WWW.KNIGA.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Книги, пособия, учебники, издания, публикации

 

О НЕКОТОРЫХ ФИЛОСОФСКИХ ВОПРОСАХ МАТЕМАТИКИ,

СВЯЗАННЫХ С НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЙ РЕВОЛЮЦИЕЙ

ГАРНИК ТОНОЯН

Издавна наука считается ключом к позванию реального мира—в

этом заключается ее ценность и даже просто смысл существования.

При этом науки мы привыкли делить на две большие группы: естественные или «точные» науки, к числу которых обычно относят математику,

физику, химию, астрономию, биологию, минс-ралогию и гуманитарные науки, также, как история, лингвистика, юриспруденция, экономика и т. д.; традиционно считается также, что последние науки являются «не точными», во многом описательными, что критерии истины здесь часто размыты и поэтому роль эти), наук в познании мира уступает роли наук точных. С этих привычных представлений и естественно начать обсуждение тех общих вопросов, которым посвящена настоящая статья.

Сегодня, когда мы переживаем грандиозную общенаучную революцию, колоссальную ломку всей нашей научной идеологии, равных которым история человечества знала очень немного, нуждаются в пересмотре многие расхожие представления, том числе и те, с перечислев ния которых мы начали. Привычное отнесение математики в ряды естественных наук, даже определенное объединение, чуть ли не отождествление ее с физикой, отражающееся, например, в том, что в нашей стране имеются ученые степени кандидат (или доктор) химических,, биологических, филологических, исторических и др. наук—но не физических, и не математических, а лишь «физико-математических», или в большом числе «физико-математических» факультетов университетов или пединститутов, может быть, методически даже опасно, ибо оно смазывает важное принципиальное различие между физикой и математикой. В самом деле, естественные науки изучают окружающий нас мир;

они имеют дело с объективной реальностью, и выводы их могут быть проверены на опыте. С этих позиций естественные науки (математику из числа которых следует исключить) достаточно близки к гуманитарным наукам, объектом изучения которых служит человеческое общество, т. е. тоже нечто реально существующее. Нам кажется, что деление всех наук на «естественные» и «гуманитарные» в прошлом в большей степени порождалось различием в методе, нежели резкой границей между объектами изучения. В самом деле, скажем, психология является естественной наукой или гуманитарной? Ведь разделами ее являются такие безусловно гуманитарные области знания, как, скажем, массовая психология или психолингвистика. Но, с другой стороны, базой психологии является психиатрия, т. е. наука безусловно естественная, раздел медицины, да и общие психологические концепции ныне все более погружаются в обсуждение строения и системы функционирования человеческого мозга, примыкая тем самым к физиологии, а иногда и к общей биологии (при обсуждении, например, такого понятия, как память).



Однако в настоящее время, когда гуманитарные науки начинают бурно «математизироваться», так что, например, общенаучный базис экономики и применяемые здесь методы сегодня непринципиально отличаются О некоторых философских вопросах математики от фундамента и инструментария физики или астрономии, уже и методология не позволяет провести четкую грань между науками естественными и гуманитарными. При этом речь здесь идет отнюдь не об одной лишь экономике: ведь и в филологии или литературоведении, социологии или искусствознании мы все чаще и охотнее обращаемся к математическому моделированию и к математическим методам, что, в первую очередь, связано с желанием использовать всю мощь наших электронных помощников—компьютеров—также и в вопросах, связанных с человеческим обществом и систематикой его функционирования, скажем, в задачах, связанных с использованием живых языков, или в машинном синтезировании произведений искусства (машинная графика и широко понимаемый дизайн; электронная музыка, машинные методы создания тех или иных (например, танцевальных) мелодий и использование компьютерных систем в музыкальной композиции; популярные ныне на Западе и проникшие уже и в нашу страну компьютерные слайдфильмы и многое другое). Но ясно, что передача машинам каких-то функций человеческого интеллекта требует, прежде всего, превращения соответствующих «неточных» наук в «точные», т. е. строгого, формального определения как всех нужных нам понятий, так и интересующих нас зависимостей между этими понятиями, и четкой формулировки поставленных вопросов, ибо никакой интуицией компьютер не обладает, и привычная опора на накопленный (данным индивидуумом или всем обществом) «общекультурный багаж» здесь не проходит.

Таким образом, граница между естественными и гуманитарными науками, в известной степени, начинает размываться. И в то же время «математизация знания», новое значение методов математического моделирования заставляет нас пристальнее вглядеться в сущность математики, в структуру ее и метод, и при этом все яснее становится глубинное отличие математики как от естественных, так и от гуманитарных дисциплин. Математику мы все чаще определяем свойственным ей аксиоматическим методом, чисто логической ее структурой, задаваемой 1) списком исходных (и никак не определяемых, а только называемых) понятий; 2) списком также не определяемых (лишь называемых) отношений между этими понятиями1; 3) перечнем аксиом, задающих фундаментальные свойства рассматриваемых объектов и отношений, таких свойств, которые рассматриваются как «первоначальные», в известном смысле сами эти отношения и объекты определяющие 2 ; 4) правилам логики, составляющим «кухню» математики и позволяющим из одних свойств рассматриваемых объектов выводить новые, доказывать формулируемые в терминах неопределяемых объектов и отношений теоремы, где могут, впрочем, фигурировать и новые понятия, определяемые через имеющиеся ранее с помощью относящихся к конструированию определений правил тон же логики. Здесь наиболее важным является 1 Здесь различие между «понятиями» или «отношениями» не является особенно принципиальным. Оно восходит к идущему е щ е от Аристотеля различию «категорий»

(основных неопределяемых понятий, к которым все сводится) «сущность» и «отношение»; с другой стороны, скажем, в аксиоматической системе Гильберта, можно считать, что в утверждении: «точка С лежит между точками А н В » фигурируют просто д в а неопределяемых понятия «точка» и «между», и высказанная фраза имеет отношение к «косвенному» или дескриптивному определению и понятия «точка», и понятия «между».

2 Заметим, что аксиомы доставляют нам дескриптивное определение сразу всех фигурирующих в них понятии и отношений, но никак не определение каждого из них которое в изоляции 'от всех других понятий просто невозможно), чисто абстрактный характер всего содержания математической теории, не апеллирующей ни к какой реальности3, а только к чисто умственным построениям, производимым в нашей голове. Именно такси характер математики и обеспечивает ее универсальную приложимость, поскольку обладающие лишь названиями, но ни какой бы то ни было реальной природой объекты математики могут затем отождествляться с «вещами» самой разной природы. Так, в геометрических моделях тех или иных феноменов физики, механики, астрономии, биологии, экономики, лингвистики, социологии и т. д. под «точкой» можно понимать очень малую область плоскости или пространства (первоначальное понятие точки); «материальную точку», кроме положения в пространстве обладающую еще и массой, или «состояние», характеризующееся заданием пространственных координат и времени; планету, звездную с и стему, галактику, механическую систему любой сложности, характеризуемую (например, фазовыми) координатами этой системы; биологическую особь, или клетку, или популяцию; экономическую или социальную ситуацию или систему, характеризующуюся теми или иными (вообще-то говоря—меняющимися во времени или в пространстве);

параметрами, принимаемыми за «координаты» нашей условной «точки»} слово, фонему, морфему или иную лингвистическую категорию и очень многое другое. Эта универсальность приложимости математических конструкций к реальному миру и составляет основную силу математики.

Но если мы хотим эту силу сохранить и подчеркнуть, то мы никогда не должны забывать об абстрактной природе математики и устойчиво классифицировать все науки по схеме: науки, изучающие реальность (естественные и гуманитарные науки); науки, занимающиеся «умственными конструкциями» (математика, философия—заметим, что применимость к реальному миру математики кажется нам родственной применимости не физики, а, скорее, философии, которая ведь тоже строится из абстрактных понятий типа, скажем, платоновских идей или общего—абстрагированного от каких бы то ни было физических теорий— понятия материи, но которая вне своего отношения к реальному миру, является такой же пустой «игрой», как и математика, если только мы уговоримся принципиально не допускать для математики никаких вне* математических реализаций). Последнее, сказанное нами о математике, достаточно важно для того, чтобы остановиться на этом подробнее. Еще в первой трети XIX столетия усилиями Лобачевского, Байаи и Гаусса была навсегда разрешена столь важная для Канта мысль о «единственности», «врожденности», «априорности» геометрических аксиом. Те»г 3 Конечно, на самом деле наше «определение» математики легко критиковать: это есть не более чем (удобное нам здесь, но достаточно условное) определение (ПЛИ описание) формальной математическое теории, с одной стороны, безусловно не полное (а как мы предполагаем задать «правила логики»—не аксиомами ли, и что это, собст»

венно такое—правило логики?), а с другой—исторически сложившуюся математику никак не охватывающее. Наряду с «математикой-логикой» законно существует и «математика-физика», так, например, Лобачевский или Гаусс (во не Байаи) именно так подходили к неевклидовой геометрии, иначе их упоминаемая ниже попытка проверки ее истинности с помощью измерения суммы углов реального треугольника никакого смысла бы не имела, а признать эту попытку бессмысленной было бы глубоко неверно. Но и доказательная «логическая» математика не может быть полностью охвачена, нашей простейшей схемой, ведь не случайно творчески работающие математики нередко о ней вспоминают. Сегодня положение дел в «доказательной» математике е щ е осложнилось из-за появления ЭВМ и широкого распространения «машинных» доказательств теорем, на чем, впрочем, здесь было бы неуместно останавливаться.

самым выяснилось, что выбор аксиоматического базиса математической теории в известной степени зависит от нас, что геометрия не единственна; арифметика (или алгебра) тоже не единственна4—и вообще нет ни одного раздела математическоГг науки, который мы не могли бы модифицировать, nt-сколько изменив положенную в основу эюго раздела аксиоматику. 'Но именно этот «чисто умственный» характер математических конструкций обязывает ученых все время помнить о жизненных истоках их науки. Высокое место математики в интеллектуальной истории человечества целиком определяется приложимостью этой науки к познанию мира—и именно в качестве волшебного ключа к познанию всею сущего математика была создана в античных школах пифагорейцев и ионшшев. Об этом все мы—независимо от степени своего увлечения чисто абстрактными математическими задачами (а кто был увлечс.1 ими более, чем легендарный Пифагор?)—не имеем права забывать. Чистая (в смысле—неприкладная) математика безусловно необходима и безусловно существует, но существуют ли чистые математики? Нас удивляет широта интересов корифеев математической мысли XIX в. К- Ф. Гаусса и Б. Римана. Ведь Гаусса радовала (а не огорчала) возложенная на него князем обязанность прямого руководста чисто практической деятельностью по геодезической съемке земель, а Римана нисколько не затрудняла работа в качестве ассистента в возглавлявшейся его покровителем Вильгельмом Вебером физической лабораюрии и помощь студентам в осуществляемых ими в рамках физического практикума лабораторных работ. Но и лидеры математической науки нашего столетия обладали той же широтой взглядов: достаточно вспомнить труды по небесной механике или (специальной) теории относительности А. Пуанкаре, по (общей) теории относительности— Д. Гильберта, по квантовой механике, экономике и высшей нервной деятельности—Дж. фон Неймана (являвшегося, к тому же, одной из основных фигур в истории создания ЭВМ), по (общей) теории относительности и квантовой механике—Г. Вейля и др. 5 Обращаясь к советской науке, здесь можно назвать основополагающие исследования А. Н. Колмогорова по теории турбулентности, его же работы по генетике, по теории динамических систем и общей механике, даже по стиховедению, или обширный биологический цикл И. М. Гельфанда, да и директор Института прикладной математики АН СССР А. Н. Тихонов, как и, скаЕсли в иачале X I X в. Гаусс, убедившись, что никаких «пространственных комплексных чисел», для которых выполнялись бы в с е законы обыкновенной арифметики,.

не существует, сразу ж е потерял интерес к занявшей было его экстравагантной теме, то в середине того ж е века Уильяма Гамильтона некоммутативность открытых им кватернионов ни капли не смутила—он просто отбросил в своей «арифметике кватернионов» аксиому а в = в а для любых а й в (аксиому коммутативности умножения) обычной арифметики. (Правда, еще до Гамильтона была создана (в первую очередь—усилиями А. Кели) матричная алгебра, в которой тоже умножение некоммутативно, в то время как очень близкий к открытию кватернионов Гаусс никакой алгебраической системой с некоммутативным умножением не располагал).

5 Воинственным адептом чистой математики был англичанин Г. Г. Харди, вызывающе назвавший свой (переведенный и на русский язык) учебник математического анализа «Курсом чистой математики» и потративший немало страниц интересной научной автобиографии «Апология математика» на попытки убедить читателя в безусловных преимуществах чистой математики над прикладной. Однако и этот выдающийся специалист по теории чисел в молодости выполнил одну работу прикладного содержания. И ныне заведомо более 30% всех упоминаний имени Харди в научной, учебной и научно-популярной литературе связано именно с этим его юношеским «грехом» {с законом Харди-Ьейнберго популяционной генетики).

Irinpbr 10— жем, один из основоположников прикладной математики предшествующего периода Л. А. Люстерник, принадлежали по своей «математической родословной» к чисто абстрактным школам академиков Н. Н. Лузина и П. С. Александрова. Аналогичным образом обстоит дело и в следующем поколении советских математиков—для иллюстрации этого достаточно назвать известные, пожалуй, физикам не менее, чем математикам, имена, скажем С. П. Новикова и Л. Д. Фалдеева, В. П. Маслова и В. И.

Арнольда, Ю. И. Манина и Я. Г. Синая.

Связанная с текущим моментом в истории нашей цивилизации широчайшая экспансия математики, завоевание ею множества новых ранее никак ею не контролировавшихся «территорий» сделало необходимым отчетливое понимание абстрактного характера математики, приложимой к множеству разнообразных жизненных ситуаций, но органически ни с какой конкретной ситуацией не связанной. Еще в начале XIX столетия и Лобачевский, и Гаусс вполне серьезно пытались проверить истинность или ложность неевклидовой геометрии с помощью естественнонаучных экспериментов по вычислению сумм углов «реальных» треугольников, а Гаусс прямо писал о том, что он считает геометрию не «абстрактной» наукой типа, скажем, арифметики, а «реальной», типа механики. Сегодня же мы отчетливо сознаем, что никакие физические эксперименты доказать истинность или ложность неевклидовой геометрии не могут6. Конечно, еще Лейбниц, а в XIX столетии, скажем, Герман Грассман или Джордж Буль полностью понимали абстрактный характер математики, но ведь Лейбниц в науке XVII в., как и Буль и Грассман в науке XIX в., были исключениями.(причем не случайно ни один, из них не получил систематического математического образования, в силу чего давления сложившихся традиций они не испытывали). При этом позиция Лейбница в его отношении к математике полностью противоречила установкам его великого антипода и соперника Ньютона, а ведь математика (и даже шире—вся культура XVIII, XIX и первой половины XX вв.) гораздо больше заимствовала от Ньютона, чем от Лейбница. Но вот во второй половине XX столетия мы, в ряде отношений, «качнулись» от Ньютона к Лейбницу, и свойственное Лейбницу понимание принципиальной грани между математикой и физикой стало нам необходимо.

С этих позиций интерес вызывает знаменитая группа «Никола Бурбаки», группа, постулирующая свою полнейшую независимость от любых приложений математики 7, но, разумеется, никак не от эпохи, в Kofi Ср., впрочем, со сноской 3.

7 Ср. статьи и книгу одного из признанных вождей этой группы: Ж- Дьедонне, Современное развитие математики («Математика», 1966, т. 10, вып. 3, с. 3—11); е г о ж е, О прогрессе математики («Историко-математические исследования», вып. XXI, М., 1976, с. 9—21); J. D l e c u d o n n e, Panoram des mathematiques Pures (le choix boar bachique), Paris, Gaulhler—Villers, 1977. Впрочем, к полному равнодушию лидеров группы «Бурбаки» к вопросам прикладной математики не стоит относиться слишком уж серьезно: для опровержения ее достаточно вспомнить, например, о разработанной одним из основоположников и наиболее влиятельных членов группы А. Вейлем по просьбе знаменитого антрополога, этнолога и философа К. Леви-Стросса математической теории бракосочетания в примитивных племенных союзах, приложенной ЛеаиСт,россом в качестве дополнения к своей диссертации «Элементарные системы родства», или о широчайшем спектре в нематематических интересов близкого к группе «Бурбаки» Р. Тома: Р. Т о м, Топология и лингвистика («Успехи математических шаук". 1975, т. 30, вып. I (181), с. 199—221); R. Т о га, topological models In blology—Topology, Paris, 1969, V (8), pp. 313—335 или прогремевшую книгу: R. T o h m, Stabilile structiirelle et morphogenese, New York, Benjamin, 1972.

торой мы все живем. И подобно тому, как метафизика Аристотеля, на шедшая отражение, а частности, в «Началах» Евклида, явилась естественным плодом условий жизни древнегреческого общества, так и основные установки группы «Никола Бурбаки» 8 и сама глубоко продуманная «организация» математики, осуществленная в их все еще не законченном (и возможно даже и по замыслу авторов не предназначенном к тому, чтобы когда-либо быть законченным) трактате «Элементы (или «Начала») математики» порождены актуальными потребностями сегодняшнего дня, потребностями, учитывающими и современный статус прикладной математики. Сказанное ни в какой мере не следуем понимать как призыв ко всем «потребителям» математики немедленно засесть за штудирование огромного и совсем не простого даже дли многих профессиональных математиков многотомного трактата Бурбаки. Однако с'манифестом этой группы было бы полезно ознакомиться очень широкой аудитории читателей, заинтересованных в математике, в применениях математики и в философии математики.

Сама же предпринятая группой «Никола Бурбаки» (возмижно и не бесспорная—но бесспорным предприятие такого масштаба быть и не может) попытка «упорядочить» все грандиозное здание математической науки, безусловно, также порождена конкретными потребностями нашего времени: рост «по экспоненте» числа научных работ настоятельно требовал хоть каких-то попыток «наведения порядка» во всем «хозяйстве» математики. И это несмотря на (безусловно хорошо понимаемую и самими творцами «Элементов математики») заведомую безнадежность окончательного отсечения «важного» от «неважного», «органичного и глубинного» для математики от мелкого и наносного. К «элементам математики» Бурбаки можно относиться по-разному. Но так же, как невозможно признать этот грандиозный труд разрешающим все стоящие перед современной математикой трудности, так и невозможно просто никак с ним не считаться.

Трудностей современная математика накопила предостаточно, и в этом мы также должны отдавать себе полный отчет. Выше мы уже бегло упоминали о строении современных «математических структур», как именует группа «Никола Бурбаки» отдельные участки безмерно разросшегося здания математической науки: неопределяемые понятия и отношения, аксиомы, логика. При этом сегодня мы полностью отдаем себе отчет в том, что не только выбор той или иной системы аксиом в известной степени произволен, но, более того, также и правила (аксиомы) логики мы тоже можем варьировать, так что столь дорогая, скажем, для раиионалиста Лейбница мысль об единственности, даже «богоценности»

логики является таким же предрассудком, как Кантова идея априорности геометрии. Подобно тому, как существует много геометрий, существует и много разных (и, в определенном смысле—равноправных, ибо.

все они приближенно имитируют «естественную» логику человека и ни одна не передает ее совсем точно) логик, и мы вольны выбирать ту из.

них, какая нам в данном случае больше подходит.

Да, все это так, но какое отношение имеет сказанное к НТР и к компьютерам? Ведь первые «неаристотелевы» логики возникли задолго до создания электронных вычислительных машнн9. Все это, разумеется,.

0 См.: Н. Б у р б а к и, Архитектура математики («Очерки по истории математики»,' М., 1963, с. 245—259); «Математическое просвещение» (новая серия), вып. 5, М., I960,с. 9 9 - - Ш ; «Архитектура математики», М., 1972, с. 4—18.

9 Если гильбертов формализм или логицизм Рассела, в известной степени, шли по «ути строгого («математизированного») оформления идей аристотелевой логики, тоГарник Тоноян верно, но влияние на математические исследования реального мира, условий жизни, производственных отношений и всей системы производства и потребления вовсе не является только «лобовым»: инженеры или физики придумали новый прибор, а математики к нему подгоняют теорию, позволяющую анализировать работу этого прибора. Ведь не случайно открытие теории функций комплексного переменного О. Коши, Б. Риманом и К- Вейерштрасом на полвека опередило основополагающие работы Н. Е. Жуковского по приложению ТФКП к гидро- и аэродинамике, создание функционального анализа, которое условно можно датировать годом публикации знаменитой монографии Д. Гильберта «Основы общей теории линейных интегральных уравнений» (1912), на 10—20 лег опередило возникновение квантовой механики, явившейся, пожалуй, главнейшим «внематематическим потребителем» новой наукн, а создание математической логики в трудах Дж. Буля и других логиков XIX столетия вообще опередило (невозможное без математической логики!) возникновение компьютеров чуть ли не на сто лет. Можно думать, например, что одни и те же внешние условия стимулировали как возникновение теории функций комплексного переменного, так и труды по механике сплошных сред, использующие этот математический аппарат. А наш современный интерес к различным системам обоснования математики и ко всему кругу вопросов, связанных, скажем, со знаменитой теоремой Гёделя, безусловно, в какой-то мере связан с компьютеризацией и с порожденной ею научно-технической революцией.

В самом деле, еще совсем недавно мы совершенно спокойно мирились с несовершенством понятия математического доказательства подобно тому, как не беспокоило нас отсутствие строгих понятий, буквально всех понятий лингвистики (начиная, скажем, с понятия слова) или экономики. В гуманитарных науках мы спокойно обходились пониманием «на интуитивном уровне», вполне достаточным для человека, обладающего определенными культурными традициями, а в математике «определение»—доказательство—это рассуждение, которое нас убеждает—также вполне нас устраивало.

Но попытка перепоручить серьезные функции, ранее всегда считавшиеся целиком относящимися к прерогативе человеческого интеллекта, нашим «электронным помощникам»—компьютерам, требует безукоризненно точных определений всех используемых понятий, ибо ЭВМ «глупа» в том смысле, что никакая культурная традиция за ней не стоит, никакой интуицией она не обладает, никакой логикой, кроме жесткой «черно-белой» логики, она не влавозникший еще в первом десятилетии нашего века интуиционизм Л. Е. Брауэра и Г. Вейля, отказавшийся от классического з а к о н а и с к л ю ч е н н о г о третьего (от закона tertium поп datur аристотелевской логики и традиционной философии). в частности, в сильной советской школе А. А, Маркова, в каких-то своих позициях открыт о с Аристотелем полемизировали. При этом некоторые из новых направлений в области оснований математики прямо апеллируют к реалиям компьютерной эпохи. Это относится, например, к так называемому ультраинтуиционизму, отказывающемуся от а к с и о м ы м а т е м а т и ч е с к о й и н д у к ц и и, а следовательно, и от базирующегося на этой аксиоме классического понятия натурального ряда чисел: ведь если числ о N настолько велико, говорят ультраинтуиционисты, что никакой компьютер не способен за обозримое время произвести пересчет от 1 до N, то о какой ж е «потенциальной осуществимости» числа N может идти речь? И как при этом принципе перехода о т к п + 1 (принцип индукции) может помочь нан до N добраться? (По поводу вринципнального отличия «очень большого» натурального числа N от конечного числ.см. т а к ж е неконкретную, но убедительную заметку: П. К- Р а ш е в с к и й, О догм а т е натурального ряда («Успехи математических наук», 1973, т. 28, вып. 4 (172), с. 243—246).

дест 10. Употребляемое иногда презрительное обозначение компьютеров «•электронные кретины* апеллирует именно к этой принципиальной ограниченности их «интеллекта», умеющего лишь выполнять примитивные команды, но не «мыслить» в человеческом смысле этого слова. Поэтому возникновение прикладной лингвистики, инженерной психологии или математической экономики потребовало безукоризненно полного определения всех относящихся к интересующим нас областям знания понятий и четкой постановки вопросов, на которые компьютер может ответить «да» или «нет». Но ведь в настоящее время компьютеры используются также и для доказательства теорем—и значит сказанное выше полностью относится и к «самой гуманитарной из всех дисциплин»—к математике 11, где тоже, скажем, важнейшее понятие доказательства ранее не было однозначно определено, а было лишь «описано» с серьезной опорой на нашу интуицию—на ту интуицию, которой компьютер никак не обладает. Именно это обстоятельство стимулирует глубокий интерес к основаниям математики, проявляемый сегодня часто даже достаточно далекими от математики лицами—скажем, лингвистами, искусствоведами или психологами, не говоря уже о философах. Новая же ситуация с «машинным» доказательством математических теорем еще более осложнила положение дел, поскольку вопрос о том. в какой степени выводимые с существенной помощью компьютера теоремы можно считать «доказанными», решается вовсе не однозначно.

Наконец укажем, что выросшие в рамках математической логики подходы и концепции не только составляют базис общего учения об основаниях математики, но и могут быть использованы в качестве фундамента отдельных частей всего безмерно разросшегося здания математической науки. Так, например, играющая сегодня столь огромную роль во всей системе нашего научного мировоззрения теория вероятностей, о которой мы скажем ниже, ныне во всем мире строится в созданной еще в 1933 г. аксиоматикой Колмогорова на базе теории меры и некоторых общих теоретико-множественных понятий, относящихся к столь популярной в те годы теории функций вещественного переменного12. Однако в настоящее время сам акад. Колмогоров склонен пропагандировать совсем друюй подход к обоснованию этой ветви математики, в развитии которой он сыграл столь выдающуюся роль. А именно, в то время как традиционно основные понятия (шенноновской) теории информации ;(которой мы также ниже еще бегло коснемся) выводились, исходя из ю Разумеется, пока ее не обучили никакой другой; однако надо иметь в виду, что (возможная) попытка использовать компьютер, скажем, в расчетах, связанных с «размытой» логикой Заде (ср., например: А. К о ф м а н. Введение в теорию нечетких множеств, М., 1982, гл. III), требует точного определения воех относящихся к этой теории понятий и отношений, что в известной степени отменяет «нечеткий» («размытый») характер конструируемой логики, превращающейся в чисто математическую (а значит, в определенном смысле, «черно-белую») аккуратно построенную дисциплину.

Видающийся советский логик А. А. Марков любил говорить, что математика, занимающаяся «тем, что человек иапрндумывал», безусловно должна считаться дисциплиной гуманитарной.

12 См.: А. Н. К о л м о г о р о в, Основные понятия теории вероятностей, М., 1974.

понятия вероятности13, Колмогоров предлагает обернуть эту логическую цепь. А именно, базируясь на возникшем в математической логике важном понятии рекурсиеных функций, Колмогоров определяет сложность тех или иных последовательностей сигналов, что дает ему возможность дать количественную оценку содержащейся в этой последовательности сигналов информации. Вероятности же событий он затем определяет с помощью понятия информации14. Примеры такого рода можно было бы умножить, остановившись на непосредственно связанных с математической логикой ряде чисто прикладных разделов современной математической науки, вроде, скажем, теории автоматов, однако подробное рассмотрение всех возникающих здесь вопросов не входит в наши цели.

«Математическая экспансия» наших дней характеризуется, в частности, бурным вторжением математических методов в гуманитарные науки, ранее всегда рассматривавшиеся как полностью математике чуждые: в экономику и социологию, в лингвистику и искусствознание, в психологию и юриспруденцию, в этику, эстетику, педагогику, в теорию литературы или в историю. Здесь существенны не только возможности использования компьютеров, но и стремление полнее (и точнее) разобраться, скажем, в самых тонких вопросах психической жизни человека или животных, а также в крайней важности сегодня серьезных фуг турологических изысканий, которые можно считать надежными в той степени, в какой надежны положенные в их основу математические моделл эволюции Земли, жизни на Земле и развития человеческого общества—ибо чисто качественный подход к этим вопросам, игнорирующий понятие математической модели, может дать по необходимости лишь весьма приблизительный и огрубленный ответ на все интересующие нас вопросы. Еще один, возможно, пока и несколько преждевременный, но в принципе достаточно важный аспект «математических методов, в гуманитарных дисциплинах» связан с еще недавно очень молодой и, возможно, вовсе не полностью отмененной проблематикой, связанной с возможными контактами с внеземными цивилизациями. Ясно, что при обсуждении этого круга вопросов нам необходимы строгие, «объективные» методы, которые предоставить нам может только математика. Так, еще в 50-х годах видный голландский математик и педагог Ханс Фрейденталь, знакомый русскому читателю по переводу ряда его книг и стат.

тей, разработал вариант логического языка для межзвездной связи 15 и ясно, что участие математиков в подобных конструкциях является cdвершенно необходимым. Еще более важной, чем задачу создания «межзвездного языка», можно считать проблему описания всех возможных систем мышления или этических норм, поскольку необходимо заранее знать, с чем в дальнейшем мы можем встретиться. При этом надо хорошо понимать, что разработку, скажем, по необходимости неполных и огрубленных математических моделей чисто эстетических или (даже!) 13 См., например, А. Я. X и н ч и н, Понятий энтропии в теории вероятностей ({Успехи математических наук», 1953, т: 8, вып. 3(55), с. 3—20); Д. К. Ф а д е е в, К понятию энтропии конечной вероятностной схемы (там же, с. 227—231); А. Н. К о л м о г ор о в, Теория передачи информации («Теория информации и теория алгоритмов», М.;

1987, с. 29—58); А. М. Я г л о м, И. М. Я г л о м, Вероятность и информация, М., 1973.

1 4 См.: А. Н. К о л м о г о р о в, Три подхода к определению понятия «количество информации» («Теория информации и теория алгоритмов», М., 1987, с. 213—223); е г о ж е, К логическим основам теории информации и теории вероятностей («Теория вероятностей и математическая статистика», М., 1986), с. 232—237.

J j «Энциклопедический словарь юного филолога», М., 1985, статья «Линкос» (автор А. Кондратов).

любовных эмоций в наши дни никак нельзя характеризовать как вульгарный механицизм или считать противоречащей материализму 16. Возможности математики неисчерпаемы, как неисчерпаем и мир, и задача состоит лишь в разработке адекватного математического аппарата, описывающего те или иные жизненные феномены.

Надо, однако, понимать, что идущее еще от Декарта и Лейбница представление об отсутствии принципиального различия между явлениями живой и неживой природы или, скажем, между психологией и техникой само по себе совершенно ошибочно. Вот его-то как раз и можно назвать «вульгарным механицизмом». В связи с этим и (частично гще, видимо, не созданная) математика, которую придется использовать в гуманитарных исследованиях, может отличаться от классического инструментария физика и инженера. Но, разумеется, типичным (хоть и эффектным, однако не особенно глубоким) примером такого рода может послужить уже упомянутая выше «размытая логика» видного американского математика азербайджанского происхождения Люфти Заде. Имея в виду именно использование разработанного им аппарата в задачах, связанных с человеком и человеческой психикой, Заде ввел понятие гуманистических (в противоположность механистическим) систем (экономических, эстетических, правовых, политических, педагогических и других) и описывающих функционирование таких систем лингвистических переменных, численные значения кбторых имеют принципиально «неточный» или «размытый» характер 17. При этом любопытно, что (ныне достаточно полно разработанный в тысячах работ чисто теоретической и прикладной направленности) аппарат размытых множеств и размытой логики Л. Заде ныне широко применяется не только в гуманитарных, но, частично, даже и в чисто технических вопросах, что связано с неизбежно не безукоризненно точным,—а значит «размытым»— характером всех создаваемых человеком (или даже природой) механизмов. Следует еще отметить, что сами математики (в первую очередь, пожалуй, математики самого высокого уровня) достаточно хорошо понимают важность и интерес «математизированных» исследований всякого рода гуманистических систем. Так, еще в 20-е годы нашего столетия ведущий американский математик Джордж Дэвид Биркгоф начал разработку математических моделей эстетики и этики, подытоженных впоследствии в его обширной монографии18. Джон фон Найман и А. Колмогоров много занимались моделированием человеческой психики, А. Колмогоров, продолжив исследования видного русского поэта и прозаика начала нынешнего века,—Андрея Белого, опубликовал много статей по вопросам математической поэтики19 и неоднократно читал курсы И вел семинары по стиховедению в МГУ.

'6 А. Н. К о л м о г о р о в а. Ср. с публикациями на тему «Автоматы н жизнь»

или «Жизнь и мышление как особые формы существования материи»—Машинный перевод н прикладная лингвистика», 1961, вып. 6, с. 3—8; «Техника молодежи», 1961, № 10, с. 16—19 и № 11, с. 30—33; «О сущности жизни», М., 1964, с. 48—57.

W См.: Л. З а д е, Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений, М., 1976.

Большая часть опубликованных работ этой тематики (значительную часть которых, однако, автор, к сожалению, не опубликовал) указана в обстоятельном (хоть и не совсем полном) списке научных работ Колмогорова (А. Н. К о л м о г о р о в, Избранные труды (математика и механика), М., 1985, с. 452—466).

Надо только понимать, говоря о математическом моделировании объектов гуманитарной природы, в частности, социальных явлений, что здесь мы пока находимся в «доньютоновом» периоде, как можно было бы сказать, вспоминая эпоху вторжения математики в механику, физику, астрономию. Подобно тому, как еще у Кеплера естественнонаучные изыскания составляли сложное переплетение глубоких мыслей с впоследствии полностью отброшенными наукой фантастическими идеями м и с т и ч е с к о г о характера, ибо «генеральная линия» здесь была намечена лишь Ньютоном, не случайно относившимся к много ему давшему Кеплеру довольно сдержанно, так и множество «математизированных»

и с с л е д о в а н и й в гуманитарной области, из числа которых мы здесь назвали лишь сравнительно немногие, пока является весьма пестрым, разноплановым, иногда недостаточно отчетливым, причем определенная «смутность» причастна даже отдельным публикациям таких выдающихся ученых, как Рене Том или Э. К. Зиман. Но подобно тому, как без Кеплера не мог появиться и Ньютон, так можно надеяться, что новые направления приложений математики явятся исходным пунктом и новых ветвей самой математической науки, как уже произошло, скажем, с теорией катастроф, которая в работах В. И. Арнольда и его школы потеряла всякий характер «смутности» (может быть, в глазах некоторых, вместе с известной долей своего обаяния) и имеет сегодня хараитер весьма четко очерченной дисциплины со своей проблематикой и своим аппаратом.



Похожие работы:

«Министерство культуры и туризма Украины Одесская государственная научная библиотека имени М.Горького Ученые Одессы Серия основана в 1957 году Выпуск 38 ВАЛЕНТИН ГРИГОРЬЕВИЧ КАРЕТНИКОВ Биобиблиографический указатель литературы Составитель И.Э.Рикун Одесса 2007 Этот выпуск серии биобиблиографических указателей “Ученые Одессы” посвящен Валентину Григорьевичу Каретникову, астроному, доктору физико-математических наук, директору Астрономической обсерватории Одесского национального университета им....»

«Петр Вайль Александр Генис Русская кухня в изгнании Петр Вайль Александр Генис Русская кухня в изгнании издательство аст Москва УДК 821.161.1+641 ББК 84(2Рос=Рус)6+36.997 В14 Художественное оформление и макет Андрея Бондаренко Вайль, Петр; Генис, Александр Русская кухня в изгнании / Петр Вайль, Александр Генис; — Москва : В14 АСТ : CORPUS, 2013. — 224 с. ISBN 978-5-17-077817-1 (ООО “Издательство АСТ”) “Русская кухня в изгнании” — сборник очерков и эссе на гастрономические темы, написанный...»

«УДК 94(093) ББК 63.3(0)+86.3 Н84 Подписано в печать с готовых диапозитивов 02.02.2005. Формат 70 х 100 1/16. Гарнитура Таймс. Усл. печ. л. 76,11. Доп. тираж 5 000 экз. Заказ № 122. Общероссийский классификатор продукции ОК 005 93, том 2; 953004 — литература научная и производственная Санитарно эпидемиологическое заключение № 77.99.02.953.Д.000577.02.04 от 03.02.2004 г. Носовский, Г. В. Н84 Русь и Рим: Новая хронология. Сенсационная гипотеза мировой истории: В 2 т. Т. 1. Кн. I, II/Г. В....»

«Казанский (Приволжский) федеральный университет Научная библиотека им. Н.И. Лобачевского Новые поступления книг в фонд НБ с 12 февраля по 12 марта 2014 года Казань 2014 1 Записи сделаны в формате RUSMARC с использованием АБИС Руслан. Материал расположен в систематическом порядке по отраслям знания, внутри разделов – в алфавите авторов и заглавий. С обложкой, аннотацией и содержанием издания можно ознакомиться в электронном каталоге 2 Содержание История. Исторические науки. Демография....»

«Небесная Сфера. Астро школа ГАЛАКТИКА Инна Онищенко. г. Владивосток Небесная сфера Небесная сфера является инструментом астрологии. Ни для кого не секрет, что астрологи не так часто смотрят в небо и наблюдают за движением небесных тел в телескопы, как астрономы. Астролог ежедневно смотрит в эфемериды и наблюдает за положением планет по эфемеридам. Каким же образом Небесная Сфера имеет не только огромное значение для астрономов, но и является инструментом для астрологов? По каким законам...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ С.А. ЕСЕНИНА А.К.МУРТАЗОВ ENGLISH – RUSSIAN ASTRONOMICAL DICTIONARY About 9.000 terms АНГЛО-РУССКИЙ АСТРОНОМИЧЕСКИЙ СЛОВАРЬ Около 9 000 терминов РЯЗАНЬ-2010 Рецензенты: доктор физико-математических наук, профессор МГУ А.С. Расторгуев доктор филологических наук, профессор МГУ Л.А. Манерко А.К. Муртазов Русско-английский астрономический словарь. – Рязань.: 2010, 180 с. Словарь является переизданием...»

«1 Введение в курс. Физика – это важнейшая наука о природе, изучающая наиболее общие закономерности явлений, свойства, строение материи и законы ее движения. Она рассказывает о том, что мы знаем об окружающем нас мире, если знаем, то каким образом люди узнали то, что им теперь известно, и о том, что они познают в наши дни. Физика дает возможность на многочисленные вопросы, которые ставит нам природа и окружающий мир. Ее законы позволяют предсказывать и строить новое, понимать и проникать в...»

«Краткое изложение решений, консультативных заключений и постановлений Международного Суда ПОГРАНИЧНЫЙ СПОР (БУРКИНА-ФАСО/НИГЕР) 197. Решение от 16 апреля 2013 года 16 апреля 2013 года Международный Суд вынес решение по делу, касающемуся пограничного спора (Буркина-Фасо/Нигер). Суд заседал в следующем составе: Председатель Томка; Вице-председатель Сепульведа-Амор; судьи Овада, Абраам, Кит, Беннуна, Скотников, Кансаду Триндаде, Юсуф, Гринвуд, Сюэ, Донохью, Гайя, Себутинде, Бхандари; судьи ad hoc...»

«АВТОБИОГРАФИЯ Я, Чхетиани Отто Гурамович, родился в 1962 году в г.Тбилиси, где и закончил физико-математическую школу им.И.Н.Векуа №42. В 1980 г. поступил на отделение астрономии физического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова, которое и закончил выпускником кафедры астрофизики в 1986 году. Курсовую работу, посвящённую влиянию аккреции на эволюцию вращающихся компактных объектов, выполнял под руководством Б.В.Комберга (ИКИ АН СССР). В дипломе, выполненном под руководством С.И.Блинникова (ИТЭФ),...»

«НАЦИОНАЛЬНОЕ КОСМИЧЕСКОЕ АГЕНТСТВО РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН азастан Республикасыны лтты арыш агенттігі Национальное космическое агентство Республики Казахстан National space agency of the Republic of Kazakhstan с ери ясы АЗАСТАНДАЫ АРЫШТЫ ЗЕРТТЕУЛЕР с ери я КАЗАХСТАНСКИЕ КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ s er ies KAZAKHSTAN SPACE RESEARCH Алматы, Кітап ФАФИ 60жылдыына арналады Алматы аласында 1941ж. рылан астраномия жне физика институтынан 1950ж. КСРО А академигі В.Г. Фесенковты бастауымен астрофизика...»

«В защиту науки Бюллетень № 2 82 Сурдин В.Г. День рождения Вселенной или Православное Естествознание Большая дискуссия идет среди астрономов уже несколько десятилетий: когда началось современное развитие Вселенной из сверхплотного состояния? Множество методов предложено для измерения возраста нашего мира. Скопления галактик удаляются друг от друга по закону Хаббла, галактики и звездные скопления по законам динамической эволюции изменяют свою структуру – стареют, звезды с возрастом изменяют свой...»

«Книга И. Родионова. Пловы и другие блюда узбекской кухни скачана с jokibook.ru заходите, у нас всегда много свежих книг! Пловы и другие блюда узбекской кухни И. Родионова 2 Книга И. Родионова. Пловы и другие блюда узбекской кухни скачана с jokibook.ru заходите, у нас всегда много свежих книг! 3 Книга И. Родионова. Пловы и другие блюда узбекской кухни скачана с jokibook.ru заходите, у нас всегда много свежих книг! Пловы и другие блюда узбекской кухни Книга И. Родионова. Пловы и другие блюда...»

«Annotation Хочешь знать обо всем? Желаешь получить ответ на любой вопрос? В Новейшем справочнике уникальных фактов в вопросах и ответах больше эксклюзивной информации, чем в любой многотомной энциклопедии. Здесь собраны самые интересные данные по науке и технике, географии и биологии, астрономии и физике, литературе и искусству, истории и экономике, политике и бизнесу. В этом не имеющем аналогов издании можно найти неизвестные ранее страницы биографий великих людей, интересные детали выдающихся...»

«УДК 133.52 ББК86.42 С14 Галина Волжина При рода Черной Луны в свете современной оккультной астрологии М: САНТОС, 2008, 272 с. ISBN 978-5-9900678-3-7 Книга известного российского астролога Галины Николаевны Волжиной При­ рода Черной Луны в свете современной оккультной астрологии написана на базе более чем двенадцатилетнего исследования. Данная работа справедливо может претендовать на звание наиболее полной и разносторонней. Автор попытался не только найти, но и обосновать ответы на самые спорные...»

«A/AC.105/926 Организация Объединенных Наций Генеральная Ассамблея Distr.: General 5 December 2008 Russian Original: English Комитет по использованию космического пространства в мирных целях Информация о проводимых государствами-членами, международными организациями и другими учреждениями исследованиях относительно объектов, сближающихся с Землей Записка Секретариата Содержание Стр. I. Введение......................................................»

«ISSN 0371-6791 ISBN 5-8037-0083-5 МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА ТРУДЫ ГОСУДАРСТВЕННОГО АСТРОНОМИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА им. П.К.ШТЕРНБЕРГА Том LXXI 2001 УДК 520.24, 521.1/.4, 523.3-1/-8, 523.947, 523.98, 551.591 Труды Государственного астрономического института им.П.К.Штернберга. Т.71. М. 2001. 258 с., 4 с. вкл. Настоящий выпуск Трудов ГАИШ содержит доклады научной конференции (13-й...»

«Федеральное агентство по образованию Томский государственный педагогический университет Научная библиотека Библиографический информационный центр Педагогическая практика: в помощь студенту-практиканту Библиографический указатель Томск 2008 Оглавление Предисловие Педагогическая практика Методика преподавания в начальной школе Методика преподавания естествознания Методика преподавания химии Методика преподавания биологии Методика преподавания географии Методика преподавания экологии Методика...»

«Российская академия наук Санкт-Петербургский филиал Института истории естествознания и техники им. С.И. Вавилова РАН Александр Петрович КАНОН ЛЕДНИКОВОГО ПЕРИОДА МИЛУТИН МИЛАНКОВИЧ И АСТРОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИЗМЕНЕНИЙ КЛИМАТА Нестор-История Санкт-Петербург 2011 УДК 551.583 ББК 26.237 П30 Перевод с сербского Марии Хартанович Петрович А. П30 Канон ледникового периода. Милутин Миланкович и астрономическая теория изменений климата. — СПб. : Нестор-история, 2011. — 132 с. Настоящая книга посвящена...»

«ISSN 0371–679 Московский ордена Ленина, ордена Октябрьской революции и ордена Трудового Красного Знамени Государственный университет им. М.В. Ломоносова ТРУДЫ ГОСУДАРСТВЕННОГО АСТРОНОМИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА им. П.К. ШТЕРНБЕРГА ТОМ LXXVIII ТЕЗИСЫ ДОКЛАДОВ Восьмого съезда Астрономического Общества и Международного симпозиума АСТРОНОМИЯ – 2005: СОСТОЯНИЕ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ К 250–летию Московского Государственного университета им. М.В. Ломоносова (1755–2005) Москва УДК Труды Государственного...»

«Вечна ли Вселенная?* © Даныльченко П. ГНПП Геосистема, г. Винница, Украина Контакт с автором: pavlo@vingeo.com www.pavlo-danylchenko.narod.ru Показана возможность избежания сингулярности Большого Взрыва а, следовательно, и гарантирования вечности Вселенной не только в будущем, но и в прошлом. Реальность вечности Вселенной подтверждается результатами наблюдений далеких сверхновых звезд и основывается на отсчете космологического времени в несопутствующей веществу системе отсчета, в которой по...»






 
© 2014 www.kniga.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Книги, пособия, учебники, издания, публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.