WWW.KNIGA.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Книги, пособия, учебники, издания, публикации

 

Pages:     | 1 |   ...   | 11 | 12 ||

«Математическое моделирование и компьютерная математика. Иерусалим, 2009 1 Содержание Введение 7 Часть 1. Теория познания и моделирование Глава 1. Исторический взгляд на ...»

-- [ Страница 13 ] --

Таким образом, сегодня достаточно редко можно встретить работы, в которых процесс численного решения сложных математических задач рассматривается в целом, с учетом выполнения упомянутых выше этапов. Для рассмотрения этого процесса в целом требуется другой методологический подход, нежели тот, который обычно используют математики, а именно - системный подход. Другими словами, необходимо рассматривать сам процесс численного решения сложной математической задачи как сложную систему.

Такое рассмотрение требует выбора специфического языка, с помощью которого каждый из этапов вычислительного процесса можно рассматривать с единной точки зрения и на одном языке. Такой единой точкой зрения является системный подход, а языком – язык моделирования.

С этой точки зрения численное решение задачи с помощью компьютера рассматривается как сложный процесс, который естественным образом можно описать как процесс моделирования. В этом случае модель, которая представляет собой весь процесс решения задачи, будет многотекстовой, т.е. состоит из совокупности взаимосвязанных моделей, относящихся к различным этапам решения задачи. Из данного выше перечисления этапов видно, что эти модели относятся к различным типам познания.

Как мы уже неоднократно делали выше, эту модель, состоящую из совокупности взаимосвязанных моделей, назовем глобальной моделью, а каждую из моделей, входящих в глобальную модель, назовем частной моделью. В интересуемом нас случае глобальная модель состоит из четырех взаимосвязанных частных моделей: теоретической непрерывной математической модели, прагматической модели, модели, являющейся программой, написанной на одном из языков программирования, и модели, написанной на машинном языке. Подобная ситуация возникает, например, при численном решении дифференциального уравнения, обыкновенного или в частных производных, не имеющего аналитического решения. В этом случае глобальная модель представляет собой, по свой сути, набор основных этапов численного решения поставленной задачи, которые обычно применяются сегодня на практике. Именно эти составные части назовет любой математик в рассматриваемом случае.

Любой процесс моделирования начинается с формулирования глобальной цели моделирования, ибо этот процесс является видом целенаправленной человеческой деятельности. Как уже говорилось в п. 3.3, с каждой глобальной целью связаны один или несколько глобальных критериев, с помощью которых определяется достижение глобальной цели. Кроме того, там же было введено понятие эффективного критерия, т.е.



критерия, с помощью которого мы можем однозначно определить, достигается ли глобальная цель с помощью результата процесса моделирования вне зависимости от применяемого способа решения задачи. Если глобальная цель обладает эффективным критерием, то она называется эффективно достижимой целью. Если вычислительной задаче соответствует эффективно достижимая цель, то такую задачу назовем эффективно разрешимой задачей.

Формулировка глобальной цели является сложным процессом. Обычно этот процесс является итеративным, и ее уточнения и изменения происходят в течение всего процесса моделирования. Вместе с уточнением и изменением формулировки глобальной цели происходит и изменения глобального критерия. Нахождение эффективного критерия достижения цели часто является неразрешимой задачей. Для иллюстрации рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Рассмотрим задачу численного решения нелинейного уравнения как процесс моделирования. Глобальной целью в этом случае является нахождение хотя бы одного такого конкретного числа x 0, который являлся бы корнем исследуемого уравнения. Глобальным критерием достижения цели является обращение в тождество уравнения при подстановке найденного числа x 0, т.е.

Этот критерий, очевидно, является эффективным, ибо он для любого числа позволяет однозначно определить, является ли это число корнем исследуемого уравнения. Так как результат любого численного решения алгебраического уравнения представляет собой в общем случае набор прагматических или реально существующих математических чисел, то при такой постановке задачи предполагается, что алгебраическое уравнение имеет хотя бы один корень, являющийся реально существуствующим числом. Однако не существует такого математической теоремы, утверждающей, что конкретно заданное уравнение обладает реально существующим математическим корнем. Поэтому на практике глобальной целью является нахождение приближенного значения корня уравнения (4). Но тогда глобальный критерий выглядит обычно иначе где - положительное число, которое задается исследователем, причем его значение может изменяться в процессе моделирования. Очевидно, что и в этом случае измененный критерий является эффективным.

Пример 2. Рассмотрим задачу нахождения численного значения f ( x0 ) функции f ( x ) в точке x = x 0 как процесс моделирования. Эта задача принадлежит к одному из типов задач, которые широко распространены в математике. Естественно, сформулировать глобальную цель, совпадающую с формулировкой самой задачи. Однако здесь мы сталкиваемся с тем, что указанная задача может имееть решение только в рамках теоретической математики. Подобная ситуация возникает тогда, когда f ( x 0 ) является математическим числом, которому нельзя канонически поставить в соответствии прагматическое число, т.е. реально несуществующим числом. Это означает, что так сформулированная задача не имеет решения в рамках прагматической математики. Для того, чтобы задача имела решение, ее обычно формулируют следующим образом: найти приближенное значение f ( x 0 ) функции теоретической математике глобальная цель формулируется следующим образом: найти реально существующее значение f ( x 0 ), удовлетворяющее неравенству Однако на практике мы не можем использовать этот критерий, так как в нем неизвестна величина f ( x ), т.е. его нельзя использовать в качестве глобального критерия.

В теоретической математике часто дается оценка указанной разницы в зависимости от того алгоритма, который рекомендуется использовать для нахождения f ( x0 ). Это означает, что в этом случаев выбор глобального критерия зависит от алгоритма решения задачи. Тогда сам выбор критерия мы можем осуществить только на последующих этапах моделирования.

Если глобальный критерий формулируется в зависимости от выбранного алгоритма на последующих этапах моделирования, то его будем называть алгоритмическим глобальным критерием, а цель - алгоритмически достижимой.

Исходя из сказанного, по всей вероятности, для задач рассматриваемого типа не существует эффективного глобального критерия достижения цели, и указанная цель не является эффективно достижимой.

Пример 3. Рассмотрим задачу численного решения системы линейных уравнений B = (b1, b2,..., b n ) - конкретно заданный вектор. По условию задачи, все числа a ij и bi реально существующие математические числа. В этом случае глобальная цель заключается в поиске приближенного численного решения X 0 = ( x 01, x 02,..., x 0 n ) системы (8), который легко сформулировать, положив - положительное число, величину которого выбирает исследователь, и где X 0 A = B = (b1, b2,..., bn ). Очевидно, что этот критерий является эффективным и не зависит от метода решения задачи. Но тогда и цель является эффективно достижимой.

дифференциального уравнения от одного переменного при определенных начальных условиях (задача Коши). В этом случае, согласно интуитивному содержанию, глобальной целью исследования обычно объявляется нахождение численного решения этого уравнения. Однако с чисто формальной точки зрения нет четкого определения того объекта, который понимается под словами «численное решение дифференциального уравнения».

Здесь мы сразу сталкиваемся с противоречием. Оно заключается в том, что в теоретической математике решением обыкновенного дифференциального уравнения является непрерывная функция, а численное решение, которое ищется, является дискретной функцией, заданной на конечном множестве точек. Другими словами, здесь происходит столкновение репрерывности и дискретности Наличие противоречия свидетельствует о том, что формулировка задачи не является строго формальной, а скорее интуитивной. В таком виде она была сформулирована еще в XVIII веке и, как видно, сохранилась до настоящего времени.

Это противоречие показывает, что в действительности решается не та задача, которая первоначально сформулирована, а совершенно другая, которую можно сформулировать следующим образом. Найти конечный набор конкретных чисел, рассматриваемых как значения (точные или приближенные) при определенных значениях аргумента непрерывной функции, которая является решением обыкновенного дифференциального уравнения. При такой постановке задачи мы сталкиваемся с рядом проблем в формулировании глобального критерия достижения цели.

В отличие от предыдущих случаев, когда формулировка глобального критерия достижения цели вытекала с очевидностью из определения решения уравнения или системы уравнений, здесь нет очевидной возможности для подобной формулировки. В этом случае математический объект, являющийся решением задачи Коши, существует «симполически» (т.е. как символ), а не «реально». Это утверждение следует из самой постановки задачи. Поэтому глобальный критерий решения задачи не может содержать в своей формулировке математическую функцию, являющуюся решением задачи Коши. Но тогда становится неясным, как формально определить: являются ли полученные результаты вычислительного процесса решением поставленной задачи.

Другими словами, в этом случае не существует эффективного критерия достижения цели, а сама цель не является эффективно достижимой. Поэтому необходимо изменить как формулировку цели моделирования, так и формулировку глобального критерия достижения цели, что и происходит в течение процесса моделирования. В частности, одним из широко применяемых способов решения задачи Коши является замена обыкновенного дифференциального уравнения набором рекуррентных формул, с помощью которых и вычисляются набор чисел, который и объявляется исследователем численным решением дифференциального уравнения.

В этом примере мы сталкиваемся ситуацией, когда теоретическая математика, а тем более прагматическая, не дают никакой теоретической и практической возможности сформулировать глобальный критерий достижения цели. Любой критерий, который можно выбрать в этом случае, никак не связан с основной формулировкой задачи, а может касаться только результатов других этапов. Более того, нет никакой формальной возможности выбрать из двух различных результатов решения одной и той же задачи один, который можно объявить решением поставленной задачи.

Из приведенных примеров видно, что не все распространенные вычислительные задачи эффективно разрешимы. Ниже мы продолжим обсуждение причины, по которым та или иная вычислительная задача не является эффективно разрешимой.

Теперь перейдем к анализу построения многотекстовой модели, которая является основой процесса решения вычислительной задачи. Этот процесс, как мы уже говорили выше, состоит из ряда этапов, результатом каждого из которых является выбор соответствующей модели.

Так как формулировка глобальной цели, состоящей в решении некоторой вычислительной задачи, относится к теоретической математике, то модель, которая строится на первом этапе, является теоретикоматематической моделью, или, просто, теоретической моделью. В этом случае формулировку вычислительной задачи можно рассматривать как модель объекта, который является предметом исследования. В приведенных выше примерах уравнение, функция, для которой необходимо вычислить ее значение в определенной точке, система линейных уравнений, дифференциальное уравнение можно рассматривать как модели на языке теоретической математики.

Основной целью исследования теоретической модели является нахождение теоретического метода (алгоритма), с помощью которого можно найти решение поставленной задачи. Этот метод представляет собой описание последовательности (конечной или бесконечной) выполнения арифметических действий над математическими числами. Если существует доказанная математическая теорема, утверждающая, что этот метод приводит к решению поставленной задачи, то этот метод называется точным методом. В противном случае будем говорить об эвристическом методе. Таким образом, частной целью моделирования является нахождение метода решения задачи. Частным критерием достижения частной цели является нахождение метода решения задачи. Этот критерий будет эффективным критерием, если существует точный метод решения задачи. Частная цель будет эффективно достигаемой, только в том случае, если существует эффективный критерий достижения поставленной цели.

Существование эффективного частного критерия не гарантирует существования глобального эффективного критерия. Более того, наличие эффективного метода решения теоретической задачи не дает никакой гарантии того, что можно найти численное решение задачи.

Сам процесс исследования теоретической модели состоит из трех этапов.

Исследование теоретической модели заключается на первом этапе в ее преобразовании на основе доказанных теорем к такому виду, чтобы можно было переходить к поиску алгоритма для поиска решения задачи. В некоторых случаях нет необходимости в преобразовании модели, а в некоторых случаях без такого преобразования невозможно обойтись. Поясним сказанное на приведенных выше примерах.

Задачу решения нелинейного уравнения (пример 1) можно рассматривать двояко: или как задачу нахождения корней уравнения (4), или как задачу нахождения неподвижной точки для уравнения F ( x) = x, где F ( x ) = f ( x ) + x. В теоретической вычислительной математике существует множество алгоритмов, решающих задачу в той или иной постановке. Задача вычисления значения функции в конкретной точке (пример 2) обычно решается с помощью разложения этой функции в бесконечный степенной ряд в окрестности этой точки, хотя имеются и другие подходы, которые зависят от объема начальной информации, используемой при решении задачи. Задача решения системы линейных уравнений (пример 3) может быть сведена к вычислению набора определителей специального вида. Решение обыкновенного дифференциального уравнения в рамках задачи Коши (пример 4) может быть сведено к набору рекуррентных соотношений.

Второй этап в исследовании теоретической модели заключается в поиске метода решения поставленной задачи, а третий – в доказательстве того, что найденный метод приводит к решению задачи. Поясним сказанное в рамках приведенных примеров.

Методы решения нелинейных уравнений (пример 1) в своей основе являются итеративными (метод простых итераций, метод Ньютона, метод секущих и т.п.). Это означает, в рамках этих методов строится последовательность чисел, относительно которой при определенных условиях доказывается, что эта последовательность сходится к корню уравнения. Обычно все известные методы решения нелинейных уравнений являются точными только при выполнении определенных условий. Конкретная проверка этих условий на практике часто или невозможна, либо представляет собой не менее сложную задачу, нежели решение самой первоначальной задачи. В подтверждение сказанному можно сказать, что до сих пор не найден конструктивный метод, позволяющий найти действительный корень в случае его существования.

Теперь рассмотрим задачу вычисления значения функции f ( x ) в точке x = x (пример 2). В основе значительного числа методов решения этой задачи лежит разложение f ( x ) в степенной бесконечный ряд или в бесконечный ряд специальных многочленов. Эти методы являются точными методами, если доказывается, что эти ряды сходятся в точке x 0. Наиболее подробно изучены в этом направлении элементарные и некоторые специальные функции. Но и в этом случае необходимо заметить, что сходимость ряда в рамках теоретической математики не гарантирует сходимость соответствующего ряда в рамках компьютерной математики.

Задача из примера 3 принципиально отличается от других рассмотренных задач тем, что существует единый теоретический критерий для всех линейных систем уравнений для определения, имеет ли система линейных уравнений единственное решение или нет. Этим критерием, как это доказывается, служит отличие от нуля определителя системы уравнений. Более того, теоретически мы можем найти приближенное решение любой системы с произвольной точностью. Это утверждение является прямым следствием формул Крамера, если вычисление соответствующих определителей происходит на основе их определения. Для удобства будем в этом случае говорить о применении формул Крамера стандартным путем. В случае, если для вычисления определителей применяются другие методы, отличные от стандартного, то тогда могут возникнуть трудные вычислительные проблемы. Их мы обсудим ниже. Существуют и другие точные методы решения систем линейных уравнений.

Для решения задачи Коши (пример 4) существует целый ряд методов (например, метод Эйлера, методы Рунге-Кутта, методы Адамса, метод последовательных приближений Пикара), которые позволяют найти приближенные значения ряда точек на функции, являющейся решением задачи Коши. Только при очень жестких условиях, накладываемых на обыкновенное дифференциальное уравнение, удается доказать, что некий метод решения в пределе позволяет прийти к решению задачи. Обычно выполнение этих условий при решении практических задач невозможно проверить.

Вычислительные методы, которые могут применяться при решении конкретных вычислительных задач, должны состоять из набора, конечного или бесконечного, формул, в которых переменные или числа связаны только арифметическими операциями. Такие методы будем называть конструктивными. В приведенных выше примерах все упомянутые методы являются конструктивными.

Следующий этап построения многотекстовой модели является описание модели, предназначенной для проведения вычислений. Так как проведение вычислений можно осуществить только в рамках прагматической математики, то искомая математическая модель должна быть сформулирована в виде набора математических формул, которым канонически соответствуют прагматических формул. Второй этап потроения многотекстовой модели состоит в переходе к рассмотрению прагматической модели, которая состоит из набора всех прагматических формул, которые канонически соответствуют всем математических формулам из математической модели. Целью этого этапа моделирования состоит в проведение вычислений рамках прагматической модели.

Процесс моделирования с помощью прагматической модели начинается с формулировки частного критерия. Если существует глобальный эффективный критерий, то в качестве частного критерия можно взять формулировку глобального критерия на языке прагматической модели. Если же такого критерия не существует, то формулировка частного критерия принципиально зависит от метода решения задачи.

В параграфе 8.4 было показано, что любая прагматическая модель состоит из конечного набора прагматических формул. Поэтому построение прагматической модели состоит из следующих шагов. Сначала выбирается конструктивный метод решения задачи, сформулированной в глобальной цели. Затем из набора математических формул, входящих в этот метод, выбираем конечный поднабор. Третий шаг состоит в переходе от математических формул к прагматическим формулам с помощью канонического соответствия. Это соответствие заменяет в формулах математические арифметические операции на прагматические арифметические операции и реально существующие математические числа на прагматические числа, причем как те, так и другие числа имеют одно и то же цифровое представление. Выбранные прагматические формулы можно рассматривать как вычислительный прагматический алгоритм.

Принципиально важно отметить, что вычислительный прагматический алгоритм не мог появиться на свет без теоретического вычислительного алгоритма.

Исследование этой прагматической модели заключается в вычислении конкретных значений прагматических формул. С помощью частного критерия мы установливаем, являются ли полученные результаты решанием поставленной задачи в рамках прагматической модели. В случае положительного ответа канонически сопоставим каждому прагматическому числу из полученного решения математическое число. И этот набор уже математических чисел и объявляется решением математатической задачи.

Из сказанного следует, что прагматическая модель является основной моделью в многотекстовой модели.

Однако здесь необходимо еще раз подчеркнуть одно из нескольких принципиальных отличий прагматической модели от теоретической модели. Это отличие заключается в том, что вычисления в рамках прагматической модели происходят над прагматическими числами, в то время как все утверждения теоретической математики рассматриваются над математическими числами. Напомним, что прагматическая арифметика отличается от математической арифметики: если математические числа в рамках математической арифметики образуют поле, то прагматические числа в рамках прагматической арифметики – только кольцо. Поэтому прагматические утверждения, соответствующие математическим утверждениям, справедливым на множестве математических чисел, могут быть не выполняться над множеством прагматических чисел.

В частности, вполне возможна ситуация, когда существует математический алгоритм, с помощью которого решается определенная математическая задача, в то время как соответствующий прагматический алгоритм не дает решения соответствующей прагматической задачи. Поэтому большое значение приобретает формулировка частного критерия достижения цели, ибо только он в действительности связывает найденное числовое (прагматическое) решение с теоретическим. Однако пока не существует никакого языка и методологии построения частного прагматического критерия, за исключением канонического перевода теоретического критерия на прагматический язык.

Проиллюстрируем сказанное на приведенных выше примерах.

Пусть для нахождения приближенного значения корня нелинейного уравнения (5) выбран метод Ньютона (пример 1). Все другие методы численного решения нелинейных уравнений рассматриваются аналогично. В основе этого метода лежит рекуррентное соотношение, связывающее последующее приближение корня с предыдущим.

Рекуррентное соотношение можно рассматривать как бесконечный набор математических формул, из которого выбирается конечный набор. Так как в каждой формуле участвуют только реально существующие математические числа и арифметические операции, то, как мы уже неоднократно отмечали, ее можно рассматривать и как прагматическую формулу, используя каноническое соответствие. В результате вычисления прагматической формулы получается последовательность прагматических чисел. Эту последовательность вычислений можно оборвать, например, на любом первом члене, для которого выволняется критерий (6). В этом случае частный критерий в этом случае совпадает с глобальным критерием. Соединяя в один процесс частный критерий и выбранную формулу, мы уже получаем вычислительный прагматический алгоритм решения поставленной задачи. Здесь важно отметить, что для нахождения вычислительного прагматического алгоритма мы были вынуждены произвести достаточно много дополнительных вычислений. Результаты этих вычислений и служат необходимым набором информации, с помощью которой и строится алгоритм.

Для нахождения приближенного значения f ( x 0 ) функции f ( x ) в точке x =x (пример 2) используем конструктивный метод, основанный на разложении этой функции в сходящийся в рассматриваемой точке степенной ряд. В этом случае теоретический вычислительный алгоритм, как мы уже отмечали выше, заключается в вычислении набора частный сумм степенного ряда. Каждая частная сумма ряда представляет собой математическую формулу, в которой участвуют только арифметические операции.

Поэтому любой частной сумме можно канонически сопоставить прагматическую формулу. Вычисляя каждую конкретную прагматическую формулу, мы получаем некоторое прагматической число. Этому числу канонически соответствует математическое число, которое можно рассматривать как приближенное значение функции в искомой точке.

Возникает проблема выбора из множества вычисленных значений одно в качестве решения задачи. Другими словами, необходимо сформулировать частный критерий, который в том или ином смысле оценивал степень «приближения» к истинному значению функции в заданной точке. Этот критерий необходим для того, чтобы теоретический метод решения задачи превратить в вычислительный алгоритм, который состоит из конечного числа выполняемых операций. Как уже отмечалось выше, в этом случае не существует эффективного глобального критерия, а поэтому частный критерий зависит от выбранного метода.

Возможны несколько различных вариантов, из которых рассмотрим два. В качестве первого случая, предположим, что в рамках теоретической модели можно указать такую частичную сумму, относительно которой можно доказать, что ее значение в рассматриваемой точке отличается от истинного значения функции в этой точке на достаточно малую величину, удовлетворяющую исследователя. В этом случае в качестве частного критерия можно взять доказанный результат.

Второй случай возникает, когда нельзя указать требуемой частной суммы. Тогда частный критерий можно попытаться построить на том или ином признаке сходимости ряда. Например, в качестве признака сходимости можно взять требование. Пусть y1, y 2,..., y n - набор вычисленных частных сумм. Тогда в качестве частного критерия можно выбрать следующее неравенство где k, l N, 0, N - некоторое целое положительное число, что выполняется неравенство (10).

Необходимо отметить, что вполне возможна ситуация, когда используемый степенной ряд при некоторых значениях аргумента сходится в рамках теоретической математики и расходится в рамках прагматической математики.

Для решения систем линейных уравнений (пример 3) существует стандартный метод решения с помощью формул Крамера, которые представляют собой математические формулы, содержащие только арифметические операции. Поэтому этим формулам каноническое соответствие ставит прагматическую формулу, которая и является прагматической моделью. Теоретический метод Крамера решения системы линейных уравнений автоматически превращается в вычислительный алгоритм. Так как в этом случае существует эффективный глобальный критерий, то его можно с помощью канонического соответствия преобразовать в эффективный частный критерий. Однако, если воспользоваться другими вычислительными методами решения уравнений, отличными от стандартного, то могут возникнуть вычислительные трудности, которые мы обсудим ниже.

дифференциального уравнения (задача Коши) (пример 4), в целом, похожи на проблемы вычисления значения функции. Как мы отмечали выше, в теоретической математики имееся много разных методов решения этой задачи. В качестве примера возьмем метод Рунге-Кутта, который представляет собой набор рекуррентных соотношений, который можно рассматривать как прагматическую модель. Частным критерием решения задачи в этом случае является следование процессу вычислений по указанным формулам. В основании этого критерия лежит предположение, утверждающее, что утверждение, доказанное в теоретической математике, имеет место как в прагматической, так и в компьютерной математике. Таким образом, рассматриваемая задача не обладает эффективным частным критерием, который можно также принять за глобальный критерий. Отсюда следует вывод, что при использовании прагматических моделей нет ни какой возможности проверить, является ли полученный набор чисел решением поставленной задачи.

Прагматические модели, в том числе и те, которые были приведены в примерах, при конкретном решении требуют выполнения значительного количества вычислительных операций, для чего используются компьютеры. Для того чтобы можно было применить компьютеры, необходимо преобразовать численные данные и вычислительные алгоритмы в текст на машинном языке, который может быть понят компьютером. Это преобразование, как уже отмечалось выше, происходит с помощью процесса программирования, который состоит из двух частей: написание программы и компиляции или интерпретации ее на машинный язык. Таким образом, мы сталкиваемся сразу с двумя моделями: программной и компьютерной.

Современная программа состоит из ряда частей. На результаты вычисления существенно влияют только две составные части программы, которые слабо связаны друг с другом. Поэтому можно говорить о каждой части в отдельности.

Первая часть связана с введением конкретных числовых данных в память компьютера.

Эта часть программы осуществляет вложение внешних числовых данных, необходимых для дальнейшей работы программы, в память компьютера. При вложении числовых данных в память компьютера происходит «трансформация» прагматических чисел в компьютерные. Поэтому основной целью этой части является перевод множества необходимых прагматических чисел в компьютерные с достаточной точностью. Отсюда следует, что необходимо сформулировать частный критерий, который бы в определенной степени оценил «точность» этой «трансформации».

Так как при «трансформации» обычно прагматические числа переводятся в компьютерные числа в представлении с плавающей запятой, то «точность» такого перевода очень трудно оценить. Более простая ситуация относится к отдельным числам и здесь еще можно оценить «точность». Если же мы говорим о множестве чисел, то связь перевода этого множества и процесса решения задачи обычно не рассматривается.

Поэтому сформулировать частный критерий в этой ситуации достаточно трудно.

Основная причина этого заключается в том, что не найдены соответствующие язык и методология.

Второй частью программы, существенно влияющей на решение задачи, является описание на языке программирования алгоритма решения вычислительной задачи. Тогда частной целью этой части программной модели является адекватный «перевод»

вычислительного алгоритма с человеческого языка на машинный перевод. Поэтому частный критерий в этом случае должен охарактеризовать качество и точность перевода прагматического алгоритма в компьютерный алгоритм.

При такой формулировке частной цели возникает сразу несколько принципиальных вопросов. Первым вопросом является вопрос о существовании адекватного «перевода»

вычислительного алгоритма в принципе. Второй вопрос состоит в существовании единственного адекватного «первода», а третий – в существовании способа определения того, что записанный в программе алгоритм является адекватным «переводом»

прагматического вычислительного алгоритма.

Для ответа на первый вопрос, прежде всего, необходимо определить, что понимается под термином «адекватный перевод». Естественно предполагать, что программа содержит «адекватный перевод» прагматического вычислительного алгоритма, если при любом одинаковом наборе данных результаты вычислений, проведенных двумя путями: с помощью программы и в рамках прагматической модели, - совпадают. При такой постановке ответ на этот вопрос будет отрицательным. Отрицательный ответ объясняется тем, что легко привести пример результата сложения двух прагматических чисел, который отличается от результата сложения отвечающих им компьютерных чисел. Это отличие определяется отличием в свойствах между прагматической и компьютерной моделей.

Поэтому изменим наше определение «адекватности перевода» следующим образом:

программа содержит «адекватный перевод» прагматического вычислительного алгоритма, если при любом одинаковом наборе данных результаты вычислений, проведенных с помощью программы и в рамках прагматической модели, отличаются друг от друга на достаточно малую величину, задаваемую исследователем заранее. Однако при таком подходе часто трудно сформулировать критерий, с помощью которого можно оценить указанное отличие.

Подводя итог, можно сказать, что в общем случае ответ на поставленный выше первый вопрос является отрицательным.

На второй вопрос ответ, также отрицательный, так как на одном и том же языке программирования прагматический алгоритм можно адекватно записать разными способами. Например, изменить порядок выполнения арифметических действий, которые не меняют результата вычислений по прагматической модели, а в случае перехода к компьютерным моделям дают разные результаты. Количество разных способов также зависит от богатства языка программирования.

На третий вопрос мы уже, по существу, пытались дать выше ответ, расширяя который, можно утверждать, что существует единственный путь проверки работы программы – это сравнение результатов работы программы с аналогичными результатами, полученными другим путем на основе одних и тех же начальных данных. Но в этом случае необходимо взять во внимание, что на результат расчетов с помощью программы влияет строение и работа компьютера, а также качество компилятора или интерпретатора программы.

Резюмируя сказанное, частной целью программной модели является «перевод»

прагматического вычислительного алгоритма на машинный язык компьютера, а частным критерием достижения цели – при выполнении разных тестов различие между результатами, полученными с помощью программы, и результатами, полученными в рамках другой модели, не превышает определенного, заранее заданного числа.

Теперь перейдем к рассмотрению компьютерной модели, которая непосредственно связана с программной моделью. Частной целью компьютерной модели является осуществление вычислений, т.е. такая же, как у прагматической модели.

Напомним некоторые различия компьютерной модели от прагматической. Во-первых, компьютерная модель принципиально отличается от прагматической модели тем, что она производит действия над компьютерными числами, в то время как прагматическая модель – над прагматическими числами. Во-вторых, компьютерная модель производит вычисления в рамках компьютерной арифметики, которая зависит от типа и строения компьютера, а прагматическая модель – в рамках прагматической арифметики, которая носит абстрактный характер и не зависит от компьютеров.

Как мы уже отмечали выше, прагматические числа в рамках прагматической арифметики образуют кольцо, то компьютерные числа, которые составляют только часть прагматических чисел, в рамках компьютерной арифметики не образуют никакой известной математической структуры. Поэтому теоретические утверждения, которые имеют место над математическими числами, зачастую не имеют смысла над компьютерными числами. В этом случае большое значение приобретает формулировка частного критерия достижения цели для компьютерной модели. Если его формулировка совпадает с глобальным критерием, то он связывает между собой компьютерную модель с прагматической моделью и, далее, с теоретической моделью.

Проиллюстрируем сказанное на приведенных выше примерах.

Рассмотрим случай нахождения корня нелинейного уравнения (пример 1). В этом случае, как мы показали выше, существует эффективный глобальный критерий достижения цели, который не зависит от алгоритма решения задачи. В качестве частного критерия решения задачи можно взять формулировку глобального критерия. В этом случае частные критерии для трех моделей (теоретической, прагматической и компьютерной) совпадают, и поэтому любое решение компьютерной модели, удовлетворяющее частному критерию компьютерной модели, будет и решением всей задачи.

Как мы уже отмечали раньше, одним из распространенных и простых способов вычисления приближенного значения f ( x 0 ) функции y = f (x) в точке x = x 0 является использование отрезков (частных сумм) разложения функции f ( x ) в ряд Тейлора в окрестности точки x = x 0 (пример 2). Прагматический алгоритм в этом случае заключается в вычислении конечного набора частных сумм с последующим анализом полученной конечной последовательности. Если заранее известно ограничение на количество членов этой последовательности на основе тех или иных причин, то частный прагматический критерий в этом случае и состоит в вычислении соответствующего числа частных сумм вне зависимости от выбора точки x = x 0. В случае, если такого ограничения не существует, то выбор частного прагматического критерия основывается на свойствах построенной конечной последовательности, которые индуциируются из теоретической математики. Переход к вычислениям с помощью компьютерной модели может оказать существенное влияние на поведение выбранного критерия, причем нет никакого способа оценить степень этого влияния. Из сказанного следует, что в общем случае, принятие полученного на основе компьютерной модели результата в качестве приближенного значения функции в опеределенной точке является субъективным решением, ибо нет никакой возможности оценить в разумных пределах степень приближения к истинному (теоретикоматематическому) значению.

Теперь рассмотрим случаей решения системы линейных уравнений (пример 3) с помощью компьютеров. Пусть нам дана система линейных уравнений:

X = ( x1, x 2,..., x n ) - вектор неизвестных, A = a ij - квадратная матрица n n и где B = (b1, b2,..., b n ) - набор реально существующих математических чисел с точки зрения процесса моделирования.

Стандартный метод вычисления определителей в алгоритме Крамера для решения систем линейных уравнений при больших размерах матрицы системы уравнений обычно не используется, ибо он состоит из столь большого числа действий, которое нельзя произвести за разумный отрезок времени. Поэтому этот метод не используется на практике.

Эта задача обладает эффективным глобальным критерием (9). Этому критерию соответствует частный критерий, который имеет тот же вид, только числа и операции между ними являются уже компьютерными, а не математическими или прагматическими.

В предыдущем параграфе с помощью эксперимента было показано, что результаты компьютерных вычислений могут не соответствовать теоретическим утверждениям.

Например, определитель, теоретическое значение которого равно нулю, при вычислении с помощью стандартной программы из пакета Excel может принимать значения, существенно отличающиеся от нуля. Поэтому может возникнуть ситуация, когда найденный в результате вычислений набор чисел удовлетворяет критерию (9), но существенно отличается от теоретического решения системы (8). Иначе говоря, для принятия решения относительно набора вычисленных значений неизвестных выполнения одного только критерия (9) недостаточно.

Для этой задачи можно предложить следующий путь построения нового критерия.

Этот путь основан на проведении определенного эксперимента, поэтому новый критерий будем называть экспериментальным. Ясно, что критерий такого типа является характерным только для компьютерной математики, и его нельзя встретить в других типах математики. Он по своей сути и содержанию принципиально отличается от введенных ранее критериев достижимости цели.

Эксперимент 2. Возьмем матрицу A из системы (8). С помощью случайных чисел построим вектор X =( x1, x 2,..., x n ). Затем вычислим вектор B : B = X A. Затем с помощью имеющейся программы решаем уравнение X A = B. Обозначим через X =( x1, x 2,..., x n ) решение системы XA = B. В заключение вычисляем µ= a x.

Этот эксперимент повторяется n раз. В заключение вычисляем число µ как максимальное (или среднее) из всех µ, которые являются результатом экспериментов.

В качестве экспериментального критерия можно взять, например, Очевидно, что значение µ зависит от программы, матрицы A и количества экспериментов. На параметр можно посмотреть как на требуемую точность решения системы уравнений (8). Использование критерия (11) основывается на предположении, что число µ дает оценку разности между вычисленными и теоретическими значениями неизвестных..

Параметр µ можно использовать в разных целях. Во-первых, этот параметр можно рассматривать как характеристику конкретной программы, решающей любую систему линейных уравнений типа (8), в которой участвует матрица A. Во-вторых, с помощью параметра µ можно сравнивать между собой программы, решающие задачи типа (8). Втретьих, способ построения параметра µ можно обобщить на определенные классы матриц.

На проведенный эксперимент можно посмотреть как на процесс получения истинного утверждения в рамках компьютерной математики, т.е. как на рассуждение в рамках компьютерной математики. Рассуждение, заложенное в эксперименте, относится к типу индуктивных рассуждений. Оно отличается от индуктивных рассуждений, с которыми встречались в прематематике и прагматической математике, тем, что вывод из этих рассуждений делается только после проведения достаточно большего количества повторений опыта с разными входными данными.

Из последнего замечания следует, что логика компьютерной математики основана на вычислительных экспериментах.

Закончим рассмотрение примеров несколькими замечаниями относительно компьютерного решения дифференциальных уравнений (пример 4). Как уже было показано выше, прагматическая модель для численного решения уравнения (задача Коши) представляет собой набор рекуррентных формул, указывающих как проводить процесс вычислений. При этом не существует никакого критерия, связывающего этот процесс вычисления с решением дифференциального уравнения. Единственно, что может говорить об этой связи – это некоторые теоретико-математические утверждения, утверждающие, что при определенных условиях вычисление по выбранным формулам могут привести к искомому результату. Реально, нет никакого способа проверить выполнение этих условий в конкретных случаях. Отсюда следует вывод, что при использовании прагматических моделей нет ни какой возможности проверить, является ли полученный набор чисел решением поставленной задачи.

Ясно, что при такой ситуации с прагматическими моделями использование компьютерных моделей также не дает возможности определить частный критерий достижения цели. Более того, не видно никакой возможности организовать эксперименты для определения тех или иных числовых параметров, которые можно было использовать для определения качества решения или для сравнения различных программ, решающих одну и ту же задачу. Таким образом, при численном решении дифференциальных уравнений в общем случае, нет никаких объективных инструментов для того, чтобы определить: решена ли поставленная задача или нет.

Заключение.

Математика представляет собой одно из величайших интеллектуальных достижений человечества. Родившаяся как часть религиозно-мистического греческого культа, она интеллектом греков превратилась в отрасль интеллектуального искусства и имнтеллектуального спорта, без всякого практического применения. Примером непревзойденного произведения интеллектуального искусства является стройное законченное здание греческой геометрии, в которое на протяжении двух тысяч лет не внесли изменений, за исключением тех или иных внутренних украшений в виде некоторых доказанных позже теорем. Другие же введенные греками математические объекты служили строительным материалом для построения интеллектуальных забав.

Прелесть греческой математики заключалась в том, что, с одной стороны, занятия ею требовали индивидульных интеллектуальных усилий, что позволяло интивидууму уединиться в другой мир, созданный его воображением, а с другой стороны, привлекательность ее задач была настолько сильной, что объединяла разных людей, живущих в разных местах и в разное время, в попытках их решения. Две тысячи лет она служила интеллектуальным развлечением и отвлечением от повседневной жизни для изощеренных человеческих умов. То, что она просуществовала первые свои два тысячелетия, является трудно объяснимым чудом и безмерным везением для всей человеческой цивилизации.

Только в XVII веке вдруг обнаружилось, что математика может служить языком описания естественных явлений в теоретическом естествознании. Это положение первым высказал Галилей, а практически применил Кеплер в своих законах. Однако греческая математика не могла выполнять эту роль – требовалась другая математика. И она была создана Ньютоном и Лейбницем. Эта новая математика – математический анализ или европейская теоретическая математика – принципиально отличается от греческой математики. Основную роль в этой математике играет понятие непрерывности, в то время как греки панически боялись этого понятия, ибо парадоксы Зенона предсказывали возникновение внутренних противоречий. По большому счету, греки оказались правыми:

в конце XIX века – вначале ХХ века попытки вложить математический анализ в греческое ложе привели к неустранимым внутренним противоречиям.

От греков новая теоретическая математика взяла геометрию, верность дедуктивной логике и мечту о внутреннем строении математики как аксиоматической теории.

Нововведения европейцев оказались столь плодотворны, что за очень короткий период в новой математике было получено такое количество новых результатов, которое греческая математика не смогла получить за два тысячелетия своего существования до европейской математики.

Ньютон был первым, кто создал первую физическую теорию, положившую начало теоретической физике, синонимом которой является теоретическое естествознание.

Первая же теория теоретического естествознания показали удобство и эффективность этого языка, прежде всего, в астрономии. Трудно переоценить роль теоретической физики в развитии естествознания, ибо она служила тем стержнем, на котором держалось «объяснение» и упорядочивание экспериментальных наблюдений и измерений. Именно она дала не только «объяснение» (т.е. описание) экспериментальным данным, связанным с открытием новых природных явлений, но и позволила использовать их практической жизни.

Одновременно с теоретическим естествознанием создавалась и экспериментальное естествознание, которое привело к возникновению нового типа математики – европейской прагматической математики. Этот тип математики относился к дискретной математике и позволял производить вычисления.

Два типа европейской математики: теоретическая и прагматическая, - отличаются друг от друга, как целями, так и объектами исследования. В частности, основной целью теоретической математики является доказательство утверждений, а прагматической – проведение вычислений. Если одним из основных объектов теоретической математики являются математические числа, а прагматической – прагматические числа.

Использование физических теорий в практической жизни основывается на том, что теория предлагает набор математических формул для предсказания изменения одних физических параметров от изменения других. Формулы вырабатывает теоретическая математика, а использует для расчетов – прагматическая. В практике, за исключением астрономии, формулы были впервые применены, по существу. только в середине XIX века, когда стала происходить промышленная революция, связанная с внедрением электричества. Именно такое объединение усилий обеих типов математики привело к интеллектуальному скачку, который позволил использовать математическое мышление на пользу технического и экономического прогресса человеческой цивилизации.

Внедрение математики в практику потребовало развития математического образования для широких слоев населения. Абстрактная сложность проведения математических рассуждений, требующая больших интеллектуальных усилий для овладивания ею, внушала и внушает почти мистическое уважение и преклонение перед математикой среди образованной общественности. Это преклонение уже в середине ХХ века переросла в почти религиозную веру во всемогущность математики.

Усложнение физических теорий требовали для своего построения все более сложного математического аппарата, что привело к возникновению новых математических дисциплин, развитие которых расширяло области математических исследований. Кроме того, внутренние проблемы, возникшие в европейской математике, обеспечили ей бурное развитие. Одной из таких проблем явилось логическое обоснование оснований математики. Решение этой проблемы было связано с возникновением новой типа математики – математической логики.

Создание математической логики было революционным интеллектуальным скачком в научном мировоззрении. Впервые математическое мышление было применено к исследованию объектов, отличных от чисел и геометрических фигур. Новые объекты – утверждения и способы рассуждений – показали, что, во-первых, предметом математического исследования могут быть объекты разной природы, и, во-вторых, для математического исследования эти новые объекты исследования не отличаются от чисел и фигур. Сказанное хорошо иллюстрируется событиями, происшедшими в середине ХХ века. С одной стороны, трудно найти такую область исследований, в которой не была проведена математизация объектов исследования, а с другой стороны, последовательность рассуждений, составляющих суть процесса исследования, записываются с помощью последовательности чисел и вводятся в компьютер для осуществления исследования.

К середине ХХ века обнаружилось, что методы исследования теоретического естествознания не подходят для решения сложных проблем, которые возникли в экономической и социальной сферах. Точнее, язык европейской математики не позволял строить и исследовать модели, которые могли помочь в решении этих проблем. Поэтому появилась острая необходимость в создании нового математического языка, корни которого уходят в европейскую математику. Такой язык, связанный с новым типом математики, который условно был назван мировой математикой, стал создаваться во второй половине ХХ века. Если на раннем этапе своего развития мировая математика мало отличалась от европейской, но с течением времени различие между ними стало все больше и больше заметным. Значительное число новых задач в рамках мировой математики для своего решения стало требовать проведения большого числа вычислений, которое невозможно реализовать без помощи компьютеров.

Необходимость в использовании компьютеров пришла с двух сторон: со стороны мировой математики и со стороны европейской математики. Со стороны европейской математики эта потребность возникла тогда, когда физики стали численно решать дифференциальные и интегральные уравнения различных типов, описывающие сложные физические явления, относящиеся к ядерной физике, метерологии, радиофизики и т.п. И задачи мировой математики, относящиеся к исследованию операций, искусственному интеллекту, распознованию образов и т.п., также требовали применения вычислительной техники.

Применение компбютеров стало возможным с созданием и дальнейшим усовершенствованием двух типов языков: программных и компьютерных. Программные языки способствовали переводу математического языка в широком понимании этого слова (т.е. языка, включающего в себе языки теоретической математики, математической логики и прагматической математики) на компьютерные языки, «понятные»

компьютерам.

Сегодня на первый план выдвигаются компьютерные языки как языки исследований, отодвинув на второй план математические языки. Это можно объяснить, например, следующими причинами. Во-первых, перевод математического языка на компьютерный язык является в большинстве случаев неадекватным, что затем сказывается на истолковании полученных результатов вычислений. Во-вторых, сегодня, с одной стороны, существуют компьютерные модели, которые нельзя никоим образом записать на математическом языке, а с другой стороны, любую математическую модель можно перевести на компьютерный язык. В частности, сегодня строятся все более сложные самообучающие компьютерные модели, которые ни в коем случае нельзя представить на математическом языке. В-третьих, математические модели, по своей сути, являются менее сложными, нежели компьютерные модели. Поэтому для моделирования сложных объектов все чаще используются компьютерные модели, которые, в частности, позволяют иммитировать различные случайные процессы.

Использование компьютеров в научных исследованиях для решения практических задач принципиально изменило методологию и методы решения задач, что привело к созданию компьютерной математики, которая сегодня является неразрывной частью мировой математики.

С точки зрения теории познания цели, методология и логика компьютерной математики отличаются от целей, методологии и логики теоретической математики. Если цели теоретической математики было доказательство математических утверждений, то целями компьютерной математики являются количественное решение поставленной задачи. В этом цели компьютерной математики ближе к целям прагматической математики.

Логика теоретической математики является дедуктивной математической, а логика компьютерной математики – это индуктивная логика. Здесь мы опять сталкиваемся с тем, что логика компьютерной математики похожа на логику прагматической математики, которая также является индуктивной. Отличие между этими двумя логиками заключается в том, что индукция, которая используется в компьютерной математике, в отличие от индукции прагматической математики не связана с теоретической математикой, а основана на большом числе опытов (машинных экспериментов).

За несколько десятков лет своего существования методология мировой математики достаточно далеко отдалилась от методологии греческой и европейской математики. Если европейская математика по своему духу и идеалам соответствует греческой математике и находится в ее русле, то мировая математика открывает совершенно новую страницу в методологии математики и в ее использовании. В связи с последним утверждением необходимо отметить, что математическое мышление в рамках мировой математики только зарождается и сделало первые шаги, и поэтому трудно сегодня предсказать, в каком направлении оно будет развиваться в будущие десятилетия и даже столетия.

Однако ясно, что новое математическое мышление будет принципиально отличаться от того, которое господствовало последние столетия, и это мы уже видим при рассмотрении возникновения мировой математики. Это утверждение можно объяснить развитием системного подхода в исследованиях. Математическое мышление в рамках европейской науки было приспособлено к исследованию простых систем, которые рассматривались в рамках теоретического естествознания, а математическое мышление в рамках мировой математики должно быть приспособлено к исследованию сложных систем.

«Математическим знанием исчерпываются все наши знания относительно различных аспектов реальности» (М. Клайн, 46, с.227).



Pages:     | 1 |   ...   | 11 | 12 ||
 
Похожие работы:

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЛЕКЦИИ ПО ЗВЁЗДНОЙ АСТРОНОМИИ Локтин А.В., Марсаков В.А. УЧЕБНО-НАУЧНАЯ МОНОГРАФИЯ 2009 Книга написана кандидатом физико-математических наук, доцентом кафедры астрономии и геодезии УрГУ Локтиным А.В. и доктором физикоматематических наук, профессором кафедры физики космоса ЮФУ Марсаковым В.А. Она основана на курсах лекций по звёздной...»

«ЦЕНТРАЛЬНЫЙ ЭКОНОМИКО – МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ РАН ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Системное моделирование социально – экономических процессов международная научная школа – семинар имени С.С. Шаталина (работает с 1978 г.) заседание МАТЕРИАЛЫ К КРУГЛОМУ СТОЛУ: Искусственные миры в экономике г. Воронеж 9 – 13 октября 2006 г. Воронеж, 2006 Уважаемые участники XXIX-ой Школы-семинара! Приглашаем Вас принять участие в Круглом столе по обсуждению проблем разработки компьютерной модели...»

«Известия НАН Армении, Физика, т.44, №4, с.239-249 (2009) УДК 621.73.1 АНАЛИЗ ГЕНЕРАЦИИ ТЕРАГЕРЦОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ МЕТОДОМ НЕЛИНЕЙНОГО СМЕШЕНИЯ ЛАЗЕРНЫХ ЧАСТОТ В КРИСТАЛЛЕ GaAs Ю.О. АВЕТИСЯН1, А.О. МАКАРЯН1, В.Р. ТАТЕВОСЯН1, К.Л. ВОДОПЬЯНОВ2 1 Ереванский государственный университет, Армения 2 Стенфордский университет, США (Поступила в редакцию 5 февраля 2009 г.) Приведены результаты анализа генерации терагерцового (ТГц) излучения методом нелинейного смешения лазерных частот в кристалле арсенида...»

«Темными дорогами. Загадки темной материи и темной энергии Думаю, я здесь выражу настрой целого поколения людей, которые ищут частицы темной материи с тех самых пор, когда были еще аспирантами. Если БАК принесет дурные вести, вряд ли кто-то из нас останется в этой области науки. Хуан Кояр, Институт космологической физики им. Кавли, Нью-Йорк Таймс, 11 марта 2007 г. Один из срочных вопросов, на которые БАК, возможно, даст ответ, далек от теоретических измышлений и имеет самое что ни на есть прямое...»

«30 С/15 Annex II ПРИЛОЖЕНИЕ II ВСТУПИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ ПОВЕСТКА ДНЯ В ОБЛАСТИ НАУКИ - РАМКИ ДЕЙСТВИЙ Цель настоящего документа, подготовленного Секретариатом Всемирной конференции по наук е, состояла в том, чтобы облегчить понимание проекта Повестки дня, и с этой же целью решено его сохранить и в настоящем документе. Его текст не представляется на утверждение. НОВЫЕ УСЛОВИЯ Несколько важных факторов изменили отношения между наукой и обществом по 1. мере их развития во второй половине столетия и...»

«Annotation http://ezoki.ru/ -Электронная библиотека по эзотерике Эта книга написана учеными и исследователями Тонкого мира, авторами бестселлера Физика веры и других научно – популярных книг по философии и эзотерике, Татьяной и Виталием Тихоплав. Авторы анализируют и объясняют зашифрованный смысл откровений Крайона и других высших существ. Многое, очень многое в этих откровениях не только согласуется с научными знаниями, но и сулит новые сенсационные открытия. Не случайно послания Крайона,...»

«#20 Февраль – Март 2014 Редакция: Калытюк Игорь и Чвартковский Андрей Интервью Интервью с Жаком Валле Жак. Ф. Валле родился во Франции. Защитил степень бакалавра области математики в университете Сорбонне, а также степень магистра в области астрофизики в университете Лилль. Будучи уже как астроном переехал в США в Техасский Университет, где был одним из разработчиков компьютерной карты планеты Марс по заказу NASA. Защитил докторскую диссертацию в области компьютерных наук в СевероЗападном...»

«Михаил Васильевич ЛОМОНОСОВ 1711—1765 Биография великого русского ученого и замечательного поэта М. В. Ломоносова достаточно хорошо известна. Поэтому напомним только основные даты его жизни и деятельности. Ломоносов родился 8 ноября 1711 года в деревне Куростров близ Холмогор в семье зажиточного крестьянина Василия Дорофеевича Ломоносова. Мать Михайлы Ломоносова — Елена Ивановна (дочь дьякона) — умерла, когда мальчику было 8—9 лет. Первыми книгами Ломоносова, по которым он учился грамоте, были...»

«О РАБОТЕ УЧЁНОГО СОВЕТА VII. Проведено 10 заседаний Учёного совета. На заседаниях Учёного совета рассматривались вопросы: - Обсуждение плана научно-исследовательских работ Института на 2014-2016гг. (в соответствии с Постановлением Президиума РАН от 24 сентября 2013г. № 221); - Утверждение отчётов о проделанной за 2013 год работе по грантам Президента РФ поддержки молодых российских ученых и поддержки ведущих научных школ; - Выдвижение кандидатов на соискание грантов Президента РФ для поддержки...»

«Каталог элективных и факультативных курсов 261 школа Москва, 2014 www.shkola-centr.ru/data/files/katalog_2014_02_21.pdf Содержание cтр. Акробатика 1 Екатерина Николаевна Хохлова Актерское мастерство 2 Людмила Евгеньевна Евдокимова Алый парус 3 Юрий Георгиевич Геонджиан Альтернативный французский 4 Павел Константинович Харитонов Анализ художественных текстов 5 Полина Константиновна Куренкова Аналитическая геометрия-1 Татьяна Николаевна Ильичева Аналитическая геометрия-2 Татьяна Николаевна...»

«СТРУКТУРА И ЭВОЛЮЦИЯ ВСЕЛЕННОЙ НА ГАЛАКТИЧЕСКИХ И КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МАСШТАБАХ, СКРЫТАЯ МАССА И ТЕМНАЯ ЭНЕРГИЯ: ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И РЕЗУЛЬТАТЫ НАБЛЮДЕНИЙ Берцик П.П., Вавилова И.Б., Жданов В.И., Жук А.И., Караченцева В.Е., Минаков А.А. (посмертно), Новосядлый Б.С., Павленко Я.В., Пелых В.А., Пилюгин Л.С. АННОТАЦИЯ Работа охватывает широкий спектр теоретических и наблюдательных проблем эволюции Вселенной, решение которых получено в результате коллективных усилий авторов, и является значительным...»

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИЗВЕСТИЯ ГЛАВНОЙ АСТРОНОМИЧЕСКОЙ ОБСЕРВАТОРИИ В ПУЛКОВЕ № 216 Санкт-Петербург 2002 Редакционная коллегия: Доктор физ.-мат. наук А.В. Степанов (ответственный редактор) член-корреспондент РАН В.К. Абалакин доктор физ.-мат. наук А.С. Баранов доктор физ.-мат. Ю.В. Вандакуров доктор физ.-мат. наук Ю.Н. Гнедин кандидат физ.-мат. наук А.В. Девяткин доктор физ.-мат. В.А. Дергачев доктор физ.-мат. наук Р.Н. Ихсанов кандидат физ.-мат. наук В.И. Кияев кандидат физ.-мат. наук Ю.А....»

«ГРАВИТОННАЯ КОСМОЛОГИЯ (Часть 2 - возникновение Вселенной) Предисловие 1. Эту статью можно читать независимо от других статей автора. Но, чтобы понять суть протекающих процессов, следует обратиться к основополагающей статье О причине гравитации http://www.vilsha.iri-as.org/statgrav/03_grav01.pdf и к некоторым другим статьям, размещенным сейчас на сайте автора http://www.vilsha.iri-as.org/ на странице http://www.vilsha.iri-as.org/statgrav/03obshii.html в частности – к статье Гравитационная...»

«Уильям Дойл Наоми Морияма Японки не стареют и не толстеют MCat78 http://www.litres.ru/pages/biblio_book/?art=154999 Японки не стареют и не толстеют: АСТ, АСТ Москва, Хранитель; 2007 ISBN 5-17-039650-3, 5-9713-4378-5, 5-9762-2317-6, 978-985-16-0256-4 Оригинал: NaomiMoriyama, “Japanese Women Don't Get Old or Fat” Перевод: А. Б. Богданова Аннотация Японки – самые стройные женщины в мире. Японки ничего не знают об ожирении. Японки в тридцать выглядят на восемнадцать, а в сорок – на двадцать пять....»

«ISSN 0371-6791 ISBN 5-8037-0083-5 МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА ТРУДЫ ГОСУДАРСТВЕННОГО АСТРОНОМИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА им. П.К.ШТЕРНБЕРГА Том LXXI 2001 УДК 520.24, 521.1/.4, 523.3-1/-8, 523.947, 523.98, 551.591 Труды Государственного астрономического института им.П.К.Штернберга. Т.71. М. 2001. 258 с., 4 с. вкл. Настоящий выпуск Трудов ГАИШ содержит доклады научной конференции (13-й...»

«История ракетно-космической техники (Материалы секции 6) АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ РАЗРАБОТКИ НАУЧНОГО ТРУДА ПО ИСТОРИИ ОТЕЧЕСТВЕННОЙ КОСМОНАВТИКИ Б.Н.Кантемиров (ИИЕТ РАН) Исполнилось 100 лет опубликования работы К.Э.Циолковского Исследование мировых пространств реактивными приборами (1903), положившей начало теоретической космонавтике. Уже скоро полвека, как космонавтика осуществляет свои практические шаги. Казалось бы, пришло время, когда можно ставить вопрос о написании фундаментального труда по...»

«АВТОБИОГРАФИЯ Я, Чхетиани Отто Гурамович, родился в 1962 году в г.Тбилиси, где и закончил физико-математическую школу им.И.Н.Векуа №42. В 1980 г. поступил на отделение астрономии физического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова, которое и закончил выпускником кафедры астрофизики в 1986 году. Курсовую работу, посвящённую влиянию аккреции на эволюцию вращающихся компактных объектов, выполнял под руководством Б.В.Комберга (ИКИ АН СССР). В дипломе, выполненном под руководством С.И.Блинникова (ИТЭФ),...»

«СТАЛИК ХАНКИШИЕВ Казан, мангал И ДРУГИЕ МУЖСКИЕ удовольствия фотографии автора М.: КоЛибри, 2006. ISBN 5-98720-026-1 STALIC ЯВИЛСЯ К нам из всемирной Сети. Вот уже больше пяти лет, как он — что называется, гуру русского гастрономического интернета, звезда и легенда самых популярных кулинарных сайтов и форумов. На самом деле за псевдонимом STALIC скрывается живой человек: его зовут СТАЛИК ХАНКИШИЕВ, И жИВЁт он в Узбекистане, причём даже не в столичном Ташкенте, а в уютной, патриархальной...»

«Электронное научное издание Альманах Пространство и Время. Т. 1. Вып. 1 • 2012 Специальный выпуск СИСТЕМА ПЛАНЕТА ЗЕМЛЯ Electronic Scientific Edition Almanac Space and Time Special issue 'The Earth Planet System' Elektronische wissenschaftliche Auflage Almabtrieb ‘Raum und Zeit‘ Sonderheft ‘System Planet Erde‘ Земля в Космосе Earth in Space / Erde im Weltraum УДК 550.31:524-1/-8:523.4-52:523.24 Кривицкий В.А. Галактическая природа цикличности в истории развития Земли Кривицкий Владимир...»

«ОКРУЖЕНИЕ И ЛИЧНОСТЬ Н.Н. Воронцов, доктор биологических наук Москва АЛЕКСЕЙ АНДРЕЕВИЧ ЛЯПУНОВ оставил труды в области чистой и прикладной математики, биологии, геофизики, логики и методологии науки, теории педагогики. Он был прирожденным педагогом, организатором науки, с его именем связаны становление кибернетики и теории программирования, теории машинного перевода, развитие математической биологии, организации многих изданий, научных советов, лабораторий и кафедр. Интеллигент по духу,...»






 
© 2014 www.kniga.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Книги, пособия, учебники, издания, публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.