WWW.KNIGA.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Книги, пособия, учебники, издания, публикации

 

Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 |

«Математическое моделирование и компьютерная математика. Иерусалим, 2009 1 Содержание Введение 7 Часть 1. Теория познания и моделирование Глава 1. Исторический взгляд на ...»

-- [ Страница 12 ] --

Чистая математика возникла и развивалась не только благодаря потребности в решении некоторых внутренних математических задач. Ее основной общественной задачей является поставка задач для диссертаций для подготовки высшего звена преподавателей математики в различных учебных заведениях, от средних учебных заведений до высших. В связи с бурным увеличением таких учреждений потребность в таких специалистах растет чуть ли не по экспоненте, а единственным принятым способом отбора подходящих кадров является подготовка диссертаций в области математики. Так как на написание диссертаций обычно отводится от одного года до двух лет, то естественно, что они пишутся в областях чистой математики. Кроме того, карьера преподователя или академического исследователя зависит от количества выполненных им исследований и опубликованных в соответствующих изданиях статей, то и они заинтересованы, прежде всего, выполнять исследования в областях чистой математики, так как в этих областях внешние экономические затраты, связанные с проведением исследований, невелики. Резюмируя сказанное, можно сказать, что общественной и экономической базой для развития чистой математики являются учебные заведения и академические учреждения, которые занимаются чистой математикой по исторической традиции.

Прикладная математика, которая является с середины XIX века одним из основных движетелей научно-технического процесса, в основном сосредоточена в научноисследовательских лабораториях и центрах, которые со своего возникновения финансировались частным сектором. Потребности в математических кадрах в таких учреждениях были значительно меньшими по сравнению с потребностями в преподавателях учебных заведений. Это связано с тем, что основными задачами прикладной математики является построение математических моделей физических явлений, а также поиск методов исследования их. Так как все модели, в основном, представляли собой системы уравнений различной природы, то метод исследования их заключался в нахождении алгоритма для численного решения выбранной системы уравнений. Важно подчеркнуть, что прикладная математика как часть теоретической математики не решала численно систему уравнений, а только доказывала, что данный алгоритм решает соответствующую систему уравнений. Из сказанного видно, что количество прикладных задач существенно меньше количества задач чистой математики, они носят узко специфический характер, и обычно являются более трудными. Поэтому количество диссертаций и опубликованных статей в этой области также гораздо меньше, нежели в чистой математике.

Одним из основных достижений европейской интеллектуальной революции было создание и развитие экспериментальной физики, целью которой было, прежде всего, установление экспериментальных законов. Экспериментальный закон представляет собой математическую зависимость между измеряемыми физическими характеристиками.

Другими словами, экспериментальный закон представляет собой математическую формулу, параметры которой расчитываются на основе измерений физических характеристик. Из этого определения следует, что для вывода экспериментального закона необходимо произвести конкретные вычисления. Для проведения конкретных вычислений с использованием математических формул возникла прагматическая математика.

До середины XIX века прагматическая математика в основном использовалась для астрономических расчетов, составления навигационных таблиц, для вывода экспериментальных зависимостей. Собственно использование формул для расчета навигационных и астрономических таблиц было первым приложением математики к решению практических задач. До этого времени все практические количественные задачи решались в рамках прематематики. Ситуация резко изменилась только в середине XIX века, когда стало внедряться электричество в разные сферы народного хозяйства. Здесь при решении практических задач резко возрасла необходимость в инженерных расчетах, основанных на теоретических предпосылках. Прематематика не имела никакой возможности в своих рамках решать подобные задачи. С этого момента прагматическая математика стала быстро внедряться для проведения инженерных расчетов в различных отраслях сначала в промышленности, а затем и в других областях. Таким образом, прагматическая математика, а вместе с ней теоретическая физика и прикладная математика стали основой научно-технического прогресса человечества.

С точки зрения существовавшей тогда теории познания изучение природных явлений происходит с помощью математической модели. В основе теории познания лежало принципиальное предположение о существовании для каждого природного явления адекватной математической модели, которая состояла из набора законов природы.

Адекватную математическую модель часто называют физической теорией. В XVII веке и в начале XVIII века существование адекватной модели вытекало из веры ученых в то, что Бог создал Вселенную по плану на основе законов, имеющих математическое выражение.

Согласно этому, сами ученые в то время не изобретали законы, а открывали их. Открытые законы рассматривались как абсолютные и вечные божественные истины. Во второй половине XVIII века с появлением французских материалистов-энциклопедистов и началом европейского Просвещения вера в Божье Проведение была заменена верой в человеческий разум, что подкреплялось достигнутыми научными результатами в разных областях человеческой деятельности. Эта вера в существование адекватной математической модели любого природного явления и всего физического мира была пронесена через столетия, несмотря на встреченные трудности и разочарования, вплоть до сегодняшних дней. Свидетельствами этому служат явные и неявные высказывания практически всех крупнейших физиков ХХ века.

Таким образом, любое исследование физических явлений и объектов заключается, вопервых, в построении адекватной или близкой к адекватной математической модели, вовторых, в получении различных следствий из выбранной модели, и в-третьих, истолкование полученных результатов на содержательном физическом языке. Построение адекватных моделей часто основывается на численных результатах измерений, полученных в процессе наблюдений или экспериментов. Часто физики отождествляют физический объект или явление с адекватной моделью и рассматривают элементы математических моделей и их свойства как свойства реальных объектов или явлений.

Как мы уже говорили в предыдущем параграфе, в середине ХХ века возникли принципиально новые проблемы, которые уже невозможно было решить в рамках европейской науки. Эти проблемы возникли в процессе подготовки, принятия и осуществления управляющих решений в сфере управления сложными организациями, связанные с экономикой, социальной и политической сферой, с разработками и выполнением сложных промышленных проектов и т.п. Так как возникшие проблемы обычно не связаны с естествознанием, то их решение требует другой методологии, отличной от той, которая свойственна европейской науке. Создание новой методологии для решения упомянутых проблем является одним из основных направлений в проходящей в настоящее время мировой интеллектуальной революции. Эта методология создается в рамках мировой науки, одной из основных дисциплин которой является мировая математика, описанию которой мы посвятили предыдущий параграф.

В создании мировой математики можно отметить несколько этапов, которые характеризуются разными методологиями математических исследований, призванными решать проблемы определенного типа (см. п. 9.1). На каждом этапе происходит усложнение типа решаемых проблем, которые по своей природе все более отличаются от задач, решаемых в рамках европейской математики. Для решения возникаемых задач требуется каждый раз новая математическая методология, т.е. новые математические дисциплины.

На первом этапе создания мировой математики возникло исследование операций. Для удобства можно с достаточной степенью точности определить исследование операций как научный подход к решению задач организационного управления. При решении любой конкретной задачи применение методов исследования операций предполагает:

1) построение математических, экономических или статистических моделей для задач принятия решений и управления в сложных ситуациях или в условиях неопределенности;

2) изучение взаимосвязей, определяющих возможные последствия принимаемых решений, а также установление критериев эффективности, позволяющих оценивать относительное преимущество того или иного варианта действий.

Анализ управляющих решений предполагает расчленение той или иной сложной проблемы на подпроблемы, легче поддающиеся логическому и интуитивному рассмотрению. Результаты тщательного исследования каждой из подпроблем надлежащим образом синтезируются, что позволяет глубже осмыслить исходную проблему в целом. Методы исследования операций обладают рядом специфических черт.

Чтобы тот или иной подход к решению какой-либо конкретной задачи можно было квалифицировать как операционный, он должен содержать, в частности, следующие элементы:

1. Ориентация на принятие решения. Основные результаты анализа должны иметь непосредственное и полностью определенное отношение к выбору способа действий (т. е.

стратегии или тактики).

2. Оценка на основе критериев экономической эффективности. Сравнение различных возможных вариантов действий должно основываться на количественных оценках, позволяющих однозначно определить полезность ожидаемого исхода для рассматриваемой организации. Количественные оценки для коммерческих фирм обычно предполагают использование таких измеримых величин, как расходы, доходы, наличные денежные средства, норма прибыли от дополнительных капиталовложений и пр.

Надлежащую количественную оценку должны получить колебания рыночного спроса. В рекомендуемом решении должен быть достигнут оптимальный «баланс» с учетом всех этих нередко противоречивых факторов.

3. Доверие к математической модели. Процедуры обращения с упомянутыми выше параметрами должны быть определены настолько точно, чтобы любой специалист в области системного анализа смог их трактовать совершенно однозначно. Другими словами, опираясь на одни и те же данные, различные специалисты-аналитики должны получать одинаковые результаты.

Построение моделей является квинтэссенцией операционного подхода к решению организационных задач. В исследовании операций моделирование играет роль, аналогичную лабораторному эксперименту в естественных науках. Построение модели помогает привести сложные и подчас неопределенные факторы, связанные с проблемой принятия решения, в логически стройную схему, доступную для детального анализа.

Такая модель позволяет выявить альтернативы решения задачи и оценить результаты, к которым они приводят, а также дает возможность определить, какие данные необходимы для оценки имеющихся альтернатив. В итоге это обеспечивает получение обоснованных выводов. Короче говоря, модель является средством формирования четкого представления о действительности.

В исследовании операций модель, как правило, относится к классу математических моделей и обязательно является некоторым приближенным отображением действительности. Она должна строиться таким образом, чтобы отражать сущность проблемы организационного управления. В то же время модель "должна быть достаточно свободной от несущественных деталей, что позволяет отыскивать более эффективное решение, которое можно реализовать на практике. Определение правильного баланса между степенью адекватности модели той действительности, которую она описывает, и возможностью получения из модели реализуемого решения в большинстве случаев представляет собой сложную задачу, и поэтому построение моделей может оказаться делом далеко не легким.

В построении операционных моделей можно обнаружить три широко распространенных и взаимосвязанных направления. В первом из них основное внимание сосредоточено на оптимизации. Первый шаг на пути совершенствования организационного управления заключается в поиске решений, оптимальных в смысле одного или нескольких заданных критериев. Определение оптимума, как правило, производится при наличии некоторых условий. Другими словами, значения управляемых переменных, фигурирующих в выражении для заданной целевой функции, обычно подчиняются ограничениям, вытекающим из «технических условий» задачи. Нередко модель содержит ограничения, отражающие динамические характеристики рассматриваемой задачи.

Второе направление связано с определением аналитических свойств математической модели, включая чувствительность оптимального решения к изменению значений параметров модели, структуру оптимального решения и его характеристики. В качестве примера можно привести модель, определяющую стратегию пополнения запасов. При рассмотрении такой модели обычно стремятся установить характер зависимости стратегии от прогноза спроса, точно определить правило, выражающее эту стратегию (например: при уменьшении запаса до определенного уровня заказать новую партию), а также стационарную частоту возникновения дефицитов и средний уровень запасов.

Третье направление анализа связано с определением в явном виде взаимосвязей, характеризующих систему, в которой должна использоваться модель. Результаты операционного анализа должны быть увязаны с информационной, команднораспорядительной и регулирующей подсистемами организации. Эти результаты нельзя практически использовать независимо от условий существующей организационно управленческой среды. Поэтому любой операционный проект следует рассматривать, по крайней мере, частично, как итог системного исследования.

Основное внимание уделяется математическому описанию функционирования сложной системы, а также сбору и накоплению необходимых данных. Модель по самой своей природе носит приближенный характер. С одной стороны, чтобы отразить все существенные стороны проблемы, модель необходимо в достаточной степени детализировать. С другой стороны, модель должна быть не настолько сложной, чтобы нахождение соответствующего решения оказалось слишком затруднительным.

Компромисс между этими двумя требованиями достигается методом проб и ошибок. При этом в значительной степени учитываются результаты предварительного изучения системы, а также проводится глубокий и всесторонний анализ предлагаемой операционной модели на чувствительность.

Применение различного типа математических моделей привело к созданию принципиально новых математических дисциплин. В качестве примеров новых математических дисциплин можно привести теорию линейного программирования, теорию массового обслуживания, теорию планирования эксперимента, теорию игр, сетевое планирование и т.д.

Математические дисциплины, входящие в исследование операций, существенно отличаются от европейской математики, как теоретической, так и прагматической. (Здесь необходимо отметить, что существуют теоретико-математические дисциплины, возникшие путем обобщения и абстрагирования дисциплин из исследования операций.

Эти дисциплины являются частью теоретической математики и не имеют, в общем случае, никакого отношения к решению практических задач).

Во-первых, все эти дисциплины возникли при решении практических задач, с которыми до сих пор люди не сталкивались. Целью решения этих задач было получение конкретных числовых результатов. Но тогда математическая часть исследования операций не является частью теоретической математики.

Во-вторых, все математические задачи, из которых выросли математические дисциплины исследования операций, были дискретными, причем основной метод решения подобных задач был направленный перебор вариантов. Дискретностный характер этих дисциплин также представляет собой отличие от европейской теоретической математики, которая является по своей природе непрерывной математикой.

В-третьих, математические дисциплины исследования операций не являются аксиоматическими математическими теориями, и в этом также заключено отличие от теоретической математики.

В-четвертых, методы решения задач в рамках исследования операций отличаются от тех, которые встречались в прагматической математике. В прагматической математике в основе любого алгорима лежал процесс, состоящий из вычислений конечной последовательности формул. В исследовании операций в основе значительной части алгоритмов лежит процесс направленного перебора различных алтернатив выбора формул для вычисления. Этим математика исследований операций отличается от европейской прагматической математики.

В-пятых, численное решение реальных задач в рамках исследования операций требует использования компьютеров из-за большого числа вычислений, которые необходимо осуществить. Но тогда мы сталкиваемся уже с компьютерной математикой, которая существенно отличается от прагматической математики. Рассмотрение специфических свойств компьютерной математики и ее отличия от прагматической математики мы отложим до следующей главы.

В-шестых, при исследовании математических моделей значительную роль играет субъективный фактор. Он оказывает значительное влияние не только на выбор типа математической модели, но и на процесс нахождения числовых значений параметров, а также и на конечные результаты исследования математической модели. Если математические исследования в рамках прагматической математики мог ли быть повторены любым другим исследователем, то результаты математических исследований в рамках исследования операций обычно недоступны к повторению.

В заключение заметим, что исследование операций отличается от европейской науки также с точки зрения теории познания. Изучение явлений окружающего мира в рамках европейской науки происходит с помощью построения адекватной модели или близкой к ней. Изучение же проблем управления происходит на основе приемлимой модели, т.е.

подходящей с точки зрения исследователя модели. Если в рамках европейской науки модель носит абсолютный, независимый от исследователя характер, то в исследовании операций модель носит относительный характер, существенно зависимый от исследователя характер.

Исследование операций представляет собой первый шаг в создании новой научной методологии, отличной от методологии европейской науки. В исследовании операций ощущается глубокое влияние европейской науки и, в частности, телретической математики. Дальнейшие этапы развития новой научной методологии свидетельствует о все большем ее удалении от методологии европейской науки.

Вторым этапом развития новой научной методологии является возникновение кибернетики несколькими годами позже появления исследования операций. Основное значение кибернетики лежит в значительной степени в области развития новой методологии исследования, а также в технических и других приложениях, нежели в разработке новых математических методов и моделей. Как уже говорилось выше, кибернетика, как наука, согласно общепринятому мнению, занимается изучением систем произвольной природы, способных воспринимать, хранить и обрабатывать информацию, используя ее для управления и регулирования происходящих процессов.

Важнейшее достижение кибернетики состоит в том, что она открыла сходства и общность принципов между системами различной природы, что привело к важным теоретическим и практическим последствиям. Теоретическое значение этого открытия состоит в том, что она показала существование ряда принципов, присущих объектам как эивой, так и неживой природы, таким, как экономические, биологические, технические системы. Среди этих принципов можно отметить, в частности, следующие: наличие управления, саморегулирование на основе обратной связи, иерархичность строения системы и системы ее управления, существование определенного подобия между системами различной природы, целостность и адаптивность системы, выделение в ней подсистем. Управление системами основывается на сборе, обработки и хранения информации, как внутренней, так и внешней.

Большую роль кибернетика внесла в методологию научного исследования введением в рассмотрение принципа «черного ящика» как одну из основ моделирования систем. Под «черным ящиком» понимается объект, о котором известны лишь значения входных параметров этого объекта и соответствующие им значения выходных параметров, а его внутреннее устройство и процессы, протекающие в нем, неизвестны. Изучая только эту информацию, можно получить возможность предсказать изменение значений выходных параметров объекта при любом задании значений входных параметров. Такой подход, в частности, открывает возможности изучения объектов, внутреннее строение которых неизвестно, либо является слишком сложным для того, чтобы можно было по свойствам составляющих их частей и структуре связей между ними делать выводы об их поведении.

Применение принципа «черного ящика» в моделировании еще более чем процесс моделирования в рамках исследования операций, отделяет процесс моделирования в рамках кибернетики от моделирования в рамках теоретического естествознания. Если в рамках теоретического естествознания ищется адекватная математическая модель, то в рамках кибернетики ищется приемлимая или подходящая модель любой природы (математическая, техническая, компьютерная и т.п.).

Именно такой подход к моделированию открыл широкие возможности к изучению объектов любой природы, в том числе и живых, которые нельзя было изучать на основе предшествующей методологии. Одним из практических приложений этого подхода стало возникновение и быстрое развитие робототехники, а также всевозможных механизмов и приборов, иммитирующих функционирования частей живых организмов, в том числе и человеческого организма. Это привело к большим успехам, как в автоматизации промышленного производства, так и в медицине.

Часто в рамках кибернетики исследуемые объекты можно подвергать активному воздействию с целью получения необходимой информации, изменяя определенным образом входные параметы и фиксируя при этом изменения выходных параметров. Такое экспериментирование напоминает экспериментальную физику и экспериметальную физиологию.

Вклад кибернетики в развитие мировой математики относительно ограничен.

Математическая методология в рамках кибернетики не выходит за рамки математической методологии исследования операций. Основные достижения кибернетики в области математики заключаются, прежде всего, в расширении применения количественных методов на новые области исследований. Приведем пару примеров, иллюстрирующих сказанное. Во-первых, возникновение ряда математических дисциплин, связанных с выработкой, передачей и хранением информации (теория информации, теория кодов и кодирования сообщений, теорию передачи информации и т.п.). Во-вторых, применение математического моделирования в психологии, что привело, в частности, к созданию теории распознавания образов, зачатки которой также встречались в теории передачи и получения сообщений, а также факторного анализа, который нашел применение также в экономических исследованиях. В-третьих, кибернетика заложила основы теории искусственного интеллекта, в рамках которой была создана теория нейронных сетей как попытка построения формальных моделей для изучения функционирования головного мозга человека и его нервных систем.

Как мы уже отмечали в предыдущем параграфе, третий этап развития мировой математики связан с возникновением и развитием системного подхода, который носит, прежде всего, методологический, или даже мировоззренческий характер и который можно рассматривать как принцип познания. Этот подход является одним из основных достижений мировой интеллектуальной революции, который относится к числу тех немногочисленных, но удивительно плодотворных интеллектуальных изобретений человечества, влияющих на современную профессиональную деятельность в различных областях. Трудно сегодня найти такую область интеллектуальной и профессиональной деятельности, в которой не используется системный подход. Если исследование операций можно рассматривать как формализацию практических методов решения прикладных задач, кибернетику – как методологию поиска и изучения общих свойств объектоа различной природы, то системный подход направлен на выработку модологии и методов решения общих задач, связанных с управлением сложных систем.

В центре системного подхода лежит понятие системы. В качестве определения этого объекта обычно берется следующее: под системой понимается совокупность (комплекс) взаимосвязанных элементов, образующих некоторую целостность. Одной из основных особенностей данного определения системы является подчеркивание того, что система является нечто целым, состоящим из частей. Отсюда, в частности, вытекает, что система может обладать такими свойствами, которыми не обладают ее части. Уже в таком подходе к объекту исследования видно принципиальное отличие мировой науки от предшествующих ей типов науки. Так, например, в греческой науке любой объект исследования или рассматривался цельным объектом, или объектом, состоящим из частей, причем в этом случае свойства системы в целом полностью определяются свойствами составляющих ее частей. Аналогичная ситуация сложилась в европейской науке: и здесь, в основном предполагалось, что поведение исследуемого объекта полностью описывается поведением составляющих его частей. Яркой иллюстрацией такого подхода служат слова крупного физика ХХ века Р. Фейнмана:

«Право же, ни одна наука, ни одна отрасль знаний не движется так бурно по всем направлениям вперед, как биология. Но если б мы могли назвать то самое главное, что введет нас сейчас вперед и вперед в наших попытках понять явление жизни, мы обязаны сказать: «все тела состоят из атомов», всй, что происходит в живых существах, может быть понято на языке движений и покачивания атомов» (Р. Фейнман и др., 69, с. 64).

Среди объектов исследования мировой науки – среди систем – существуют такие объекты, ряд свойств которых не индуцируются свойствами составляющих их частей.

Такие объекты принято называть сложными системами. Те системы, свойства которых индуцируются свойствами своих частей принято называть простыми системами.

Европейская изучала явления или реальные объекты как простые системы, в то время как мировая наука интересуется, прежде всего, сложными системами.

Сложные системы обладают рядом свойств, которыми не обладают простые системы.

В качестве таких свойств можно привести такие, как эмерджентность (разбиение системы на ряд частей приводит к потере некоторых свойств), адаптация (автоматическое приспособление к изменениям внешней среды), гомеостатическое поведение (устойчивость состояния систем под влиянием малых внешних воздействий), синергизм (однонаправленность действий для эффективного достижения целей управления) наличие иерархического строения и т.д. Для того чтобы успешно функционировать под воздействием внешней среды, сложная система должна обладать управлением, которое состоит из выработки и осуществления управляющих решений.

Существуют различия в процессе изучения простых и сложных систем. Так как свойства простых систем практически взаимно независимы, то можно исследовать каждое из этих свойств отдельно в условиях классического лабораторного эксперимента. С другой стороны, особенность сложных систем заключается в существенной взаимосвязи их свойств, а это не позволяет проводить эксперименты в лабораторных условиях для измерения степени обладания системой этими свойствами. Короче говоря, над простыми системами в общем случае можно проводить эксперименты, в то время как над сложными системами экспериментальный путь исследования крайне затруднен.

Сложные системы принципиально отличаются от простых также с точки зрения теории познания. Европейская наука предполагала существование адекватной модели для любого естественного явления или реального объекта. Исследование операций и кибернетика использовали для изучения приемлимую модель. Изучение сложной системы в рамках системного подхода заранее предполагает, что для сложной системы не существует конечного набора моделей, с помощью которого можно изучать систему в целом. Это означает, что для сложной системы не существует априори адекватной модели, что основывается на предположении, что знание, выраженное на любом языке, о сложной системе принципиально ограниченно и не может быть полным.

Для решения специфической проблемы строится специальная модель, содержание и структура которой существенно зависит от формулировки стоящей проблемы и отражает те особенности изучаемого процесса, которые интересуют исследователя. Другими словами, разные проблемы решаются с помощью различных моделей. Качество моделей определяется, прежде всего, тем требованиям, которые предъявляются к исследованию при определении целей этого исследования, а также соответствием получаемых с помощью модели результатов наблюдаемому поведению исследуемого объекта.

Такой подход является характерным для мировой науки и свидетельствует о том, что методология мировой науки с каждым этапом своего развития все более отличается от методологии европейской науки.

Практическое применение системного подхода нашло свое выражение в системном анализе, который непосредственно связан с теорией и практикой принятия управленческих решений на различных уровнях иерархической системы управления сложными системами. Системный анализ родился, по существу, в недрах компании «RAND» при разработке методов и системы планирования, тесно связанным с мигистерством обороны США, причем его на начальном этапе можно рассматривать как соединение системного подхода на мировоззренческом уровне с идеями исследования операций на методологическом уровне. Бывший помощник министра А. С. Энтховен охарактеризовал системный анализ следующим образом в середине 60-х годов:

«Системный анализ – это не что иное, как просвещенный здравый смысл, на службу которому поставлены современные аналитические методы…Системный анализ может быть полезен при выработке и рассмотрении альтернативных подходов к проблемам образования, здравоохранения, городского транспорта, судопроизводства и предупреждения преступности, природных ресурсов, загрязнения окружающей среды и многочисленных других проблем. Мы стараемся измерить то, что поддается измерению, и максимально четко определить то, что нельзя измерить, оставляя на долю принимающего решение трудную задачу вынести суждение о «неизмеримом»…и таким образом он позволяет ответственным лицам сосредоточить внимание на принятии важнейших решений » (В. Лившиц, С. Лившиц, 1, с. ) В целом, системный анализ включает в себя такие виды деятельности как:

исследование (теоретическое и экспериментальное) вопросов, связанных с постановкой проблем управления; проектирование новых систем и изменений в существующих системах; внедрение в практику результатов, полученных в ходе анализа. Перечисленные виды деятельности связаны с процессами подготовки, принятия и осуществления управленческих решений, что, как мы уже говорили, явилось дальнейшим развитием в сторону услоэнения теории и практики процесса принятия решений, который возник при создании исследования операций.

Как и исследование операций и кибернетика, так и развитие системного подхода привело появлению новых математических дисциплин. Среди этих дисциплин отметим следующие: теория экспертных оценок, имитационное динамическое моделирование, эвристическая математика и т.п. Все эти дисциплины характеризуются значительным влиянием субъективного фактора, который не только существенно влияет на результат исследований, но также и на сам путь получения результатов. По своей природе эти математические дисциплины стоят еще дальше от европейской теоретической математики, нежели математические дисциплины, возникшие в рамках исследования операций и кибернетики. Для конкретного решения задач с помощью методов из новых математических дисциплин необходимо использовать компьютеры, без которых эти задачи практически невозможно решить.

Четвертый этап развития мировой математики, как мы уже отмечали в предыдущем параграфе, связан с возникновением и развитием теории и систем искусственного интеллекта, основные теоретические положения которого были созданы в 60-80-х годах ХХ века. Развитие искусственного интеллекта связано с развитием трех факторов:

математической основы, компьютеров и программного обеспечения. Здесь мы впервые сталкиваемся с тем, что компьютеры и программное обеспечение являются неотделимыми от математических моделей составными частями систем искусственного интеллекта. Если на предыдущих этапах компьютеры и программы были просто инструментами для решения математически сформулированных задач, то в области искусственного интеллекта все три фактора тесно взаимодействуют на равных друг с другом.

Искусственный интелект представляет собой, как видно из краткого и далеко неполного описания в предыдущем параграфе, набор дисциплин, которые отличаются друг от друга целями и предметом исследования, методологией и методами исследования.

В этом смысле каждую из этих дисциплин можно рассматривать как тип познания. В силу того, что каждая из дисциплин, входящих в искусственный интеллект, тесно связана с компьютерной математикой, то их рассмотрение с точки зрения теории моделирования мы отложим до следующей главы.

Многие не сведующие в математике люди думают, что поскольку назначение аналитической машины Бэббиджа – выдавать результаты в численном виде, то природа происходящих в ней процессов должна быть арифметической и численной, а не алгебраической и аналитической. Но они ошибаются. Машина может упорядочивать и комбинировать числовые значения так же, как и буквы или другие символы общего характера. В сущности, при выполнении соответствующих условий она могла бы выдавать результаты в алгебраическом виде.

Глава 10. Компьютерная математика.

Недостойно одаренному человеку тратить, подобно рабу, часы на вычисления, которые можно было бы доверить любому лицу, если при этом применить машину.

10.1. От абака до компьютера.

Мировая интеллектуальная революция, которая началась в середине ХХ века, создала новый тип математики, который был назван мировой математикой. Мировая математика при своем рождении была достаточно сильно связана с европейской математикой. Эта близость проявлялась, прежде всего, в методологии исследования, а также в попытках применить дедуктивный метод рассуждений к решению возникших новых задач. Однако развитие мировой математики, все расширяющее использование компьютеров и достижения в компьютерной технологии привели к созданию научной дисциплины – компьютерной математики.

Компьютерная математика представляет собой неотделимое сочетание друг с другом методов решения количественных и неколичественных прикладных задач с помощью компьютеров с программным обеспечением, позволяющим решать поставленные задачи на компьютерах и со строением компьютеров, позволяющим осуществлять программы, обеспечивающих решение задач. Для понимания сущности и методологии компьютерной математики рассмотрим историческое развитие составляющих ее частей: компьютеров и программного обеспечения. Краткое описание развития математических методов решения задач мы уже привели в предыдущей главе.

Начнем с краткого исторического описания развития компьтеров.

Древнейшим счетным инструментом, который сама природа предоставила в распоряжение человека для проведения вычислений, была его собственная рука.

Пальцевый счет был широко распространен не только на ранних этапах развития человечества, но и гораздо позже. Из сохранившихся литературных произведений можно судить о распространении пальцевого счета в древней Греции и Риме. О распространении пальцевого счета в средневековой Европе свидетельствует труд ирладского монаха Беда Достопочтенного «О счислении», в котором он дал полное описание пальцевого счета. Да и в ХХ веке на крупнейшей мировой хлебной бирже в Чикаго предложения, запросы и цены объявлялись маклерами на пальцах без единого слова.

Издревле употреблялся еще один вид инструментального счета – с помощью деревянных палочек с зарубками (бирок). Впервые упоминание о способе записи чисел путем занесения зарубок встречается на барельфе храма фараона Сети I (1350 г. до н.э.) в Абидосе. Здесь изображен бог Тот, отмечающий с помощью зарубок на пальмовой ветви длительность срока правления фараона. В средние века бирками пользовались для учета и сбора налогов. В Англии этот способ записи налогов существовал до конца XVII в.

Другие народы – китайцы, персы, индийцы, индейцы, перуанцы – использовали для представления чисел и счета ремни и веревки с узелками.

Однако описанные выше типы инструментального счета были неэффективны для более развитой хозяйственной жизни. Поэтому уже в глубокой древности появился еще один инструмент для счета – абак. Этот инструмент широко использовался в древнем Египте, Греции и Риме. Абак в своей примитивной форме представляет собой дощечку, покрытую пылью. На ней острой палочкой проводились линии и в колонках по позиционному принципу размещались камешки или другие мелкие предметы. В дальнейшем абак совершенствовался и усложнялся в зависимости от целей использования и денежных единиц.

Европейцы познакомились с абаком в XI веке, и он быстро завоевал популярность. Его гегемония была нарушена в XIII-XIV веках, когда появились письменные вычисления с помощью индийских цифр. В течение следующих столетий развернулась острая борьба между абакистами, отстаивавшими использование абака и римской системы счисления, и алгоритмиками, отдававшими предпочтение индийским цифрам и письменным вычислениям. Борьба эта завершилась победой алгоритмиков в XVI-XVII веках, поскольку сопративление абакистов было поддержано появлением в XV столетии нового типа абака – счета на линиях.

Счет на линиях представляет собой горизонтально разлинованную таблицу, на которой выкладываются специальные жетоны. Счет на линиях и счетные таблицы получили особое распространение в XV-XVI столетиях, когда они стали необходимой принадлежностью купца и чиновника. Сами счетные таблицы и жетоны отличались большим разнообразием и были приспособлены к различным типам решаемых практических задач.

Изобретение в XVII веке Отредом и Деламейном независимо друг от друга логарифмической линейки стало революционным событием в создании интструментов счета. Логарифмическая линейка в течение трех с половиной веков была основным инструментом инженеров и техников для проведения инженерных и научных вычислений.

За этот период она подверглась различным усовершенствованиям и модификациям, что сделало ее более удобной в использовании.

В 1642 году появляется первая механическая вычислительная машина, изобретенная Паскалем. С этого момента начинается эра изобретения механических счетных машин. В этом развитии можно выделить две линии: создание суммирующих машин и создание счетных машин, выполняющих все арифметические операции. Первую машину второго типа построил Лейбниц в конце XVII века. В течение более 200 лет вплоть до второй половины XIX века эти машины не получили широкого развития в практике. Эти машины создавались в одном или в небольшом числе экземпляров, что свидетельствовало об изобретательности авторов. В качестве основных причин подобного положения можно привести следующие. Во-первых, не было общественной и экономической потребности в этих машинах, которые были сложны и неудобны в практическом использовании, а, вовторых, не было технологической базы для изготовления деталей машин с необходимой точностью промышленным способом. И только к 80-м годам XIX века удалось организовать промышленный выпуск таких машин.

Важно отметить, что большой объем вычислений до второй половины XIX века можно было встретить только в астрономических и навигационных таблицах, которые служили для составления астрологических карт и навигации. Эти таблицы содержали числовые значения тригонометрических функций и логарифмов. В качестве примера можно привести таблицы из «Морского календаря», который начал выходить в Англии в году. Аналогичные таблицы производились в Англии, Франции, Италии, Испании и в других странах и ранее. Составление этих таблиц представляло собой колоссальный труд большого коллектива вычислителей, и поэтому они часто содержали большое количество ошибок. Поэтому идея Бэббиджа использовать специальную механическую машину для проведения значительной части вычислений автоматическим путем, была встречена в Англии с большим энтузиазмом.

Бэббиджу не удалось осуществить свою идею создания разностной машины, в частности, потому, что идея более совершенной машины – аналитической машины – полностью овладела им. Разностную машину на основе идей Бэббиджа была построена шведами отцом и сыном Шютцами в 1853 году и в 1855 году демонстрировалась на Международной выставке в Париже. Первая собственно английская разностная машина была построена Комри в 1933 году, и она использовалась для создания таблиц тригонометрических функций и их логарифмов.

Аналитическую машину Бэббидж также не смог построить. Однако его идеи легли в основу всех последующих вычислительных машин, предназначенных для табулирования функций, а также современных универсальных машин. Это наглядно видно из общей схемы построения аналитической машины Бэббиджа, которая состоит из следующих частей:

- «склад» для хранения чисел (по современной терминологии «накопитель», «запоминающее устройство», «память»);

- «мельница» - устройство для произведения арифметических действий над числами («арифметическое устройство»);

- устройство, управляющее проведением в определенной последовательности операций машиной («устройство управления»);

- устройство ввода и вывода данных.

Преимущество аналитической машины перед всеми машинами, которые были до нее, заключалось в том, что она могла выполнять разные задачи. Она считывала команды с перфокарт и выполняла их. Некоторые команды, например, приказывали машине взять два числа из памяти, перенести их в вычислительное устройство, произвести над ними операцию и отправить результат обратно в запоминающее устройство.

К несчастью, Бэббидж никогда не отлаживал компьютер. Ему нужны были большое число шестеренок, сделанных с такой точностью, которая была невозможна в его время.

Но идеи Бэббиджа, как мы уже отметили выше, опередили его эпоху, и даже сегодня большинство современных компьютеров по строению сходны с аналитической машиной.

Поэтому справедливо будет сказать, что Бэббидж был дедушкой современного цифрового компьютера.

В 1944 году была создана одна из первых автоматических цифровых вычислительных машин «Марк 1», способная решать широкий круг научно-технических задач. Ее создатель Айкен, который разрабатывал ее в течение пять лет, случайно познакомился с идеями Бэббиджа спустя три года после начала работы над своей машиной. Пораженный предвидением Бэббиджа он писал: «Живи Бэббидж на 75 лет позже, я остался бы безработным!»

Другой тип специализированных вычислительных машин, предназначенных для обработки больших массивов статистической информации, была создана в США в году Холлеритом. Машины этого типа получили название «табулятор». Она быстро получила широкое распространение. Дальнейшее усовершенствование табуляторов привело к созданию в 1946 году электронной счетно-аналитической машины.

Первый работающий компьютер Z 3 был построен К. Цузе в 1941 году. Он монтировался на телефонных реле и управлялся с помощью программы, записанной на перфорированной ленте. Во многих отношениях Z 3 был подобен современным компьютерам, ибо в нем впервые применялась арифметика с плавающей запятой. Кроме того, его работа была основана на двоичной системе представления чисел. Английский специализированный компьютер Coloss был первым полностью электронным устройством.

Созданный в середине 40-х годов американский компьютер ЭНИАК можно назвать первым электронным компьютером общего назначения. Он, в частности, использовался для проведения баллистических расчетов.

Значительное продвижение в этой области связано с появлением отчета Дж. фон Неймана, Г.Г. Гольдстейна, А.В. Беркса «Предварительное рассмотрение логической конструкции электронного вычислительного устройства» (1946), где описывается проект компьютера, в котором программа и данные хранятся в единой универсальной памяти.

Кроме того в отчете были подробно изложены причины, по которым они рекомендовали перейти к двоичной системе представления чисел. С тех пор двоичные вычислительные устройства получили широкое распространение.

Принципы устройства компьютера, описанные в проекте, получили название «архитектура Неймана» и стали основой для разработки первых универсальных компьютеров. Среди компьютеров, построенных по этой технологии, отметим английский компьютер LEO 1, который впервые в мире стал использоваться для рутинной офисной работы, и аме-риканский компьютер UNIVAC 1, который был первым массово производимым. Он был установлен, в частности, в Бюро переписи населением США и стал использоваться для обработки макроэкономической информации. Компьютеры этого типа получили название «компьютеры первого поколения». Дальнейшее развитие компьютеров последующих поколений связано с революционными достижениями в развитии различных технологий и технических средств.

Второе поколение компьютеров связано с транзисторами, применение которых вместе с печатными схемами позволило существенно уменьшить размеры компьютеров и потребление ими электроэнергии, а также увеличить надежность их работы. Эти технические усовершенствования позволили производить компьютеры большими сериями.

Одними из при-меров таких компьютеров может служить универсальная компьютерная система IBM System/360. Однако компьютеры второго поколения по-прежнему были довольно дорогими и доступными только университетам, правительственным учреждениям и крупным компаниям.

Бурный рост использования компьютеров начался с так называемым «третьим поколением» вычислительных машин. Начало этому положило создание интегральных схем, на которые можно было помещать десятки транзисторов. Появление интегральных схем привело к изобретению микропроцессоров. А они явились основой для разработки микрокомпьютеров, которыми уже могли владеть небольшие компании и отдельные люди.

Новая эра наступила в начале 80-х годов с появлением, во-первых, сверхбольших интегральных схем, что позволило на одну плату помещать сначала десятки, затем сотни тысяч, миллионы транзисторов, а во-вторых, персонального компьютера IBM PC. С этого момента началось массовое внедрение компьютеров в повседневную жизнь людей.

С 80-х годов развитие компьютеров шло по двум линиям: персональные компьютеры и большие компьютеры. Производители, с одной стороны, стремились уменьшить размеры компьютеров, а с другой стороны, увеличить производительность и быстродействие этих компьютеров. В то время возникли различные идеи и были сделаны реальные попытки для их реального осуществления, которые должны способствовать увеличению производительности и быстродействия компьютеров. К таким попыткам относятся, например, разработки нейрокомпьютеров и квантовых компьютеров.

Увеличение производительности компьютеров происходило и также и за счет параллельной одновременной работы нескольких коспьютеров, объединенных в единую сеть компьютеров. В последние годы были сделаны попытки применить параллельную работу нескольких компьютеров и для повышения быстродействия в выполнении вычислительных операций.

Как мы уже говорили в параграфе 9.1, компьютер – это машина, которая может решать задачи, выполняя данные ей команды. Последовательность команд, описывающих решение определенной задачи, называется программой. Электронные схемы каждого компьютера могут распознавать и выполнять ограниченный набор простых программ. Все программы перед выполнением должны быть превращены в последовательность таких команд, которые не сложнее, чем сложение двух чисел, или проверки числа на отличие от нуля, или копирования куска данных из одной памяти компьютера в другую. Эти программы образуют машинный язык. Таким образом, каждый компьютер обладает своим машинным языком, который зависит от типа компьютера, от его физического строения. Это значит, что с каждым компьютером можно связать два типа обеспечения. Электронные схемы вместе с памятью и средствами ввода-вывода формируют аппаратное обеспечение компьютеров. Программное обеспечение состоит из алгоритмов и их компьютерных представлений – программ.

Существует огромная разница между тем, что удобно для людей, и тем, что удобно для компьютеров. Кроме того, люди хотят сделать Х, а компьютеры могут делать Y. Поэтому целью программного обеспечения является организация совместной работы компьютеров и людей. Программное обеспечение в общем случае представляет собой иерархическую систему программ, обычно состоящую из несколько уровней. Каждый уровень в свою очередь представляет собой систему программ, которая включает в себя набор новых команд, которые более удобны для человека и расширяют его возможности, нежели команды предыдущего уровня. Эти новые команды, с одной стороны, являются программами, в которых участвуют команды более низкого уровня, а с другой стороны, являются теми операциями, которые используются в алгоритмах.

Такое многоуровневое строение можно объяснить двумя основными причинами. Вопервых, трудностью построения двууровнего программного обеспечения, где нижний уровень – машинный язык, а верхний уровень – язык программирования, удобный как для программиста, так и для выполнения алгоритмов, с помощью которых решается достаточно широкий круг практических задач. Во-вторых, практически всегда существуют (возможно, временно) технологические ограничения при физическом проектировании и производстве компьютеров. В-третьих, на двууровневое построение, которое технологически возможно, но имеются финансовые ограничения, а также само производство компьютера является более сложным по сравнению с другими техническими приемами. Поэтому для обхода этих трудностей строится иерархический ряд языков программирования, каждый из которых более удобен для программиста, чем предыдущий. Каждый новый язык использует своего предшественника как основу.

Поэтому язык верхнего уровня является наиболее сложным, а язык нижнего уровня – наиболее примитивным.

Большинство современных компьютеров обладает иерархической системой языков, состоящей из двух и более уровней. На самом нижнем уровне располагается машинный язык. Новые команды следующего уровня образуют операционную систему компьютера.

Между языками второго и третьего уровня есть существенная разница. Два языка более низких уровней были созданы не для того, чтобы с ними работвл обычный программист. Они были созланы для так называемых системных программистов, которые специализируются на разработке и построении компьютеров. Языки уровней, начиная с третьего и выше, предназначены для программистов, решающих конкретные задачи.

Кроме того, чзыки первого и второго уровня являются цифровыми языками. Программы, написанные на этих языках, состоят из длинного ряда цифр, которые удобны для компьютеров, но совершенно не удобны для людей. Начиная с третьего уровня, языки содержат слова и сокращения, понятные человеку.

Третий уровень представляет собой символическую форму одного из языков более низкого уровня. На этом уровне можно уже писать программы в приемлемой для человека форме. Четвертый уровень – это языки, разработанные для прикладных программистов.

Такие языки называются языками высокого уровня. Существуют сотни языков высокого уровня.

До 60-х годов ХХ века программисты работали с машинным языком. Эта работа была малоэффективной. Эффективность работы резко возрасла, когда появилась операционная система. Появление, развитие и усложнение операционной системы позволило перейти в программировании от машинного языка к языкам более высокого уровня.

С построением программного обеспечения связаны не только задачи создания набора конкретных программ, но и различные философские и теоретические проблемы, идейное начало которых идет от машин Тьюринга и теории автоматов. К Наш краткий обзор развития компьютеров и их программного обеспечения понадобился для того, чтобы естественно обосновать те некоторые принципиальные особенности, присущие всем компьютерам без исключения, которые лежат в центре нашего последующего рассмотрения.

Во-первых, все компьютеры без исключения занимаются только обработкой чисел.

Во-вторых, числа, которые обрабатывает компьютер, в любой позиционной системе представляется с помощью ограниченного сверху числа цифр.

В-третьих, на любую компьютерную программу можно посмотреть как на математическую функцию, определенную на множестве компьютерных чисел, со значениями в множестве компьютерных чисел.

В-четвертых, развитие физических возможностей компьютеров и развитие их программного обеспечения оказывает существенное влияние построение и применение алгоритмов решения практических задач.

Как мы уже отмечали выше, основное использование компьютеров на начальном этапе состояло в численном решении математических задач. Позже компьютеры стали использовать для решения и не числовых математических задач. Так возникла компьютерная математика, под которой мы понимаем решение математических задач с помощью компьютера. Сам термин «компьютерная математика» уже давно встречается в литературе. Обычно ее рассматривают как часть теоретической математики и поэтому значительная часть работ, относящихся к ней, содержат значительное число утверждений, которые доказываются с помощью дедукции. Такой подход в корне противоречит сути решаемых в ее рамках задач, которые основывается на проведении конкретных вычислений, что роднит ее скорее с прагматической математикой.

Задачи, относящиеся к компьютерной математике, можно грубо разделить на две группы: количественные и символьные задачи. К количественным задачам, относятся задачи, результатом решения которых служит набор чисел. Эти задачи характеризуются тем, что при их решении используются только числовые данные. Сюда относятся, например, мы уже встречались при рассмотрении, как вычислительной теоретической математики, так и прагматической математики.

К символьным задачам относятся такие задачи, для решения которых используется символьные и текстовые данные. С такими задачами встречаемся, например, при машинном переводе, при «доказательстве» математических утверждений, при решении задач, связанных с графами и т.п.

Процесс решения любой задачи в рамках компьютерной математики состоит в поиске алгоритма решения, его программирования и выполнения полученной программы на компьютере. Поэтому основным понятием в компьютерной математике является понятие алгоритма. Алгоритм в компьютерной математике встречается в двух ипостасях: в виде описания на одном из языков, понятных человеку и в виде программы, написанной на одном из языков программирования, который может быть «понят» компьютером.

Существует еще третий вид представления алгоритма – в виде некоего физического устройства (специализированного компьютера или специального чипа), но алгоритм в третьем виде гораздо в меньшей степени интересует компьютерную математику, нежели первые два представления.

В процессе развития компьютерной математики можно выделить несколько этапов, которые, в конечном счете, привели к созданию соответствующих направлений дальнейших исследований в рамках компьютерной математики. Необходимо отметить, что выделенные этапы накладываются друг на друга, т.е. в рамках последующего этапа развиваются те направления исследований, которые возникли во время настоящего этапа.

Более того, в недрах настоящего этапа зарождаются те направления, которые будут характерными для последующего этапа. Естественно, что эти этапы непосредственно связаны с развитием мировой математики, ибо компьютерная математика составляет, как мы уже отмечали выше, только часть мировой математики, связанной с реализацией найденного алгоритма решения Первый этап развития заключался в разработке различных видов теоретических математических алгоритмов для задач европейской вычислительной математики.

Основными требованиями к этим алгоритмам было: обладание достаточным быстродействием и возможностью их использования на существующих в то время компьютерах. В качестве примеров таких алгоритмов можно привести численные методы решения дифференциальных уравнений различного сорта, алгебраических уравнений и т.п.

Это направление компьютерной математики наиболее тесно связано европейской теоретической математикой, ибо для любого предлагаемого алгоритма необходимо было, прежде всего, доказать тот факт, что с его помощью можно найти решение задачи.его В этом случае развитие компьютерной математики протекает в русле прагматической математики, где все вычисления по выбранным формулам осуществляется последовательно. Отличие, как мы уже говорили, заключается в замене прагматических чисел на компьютерные числа при выполнении вычислений.

Второй этап развития компьютерной математики связан с развитием исследования операций. Основная часть прикладных задач исследования операций с математической точки зрения относится к дискретной математике, способ решения которых основан или на переборе всевозможных альтернатив, или на направленном переборе альтернатив. И в этом случае компьютерная математика достаточно близка к теоретической математике. Эту близость можно объяснить тем, что в рамках теоретической математики можно встретить дискретные и непрерывные математические теории, которые возникли из-за абстрагирования и формализации практических задач исследования операций. Эти теории часто используются для построения математических моделей, участвующих в решении упомянутых выше задач исследования операций.

В этот период появились первые символические задачи, которые стали решать с помощью компьютеров. Эти задачи были относительно простые, ибо возможности компьютеров и программного обеспечения были достаточно ограничены.

В течение первых двух этапов компьютерная математика, как и компьютеры, выполняли вспомогательную роль. Они были внешними элементами, которые накладывали определенные ограничения на алгоритмы решения прикладных задач.

В 70-х и в 80-х годах ХХ века с началом третьего этапа ситуация с компьютерной математикой стала изменяться. Эти изменения заключаются в том, что компьютерная математика становится вполне самостоятельной отраслью знаний, которая обладает собственной методологией и методами исследований, которые принципиально отличны от того, с чем встречалось и применялось прежде.

Можно назвать несколько причин, объяснеющих эти изменения. Во-первых, появились такие прикладные задач, которые по своей сути требовали использования компьютеров и обширного программного обеспечения. К этим задачам, например, относятся задачи, связанные с искусственным интеллектом и с построением различных экспертных систем, а также моделирование различных сложных вычислительных процессов, таких, как расчеты фракталов или распознования образов.

Во-вторых, возникли принципиально новые задачи, связанные с развитием компьютеров и их программного обеспечения. Сюда относятся такие проблемы, как вопросы эффективного построения программных языков, баз данных, а также вопросы эффективности и сложности алгоритмов и программного обеспечения.

В 90-х годах начался новый этап развития компьютерной математики, который выдвинул ее в лидеры мировой математики. На этом этапе основной задачей компьютерной математики становится разработка принципов и методов компьютерного моделирования сложных систем. Надо сразу отметить, что и ранее проводились исследования и осуществлялись попытки в этом направлении, однако развитие компьютерной техники и программного обеспечения к ней не позволяли достичь существенного продвижения.

Компьютерное моделирование представляет собой направление в компьютерной математике, которое в методологическом плане наиболее далеко отошло от европейской математики.

Важно еще раз отметить, что все направления компьютерной математики, появившиеся на разных этапах ее развития, продолжают развиваться и в настоящее время, ибо те задачи, которые решаются в рамках этих направлений, только усложняются, а не исчезают.

Компьютерная математика отличается от прагматической математики, прежде всего, своей арифметикой. Компьютерные арифметики у различных типов компьютеров отличаются друг от друга. Это отличие, прежде всего, навеяно различными принципами построения составных частей компьютеров. Однако есть нечто общее для всех компьютерных арифметик – это то, что они оперируют числами, которые мы назвали компьютерными. В литературе можно иногда встретить и другой термин, относяшийся к этим числам – «числа конечной точности». Но в этом термине участвует слово «точность», которое может ввести в заблуждение о существовании некоторого «точного бесконечного числа». Поэтому мы вместо указанного термина будем употреблять термин «компьютерные числа».

Как мы увидим ниже, в следующем параграфе компьютерные числа принципиально отличаются от математических и прагматических чисел. Поэтому и любая компьютерная арифметика отличается как от математической, так и от прагматической арифметик. В связи с этим возникает проблема об оценки влияния указанного факта на результаты численного решения задач с помощью компьютера. Третий параграф этой главы (10.3) посвящен обсуждению одного из подходов к решению этой проблемы на языке теории моделирования.

Каждый грамотный программист должен иметь представление о том, что происходит при выполнении элементарных операций над числами с плавающей точкой. Предмет этот совсем не так тривиален, как принято считать; в нем удивительно много интересного.

10.2. Компьютерная арифметика.

Настоящий параграф является одним из центральных параграфов в этой книге, ибо понятие компьютерных чисел является одним из основных понятий компьютерной математики. Большое влияние на его написание оказал известный труд Д. Кнута «Искусство программирования», который отличается широтой и глубиной рассматриваемого материала, богатой библиографией. Эта книга отражает ситуацию, сложившуюся в рассматриваемых областях в конце 90-х годов ХХ века, а также господствующие в то время методологические взгляды на взаимоотношения между компьютерным обеспечением и математикой. Наше изложение в этом параграфе тесно связано с главой 4 второго тома упомянутого выше труда, которая посвящена компьютерным числам и компьютерной арифметике. Методологический подход, описанный в этой главе, к компьютерной арифметике принципиально отличается от нашего подхода. Нам будет удобнее изложить наш подход к компьютерным числам и компьютерной арифметики в дискуссии с материалом, изложенным в указанной главе.

Одним из основных методологических отличий между двумя подходами заключается в отношении к понятию компьютерного числа, который в достаточно явной форме Кнут рассматривает как некоторое приближение к математическому числу, т.е. объект той же природы. Этот подход распространен в современной литературе, и компьютерные числа называют «числами конечной точности». С нашей точки зрения компьютерное число имеет совершенно другую природу, что и сказывается не только на наших выводах, но и позволяет по-другому взглянуть на стоящие перед компьютерной математикой проблемы.

Выше мы уже встречались с различными типами чисел, которые возникали на разных исторических этапах интеллектуального развития человечества. Мы уже описали прематематические, пифагоровы, диофантовы, математические и прагматические числа.

Компьютерные числа – это тип чисел, который возник только в середине ХХ века и является сегодня одним из самых распространенных типов чисел. Компьютерные числа бывают двух типов.

Под компьютерным числом первого типа будем понимать пару (e, f ), где e - целое положительное или отрицательное число в цифровом позиционном представлении по основанию b, а f - целое число в том же цифровом представлении, что и e, причем общее количество цифр в обоих числах не превышает числа p. Величина числа p постоянна и зависит только от типа компьютера. Каждому компьютерному числу (e, f ) можно сопоставить во взимооднозначное соответствие математическое (или прагматическое) число где обозначает соответствие, которое назовем каноническим соответствием. Число e называется целой частью компьютерного числа, а f - дробной частью. Компьютерное число первого типа будем также называть компьютерным числом с постоянной точкой.

Под компьютерным числом второго типа будем понимать пару (e, f ), где e - целое число, представленное в цифровом позиционном представлении по основанию b и изменяющееся в соответствующем интервале значений, а f – дробное число со знаком в той же позиционной системе, что и e, причем общее количество цифр в обоих числах не превышает числа p. Обычно предполагается, что f 1. Величина числа p постояна и зависит только от типа компьютера. Каждому компьютерному числу (e, f ) можно сопоставить во однозначное соответствие математическое (прагматическое) число обозначает соответствие, которое назовем каноническим соответствием, q где целое число, называемое избытком и зависимое только от типа компьютера или стандартной программы. Компьютерное число второго типа будем также называть компьютерным числом с переменной точкой.

В современных компьютерах, в основном, оперируют компьютерными числами с переменной точкой. Поэтому мы все наши дальнейшие рассмотрения мы будим проводить над этими числами. Кроме того, для простоты рассуждений мы будем везде предполагать, что b = 2. Это значит, что рассматриваемые ниже компьютерные числа будут являться двоичными числами.

Исходя из приведенных определений, можно сделать ряд важных замечаний. Вопервых, каждому компьютерному числу вне зависимости от его типа однозначно соответствует математическое (или прагматическое) число. Легко видеть, что существует только счетное множество компьютерных чисел. Это означает, что множество всех действительных математических чисел естественным образом разбивается на подмножества, таким образом, что каждому числу из одного и того же подмножества математических чисел соответствует одно и то же компьютерное число. Каждое такое подмножество обладает свойством, что разность любых двух математических чисел из этого подмножества по абсолютной величине меньше некоторого фиксированного числа. Величина этого числа зависит только от длины машинных слов, с которыми работает арифметическое устройство компьютера. Величину можно определить как максимальное по модулю число, лежащее в подмножестве, всем числам которого соответствует компьютерный нуль. Очевидно, что подмножество всех математических чисел, соответствующих конкретному компьютерному числу a, можно рассматривать как размытое множество M (a, ). Таким образом, между всеми компьютерными числами и размытыми множествами математических чисел можно установить взаимооднозначное соответствие.

Во-вторых, компьютерные числа – это объекты другой природы, нежели математические числа или прагматические. Они не являются подмножеством множества математических чисел или прагматических. Поэтому между компьютерными и математическими числами может существовать только отношение «соответствия».

Например, в свете сказанного неправочно говорить, что компьютерное число больше некоторого математического числа или является его приближением, а также говорить о точности. В свете сказанного, называть компьютерные числа «числами конечной точности» вряд ли оправдано (68, с. 665).

Большинство ныне применяемых стандартных программ работают почти исключительно с числами с плавающей точкой, которые заданы в специальной форме, называемой нормализованной, т.е. с нормализованными числами. Число с плавающей точкой (e, f ) является нормализованным, либо если наиболее значимая цифра в представлении f отлична от нуля, так что 1 / b f 1, либо если f = 0, а e принимает наименьшую величину. Существующее соглашение между производителями компьютеров предполагает, что входные значения для подпрограмм нормализованы, а результаты всегда нормализуются.

Определим операцию сложения двух компьютерных чисел (eu, f u ) и (ev, f v ). Эту операцию назовем компьютерным сложением и обозначим через. Она определяется следующим образом: предполагая, что eu ev, положим Прежде всего, заметим, что компьютерное сложение отличается, как от математического сложения, так и от прагматического сложения. Легко привести для примера два компьютерных числа (eu, f u ) и (ev, f v ), для которых выполняется неравенство где - каноническое соответствие между компьютерными числами и математическими (прагматическими) числами. Это означает, что каноническое соответствие между компьютерными числами и математическими числами не распространяется на операцию сложения этих чисел. Другими словами, множество всех компьютерных чисел, рассматриваемое вместе с операцией сложения, принципиально отличается как математическая (алгебраическая) структура от множества математических чисел с операцией сложения.

Операция сложения компьютерных чисел является коммутативной при сложении двух чисел, т.е.

но не является ассоциативной операцией, т.е.

Этим операция сложения компьютерных чисел отличается от операции сложения математических или прагматических чисел.

В связи с этим, трудно согласиться со следующим утверждением Д. Кнута (45, с.250):

«Ввиду того что арифметические действия над числами с плавающей запятой являются по самой своей сути приближенными, а не точными, для обозначения операций сложения, вычитания и деления с плавающей точкой здесь будут использоваться «округленные» символы,/, чтобы отличить приближенные операции от точных».

Операция сложения компьютерных чисел, как и другие операции над компьютерными числами, которые будут определены ниже, нельзя назвать ни «точными», ни «приближенными», ибо их нельзя сравнивать ни с какими другими операциями над компьютерными числами. Высказывание Кнута свидетельствует о том, что он рассматривает компьютерные числа как подмножество математических чисел с особыми арифметическими операциями.

Математические свойства операции компьютерного сложения существенно зависят от ее физического исполнения в виде определенного электронного устройства. В частности, при определенных условиях компьютерное сложение двух компьютерных чисел может физически не выполняться. Эта ситуация, которая называется переполнением, возникает, когда эта сумма представляет собой число, которое физически не может быть отражено в компьютере.

Аналогично определим операцию компьютерного вычитания. Под компьютерным вычитанием понимается операция, которую обозначим через и которая ставит в соотвествие двум компьютерным числам (eu, f u ) и (ev, f v ) компьютерное число (e w, f w ) следующим образом: предполагая, что eu ev, положим где e w = eu, f w = f u f v / b. Очевидно, что эта операция не является коммутативной.

Легко привести для примера два компьютерных числа (eu, f u ) и (ev, f v ), для которых выполняется неравенство где - каноническое соответствие между компьютерными числами и математическими (прагматическими) числами. Это означает, что каноническое соответствие между компьютерными числами и математическими числами также не распространяется на операцию вычитания этих чисел.

Заметим, что в реальных компьютерах операция компьютерного вычитания физически выполняется с помощью операции компьютерного сложения. И, вообще, физическая реализация компьютерного вычитания в зависимости от устройства компьютера накладывает на математические свойства этой операции различные ограничения. Так, например, в зависимости от выбранных двух разных компьютерных свойств их компьютерная разность может быть компьютерным нулем.

Под компьютерным умножением понимается операция, которую обозначим через и которая ставит в соотвествие двум компьютерным числам (eu, f u ) и (ev, f v ) компьютерное число (e w, f w ) следующим образом: положим где e w = eu + ev q, f w = f u f v. Так как количество цифр, которые употребляются в записи любого компьютерного числа ограничено сверху числом p, то операция умножения f u f v происходит с округлением.

Легко привести для примера два компьютерных числа (eu, f u ) и (ev, f v ), для которых выполняется неравенство где - каноническое соответствие между компьютерными числами и математическими (прагматическими) числами. Основная причина отличия между правой и левой частью из (2) заключается в округлении результата умножения. Это означает, что каноническое соответствие между компьютерными числами и математическими числами также не распространяется на операцию умножения этих чисел.

Операция умножения компьютерных чисел является коммутативной при сложении двух чисел, т.е.

но не является ассоциативной операцией, т.е.

Кроме того, не имеет место и дистрибутивность компьютерных сложения и умножения, т.е.

В реальных компьютерах компьютерное умножение осуществляется с помощью компьютерного умножения накладывают различные ограничения на свойства этой операции, которые часто зависят от типа компьютера и его физического осуществления. В частности, результаты умножения иногда физически нельзя получить в компьютере из-за переполнения или из-за равенства компьютерному нулю. Часто при компьютерном умножении приходится проводить округление, отбрасывая ту часть произведения, которая выходит за пределы технических возможностей компьютера.

Под компьютерным делением понимается операция, которую обозначим через / и которая ставит в соотвествие двум компьютерным числам (eu, f u ) и (ev, f v ) компьютерное число (e w, f w ) следующим образом: положим где ew = eu + ev q + 1, f w = (b f u ) : f v. Так как количество цифр, которые употребляются в записи любого компьютерного числа ограничено сверху числом p, то операция деления f u / f v происходит с округлением.

Легко привести для примера два компьютерных числа (eu, f u ) и (ev, f v ), для которых выполняется неравенство - каноническое соответствие между компьютерными числами и математическими где (прагматическими) числами. Основная причина отличия между правой и левой частью из (3) заключается в округлении результата деления. Это означает, что каноническое соответствие между компьютерными числами и математическими числами также не распространяется на операцию деление этих чисел.

На свойства компьютерного деления оказывает существенное влияние и физическое строение электронного блока, осуществляющего деление двух компьютерных чисел.

Множество всех компьютерных чисел с определенными на нем компьютерными арифметическими операциями будем называть компьютерной арифметикой. Из приведенных выше свойств компьютерных операций вытекает, что не существует ни изоморфизма, ни нетривиального гомоморфизма, связывающих математическую арифметику или прагматическую арифметику с компьютерной арифметикой.

Компьютерная арифметика зависит от типа компьютера, т.е. различные типы компьютеров могут обладать разными компьютерными арифметиками.

Это утверждение можно частично формализовать следующим образом. Назовем формулой арифметики любое слово в этой арифметике, если, по-первых, в запись которого входят только числа, арифметические операции и скобки, устанавливающие порядок выполнения арифметических операций, и, во-вторых, это слово имеет смысл в арифметике. Выше мы установили каноническое соответствие между компьютерными и математическими числами. Это соответствие можно естественным образом распространить на формулы, т.е. каждой формуле компьютерной арифметики можно поставить в каноническое соответствие математическую формулу следующим образом:

каждое компьютерное число из компьютерной формулы заменим на канонически соответствующее ему математическое число, а каждую компьютерную арифметическую операцию – на соответствующую ей математическую арифметическую операцию. Теперь вычислим обе эти формулы, каждую в соответствующей арифметике. Легко видеть, что в общем случае между двумя результатами не существует канонического соответствия.

«Другой впечатляющий пример нарушения законов традиционной алгебры при работе с числами с плавающей точкой – невыполнение фундаментального неравенства Коши … Программисты – новички имеют привычку использовать для программы вычисления среднего квадратичного отклонения для ряда наблюдений формулу из справочника и часто при выполнении программы «нарываются» на попытку извлечения квадратного корня из отрицательного числа!» (Д. Кнут, 45, с.267-268).

Основная причина того, что происходит «нестыковка» между операциями над компьютерными числами и над математическими числами заключается в том, что на компьютерное число нельзя рассматривать как некое математическое число, а как на размытое подмножество математических чисел. Однако даже такое рассмотрение не является адекватным, ибо тогда возникают проблемы с определениями операций умножения и деления в терминах размытых множеств.

Построенная выше компьютерная арифметика носит «идеальный» характер: все основные определения достаточно формально определены. До полного формализма осталось еще формально определить процесс «отсечения» результатов. Для каждого типа компьютера существуют стандартные программы, которые или являются встроенными в «железо» компьютера, или являются частью его операционной системы.

«В арсенале почти каждой большой ЭВМ, предназначенной для научных расчетов, содержатся встроенные операции и команды арифметических операций над числами с плавающей точкой. К несчастью, в аппаратных реализациях таких команд обычно присутствуют некоторые дефекты, приводящие при определенных обстоятельствах к удручающе скверному поведению машины…»

(Д. Кнут, 45, с.258).

Из последней цитаты и из сказанного выше видно, что реализации компьютерной арифметики на разных компьютерах отличаются друг от друга. Эти различия в реализации связаны как с техническими особенностями компьютеров, так и с построением и с содержанием стандартных программ, реализующих компьютерные арифметические операции. Из сказанного следует, что компьютерные операции над одними и теми же компьютерными числами, реализованные разными программами, могут дать отличные друг от друга результаты. Поэтому естественно возникает проблема доверия к полученным результатам не только отдельной компьютерной операции, но и значительного числа подобных операций.

Рассмотрение вопроса о доверии к полученным с помощью компьютеров численным результатам является сложным. Стандартный подход к этой проблеме как теории ошибок вычислений, который принят в современной литературе по вычислительной математике, заключается в попытках получить абстрактные оценки возможных погрешностей при выполнении операций. В этом случае путь к оценке точности вычислений заключается в попытках перейти от оценки точности отдельных арифметических операций к точности некоторой совокупности арифметических операций. Другими словами, в основе современного подхода лежит понятия «точность вычисления», «погрешность вычислений» и т.п. Так обычно под «точным» или «правильным» результатом понимается гипотетический или негипотетический результат, получаемый при выполнении аналогичных вычислений над математическими числами. Сама постановка проблемы, в формулировке которой участвует термин «точность», на наш взгляд, является не совсем корректной, ибо она предполагает, во-первых, что существует объект, с которым сравнивается результат вычислений, а, во-вторых, оба объекта сравнения имеют одну и ту же природу. Однако такой подход вызывает определенные возражения.

Предположим, что нам априори известен результат вычисления, т.е. «точный» или «правильный» результат. В этом случае целью в рамках теоретической математики можно только доказать, что данный конкретный результат и есть результат вычислений, которые необходимо произвести. Другими словами, в этом случае мы прежде, чем доказывать, должны угадать результат вычислений, что является проблематичным, особенно, если это касается математических чисел, которые часто невозможно записать с помощью цифр в одной из удобных позиционных систем.

Сложность проблем, стоящих перед компьютерной математикой, хорошо иллюстрируется следующим экспериментом.

Пусть дана система из n линейных уравнений от n переменных. Предположим, что последнее уравнение представляет собой линейную комбинацию всех других уравнений этой системы. Из теории следует, что матрица этой системы A уравнений не является обратимой матрицей и ее определитель det A равен нулю. Проверим выполнение теоретического результата решением такой системы с помощью широко распространенной программы Excel.

Эксперимент 1. Построим квадратную матрицу размера n n следующим путем.

Случайным образом, т.е. с помощью случайных чисел, заключенных между 0 и 1, выберем n 1 строку. В качестве n -ой строки возьмем сумму n 1 строк, деленных на n 1.

Эксперимент проводился для n = 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, причем для каждого размера матрицы проводилась серия из 100 расчетов. Рассчитать определители матриц при n стандартным алгоритмом из Excel не удалось. Для каждого размера матрицы мы рассчитывали серию по 100 определителей случайно построенных матриц. Каждой серии из 100 вычисленных определителей мы поставим в соответствие средний десятичный порядок значений определителя в каждой серии. Результаты получились следующие: при n = 10 средний порядок определителей равен Е-09, при n = 20 – Е-08, при n = 30 – Е-06, при n = 40 – Е-04, при n = 50 – Е+00, при n = 60 – Е+03, при n = 70 – Е+07.

Эксперимент показал, что, во-первых, вычисленные с помощью стандартной подпрограммы определители всех матриц, индуцированных в процессе эксперимента, были отличны от нуля. Легко видеть, что, если мы бы вычисляли значения этих определителей на основе самого определения и свойств определителя, то результат был совершенно другой, т.е. все построенные указанным способом определители равнялись нулю. Это означает, что рассматривая один и тот же определитель в рамках прагматической математики и компьютерной математики, мы имеем совершенно разные объекты. Напомним, что при рассмотрении одного и того же определителя в рамках теоретической математики и прагматической математики получаются разные результаты, если среди элементов определителя встречаются математические числа. Следовательно, такие важные математические понятия, связанные с понятием линейной зависимости векторов, нельзя адекватно перенести в прагматическую и компьютерную математики. В частности, вся математическая теория линейных уравнений не имеет никакой интерпретации ни в рамках прагматической математики, ни в рамках компьютерной.

Другими словами, теорию линейных уравнений нельзя интерпретировать в рамках ни прагматической математики, ни в рамках компьютерной математики.

Во-вторых, не существует ни эффективного и ни относительного критерия, с помощью которого можно определить качество вычисления определителя с помощью одной из самых распространенных и опробованных программ в мире. Для любой другой программы, которая реализует тот или иной алгоритм вычисления определителя, можно утверждать с большой долей уверенности, что существует эксперимент, который приведет к подобным результатам.

Закончим рассмотрение эксперимента напоминаем, что полученное отличие практических результатов от теоретических легко объясняется двумя причинами. Вопервых, теоретические результаты были получены с помощью действий над математическими числами, в то время как практические результаты получены с помощью действий над компьютерными числами. Во-вторых, компьютерная арифметика принципиально отличается от математической и от прагматической арифметик. Это отличие объясняет нарушение линейной математической зависимости между строками при проведении компьютерных арифметических действий.

Однако этот путь до сих пор не привел к нетривиальным результатам. Свидетельство этому опять можно найти в широко цитируемой здесь книге Кнута (45, с. 260-295).

Поэтому необходим другой подход к упомянутой проблеме. Ниже предлагается принципиально другой подход к упомянутой проблеме, основанный на теории моделирования.

Вычисления над числами в формате с плавающей точкой неточны по самой своей природе, и программисту нетрудно столь неудачно организовать их выполнение, что полученные результаты будут почти полностью состоять из «шума». Одна из главных проблем численного анализа состоит в точности результатов тех или иных численных методов; сюда относится и проблема «степени доверия»; мы не знаем, насколько правильны результаты вычислений на компьютере. Пользователи-новички решают эту проблему, доверяя компьютеру, как непогрешимому авторитету; они склонны считать, что все цифры напечатанного ответа являются значащими. У пользователей, лишенных этих иллюзий, подход прямо противоположный:

они неизменно опасаются, что полученные результаты весьма далеки от истинных. Многие серьезные математики пытались строго проанализировать последовательность операций с плавающей точкой, но, обнаружив, что задача слишком сложна, удовлетворялись правдоподобными рассуждениями.

10.3. Компьютерная математика и моделирование.

Как мы отмечали в параграфе 10.1, компьютерная математика состоит из нескольких различных направлений исследований. Каждое направление отличается от других своими задачами исследования, а также методологией и методами их решения. Эти различия сказываются и на их рассмотрении с позиций теории моделирования. В силу ограниченности объема этой книги мы ограничимся рассмотрением только одного направления компьютерной математики с позиций теории моделирования, а относительно других заметим, что их можно рассматривать аналогично, хотя в каждом конкретном случае приходиться делать специфические замечания. Нас ниже будет интересовать только процесс численного решения сложных математических задач с помощью компьютеров. Как мы уже неоднократно отмечали, появление подобных задач в практике призошло в середине ХХ века и потребности в их решении резко возросли с появлением компьютеров.

Численное решение задачи из теоретической математики с помощью компьютера происходит следующим образом. Сначала формулируется математическая задача, целью которой явдяется нахожение либо числа, либо набора чисел. Затем находится конструктивный теоретический алгоритм, представляющий собой конечную последовательность действий, которая, согласно имеющемуся математическому доказательству, приводит к решению поставленной задачи. Найденный алгоритм и процесс его конкретного выполнения программируются. Затем написанная программа переводится на машинный язык с помощью компиляции или интерпретатации, что позволяет компьютеру произвести необходимые вычисления и выдать полученные результаты в виде конечного набора реально существующих математических чисел.

Заключительным аккордом является принятие решения о том, являются ли полученные числа решением задачи. Таким образом, процесс решения распадается на ряд подпроцессов.

Важно отметить, что все эти этапы являются взаимосвязанными; от результата выполнения одного этапа часто зависит результат выполнения другого этапа. Более того, обычно нет никакой возможности, как увидим ниже, выделить и изучать влияние отдельного этапа на другие. Кроме того, обычно каждый этап и его результаты описываются на своем собственном языке, т.е. мы имеем дело с набором языков, причем каждый из них принадлежит соответствующему типу математики. Таким образом, вычислительный процесс с помощью компьютеров связан с взаимодейтвием различных языков.

Из сказанного следует, что процесс численного решения такой математической задачи, как нахождение численного решения дифференциального уравнения или системы этих уравнений, является сложным процессом, который протекает в условиях неопределенности. Причины этой неопределенности кроятся не только в сложности выполнения различных этапов, но и в отсутствии соответствующей методологии и связанных с ней языков, с помощью которых можно выделить и описать суть проблем, стоящих перед каждым этапом в отдельности и всеми этапами вместе.

В современной математической литературе по вычислительным методам основное внимание уделяется описанию и анализу теоретических вычислительных алгоритмов.

Здесь рассматриваются вопросы, связанные со сходимостью этих методов, с оценками точности решения задачи (естественно, в рамках теоретической математики), с оценками сложности алгоритмов и т.п. Все исследования в этом направлении проводятся, а их результаты излагаются на языке теоретической математики. Для того, чтобы описать сам процесс вычисления с помощью конкретных формул, необходимо обратиться к прагматическим математическим моделям, в которых используется язык, существенно отличающийся от языка теоретической математики. К сожалению, рассмотрению этого процесса в специальной литературе практически не уделено места. Ученые в области численного решения математических задач обычно не разделяют между собой программную модель и модель на компьютерном языке при процессе вычисления, не учитывают влияние процессов компиляции или интерпретация на этот процесс. Проблемы так называемой «вычислительной точности» их мало волнуют.



Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 |
 


Похожие работы:

«Вечна ли Вселенная?* © Даныльченко П. ГНПП Геосистема, г. Винница, Украина Контакт с автором: pavlo@vingeo.com www.pavlo-danylchenko.narod.ru Показана возможность избежания сингулярности Большого Взрыва а, следовательно, и гарантирования вечности Вселенной не только в будущем, но и в прошлом. Реальность вечности Вселенной подтверждается результатами наблюдений далеких сверхновых звезд и основывается на отсчете космологического времени в несопутствующей веществу системе отсчета, в которой по...»

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИЗВЕСТИЯ ГЛАВНОЙ АСТРОНОМИЧЕСКОЙ ОБСЕРВАТОРИИ В ПУЛКОВЕ № 217 Санкт-Петербург 2004 Редакционная коллегия: Доктор физ.-мат. наук А.В. Степанов (ответственный редактор) член-корреспондент РАН В.К. Абалакин доктор физ.-мат. наук А.С. Баранов доктор физ.-мат. Ю.В. Вандакуров доктор физ.-мат. наук Ю.Н. Гнедин кандидат физ.-мат. наук А.В. Девяткин доктор физ.-мат. В.А. Дергачев доктор физ.-мат. наук Р.Н. Ихсанов кандидат физ.-мат. наук В.И. Кияев кандидат физ.-мат. наук Ю.А....»

«A/AC.105/926 Организация Объединенных Наций Генеральная Ассамблея Distr.: General 5 December 2008 Russian Original: English Комитет по использованию космического пространства в мирных целях Информация о проводимых государствами-членами, международными организациями и другими учреждениями исследованиях относительно объектов, сближающихся с Землей Записка Секретариата Содержание Стр. I. Введение......................................................»

«Genre sci_math Author Info Леонард Млодинов (Не)совершенная случайность. Как случай управляет нашей жизнью В книге (Не)совершенная случайность. Как случай управляет нашей жизнью Млодинов запросто знакомит всех желающих с теорией вероятностей, теорией случайных блужданий, научной и прикладной статистикой, историей развития этих всепроникающих теорий, а также с тем, какое значение случай, закономерность и неизбежная путаница между ними имеют в нашей повседневной жизни. Эта книга — отличный способ...»

«Международная виртуальная обсерватория – итоги первого десятилетия О.Б.Длужневская, О.Ю.Малков ИНАСАН О.С.Бартунов, И.Ю.Золотухин ГАИШ САО РАН, 16 сентября 2010 г. Содержание • Что такое виртуальная обсерватория? • На пути к созданию МВО: - Астрономические данные - Каталоги - Центры данных, ВО • IVOA: состав, цели, рабочие группы • Научные задачи, публикации • Российская виртуальная обсерватория – Зеркалирование мировых ресурсов – Объединение российских ресурсов – Научные задачи РВО • Совещания...»

«Валерий Болотов Тур Саранжав Великие астрономы Великие открытия Великие монголы Монастыри Владивосток 2012 Б 96 4700000000 Б 180(03)-2007 Болотов В.П. Саранжав Т.Т. Великие астрономы. Великие открытия. Великие монголы. Монастыри Владивосток. 2012, 200 с. Данная книга является продолжением авторов книги Наглядная астрономия: диалог и методы в системе Вектор. В данной же книги через написания кратких экскурсах к биографиям древних астрономов и персон имеющих отношения к ним, а также событий,...»

«Объем дисциплины и виды учебной работы (в часах). Форма обучения - очная Количество семестров 1 Форма контроля: 4 семестр - зачет № Количество часов Виды учебных занятий п/п 3 семестр 4 семестр 1. Всего часов по дисциплине 108 2. Самостоятельная работа 40 3. Аудиторных занятий 68 в том числе лекций 68 семинарских (или лабораторно-практических) Содержание дисциплины. ТРЕБОВАНИЯ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СТАНДАРТА К ОБЯЗАТЕЛЬНОМУ МИНИМУМУ СОДЕРЖАНИЯ ПРОГРАММЫ Наименование дисциплины и ее...»

«ТОМСКИЙ Г ОСУД АРСТВЕННЫ Й П ЕД АГОГИЧ ЕСКИЙ У НИВЕРСИТ ЕТ НАУЧНАЯ БИБЛИО ТЕКА БИБЛИО ГРАФИЧ ЕСКИЙ ИН ФО РМАЦИО ННЫ Й ЦЕ НТР Инфор мац ионны й бю ллетень новы х поступлений  №3, 2008 г. 1           Информационный   бюллетень   отражает   новые   поступления   книг   в   Научную  библиотеку ТГПУ с 30 июня по 10 октября 2008 г.           Каждая  библиографическая запись содержит основные сведения о книге: автор,  название, шифр книги, количество экземпляров и место хранения.           Обращаем  ...»

«Annotation Больше книг в Библиотеке скептика В книге (Не)совершенная случайность. Как случай управляет нашей жизнью Млодинов запросто знакомит всех желающих с теорией вероятностей, теорией случайных блужданий, научной и прикладной статистикой, историей развития этих всепроникающих теорий, а также с тем, какое значение случай, закономерность и неизбежная путаница между ними имеют в нашей повседневной жизни. Эта книга — отличный способ тряхнуть стариной и освежить в памяти кое-что из курса высшей...»

«В защиту науки Бюллетень № 12 25 Дробышевский С.В., Марков А.В., Соколов А.Б. Профессор А.И. Осипов об эволюции человека 15 ошибок за 15 минут15 Не здраво рассудителен математик, ежели он хочет божескую волю вымерять циркулем. Таков же и богословия учитель, если он думает, что по псалтире научиться можно астрономии или химии. Михаил Васильевич Ломоносов В программе Академия канала Культура 26 апреля 2012 г. с лекцией Оценка теории эволюции выступил Алексей Ильич Осипов – русский богослов,...»

«Г.С. Хромов АСТРОНОМИЧЕСКИЕ ОБЩЕСТВА В РОССИИ И СССР Сто пятьдесят лет назад знаменитый русский хирург Н.И. Пирогов, бывший еще и крупным организатором науки своего времени, заметил, что. все переходы, повороты и катастрофы общества всегда отражаются на науке. История добровольных научных обществ и объединений отечественных астрономов, которую мы собираемся кратко изложить, может служить одной из многочисленных иллюстраций справедливости этих провидческих слов. К середине 19-го столетия во...»

«Питер Акройд: Ньютон Питер Акройд Ньютон Питер Акройд Исаак Ньютон. Биография: Издательство КоЛибри, Азбука-Аттикус; Москва; 2011; ISBN 978-5-389-01754-2 Перевод: Алексей Капанадзе 2 Питер Акройд: Ньютон Аннотация Книги поэта и прозаика англичанина Питера Акройда (р. 1949) популярны во всем мире. Он – автор более четырех десятков книг. Значительное место в его творчестве занимают биографии, а один из любимых героев писателя – великий Исаак Ньютон, мыслитель, физик, астроном и математик, чей...»

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК Специальная астрофизическая обсерватория Рег. номер 0120.0 950156 УДК 520; 523.3; 523.9; 524 УТВЕРЖДАЮ Директор САО РАН член-корр. РАН Балега Ю.Ю. _ 16 марта 2009 г. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ОТЧЕТ О НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ РАБОТЕ Развитие центра коллективного пользования научным оборудованием для обеспечения комплексных исследований астрофизических объектов и мониторинга околоземного пространства методами радио- и оптической астрономии В РАМКАХ ФЕДЕРАЛЬНОЙ ЦЕЛЕВОЙ ПРОГРАММЫ...»

«БИБЛИОГРАФИЯ 167 • обычной статистике при наличии некоторой скрытой внутренней степени свободы. к Правомерным был бы вопрос о возможности формулировки известных физических симметрии в рамках параполевой теории. Однако в этом направлении имеются лишь предварительные попытки, которым посвящена глава 22 и которые к тому же нашли в ней далеко неполное отражение. В этом отношении для читателя, возможно, будет полезным узнать о посвященном этому вопросу обзоре автора рецензии (Парастатистика и...»

«Казанский (Приволжский) федеральный университет Научная библиотека им. Н.И. Лобачевского Новые поступления книг в фонд НБ с 12 февраля по 12 марта 2014 года Казань 2014 1 Записи сделаны в формате RUSMARC с использованием АБИС Руслан. Материал расположен в систематическом порядке по отраслям знания, внутри разделов – в алфавите авторов и заглавий. С обложкой, аннотацией и содержанием издания можно ознакомиться в электронном каталоге 2 Содержание История. Исторические науки. Демография....»

«200 ЛЕТ АСТРОНОМИИ В ХАРЬКОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ Под редакцией проф. Ю. Г. Шкуратова БИБЛИОГРАФИЯ РАБОТ ЗА 200 ЛЕТ Харьков – 2008 СОДЕРЖАНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА 1. ИСТОРИЯ АСТРОНОМИЧЕСКОЙ ОБСЕРВАТОРИИ И КАФЕДРЫ АСТРОНОМИИ. 1.1. Астрономы и Астрономическая обсерватория Харьковского университета от 1808 по 1842 год. Г. В. Левицкий 1.2. Астрономы и Астрономическая обсерватория Харьковского университета от 1843 по 1879 год. Г. В. Левицкий 1.3. Кафедра астрономии. Н. Н. Евдокимов 1.4. Современный...»

«11- Астрофизика, физика космоса Борисевич Алексей Николаевич, главный специалист Красноярск, Красноярский филиал по космическому мониторингу Национального центра управления в кризисных ситуациях Предварительные результаты анализа временных рядов солнечного экстремального ультрафиолета как фактора образования среднеширотной ионосферы Земли Колесник Сергей Анатольевич, Колмаков Александр Анатольевич, к.ф.-м.н. e-mail: alexey@space.akadem.ru стр. 394 Глянцев Анатолий Владимирович, аспирант Пущино,...»

«XXXV Турнир имени М. В. Ломоносова 30 сентября 2012 года Задания. Решения. Комментарии Москва Издательство МЦНМО 2014 ББК 74.200.58 Т86 35-й Турнир имени М. В. Ломоносова 30 сентября 2012 года. Задания. Решения. Комментарии / Сост. А. К. Кулыгин. — М.: МЦНМО, 2014. — 224 с.: ил. Приводятся условия и решения заданий Турнира с подробными комментариями (математика, физика, химия, астрономия и науки о Земле, биология, история, лингвистика, литература, математические игры). Авторы постарались...»

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИЗВЕСТИЯ ГЛАВНОЙ АСТРОНОМИЧЕСКОЙ ОБСЕРВАТОРИИ В ПУЛКОВЕ № 216 Санкт-Петербург 2002 Редакционная коллегия: Доктор физ.-мат. наук А.В. Степанов (ответственный редактор) член-корреспондент РАН В.К. Абалакин доктор физ.-мат. наук А.С. Баранов доктор физ.-мат. Ю.В. Вандакуров доктор физ.-мат. наук Ю.Н. Гнедин кандидат физ.-мат. наук А.В. Девяткин доктор физ.-мат. В.А. Дергачев доктор физ.-мат. наук Р.Н. Ихсанов кандидат физ.-мат. наук В.И. Кияев кандидат физ.-мат. наук Ю.А....»

«152 Время и звезды: к 100-летию Н. А. Козырева III. НАУЧНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ Н. А. КОЗЫРЕВА В РЕТРОСПЕКТИВЕ А. П. Левич СУБСТАНЦИОНАЛЬНАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КОНЦЕПЦИИ ВРЕМЕНИ Н. А. КОЗЫРЕВА1 Обзор работ Н. А. Козырева и его последователей выполнен с позиции субстанциональной концепции времени. Обзор содержит описание опытов по детектированию гипотетического потока времени с помощью крутильных весов, резисторов, фотоэлементов, пьезоэлементов, ртутных термометров, термопары, химических реакций, неупругого...»














 
© 2014 www.kniga.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Книги, пособия, учебники, издания, публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.