WWW.KNIGA.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Книги, пособия, учебники, издания, публикации

 

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 13 |

«Математическое моделирование и компьютерная математика. Иерусалим, 2009 1 Содержание Введение 7 Часть 1. Теория познания и моделирование Глава 1. Исторический взгляд на ...»

-- [ Страница 10 ] --

На основе сказанного введем несколько определений. Ниже, если это не будет специально оговорено, все наши рассмотрения прагматических чисел проводятся только в десятичной позиционной системе записи чисел. Теперь определим, что мы будем понимать под неименованным прагматическим числом. Процесс построения общего определения этого типа числа мы разобьем на ряд этапов.

Первый этап состоит в определении неименованного целого прагматического числа.

Пусть нам дано множество всех объектов, имя которых записано только с помощью цифр, т.е. в записи этих объектов не употребляются никакие символы, кроме десяти цифр. По существу, каждый из рассматриваемых объектов представляет собой слово, составленное из цифр, и не более того. Очевидно, что два таких объекта совпадают тогда и только тогда, когда их записи совпадают, и различаются, когда они имеют различные записи.

Между указанными выше объектами, имя которых записано с помощью только цифр, и математическими числами можно установить соответствие, соотнося между собой объект и число, имеющие одну и ту же запись (представление). Это соответствие назовем каноническим соответствием. Каноническое соответствие разбивает множество всех рассматриваемых объектов на классификационные подмножества по следующему правилу. В одно и то же классификационное подмножество входят те, и только те объекты которые канонически соответствуют одному и тому же математическому числу.

Очевидно, что в этом случае все классификационные подмножества состоят из бесконечного числа элементов. Это объясняется тем, что два разных объекта — 1 и 01 — являются разными объектами, которые принадлежат одному и тому же классификационному подмножеству. Каждое классификационное подмножество обозначим тем же символом, что и математическое число, и назовем неименованным прагматическим положительным целым числом. Таким образом, неименованное прагматическое целое число представляет собой множество слов, записанных только с помощью цифр. Прагматическое натуральное число, в запись которого входит только цифра 0, называется прагматическим нулем. Обозначим множество всех прагматических целых положительных чисел через PN. Множество PN представляет собой множество классификационных подмножеств.

Теперь рассмотрим все такие объекты (слова), в запись имени которых входит последовательность цифр с дефисом (минусом) перед ними. К этому набору объектов применим процедуру, описанную выше. Сопоставим с каждым прагматическим объектом математическое число, десятичная позиционная запись которого совпадает с именем данного объекта. Как и раньше, это соответствие назовем каноническим соответствием.





Каноническое соответствие разбивает множество данных прагматических объектов на классификационные подмножества. Каждое классификационное подмножество состоит только из тех объектов, которому каноническое соответствие сопоставляет одно и то же математическое число. Обозначим каждое классификационное подмножество символом соответствующего математического числа, и назовем его прагматическим отрицательным целым числом.

Положительные и отрицательные неименованные прагматические числа называются также неименованными прагматическими целыми числами. Обозначим множество всех прагматических целых чисел через PZ. Множество PZ представляет собой множество классификационных подмножеств множества всех слов.

Существует несколько различных путей, чтобы ввести в употребление неименованные рациональные прагматические числа. Каждый путь приводит в общем случае к различным наборам неименованных рациональных прагматических чисел, между которыми нельзя установить взаимооднозначного соответствия. Мы выбираем из этих возможностей только ту, которая наиболее отвечает нашему дальнейшему изложению. Кроме этого замечания, у нас нет никакого другого предпочтения одной возможности перед другой.

Рассмотрим множество всех объектов, имена которых представляют собой слова, состоящие из десяти цифр, точки и дефиса. Нас будут интересовать только те слова, в запись которых входит конечное число цифр, а также не более одной точки, которая не может стоять в начале слова, и не более одного дефиса, который мы можем встретить только в начале слова. Теперь сопоставим с каждым таким словом математическое число, имеющему такое же представление в десятичной позиционной системе. И это соответствие мы также будем называть каноническим соответствием. С помощью канонического соответствия мы разделим множество всех рассмотренных объектов на классификационные подмножества. Каждое классификационное подмножество состоит из тех и только из тех объектов, которым каноническое соответствие придает одно и то же математическое число. Обозначим каждое из полученных классификационных подмножеств символом соответствующего математического числа и назовем это подмножество неименованным прагматическим рациональным числом. Обозначим множество всех неименованных прагматических рациональных чисел через PR.

Теперь рассмотрим множество всех прагматических объектов, входящих во все классификационные подмножества, принадлежащие множествам PN, PZ, PR. Очевидно, что с помощью канонического соответствия мы можем разбить это множество на классификационные подмножества, аналогично тому, как мы это делали выше. Легко видеть, что каждое классификационное подмножество является объединением подмножеств из PN, PZ, PR, которые соответствуют равным математическим числам.

Также очевидно, что между классификационными подмножествами и математическими рациональными числами можно установить взаимооднозначное соответствие. За каждым классификационным подмножеством мы сохраним имя неименованное прагматическое рациональное число. В этом случае множество всех прагматических рациональных чисел, которые представимы в десятичной позиционной системе, будем обозначать через PR10.





Как мы уже говорили, между прагматическими рациональными числами из PR10 и математическими рациональными числами, представимыми в виде конечного числа цифр, можно установить взаимооднозначное соответствие. Это возможно в данном случае только потому, что наше построение прагматических рациональных чисел было основано на универсальном представлении математических рациональных чисел. Ситуация радикально меняется, если мы будем рассматривать математические числа, представленные в виде строки цифр в любой другой позиционной системе с базисным числом, отличным от десяти.

Для объяснения возникшей ситуации рассмотрим в качестве примера набор математических чисел, которые представлены записями в десятичной позиционной системе. Это значит, что мы рассматриваем только те математические числа, которые представимы в виде двух конечных последовательностей цифр, разделенных точкой.

Обозначим это множество математических чисел через R10. Очевидно, что любое число из этого множества является рациональным числом. Но это множество не содержит всех рациональных чисел. Например, 1/3.

В множестве PR10 классификационных подмножеств можно выделить наборы PR10(n) множеств классификационных подмножеств. Классификационное подмножество тогда и только тогда принадлежит к PR10(n), когда в имя этого подмножества входят не более n цифр. Кроме того, выделим также наборы PR10(.n) классификационных подмножеств (прагматических чисел). Прагматическое число тогда и только тогда принадлежит PR10(.n), когда в записи его дробной части (т.е. после точки, разделяющей целую и дробную части) участвует не более n цифр. Очевидно, что приведенные множества прагматических чисел отличаются друг от друга при различных значениях n.

Из введенных выше определений различных типов прагматических чисел следует, что неименованное прагматическое число принципиально зависит от системы записи этих чисел. Для удобства дальнейших рассмотрений везде ниже, если это не будет специально оговорено, мы будем рассматривать только неименованные прагматические числа, которые можно представить в виде конечной записи в десятичной позиционной системе, т.е. мы будем рассматривать неименованные прагматические числа, принадлежащие множеству PR10.

Как мы уже отмечали выше, множество всех прагматических чисел состоит из двух непересекающихся множеств: именованные и неименованные прагматические числа. Так как именованные прагматические числа являются просто прематематическими числами, то ниже мы основное внимание будем уделять неименованным прагматическим числам, что позволит нам для простоты изложения не употреблять прилагательное «неименованные».

В отличие от математических чисел, которым иногда приписываются определенные свойства, прагматическим числам не приписывается никаких специальных свойств. Эти числа являются просто символами, и в таком качестве не представляют никакого интереса для исследователя. Содержание прагматической математике дают так называемые прагматические операции, определенные на множестве прагматических чисел. Применение прагматических операций и есть то, что мы называем процессом вычисления, а результат операций – результатом вычислений. Прагматические операции являются также прагматическими объектами, которые могут служить объектами исследования в рамках прагматической математики.

Теперь перейдем к определению прагматических операций. Из определения прагматических чисел следует, что между множеством прагматических рациональных чисел PR10 и множеством математических рациональных чисел R10 существует взаимооднозначное соответствие, которое мы назвали каноническим соответствием. С помощью этого канонического соответствия на множестве PR10 можно определить элементарные прагматические операции.

Под прагматическим сложением a ( x, y ) мы понимаем соответствие двум прагматическим числам x и y из PR10 третьего прагматического числа z, так же лежащего в PR10 и полученного следующим образом. Канонически придадим первым двум прагматическим числам математические числа x,y из R10. Эти числа можно математически сложить, в результате чего получаем третье математическое число z = x + y, также принадлежащее R10. Придадим канонически новому математическому числу прагматическое число z. Это третье прагматическое число и назовем прагматической суммой первых двух прагматических чисел. Операция прагматического сложения определена для всех прагматических чисел из PR10. Соответствие между a ( x, y ) и x + y будем называть каноническим соответствием между прагматическим сложением и математическим сложением. На основании опытной проверки можно утверждать, что операция прагматического сложения коммутативна и ассоциативна, т.е. a ( x, y ) =a ( y, x) Под прагматическим вычитанием b( x, y ) мы понимаем сопоставление двум прагматическим числам x и y из PR10 третьего прагматического числа z, также лежащего в PR10 и полученного следующим образом. Канонически сопоставим первым двум прагматическим числам математические числа x,y из R10. Эти числа можно математически вычесть одно из другого, в результате чего получаем третье математическое число z = x y, также принадлежащее R10. Сопоставим канонически новому математическому числу z прагматическое число z. Это третье прагматическое число и назовем прагматической разностью первых двух прагматических чисел.

Операция прагматического вычитания определена для всех прагматических чисел из PR10.

Соответствие между b( x, y ) и x y будем называть каноническим соответствием между прагматическим вычитанием и математическим вычитанием. Легко проверяется опытным путем, что a (b( x, y ), y ).

Под прагматическим умножением c ( x, y ) мы понимаем сопоставление двум прагматическим числам x и y из PR10 третьего прагматического числа z, также лежащего в PR10 и полученного следующим образом. Канонически сопоставим первым двум прагматическим числам математические числа x,y из R10. Эти числа можно математически умножить одно на другое, в результате чего получаем третье математическое число z = xy, также принадлежащее R10. Сопоставим канонически новому математическому числу z прагматическое число z. Это третье прагматическое число и назовем прагматическим произведением первых двух прагматических чисел. Операция прагматического умножения определена для всех прагматических чисел из PR10.

Соответствие между c ( x, y ) и xy назовем каноническим соответствием между прагматическим умножением и математическим умножением. Легко проверяется опытным путем, что операция прагматического умножения является коммутативной и ассоциативной, т.е. имеют место равенства Под прагматическим делением d ( x, y ) мы понимаем сопоставление двум прагматическим числам x и y из PR10 третьего прагматического числа z, также лежащего в PR10 и полученного следующим образом. Канонически сопоставим первым двум прагматическим числам математические числа x,y из R10. Эти числа можно математически разделить одно на другое, если y 0, в результате чего получаем третье математическое число нельзя записать в десятичной позиционной системе с помощью строчки, состоящей из конечного числа цифр. Например, результат деления 1 на 3 нельзя представить в десятичной позиционной системе с помощью конечного числа цифр. Если же результат деления двух математических чисел, соответствующих прагматическим числам, можно записать в десятичной позиционной системе, то мы можем рассматривать прагматическое число z, соответствующее математическому числу z, как результат деления двух прагматических чисел. Таким образом, прагматическое деление определено не для всех пар прагматических чисел. Соответствие между прагматическим делением d ( x, y ) и математическим делением будем называть каноническим соответствием. Легко проверить, что в случае, когда число z существует, имеет место равенство c( z, y ) =x.

Подводя итог, можно утверждать, что прагматические операции сложения, вычитания и умножения определены на любых парах прагматических чисел из PR10, в то время как прагматическое деление определено только на некоторых парах прагматических чисел.

Это значит, что множество всех прагматических чисел из PR10 не является полем, в качестве математической структуры, в то время как множество всех рациональных математических чисел является полем. Уже в этом итоге содержится одна из причин отличия теоретической математики от прагматической математики. Прагматические операции сложения, вычитания, умножения и деления будем называть прагматическими арифметическими операциями.

Прагматические числа и выражения вида a ( x, y ), b( x, y ), c ( x, y ), d ( x, y ), где x и y— конкретные прагматические числа, будем называть элементарными прагматическими словами, а результаты этих операций – числовыми прагматическими значениями этих слов. В силу того, что каждое элементарное прагматическое слово содержит конкретные прагматические числа, то, по существу, этому слову или однозначно отвечает прагматическое число, или это слово не имеет прагматического значения.

Последнее замечание имеет отношение только к словам типа d ( x, y ). Кроме того, очевидно, что каждому элементарному прагматическому слову можно поставить в соответствие некое математическое выражение: прагматическому числу канонически сопоставить математическое число; a ( x, y ) соответствует прагматическому числу канонически сопоставить математическое число; a ( x, y ) соответствует x + y ; b( x, y ) соответствует x y ;

элементарное прагматическое слово можно посмотреть как на некую методику выполнения прагматической арифметической операции, которую назовем элементарным вычислением.

Последовательность выполнения прагматических арифметических операций называется процессом вычисления. Таким образом, элементарное прагматическое слово выступает одновременно в нескольких ипостасях; во-первых, как прагматический объект; во-вторых, как результат элементарного вычисления; в-третьих, как запись методики проведения процесса вычисления.

Обобщим понятие элементарного прагматического слова до понятия «прагматическое слово». Определим это понятие индуктивным путем. Элементарное прагматическое слово является прагматическим словом. Если A, B являются элементарными прагматическими словами, то выражения a ( A, B ), b( A, B ), c ( A, B ) также являются прагматическими словами, если понимать A, B как прагматические числа. Выражение d ( A, B ) также является прагматическим словом, если B отлично от прагматического нуля и это выражение имеет смысл на множестве прагматических чисел.

Пусть теперь нам дано некое прагматическое слово. Если мы заменим в этом объекте определенное прагматическое число, входящее в данное слово, на другое прагматическое слово, то мы снова получаем (по определению) прагматическое слово. Такую операцию получения нового прагматического слова путем замены прагматического числа, входящего в слово, на прагматическое слово, будем называть суперпозицией прагматического слова.

Из определения прагматического слова следует, что его можно расчленить на конечное число элементарных прагматических слов. Отсюда следует, что в любое прагматическое слово входит конечное число прагматических чисел, соединенных между собой набором прагматических арифметических операций. В силу сказанного, на прагматическое слово можно посмотреть с разных позиций: во-первых, как на прагматический объект; во-вторых, как на запись методики проведения процесса вычисления.

Каждому прагматическому слову A сопоставим математическое выражение А следующим образом. Так как прагматическое слово представляет собой набор прагматических чисел, соединенных с помощью прагматических арифметических операций, то каждому прагматическому числу мы канонически сопоставим математическое число, каждой прагматической арифметической операции сопоставим математическую арифметическую операцию, кроме того, используем скобки для определения порядка выполнения математических арифметических операций. Отсюда следует, что каждому прагматическому слову можно дать в соответствие однозначно определенное математическое выражение. Это соответствие назовем каноническим соответствием и будем его обозначать через символ.

Для разъяснения сказанного приведем пример. Пусть нам дано прагматическое слово:

a (c (b( a (5,0.1 5 ), 3.2 ), a (1.5,2.2)), 1 ). Этому слову канонически сопоставляется следующее математическое выражение: ((5+0.125)-3.25)*(1.5+2.2))+10. Другими словами, ( a (c(b(a (5,0.125 ), 3.25 ), a (1.5,2.2)), 10 ) ) = ((5+0.125)-3.25)*(1.5+2.2)+10.

Если мы изменим обозначения прагматических арифметических операций в прагматических словах на обозначения соответствующих математических операций с использованием в случае необходимости скобок, то написание прагматических слов не будет ничем отличаться от написания математического выражения. Это означает, что символические записи двух рассматриваемых объектов не отличаются друг от друга. В этом случае каноническое соотношение означает просто переход от прагматического толкования записи к математическому толкованию той же записи. В силу того, что соответствие является взаимно однозначным соответствием, то каноническое существует также каноническое соответствие, которое ставит в соответствие некоторым математическим выражениям прагматические слова. Рассуждая аналогично, можно сказать, что символ толкования символической записи к прагматическому толкованию.

Согласно индуктивному определению прагматического слова, для каждого прагматического слова, отличного от элементарного, можно найти такое прагматическое слово, из которого получается заданное слово с помощью операции суперпозиции. Если мы продолжим далее этот процесс, то через конечное число шагов мы придем к такому прагматическому слову, которое уже не является результатом суперпозиции другого прагматического слова. Это последнее слово будем называть корнем заданного слова. Из этого рассуждения вытекает, что для каждого прагматического слова существует по крайней мере один корень.

Так как каждому элементарному прагматическому слову выше было сопоставлено некоторое прагматическое число, которое было названо значением этого слова, то естественно возникает желание сопоставить произвольному прагматическому слову некоторое прагматическое число, которое по аналогии будет называться числовым значением прагматического слова. Это сопоставление будем называть вычислением прагматического слова.

Процесс (точного) вычисления прагматического слова A заключается в сопоставлении определенным способом этому слову прагматического числа, или в утверждении, что этому слову указанным способом нельзя сопоставить прагматическое число. Сам процесс вычисления слова A состоит из конечного числа шагов. На первом этапе заменяются все элементарные прагматические слова на их численное значение в виде прагматического числа. Здесь возможны два случая. Во-первых, бывает такое элементарное слово, которое не имеет числового прагматического значения. Такой случай возникает при делении двух прагматических чисел. Тогда процесс вычисления прекращается и объявляется, что слово A не имеет числового прагматического значения. Во втором случае, все элементарные прагматические слова, входящие в слово A, имеют числовое значение. Тогда после замены элементарных слов на их значения приходим к новому прагматическому слову A1. На следующем этапе повторяется та же процедура: элементарные слова, содержащиеся в A1, заменяются на их числовые прагматические значения. Здесь опять возникают два случая:

или приходим к слову A 2, либо объявляем, что слово A1 (а, следовательно, и A ) не имеет числового прагматического значения. Очевидно, что описанная процедура через конечное число шагов или приводит к некоему прагматическому числу, которое объявляется значением слова A, или выясняется, что это слово не имеет прагматического значения.

Обозначим через Z ( A) прагматическое значение слова A.

Два прагматических слова Z ( A) =Z ( B ), где Z ( A) — конкретное прагматическое число. Заметим, что равенство двух прагматических слов отличается от тождественности прагматических слов. В первом случае числовые значения слов совпадают, а во втором — сами слова совпадают.

Если математическое выражение А канонически соответствует A, то численное значение Z ( A) выражения А канонически соответствует прагматическому числу Z ( A).

Обратное неверно. Пусть А – математическое выражение, A — прагматическое выражение, канонически соответствующее A, Z ( A) — математическое значение выражения A. Тогда возможны два варианта: число Z ( A) реально существует или реально не существует. Если это число реально не существует, то ему нельзя канонически сопоставить прагматическое число. Это означает, что прагматическое выражение A нельзя вычислить. Даже в случае, когда число Z ( A) реально существует, может встретиться такая ситуация, когда описанный выше процесс вычисления Z ( A) может оборваться, если произойдет деление двух прагматических чисел, результат которого не является прагматическим числом. В качестве примера рассмотрим выражение: (1:3)*3.

Рассматривая это выражение как математическое, мы можем его вычислить и получить число 1 в качестве результата. Однако рассматривая это выражение как прагматическое слово, мы не сможем найти его значение, ибо результат 1:3 не является прагматическим числом.

Обозначим через PS множество всех прагматических слов, а через MS — множество всех математических выражений, канонически соответствующих прагматическим словам.

На множестве PS мы можем определить некие операции над прагматическими словами, результатом которых снова являются прагматические слова. В силу того, что эти операции напоминают арифметические прагматические операции над прагматическими числами, мы сохраним эти же имена и для операций над прагматическими словами.

Пусть A, B — прагматические слова. Под прагматическим сложением a ( A, B ) мы понимаем слово, которое получается из элементарного прагматического слова a ( x, y ) путем замены x на A и y на B. Согласно определению прагматического слова, a ( A, B ) является прагматическим словом. Под прагматическим вычитанием b( A, B ) мы понимаем слово, которое получается из элементарного прагматического слова b( x, y ) путем замены x на A и y на B. Согласно определению прагматического слова, b( A, B ) является прагматическим словом. Подобным образом определяются и остальные арифметические прагматические операции c ( A, B ) и d ( A, B ), заданные на множестве Введенные до сих пор понятия прагматической математики являются отражением математических понятий, которые характерны для математики до XVII века. Теперь введем такие понятия прагматической математики, которые уже связаны с математическими понятиями, возникшими в XVII веке. Начнем с одного из основных, возникших в этот период: с понятия «переменная».

Каждое подмножество X прагматических чисел a в PR10 мы свяжем с некоторым прагматическим объектом, который назовем прагматическим переменным x, а подмножество X — множеством определения переменной x. Прагматическое переменное можно толковать как объект, который может принимать в качестве своего значения любое число из этого подмножества, при этом не дается никаких преимуществ никакому элементу из него, если не выделяются дополнительные условия. В этом случае каждое число из подмножества X можно рассматривать как возможное значение переменной x. Канонически сопоставляя каждому прагматическому значению переменной математическое число, мы каждой прагматической переменной однозначно сопоставляем математическую переменную, определенную на некотором множестве реально существующих математических чисел.

На множестве всевозможных прагматических переменных можно определить операции, аналогичные прагматическим арифметическим операциям. Под прагматическим сложением a ( x, y ) двух прагматических переменных x и y мы понимаем прагматическую переменную z, причем множество Z состоит из всех прагматических чисел вида a ( a, b), где a X и b B. Аналогично определяются прагматическое вычитание переменных b( x, y ), прагматическое умножение переменных c ( x, y ), прагматическое деление переменных d ( x, y ). Введенные операции мы также назовем арифметическими прагматическими операциями. Каждой прагматической операции над прагматическими переменными однозначно соответствуют и математические операции над математическими переменами.

Теперь мы можем определить новый прагматический объект – обобщенное прагматическое слово. Определим это понятие индуктивным путем. Во-первых, все прагматические переменные и прагматические числа являются обобщенными прагматическим словами. Во-вторых, выражения вида a ( x, y ), b( x, y ), c ( x, y ), d ( x, y ), где x, y — прагматические переменные или прагматические числа, являются обобщенными прагматическими словами. В-третьих, если в обобщенном прагматическом слове мы заменяем некое прагматическое переменное на обобщенное прагматическое слово, то (по определению) снова получаем обобщенное прагматическое слово.

некоторое конкретное значение данного обобщенного слова. К слову F (a1, a 2,..., a n ) мы можем применить вычислительный процесс, в результате которого приходим или к значением, будем говорить, что Обозначим через Y множество всех значений выражения Z F ( x1, x 2,..., x n ) при различных значениях xi. Множество Y определяет некоторую прагматическую переменную, которую обозначим через y. Множество Y будем называть областью значений переменной y или выражения F ( x1, x 2,..., x n ). Таким образом, мы приходим к понятию прагматической функции, которую можно записать в виде:

Из вышесказанного непосредственно следует, что с каждым обобщенным прагматическим словом связана определенная прагматическая функция.

того, имеет место также равенство Легко видеть, что каждому обобщенному прагматическому слову однозначно соответствует математическое выражение Всякий раз открытие такого перевода понятия (отражающего определенное положение вещей) на язык другого понятия (соответствующего ситуациям иного типа) обогащает наше представле-ние о каждом из них путем неожиданного интуитивного восприятия, характерных для одного и другого.

Вычисление есть средство получения числовых результатов, но это также орудие разума для исследования мира.

8.3. Прагматическая математика как смешанное познание.

В предыдущем параграфе были обсуждены некоторые базисные прагматические математические объекты и их свойства. Из этого обсуждения видно, что существует тесная связь, которую мы назвали каноническим соответствием, между прагматическими объектами и математическими объектами. Даже более того, в определении ряда основных прагматических понятий использовались математические понятия. Поэтому прагматический объект A и канонически соответствующий ему математический объект A) ( удобнее рассматривать одновременно как пару ( A, A) ). Напомним, что из своего A) неразличимы по написанию, а отличие заключается только в толковании симво-лов.

Прагматическую математику, объектом которой, по своей сути, является пара ( A, A) ) и другие понятия, основанные на понятии пары, нельзя отнести к интеллектуальному познанию, хотя ( A) относится к теоретической математике, но объект A не принадлежит к интеллектуальному познанию. Однако прагматическая математика, которая предназначена решать практические задачи, по своему духу, должна относиться к прагматическому познанию, но она использует в процессе решения задач математические объекты. Поэтому прагматическую математику мы отнесем к новому типу познаний, которое назовем смешанным познанием.

Каждому прагматическому объекту A канонически соответствует математический объект A). Если два прагматических объекта A и B различны, т.е. отличаются по напи-санию, то и A) и ) отличаются друг от друга. Однако не каждому математическому объекту можно поставить в соответствие прагматический объект, который бы канониче-ски соответствовал этому математическому объекту. Тогда естественно возникает воп-рос, каким математическим объектам можно поставить прагматический объект.

На этот вопрос достаточно просто ответить: все математические выражения, которые состоят из переменных, соединенных знаками арифметических и логических операций и скобками, указывающими порядок выполнения операций. Другими словами, математическому выражению можно канонически сопоставить прагматическое слово (простое или обобщенное) только тогда, когда оно является формулой для вычисления. Но и в этом случае необходимо помнить, что в случае математического толкования вычислительная формула или алгоритм заданы на множестве математических чисел, а в случае прагматического толкования – на множестве прагматических чисел, которым соответствуют только реально существующие математические числа. Иначе говоря, с точки зрения теоретической математики формула для вычисления является непрерывным объектом, а с точки зрения прагматической математики – дискретным объектом.

Из сказанного вытекает один важный вывод, который оказывает существенное влияние на использование прагматической математики. Этот вывод можно сформулировать следующим способом. Исследование любого реального объекта осуществляется с помощью непрерывной модели, а нахождение численного решения задачи – с помощью дискретной модели.

Теперь перейдем к описанию «истинных» утверждений в рамках прагматической математики. В этих рамках любое утверждение представляет собой утверждение относительно прагматических математических объектов. Так как эти объекты имеют двойственное толкование, то и любое утверждение относительно этих объектов имеет также двойственное содержание. Поэтому каждое утверждение в рамках прагматической математики удобно рассматривать как пару утверждений, которые совпадают по тексту, но отличаются по толкованию. Используя аналогию с проведенными выше рассуждениями, будем каждое утверждение L в рамках прагматической математики представлять в виде пары ( PL, TL ), где PL - утверждение в прагматическом познании, а TL - утверждение в теоретической математике, хотя формулировки PL и TL идентичны. В этом случае мы будем говорить, что утверждение TL канонически соответствует PL и PL канонически соответствует TL.

С помощью введенного определения, можно ввести понятия «истинности» утверждения L в рамках прагматической математики. Мы будем говорить, что утверждение L является «истинным», если утверждение PL «истинно» в рамках прагматического познания и ут-верждение TL является «истинным» в рамках теоретической математики.

Рассмотрим два разных случая: утверждение L является утверждением, касающимся именованных чисел, или утверждением, связанным с неименованными числами. В первом случае «истинность» утверждения PL устанавливается на основе практического опыта.

Но тогда «истинность» утверждения TL вытекает из его реального соответствия, т.е. из «истинности» PL. Во втором случае, т.е. в случае неименованных чисел, «истинность»

утверждения TL следует из того, является ли оно аксиомой или доказанной теоремой. В этом случае утверждение PL считается «истинным», ибо его «истинность» следует из теории.

В предыдущем параграфе были выделены следующие прагматические объекты: именованные и неименованные прагматические числа, элементарные прагматические слова, прагматические слова, обобщенные прагматические слова, прагматические функции, прагматические алгоритмы.

Начнем наше рассмотрение с именованных и неименованных прагматических чисел.

Основным утверждением, которое признается «истинным» в рамках прагматической математики и относится к самим числам, является утверждение L : «это – число A ».

Указанная фраза имеет двойной смысл. С точки зрения теоретической математики она эквивалентна утверждению TL : «пусть дано число A ». А с другой точки зрения, эта фраза, как PL, означает или результат некоего измерения, или числовое значение, которое приписывается определенному слову, составленному из цифр и точки.

Это слово рассматривается как представление числа в некоторой позиционной системе. С точки зрения теоретической математики рассматриваемое утверждение TL является «истинным», ибо число A является интеллектуальным объектом, который с момента обучения существует в сознании человека. С точки зрения прагматической математики эта фраза PL является «истинной», если она отражает, либо количественную сущность некоего множества реальных объектов, либо результат измерения, либо является прагматическим словом, канонически соответствующим математическому числу A. По своему характеру утверждения PL и TL являются фактами в соответствующих познаниях, поэтому и «истинное» утверждение L можно назвать прагматическим математическим фактом.

Теперь рассмотрим «истинность» утверждений, относящихся к прагматическим словам.

Пусть A - элементарное прагматическое слово, в запись которого входят только прагматические числа. В этом случае можно выделить утверждения двух типов.

Утверждением первого типа является утверждение о равенстве элементарного слова числу, а утверждением второго типа – утверждение о равенстве двух элементарных слов.

Пусть дано утверждение первого типа L = ( PL, TL ). Прежде всего, отметим, что для того, чтобы это утверждение было «истинным» необходимо, чтобы число, которое равно элементарному слову, было прагматическим числом. В противном случае, утверждение PL не могло быть «истинным» в рамках прагматического познания. Утверждение TL является «истинным», если оно является определением, или аксиомой, или доказывается на основе аксиом. Например, 1+0=1 может быть определением или аксиомой (см. А.

Пуанкаре, 34, с. 12), а утверждение 2+2=4 является теоремой, которая легко доказывается на основе системы аксиом теории чисел.

При рассмотрении утверждения PL необходимо рассмотреть два случая. Во-первых, элементарное слово равно именованному числу, а во-вторых, элементарное слово равно неименованному числу. В первом случае утверждение PL является «истинным» в прагматической математике, если оно является «истинным» в прематематике. В этом случае утверждение TL является «истинным» утверждением в теоретической математике, так как оно соответствует реальности. Иначе говоря, «истинность» утверждения TL индуцируется «истинностью» утверждения PL. Оба утверждения PL и TL являются фактами в соответствующих познаниях.

Во втором случае утверждение PL является «истинным» в рамках прагматической математики, если утверждение TL, канонически соответствующее ему, является «истинным» в теоретической математике. Утверждение TL «истинно» в теоретической математике, если оно является либо аксиомой, либо доказанной теоремой. Другими словами, «истинность» PL определяется «истинностью» утверждения TL.

Пусть A - элементарное слово, представляющее собой деление двух прагматических чи-сел, т.е. A =d (a, b). Случай, когда результат от деления является прагматическим числом, был рассмотрен выше. Предположим, что не существует прагматического числа, который был бы результатом деления двух прагматических чисел a и b. Тогда операция деления d ( a, b) заменяется операцией -делением a, b) и полагается (a, b) =c, где c = (c), c - реально существующее математическое число, удовлетворяющее неравенству (3), 1 - каноническое соответствие, ставящее математическому числу прагматическое число. В этом случае утверждение PL : (a, b) =c, - считается «истинным» согласно соглашению среди некоторой общественной группы. Эта «истинность» принципиально отличается от «истинности» утверждений, рассмотренных выше. Она является относительной и, в целом, носит временный характер. «Истинность»

же прагматических математических фактов является абсолютной и не зависит ни от времени, ни от мнения исследователей. Здесь мы сталкиваемся с тем, что утверждение TL : ( a, b) = c, где c - реально существующее мате-матическое число, - не является «истинным» утверждением в рамках теоретической мате-матики, ибо оно не вытекает из аксиом теории чисел. Но это утверждение TL можно счи-тать «истинным» по соглашению.

Резюмируя рассмотренный случай, видим, что здесь мы впервые столкнулись с двумя различными типами «истинности»: «истинность» и «истинность» по соглашению. Образно говоря, в прагматической математике имеют дело с «абсолютной истинностью» и «отно-сительной истинностью». Таким образом, необходимо различать «абсолютно истинные» прагматические утверждения от «относительно истинных» прагматических утверждений.

Пусть дан прагматический математический объект ( A, A)), где A - прагматическое слово, т.е. A есть формула, связывающая между собой прагматические числа с помощью только арифметических операций. Можно выделить три типа утверждений PL : A = a, где a - прагматическое число; A = B, где B - элементарное прагматическое слово; A = B, где B - прагматическое слово. Рассмотрим первый тип утверждений. Утверждение PL будет «истинным» в прагматическом познании, если существует прагматическое число F ( A), т.е. формула A вычисляема в рамках прагматической математики, и выполняется равенство F ( A) =a. Если утверждение PL является «истинным», то и утверждение TL является «ис-тинным», ибо Теперь перейдем к утверждениям второго типа и рассмотрим утверждение L = ( PL, TL ), где утверждение PL : A = B, где B - элементарное прагматическое слово, а утверждение TL : A = ( A) = ( B ) = B. Утверждение PL является «истинным» в прагматическом позна-нии, если A и B вычисляемы, т.е. F ( A) и F (B ) являются прагматическими числами, и F ( A) =F ( B). Но тогда и утверждение TL является «истинным» в теоретической математи-ке, ибо Предположим, что A или B невычисляемы. Тогда утверждения PL и TL не могут быть «истинными». Однако эти утверждения могут быть «истинными» по соглашению, если в процессе -вычисления можно получить: F ( A) = F ( B ). Тогда Таким образом, мы опять встречаемся как с «абсолютно истинными» утверждениями, так и с «относительно истинными».

Случай, когда A = B, где B - прагматическое слово, рассматривается аналогично.

Анализ истинности утверждений, связанных с обобщенными прагматическими словами, прагматическими функциями и прагматическими алгоритмами, также происходит подобным образом.

Этот параграф мы закончим обсуждением логики прагматической математики.

Любое рассуждение, допустимое в этой логике, состоит из последовательности элементарных рассуждений. Элементарные рассуждения бывают двух типов. Элементарное рассуждение первого типа заключается в переходе от пары ( A, A)) к паре ( A1, ( A1 )), где A, A1 - прагматические слова или числа, Этот переход состоит в замене элементарного прагматического слова B, встречающегося в формуле A на такое прагматическое число b, для которого утверждение F ( B ) =b или утверждение F ( B ) = b истинно. По своему содержанию, элементарное рассуждение первого типа означает проведение вычисления на основе арифметических прагматических операций.

Элементарное рассуждение второго типа заключается в переходе от пары ( 1 ( A), A) к паре ( 1 ( A1 ), A1 ), где A, A1 - теоретико-математические формулы или математические числа. Этот переход состоит в преобразовании математической формулы A в формулу A на основании аксиом с последующим применением канонического соответствия.

Из приведенных определений видно, что любое рассуждение в рамках прагматической математики есть последовательность, состоящая из набора вычислений и преобразований математических формул. Другими словами, любое рассуждение в рамках прагматической математики можно представить в виде прагматического алгоритма.

8.4. Прагматическая математика и моделирование.

В силу того, что прагматическая математика оперирует как именованными прагматическими числами, так и неименованными, то ее, по существу, можно разделить на две части. Одну часть составляют решение задач в терминах именованных чисел, а другую часть – решение задач в терминах неименованных чисел. Количественные задачи, решаемые в терминах именованных чисел, обычно относятся к исследованию реальных объектов, с которым мы встречаемся в экспериментальной физике, а задачи, решаемые в неименованных числах, относятся, в основном, к вычислительной математике. В этом параграфе мы основное внимание будем уделять только обсуждению решения количественных задач вне зависимости от того, принадлежат они экспериметральной физике или вычислительной математике, а также без всякой связи с различными теориями.

Здесь нас будет интересовать сам процесс вычисления конкретных формул без всякой связи с тем, каким путем они были получены.

Все количественные задачи, связанные с исследованием реальных объектов, можно грубо разделить на две группы. В первую группу входят задачи, в которых требуется найти конкретное значение формулы (прагматического слова) при конкретных значениях, входящих в нее переменных. Задачи, входящие в первую группу, в частности, возникают при количественной проверке соответствия теории экспериментальным данным. Отметим также, что аналогичные задачи возникают и в вычислительной математике, когда требуется найти численное значение функции при определенном значении аргумента.

Такие задачи всегда возникают, например, при табулировании математических функций.

Во вторую группу входят количественные задачи по определению численных значений параметров формулы на основе конкретных значений переменных формулы. Задачи этого типа обычно возникают при установлении количественных экспериментальных законов или закономерностей в различных областях знаний. Кроме того, к этой группе мы отнесем такие задачи, как численное решение отдельных прагматических уравнений различного вида или систем из них.

Рассмотрим решение задач, относящихся к первой группе задач, с точки зрения теории моделирования. Целью решения задачи, относящейся к первой группе, в рамках экспериментальной физики является сравнить результаты расчетов, произведенных на основе формулы (формул), и результатами измерений степеней обладания свойствами реальных объектов, полученных в результате эксперимента. Таким образом, это цель разбивается на две подцели: первая подцель – это получение результатов расчетов, т.е.

проведения процесса вычислений, а вторая подцель – это сравнение результатов расчетов с результатами измерений.

Процесс сравнения результатов вычислений с результатами наблюдений в значительной степени основывается на субъективном факторе, хотя методы математической статистике позволяют часто в значительной степени облегчить принятие решение в этом случае. Для достижения этой подцели рассмотрение достижение цели с позиций процесса моделирования может оказать незначительную помощь. Поэтому мы в этом параграфе не будем уделять внимание этому аспекту, а сосредоточимся только на процессе проведения прагматических вычислений, который и будем рассматривать как процесс моделирования. В этом случае глобальная цель моделирования совпадает с первой подцелью.

Не уменьшая общности, мы будем рассматривать только тот случай, когда надо рассчитать только одно число, ибо случай расчета нескольких чисел распадается на ряд этапов, в каждом из которых рассчитывается только одно число.

Таким образом, глобальный критерий моделирования заключается в нахождении одного числа, которое является результатом вычисления формулы после подстановки в нее конкретных числовых значений входящих в нее переменных. Однако и в этом случае не понятно, как сформулировать глобальный критерий решения задачи. Эту трудность можно проиллюстрировать следующей ситуацией. Например, два человека решают одну и ту же задачу и получают два различных результата, т.е. два различных числа. Возникает проблема выбора того из полученных чисел, которое будет принято за решение задачи.

Если известно, что поставленная задача имеет единственное решение, то в этом случае можно утверждать, что один из двух вычислителей допустил ошибку, которая исправляется при проверке процесса решения. Тогда в этом случае в качестве глобального критерия можно взять «правильное выполнение процесса вычисления». Здесь мы сталкиваемся с глобальным критерием, основанным на анализе пути решения задачи.

Критерий такого рода мы назовем критерием первого рода. Этот критерий напоминает критерии, которые мы уже встречали в теоретической математике, где решение задачи заключалось в проведении дедуктивного доказательства утверждения. Описанная ситуация возникает, например, тогда, когда в формуле не встречается операция деления.

Если же среди арифметических операций, которые участвуют в формуле, встречается операция деления, то процесс вычисления формулы может не выполняться, и есть необходимость в применении процесса - вычисления. Но тогда имеются две возможности. Первая ситуация заключается в том, что возможно математически так преобразовать первоначальную формулу, что преобразованная прагматическая формула уже будет однозначно вычисляемой. В этом случае назовем первоначальную формулу, вычисляемой с помощью преобразования. В качестве примера такой вычислимой формулы приведем следующую прагматическую формулу: c(d (1,3),1 ). Эта формула в таком виде в рамках прагматической математики невычислима, ибо результат d (1,3) не является прагматическим числом. С другой стороны, этой формуле мы можем сопоставить следующую прагматическую формулу:

Здесь мы заменили одну прагматическую формулу другой прагматической формулой, причем, во-первых, эти прагматические формулы канонически соответствуют равным математическим формулам, а во-вторых, вторая прагматическая формула вычислима.

Вторая ситуация состоит в том, что заданную формулу нельзя преобразовать в однозначно вычисляемую формулу. За такой формулой мы сохраним название «невычислимой формулы».

Сразу отметим, что в случае вычисляемой с помощью преобразования формулы глобальный критерий решения задачи заключается «в правильном проведении процесса преобразования с последующим правильном проведением процесса вычислений», ибо в этом случае в качестве решения задачи можно взять то единственное число, которое получается в результате вычисления преобразованной формулы.

Глобальный критерий для задачи, в которой вычисляется конкретное числовое значение невычислимой формулы, трудно задать в общем виде. В этом случае глобальный критерий, по своей сути, используется для выбора одного числового значения из множества возможных значений. Его формулировка зависит от строения формулы, а также от содержательной постановки задачи. Заметим, что в этом случае при выборе критерия значительную роль играет субъективный фактор.

При рассмотрении решения задач из первой группы мы встречаемся с двумя типами Однотекстовое моделирование связано только с решеним задач, в которых используются вычисляемые формулы. В этом случае модель представляет собой формальную запись с помощью математических символов методики решения массовой задачи, т.е. класса задач, отличающихся друг от друга только различными конкретными значениями параметров.

Эта ситуация является характерной для прематематики. Важно отметить, что эта модель не является математической, ибо числа и операции, которые встречаются при решении, являются прематематическими числами и операциями. В этом случае глобальный критерий совпадает с частным критерием моделирования. Исследование модели, т.е. сам процесс вычисления, заключается в выполнении методики вычисления, представленной формулой, и в получении результата вычисления. Процесс заканчивается проверкой выполнения глобального критерия на основе полученного результата.

При решении остальных типов задач из этой группы используются двутекстовые глобальные модели. Решение задач, в которых используются формулы, вычисляемые с помощью преобразований, связано с одновременным использованием двух моделей: одна модель является прагматической, а другая – математической. Глобальному критерию соответствует два частных критерия, связанных с соответствующей моделью. Один критерий, связанный с прагматической моделью, совпадает по своей формулировке с глобальным критерием. Другой критерий заключается в том, что преобразование математической формулы, канонически соответствующей прагматической формуле, происходит на основании аксиом теории математический чисел. Сам процесс моделирования протекает в три этапа. На первом этапе с помощью канонического соответствия осуществляется переход от прагматической формулы к математической формуле. На втором этапе математическая формула преобразуется на основе аксиом теории чисел, а затем с помощью канонического соответствия осуществляется переход от математической формулы к прагматической. И, наконец, осуществляется вычисление новой прагматической формулы (третий этап). Затем следует проверка полученного результата с точки зрения глобального критерия.

Перейдем к рассмотрению задач из первой группы, в которых требуется вычислить значение невычислимой формулы. В этом случае необходимо перейти от процесса вычисления значения формулы к процессу -вычисления той же формулы, что в свою очередь требует использования двутекстовой модели. Глобальному критерию соответствует два частных критерия: один частный критерий связан с прагматической моделью, а другой – с математической. В общем случае трудно сформулировать оба частных критерия, ибо здесь мы также встречаем те же трудности, о которых говорили при формулировании глобального критерия. Выбор частных критериев существенно зависит от сложности и строения невычисляемой формулы. Так как модели имеют разную природу, то и частные критерии могут существенно отличаться друг от друга, то и критерии, по своей сути, отличаются друг от друга. Поэтому особую важность приобретает согласование между собой частных критериев. В наиболее простых случаях связь между этими критериями устанавливается с помощью канонического соответствия между прагматическими и математическими объектами.

Как мы уже отмечали выше, процесс -вычисления прагматической формулы использует математическую формулу, канонически соответсвующую заданной формуле.

Таким образом, исследуемая глобальная модель состоит из двух моделей, одна из которых прагматическая модель, а другая – математическая. Процесс исследования глобальной модели (проведение процесса -вычисления) осуществляется в конечное число этапов. На первом этапе вычисляются все элементарные прагматические слова. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не останется ни одного элементарного слова, который может быть вычислен. Тогда с помощью канонического соответствия переходим к соответствующей математической формуле. На этом этапе возможны два случая. В первом случае мы приходим к формуле, вычисляемой с помощью преобразования. Тогда мы осуществляем процесс вычисления, описанный выше. Во втором случае мы приходим вновь к невычисляемой формуле. Осуществляем -деление, а затем с помощью канонического соответствия переходим к прагматической формуле и повторяем первый этап и, если это необходимо, то и следующий этап. Так как глобальная модель представляет собой суперпозицию конечного числа элементарных прагматических слов, то описанный выше процесс оборвется через конечное число этапов.

К проведению процесса - вычисления сделаем следующее замечание: при каждом - вычислении элементарного слова можно выбирать различные значения. Даже в случае, если используется одно и то же значение, результат - вычисления представляет собой множество различных прагматических чисел, которые могут существенно отличаться один от другого. Поэтому проблема выбора результата процесса - вычисления в этом случае существенно зависит от выбора частных критериев моделирования, ибо при разных частных критериях решения задачи, выбранные на их основании, могут существенно отличаться. Поэтому можно, в качестве вспомогательного средства, воспользоваться сравнениями с реальными измерениями.

Аналогично рассматриваются задачи из первой группы, в формулировках которых встречаются обобщенные прагматические слова, прагматические функции и прагматические алгоритмы.

Теперь обратимся к вычислению формул, которые возникают в теоретической математике. Здесь в отличие от предыдущего рассмотрения, основную роль играет математическая формула, с которой и начинается весь процесс вычисления. Ясно, что для того, чтобы математическая формула была вычислимой необходимо, чтобы она канонически соответствовала некоторой прагматической формуле. Это утверждение вытекает из двух фактов, которые уже неоднократно упоминались выше. Во-первых, в рамках теоретической математики нельзя проводить вычисления формул, а можно только доказать, что данная формула численно равна некоторому числу. Доказываемое равенство рассматривается как гипотеза. Во-вторых, вычислять можно только прагматические формулы, т.е. любые вычисления проводятся только в рамках прагматической математики.

Если для математической формулы существует канонически соответствующая ей прагматическая формула, то эта формула представляет собой набор переменных или чисел, соединенных между собой арифметическими операциями, порядок выполнения которых регулируется с помощью скобок.

Пусть нам дана математическая формула, которую требуется вычислить. В этом случае процесс вычисления происходит с помощью прагматической формулы, канонически соответствующей данной. Сам процесс вычисления прагматической формулы был уже описан выше. Так как в результате вычисления прагматической формулы получается прагматическое число, то математическое число, канонически соответствующее этому прагматическому числу, и принимается в качестве результата вычисления математической формулы.

Теперь перейдем к рассмотрению второй группы прагматических математических задач. Если среди задач из первой группы нередко можно встретить задачи, подобные прематематическим задачам, то для задач из второй группы нельзя найти прематематических аналогов. В этой группе мы выделим два типа задач: во-первых, задачи на поиск конкретных числовых значений параметров прагматической функции на основе заданного множества реальных измерений; во-вторых, численное решение отдельного прагматического уравнения или системы прагматических уравнений.

Наше рассмотрение мы начнем с задач второго типа. Пусть нам дано прагматическое где f - прагматическая функция, x - прагматическая переменная, и требуется найти численные значения корней этого уравнения. Так как в представлении прагматической функции участвуют только арифметические действия, то она представляет собой конечный набор полиномов одного переменного, соединенных с помощью арифметических операций. Функции f канонически соответствует математическая функция f, которую с помощью тождественных преобразований привести к виду R ( x ), Q ( x ) - полиномы от x. Без ограничения общности, можно считать, что где R ( x ), Q ( x ) не имеют общих делителей. Тогда любой корень уравнения (5) является корнем уравнения С точки зрения вычисления корней уравнения (5), можно для этой цели заменить уравнение (5) уравнением которое получается из уравнения (6) с помощью канонического соответствия.

Рассмотрим решение прагматического уравнения (7) с точки зрения процесса моделирования. Глобальная цель этого процесса – найти прагматическое число, которое является корнем прагматического уравнения. Глобальный критерий в этом случае имеет очень простую форму R( a ) =0, если a результат решения задачи. Так процесс решения задачи операется на процесс решения соответствующего математического уравнения, то для решения прагматического уравнения используется двутекстовая модель, состоящая из двух частных моделей: прагматической и математической. Частный критерий прагматической модели совпадает с глобальным критерием моделирования, а частный критерий математической модели есть математическое утверждение, канонически соответствующее прагматическому частному критерию.

Сделаем несколько общих замечаний относительно критериев, с которыми мы встретились при решении уравнений. Они принципиально отличаются от критериев, рассмотренных выше. Выше мы сталкивались с критериями первого рода, которые были основаны на анализе самого процесса моделирования. Новые критерии основаны на анализе результатов процесса моделирования, а не на анализе самого процесса моделирования. Другими словами, новые критерии никак не связаны с самим процессом моделирования и не зависят от него. Эти критерии будем называть критериями второго рода. Легко видеть, что критерии второго рода более конструктивные и эффективные, нежели критерии первого рода, ибо они однозначно дают ответ, являются ли полученные (или предложенные) значения решением уравнения или нет.

Процесс исследования прагматической модели, т.е. количественного решения прагматического уравнения, неразрывно связан с процессом исследования соответствующего математического уравнения. Это объясняется тем, что в рамках прагматической математики нет никакой возможности обоснованно отобрать конечное число прагматических чисел для проверки с надеждой, что среди них есть корень прагматического уравнения. Переход к теоретической математической модели дает, вопервых, математический алгоритм нахождения корней математического уравнения, а, вовторых, математическое доказательство, что выполнения алгоритма приводит к решению уравнения.

Как уже говорилось в параграфе 6.1, среди математических алгоритмов можно выделить два типа алгоритмов: конструктивные и неконструктивные. Все алгоритмы, целью которых является получение набора конкретных чисел, относятся к конструктивным алгоритмам. Так как в рамках прагматической математики мы имеем дело только с конструктивными алгоритмами, то нас в дальнейшем будет интересовать только математические конструктивные алгоритмы.

Конструктивный алгоритм, целью которого является получение отдельного конкретного числа или набора конкретных чисел, состоит из конечного набора связанных между собой логическими переходами этапов (шагов), каждый из которых представляет собой некий процесс, заключающийся в вычислении значения некоторой математической формулы. Но так как любое конкретное вычисление происходит в рамках прагматической математики, то для проведения самого процесса вычислений необходимо перейти от математической формулы к прагматической формуле с помощью канонического соответствия. Отсюда вытекает, что каждому математическому алгоритму можно поставить в соответствие с помощью канонического соответствия прагматический алгоритм. Таким образом, мы имеем дело с парой ( 1 (, где - математический алгоритм, - каноническое соответствие, ( - прагматический алгоритм.

Математический алгоритм характеризуется тем, что существует математическое доказательство того факта, что с помощью этого алгоритма можно решить поставленную задачу. Именно наличие такого доказательства и дает основу для использования алгоритма для решения конкретной задачи. Однако необходимо иметь виду, что доказательство сходимости алгоритма было проведено над полем действительных или комплексных (математических) чисел, а это означает, что корнями уравнения являются действительные или комплексные числа. В общем случае эти корни не являются реальными математическими числами, что сразу приводит к выводу, утверждающему об отсутствии прагматических корней у прагматического уравнения. Это означает, что прагматический алгоритм, в отличие от математического алгоритма, не дает решения уравнения, т.е. не удовлетворяет глобальному критерию.

Математики обычно в этом случае удовлетворяются неким «приближенным значением» корня уравнения. Понятие «приближенного значения» корня уравнения имеет смысл только в рамках теоретической математики, ибо только там было доказано существование корня рассматриваемого уравнения. В этом случае математическое число, удовлетворяющее определенным условиям, объявляется приближенным значением корня уравнения. В теоретической математике эти условия часто задаются с помощью критерия одного из двух типов:

где x - корень математического уравнения f ( x) = 0, x 0 - математическое число, заданное число; или где x 0 - математическое число, - заданное число. Если число x 0 удовлетворяет критерию (8) или (9), то его называют приближенным решением уравнения или приближенным значением корня этого уравнения.

Вернемся к прагматическому уравнению R( x) =0 и предположим, что это уравнение не имеет решения, т.е. не существует ни одного прагматического числа, которое является корнем рассматриваемого уравнения. Перед нами возможны три дороги.

Один путь состоит в замене уравнения R( x) =0 на уравнение R ( x) =, где - некое прагматическое число, и в поиске прагматических корней нового уравнения. Основной недостаток этого пути заключается в том, что крайне трудно apriori выбрать такое достаточно малое, для которого уже существует прагматическое решение. Поэтому этот путь практически не используется.

Второй путь заключается в том, что вместо прагматического уравнения рассматриваем канонически соответствующее ему математическое уравнение. С помощью конструктивного алгоритма находим решение математического уравнения. Затем находим такое реально существующее математическое число x 0, которое удовлетворяет (8). Этому числу канонически соответствует прагматическое число x 0 = ( x 0 ), которое и объявляется решением прагматического уравнения. И этот подход имеет существенный недостаток, заключающийся в том, что возможна ситуация, когда R ( x ) N, где N достаточно большое число. Эта ситуация плохо согласуется со здравым смыслом.

Согласно третьему пути, заменяем глобальный критерий R ( x 0 ) = 0 глобальным критерием R( x ) и ищем такое x0, которое удовлетворяет новому глобальному критерию. Для решения этой новой задачи также необходимо обратиться к математическому уравнению, канонически соответствующему прагматическому уравнению, и найти такой конструктивный математический алгоритм, с помощью которого можно найти реально существующее математическое число удовлетворяющее глобальному критерию и является решением задачи в исправленной формулировке. Этот путь уже не обладает недостатками других, рассмотренных ранее путей. Интересно отметить, что на этом пути глобальный критерий решения задачи совпадает с частным критерием, относящимся к прагматической модели, а частный критерий, относящийся к математической модели, канонически соответствует этому частному критерию.

Теперь рассмотрим решение системы линейных прагматических уравнений с точки зрения моделирования. Пусть нам дана система линейных прагматических уравнений:

где X =( x1, x 2,..., x n ) - вектор прагматических переменных, B =(b1, b2,..., bn ) - вектор прагматических чисел, A - квадратная матрица n n, состоящая также из прагматических чисел. Задача состоит в нахождении такого вектора из прагматических чисел C =(c1, c 2,..., c n ), для которого выполняется равенство C A = B. Из формулировки задачи автоматически вытекает формулировка глобального критерия моделирования:

C A =B.

Решение поставленной задачи возможно только при использовании методов из теоретической математики. Таким образом, мы опять имеем дело с использованием двутекстовой модели, состоящей из двух моделей: прагматической и математической.

Прагматическая модель представляет собой (10), а математическая модель получается из (10) с помощью канонического соответствия:

где ( X ) = X, ( A) = A, ( B ) = B. Глобальному критерию отвечает два частных критериев, из которых частный критерий, отвечающий прагматической модели, совпадает с глобальным критерием, а второй частный критерий получается из первого с помощью канонического соответствия.

Для решения системы (3) мы переходим к поиску решения математической системы уравнений Для таких систем существует конструктивный алгоритм, в процессе выполнения которого получается, прежде всего, положительный или отрицательный ответ о разрешимости системы (11). Одновременно, в случае разрешимости (11), выясняется вопрос о количестве решений этой системы.

Если система (11) не имеет решения, то и система (10) также является неразрешимой.

Предположим, что система (11) имеет единственное решение C = (c1, c 2,..., c n ). Это решение является математическим решением, ибо в процессе выполнения алгоритма мы вынуждены обязательно использовать деление двух прагматических или математических чисел. Из этого утверждения следует, что в общем случае поставленная задача, т.е. система (10), неразрешима в прагматических числах, ибо не существует вектор прагматических чисел C =(c1, c 2,..., c n ), который удовлетворял глобальному критерию. Другими словами, в поставленной формулировке задача в общем случае неразрешима. Поэтому на практике вместо «точного решения» системы (10) ищется «приближенное решение».

Понятие «приближенного рещения» системы (10) не является однозначно определенным понятием. В современной практике принято несколько подходов к этому понятию. Рассмотрим некоторые из этих подходов.

Первый подход заключается в том, что с помощью конкретного алгоритма решается система (11), кононически соответствующая системе (10). Этому математическому алгоритму соответствует прагматический алгоритм, с помощью которого решается система (10), используя систему (11). Полученный результат, который обозначим через C1 =(c11, c12,..., c1n ), объявляется решением системы (10). Этот результат, во-первых, не является «точным решением», т.е.

Во-вторых, решение C1 не является единственным возможным результатом прагматического алгоритма. Это утверждение объясняется тем, что в процессе выполнения приходится использовать вместо однозначной операции деления операцию - деления, которая является многозначной. В-третьих, числа d i в общем случае не ограничены сверху, что является одним из основных недостатков этого подхода. Подобная ситуация возникает, напрмер, когда определитель матрицы A достаточно близок к нулю. Несмотря на этот недостаток, подход часто используется на практике, ибо он просто осуществляется.

Глобальным критерием в этом случае является исполнение конкретного математического алгоритма, относительно которого существует математическое доказательство того, что с помощью этого алгоритма можно математически решить систему (11). Как видно из сказанного, частный критерий математической модели совпадает с глобальным критерием. Другой частный критерий заключается в исполнении прагматического алгоритма, канонически соответствующего математическому алгоритму.

Теперь выберем другой конкретный математический алгоритм и с помощью его решим систему (11). Одновременно, с помощью прагматического алгоритма, канонически соответствующему выбранному алгоритму, решим систему (10), используя систему (11).

Полученный результат C 2 = (c 21, c 22,..., c 2 n ), аналогично описанному выше, объявляется решением системы (10). В общем случае, нет никакой теоретической и практической возможности сказать что-либо конкретное относительно разности двух решений, т.е.

относительно вектора Это означает, что два решения одной и той же системы уравнений могут существенно отличаться друг от друга, что создает неопределенность, какое решение выбрать в качестве решения задачи.

Второй подход является более сложным. Он заключается в том, что на вектор D из (12) накладываются различные условия. Например, в качестве глобального критерия можно взять следующее требование: вектор C =(c1, c 2,..., c n ) будет принят за решение системы (10), если выполняется неравенство где C A B = D = ( d1, d 2,..., d n ), - заданное положительное число. В этом случае прагматический частный критерий будет совпадать с глобальным критерием, а математический частный критерий канонически соответствует прагматическому критерию.

Найти решение поставленной задачи (10) можно с помощью одновременного использования математической модели (11). В теоретической математике доказывается, что решение системы (11) можно выразить с помощью формул Крамера:

где X = ( x1,..., x k,..., x n ) - вектор неизвестных, det A - определитель матрицы A, det Ak - определитель матрицы Ak, которая получается из матрицы A заменой k -того столбца этой матрицы на столбец, состоящий из b1, b2,..., bn. Этот алгоритм решения систем линей-ных уравнений обладает рядом особенностей, которых нет у других алгоритмов. Процесс вычисления определителей det A, det Ak, где элементы матриц A, Ak являются прагматическими числами, выполняется однозначно, ибо в его осуществлении используются арифметические операции, среди которых нет деления.

Другими словами, результат вычисления каждой из формул (14) является деление двух прагматических чисел, которое встречается в алгоритме только в одном месте. Поэтому по любому можно подобрать такие прагматические числа в качестве составляющих вектора C, что выполняется (13).

В любых других известных алгоритмах операция деления встречается в разных местах, что приводит к неоднозначности решения системы (10), которую очень трудно простым способом «втиснуть в рамки» ограничения (13). Однако на практике формулы Крамера редко применяются для решения конкретных систем уравнений, разве только в учебных целях.

Мы рассмотрели два типа прагматических задач, которые посвящены решению или уравнений, или систем уравнений. Все остальные прагматические задачи являются более сложными задачами, алгоритмы решения которых сводятся к алгоритмам решения рассмотренных выше задач.

Перейдем к рассмотрению задач первого типа из второй группы задач. В этих задачах необходимо на основе наблюдений (измерений) найти прагматическую регулярность, которая представляет собой прагматическую функцию. Подобные задачи составляют основу экспериментальной физики, и их целью является установление экспериментальных физических законов. В настоящее время подобные задачи встречаются не только в физике, но и в экономических, социальных, биологических и в других науках.

Прежде всего, необходимо уточнить содержательный смысл рассматриваемых задач.

Другими словами, уточним, что понимается под словами «найти экспериментальную зависимость на основе наблюдений». Пусть нам дано множество M = {x1, x 2,..., x n } количественных наблюдений или измерений. Каждое конкретное измерение xi рассматривается как значение некоторой функции f (t1, t 2,..., t m ) при конкретных значениях набора параметров t ij, т.е. xi = f (t i1, t i 2,..., t im ).

Математическая форма функции f (t1, t 2,..., t m ) не известна. Поэтому задача состоит в поиске прагматической t1, t 2,..., t m ) функции известной формы, которая в определенном смысле «близка» к функции f (t1, t 2,..., t m ). «Близость» между функциями и f определяется с помощью сравнения между наблюдениями xi = f (t i1, t i 2,..., t im ) и значениями функции y i =(t i1, t i 2,..., t im ).

Функция t1, t 2,..., t m ) выбирается из некоторого класса функций, которые отличаются друг от друга конкретными значениями параметров функций. Но тогда любую функцию можно в общем виде представить следующим образом:

После введенных обозначений поставленную выше задачу можно переформулировать следующим образом: найти конкретные значения 0i параметров i функции «близки» в достаточной степени. Понятие «близости» можно формализовать, положив, например, x y или неравенства и им подобные будем называть критериями близости. Часто применяется Выбранный тот или иной критерий близости является глобальным критерием моделирования.

Теперь мы можем сформулировать поставленную задачу формально:

(,,...,, t1, t 2,..., t m ), чтобы выполнялся выбранный критерий близости, который рассматривается и как глобальный критерий моделирования. Для конкретизации дальнейших рассуждений возьмем в качестве критерия близости следующее требование:

найти конкретные значения 0i параметров i функции,,...,, t1, t 2,..., t m ), достигало своего минимума при этих значениях параметров. Сформулированная выше задача является наиболее распространенной задачей не только в экспериментальной физике, но и вообще в экспериментальных науках, занимающихся поиском математических закономерностей.

Для решения поставленной задачи необходим конструктивный алгоритм, который можно найти только с помощью теоретической математики. Поэтому и в этом случае мы должны использовать двутекстовую модель, состоящую из прагматической модели и канонически соответствующей ей математической модели. В этом случае глобальному критерию соответствуют два частных критерия, которые по формулировке совпадают друг с другом. Однако один критерий задан над множеством прагматических чисел, а другой – над множеством математических чисел. Это отличие носит принципиальный характер и сказывается и на самом процессе решения поставленной задачи.

Критерий (15) и соответствующие ему частные критерии по своей сущности отличаются от всех других критериев, с которыми мы имели дело до сих пор. Критерии, которые мы ранее рассматривали (см., напрмер, (8), (9), (13)), представляют собой четко зафиксированные неравенства. Если прагматическое число удовлетворяет прагматическому критерию этого вида, то математическое число, канонически соответсвующее прагматическому числу, удовлетворяет математическому критерию. В рассматриваемом случае ситуация существенно другая. Критерии такого типа называются оптимальными.

Оптимальные критерии не свойствены прагматической математике. Более того, при решении задач с участием таких критериев мы сталкиваемся с рядом «подводных камней», которые приводят к возникновению принципиальных вопросов, которые остаются без ответа.

Во-первых, при формулировании оптимального критерия сразу возникает вопрос о существовании таких значений параметров искомой функции, при которых достигается оптимальное значение критерия. На этот вопрос можно ответить только в рамках теоретической математики. Причем этот ответ состоит из двух частей. Одна часть состоит из доказательства существования такого набора значений параметров функций, на котором достигается искомый оптимум, а другая часть – из построения конструктивного алгоритма, с помощью которого находится искомый набор значений параметров функции. Так как любое математическое доказательство проводится в рамках теоретической математики, то искомое доказательство утверждает, что, если искомый набор чисел существует, то он состоит из математических чисел. Так как реально существуюцих математических чисел, т.е. тех чисел, которые можно представить в виде слова из конечного числа цифр в любой позиционной системе записи чисел, значительно меньше, чем тех, которые не являются реально существующими, то теоретическое решение задачи с большой вероятностью не состоит полностью из реально существующих чисел. Поэтому можно рассматривать теоретическое решение как только «гипотетически» существующее.

Во-вторых, построение конструктивного алгоритма заключается в описании последовательности определенных действий, которые относятся к прагматической математике и направлены на вычисление значений определенных формул, а также в доказательстве, что описанный алгоритм приводит к искомому результату. Здесь мы сталкиваемся с первым «подводным камнем», который заключается в том, что при конкретной реализации алгоритма мы оперируем с прагматическими числами, хотя доказано, что решение задачи состоит из математических чисел. Но, если алгоритм состоял из достаточно большого числа умножений или содержал значительное число делений чисел, то его практически невозможно было осуществить без округления промежуточных результатов. Поэтому конкретная реализация конструктивного алгоритма существенно отличается от его теоретического описания из-за использования округления промежуточных результатов, влияние которых нет никакой возможности оценить теоретическим путем. Другими словами, при конкретном осуществлении конструктивного алгоритма вычисления выходят за рамки не только теоретической математики, но и прагматической математики.

В-третьих, существование оптимума (если он существует) доказывается в рамках теоретической математики, а конкретное решение ищется в виде прагматических чисел, то роль полученного математического доказательства сводится, по-существу, только к психологическому эффекту, ибо нет никакой уверенности в том, что на множестве прагматических чисел критерий достигает своего оптимума.

Реально на практике для нахождения значений параметров функций используется небольшое число оптимальных критериев, из которых критерий (15) является наиболее распространенным. В теоретической математике для определенных классов функций (математическая функция канонически соответствует прагматической функции ) доказывается, что существует такой набор математических чисел, что выражение (15) достигает на этом наборе своего минимума. Конструктивным алгоритмом решения поставленной задачи является так называемый метод наименьших квадратов.

Те случаи решения прагматических задач, которые мы разобрали в этом параграфе, являются составной частью решения большинства задач, которые встречаются в практике, в частности, в экспериментальной физике или вычислительной математике. Например, конкретное выполнение метода наименьших квадратов сводится к решению определенной системы линейных уравнений. Ниже, в следующем параграфе мы продолжим обсуждение решения вычислительных задач, но уже не со стороны прагматической математики, а с точки зрения теоретической вычислительной математики.

Из нашего дивиза «Цель расчетов – не числа, а понимание», следует, что человек, который должен достигнуть этого понимания, обязан знать, как происходит вычисление. Если он не понимает, что делается, то очень мало вероятно, чтобы он извлек из вычислений что-нибудь ценное. Он видит голые цифры, но не их истинное значение, которое может оказаться скрытым в вычислениях.

Как бы тривиально и очевидно это не звучало, повторим еще раз: важно понимать, что вы хотите знать.

8.5. Вычислительная и прагматическая математики.

В предыдущем параграфе основное внимание было обращено на изучение связей прагматических объектов с математическими объектами с помощью канонического соответствия. Как было показано, каждому прагматическому объекту канонически соответствует математический объект. Обратное утверждение неверно, т.е. существуют математические объекты, которым невозможно канонически сопоставить прагматический объект.

Европейская теоретическая математика была создана, прежде всего, с прикладной целью – описывать естественные явления. До начала XIX века теоретическая математика была, в основном, прикладной наукой. Но каждое применение теоретической математики приводило к проблемам решения вычислительных задач. Это привело к возникновению и развитию так называемой теоретической вычислительной математики.

Основными задачами вычислительной математики являются поиски вычислительных алгоритмов для различных классов задач и доказательств того, что эти алгоритмы приводят к желаемому результату. Любой вычислительный алгоритм, позволяющий численно решить определенную математическую задачу, сводит решение задачи к вычислению конечного набора прагматических формул. Таким образом, любой вычислительный алгоритм устанавливает связь между математическим объектом и прагматическим.

Рассмотрим процесс численного решения вычислительной задачи из теоретической математики как процесс моделирования. К подобным задачам относятся, в частности, вычисление значений функций, решение уравнений различного рода (алгебраических, дифференциальных, интегральных и других) и т.п. Так как решение вычислительной задачи является целенаправленным процессом, то формулировка этой задачи включает в себя автоматически и формулировку цели этого процесса. Формулировка цели, например, типа «вычислить значение функции» или «численно решить уравнение определенного типа», является достаточно общей и нуждается в конкретизации. Общность формулировки цели заключается, в основном, в словах «численно решить» или «вычислить». Любая конкретизация формулировки цели встречается с большими методологическими трудностями, связанными с тем, что задача и объекты исследования в ней относятся к теоретической математики, а результаты ее решения являются объектами прагматической математики. Напомним, что теоретическая математика манипулирует математическими числами, в то время как прагматическая математика – прагматическими числами, которым канонически соответствуют реально существующие математические числа.

Конкретизация цели решения задачи должна привести к формулировке глобального критерия моделирования, на основании которого определяется, достигнута или не достигнута цель моделирования, т.е. можно ли рассматривать полученный результат как решение поставленной задачи. Выбор глобального критерия представляет собой достаточно сложную задачу, ибо он должен одновременно учитывать специфические черты теоретической и прагматической математик. Поэтому формулировка глобального критерия обычно меняется в процессе моделирования. Более того, часто этот критерий стараются «приспособить» к уже найденному результату. Выше, в предыдущем параграфе, мы уже сталкивались с подобной ситуацией, например, когда заменяли процесс вычисления формулы на процесс ее - вычисления.

Сам процесс решения вычислительной задачи распадается на два принципиальных в общем случае взаимосвязанных этапа.

Первый этап состоит в свою очередь из трех шагов, которые выполняются в рамках теоретической математики, ибо включают в себя доказательство необходимых математических утверждений. Модель, которая используется на этом этапе, является однотекстовой. Исследование модели заключается в выполнении первых двух шагов в следующей последовательности. Сначала ищется конструктивный алгоритм решения задачи. Если алгоритм не удается найти, то решение задачи прекращается. В том случае, когда алгоритм найден, то переходим к следующему шагу, который заключается в поиске доказательства того, что предложенный алгоритм решает поставленную задачу. Если искомое доказательство не удается найти, то возвращаемся к первому шагу и ищем другой алгоритм. В случае, когда новый алгоритм найден, переходим к поиску его доказательства.

Этот процесс заканчивается или признанием неудачи, или найденным алгоритм, относительно которого доказано, что выполнение его приводит к нужному результату.

Найденный конструктивный алгоритм можно разделить на две части. Первую часть алгоритма, которую назовем теоретическим вспомогательным алгоритмом. Эта часть, алгоритм, заключается в том, он сводит решение задачи к процессу вычисления последовательности математических формул. Это сведение сопровождается доказательством того, что результат сведения эквивалентен поставленной задачи. Обычно это доказательство является частью общего доказательства, которое выполняется в процессе выполнения второго шага. Выполнение теоретического вспомогательного алгоритма, т.е. сведение задачи к некоторому вычислительному процессу, и есть третий шаг, который завершает первый этап решения задачи.

Вторую часть конструктивного алгоритма назовем смешанным вспомогательным алгоритмом. Он заключается в проведении процесса последовательного вычисления конечного набора математических формул. завершается на первой встреченной формуле, которую необходимо вычислить.

Второй этап решения задачи заключается в осуществлении процесса последовательного вычисления конечного набора математических формул, т.е. в выполнении смешанного вспомогательного алгоритма. Так как процесс вычисления может осуществляться только в рамках прагматической математики, то возникает необходимость в использовании двутекстовой модели. Результатом процесса вычисления, который, в целом, аналогичен процессу вычисления формул, описанному в предыдущем параграфе, является некоторый конечный набор чисел. Этот этап заканчивается принятием решения, является ли найденный набор прагматических чисел решением поставленной задачи.

В случае отрицательного ответа, т.е. полученный набор чисел не принимается за решение задачи, то процесс решения задачи продолжается, для чего возвращаются к началу второго этапа, или к началу первого этапа. Таким образом, процесс решения задачи в общем случае представляет собой последовательное повторение описанных выше этапов.

Из описания этапов видно, что на первом этапе решения задачи мы имеем дело с однотекстовой теоретико-математической моделью, а на втором этапе – с двутекстовой моделью. Кроме того, можно заключить, что первый этап носит подготовительный, вспомогательный характер, а собственно решение задачи получаем только после завершения второго этапа. Тогда глобальный критерий моделирования должен совпадать с частным критерием моделирования, относящегося к двутекстовой модели. Частный критерий моделирования для теоретико-математической модели можно в общем случае сформулировать одним и тем же образом: «доказать, что существует конструктивный критерий для решения поставленной задачи».

Значительное число конструктивных алгоритмов из теоретической математики включает в себя как составную часть или вычисление значений функций, или решение линейных уравнений, или метод наименьших квадратов. Поэтому наше дальнейшее рассмотрение ограничим рассмотрением этих случаев.

Рассмотрение процесса моделирования как последовательность выполнения жтавоа двух описанных выше типов несколько отличается от описания этапов моделирования, которое мы использовали в других главах, где процесс моделирования разбивался на более мелкие этапы. Подход в этом параграфе к описанию процесса моделирования при решении математических задач объясняется тем, что здесь для решения задач используются одновременно несколько моделей разного сорта и типа. Так как нас в рассматриваемой теме интересуют только некоторые методологические вопросы, то мы ограничимся рассмотрением процесса моделирования в более крупных блоках, описанных здесь.

Начнем с задачи вычисления значения y 0 = f ( x0 ) математической функции f ( x ) при значении аргумета x = x 0. Для простоты изложения мы будем предполагать, что функция f ( x ) является непрерывной функцией от одной переменной x, причем x является реально существующим математическим числом. Так как значение y 0 является математическим числом, которое в общем случае не является реально существующим математическим числом, то эту задачу возможно нельзя «точно» решить. В этом случае ищется реально существующее математическое число y 0, которое является «достаточно близким» к искомому математическому числу y 0. В этом случае y 0 называется приближенным значением математического числа y 0. Таким образом, первоначальная задача поиска y 0 заменяется на задачу нахождения числа y 0, которое «достаточно близко» к числу y 0.

Для того, чтобы задать глобальный критерий решения поставленной задачи, необходимо определить, прежде всего, что понимается под словами «достаточно близко».

Мы будем различать два типа глобальных критериев. Первый тип состоит из критериев, которые не зависят от выбора конструктивного алгоритма, решающего поставленную задачу. Критерии этого типа назовем абсолютными глобальными критериями. Второй тип критериев состоит из критериев, которые непосредственно связаны с конструктивным алгоритмом, решающим задачу. Эти критерии будем называть относительными глобальными критериями. Относительные критерии отличаются от абсолютных критериев, прежде всего, тем, что в них, кроме окончательных результатов вычислений используются и промежуточные результаты, которые существенно зависят от типа используемого конструктивного алгоритма. Относительные глобальные критерии являются критериями первого типа.



Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 13 |
 
Похожие работы:

«КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ Историко-астрономические исследования, вып.XXVI, с. 152-169, Москва, Наука, 2001 Е.Г. Ерошенко ИСТОРИЯ ОТЕЧЕСТВЕННЫХ МАГНИТНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ В КОСМОСЕ Введение До космической эры, начало которой было положено запуском первого советского искусственного спутника Земли (ИСЗ) 4 октября 1957 г., опыт измерения магнитных полей с подвижных платформ - самолетов, кораблей, аэростатов - существовал только в некоторых организациях и институтах. В их числе был и...»

«ГУ “ВИТЕБСКАЯ ОБЛАСТНАЯ БИБЛИОТЕКА ИМ. В.И.ЛЕНИНА” БЮЛЛЕТЕНЬ НОВЫХ ПОСТУПЛЕНИЙ (февраль 2007 г.) Витебск, 2007 ПРЕДИСЛОВИЕ Бюллетень новых поступлений информирует читателей о новых книгах, которые поступили в отделы библиотеки. Размещение материала в бюллетене – тематическое, внутри раздела – в алфавитном порядке. С правой стороны описания книги указывается ее шифр, сигл отдела библиотеки, получившего книгу и экземплярность. Расшифровка сиглов отделов библиотеки: АБ – абонемент БЕ – отдел...»

«Annotation Больше книг в Библиотеке скептика В книге (Не)совершенная случайность. Как случай управляет нашей жизнью Млодинов запросто знакомит всех желающих с теорией вероятностей, теорией случайных блужданий, научной и прикладной статистикой, историей развития этих всепроникающих теорий, а также с тем, какое значение случай, закономерность и неизбежная путаница между ними имеют в нашей повседневной жизни. Эта книга — отличный способ тряхнуть стариной и освежить в памяти кое-что из курса высшей...»

«Гастрономическая культура глобализирующегося общества - проблемы и перспективы Пища — это базовая телесно-коммуникативная практика, формирующая антропные характеристики человека и обеспечивающая ему единство связи со всей реальностью. Проблематика гастрономической культуры в целом, но особенно ее сегодняшнего состояния является одной из наименее исследованных для современного культурфилософского дискурса. Культурологические и философские исследования, касающиеся процессов, происходящих в...»

«114 mixмикс м Морской коктейль из Коста Браво Кухня создала человека — с этими словами ученого эволюциониста итальянских, французских, иберий Фаустино Кордона трудно не согласиться. А приготовить и подать ских и даже арабских кулинарных тра неповторимый пряный колорит в одной тарелке земляки знаменитых диций. Смесь, как можно подозревать, на весь мир каталонцев Сальвадора Дали и Монсеррат Кабалье могут просто взрывоопасная (в смысле ост на самом высоком уровне роты приправ и пряностей). Смеем...»

«издается с 1994 года.. ОкТЯбрь 2012 ИДЕИ СОВЕТЫ ПУТЕШЕСТВИЯ w w w. v o y a g e m a g a z i n e. r u программа-минимум Голубая кровь арт стамбула главная тема гастрономические пу тешес твия -отели на практике -кварталы -маршруты спорный момент: как быть со сварливым попу тчиком помощь юрис та: арест за границей 16+ география номера в е л и ко б р ита н и я | и з ра и л ь | ита л и я | к ита й | н и де рл а н ды | оа Э | с и н га п у р | та и л а н д | т у р ци я с л о в о р е д а к т о ра...»

«ВМЕСТО ПРЕДИСЛОВИЯ. Да, да! А сколько захватывающего сулят эксперименты в узко специальных областях! Ну, например, икота. Мой глупый земляк Солоухин зовет вас в лес соленые рыжики собирать. Да плюньте вы ему в его соленые рыжики! Давайте лучше займемся икотой, то есть, исследованием пьяной икоты в ее математическом аспекте. - Помилуйте! - кричат мне со всех сторон. - да неужели же на свете, кроме этого, нет ничего такого, что могло бы.! - Вот именно: нет! - кричу я во все стороны! - Нет...»

«МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ по проведению Заключительного этапа Всероссийской олимпиады школьников по астрономии 2012 год Разработаны Методической комиссией по астрономии Всероссийской олимпиады школьников 1. Документы, определяющие содержание заданий и ссылки на учебнометодическую литературу. 1.1. Вопросы по астрономии, рекомендуемые методической комиссией Всероссийской Олимпиады по астрономии и физике космоса для подготовки школьников к решению задач этапов Олимпиады 9 класс. 1.1. Звездное небо....»

«Тема: Методические аспекты развития одаренных учащихся в процессе обучения астрономии и физике космоса Автор опыта: Ульянова Надежда Павловна, учитель физики и астрономии, учитель физики и астрономии МОУ лицей № 9 города Белгорода. Рецензенты: Посохина Е.В., заведующая кафедрой управления образовательными системами БелРИПКППС, к.п.н.; Боруха С.Ю., начальник управления научно-исследовательских работ БелГУ, доцент кафедры педагогики, к.п.н. ИНФОРМАЦИЯ ОБ ОПЫТЕ Обновление жизнедеятельности школы в...»

«ЭЛЕКТРОННОЕ НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ ТЕХНОЛОГИИ XXI ВЕКА В ПИЩЕВОЙ, ПЕРЕРАБАТЫВАЮЩЕЙ И ЛЕГКОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ Аннотации статей № 7 (2013) Abstracts of articles № 7 (2013) СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛ 1. ТЕХНОЛОГИЯ ПИЩЕВОЙ И ПЕРЕРАБАТЫВАЮЩЕЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ Васюкова А. Т., Пучкова В. Ф. Жилина Т. С., Использование сухих 1. функциональных смесей в технологиях хлебобулочных изделий В статье раскрывается проблема низкого качества хлебобулочных изделий на современном гастрономическом рынке, предлагаются пути...»

«Р.Е.РОВИНСКИЙ Сегодня позитивное познание вещей отождествляется с изучением их развития. П.Тейяр де Шарден. РАЗВИВАЮЩАЯСЯ ВСЕЛЕННАЯ Дополненное издание. 2007 г. ОТ АВТОРА За 10 лет после выхода в Москве первого издания предлагаемой читателю книги многое изменилось в научном видении нашего Мира, в научном мировоззрении. Частично пробел в отражении произошедших изменениях устранен во втором издании, вышедшем в 2001 году в Иерусалиме. За прошедшие годы автором получены многочисленные положительные...»

«Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Национальный исследовательский университет Учебно-научный и инновационный комплекс Физические основы информационно-телекоммуникационных систем Основная образовательная программа 011800.62 Радиофизика, профили: Фундаментальная радиофизика, Электродинамика, Квантовая радиофизика и квантовая электроника, Физика колебаний и волновых процессов, Радиофизические измерения, Физическая акустика, Физика ионосферы и распространение радиоволн,...»

«О методологических проблемах космологии и квантовой гравитации А.Д. Панов, НИИЯФ МГУ. Показано, современные исследования в области космологии, квантовой космологии, квантовой гравитации и в некоторых других областях физики фактически вышли за рамки традиционной методологии, основанной на принципе наблюдаемости и принципе воспроизводимости эксперимента. Делается попытка установить новые методологические рамки, адекватные современному уровню исследований. С использованием материалов недавней...»

«ИЗВЕСТИЯ КРЫМСКОЙ АСТРОФИЗИЧЕСКОЙ ОБСЕРВАТОРИИ Изв.Крымской Астрофиз.Обс. 103, №2, 99–111 (2007) Из хроники Крымской астрофизической обсерватории Н.С. Полосухина-Чуваева НИИ “Крымская астрофизическая обсерватория”, 98409, Украина, Крым, Научный Поступила в редакцию 12 декабря 2005 г. Крымская Астрофизическая обсерватория прошла большой и нелегкий путь от любительской до одной из наиболее известных обсерваторий мира. Мы не можем сегодня не упомянуть имени любителя астрономии (почетного члена...»

«В защиту науки Бюллетень № 12 25 Дробышевский С.В., Марков А.В., Соколов А.Б. Профессор А.И. Осипов об эволюции человека 15 ошибок за 15 минут15 Не здраво рассудителен математик, ежели он хочет божескую волю вымерять циркулем. Таков же и богословия учитель, если он думает, что по псалтире научиться можно астрономии или химии. Михаил Васильевич Ломоносов В программе Академия канала Культура 26 апреля 2012 г. с лекцией Оценка теории эволюции выступил Алексей Ильич Осипов – русский богослов,...»

«Петр Вайль Александр Генис Русская кухня в изгнании Петр Вайль Александр Генис Русская кухня в изгнании издательство аст Москва УДК 821.161.1+641 ББК 84(2Рос=Рус)6+36.997 В14 Художественное оформление и макет Андрея Бондаренко Вайль, Петр; Генис, Александр Русская кухня в изгнании / Петр Вайль, Александр Генис; — Москва : В14 АСТ : CORPUS, 2013. — 224 с. ISBN 978-5-17-077817-1 (ООО “Издательство АСТ”) “Русская кухня в изгнании” — сборник очерков и эссе на гастрономические темы, написанный...»

«Краткое изложение решений, консультативных заключений и постановлений Международного Суда ПОГРАНИЧНЫЙ СПОР (БУРКИНА-ФАСО/НИГЕР) 197. Решение от 16 апреля 2013 года 16 апреля 2013 года Международный Суд вынес решение по делу, касающемуся пограничного спора (Буркина-Фасо/Нигер). Суд заседал в следующем составе: Председатель Томка; Вице-председатель Сепульведа-Амор; судьи Овада, Абраам, Кит, Беннуна, Скотников, Кансаду Триндаде, Юсуф, Гринвуд, Сюэ, Донохью, Гайя, Себутинде, Бхандари; судьи ad hoc...»

«ЖИЗНЬ СО ВКУСОМ №Щ октябрь–ноябрь 2013 18+ КУХНЯ-МЕТИС Латинская Америка — рецепты шефов и взгляд изнутри СТЕЙК Всё, что нужно знать о большом куске мяса БАРСЕЛОНА Кафе на рынках, тапас-бары и гастропабы — маршрут на выходные ПИСЬМО ЧИТАТЕЛЮ ДОРОГИЕ ДРУЗЬЯ! Чтобы оставаться в форме, необходимы покой, хорошая еда и никакого спорта, любил повторять Уинстон Черчилль. Безусловно, во всём доверяться даже такому авторитету, как знаменитый премьер Великобритании, не стоит. Однако как важно подчас...»

«Занимательные вопросы по астрономии и не только А. М. Романов Москва Издательство МЦНМО 2005 УДК 52 (07) ББК 22.6 Р69 А. М. Романов. Р69 Занимательные вопросы по астрономии и не только. — М.: МЦНМО, 2005. — 415 с.: ил. — ISBN 5–94057–177–8. Сборник занимательных вопросов по астрономии. К некоторым вопросам приводятся ответы и подробные комментарии. Книга написана в научно-популярном стиле, бльшая часть будет понятна учащимся старших и средних классов. о Для школьников и всех тех, кто...»

«Сценарий Вечера, посвященного Александру Леонидовичу Чижевскому Александр Леонидович был на редкость многогранно одаренной личностью. Сфера его интересов в науке охватывала биологию, геофизику, астрономию, химию, электрофизиологию, эпидемиологию, гематологию, историю, социологию. Если учесть, что Чижевский был еще поэтом, писателем, музыкантом, художником, то просто не хватит пальцев на руках, чтобы охватить всю сферу его интересов. Благодаря его многочисленным талантам его называли Леонардо да...»






 
© 2014 www.kniga.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Книги, пособия, учебники, издания, публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.