсюда степень абстракции этих понятий гораздо выше, чем прематематических объектов. Ниже при рассмотрении конкретных операций мы обсудим сказанное более подробно.

В прематематике мы обычно встречаемся с четырьмя арифметическими операциями, которые мы назовем к-сложением, к-вычитанием, к-умножением, к-делением. В индийской прематематике к этим арифметическим операциям добавлялось возведение в степень и извлечение квадратного корня. Так как последние операции сводились к применению арифметических действий, то мы обратим наше внимание только на указанные выше операции. В египетской прематематике как отдельные действия рассматривались также удвоение числа и деление пополам.

При характеризации арифметических прематематических операций мы основное внимание будем обращать на их методологическую сторону, а не на технику выполнения, которая существенно зависела от типа прематематики и ее связей с другими прематематиками.

Начнем с описания к-сложения. Операция к-сложения ставит в соответствие любым двум к-числам третье к-число при определенном ограничении. Это ограничение заключается в том, что операция применяется только к к-числам, имеющим одно и то же наименование. Например, мы можем говорить, что если к стаду из трех баранов добавить еще два барана, то в стаде уже будет пять баранов. В этом примере мы двум именованным числам — три барана и два барана — поставили в соответствие другое именованное число: пять баранов. Легко видеть, что здесь определяется операция над к-числами, имеющими одно и то же наименование «баран». При таком определении к-сложение носит универсальный характер.

Используя современные обозначения, употребляющихся при арифметических операциях, мы прежнее выражение можем также записать в виде:

Несмотря на то, что эта запись выглядит как некое математическое выражение, на самом деле оно не является математическим, а сокращенным прематематическим описанием операции к-сложения для двух конкретных к-чисел. Использование цифр – это просто замена символов, принятых в соответствующих цивилизациях и обозначающих степень обладания количественной сущности, на символьное обозначение другой природы (в данном случае – цифрами), а использование математических символов операций – это также просто замена слов символами. Последнее выражение можно также записать в другом, современном виде:

Хотя последняя запись, может быть, менее привычна, однако она полностью эквивалентна первой записи, и ее можно рассматривать как определение операции ксложения на паре (3 барана, 2 барана).

Применить операцию сложения к двум простым к-числам, не являющимся связанными, вряд ли имеет смысл. Однако в конкретных ситуациях часто требуется дать ответ, объединяющий эти два к-числа. Поясним на примере. Сложить трех баранов с двумя коровами вряд ли имеет смысл. Этот смысл появляется тогда, когда вместо двух разных слов (корова, баран) употребляется одно слово: «голова». В этом случае результат сложения можно выразить словами, что в стаде, состоящем из трех баранов и двух коров, пять голов скота.

Подобные задачи можно встретить и в дошедших до нас письменных документах египетской и вавилонской прематематик. Несмотря на кажущуюся тривиальность приведенного примера, надо обратить внимание на то, что прием, который был применен, очень часто применялся в прошлом и применяется в настоящее время в физике, в экономике, в других науках, использующих математические или прематематические модели.

Операцию к-сложения можно распространить на связанные простые к-числа — в таком случае результатом является составное к-число.

Операция к-сложения определяется для всевозможных пар одноименных к-чисел.

Отметим одну принципиальную особенность, которую проиллюстрируем на примере.

Операция к-сложения определяется как на паре (3 барана, 2 барана), так и на паре ( барана, 3 барана). В принципе ниоткуда не следует, что по выбранному определению мы обязательно должны получить один и тот же результат. Один и тот же результат в этом конкретном случае мы получаем только потому, что это вытекает из данного конкретного опыта. Другими словами, коммутативность сложения двух именованных чисел определяется чисто индуктивно, апостериори. (Для сравнения отметим, что, в отличие от прематематики, в математике коммутативность сложения двух натуральных чисел определяется априори.) На множестве пар к-чисел мы можем определить другую арифметическую операцию:

к-вычитание. Как и к-сложение, эта операция определена для пар к-чисел, имеющих одно и то же наименование, причем также ставит в соответствие паре к-чисел к-число. Однако, в отличие от к-сложения, к-вычитание определено не на всех парах, а только на тех, у которых первое к-число больше второго к-числа. Это означает, что к-вычитание производится только тогда, когда имеется естественный (чисто практический) смысл в его проведении. Например, из стада в 6 баранов мы можем продать 4 барана, но из этого стада невозможно продать 10 баранов. В силу этого замечания и здравого смысла операция квычитания носит ограниченный характер и определена только на части пар из к-чисел.

Другими словами, к-вычитание, в отличие от к-сложения, не является универсальной операцией.

Специальным случаем является ситуация, когда из к-числа вычитается то же к-число. В этом случае, естественно, можно осуществить операцию, однако не существует такого кчисла, который можно рассматривать как ее результат.

При определенных, интуитивно ясных условиях можно также осуществить квычитание и над связанными простыми к-числами. В этом случае часто результатом такой операции является составное к-число.

В египетской и вавилонской цивилизациях использовали к-умножение двух к-чисел в очень ограниченных случаях: например, для вычисления площадей и объемов. И в этом случае к-умножение ставит в соответствие двум к-числам, имеющим одно и то же наименование, третье к-число, у которого наименование строится специальным путем.

Кроме приведенных примеров, данная операция широко применяется в хозяйственной деятельности и в торговле, ибо любое вычисление стоимости или процента на ссуду связано с к-умножением между собой пар к-чисел. Эта операция носит универсальный характер, ибо она определена для всех пар целых к-чисел, для которых имеет смысл проводить эту операцию.

Вообще, реальное вычисление числового значения произведения двух достаточно больших чисел представляло собой достаточно сложный и запутанный процесс, который в разных прематематиках производился по-разному. Для упрощения этого процесса часто использовались либо таблицы, либо инструменты (например, абак, счеты).

Умножение связных простых к-чисел обычно осуществлялось только в том случае, когда они имели одно и то же имя.

Еще более сложным процессом для вычисления являлось деление двух к-чисел. В разных цивилизациях эта операция выполнялась по-разному. Так, в египетской цивилизации она выполнялась в основном с помощью так называемых аликвотных дробей (в современной записи — это объекты вида 1/n), которые рассматривались как доли целого. Кроме того, там использовали и более сложные доли от целого: 2/3 и 3/4. При таком рассмотрении эти объекты только по аналогии можно называть дробями, ибо действия над ними мало похожи на современные операции с дробями. Операция деления была, по-видимому, самой трудной вычислительной операцией для египтян. Частное отыскивалось постепенным перебором, для которого не было единого метода. В дошедших до нас двух математических папирусах (папирус Райна и Московский папирус) просто даются конкретные численные примеры проведения операции деления.

Математическое наследие Вавилона состоит из 50-ти глиняных табличек с текстами математического содержания и около 200 табличек с числовыми таблицами. В этой цивилизации использовались доли, которые были, как принято их называть в современной исторической литературе, шестидесятеричными дробями. Но в то далекое время числа, которые они представляли, не были дробями (их сделали ими историки). Они были именованными числами, причем обычно состояли из нескольких наименований. В качестве примера достаточно рассмотреть современное представление времени: например, 2 дня 6 часов 27 минут и 15 секунд. Это именованное число в современном представлении в днях можно выразить с помощью обыкновенных дробей. Такое представление в практических задачах характерно не только для древних цивилизаций: этот подход широко распространен и в современной практической жизни. Использование дробей в современной записи затруднено из-за того, что правила действий с такими дробями сложны, причем овладеть ими может не всякий. С другой стороны, работа с именованными числами проста и доступна более широкому кругу. В этом случае проще было изготовить и использовать числовые таблицы.

Сделаем еще одно замечание относительно позиционных систем представления кчисел. Во многих древних цивилизациях к-числа представлялись с помощью определенной позиционной системы. В этом случае выбор позиционной системы ограничивал набор кчисел, которые использовались в этой цивилизации. Переход от одной системы представления числа к другой системе записи был практически невозможен. Это означает, что прематематика в разных цивилизациях была разной. В этой ситуации между прематематиками в разных цивилизациях вряд ли имелась какая-либо связь.

Несколько позже, в связи с практическими задачами, появилась необходимость рассматривать взаимоотношения двух совокупностей, состоящих из одних и тех же реальных объектов, или сравнивать степени обладания определенным свойством у двух реальных объектов. Например, соотношение количества баранов в двух стадах баранов, или соотношение длин двух струн. Здесь мы опять сталкиваемся с некими количественными величинами, выражающими соотношения между количествами или степенями обладания свойством. Другими словами, мы опять приходим к некоторым «числам» другого типа, которые по своей природе принципиально отличаются от прагматических к-чисел. Эти «числа» выражают соизмерение совокупностей или степеней обладания одним и тем же свойством, поэтому мы будем говорить, что эти числа выражают некую соизмерительную сущность, и будем их называть прематематическими с-числами. При таком определении с-чисел они отражают, в частности, отношение между двумя к-числами. Поэтому с-числа не являются именованными числами.

Прематематические с-числа принципиально отличаются от прематематических к-чисел.

Во-первых, к-числа являются именованными числами, а с-числа не являются именованными в обычном смысле числами. Во-вторых, на множестве к-чисел естественным образом вводятся операции над этими числами. Над с-числами нет такой естественной возможности определить подобные операции.

В силу того, что, во-первых, с-числа носят достаточно абстрактный характер, вовторых, круг людей, знакомых с ними и пользующихся ими, достаточно ограничен, то для их обозначения в обычном языке человеческого общения нет специфических терминов.

Позже, с появлением математики, эти числа слились с общим понятием числа. Другими словами, вместо понятия с-числа стали говорить просто о числе, не обращая внимания на разницу в содержании понятий. Замена одного понятия другим в этом случае не оказывает влияния на конечный результат решения любой практической задачи.

Практическая жизнь и потребности экономики вынудили ввести в рассмотрение еще один вид так называемых прематематических «чисел». Любая хозяйственная жизнь требует пересчитывать количество реальных объектов в той или иной их совокупности.

Для пересчета объектов мы должны их упорядочить. Например, первый баран, второй баран и т.д. Здесь мы опять имеем дело с прематематическими именованными числами определенного вида, который не имеет ничего общего с введенными выше прагматическими к-числами и с-числами. Этот новый вид именованных чисел также является прематематическим объектом. Он выражает так называемую упорядочивающую сущность, которая присуща группам реальных объектов. Упорядочивающая сущность, как философская категория, наряду с количественной сущностью, также является первичным свойством элементов множеств реальных объектов. Для обозначения степеней обладания упорядочивающей сущностью используются специальные словесные символы.

В каждом языке человеческого общения мы сталкиваемся со специальными словесными символами для выражения степени обладания упорядочивающей сущности.

Например, в русском языке – это первый, второй, третий… ; в английском языке – это first, second, third… Эти слова употребляются вместе с именем объекта из упорядочиваемой совокупности объектов. Для удобства дальнейших рассуждений именованные числа этого рода, которые появляются в тех случаях, когда мы хотим ввести некий порядок среди реальных объектов, т.е. упорядочить их, и которые выражают установленный порядок, мы назовем прематематическими п-числами, или порядковыми именованными числами.

Из определения следует, что любое п-число состоит из двух частей: первая часть является словесным символом, означающим конкретную степень обладания упорядочивающей сущности, а вторая часть есть имя упорядочиваемого объекта.

Как и в случае прематематических к-чисел, каждое конкретное прематематическое пчисло также представляет собой прагматический факт, если его соотнести с конкретным множеством реальных объектов. С другой стороны, на это конкретное п-число можно также смотреть и как на прематематический объект, который может быть подвергнут изучению или использованию.

Прематематические порядковые именованные числа по своей сути отличаются от прематематических количественных именованных чисел. Различие, прежде всего, связано с отличием между количественной сущностью и порядковой (упорядочи-вающей) сущностью, которые имеют различную природу. Это различие проявляется в том, что на множестве именованных п-чисел нельзя естественным образом определить арифметические операции, подобные тем, которые естественно определяются на множестве именованных к-чисел.

Необходимо отметить, что как в английском языке, так и в русском имена к-чисел и пчисел отличаются, как и отличаются способы их применения. Это объясняется тем, что весь накопленный человеческий опыт использования этих типов чисел не смог выявить какую-либо общность между ними чисел. Поэтому в языке человеческого общения мы видим отражение только их принципиального различия, а не общности.

Однако между именованными п-числами и именованными к-числами есть глубокая связь. Эта связь заключается в том, что без употребления п-чисел, как мы уже говорили выше, нельзя сосчитать количество (т.е. получить конкретное к-число) объектов в совокупности. Другими словами, количественная сущность множества реальных объектов непосредственно связана с порядковой сущностью того же множества: количество реальных объектов в каждом конкретном множестве неразрывно связано с порядковым числом последнего объекта в порядке (счете) объектов множества.

Прематематические п-числа также принципиально отличаются и от с-чисел. Опятьтаки, это отличие заложено в различии упорядочивающей сущности от соизмерительной сущности. Кроме того, п-числа являются именованными числами, а с-числа не являются таковыми.

Из определений к-числа, с-числа, п-числа мы видели, что все эти типы чисел принципиально отличаются друг от друга. Единственное, что их объединяет, это слово «число», которое входит в каждое имя. На самом деле мы для каждого типа могли взять имя, не содержащее слова «число». Использование слова «число» в этом случае связано прежде всего с историческими моментами. Впервые пристальное внимание на различие между двумя сущностями — количественной и упорядочивающей — обратили только во второй половине XIX века, когда в математике появилась теория множеств, в которой были введены понятия количественных и порядковых чисел в качестве принципиально различных математических объектов.

Все перечисленные типы прематематических чисел являются наглядными прематематическими объектами, ибо они появились в результате обобщения реальных наблюдений или результатов практической деятельности (опыта). Сразу отметим, что для решения большинства практических задач, которые требовали проведения численных расчетов, были необходимы, в основном, операции над к-числами. Это означает, что в методиках решения практических задач используются к-числа. Дальнейшее развитие человеческой цивилизации оказывало влияние на развитие прематематики, заставляя ее разрабатывать методики решения новых возникающих задач. Развитие этих методик требовало, прежде всего, введения в рассмотрение новых прематематических объектов (понятий). Например, развитие хозяйственных денежных общественных отношений потребовало ввести в рассмотрение отрицательные именованные числа, а также понятие нуля, рассматривая его как прематематический объект специального вида.

В ранних цивилизациях часто для представления чисел использовались буквы соответствующего алфавита. С этим, например, можно встретиться у евреев, греков, римлян. У других (египтян, хеттов, вавилонян) употреблялись специальные символы, ибо у них не было алфавита.

Большое значение для упрощения проведения числовых расчетов имело введение в использование для записи чисел арабских (индийских) цифр, а также десятичной позиционной системы. Запись чисел в десятичной позиционной системе оказалась настолько удобной в использовании, что в дальнейшем она вытеснила из практического употребления все другие системы записи к-чисел и с-чисел. С помощью позиционной записи числа мы можем строго определить, что мы понимаем под количественной частью как к-чисел, так и с-чисел. В прематематике количественная часть любого к-числа или с-числа представляется (записывается) с помощью только конечного числа цифр в любой позиционной системе представления чисел. Так как при решении практических задач используется в записи числа в любой позиционной системе только конечное число цифр, то мы будем в дальнейшем считать, что при конкретном проведении прематематических рассмотрений в записи прематематических чисел участвует только ограниченное количество цифр. Из этого утверждения не следует, что при разных конкретных прематематических рассмотрениях существует ограничение сверху количества цифр. Другое следствие из последнего утверждения состоит в том, что в каждом конкретном прематематическом рассмотрении множество всех рассматриваемых чисел дискретно.

В последних утверждениях большую роль играет также понятие, как представление числа или его запись в некоторой позиционной системе. Здесь возникает ряд вопросов о связи двух понятий: «прематематическое число» и «представление прематематического числа в некоторой системе записи». Прежде всего, заметим, что запись числа играет принципиальную роль в представлении прематематического числа, ибо часто не удается для числа в одной записи найти равное ему число в другой записи. В качестве примера можно привести тот факт, то число, которое мы представляем в виде обыкновенной дроби как 1/3, нельзя представить в виде числа, записанного в десятичной позиционной системе.

С другой стороны, любое число, записанное в десятичной позиционной системе, можно представить в виде смешанного числа. Из последнего замечания следует, что каждая система записи чисел определяет собственную систему к-чисел.

Геометрические формы представляют другой тип первичных прематематических понятий. Понятие конкретной геометрической формы появилось уже на ранних этапах развития человеческой цивилизации в связи с различными хозяйственными потребностями.

Реальные объекты, имеющие определенную форму, использовались в практической жизни:

от производства предметов домашнего обихода до строительства, архитектуры и сельского хозяйства. Достаточно сослаться на колесо, появление которого произвело революцию в древних цивилизациях. Геометрические формы, так же, как и именованные числа, имеют наглядное представление, которое можно познать через ощущения. Геометрические формы, представляющие собой определенные сущности формы в смысле их прикладного значения, мы будем назвать прематематическими геометрическими формами или пформами.

Отметим, что приписывание определенного слова (имени), которое указывает на геометрическую форму конкретного реального объекта, является одним из видов процесса обобщения и абстрагирования. Это произошло потому, что в практической жизни использование геометрических форм было связано с решением практических задач, требующих определенных интеллектуальных усилий. Обычно при формулировках подобных задач применялись различные рисунки или чертежи. К таким задачам относятся задачи, связанные с определением площадей земельных участков, вычисление объемов, геодезические, навигационные задачи. Важную роль играли геометрические фигуры в искусстве. Появление рисунков геометрических форм на различных письменных носителях и их использование для решения практических задач и явилось первоначальной стадией абстрагирования. Другими словами, геометрические формы появились как символическое выражение ощущений форм реальных объектов.

Прематематическая п-форма обязательно относится к классу (совокупности) конкретных объектов. Каждый объект из этого класса можно рассматривать как конкретизацию данной п-формы. Например, слово «треугольник» мы относим и к рисунку на песке, и к фигуре, вырезанной из дерева, и к комбинации, сложенной из трех палочек. В этом случае слово «треугольник» служит выражением того общего, что имеется у перечисленных выше реальных объектов. Выражение «этот конкретный объект имеет форму треугольника»

является одним из типичных видов прагматических утверждений или регулярностей. Из смысла этого утверждения следует, что словом «треугольник» обозначается определенный прагматический объект.

Отметим сразу, что во всех древних цивилизациях, кроме греческой, рассматривались и обсуждались только конкретизации п-форм. Такие абстрактные понятия, как треугольник, окружность, квадрат и т.п. как объекты исследования появились впервые только в греческой геометрии. Эти понятия требовали такого уровня абстракции, которым не обладали другие цивилизации.

В силу того, что описать п-форму можно не только словесно, но и с помощью рисунков, делает это понятие наглядным. Поэтому можно сказать, что, несмотря на внешнюю абстрактность геометрических п-форм, они и их свойства усваиваются людьми гораздо более быстро и просто, нежели к-числа или п-числа и их свойства.

Обобщая сказанное, можно утверждать, что п-формы являются наблюдаемыми прагматическими объектами, т.е. объектами прагматического познания. Отсюда следует, что факт обладания свойством п-формы в рамках прагматического познания можно только проверить. В этом их принципиальное отличие от рассмотрения математических геометрических фигур, но суть этого отличия мы уже будем обсуждать ниже.

Основные практические задачи, в которых участвовали конкретные п-формы, состояли в нахождении некоторых количественных величин, связанных с этими формами.

Основными используемыми величинами являлись длина конкретного отрезка, площадь участка земли, имеющего конкретную форму, объем реального объекта, обладающего определенной формой. Для нахождения площадей и объемов в соответствующих пформах выделялись конкретные элементы, также имеющие вид п-формы.

4.3. «Истинные» прематематические утверждения. Логика прематематики.

Продолжим рассмотрение прематематики как прагматического познания. В предыдущем параграфе мы изучали объекты исследования этого познания. Этот параграф посвящен изучению других методологических составляющих познания — «истинным»

утверждениям в прематематике и ее логикt. Это изучение мы начнем с описания содержания прематематики.

Согласно данному ранее определению, прематематика представляет собой собрание методик решения количественных практических задач. В этой фразе мы встречаемся с двумя понятиями, которые нуждаются в дополнительном пояснении: это количественная практическая задача и методика ее решения. Пояснение здесь необходимо потому, что понимание этих терминов сегодня и в те далекие времена было совершенно разным. Мы попытаемся, насколько это возможно, дать толкование этих понятий с точки зрения прошлых цивилизаций.

Строго формально определить, что такое количественная практическая задача, вряд ли возможно в виду большого разнообразия содержания, с которым можно встретиться в них.

По большей части можно считать, что это понятие является интуитивно ясным. Однако важно подчеркнуть следующие характерные особенности указанных задач, как они виделись в упомянутых выше прошлых цивилизациях.

Во-первых, каждая практическая задача является конкретной, поэтому в содержании этих задач обязательно встречаются только прематематические числа или п-формы с их элементами. В них ни в коем случае не встречаются никакие другие, тем более абстрактные, понятия.

Во-вторых, результат решения этих задач — либо именованное число, либо набор именованных чисел.

В-третьих, так как мы говорим о практических задачах, то они всегда имеют решение.

Последнее утверждение звучит достаточно странно и может вызвать определенное несогласие. Однако в его пользу можно привести следующий довод. Мы имеем дело с практическими задачами, которые люди вынуждены решать. Поэтому они вырабатывают ту или иную методику, позволяющую получить набор прематематических чисел, который можно принять в качестве решения этих задач. Этот набор может также состоять и из одного числа.

Выражение «методика решения задачи» нуждается в разъяснении, ибо оно отличается от современного толкования. В современном понимании термин «методика» носит обобщенный и даже абстрагированный характер. В прошлых цивилизациях, как мы уже отмечали в параграфе 4.1, уровень интеллектуального развития не давал возможности сформулировать путь решения задачи на таком абстрактном уровне. В этом легко убедиться, если вновь обратиться к сохранившимся документам древних цивилизаций.

Начиная с дошедших до нас древнеегипетских папирусов, практически все собрания задач служили для учебных целей. Они были сгруппированы по темам; задачи, относящиеся к определенной теме, можно считать характерными для нее. Приведенные решения задач состояли из последовательного выполнения конкретных вычислений, которые давали определенные численные результаты. При этом не давалось никаких объяснений, обосновывающих приведенный порядок вычислений. При решении подобной задачи требовалось следовать и действовать по аналогии с описанной последовательностью вычислительных действий. По всей вероятности, этот путь решения задачи был предложен неким авторитетом, с которым определенная общественность согласилась или была вынуждена согласиться. В дальнейшем этот способ решения задачи, базирующийся на общественном согласии, передавался от одного поколения другому в течение всей жизни цивилизации.

Резюмируя сказанное, можно толковать смысл понятия «методика» следующим образом. При встрече с практической задачей, относящейся к определенной теме и подобной одной из характерных задач этой темы, для ее решения необходимо проводить вычисления по аналогии, как это описано в соответствующем документе. Это означает, что в этом случае мы имеем дело с ситуацией, когда интеллектуальные рассуждения проводятся по аналогии, т.е. по принципу «делай как я».

Из данного толкования вытекает, что в разных сообществах одну и ту же задачу могли решать разными способами, которые существенно зависели от представления прематематических чисел, используемых при решении задачи. Различные способы решения подобных задач можно наблюдать в сохранившихся документах исчезнувших цивилизаций.

Все практические задачи, с которыми встречались в определенной цивилизации, можно условно разделить на две группы — проверяемые и непроверяемые. Задача называется проверяемой, если существует некий другой способ проверить результат ее решения.

Например, задача определения длины внешнего обода колеса является проверяемой, ибо результат можно проверить с помощью веревки. Того же типа является задача разделения стада животных на два стада в известной пропорции. Если же не существует способа проверить результат решения задачи, то такую задачу будем называть непроверяемой.

Любую методику решения практической задачи можно рассматривать как прематематическое рассуждение, а совокупность, состоящую из формулировки задачи и результата ее решения, — как прематематическое утверждение. Совокупность формулировки задачи и ее решения можно толковать как утверждение, что данный результат есть решение задачи, чем и объясняется введенное определение.

Если методика решения практической задачи являлась общественным соглашением, то прематематическое рассуждение назовем принятым рассуждением. Из определения следует, что свойство рассуждения быть принятым не является абсолютным, а носит относительный, временной характер. С изменением и развитием соответствующей цивилизации принятое рассуждение может перестать быть принятым.

Два принятых рассуждения называются аналогичными, если, во-первых, задачи, которые они решают, отличаются только прематематическими числами, входящими в их формулировки, а во-вторых, если они обладают одной и той же последовательностью вычислительных операций. Очевидно, что если одно рассуждение аналогично другому, а это другое аналогично третьему, то и первое будет аналогично третьему.

Множество всех принятых рассуждений будем называть логикой соответствующей прематематики. Эта логика распадается на подмножества, каждое из которых состоит из аналогичных принятых рассуждений. По своей сути, каждое принятое рассуждение является индивидуальным, и среди них нет обобщающих рассуждений, что объясняется уровнем абстрактности процесса мышления, характерного для прематематики. Отсюда вытекает, что рассуждения, принадлежащие различным подмножествам, никак не связаны друг с другом, и поэтому нельзя построить цепочку связанных друг с другом рассуждений.

Единственно, что возможно в некоторых случаях установить — это только некоторую аналогию в последовательности вычислительных действий.

В зависимости от того, является ли задача проверяемой или непроверяемой, мы сталкиваемся с двумя типами принятых рассуждений. Если задача является проверяемой, то это означает, что принятое рассуждение является, по сути, проверяемым рассуждением с помощью опыта. В этом случае результат решения задачи, полученный на основе принятого рассуждения, служит гипотезой в индуктивном рассуждении, которая проверяется путем опыта. Другими словами, в этом случае можно сказать, что принятое рассуждение получено индуктивным путем, т.е. с помощью индукции. Естественно эти рассуждения назвать индуктивными.

Рассуждения, связанные с непроверяемыми задачами, не являются индуктивными, их можно скорее рассматривать как некоторые директивы. Поэтому их мы будем называть директивными рассуждениями. Таким образом, все принятые рассуждения в прематематике можно объединить в два множества, одно из которых состоит из индуктивных рассуждений, а другое — из директивных.

Прематематическое утверждение, в котором результат решения задачи получен с помощью принятого рассуждения, называется «истинным» утверждением в прематематике. Свойство утверждения — быть «истинным» — не является абсолютным а носит относительный, временной характер. С изменением принятого рассуждения меняется и «истинность» связанного с ним утверждения.

Из определения «истинности» утверждения вытекает, что любое прематематическое утверждение носит конкретный индивидуальный характер, а не является обобщающим утверждением. Между различными «истинными» прематематическими утверждениями нельзя установить никакой связи, т.е. ни одно «истинное» прематематическое утверждение не вытекает из других «истинных» утверждений.

Только в новейшее время историкам математики удалось с помощью математического языка объяснить, обосновать и проверить проводимую последовательность вычислений.

Оказалось, что значительное число принятых рассуждений, как индуктивных, так и директивных, приводит к результатам, которые с современной точки зрения являются вполне приемлемыми и допустимыми. Поэтому вызывает удивление и даже восхищение, как удавалось древним найти способы решения количественных практических задач, которые только после ряда тысячелетий получили логическое и содержательное обоснование и проверку. Здесь необходимо отметить глубину человеческой интуиции, которая позволила найти такие решения практических задач, которые верно служили человечеству в разных местах в течение многих столетий и даже тысячелетий.



Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 13 |
 
Похожие работы:

«Введение Рентгеновская и гамма-астрономия изучает свойства и поведение вещества в условиях, которые невозможно создать в лабораториях, — при экстремально высоких температурах, под действием сверхсильных гравитационных и магнитных полей. Объектами изучения являются взрывы и остатки сверхновых, релятивистские компактные объекты (нейтронные звезды, черные дыры, белые карлики), аннигиляция антивещества, свечение межзвездной среды из-за ее бомбардировки космическими лучами высоких энергий и т.д....»

«ТОМСКИЙ Г ОСУД АРСТВЕННЫ Й П ЕД АГОГИЧ ЕСКИЙ У НИВЕРСИТ ЕТ НАУЧНАЯ БИБЛИО ТЕКА БИБЛИО ГРАФИЧ ЕСКИЙ ИН ФО РМАЦИО ННЫ Й ЦЕ НТР Инфор мац ионны й бю ллетень новы х поступлений  №3, 2008 г. 1           Информационный   бюллетень   отражает   новые   поступления   книг   в   Научную  библиотеку ТГПУ с 30 июня по 10 октября 2008 г.           Каждая  библиографическая запись содержит основные сведения о книге: автор,  название, шифр книги, количество экземпляров и место хранения.           Обращаем  ...»

«Валерий Болотов Тур Саранжав Великие астрономы Великие открытия Великие монголы Монастыри Владивосток 2012 Б 96 4700000000 Б 180(03)-2007 Болотов В.П. Саранжав Т.Т. Великие астрономы. Великие открытия. Великие монголы. Монастыри Владивосток. 2012, 200 с. Данная книга является продолжением авторов книги Наглядная астрономия: диалог и методы в системе Вектор. В данной же книги через написания кратких экскурсах к биографиям древних астрономов и персон имеющих отношения к ним, а также событий,...»

«ПРОФЕССОР СЕРГЕЙ ПАВЛОВИЧ ГЛАЗЕНАП Проф. С. П. Глазенап Почетный член Академии Наук СССР ДРУЗЬЯМ и ЛЮБИТЕЛЯМ АСТРОНОМИИ Издание третье дополненное и переработанное под редакцией проф. В. А. Воронцова-Вельяминова ОНТ И ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ НАУЧНО - ПОПУЛЯРНОЙ И ЮНОШЕСКОЙ ЛИТЕРА ТУРЫ Москва 1936 Ленинград НПЮ-3-20 Автор книги — старейший ученый астроном, почетный член Академии наук, написал ряд научно-популярных и специальных трудов по астрономии, на которых воспитано не одно поколение любителей...»

«Луна и интуиция (Часть 1) Триш Макгрегор В отличие от многих других популярных книг по астрологии, которые содержат описание исключительно солнечных знаков Зодиака, Луна и интуиция интересна тем, что подробно рассматривает влияние Луны, ее положения относительно других планет и знаков Зодиака в момент рождения человека на его характер, особенности и все сферы его жизни — здоровье, семью, работу. Немалое внимание уделяется интуитивным способностям человека, на которые, по мнению автора, Луна...»

«УДК 133.52 ББК86.42 С14 Галина Волжина При рода Черной Луны в свете современной оккультной астрологии М: САНТОС, 2008, 272 с. ISBN 978-5-9900678-3-7 Книга известного российского астролога Галины Николаевны Волжиной При­ рода Черной Луны в свете современной оккультной астрологии написана на базе более чем двенадцатилетнего исследования. Данная работа справедливо может претендовать на звание наиболее полной и разносторонней. Автор попытался не только найти, но и обосновать ответы на самые спорные...»

«СПИСОК РЕЦЕПТОВ ChefLux™ Комбинированные пароконвектоматы Готовка на коминированных печах UNOX Смешанные пароковектоматы и Конвектоматы с увлажнением UNOX без сомнения являются ощутимой помощью в достижении оптимальной готовки и простым оружием в приготовлении комплексных меню. Этот список рецептов даст вам некоторые советы для реализации комплексных меню в помощь вашей профессиональности и креативности. Хорошей работы!!! Содержание Электронное управление печей ChefLux™ • Страница 3 • Способы...»

«ВЕСТНИК МОРСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Серия История морской науки, техники и образования Вып. 35/2009 УДК 504.42.062 Вестник Морского государственного университета. Серия : История морской науки, техники и образования. Вып. 35/2009. – Владивосток : Мор. гос. ун-т, 2009. – 146 с. В сборнике представлены научные статьи сотрудников Морского государственного университета имени адм. Г. И. Невельского, посвященные различным областям морской науки, техники и образования. Редакционная...»

«Выпуск 80. Содержание: Анатолий Кан Сувенир нейрохирурга Чарльз Де Вет Жизненно важный ингредиент Наталья Сорокоумова Счет на оплату Евгений Добрушин Телепорт Михаил Максаков Fare-thee-well Екатерина Четкина Прекрасное далёко Наталия Сигайлова Небольшая оплошность * * * Анатолий Кан Сувенир нейрохирурга 1 Дождливая сентябрьская ночь. Первомайский район Новосибирска. На улице ни души. Из районного управления милиции вышел высокий мужчина в черном кожаном пальто и, не спеша, направился в сторону...»

«http://eremeev.by.ru/tri/symbol/index.htm В.Е. Еремеев СИМВОЛЫ И ЧИСЛА КНИГИ ПЕРЕМЕН М., 2002 Электронная версия публикуется с исправлениями и добавлениями Оглавление Введение Часть 1 1.1. “Книга перемен” и ее категории 1.2. Символы гуа 1.3. Стихии 1.4. Музыкальная система 1.5. Астрономия 1.6. Медицинская арифмосемиотика Часть 2 2.1. Семантика триграмм 2.2. Триграммы и стихии 2.3. Пневмы и меридианы 2.4. Пространство и время 2.5. “Магический квадрат” Ло шу 2.6. Триграммы и теория люй 2.7....»

«ББК 74.200.58 Т86 33-й Турнир им. М. В. Ломоносова 26 сентября 2010 года. Задания. Решения. Комментарии / Сост. А. К. Кулыгин. — М.: МЦНМО, 2012. — 182 с.: ил. Приводятся условия и решения заданий Турнира с подробными комментариями (математика, физика, химия, астрономия и науки о Земле, биология, история, лингвистика, литература, математические игры). Авторы постарались написать не просто сборник задач и решений, а интересную научно-популярную брошюру для широкого круга читателей. Существенная...»

«Из истории естествознания Г. Е. КУРТИК ВВЕДЕНИЕ ЗОДИАКА КАК ПОЛОСЫ СОЗВЕЗДИЙ В МЕСОПОТАМСКОЙ АСТРОНОМИИ Статья посвящена наиболее раннему периоду в истории месопотамского зодиака. Здесь последовательно рассмотрены: 1) клинописные источники II тыс. до н. э., касающиеся истории созвездий; 2) письма и рапорты ученых ассирийским царям (VII в. до н. э.) как источник по истории представлений о зодиаке; 3) определение зодиака как полосы созвездий в MUL.APIN. Нет оснований предполагать, что...»

«История ракетно-космической техники (Материалы секции 6) АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ РАЗРАБОТКИ НАУЧНОГО ТРУДА ПО ИСТОРИИ ОТЕЧЕСТВЕННОЙ КОСМОНАВТИКИ Б.Н.Кантемиров (ИИЕТ РАН) Исполнилось 100 лет опубликования работы К.Э.Циолковского Исследование мировых пространств реактивными приборами (1903), положившей начало теоретической космонавтике. Уже скоро полвека, как космонавтика осуществляет свои практические шаги. Казалось бы, пришло время, когда можно ставить вопрос о написании фундаментального труда по...»

«© Copyright - Karim A. Khaidarov, July 18, 2008 ГАЛАКТИЧЕСКАЯ ЭВОЛЮЦИЯ Светлой памяти моей дочери Анастасии посвящаю Аннотация. Расширение и уточнение предыдущей работы автора Звездная эволюция. На основании предыдущих исследований автора систематизирован взгляд на эволюцию звезд, звездообразных объектов и галактик. Рассмотрены детали галактического и внегалактического круговоротов вещества во Вселенной..защищу его, потому что он познал имя Мое. [Пс. 90] Опираясь на концепцию структуры...»

«ПИСЬМО ШЕСТОЕ Здравствуйте, Владимир Георгиевич! Чай уж надоел я Вам своими письмами. Но, начавши, не могу остановиться, пока не дожую вашу статью до конца. Есть у меня уже и новости. Разместил я свои письма на сайте Академии Астрологии, пусть народ читает. Пришли уже отзывы. Вот что написал мне один из корреспондентов: Михаил, Чего же вы не написали в статье, что хвалимый вашим оппонентом Кеплер попросту украл свои законы у заклятого астролога Тихо Браге, а слово математика в ранешние времена...»

«Космический астрометрический эксперимент ОЗИРИС Институт астрономии Российской Академии наук Государственный астрономический институт им. П. К. Штернберга Государственный оптический институт им. С. И. Вавилова Научно-производственное объединение им. С. А. Лавочкина КОСМИЧЕСКИЙ АСТРОМЕТРИЧЕСКИЙ ЭКСПЕРИМЕНТ ОЗИРИС Под редакцией Л. В. Рыхловой и К. В. Куимова Фрязино 2005 УДК 52 ББК 22.6 К 71 Космический астрометрический эксперимент ОЗИРИС. Под редакцией Л. В. Рыхловой и К. В. Куимова. Фрязино:...»

«ВМЕСТО ПРЕДИСЛОВИЯ. Да, да! А сколько захватывающего сулят эксперименты в узко специальных областях! Ну, например, икота. Мой глупый земляк Солоухин зовет вас в лес соленые рыжики собирать. Да плюньте вы ему в его соленые рыжики! Давайте лучше займемся икотой, то есть, исследованием пьяной икоты в ее математическом аспекте. - Помилуйте! - кричат мне со всех сторон. - да неужели же на свете, кроме этого, нет ничего такого, что могло бы.! - Вот именно: нет! - кричу я во все стороны! - Нет...»

«ББК 74.200.58 Т86 34-й Турнир имени М. В. Ломоносова 25 сентября 2011 года. Задания. Решения. Комментарии / Сост. А. К. Кулыгин. — М.: МЦНМО, 2013. — 197 с.: ил. Приводятся условия и решения заданий Турнира с подробными коммен­ тариями (математика, физика, химия, астрономия и науки о Земле, биология, история, лингвистика, литература, математические игры). Авторы постара­ лись написать не просто сборник задач и решений, а интересную научно-попу­ лярную брошюру для широкого круга читателей....»

«В.А. СИТАРОВ, В.В. ПУСТОВОЙТОВ СОЦИАЛЬНАЯ ЭКОЛОГИЯ Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших педагогических учебных заведений Москва ACADEMA 2000 УДК 37.013.42(075.8) ББК 60.56 Ситаров В. А., Пустовойтов В. В. С 41 Социальная экология: Учеб. Пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений. М.: Издательский центр Академия, 2000. 280 с. ISBN 5-7695-0320-3 В пособии даны основы социальной экологии нового направления междисциплинарных...»

«Георгий Бореев ШЕСТАЯ РАСА И НИБИРУ Часть Первая ВТОРОЕ СОЛНЦЕ Нет религии выше Истины 13 февраля 2013 года. Большинство людей на Земле так и не увидит, как из маленькой искорки на земном небе вырастет огромный яркий шар диаметром чуть больше Солнца. Но когда такое произойдет, то эту новость начнут передавать по всем каналам радио и телевидения различных стран. За всеобщим ажиотажем, за комментариями астрономов люди как-то не сразу заметят, что одновременно с появлением яркой звезды на небе, на...»






 
© 2014 www.kniga.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Книги, пособия, учебники, издания, публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.